Integração-por-partes (1)

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Matemática Superior - UVB Aula 13 Técnicas de Integração Objetivos da Aula Estudar técnicas especiais de integração: integração por substituição e por partes, mostrando que estes processos são ferramentas poderosas para facilitar a integração de uma ampla classe de funções. Regra da Substituição É importante sermos capazes de encontrar antiderivadas. Mas nossas fórmulas de antidiferenciação não mostram como calcular integrais do tipo Uma maneira de calcularmos esta integral é expandir a expressão (2x + 4) 5 e, em seguida, integrar o integrando resultante termo a termo. Alternativamente, vejamos se é possível simplificar a integral fazendo uma mudança de variáveis: Faculdade On-line UVB 1 Matemática Superior - UVB Se substituirmos estas expressões na Equação [ 1 ], obtemos Assim resolvendo esta integral teremos: Portanto, usando este resultado e substituindo u por u = 2x + 4, obtemos Podemos verificar que o resultado que acabamos de obter está correto calculando e observando que este resultado é precisamente o integrando de [ 1 ]. Regra da Substituição [ 2 ] Se u = g(x) for uma função diferenciável cuja imagem é um intervalo I e f for contínua em I, então Observe que a Regra da Substituição para a integração foi provada usando-se a Regra da Cadeia para diferenciação. Note também que se u = g(x), então du = g ’(x) dx, portanto, uma forma de lembrar a Regra da Substituição é imaginar dx e du em [ 2 ] como diferenciais. Assim, a Regra da Substituição estabelece que: é permitido operar com dx e du após os sinais de integrais como se fossem diferenciais. Faculdade On-line UVB 2 Matemática Superior - UVB Método de Integração por Substituição Para vermos porque o método que usamos no cálculo da integral foi bem-sucedido, escrevamos Então g’(x) = 2 dx. Além disso, o integrando de é precisamente a composta de f e g. De fato Portanto, pode ser escrita como Mostraremos em seguida que uma integral da forma pode ser escrita como Suponhamos que F é uma antiderivada de f. Pela regra da cadeia temos Portanto, Fazendo F ’ = f e efetuando a substituição u = g(x), temos como queríamos mostrar. Assim, se a integral transformada pode ser diretamente calculada, como é o caso da integral , então o método da substituição será bem-sucedido. Podemos, agora, resumir os passos envolvidos na integração por substituição. Faculdade On-line UVB 3 Matemática Superior - UVB Passo 1. Considere u = g(x), onde g(x) é parte do integrando, em geral “a função interna” da função composta f (g(x)). Passo 2. Calcule du = g’(x) dx. Passo 3. Use a substituição u = g(x) e du = g’(x) dx para converter a integral em uma outra envolvendo apenas u. Passo 4. Calcule a integral resultante. Passo 5. Substitua u por g(x) para obter a solução final como função de x. Observação: Ás vezes é necessário considerarmos diferentes escolhas de g para a substituição u = g(x) para podermos executar os passos 3 e/ou 4. Exemplo 1: Calcule Solução: Passo 1. Observemos que o integrando envolve a função composta com “função interna” Assim, escolhemos Passo 2. Calculamos du = 2x dx. Passo 3. Fazendo a substituição , obtemos uma integral envolvendo de apenas a variável u. Faculdade On-line UVB 4 Matemática Superior - UVB Passo 4. Calculamos Passo 5. Substituindo u por , obtemos Exemplo 2: Calcule Solução: Passo 1. O integrando contém a função composta “função interna” Assim, seja Passo 2. Calculamos Passo 3. Fazendo a substituição uma integral envolvendo apenas a variável u. Passo 4. Calculamos Passo 5. Substituindo u por obtemos Faculdade On-line UVB 5 Matemática Superior - UVB Aplicação Um estudo preparado pelo departamento de marketing da Companhia Universal Instruments projeta que, após a nova linha de computadores pessoais Galaxy ser introduzida no mercado, as vendas crescerão à taxa de unidades por mês. Encontre uma expressão que forneça o número total de computadores que serão vendidos t meses após se tornarem disponíveis no mercado. Quantos computadores a Universal venderá no primeiro ano em que eles estiverem no mercado? Solução: Denotemos por N(t) o número total de computadores que se espera que sejam vendidos t meses após sua introdução no mercado. Então, a taxa de crescimento de vendas é dada por N ‘(t) unidades por mês. Assim, Calculando a segunda integral pelo método de substituição, obtemos Para determinarmos o valor de C notemos que o número de computadores vendidos ao final do mês 0 é nulo, donde N(0) = 0. Isto fornece Faculdade On-line UVB 6 Matemática Superior - UVB O número de computadores que a Universal espera vender no primeiro ano á dada por Integração por Partes Cada regra de diferenciação tem uma regra correspondente de integração. Por exemplo, a Regra da Substituição para integração corresponde à Regra da Cadeia para diferenciação. A regra que corresponde à Regra do Produto para diferenciação é chamada de integração por partes. A Regra do Produto estabelece que se f e g são funções diferenciáveis, então Na notação para integrais indefinidas essa equação torna-se Podemos rearranjar essa equação como A fórmula [ 1 ], chamada fórmula de integração por partes, é mais facilmente lembrada com a seguinte notação: seja u = f (x) e v = g (x). Então as diferenciais são du = f ‘(x) dx e dv = g’(x), e assim, pela Regra da Substituição, a fórmula da integração por partes torna-se Faculdade On-line UVB 7 Matemática Superior - UVB Exemplo 1: Calcule Solução: Nenhum método de integração desenvolvido até agora nos permite calcular uma integral indefinida desta forma. Portanto, tentaremos escrevê-la em termos de uma integral indefinida mais fácil de ser calculada. Vamos usar a fórmula de integração por partes [ 2 ] fazendo Portanto, O sucesso do método de integração por partes depende da escolha apropriada de u e dv. Por exemplo, se tivéssemos escolhido no exemplo anterior, então Logo, [ 2 ] teria resultado em Como a integral indefinida no lado direito desta equação não é facilmente calculada (ela é de fato mais complicada que a integral original), a escolha de u e de dv feita não nos ajudou a calcular a integral indefinida dada. Faculdade On-line UVB 8 Matemática Superior - UVB Em geral, podemos usar as seguintes diretrizes Diretrizes para a escolha de u e dv Escolha u e dv, tais que 1. du é mais simples que u; 2. dv é mais fácil de integrar Exemplo 2: Calcule Solução: Fazendo O próximo exemplo mostra que a aplicação repetida da técnica de integração por partes é às vezes necessária para calcular uma integral. Faculdade On-line UVB 9 Matemática Superior - UVB Exemplo 3: Calcule Solução: Para completar a solução do problema, é necessário calcular a integral Mas esta integral pode ser obtida usando-se integração por partes. Usando os resultados obtidos neste exercício, encontramos Aplicação A taxa estimada de produção de petróleo de um certo poço t anos após a produção ter começado é dada por milhares de barris por ano. Encontre uma expressão que descreva a produção total de petróleo ao final do ano t. Solução: Seja T(t) a produção total de petróleo do poço ao final do ano Faculdade On-line UVB 10 Matemática Superior - UVB Então, a taxa de produção de petróleo será dada por T’(t) barris de petróleo por ano. Logo, Usando a técnica de integração por partes para calcular esta integral. Sejam Referências Bibliográficas TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Thomson, 2001. MEDEIROS DA SILVA, Sebastião e outros. Matemática para os cursos de Economia, Administração, Ciências Contábeis. vol. 1. 5 Ed. São Paulo: Atlas, 1999 . LEITHOLD, L. O Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Harbra, 1988. STEWART JAMES, Cálculo Vol. I. 4ª Ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. Faculdade On-line UVB 11