Inequações

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INTRODUÇÃO Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade. Uma inequação é a representação de um pensamento matemático identificado pelos seguintes sinais: (maior) ou (menor) ou (menor ou igual) ou (maior ou igual) e ainda (diferente). Assim podemos concluir que resolver uma inequação consiste em encontrar os valores que satisfazem determinada desigualdade. INEQUAÇÃO DO 1° GRAU: As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas: , , , , como e reais ( ). Estas são inequações matemáticas de 1° grau com uma incógnita. De modo geral podemos resolver inequações do 1° grau aplicando as propriedades das desigualdades que veremos abaixo: Considere os números ( é o conjunto dos reais), temos: Propriedades (i) Se a > b e b > c, então a > c. Exemplos: a=3, b=2, c=5 ou c=(-4) e d=1 3 > 2 e 2 > 1, então 3 > 1. (ii) Se a > b e c > 0, então ac > 3 > 2 e c = 5 > 0, então 3·5 > 2·5 bc. ⇔ 15 > 10. (iii) Se a > b e c < 0, então ac < bc. 3 > 2 e c=(-4)< 0, então 3·(-4)<2·(-4)⇔(-12)<(-8). (iv) Se a>b, então a+c>b+c para todo c real. 3 > 2 e c=(-4), então 3+(-4)>2+(-4)⇔(-1)>(-2). (v) Se a > b e c > d, então a+c > b+d. 3 > 2 e 5 > 1, então 3+5 > 2+1 ⇔ 8 > 3. (vi) Se a > b > 0 e c > d > 0, então ac > bd. 3 > 2 > 0 e 5 > 1 > 0, então 3·5 > 2·1 ⇔ 15 > 2. Exemplo: Quais os valores reais possíveis para ? na desigualdade Os valores de para que a desigualdade seja satisfeita estão definidas por { } Multiplicação por um número negativo: Na resolução das inequações podemos multiplicar ambos os membros de uma inequação por um n.º positivo, mantendo o sinal da desigualdade, que obtemos uma inequação equivalente à primeira. Porém se multiplicarmos ambos os membros por um n.º negativo, inverteremos o sinal da desigualdade, para que assim possamos obter uma inequação equivalente à primeira. Isso porque dados tais que da desigualdade por (-1) teremos , se multiplicarmos ambos os lados . Vejamos um exemplo: = 1 e a = 3 temos: 1<3 Quando multiplicarmos ambos os lados por (-1) teremos: -1 > -3 SISTEMAS DE INEQUAÇÃO DO 1° GRAU Os sistemas são conjuntos de inequações cuja solução satisfaz a todas, simultaneamente. Para resolver um sistema de inequações procedemos da seguinte maneira: • Resolvemos individualmente cada inequação; • O conjunto-solução do sistema é o conjunto resultado da intersecção das inequações resolvidas individualmente. Exemplo: Encontrar o conjunto solução do sistema de inequações: Chamaremos de inequação a e de inequação b: Inequação a: Observe que o conjunto solução que satisfaz essa a é definido por { } Inequação b: , observe que multiplicaremos ambos os termos da inequação por um número negativo, sendo assim inverteremos o sinal da desigualdade, assim o resultado será: O conjunto solução que satisfaz b é { }. A solução do sistema é obtida fazendo a intersecção (∩) das soluções individuais, ou seja das soluções da Inequação a e b: Analisando o intersecção dos resultados de cada inequação do intervalo real temosque a solução da desigualdade é S = { } INEQUAÇÃO PRODUTO QUOCIENTE DO 1° GRAU As inequações produto e quociente, são as sentenças matemáticas constituídas por desigualdades com produto ou quociente de funções. Essas inequações em geral, tem sua solução baseada no estudo da variação do sinal de uma função do 1° grau e nas propriedades dos sinais do produto e do quociente dos números reais. Estudo dos sinais: Para resolver uma inequação produto do 1° grau dada por f( ).g( ) podemos estudar o sinal das funções separadamente, isso consiste em determinar os intervalos nos quais a função tem imagem negativa e os intervalos nos quais a função tem imagem positiva. Exemplo: Encontre o conjunto solução da inequação produto do 1° grau Cada termo do produto representa uma função do 1° grau. Assim, iniciamos pelo estudo dos sinais dessas funções que chamamos de f(x) e g(x), respectivamente. Se f( ) = -4 então sua raiz é obtida fazendo -4 = 0 ⇔ = 4. Como o coeficiente angular de f( ) é positivo temos uma função crescente, portanto teremos uma reta cortando o eixo x em 4 onde para todos os valores de > 4 teremos uma imagem positiva, e para < 4 teremos imagem negativa. Podemos representar essas conclusões graficamente da seguinte forma: Se g( ) = +2 então sua raiz é obtida fazendo +2 = 0 ⇔ = -2. Novamente temos uma função com o coeficiente angular positivo, assim uma reta cortará o eixo em -2, e os valores da imagem serão positivos para > -2 e negativos para < -2. Vejamos: A solução da inequação produto é obtida a partir da integração das análises das variações de sinais das funções f( ) e g ( ), representadas acima. Após, aplicamos a regra de sinais do produto dos números reais e analisamos o resultado final encontrado. Podemos concluir que a inequação produto no intervalo no intervalo real: { ou está definida } Podemos avaliar uma inequação quociente de uma maneira análoga, vejamos: Exemplo: Encontre o conjunto solução da inequação quociente do 1° grau A resolução da inequação quociente do 1° grau é similar ao da inequação produto pois no conjunto dos números reais, a divisão ou multiplicação de dois números apresenta a mesma regra de sinais. Assim, cada termo do quociente representa uma função do 1° grau.Iniciamos pelo estudo dos sinais dessas funções que chamamos de f(x) e g(x), respectivamente. Se f(x) = x-1 então sua raiz é obtida fazendo x-1 = 0 ⇔ x = 1. Se g(x) = x+5 então sua raiz é obtida fazendo x+5 = 0 ⇔ x = -5. A solução da inequação quociente é obtida a partir da integração das análises das variações de sinais das funções f(x) e g(x), representadas acima. Após, aplicamos a regra de sinais do quociente dos números reais e analisamos o resultado final encontrado. Assim, a inequação quociente está definida no intervalo real{ } INEQUAÇÃO DO 2° GRAU São inequações do 2° grau ou quadrática, as inequações constituídas pela forma de ax² + bx + c , onde a, b e c são números reais e a 0, acompanhada do sinal de desigualdade, conforme as sentenças apresentadas abaixo. ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c ≥ 0 ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c ≤ 0 ax² + bx + c ≠ 0 com {a, b, c} e a ≠ 0. Assim, é uma inequação do 2° grau, por exemplo, 3 ²+ 2 -5 > 0 onde a = 3, b = 2 e c = -5. A resolução desse tipo de inequação é fundamentada no estudo da variação de sinal da função do 2º grau. Exemplo: Considere a inequação do 2° grau solução. . Encontre o conjunto Devemos encontrar os valores reais para x, que tornam os valores de y positivos da função quadrática, (maior que zero). Para isso, devemos: • Determinar as raízes da função; As raízes encontradas são: ’=2 e ”=1. Representam os pares ordenados (2,0) e (1,0). • Representar graficamente a função a partir dos pontos determinados com o cálculo das raízes e com a análise do coeficiente angular a. • Aplicar os conceitos de estudo do sinal trabalhado nas funções quadráticas. • Analisar os resultados e obter a resposta da inequação. Para o esboço do gráfico necessitamos de uma importante informação que diz respeito à concavidade da parábola. Obtemos a resposta, observando o sinal do coeficiente angular da função, se o valor de a é um número positivo, a parábola tem a concavidade voltada para cima, se o valor de a é um número negativo, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Observe a expressão nos remete um coeficiente angular positivo, portanto teremos a concavidade voltada para cima, cortando o eixo dois pontos, que obtivemos por meio do cálculo das raízes. em A solução da inequação do 2°grau é obtida a partir da analise da parábola. Como buscamos f( )>0, ou seja, os valores de modo que f( )=y seja positivo, na parábola, os valores que representam a exigência são e . Assim a solução da inequação do 2° éS={ ou } SISTEMAS DE INEQUAÇÃO DO 2° GRAU Assim como nas inequações do 1° grau os sistemas representam a integração de duas ou mais sentenças matemáticas. Para resolver um sistema de inequação procedemos da seguinte maneira: • Resolver individualmente cada inequação do 2° grau por meio da resolução da equação quadrática. • Montar um esquema de intersecção das soluções das inequações e analisar o resultado da intersecção das inequações resolvidas individualmente. Exemplo: Resolver o sistema de inequação do 2°grau: será a inequação a e Resolvendo a inequação a obteremos: Vejamos a inequação b: será a inequação b. Como estamos resolvendo é um sistema de inequação, teremos que analisar a intersecção dos conjuntos solução: Analisando a intersecção de ambas as inequações podemos chegar à conclusão que a solução para o sistema de inequações está definido em { }. INEQUAÇÃO PRODUTO QUOCIENTE DO 2° GRAU Tanto a resolução das inequações produto, quanto das inequações quociente do 2° grau, pode ser feita com os estudo dos sinais das funções, separadamente. Exemplo: Identifique os valores de x que satisfazem a inequação produto A resolução se assemelha muito com a resolução da inequação produto do 1° grau apresentada anteriormente. Cada termo da inequação representa uma função, neste caso uma função do 2° grau e uma função do 1° grau. Chamaremos ambas de f(x) e g(x) respectivamente. Se f(x) = , encontraremos sua raix fazendo resolvendo a equação quadrática. e Obtemos '=2 e ''=5, que são os pontos em que a parábola intercepta o eixo . Agora podemos analizar que trata-se de uma função com a concavidade voltada para cima, pois apresenta o coeficiente angular positivo. Vejamos o que isso representa: Se g( ) = ; , encontraremos a raiz resolvendo . Assim Para encontrarmos a solução da inequação produto analisaremos os sinais de f( ) e g( ) utilizando as regras de sinais do produto. Portanto podemos concluir que a solução da inequação produto está definido em { } Podemos encontrar a solução de uma inequação quociente do 2º de maneira análoga. INEQUAÇÃO EXPONENCIAL Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece em pelo menos um expoente. Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: a>1 a x1 >a x2 0x2 a x1 >a x2 x11): nesse primeiro caso se desenharmos o gráfico de uma função cujo valor de a seja maior do que 1 o resultado será uma função crescente, logo a propriedade pode ser observada analisando o comportamento do gráfico. (01): Quando a base é maior que 1, a relação de desigualdade existente entre os logaritmandos é de mesmo sentido que o dos logaritmos. Não nos devemos esquecer que, para existirem os logaritmos em , os logaritmandos deverão ser positivos. Esquematicamente, temos: Se a > 1, então 1 > 2 1 > 2 >O 2° caso: (0< a <1): Quando a base é positiva e menor que 1, a relação de desigualdade existente entre os logaritmandos é de sentido contrário a dos logaritmos. Também, não nos podemos esquecer que os logaritmandos deverão ser positivos para que os logaritmos sejam reais. Esquematicamente, temos: Se O < a < 1, então 1 > 2 O< 1 < 2 Exemplo: Resolver em a inequação: Primeiramento avaliaremos a condição de existência para que seja possível essa resolução: : a: Para dar continuidades colocaremos na forma exponencial: Como a base é maior que 1, basta conservar o sinal da desigualdade e resolver: b: A solução da inequação logarítimica é o cojunto dos números reais que satisfazem as duas proposições a, b. Assim podemos concluir que a solução da inequação está definida por { } INEQUAÇÃO MODULAR O módulo de um número real é um número positivo ou nulo, o que nos leva a interpretar que o módulo de um número real está diretamente associado à noção de distância. Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita. Podemos resolver as inequações modulares analisando os seguintes casos, sendo a>0: 1° Caso: se ou se se e somente se 2° caso: Exemplo: Resolver a inequação modular em : Para resolver a inequação aplicaremos os conceitos do 1° caso, vejamos: ou Obteremos a solução dessa inequação fazendo a reunião das soluções parciais a e b: a: b: Sendo assim a solução para a inequação está no conjunto verdade: { ou } APROFUNDANDO... Um intervalo real é subconjunto da reta contendo elementos que dependem das suas extremidades. Se duas extremidades são finitas, o intervalo é finito, mas se uma elas é ou , o intervalo é finito. Cada intervalo real possui um único pedaço. Definição de intervalo aberto: Sejam a, b R. Um intevalo aberto em R é um conjunto denotado por (a,b) formado por todos os números tal que a < < b. a e b são as extremidades deste intervalo, sendo que poderemos ter a= ou b= . Para escrever o conjunto vazio, podemos usar a forma 'patológica' de um intervalo aberto com (a,a)= { }. Exemplo: (3,10) = { (3, } )= { } Definição de intervalo fechado: Sejam a, b R. Um intervalo fechado em R é um conjunto denotado por [a,b] formado por todos os números x R tal que . a e b são as extremidades deste intervalo, sendo que poderemos ter a = ou b = . Um conjunto unitário vazio pode ser escrito na forma de um intervalo fechado através de [a,a] = {a}. Exemplo: [3,10] = { [3, ]={ } } REFERÊNCIAS: Barreto Filho, Benigno; Xavier da Silva, Claúdio. Matemática aula por aula. São Paulo: FTD 2000. EZZI, Gelson. Fundamento de matemática elementar, Vol 1,2. São Paulo: Atual, 1977. Sodré, Ulysses. Elementos de Análise na Reta. Londrina: Matemática UEL 2009. Ineuquações do 1° grau. Disponível em http://www.eb23-avelarbrotero.rcts.pt/Recursos/Mat-9/Aula_Inequacoes.pdf. Acessado em 03/05/2010. Curso de Conhecimentos Básicos de Matemática. Disponível em: http://www.estv.ipv.pt/PaginasPessoais/cristinapeixoto/CCBM.pdf Acessado em 05/05/2010. Inequação do 2° grau. Disponível em: http://www.ead.unesc.net/ sitecalculo/apostilas/apostila_inequacao_segundo_grau.pdf Acessado em: 07/05/2010.