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Introdução ao Cálculo Variacional
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III – MÉTODOS VARIACIONAIS DE APROXIMAÇÃO III.1 – Conceitos Gerais III.1.1 - Funções Linearmente Independentes Um conjunto de funções {y i (x )} é linearmente independente (LI) se: n
∑a i =1
•
i
⋅ y i (x ) = 0 ⇔ a i = 0, ∀i
Exemplo: Determine se as funções a seguir são LI : a) y1 (x ) = 1 + x
b) y 2 (x ) = 1 + x 2
c) y 3 (x ) = 1 + x + x 2 III.1.2 - Produto Interno O produto interno entre duas funções y (x ) e v (x ) , designado por (y ,v ) , deve satisfazer às condições: -
Simetria: (y ,v ) = (v , y )
-
Homogeneidade: (αy ,v ) = α(y ,v )
-
Adição: (y1 + y 2 ,v ) = (y1 ,v ) + (y 2 ,v )
-
Positiva-definida: (y , y ) > 0 , ∀u ≠ 0
Sua definição mais usual é:
(y ,v ) = ∫ y (x ) ⋅ v (x ) ⋅ dx III.1.3 - Norma de uma função Designada por y , deve satisfazer as seguintes condições: -
Não-negatividade: y ≥ 0 , sendo y = 0 ⇔ u = 0
-
Homogeneidade: αy = α ⋅ y
-
Desigualdade do Triângulo: y + v ≤ y + v
Geralmente definida por:
y =
(y , y )
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Notas de Aula - Prof Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho •
Exemplo: Obter a norma da função y (x ) = x 3 − 3 L2 x + 2 L3 , em 0 ≤ x ≤ L
III.1.4 - Funções Ortogonais Duas funções não-nulas y e v , serão ortogonais se e somente se:
(y ,v ) = 0 •
Exemplo: Verifique se as funções abaixo são ortogonais em 0 ≤ x ≤ 1 : d) y (x ) = x 3 − 3 x + 2 e) v (x ) = (x − 1)2
III.1.5 - Operadores Lineares São operadores aplicados a funções, que retornam novas funções. Um operador L é linear se e somente se:
L(αu + βv ) = αL(u ) + βL(v ) •
Exemplo:
d2 Verifique se o operador diferencial: L = 2 + 1 é linear. dx
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III.2 – Método de Rayleigh-Ritz A idéia do método consiste em, ao se determinar o extremo do funcional
I = I [y (x )] , se considerar no lugar da função supostamente exata y (x ) , uma função aproximada que se possa representar como combinação linear das funções admissíveis:
y (x ) ≅ y~n (x ) =
n
∑ a ⋅ φ (x ) i
i
i =1
onde:
φ i (x ) são funções linearmente independentes denominadas de funções de forma; ai são denominados de parâmetros de deslocamentos, ou coeficientes de Ritz. Aumentando-se o número de termos da função y~ n (x ) , a solução, em geral, é
melhorada, e como condições necessárias (admissíveis) para que se obtenha uma seqüência de soluções convergentes para a solução exata são: 1. y~n (x ) deve ser de classe Cm-1 onde m é a ordem da maior derivada do integrando; 2. cada função de forma φ i (x ) deve satisfazer, individualmente, as condições de contorno geométricas. A sequência de funções deve ainda ser completa: x2
lim n →∞
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n − y a i ⋅ φ i dx < λ ∫x ∑ i =1 1
, λ tão pequeno quanto se deseje.
Logo: y~1 (x ) = a1 φ1 y~2 (x ) = a1 φ1 + a2 φ 2 y~ n (x ) = a1 φ1 + a2 φ 2 + ... + a n φ n ⇒ I [y~1 (x )] ≥ I [y~2 (x )] ≥ ... ≥ I [y~n (x )] ⇒ lim n →∞ I [y~ n (x )] = min I [y (x )] O funcional I se converte então em uma função dos coeficientes ai :
I [y~n (x )] = Φ(a1 , a2 ,..., an )
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Notas de Aula - Prof Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho A condição de estacionariedade exige que:
δI [y~n (x )] = ⇒
n
∂I δai a ∂ i i =1
∑
= 0
∂Φ = 0 , i = 1...n constitui o sistema de equações para a obtenção de y~n (x ) . ∂a i
A precisão da solução depende do número de funções consideradas e da qualidade destas funções. Uma desvantagem do método é que não existe um procedimento automático de escolha daquelas funções. A vantagem do método é que usualmente é mais fácil escolher funções admissíveis que conduzem a bons resultados, do que estacionarizar o funcional e resolver analiticamente as equações diferenciais correspondentes. As funções aproximadoras mais comumente utilizadas são as polinomiais e as trigonométricas.
