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Introdução ao Cálculo Variacional •
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O Funcional da Energia Potencial Total em Vigas Submetidas à Flexão
¾ Energia Potencial Total ( Π ) é o trabalho realizado por todas as forças atuantes quando a estrutura é movida de sua configuração com carga para uma posição sem carregamento. ¾ Forças atuantes na estrutura: Cargas Externas e Esforços Internos. ¾ Energia Potencial dos Esforços Internos: Energia de Deformação (U ) .
∫
U = U 0 dV V
onde U 0 é a energia de deformação específica. ¾ Energia Potencial das Cargas Externas (V ) : é o trabalho realizado pela força atuante, quando movida da posição final de volta para a inicial.
V =−
∫∫∫ B V
i
⋅ u i ⋅ dV −
∫∫ T ⋅ u i
i
⋅ dS
S
onde Bi é força externa aplicada por unidade de volume;
Ti é força externa aplicada por unidade de área; u i é o deslocamento realizado por cada uma das forças. ¾ Energia Potencial Total ( Π ) :
Π = U +V ¾ Flexão de vigas:
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Notas de Aula - Prof Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho
σ x = E ⋅ ε x ; θ ≈ tgθ =
εx
∫
⇒ U0 =
εx
σ x dε x =
0
E ⋅ v ,, 2 2
L
⇒U =
∫ 0
∫
E ⋅ ε x ⋅ dε x =
0
∫∫ A
y dAdx = 2
L
∫
⇒ V = − q ⋅ v ⋅ dx 0
L
⇒Π =
E ⋅ J ,, 2 v − q ⋅ v dx 2
∫ 0
L
∫ 0
dv ; ε x = − y ⋅ v ,, dx
E ⋅ ε 2x E ⋅ y 2 ,, 2 = v dx 2 2
E ⋅ J ,, 2 v dx 2
Introdução ao Cálculo Variacional
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• Variação do Funcional de Energia Potencial da Flexão de Vigas L
0
⇒ δ (1) Π =
L
∫ 0
E ⋅ J ,, 2 v − q ⋅ v dx 2
∫
Π =
( )
∂ E ⋅ J ∂ ,, 2 (q ⋅ v ) ⋅ δv dx ⋅ δv ,, − 2 ⋅ ,, v ∂v ∂v
L
E ⋅ J ⇒ δ (1) Π = ∫ ⋅ 2 ⋅ v ,, ⋅ δv ,, − q ⋅ δv dx 2 0 (1)
L
[
]
⇒ δ Π = ∫ E ⋅ J ⋅ v ,, ⋅ δv ,, − q ⋅ δv ⋅ dx 0
Integrando por partes: L
[
]
L
L
0
0
⇒ δ (1) Π = ∫ EJ ⋅ v ,, ⋅ δv ,, − q ⋅ δv ⋅ dx = ∫ EJ ⋅ v ,, ⋅ δv ,, dx − ∫ q ⋅ δv ⋅ dx = 0
, L
,,
= EJ ⋅ v ⋅ δv
o
,,
= EJ ⋅ v ⋅ δv
, L o
L
L
∫
− EJ ⋅ v
,,,
∫
,
⋅ δv ⋅ dx − q ⋅ δv ⋅ dx =
0
0
− EJ ⋅ v
, L
,,,
⋅ δv
L
L o
L
∫
+ EJ ⋅ v
L
iv
∫
⋅ δv ⋅ dx − q ⋅ δv ⋅ dx =
0
L
[
0
]
= EJ ⋅ v ⋅ δv − EJ ⋅ v ⋅ δv + ∫ EJ ⋅ v iv − q ⋅ δv ⋅ dx = 0 o 144444 2444443o 0 ,,
, ,,
cond contorno
(a condição de estacionariedade do funcional leva a δΠ = 0 ) Condições de contorno naturais: EJ ⋅ v ,, = −M
(momento fletor)
EJ ⋅ v ,,, = −Q
(força cortante)
Condições de contorno cinemáticas (geométricas): δv = 0
(deslocamento vertical nulo no apoio)
δv , = 0
(rotação nula no apoio)
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Notas de Aula - Prof Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho Para a viga bi-apoiada: EJ ⋅ v ,, δv
L o
L 0
=0
(momento fletor nulo nos apoios)
=0
(deslocamentos nulos nos apoios)
L
⇒
∫ [EJ ⋅ v
iv
]
− q ⋅ δv ⋅ dx = 0
0
A equação acima tem de ser válida quaisquer que sejam os valores de δv : ⇒ EJ ⋅ v iv − q = 0
que é a equação de equilíbrio da viga. x2
Logo, para funcionais do tipo: I =
∫ F (x, y , y' , y' ' ,..., y )⋅ dx n
x1
a equação de Euler-Lagrange é da forma: ∂F d ∂F d 2 + − ∂y dx ∂y' dx 2
∂F dn + ... + (− 1)n dx n ∂y' '
∂F ∂y n
=0
A solução da equação diferencial é da forma: v (x ) =
q x 4 + C1 x 3 + C 2 x 2 C 3 x + C 4 24 EJ
Sendo as condições de contorno geométricas: v (0 ) = v (L ) = 0 E as condições de contorno naturais: M (x = 0 ) = M (x = L ) = 0 ⇒ v ,, (0 ) = v ,, (L ) = 0 Obtém-se: q v (x ) = 24 EJ
3 x 4 x x − 2 + L L L
Princípio da Energia Potencial Total Estacionária: “Dentre
todos
os
campos
de
deslocamentos
cinematicamente
compatíveis
(admissíveis) num corpo solicitado por forças externas estaticamente compatíveis, aquele que satisfaz ao equilíbrio, extremiza Π .”
