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VE CÁLCULO I – 08/ABRIL/2008 QUESTÃO 1 (1,5 ponto) Provar, por indução, que a igualdade abaixo é válida para qualquer n inteiro positivo. 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + = 1 − + − ... + − n +1 n + 2 2n 2 3 2n −1 2n
QUESTÃO 2 (5 pontos) 1 p + 2 p + ... + n p n →∞ n p +1
Letra a) Calcule o limite L = lim n
Letra b) Mostre que
∑(k
2
+1)k!= k ( k +1)!
k =1
Letra c) Calcule os limites abaixo. (i) limπ ( senx) x→
1 cos x
(ii) lim x →0
2
arctgx x
(iii)
1
lim(1 + arctgx) x x →0
QUESTÃO 3 (1,5 ponto) Seja uma função 1
f
contínua. Determinar todas as
f
tal que f : [ 0,1] → ℜ e
1
∫ f ( x)[ x − f ( x)]dx = 12 . 0
QUESTÃO 4 (1 ponto) São dadas as equações de duas curvas polares. c1 : r = 3senθ e c 2 : r = 2 2 − senθ Determinar as áreas das regiões interior e exterior às curvas e esboçar o gráfico delas.
QUESTÃO 5 (1 ponto) Uma função f é estritamente crescente e contínua, com f (0) = 0 . Mostrar que
a
∫ 0
b
f ( x ) dx + ∫ f 0
e que a igualdade ocorre quando b = f (a ) .
−1
( x ) dx ≥ ab
