Guia De Fisica I

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1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) GUIA DE ESTUDO 2 ¶dulo 2: As Leis do Movimento Mo ~ 1. INTRODUC » AO Neste m¶odulo, estudaremos os princ¶³pios da din^amica | a descri»c~ao do movimento de um corpo a partir de suas intera»c~oes. Esta discuss~ao tem por base as Leis de Newton. Discutiremos estas leis, os conceitos de for»ca, massa, referenciais inerciais, e faremos aplica»c~oes. Leituras indispens¶aveis Os t¶opicos citados acima correspondem aos cap¶³tulos 4 (se»c~oes 4.1 a 4.5) e 5 (se»c~oes 5.1 a 5.3), e as se»c~oes 13.1 e 13.2 do cap¶³tulo 13 do livro texto, de H. M. Nussenzveig. 2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA Atividade 1 Discuss~ao { da lei da in¶ercia e o conceito de referenciais inerciais (se»c~oes 4.1 e 4.2); { do conceito de for»ca e massa, e a segunda lei de Newton (se»c~oes 4.3 e 4.4); { da terceira lei de Newton (se»c~ao 4.5); { das intera»c~oes fundamentais (se»c~ao 5.1); { e dos exemplos 1 a 6 da se»c~ao 4.5 do livro texto (p¶ag. 78 a 80). Atividade 2 Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 1, 2 e 3 da lista 6, sobre Din^amica. Atividades extras 1 1. Leia todo o cap¶³tulo 4 do livro. 2. Resolva os exerc¶³cios 4, 5, 10 e 11 da Lista 6. F¶³s1 { 04/1 { G.2 | p. 2 3. Resolva os problemas 4.1, 4.2, 4.4 e 4.6 do livro texto. Atividade 3 Discuss~ao sobre as intera»c~oes fundamentais e as for»cas de contato (se»c~oes 5.1 a 5.3 do livro texto) e os exemplos 1 a 3 da se»c~ao 5.3. Atividade 4 Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 8 e 14 da Lista 6. Atividades extras 2 1. 2. 3. 4. Leia todo o cap¶³tulo 5. Releia o cap¶³tulo 4. Resolva todos os exerc¶³cios j¶a feitos novamente. Resolva os exerc¶³cios 16 a 21 da Lista 6. Atividade 5 Discuss~ao da cinem¶atica da rota»c~ao (se»c~oes 3.7 e 3.8 do livro texto) e o exemplo 4 da se»c~ao 5.3 do livro texto. Atividade 6 Resolu»c~ao de problemas das Listas 5 (Vetores Novamente), 6 (Din^amica), 7 (Movimento Relativo) e 8 (Referenciais N~ao Inerciais). Atividades extras 3 1. 2. 3. 4. Leia as se»c~oes 3.7 e 3.8 do livro texto. Releia o cap¶³tulo 5. Resolva os exerc¶³cios 18 a 24 do cap¶³tulo 3 do livro texto. Resolver problemas que ¯caram para tr¶as no Guia de Estudo 1, das listas 1, 2 e 3. Atividade 7 Resolu»c~ao dos problemas 20 e 25 da Lista 6. F¶³s1 { 04/1 { G.2 | p. 3 Atividade 8 Discuss~ao dos conceitos de velocidade relativa (se»c~ao 3.9), mudan»ca de sistema de refer^encia, referenciais inerciais e n~ao inerciais (se»c~oes 13.1, 13.2 e 13.3 do livro texto), exempli¯cando com exerc¶³cios das Listas 8 e 9. ¶ 3. ATIVIDADES FINAIS DO MODULO 2 1. Releia os cap¶³tulos 4 e 5 do livro texto. 2. Termine a lista de exerc¶³cios de 6, sobre Din^amica. 3. Fa»ca os exerc¶³cios do Cap¶³tulo 4 e 5 do livro texto. 4. Releia os cap¶³tulos 2 e 3, fazendo todos os exerc¶³cios que faltavam (inclusive os de movimento circular e de movimento relativo). 5. Leia as se»c~oes 13.1, 13.2 e 13.3 do livro texto. 6. Resolva os problemas 1, 3 e 4 do cap¶³tulo 13 do livro texto. 7. Resolva todos os exerc¶³cios das Listas 5 (Vetores Novamente), 6 (Din^amica), 7 Cinem¶atica do Movimento Circular), 8 (Movimento Relativo) e 9 (Referenciais N~ao Inerciais). F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 4 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 5 Vetores Novamente 1. Represente em termos dos unit¶arios ^³, ^´ das dire»c~oes x; y os vetores representados na ¯gura. r c 2 y r a 1 −3 −2 −1 1 −1 −2 2 3 x r b 2. Considere os vetores: ~a = 3^³ + 2^´ ~b = ¡^³ + 2^´ c~ = 2^³ ¡ ^´ d~ = ¡2^³ ¡ 3^´ (a) Represente cada um destes vetores num plano (x; y). (b) Represente neste plano os vetores ~a + ~b e ¡ 2 ~c. (c) Escreva as componentes ao longo do eixo x dos vetores (i) ~a (ii) ~b (iii) d~ (iv) ~a + ~b (v) 3 ~c (vi) ~a ¡ 2 ~b (vii) ~c + d~ F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 5 3. O produto escalar de dois vetores ¶e uma opera»c~ao que associa a dois vetores ~a e ~b um n¶ umero real de valor igual a a b cos µ , onde µ ¶e o ~ ^angulo entre ~a e b , medido de ~a para ~b . Usa-se a nota»c~ao ² para representar o produto escalar. Da ¯gura e da de¯ni»c~ao, observa-se que ~a ² ~b = a b cos µ = a ba ; onde ~ba ¶e a proje»c~ao de ~b sobre a dire»c~ao de¯nida por ~a . r b θ r ba r a Demonstre que (a) ~a ² ~a = a2 . (b) Se a 6= 0, b 6= 0, ent~ao ~a ² ~b = 0 , ~a?~b. (c) ^i ² ^´ = 0 ; ^³ ² ^³ = 1 ; ^´ ² ^´ = 1 . (d) ax = ~a ² ^³ (e) ~a ² ~b = ~b ² ~a ³ ´ (f) ~a ² ~b + ~c = ~a ² ~b + ~a ² ~c. (g) Se ~a = ax ^³ + ay ^´ + az k^ e ~b = bx ^³ + by ^´ + bz ^k , ent~ao ~a ² ~b = ax bx + a y by + a z bz 4. Para ~a = ^³ ¡ 2^´ , ~b = 2^³ + 3^´ e ~c = ¡^³ + ^´ calcule (a) ~a + ~b (b) ¡ 3~c (c) 2~a ¡ ~b ³ ´ (d) ~a ² ~b + ~c (e) ~b ² (~a ¡ 2 ~c) F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 6 5. Um bloco de massa m est¶a apoiado e em repouso sobre um plano inclinado de um ^angulo ® em rela»c~ao µa horizontal. y x (a) Isole o bloco e indique todas as for»cas que atuam sobre ele. (b) Com os eixos da ¯gura, calcule a componente x e a componente y de cada uma das for»cas atuando sobre o corpo. (c) Calcule o m¶odulo de cada uma das for»cas e o ^angulo entre cada uma delas e o eixo x. 6. Sobre um corpo de massa m = 1 kg atuam as for»cas constantes, expressas em unidades do Sistema Internacional por meio do uso de um sistema de coordenadas cartesianos como F~1 = ^³ + 2^´ ¡ 3 ^k F~2 = ^´ ¡ k^ F~3 = ¡ ^i + ^´ O observador que descreve este sistema ¶e um observador inercial. (a) Calcule a for»ca resultante sobre este corpo. (b) Obtenha o valor da intensidade de cada uma destas for»cas e da for»ca resultante. (c) Calcule o ^angulo que a for»ca F~1 faz com o eixo x. ~2 e F ~3. (d) Calcule o ^angulo entre as dire»c~oes das for»cas F (e) Obtenha o ^angulo que a for»ca resultante faz com o eixo z. (f) Obtenha o vetor unit¶ario da dire»c~ao de¯nida pela for»ca F~1 . (g) Qual o vetor acelera»c~ao deste corpo? (h) Se num instante inicial a velocidade do corpo vale ~v± = 12^´¡16 ^k, e sua posi»c~ao em rela»c~ao a um ponto ¯xo para o observador vale vecr± = 0, qual a trajet¶oria que o corpo descreve? F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 7 7. Considere o vetor posi»c~ao de uma part¶³cula de massa m = 0; 5 kg medido por um observador ¯xo a um sistema inercial: ~r(t) = 5 t2 ^³ + (10 t ¡ 4) ^´ + 6 exp (¡2 t) ^k. (a) Obtenha o valor do vetor posi»c~ao desta part¶³cula nos instantes de tempo correspondentes a t = 0 s, t = 2 s, e t = 4 s. (b) Obtenha a express~ao que descreve a velocidade desta part¶³cula como fun»c~ao do tempo, ~v(t). (c) Obtenha a express~ao que descreve a acelera»c~ao desta part¶³cula como fun»c~ao do tempo. (d) Calcule os valores da velocidade e da acelera»c~ao da part¶³cula nos instantes t = 1 s e t = 4 s. (e) Calcule a for»ca resultante sobre a part¶³cula no instante t = 4 s. F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 8 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 6 Din^ amica de uma Part¶³cula 1. Quais as for»cas que atuam sobre a ma»c~a da ¯gura? Onde est~ao as rea»c~oes a essas for»cas? Considere as mesmas perguntas com a ma»c~a caindo. Despreze a resist^encia do ar. 2. Ao caminhar, a for»ca de atrito ¶e que aparentemente produz o movimento. Qual o sentido desta for»ca? Explique. 3. Um homem de peso PH, de p¶e sobre uma superf¶³cie, empurra um arm¶ario de peso PA. Considerando a exist^encia de atrito entre a superf¶³cie do sapato do homem e o ch~ao, bem como entre o arm¶ario e o ch~ao, esquematize claramente as for»cas aplicadas no arm¶ario, no homem e no ch~ao. Especi¯que a origem de cada uma dessas for»cas. 4. Uma part¶³cula tem um peso de 22 N num ponto onde g = 9; 8 m=s2 . (a) Quais s~ao o peso e a massa da part¶³cula, se ela for para um ponto no espa»co onde g = 4; 9 m/s2 ? (b) Quais s~ao o peso e a massa da part¶³cula, se ela for deslocada para um ponto do espa»co onde a acelera»c~ao de queda livre seja nula? 5. Suponha que no futuro a \ Companhia de Pesquisas Lunares" monte laborat¶orios na Lua e na Terra, mantendo um servi»co de foguetes entre eles. Nos dois laborat¶orios s~ao usados quilograma-padr~ao. Um bloco de masa 10 kg ¶e usado como \carrinho" para experi^encias em uma mesa sem atrito, sendo acelerado na Terra e na Lua. (a) Quando o bloco est¶a na Lua, sua massa ¶e igual µa massa lida na Terra? Os experimentadores possuem uma balan»ca de mola A, calibrada em Newtons. Eles a usam para puxar o bloco por uma mesa lisa com uma for»ca de 4 N. (b) No laborat¶orio da Terra, com uma for»ca de 4 N, qual ser¶a a acelera»c~ao do bloco? Explique. (c) No laborat¶orio da Lua, com a mesma for»ca de 4 N, qual ser¶a a acelera»c~ao do bloco? Explique. F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 9 Os experimentadores possuem tamb¶em uma balan»ca de mola B, n~ao graduada. No laborat¶orio da Terra, eles a calibram em \quilogramaspeso", suspendendo em sua extremidade quilogramas-padr~ao. Outra balan»ca n~ao graduada C est¶a dispon¶³vel. Ela ¶e calibrada no Laborat¶orio da Lua, da mesma forma que B foi na Terra, e sua unidade ¶e \quilograma-peso". (d) No laborat¶orio da Terra, puxa-se o mesmo bloco com a balan»ca de mola B (calibrada em quilogramas no Laborat¶orio da Terra). Se a leitura da balan»ca for 2,0, qual ¶e a acelera»c~ao do bloco? (e) No laborat¶orio da Lua, o mesmo bloco ¶e puxado com a mesma balan»ca B (calibrada na Terra e enviada de foguete para Lua). Se a leitura for 2,0, a acelera»c~ao do bloco ser¶a maior, menor ou igual µa encontrada no item anterior? Explique. (f) No laborat¶orio da Lua, o mesmo bloco ¶e puxado, agora com o aux¶³lio da balan»ca C (calibrada na Lua). Se a leitura for 2,0, a acelera»c~ao do bloco ser¶a maior, menor ou igual µa encontrada no item (e)? 6. Dois blocos, de massas M e m, est~ao em contato apoiados sobre uma mesa horizontal lisa. Uma for»ca F~ de m¶odulo F e que faz um ^angulo µ com a horizontal ¶e aplicada sobre o bloco M , como mostrado na ¯gura. Calcule o valor da for»ca de contato entre os dois blocos em fun»c~ao dos dados do problema e da acelera»c~ao da gravidade g. Calcule tamb¶em os valores da normais de contato entre os blocos e a superf¶³cie. Ex. 6 r F r F θ M m1 Ex. 7 m2 m 7. Dois blocos est~ao em contato sobre uma mesa sem atrito. Uma for»ca horizontal ¶e aplicada a um dos blocos, como mostrado na ¯gura. (a) Se m1 = 2; 3 kg, m2 = 1; 2 kg e F = 3; 2 N, determine a for»ca de contato entre os dois blocos. (b) Mostre que, se a mesma for»ca F for aplicada a m2, ao inv¶es de m1, a for»ca de contato entre os dois blocos vale 2,1 N, que n~ao ¶e o mesmo valor obtido no item (a). Explique a diferen»ca. 8. Tr^es blocos s~ao ligados, como mostrado na ¯gura abaixo, por ¯os de massa desprez¶³vel. Os blocos est~ao apoiados sobre uma mesa horizontal F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 10 lisa, e s~ao puxados para a direita por uma for»ca horizontal de m¶odulo T 3 = 65; 0 N. Se m1 = 12; 0 kg, m2 =24,0 kg e m3 =31,0 kg, calcule (a) a acelera»c~ao do sistema e (b) as tens~oes T1 e T2 da ¯gura. Ex. 8 T2 T1 m1 m2 m3 r T3 9. Um arquivo, com peso de 556 N, est¶a parado sobre o ch~ao. O coe¯ciente de atrito est¶atico entre ele e o ch~ao ¶e 0,68 e o de atrito cin¶etico ¶e 0,56. Em quatro diferentes tentativas para mov^e-lo, foi empurrado com for»cas horizontais de (a) 222N, (b) 334 N, (c) 445 N, (d) 556 N. Determine, para cada tentativa, se o arquivo se move, e calcule o m¶odulo da for»ca de atrito sobre ele. O arquivo est¶a sempre parado antes de cada tentativa. 10. Um bloco de massa 2 kg est¶a apoiado sobre uma mesa plana e lisa. Voc^e o empurra com o dedo, exercendo uma for»ca horizontal de m¶odulo 5,0 N. Qual a acelera»c~ao provocada no bloco? Qual o valor da for»ca normal de contato entre o bloco e a superf¶³cie da mesa? Ex. 11 Ex. 10 θ 11. O bloco do problema anterior, de massa 2 kg, continua apoiado sobre a mesa plana e lisa. Voc^e passa a empurr¶a-lo com uma for»ca de mesmo m¶odulo 5,0 N, mas agora fazendo um ^angulo µ = 30± com a horizontal. Qual a acelera»c~ao do bloco? E qual o valor da for»ca normal de contato entre o bloco e a superf¶³cie? 12. Um bloco (o mesmo dos problemas anteriores), de massa 2 kg, ¶e apoiado sobre uma mesa plana mas n~ao lisa. O coe¯ciente de atrito est¶atico entre o bloco e a superf¶³cie vale 0,25 e o coe¯ciente de atrito cin¶etico vale 0,20. F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 11 (a) Voc^e o empurra com o dedo, exercendo uma for»ca horizontal de m¶odulo 4,0 N. Qual a acelera»c~ao provocada no bloco? Qual o valor da for»ca normal de contato entre o bloco e a superf¶³cie da mesa? (b) Voc^e agora aumenta o empurr~ao, passando a exercer uma for»ca horizontal de m¶odulo 8,0 N. Qual a acelera»c~ao provocada no bloco? Qual o valor da for»ca normal de contato entre o bloco e a superf¶³cie? (c) Voc^e passa a empurrar o bloco com uma for»ca de m¶odulo 8,0 N que faz um ^angulo µ = 30± com a horizontal. Qual a acelera»c~ao do bloco, agora? E qual o valor da for»ca normal de contato entre o bloco e a superf¶³cie? 13. Um preso num c¶arcere decide escapar deslizando por uma corda fornecida por um c¶umplice. Tem como companheiro de cela um macaco, de massa 40 kg. Para isso, ¯xa um extremo da corda a um gancho situado na parede externa da janela de sua cela. O outro extremo pende um pouco acima do solo. A corda tem uma massa de 10 kg, e o preso de 60 kg. O gancho pode suportar uma tra»c~ao de 400 N sem quebrar. A janela est¶a a 15 m do n¶³vel do solo. Para n~ao se arriscar, o preso resolve veri¯car a possibilidade de escapar enviando na frente seu macaco. Ao descer, o macaco parte do extremo superior com velocidade inicial nula. Qual a velocidade m¶³nima com que o macaco e o preso dever~ao atingir o solo de modo a n~ao quebrar o gancho? 14. Um bloco de massa m ¶e colocado sobre outro bloco de massa M , e o conjunto ¶e apoiado sobre uma mesa horizontal. Sobre o bloco inferior, ~ de m¶odulo F . Observa-se que os dois aplica-se uma for»ca horizontal F blocos movem-se juntos, o de cima n~ao deslizando sobre o de baixo. Os coe¯cientes de atrito est¶atico e cin¶etico entre os blocos valem respectivamente ¹ E e ¹C , e o atrito entre o bloco e a superf¶³cie de apoio ¶e desprez¶³vel. Qual o valor m¶aximo F MAX que a for»ca F pode ter para que o bloco m n~ao se mova em rela»c~ao ao bloco M? Qual o valor, quando F = FMAX , da for»ca de contato entre os dois blocos? m M F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 12 15. Um bloco de 4,0 kg ¶e colocado em cima de um outro de 5,0 kg. Para fazer o bloco de cima deslizar sobre o de baixo, que ¶e mantido ¯xo, uma for»ca horizontal de pelo menos 12 N deve ser aplicada ao de cima. O conjunto de blocos ¶e agora colocado sobre uma mesa horizontal sem atrito (veja a ¯gura). Determine (a) a for»ca horizontal F m¶axima aplicada ao bloco inferior para que ainda se movimentem juntos e (b) a acelera»c~ao resultante dos blocos. 4,0 kg 5,0 kg 16. Dois blocos A e B de massas mA e mB (com mA > mB ) est~ao ligados por um ¯o, como mostra a ¯gura. A polia e o ¯o t^em massas desprez¶³veis, e n~ao h¶a atrito entre A e a superf¶³cie horizontal. (a) Calcule a acelera»c~ao do sistema e a for»ca F exercida pelo ¯o em A. (b) Mantendo-se o mesmo valor de mA para A, que valor m0B deveria ter a massa de B para que a for»ca F 0 atuando sobre A seja o dobro da for»ca F calculada no item (a)? (c) Comente o resultado do item (b) Ex. 16 A para os casos em que mA = mB e mA < mB . B 17. Um bloco de massa m1 = 3,70 kg est¶a sobre um plano liso com inclina»c~ao de 30± , preso por uma corda que passa por uma polia, de massa e atrito desprez¶³veis. Na outra extremidade da corda est¶a colocado um segundo bloco de massa m2 = 2,30 kg, que ¯ca pendurado verticalmente (veja ¯gura). Quais s~ao Ex. 10 (a) os m¶odulos das acelera»c~oes de cada bloco e (b) o sentido da acelera»c~ao de m2? m1 m2 (c) Qual a tens~ao na corda? 18. Dois blocos s~ao ligados atrav¶es de uma polia, como mostrado na ¯gura. A massa do bloco A ¶e de 10 kg e o coe¯ciente de atrito cin¶etico ¶e 0,20. F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 13 O bloco A desliza para baixo sobre o plano com velocidade constante. Qual a massa de B? m1 m2 19. A ¯gura mostra dois blocos em contato (m = 16 kg e M = 88 kg) que n~ao est~ao presos um ao outro. O coe¯ciente de atrito est¶atico entre eles ¶e ¹ E = 0,38, mas na superf¶³cie embaixo de M n~ao h¶a atrito. Qual a for»ca horizontal m¶³nima F necess¶aria para manter m em contato com M? Ex. 19 Ex. 20 r F sem atrito ~ , de m¶odulo 50 N, empurra um bloco de peso 20. Uma for»ca horizontal F 20 N contra uma parede vertical. O coe¯ciente de atrito est¶atico entre a parede e bloco ¶e 0,40 e o de atrito cin¶etico ¶e 0,30. Suponha que inicialmente o bloco esteja em repouso. (a) O bloco come»car¶a a se mover? (b) Qual a for»ca exercida pela parede sobre o bloco? 21. Uma part¶³cula de massa m = 2 kg oscila sobre o eixo x de acordo com a equa»c~ao x = 0; 2 sen (5t ¡ ¼=6), onde x ¶e dado em metros e t em segundos. Qual a for»ca que age sobre a part¶³cula em t = 0 s? Qual o valor m¶aximo dessa for»ca? 22. Um corpo de massa 1 kg cai de uma altura de 5 m sobre um monte de areia, e afunda 5 cm at¶e parar. Se supusermos que a for»ca de resist^encia que atua no corpo quando ele penetra na areia ¶e constante, quanto ela vale? 23. Um corpo de massa 0,5 kg, e com dimens~oes desprez¶³veis est¶a caindo verticalmente em dire»c~ao µa superf¶³cie da Terra. Quando est¶a a 10 m de F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 14 altura, com velocidade de 10 m/s, sofre a a»c~ao de um forte tuf~ao que lhe imprime uma for»ca de componente horizontal dada por 3t (em Newtons, com t em segundos) e de componente vertical 10 N dirigida para cima. Quais a velocidade e a posi»c~ao da part¶³cula em cada instante? Qual a equa»c~ao da trajet¶oria descrita pela part¶³cula? Esboce a curva desta trajet¶oria. 24. Um homem de 80 kg pula para um p¶atio, da beirada de uma janela que est¶a a apenas 0,50 m acima do solo. Ele esqueceu de dobrar os joelhos, quando aterrisou, e o seu movimento cessou numa dist^ancia de 2,0 cm. (a) Qual a acelera»c~ao m¶edia do homem, entre o primeiro instante em que seus p¶es tocaram o ch~ao, ao instante em que ¯cou completamente parado? (b) Qual a for»ca que o impacto transmitiu µa sua estrutura ¶ossea? 25. Um disco de massa M que est¶a ligado por um ¯o leve a outra massa m pode deslizar sobre a mesa com atrito desprez¶³vel, como mostrado na ¯gura. Qual deve ser o valor da massa m para que o disco descreva um movimento circular uniforme de raio r e velocidade angular !? r m M 26. Um motociclista habilidoso dirige ao longo de uma circunfer^encia horizontal em torno das paredes verticais de um po»co cil¶³indrico de raio R. (a) Com que velocidade m¶³nima ele deve andar se o coe¯ciente de atrito est¶atico entre os pneus e a parede ¶e ¹E ? (b) Calcule esta velocidade para R = 5 m e ¹ E =0,9. 27. Uma curva circular de auto-estrada ¶e projetada para velocidades de 60 km/h. (a) Se o raio da curva ¶e 150 m, qual deve ser o ^angulo de inclina»c~ao da rodovia? (b) Se a curva n~ao fosse inclinada, qual deveria ser o coe¯ciente de atrito m¶³nimo entre os pneus e a estrada para permitir o tr¶afego a essa velocidade sem derrapagem? F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 15 28. Uma crian»ca coloca uma cesta de piquenique na parte externa de um carrossel que tem 4,6 m de raio e faz uma volta a cada 30 s. (a) Qual a velocidade de um ponto sobre a borda do carrossel? (b) Qual deve ser o coe¯ciente de atrito est¶atico entre a cesta e o carrossel, para que a cesta n~ao deslize sobre este? 29. Um p^endulo c^onico ¶e formado por massa de 50 g presa por um cord~ao de 1,2 m. A massa gira formando um c¶³rculo horizontal de 25 cm de raio. (a) Qual ¶e a sua velocidade? (b) Qual a sua acelera»c~ao? (c) Qual a tens~ao no cord~ao? 30. Um estudante de 68 kg, numa roda-gigante com velocidade constante, tem um peso aparente de 56 kg no ponto mais alto. Qual o seu peso aparente no ponto mais baixo? F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex7 | p. 16 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 7 ¶tica do Movimento Circular Cinema 1. Um prato girat¶orio gira uniformemente, descrevendo 33,25 rota»c~oes por minuto. Qual a velocidade angular de rota»c~ao deste disco? 2. Um objeto gira em torno de um ponto O, completando uma volta a cada 2 segundos. Calcule o m¶odulo da velocidade do objeto se ele estiver a uma dist^ancia (a) 0 m ; (b) 10 cm; (c) 20 cm do ponto O. 3. Um motor gira, e no instante de tempo t = 1 s a velocidade em um ponto que dista 10 cm de seu eixo de rota»c~ao vale 0; 1 ¼ m/s. Em t = 2 s, sua velocidade ¶e o dobro da velocidade em t = 1 s. (a) Qual a acelera»c~ao angular m¶edia deste corpo? (b) Supondo que a velocidade angular est¶a aumentando uniformemente, quanto tempo ser¶a necess¶ario para que ela passe a valer ! = 3 ¼ rad/s? 4. Um objeto de massa m = 0; 5 kg gira a uma dist^ancia ` = 10 cm em torno de um ponto O com per¶³odo de rota»c~ao ¯xo e igual a 4 s. Qual a for»ca resultante agindo sobre este objeto? 5. O objeto do exerc¶³cio anterior num certo instante passa a descrever um movimento circular uniformemente acelerado, com o mesmo raio. A acelera»c~ao angular vale 0; 1 ¼ rad/s2. Qual a for»ca resultante agindo sobre o objeto? 6. Na lista de exerc¶³cios 2, sobre Vetores, voc^e demonstrou no exerc¶³cio 9 uma rela»c~ao entre os vetores unit¶arios na representa»c~ao polar e os vetores unit¶arios na representa»c~ao cartesiana, r^ = cos µ^³ + sen µ ^´ µ^ = ¡ sen µ ^³ + cos µ^´ F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex7 | p. 17 Observando que a dire»c~ao destes dois vetores varia com o tempo, calcule d ^r d µ^ e dt dt A partir destas express~oes, e usando que o movimento ¶e circular (r ¶e constante) ~r = r ^r demonstre que ~v = ! r µ^ ~a = ¡ !2 r r^ + ® r µ^ onde ! = dµ=dt e ® = d!=dt. F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex8 | p. 18 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 8 Movimento Relativo 1. Um piloto de ultraleve est¶a voando, e quer ir de um ponto A a um ponto B distantes entre eles de 2 km. O vento est¶a soprando a seu favor, na dire»c~ao A-B. A velocidade do vento em rela»c~ao ao ch~ao ¶e de 20 km/h, e o piloto consegue imprimir ao seu aparelho uma velocidade de 40 km/h em rela»c~ao ao ar. Qual a velocidade que um observador no ch~ao mede para o ultraleve? Quanto tempo ele leva para ir de A at¶e B? Se as condi»c~oes do vento continuarem iguais, e ele resolver voltar de B para A, quanto tempo ele vai levar? E qual a sua velocidade, observada do ch~ao, na volta? 2. A dist^ancia entre dois pontos A e B ¶e L. Um avi~ao voa de A at¶e B e volta, com velocidade de m¶odulo v constante em rela»c~ao ao ar. Calcule o tempo total que gastar¶a para realizar o percurso, se o vento sopra com uma velocidade de m¶odulo u: (a) ao longo da linha que une A a B, indo de A para B; (b) na dire»c~ao perpendicular µa linha que une A e B. Demonstre que a dura»c~ao da viagem sempre ¶e maior quando h¶a vento. 3. Um trecho de rio tem largura constante d, e a ¶agua move-se com velocidade de m¶odulo u em rela»c~ao µas margens. Um barco parte de um ponto A em uma das margens, para alcan»car um ponto B na outra, desenvolvendo uma velocidade de m¶odulo v em rela»c~ao µa ¶agua. Qual a orienta»c~ao que ele deve tomar, e que tempo levar¶a para atravessar o rio, se (a) o ponto B ¯ca diretamente oposto a A? (b) o ponto B ¶e tal que o tempo de travessia ¶e o menor poss¶³vel? F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex8 | p. 19 4. Um navio a vapor navega em dire»c~ao ao Sul a 25 km/h em uma regi~ao onde o vento sopra de Sudeste a 18 km/h. Qual o ^angulo que a fuma»ca saindo da chamin¶e forma com a dire»c~ao Norte? 5. Um navio est¶a navegando paralelamente a uma linha costeira reta com velocidade de m¶odulo v. No instante que ele passa por um porto, um barco da guarda-costeira sai para intercept¶a-lo com uma velocidade de m¶odulo u (u > v). Que dire»c~ao o barco da guarda costeira deve seguir para alcan»car o navio no menor tempo poss¶³vel? 6. Um b^ebado sobe um rio num barco a remo, com velocidade constante. Ao passar sob uma ponte, deixa cair uma garrafa de cacha»ca quase vazia. Ele somente nota o fato ap¶os ter remado meio hora. Nesse instante ele retorna, remando com a mesma intensidade at¶e encontrar a garrafa, que se encontrava a um quil^ometro da ponte, rio abaixo. Ache a velocidade do rio. (Sugest~ao: utilize um sistema de refer^encia parado em rela»c~ao µa ¶agua.) 7. Duas part¶³culas, 1 e 2, deslocam-se ao longo dos eixos x e y com velocidades constantes ~v1 = 2^³ cm/s e ~v2 = 3^´ cm/s. No instante t = 0 elas est~ao nas posi»c~oes dadas por x1 = ¡3 cm, y1 = 0, x2 = 0, e y2 = ¡3 cm. Obtenha o vetor ~r2 ¡ ~r1 que representa a posi»c~ao da part¶³cula 2 com respeito µa part¶³cula 1, como fun»c~ao do tempo. Determine em que instante de tempo elas estar~ao com a menor separa»c~ao poss¶³vel, e qual ¶e esta dist^ancia de m¶axima aproxima»c~ao. F¶³s1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 20 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 9 ~o Inerciais Referenciais Na 1. Um homem entra numa farm¶acia e pesa-se em uma balan»ca calibrada em Newtons, que indica um peso de 700 N. Ele entra num elevador que possui uma balan»ca tamb¶em calibrada em Newtons. O que ler¶a se repetir a pesagem dentro do elevador (a) subindo entre o primeiro e o terceiro andares com acelera»c~ao constante de 2 m/s2 ? (b) subindo entre o terceiro e o d¶ecimo andares com velocidade constante de 7 m/s? (c) subindo entre o d¶ecimo e o d¶ecimo segundo andares com desacelera»c~ao de 2 m/s 2? (d) descendo da mesma forma que subiu, ou seja, primeiro acelerando µa raz~ao de 2 m/s2, depois movendo=se com velocidade constante de 7 m/s, e ¯nalmente desacelerando µa raz~ao de 2 m/s 2? 2. Um astronauta numa nave espacial treina tiro ao alvo. A nave possui acelera»c~ao ~a e est¶a num local do espa»co onde n~ao existe campo gravitacional algum. O alvo est¶a na mesma altura das m~aos do observador, e a uma dist^ancia L deste. A velocidade inicial do proj¶etil tem m¶odulo v0. Fa»ca um desenho mostrando a trajet¶oria seguida pelo proj¶etil, vista pelo observador dentro da nave. Em termos dos dados do problema, ache o ^angulo que o proj¶etil deve fazer com a horizontal ao ser arremessado para que ele atinja o alvo. F¶³s1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 21 ~a 6 ¾ t - L t 3. Um garoto est¶a sobre a carroceria de um caminh~ao, que corre sobre o solo plano com acelera»c~ao ~a na dire»c~ao de seu movimento. Com que ^angulo com a vertical o garoto deve lan»car uma bola de massa m para que, quando a bola cair, ele possa apanh¶a-la sem se mover? 4. O passageiro de um avi~ao, nervoso na decolagem, tira sua gravata e deixa-a pender molemente de seus dedos. Ele observa que, durante a corrida para al»car v^oo, que dura 30 s, a gravata faz um ^angulo de 150 com a vertical. Com que velocidade o aeroplano deixou o solo, e quanto necessitou de pista para a decolagem? Suponha que a pista ¶e horizontal, e que a acelera»c~ao do motor ¶e constante. 5. Um objeto de massa m est¶a preso por uma corda de massa desprez¶³vel ao teto de um vag~ao. Num determinado instante, o vag~ao ¶e colocado em movimento, com uma acelera»c~ao ~a horizontal de m¶odulo constante, para a direita. O objeto ent~ao encosta na parede (como na ¯gura). O ^angulo que o ¯o faz com o teto ¶e µ. O atrito entre o objeto e a parede ¶e desprez¶³vel. µ¶ ¶ ¶u ¶ ~a - (a) Fa»ca um diagrama das for»cas que agem sobre o objeto, para um observador ¯xo numa esta»c~ao, (b) Fa»ca um diagrama das for»cas que agem sobre o objeto, para um observador dentro do vag~ao, e diga onde est~ao atuando suas rea»c~oes. F¶³s1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 22 (c) Calcule o valor da for»ca de contato entre o objeto e a parede do vag~ao. 6. Considere um pequeno objeto de massa m apoiado sobre uma superf¶³cie sem atrito inclinada de 300 em rela»c~ao µa horizontal. Suponha que esta superf¶³cie seja acelerada para a esquerda com acelera»c~ao ~a constante. A magnitude da acelera»c~ao ¶e tal que o objeto n~ao desliza. (a) Desenhe um diagrama que mostre as for»cas que atuam sobre o objeto, em um sistema inercial ¯xo ao solo. (b) Obtenha o valor da acelera»c~ao para que o objeto n~ao deslize. (c) Repita os itens anteriores, agora do ponto de vista de um observador (n~ao inercial) que move-se junto com o plano inclinado. © © © © © © 300 © © © © © ©m A© © AA © ©©© © © ¾ © ~a 7. Num centro de pesquisas de medicina espacial, dois astronautas de mesma massa m s~ao colocados em cabines montadas nas extremidades opostas de uma barra de comprimento `, e o aparelho ¶e girado com velocidade angular - num c¶³rculo vertical em torno do ponto m¶edio da barra, O. Cada cabine possui uma balan»ca, e os astronautas se pesam sobre elas. Quando a barra com as cabines ¯car exatamente na vertical, (a) fa»ca um diagrama das for»cas que agem sobre cada um dos astronautas para um observador ¯xo na Terra; (b) repita este item para um observador girando junto com as cabines. (c) Calcule a medida da balan»ca feita em cada uma das cabines neste instante. (d) Que velocidade de rota»c~ao ¶e necess¶aria para produzir a sensa»c~ao de imponderabilidade na cabine de cima? Nesta situa»c~ao, qual a leitura feita na balan»ca da outra cabine? F¶³s1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 23  Á ¿ À -O  Á ¿ À 8. Um corpo de massa m est¶a apoiado em um suporte dentro de um cilindro de raio R que gira com velocidade angular constante - em torno de seu eixo de simetria, como mostrado na ¯gura. Sendo ¹ o coe¯ciente de atrito est¶atico entre o corpo e a parede interna do cilindro, pergunta-se: (a) Qual o menor valor de - para que o qual se pode retirar o suporte sem que o corpo deslize em rela»c~ao µa parede do cilindro? (b) O que acontece com o valor da for»ca de atrito se - for maior do que o valor m¶³nimo encontrado no item anterior? F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 24 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) TEXTO COMPLEMENTAR 1 Vetores Muitas das grandezas usadas na F¶³sica n~ao podem ser representadas por um u¶nico n¶ umero. Grandezas como a posi»c~ao de um objeto, sua velocidade, a for»ca aplicada sobre ele, entre outras, necessitam, para sua especi¯ca»c~ao precisa, n~ao s¶o de um valor num¶erico { a dist^ancia a um ponto de refer^encia, o valor medido no od^ometro de um carro, a intensidade da for»ca { mas tamb¶em de dire»c~ao e sentido. De uma maneira simpli¯cada, um vetor ¶e uma grandeza que pode ser representada como um segmento de reta orientado. O tamanho do segmento ¶e o m¶odulo do vetor, sua dire»c~ao ¶e fornecida pela dire»c~ao da reta que suporta o semento, e o sentido ¶e dado pela orienta»c~ao do segmento. Um vetor em geral ¶e representado gra¯camente por uma letra com uma seta em cima, como ~a ; seu m¶odulo ¶e representado por j~aj = a. r a Um vetor pode sofrer deslocamentos paralelos sem se alterar. Isto ¶e, um vetor ¶e um representante de um conjunto de segmentos orientados partindo de diferentes pontos do espa»co. Um vetor tamb¶em ¶e um elemento de um conjunto { chamado espa»co vetorial { que associado a duas opera»c~oes, a adi»c~ao e a multiplica»c~ao por escalar, tem algumas propriedades: ¶e fechado em rela»c~ao a estas duas opera»c~oes (a soma de dois vetores ¶e um vetor,...), o elemento neutro da adi»c~ao (vetor nulo) faz parte do conjunto, todos os vetores possuem elemento inverso em rela»c~ao µa adi»c~ao, .... Um exemplo de vetor bem conhecido ¶e o vetor deslocamento de um objeto pontual. Um deslocamento de um ponto A a um ponto B pode ser representado por um vetor d~ com m¶odulo igual µa dist^ancia entre os pontos A e B, dire»c~ao de¯nida pela reta que une A a B e sentido indo de A para B. r d A B F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 25 Dois deslocamentos sucessivos resultam num deslocamento ¯nal que corresponde ao segmento orientado do ponto de partida ao ponto de chegada. Assim, a soma de dois deslocamentos do ponto A ao ponto B, e depois do ponto B ao ponto C, resulta num deslocamento ¯nal de A a C. r d1 B r d A r d2 C A opera»c~ao de adi»c~ao de dois vetores ¶e de¯nida de forma an¶aloga µa soma de dois vetores deslocamentos. O vetor ~c que resulta da soma de dois outros vetores ~a e ~b, ~c = ~a+~b, ¶e o vetor correspondente ao segmento de reta orientado obtido de acordo com a \regra do paralelogramo". Esta regra de soma tem este nome porque o vetor soma representa a diagonal do paralelogramo que pode ser formado com lados ~a e ~b. r r r c = a+b r a r b A adi»c~ao de vetores ¶e comutativa ~a + ~b = ~b + ~a e ¶e distributiva: ³ ´ ³ ´ ~a + ~b + ~c = ~a + ~b + ~c o que pode ser facilmente demonstrado geometricamente. Um deslocamento d~ de um ponto A a um ponto B de¯ne uma dire»c~ao, a dire»c~ao da reta que une os dois pontos. Um outro deslocamento sobre a mesma dire»c~ao pode ser escrito como o produto deste deslocamento d~ por um n¶ umero real ®, de forma tal que a dist^ancia percorrida seja ® d. Se ® ¶e positivo, os sentidos s~ao os mesmos. Para voltar de B at¶e A, o deslocamento pode ser representado por um vetor com a mesma dire»c~ao, mesmo m¶odulo e ~ sentido oposto, ¡ d. r −d A r d r 2d B F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 26 A opera»c~ao de multiplica»c~ao de um vetor ~b por um escalar ® (um n¶umero real) ¶e de¯nida como sendo uma opera»c~ao cujo resultado ¶e um vetor ® ~b { cujo m¶odulo ¶e dado por j®j b, { cuja dire»c~ao ¶e a mesma dire»c~ao do vetor ~b, { e cujo sentido ¶e o de ~b no caso em que ® > 0, e contr¶ario se ® < 0. Desta maneira, a diferen»ca de dois vetores ¶e a soma de dois vetores, o primeiro com o produto escalar do segundo pelo n¶ umero real ¡1: ³ ´ ~a ¡ ~b = ~a + ¡ ~b : r a r r r d = a −b r r r c =a +b r b Um deslocamento de uma unidade de comprimento (por exemplo, de 1 m) na dire»c~ao de A para B pode ser o padr~ao de medida de todos os vetores que t^em a dire»c~ao AB. Da mesma maneira que ¶e necess¶aria uma unidade de medida, um padr~ao, para a descri»c~ao de grandezas escalares (como temperatura, massa), precisamos de um padr~ao de medida para vetores. Mas a especi¯ca»c~ao de um vetor exige m¶odulo, dire»c~ao e sentido; um padr~ao para descrev^e-lo n~ao pode ser um simples n¶umero, tem que ter tamb¶em dire»c~ao e sentido. Ou seja, ¶e tamb¶em um vetor. Um vetor cujo m¶odulo vale 1 unidade ¶e chamado de vetor unit¶ario. A sua representa»c~ao ¶e feita usuamente por um \chap¶eu" (acento circun°exo) sobre uma letra: ^a. Da opera»c~ao de multiplica»c~ao por escalar, podemos escrever imediatamente d~ = a d^ : r d A dˆ B E para obter-se o vetor unit¶ario associado a um vetor qualquer basta divid¶³-lo pelo seu m¶odulo: 1 d^ = d~ : d F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 27 Para descrever um deslocamento, em geral usa-se um sistema de coordenadas { cartesiano ou outro qualquer. No espa»co, s~ao necess¶arias tr^es coordenadas para caracterizar um ponto. Para caracterizar um vetor, portanto, precisamos de suas tr^es componentes ao longo de tr^es eixos { ou de tr^es unit¶arios de dire»c~oes independentes. O sistema de tr^es vetores unit¶arios mais comum ¶e um sistema constitu¶³do de tr^es unit¶arios mutuamente perpendiculares, com a conven»c~ao de ordem indicada na ¯gura abaixo. kˆ z y ) j ˆi x Para descrever um deslocamento, pode-se colocar o ponto de partida como sendo a origem de nosso sistema de coordenadas e descrever o deslocamento atrav¶es das coordenadas do ponto ¯nal. Num plano, a descri»c~ao ¯ca como na ¯gura. As coordenadas do ponto A s~ao as componentes segundo os eixos x e y: A = (xA; yA ). y yA A O xA A = ( xA , yA ) x ~ = d~ pode ser decomposto em outros dois, um paralelo ao O vetor OA eixo x e outro paralelo ao eixo y. Esta decomposi»c~ao ¯ca ~rA = ~xA + ~yA como mostrado na ¯gura. Se de¯nimos os unit¶arios das dire»c~oes x e y como sendo ^³ e ^´, temos ~rA = xA ^³ + yA ^´ y yA O A = ( xA, yA ) A xA x r rA = x A ˆi + y A ˆj O vetor componente de ~rA na dire»c~ao x, ~xA, tem m¶odulo igual a jxAj, pois xA pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo do sentido do vetor ~xA F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 28 coincidir ou n~ao com o sentido do unit¶ario ^³. O mesmo ocorre para o vetor componente de ~rA na dire»c~ao de y, yA. Assim, ~xA = xA ^³ ; ~yA = yA ^´ : y A r yA r xA O x r r r rA = xA + yA = = xA ˆi + y A ˆj Os valores xA e yA s~ao chamadas de componentes do vetor ~rA segundo os eixos x e y, ou segundo as dire»c~oes dos unit¶arios ^³ e ^´. y y r A θ x x = r cos θ y = r senθ x Pode-se usar um sistema de coordenadas polares planas A = (r; µ), onde r corresponde µa dist^ancia µa origem de coordenadas e µ o ^angulo que a dire»c~ao OA faz com um eixo arbitr¶ario { no caso o eixo x. As duas descri»c~oes A = (r; µ) = (x; y) est~ao relacionadas atrav¶es das express~oes x = r cos µ ; y = r sen µ q y x e ¶e imediatamente claro que 0 · µ < 2¼, x e y podem ser maiores, iguais ou menores que zero, e que r corresponde a um valor positivo e igual ao m¶odulo ~ do vetor OA. As opera»c~oes de adi»c~ao de vetores e multiplica»c~ao por escalar podem ser feitas em termos de componentes. r= x2 + y2 ; µ = arctg r a r b r r r c = a+b r c bx cx = a x + b x x a x cx Da ¯gura, para a adi»c~ao de vetores ³ cx = ~a + ~b ´ x = ax + bx F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 29 e de forma an¶aloga ³ ´ cy = ~a + ~b y = ay + by Para a multiplica»c~ao de um vetor por um escalar, r r b=αa r b r a bx = α a x ax bx = (® ~a)x = ® ax ; x bx by = (® ~a)y = ® ay : Duas outras opera»c~oes com vetores s~ao usadas para a de¯ni»c~ao de conceitos f¶³sicos. A primeira opera»c~ao ¶e o chamado produto escalar de dois vetores. Nesta opera»c~ao, a um par de vetores ~a e ~b associa-se um n¶ umero real ~a ¢ ~b de¯nido como ~a ¢ ~b = a b cos µ onde µ ¶e o ^angulo entre as dire»c~oes de ~a e ~b. r a ab = a cos θ θ ab r b Esta de¯ni»c~ao ¶e equivalente a dizer que o produto escalar de ~a por ~b ¶e o produto do m¶odulo de ~b pela proje»c~ao de ~a na dire»c~ao de ~b. Geometricamente, veri¯ca-se trivialmente que ~a ¢ ~b = ~b ¢ ~a ~a ¢~a = a2 ~a ¢ ~b = 0 (a 6= 0; b 6= 0) () ~a ? ~b ³ ´ ~a ¢ ~b + ~c = ~a ¢ ~b + ~a ¢ ~c Se os vetores ~a e ~b s~ao paralelos, ~a ¢ ~b = a b. Se s~ao anti-paralelos (seus sentidos s~ao opostos) ~a ¢ ~b = ¡ a b. Em componentes, o produto escalar pode ser calculado usando as propriedades anteriores. Se ~a = ax ^³ + ay ^´ + az ^k e ~b = bx ^³ + by ^´ + bz k^ , ent~ao ³ ~a ¢ ~b = ax ^³ + ay ^´ + az ^k ´ ³ ´ ¢ bx^³ + by ^´ + bz k^ = ax bx + a y by + az bz F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 30 Da de¯ni»c~ao do produto escalar, tamb¶em, pode-se demonstrar que a x = ~a ¢ ^³ ; ay = ~a ¢ ^´ ; az = ~a ¢ ^k ~a ¢ ~b ab O produto escalar surge pela primeira vez nas discuss~oes em F¶³sica com ~ num deslocamento: a de¯ni»c~ao de trabalho realizado por uma for»ca F cos µ = F WAB = Z ~ ¢ d~r : F A outra opera»c~ao, o produto vetorial entre dois vetores, associa a dois vetores ~a e ~b um terceiro vetor c ~c = ~a £ ~b com o m¶odulo dado por c = a b senµ, onde µ ¶e o (menor) ^angulo entre ~a e ~b, com dire»c~ao perpendicular ao plano que cont¶em ~a e ~b, e sentido dado pela chamada \regra da m~ao direita". Esta de¯ni»c~ao est¶a ilustrada na ¯gura a seguir. r c r a r r r c = a× b r c r b c = área r b b senθ r a O produto vetorial de dois vetores n~ao ¶e comutativo { a ordem dos fatores troca o sinal do resultado. Suas propriedades tamb¶em podem ser veri¯cadas facilmente da de¯ni»c~ao, ~a £ ~b = ¡ ~b £ ~a ³ ´ ~a £ ~b + ~c = ~a £ ~b + ~a £ ~c ³ ´ ~a £ ®~b = ®~a £ ~b a~a = 0 O produto vetorial de dois vetores paralelos ou anti-paralelos ¶e nulo. F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 31 Em componentes, ~a £ ~b = (ay bz ¡ az by ) ^³ + (az bx ¡ ax bz ) ^´ + (a x by ¡ ay bx) k^ O produto vetorial aparece em F¶³sica na de¯ni»c~ao de torque de uma for»ca em rela»c~ao a um ponto, e momento angular de uma part¶³cula em rela»c~ao a um ponto: ~ ¿ = ~r £ F ~ O = ~r £ p~ = m ~r £ ~v L F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Resp { Ex6 | p. 32 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 6 { Respostas 1. Peso (rea»c~ao sobre a Terra) e sustenta»c~ao (rea»c~ao sobre a ponta do cabo). Quando a ma»c~a est¶a caindo, atua apenas o peso. 2. No sentido do movimento do corpo. 3. No arm¶ario: peso, normal, atrito e empurr~ao do homem. No homem: peso, normal, atrito, rea»c~ao ao empurr~ao. 4. (a) Peso 11 N, massa 2; 2 kg. (b) Peso nulo, massa 2; 2 kg. 5. (Discutir com o professor.) 6. For»ca de contato entre os blocos: de m¶odulo F cos µ m=(M + m), horizontal, para a direita sobre m, para a esquerda sobre M . For»ca de contato entre m e a superf¶³cie: mg, vertical e para cima. For»ca de contato entre M e a superf¶³cie: Mg + F sen µ, vertical e para cima. 7. (a) 1; 1 N. 8. (a) 0; 97 m/s2 ; (b) T1 = 11; 6 N, T 2 = 34; 8 N. 9. (a) N~ao, fat = 222 N. (b) N~ao, fat = 334 N. (c) Sim, fat = 311 N. (d) Sim, fat = 311 N. 10. a = 2; 5 m/s2 , N = 20 N. 11. a = 2; 2 m/s2 , N = 22 N. 12. (a) a = 0, N = 20 N; (b) a = 2; 0 m/s2, N = 20 N; (c) a = 1; 5 m/s2, N = 24 N, caso a for»ca tenha dire»c~ao e sentido como na ¯gura do exerc¶³cio 11. 13. macaco: v ¸ 0; homem: v ¸ 10 m/s 2. 14. F MAX = ¹E (M + m) g; f = ¹E mg e n = mg s~ao as duas componentes da for»ca de contato entre os dois blocos. F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Resp { Ex6 | p. 33 15. (a) FMAX = 27 N; (b) a = 3 m/s2. 16. (a) a = mB g=(mA + mB), F = mAmBg=(mA + mB ). (b) m0B = 2mAmB =(mA ¡ mB). 17. (a) 0; 75 m/s2 ; (b) para baixo; (c) 21; 3 N. 18. Supondo que o ^angulo de inclina»c~ao do plano ¶e de 30±, mB = 3; 3 kg. 19. 421 N. 20. (a) N~ao. (b) Componente vertical: 20 N, para cima; componente horizontal: 50 N para a esquerda. 21. F (0) = 5 N, FMAX = 10 N. 22. 1000 N. 23. Sistema de coordenadas: unit¶arios ^³ na dire»c~ao horizontal, com o sentido do tuf~ao, ^´ para cima; a origem est¶a no ch~ao, bem embaixo do ponto inicial do corpo. ~v(t) = 3t2 ^³ + 10 (t ¡ 1) ^´, ~r(t) = t3 ^³ + 5 (t2 ¡ 2t + 2)^´. 24. (a) 250 m/s2 ; (b) 2; 0 £ 104 N. 25. m = M g=(!2r). 26. (a) vMIN = q gR=¹E ; (b) vMIN = 13; 9 m/s = 50 km/h. 27. (a) 10± ; (b) 0,19. 28. (a) 0,96 m/s. (b) 0,02. 29. (a) 0,72 m/s, tangente ao c¶³rculo; (b) 2,1 m/s2 , apontando para o centro do c¶³rculo; (d) 0,5 N. 30. 192 kg. 1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) GUIA DE ESTUDO 3 ¶dulo 3: Trabalho e Energia Mo ~ 1. INTRODUC » AO Neste m¶odulo, estudaremos os conceitos de trabalho e energia. Vamos discutir a lei da conserva»c~ao da energia mec^anica de uma part¶³cula, o que s~ao energia cin¶etica, energia potencial, e o trabalho de for»cas. Come»caremos abordando o movimento unidimensional e a seguir generalizaremos nosso estudo para o caso do movimento geral. Leituras indispens¶aveis Os t¶opicos citados acima correspondem aos cap¶³tulos 6 (se»c~oes 6.1 a 6.5) e 7 (se»c~oes 7.1 a 7.3 e parte da se»c~ao 7.6) do livro texto, de H. M. Nussenzveig. 2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA Atividade 1 Discuss~ao | da conserva»c~ao de energia mec^anica num campo gravitacional (se»c~ao 6.1), | da de¯ni»c~ao de trabalho de uma for»ca, | da de¯ni»c~ao de energia cin¶etica e energia potencial de um corpo. (se»c~ao 6.2). Atividade 2 Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 1 e 4 da Lista 10, Trabalho e energia. Atividades extras 1 1. Leia as se»c~oes 6.1 e 6.2 do cap¶³tulo 6 do livro. 2. Resolva os exerc¶³cios 2, 3, 5 e 6 da lista de trabalho e energia. F¶³s1 { 04/1 { G.3 | p. 2 3. Resolva os problemas 1, 3, 8 e 9 da lista 5 (movimento relativo e referencias n~ao inerciais). 4. Resolva os problemas 6.2 e 6.14 do livro texto. Atividade 3 Discuss~ao sobre o trabalho de uma for»ca constante de dire»c~ao qualquer, introduzindo o conceito de produto escalar de dois vetores (se»c~ao 7.1); o trabalho de uma for»ca no caso do movimento geral (se»c~ao 7.2); as for»cas conservativas (se»c~ao 7.3); e pot^encia (item a da se»c~ao 7.6). Atividade 4 Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 9 e 14 da lista de Trabalho e Energia. Atividades extras 2 1. Leia as se»c~oes 7.1 a 7.3 e item a da se»c~ao 7.6 do cap¶³tulo 7 do livro texto. 2. Resolva os exerc¶³cios 8 e 10 da lista de trabalho e energia. 3. Resolva os problemas 7.3, 7.4, 7.5, 7.6 e 7.19 do livro texto. Atividade 5 Discuss~ao sobre trabalho de uma for»ca vari¶avel (se»c~ao 6.3) e a conserva»c~ao da energia mec^anica no movimento unidimensional (se»c~ao 6.4). Atividade 6 Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 16 e 19 da lista de trabalho e energia (ou outros, a crit¶erio do professor). Atividades extras 3 1. Leia as se»c~oes 6.3 e 6.4 do cap¶³tulo 6 do livro. 2. Resolva os exerc¶³cios 17, 18, 20 e 21 da lista de trabalho e energia. 3. Resolva os problemas 6.6, 6.7 e 6.13 do livro texto. F¶³s1 { 04/1 { G.3 | p. 3 Atividade 7 Discuss~ao do movimento unidimensional sob a a»c~ao de for»cas conservativas. Atividade 8 Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 24 e 25 da lista de trabalho e energia. Atividades extras 4 1. Termine de ler o cap¶³tulo 6 do livro. 2. Resolva os exerc¶³cios 23, 26 e 27 da lista de trabalho e energia. 3. Resolva os problemas 7.15, 7.16, 7.17, 7.18 e 7.20 do livro texto. Atividade 9 Resolu»c~ao de exerc¶³cios e problemas escolhidos pelo professor. Atividades extras 5 Releia os cap¶³tulos 6 e 7 (exceto as se»c~oes 7.4, 7.5 e 7.6b) do livro texto. 1. Termine a lista de exerc¶³cios de trabalho e energia. 2. Fa»ca toda a lista de exerc¶³cios 5, sobre movimento relativo e referenciais n~ao inerciais. 3. Termine tudo que voc^e deixou para tr¶as. 4. D^e uma lida na discuss~ao sobre for»cas n~ao-conservativas na se»c~ao 8.12 do livro de Alonso&Finn (voc^e pode encontr¶a-lo na biblioteca do Instituto de F¶³sica). 3. ATIVIDADES DE ESTUDO EM CASA 1. Leia novamente os cap¶³tulos 6 e 7 do livro texto. 2. Fa»ca todos os problemas das Listas de 1 a 10 e os do livro (Cap. 6 e 7) que voc^e ainda n~ao fez. 3. Leia o texto complementar anexo sobre conserva»c~ao de energia. F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 4 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) TEXTO COMPLEMENTAR 2 ~o da Energia A Conservac »a Richard P. Feynman Texto extra¶³do do Cap¶³tulo 3 | Os grandes princ¶³pios de conserva»c~ ao | do livro O que ¶ e uma lei f¶³sica (The Character of Physical Law), de Richard P. Feynman, vers~ao baseada na tradu»c~ao portuguesa de Carlos Fiolhais, editora Gradiva. Quando estudamos as leis da f¶³sica, descobrimos que s~ao numerosas, complicadas e pormenorizadas. Existem leis da gravita»c~ao, da eletricidade e do magnetismo, das intera»c~oes nucleares, etc. Mas todas essas leis particulares parecem obedecer a grandes princ¶³pios gerais. Exemplos destes ¶ultimos s~ao os princ¶³pios de conserva»c~ao, algumas caracter¶³sticas de simetria, a forma geral dos princ¶³pios da mec^anica qu^antica e, infeliz ou felizmente, o fato, j¶a referido, de todas as leis terem uma natureza matem¶atica. Hoje quero falar-lhes dos princ¶³pios de conserva»c~ao. O f¶³sico usa palavras correntes com um sentido particular. Para ele uma lei de conserva»c~ao signi¯ca que existe um n¶ umero que pode calcular num dado momento e que, embora a Natureza passe por uma grande profus~ao de mudan»cas, se voltar a repetir o c¶alculo, o resultado ¶e o mesmo. Esse n¶umero ¶e, pois, invariante. Um exemplo ¶e a conserva»c~ao de energia. Existe uma quantidade, que se calcula segundo uma certa regra. O resultado do c¶alculo ¶e sempre o mesmo, independentemente do que aconte»ca. Podemos agora ver como isso pode ser u¶til. Suponhamos que a f¶³sica, ou melhor a Natureza, ¶e um grande jogo de xadrez, com milh~oes de pe»cas, e que estamos tentando descobrir as leis desse jogo, jogado muito rapidamente por grandes deuses, sendo dif¶³cil observ¶a-los e compreender as respectivas jogadas. No entanto, conseguimos apreender algumas regras e, dentre estas, h¶a algumas que n~ao exigem a observa»c~ao de todos os movimentos. Por exemplo, suponhamos que s¶o existe um bispo branco sobre o tabuleiro. Como o bispo se move nas diagonais, portanto sempre em casas da mesma cor, se deixarmos de observar o jogo dos deuses por uns momentos e voltarmos depois a F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 5 prestar aten»c~ao ao jogo, esperamos encontrar ainda um bispo branco, talvez ¶ essa a ess^encia das numa outra posi»c~ao, mas numa casa da mesma cor. E leis de conserva»c~ao. N~ao precisamos ver todos os pormenores para sabermos alguma coisa sobre o jogo. ¶ certo que no xadrez esta lei particular n~ao ¶e necessariamente v¶alida em E todas as circunst^ancias. Se deixarmos de olhar o tabuleiro por muito tempo, pode acontecer que o bispo seja capturado, que um pe~ao seja promovido a rainha ou que um deus decida que ¶e prefer¶³vel que este pe~ao seja promovido a bispo, ¯cando o novo bispo numa casa preta. Infelizmente, pode acontecer que algumas das leis que compreendemos hoje n~ao sejam perfeitamente exatas, mas vou consider¶a-las tal qual as conhecemos. Disse-lhes que usamos palavras correntes num sentido t¶ecnico. Uma palavra que ¯gura no t¶³tulo desta palestra ¶e \grande" | \Os grandes princ¶³pios de conserva»c~ao". N~ao se trata de um termo t¶ecnico: foi colocado no t¶³tulo apenas para obter um efeito mais dram¶atico. Podia muito bem ter dito \As leis de conserva»c~ao". H¶a algumas leis de conserva»c~ao que n~ao funcionam totalmente; s~ao s¶o aproximadamente verdadeiras, o que n~ao impede que muitas vezes sejam ¶uteis. Podemos chamar-lhes \pequenas" leis de conserva»c~ao. Embora v¶a mencionar mais tarde uma ou duas destas leis que n~ao funcionam totalmente, as leis principais que vou discutir s~ao, tanto quanto podemos a¯rmar hoje, absolutamente rigorosas. Come»carei pela lei mais f¶acil de compreender, que diz respeito µa conserva»c~ao da carga el¶etrica. Existe um n¶umero, a carga el¶etrica total no universo, que n~ao varia, seja o que for que suceda. Se perder carga num lugar, acabo por encontr¶a-la noutro. A conserva»c~ao refere-se ao conjunto de todas as cargas el¶etricas. Este fato foi descoberto experimentalmente por Faraday. (...) Foram descobertas outras leis de conserva»c~ao, que s~ao an¶alogas aos princ¶³pios de contagem que vimos. Por exemplo, os qu¶³micos pensavam a certa altura que, em quaisquer circunst^ancias, o n¶umero total de ¶atomos de s¶odio ¶ poss¶³vel se conservava. Os ¶atomos de s¶odio, por¶em, n~ao s~ao permanentes. E transformar ¶atomos de um elemento noutro, desaparecendo completamente o elemento original. Uma outra lei na qual se acreditou durante algum tempo a¯rmava que a massa total de um objeto ¶e invariante. A sua validade depende da maneira como se de¯ne a massa e se esta ¶e relacionada ou n~ao com a energia. A lei de conserva»c~ao da massa est¶a inclu¶³da numa outra lei de que vou falar a seguir: a lei de conserva»c~ao da energia. F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 6 A conserva»c~ao da energia ¶e um pouco mais dif¶³cil, porque desta vez temos um n¶umero que n~ao varia com o tempo e n~ao se refere a nenhum objeto particular. Gostaria de usar uma analogia um pouco grosseira para explicar o que se passa. Imaginemos que uma m~ae deixa o seu ¯lho sozinho num quarto a brincar com 28 cubos absolutamente indestrut¶³veis. A crian»ca brinca com os cubos durante todo o dia e a m~ae, quando regressa a casa, veri¯ca que ainda existem 28 cubos; constatando, assim, a conserva»c~ao dos cubos! A cena repete-se durante algum tempo, at¶e que um dia, ao voltar a casa, encontra s¶o 27 cubos. No entanto, encontra um cubo ca¶³do fora da janela, para onde a crian»ca o tinha atirado. A primeira coisa que ¶e necess¶ario compreender numa lei de conserva»c~ao ¶e que tem de se veri¯car se a mat¶eria observada n~ao passa para o outro lado da parede. O inverso tamb¶em poderia ter acontecido: um amigo podia ter vindo brincar com a crian»ca, trazendo alguns cubos consigo. Obviamente, estas quest~oes t^em de ser consideradas quando se discutem leis de conserva»c~ao. Suponhamos que um dia, ao contar os cubos, a m~ae nota que s¶o h¶a 25, mas suspeita de que a crian»ca escondeu tr^es numa caixa de brinquedos. \Vou abrir a caixa", diz ent~ao. \N~ao", responde a crian»ca, \voc^e n~ao pode abrir a caixa." Como a m~ae ¶e inteligente, diria: \Sei que a caixa vazia pesa 600 g e que cada cubo pesa 100 g, de modo que vou pesar a caixa." Assim, para obter o n¶ umero total de cubos a m~ae escreveria N¶umero de blocos observados + Peso da caixa ¡ 600g 100g sendo o resultado 28. Este m¶etodo funciona bem durante algum tempo, mas um dia a soma n~ao d¶a certo. A m~ae veri¯ca, por¶em, que o n¶³vel de ¶agua suja numa bacia mudou. Sabe que a profundidade da ¶agua ¶e de 6 cm, se n~ao houver cubos no fundo, e que o n¶³vel subiria de 0,5 cm se um cubo estivesse dentro da ¶agua. Junta ent~ao um novo termo, ¯cando agora com N¶umero de blocos observados + Peso da caixa ¡ 600g + 100g Altura da ¶agua ¡ 6cm 0; 5cm µ medida que aumenta o engenho do rapaz, ausendo o novo total de 28. A menta tamb¶em o da m~ae, que, de cada vez, tem de somar mais termos, todos + F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 7 representando cubos. Do ponto de vista matem¶atico, trata-se de c¶alculos abstratos, uma vez que os cubos est~ao escondidos. Gostaria agora de concluir a minha analogia e de dizer o que h¶a de semelhante e de diferente entre a conserva»c~ao dos cubos e a conserva»c~ao da energia. Em primeiro lugar, suponhamos que em nenhuma das situa»c~oes a m~ae viu cubos. O termo \n¶ umero de cubos vis¶³veis" nunca aparece. Ent~ao a m~ae estaria sempre a calcular termos como \cubos na caixa", \cubos na ¶agua", etc. O mesmo se passa com a energia: n~ao existem cubos, tanto quanto sabemos. Al¶em disso, ao contr¶ario do caso dos cubos, os n¶ umeros que aparecem no caso da energia n~ao s~ao inteiros. Penso no que poderia acontecer µa pobre m~ae se, quando calculasse um termo, encontrasse 6 cubos e 1=8, ao calcular um outro, obtivesse 7=8 de cubo, sendo o resto 21, o que ainda totaliza 28. ¶ o que acontece no caso da conserva»c~ao da energia. E Descobrimos para a energia um esquema com uma s¶erie de regras. A partir de cada conjunto de regras podemos calcular um n¶umero para cada tipo diferente de energia. Quando adicionamos todos os n¶umeros, referentes a todas as diferentes formas de energia, resulta sempre o mesmo total. Todavia, tanto quanto sabemos, n~ao existem unidades reais, n~ao h¶a pequenas esferas de energia. Trata-se de uma abstra»c~ao, puramente matem¶atica: h¶a apenas um n¶umero que n~ao varia, qualquer que seja o modo como ¶e calculado. N~ao consigo dar melhor interpreta»c~ao do que esta. Esta energia assume v¶arias formas, µa semelhan»ca dos cubos na caixa, na ¶agua, etc. Existe energia devida ao movimento, chamada \ energia cin¶etica", energia devida µa intera»c~ao gravitacional, chamada \energia potencial gravitacional", energia t¶ermica, energia el¶etrica, energia da luz, energia el¶astica, por exemplo, numa mola, energia qu¶³mica, energia nuclear | e existe tamb¶em a energia que qualquer part¶³cula tem pelo simples fato de existir, energia que depende diretamente da respectiva massa. Esta ¶ultima deve-se a Einstein, como com certeza sabem. E = mc2 ¶e a famosa equa»c~ao que representa a lei de que estou a falar. Embora tenha mencionado um grande n¶ umero de energias, gostaria de explicar que n~ao somos completamente ignorantes e que conhecemos, de fato, as rela»c~oes entre algumas destas energias. Por exemplo, aquilo a que chamamos \energia t¶ermica" ¶e, em grande medida, a energia cin¶etica do movimento das part¶³culas no interior de um objeto. A energia el¶astica e a energia qu¶³mica t^em ambas a mesma origem, nomeadamente as for»cas interat^omicas. Quando os ¶atomos se rearranjam segundo uma nova estrutura, veri¯ca-se que h¶a uma F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 8 varia»c~ao de energia, implicando essa mudan»ca que algo mais tem de acontecer. Por exemplo, na combust~ao de qualquer coisa varia a energia qu¶³mica e ocorre um °uxo de calor: o balan»co de energia tem de estar certo. As energias el¶astica e qu¶³mica prov^em de intera»c~oes entre os ¶atomos. Sabemos hoje que estas intera»c~oes s~ao uma combina»c~ao de duas coisas, a energia el¶etrica e a energia cin¶etica, embora esta u¶ltima seja descrita por uma f¶ormula qu^antica. A energia da luz n~ao ¶e mais do que energia el¶etrica, uma vez que a luz ¶e hoje interpretada como uma onda eletromagn¶etica. A energia nuclear n~ao pode ser representada em fun»c~ao das outras; de momento s¶o posso dizer que ¶e o resultado das for»cas nucleares. N~ao estou falando apenas da energia produzida. No n¶ucleo de ur^anio existe uma determinada quantidade de energia; quando se desintegra, a quantidade de energia nuclear muda, mas a quantidade total de energia no mundo n~ao varia: no decurso da desintegra»c~ao liberta-se, portanto, calor e mat¶eria, a ¯m de que a energia seja conservada. F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 9 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 10 Trabalho e Energia 1. Um bloco de massa m = 0; 5 kg move-se com velocidade ~v0 constante sobre uma mesa horizontal lisa. Calcule o trabalho realizado por todas as for»cas que atuam sobre o bloco no seu deslocamento entre os pontos A e B distantes 3 m entre si. r r vοο Ex. 2 vοο Ex. 1 h A B b 2. Um bloco de massa m = 0; 2 kg move-se com velocidade ~v0 constante sobre um plano inclinado com altura h = 3 m e base b = 4 m. Calcule o trabalho realizado por cada uma das for»cas que atuam no bloco desde o alto at¶e a base do plano inclinado. 3. Um bloco de massa m move-se sobre uma mesa horizontal. O coe¯ciente de atrito cin¶etico entre a superf¶³cie da mesa e o bloco ¶e ¹ c. Calcule o trabalho realizado por todas as for»cas que atuam sobre o bloco no seu deslocamento entre o ponto A, onde sua velocidade ¶e ~v0, e o ponto B, onde o bloco p¶ara, em fun»c~ao dos dados (m, ¹ c, v0 e g). 4. Um bloco de massa m = 0; 5 kg sobe um plano inclinado com altura h = 3 m e base b = 4 m. O coe¯ciente de atrito cin¶etico entre o bloco e a superf¶³cie ¶e ¹ = 0; 25, a velocidade do bloco quando ele come»ca a subir o plano inclinado ¶e 8 m/s, e a acelera»c~ao da gravidade pode ser considerada como g = 10 m=s 2. (a) Calcule o trabalho realizado por todas as for»cas que atuam no bloco desde o in¶³cio da subida at¶e o ponto que o bloco p¶ara. (b) Calcule a varia»c~ao da energia cin¶etica do bloco. (c) Calcule a dist^ancia que o bloco percorreu at¶e parar. F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 10 5. Para empurrar um caixote de 25; 0 kg numa rampa sem atrito que faz um ^angulo de 30± com a horizontal, um oper¶ario exerce uma for»ca constante de 200 N, paralela µa rampa. Se o caixote se desloca de 1; 5 m, qual o trabalho executado sobre o caixote (a) pelo oper¶ario, (b) pelo peso do caixote, (c) pela for»ca normal exercida pela rampa sobre o caixote? (d) Qual a varia»c~ao na velocidade do caixote, se ele parte do repouso? 6. Considere um corpo de massa m movendo-se sob a a»c~ao de uma for»ca F~ constante. Demonstre que neste caso | em que a for»ca resultante ¶e constante | o \teorema trabalho-energia cin¶etica" ¶e equivalente µa equa»c~ao v2f = v2i + 2~a ¢ ¢~r (µas vezes chamada de \equa»c~ao de Torricelli"), onde ~vf ¶e a velocidade ¯nal, ~vi ¶e a velocidade inicial, ~a ¶e a acelera»c~ao do corpo e ¢~r ¶e a dist^ancia percorrida pelo corpo entre os instantes inicial e ¯nal. Mostre que se o movimento ¶e unidimensional, esta express~ao pode ser escrita como v2f = v2i + 2 a ¢x, onde ¢~r = ¢x^³. 7. Um homem de 90 kg pula de uma janela para uma rede de bombeiros, 10 m abaixo. A rede se estica de 1; 0 m antes de deter a queda e arremessar o homem para cima. Qual a energia potencial da rede esticada, supondo que a energia mec^anica ¶e conservada? 8. Considere o sistema constitu¶³do por um corpo de massa m ligado a um ¯o de comprimento ` preso a um ponto A. Sabe-se que a tens~ao m¶axima suportada pelo ¯o ¶e igual a 2mg. Se a massa ¶e solta de um ponto B situado na mesma horizontal de A, a que dist^ancia vertical h abaixo desta horizontal a corda se rompe? B A l h F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 11 9. Um objeto de massa m desliza ao longo de uma pista sem atrito contendo uma curva circular vertical de raio r, como mostrado na ¯gura. O objeto parte do repouso de um ponto A na pista, a uma altura h acima da base da curva, passa por B, na base e d¶a a volta na curva. (a) Determine o m¶odulo da velocidade do objeto nos pontos B, C eD da ¯gura. (b) Determine a menor altura h para que o corpo d^e uma volta completa na pista circular. (c) Determine a altura h0 tal que, quando a part¶³cula atingir o ponto D, ela exer»ca sobre a pista uma compress~ao igual ao seu pr¶oprio peso. Ex. 10 A h Ex. 9 30 °° D θ r C B 10. Um p^endulo de 1 m de comprimento ¶e amarrado ao topo de um arm¶ario, como mostra a ¯gura.O peso ¶e elevado de tal modo que a corda fa»ca um angulo de 30± com a vertical, e, ent~ao, liberado. Se o lado do arm¶ario tiver comprimento 0; 5 m, que ^angulo a corda far¶a com a vertical quando o peso estiver em seu ponto mais alto sob o arm¶ario? Admita que todos os efeitos de atrito s~ao desprez¶³veis. 11. Um objeto de massa m ¶e amarrado num suporte no teto usando-se uma corda ¯na e °ex¶³vel de comprimento l. Ele ¶e deslocado at¶e que a corda esteja esticada horizontalmente, como mostra a ¯gura, e depois ¶e deixado livre. (a) Ache a velocidade atingida pela massa quando ela est¶a diretamente abaixo do ponto de suspens~ao, na base de sua oscila»c~ao. (b) Ache a tens~ao na corda neste ponto, imediatamente antes da corda tocar no pino. F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 12 (c) A corda ¶e interceptada por um pino, como mostra a ¯gura. Qual a dist^ancia b m¶³nima para que a massa realize um giro completo em torno do pino? Ex. 12 Ex. 11 l b m1 h m2 12. Analise, usando considera»c~oes de energia, o movimento da m¶aquina de Atwood mostrada na ¯gura. A corda e a polia t^em massas desprez¶³veis, a polia n~ao tem atrito, e m1 > m2 . O sistema est¶a inicialmente em repouso. (a) Se voc^e considerar o topo da mesa sobre a qual m2 repousa como o n¶³vel de refer^encia, qual a energia total do sistema? (b) O sistema ¶e liberado e m1 desce. Escreva uma express~ao para a energia total do sistema pouco antes de m1 atingir a mesa. (c) Com os resultados dos itens (a) e (b), determine a velocidade dos corpos pouco antes de m1 atingir a mesa. (d) Quando m1 atinge a mesa, a corda torna-se frouxa. Use considera»c~oes de energia para determinar a que dist^ancia m2 se eleva depois disso. 13. Uma bola de 0; 5 kg ¶e lan»cada verticalmente para cima com velocidade inicial de 20 m/s e atinge uma altura de 15m. Calcule a perda de energia devida µa resist^encia do ar. Considere g = 9; 8 m/s2 . 14. (a) Usando o teorema trabalho-energia, ache a dist^ancia m¶³nima para parar um autom¶ovel se movendo numa superf¶³cie horizontal onde o coe¯ciente de atrito entre os pneus e a estrada ¶e ¹ e a velocidade inicial ¶e v0 . (b) Qual seria a dist^ancia m¶³nima se v = 25; 82 m/s (96; 564 km/h) e ¹ = 0; 8? F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 13 (c) Ache a resposta do item (a) supondo que haja um \tempo de rea»c~ao" tr entre o instante em que o motorista ¶e avisado para parar e o momento em que os freios s~ao aplicados. (d) Qual a resposta do item (b) se o tempo de rea»c~ao do motorista for de 0; 65 s? Considere g = 9; 81 m/s2 . 15. Um modo simples de se medir o coe¯ciente de atrito cin¶etico entre duas superf¶³cies ¶e mostrado na ¯gura. Um bloco de massa m desliza numa superf¶³cie horizontal; a interface entre os dois ¶e a interface de atrito a ser estudada. Este bloco ¶e acelerado atrav¶es de uma dist^ancia h pela queda da massa m0 . Depois da massa m0 bater no ch~ao, a massa m continua a se mover ao longo da superf¶³cie, at¶e parar, devido ao atrito, ap¶os percorrer uma dist^ancia adicional d. Usando a conserva»c~ao de energia, determine: (a) uma express~ao para o coe¯ciente de atrito cin¶etico em termos das grandezas mensur¶aveis m; m0 ; h e d; (b) o coe¯ciente de atrito no caso em que m = 0; 200 kg, m0 = 20; 0 kg, h = 0; 200 m e d = 0; 500 m. m h d Ex. 15 Ex. 16 F (N ) 3 2 1 m' 0 1 h 2 3 4 5 6 7 x (m ) -1 -2 -3 16. Uma for»ca F paralela ao eixo x varia conforme o gr¶a¯co da ¯gura. (a) Determine o trabalho realizado pela for»ca atuando sobre uma part¶³cula que se move de x = 0 at¶e x = 3 m. (b) Calcule o trabalho realizado por F quando a part¶³cula passa de x = 3 m a x = 6 m. (c) Ache o trabalho realizado no percurso de x = 0 at¶e x = 6 m. F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 14 17. O gr¶a¯co da ¯gura representa a varia»c~ao de uma for»ca unidimensional em fun»c~ao da dist^ancia µa origem do eixo x. Esta for»ca est¶a agindo sobre uma part¶³cula de massa 2 kg que est¶a com velocidade 3 m/s no ponto x = 0. Qual ¶e a sua velocidade em x = 4 m? Ex. 17 F (N ) m 3 Ex. 18 h 2 1 0 1 2 3 4 x (m ) 18. A mola representada na ¯gura tem a massa desprez¶³vel e sua constante el¶astica tem um valor igual a k. Um bloco de massa m ¶e largado, num certo instante, de uma altura h acima do topo da mola. Supondo desprez¶³veis os poss¶³veis atritos, sabendo que o bloco desliza ao longo de um cilindro vertical e que a extremidade inferior da mola est¶a ¯xa, calcule o deslocamento m¶aximo do topo da mola. 19. Um bloco de massa m ¶e empurrado por uma for»ca F~ext contra uma mola de constante el¶astica k. O bloco comprime a mola a uma velocidade constante, at¶e uma dist^ancia d em rela»c~ao µa posi»c~ao de equil¶³brio da mola. A velocidade do bloco (e de seu extremo) pode ser considerada como sendo muito pequena, de forma tal que podemos desprezar a energia cin¶etica do bloco no processo de compress~ao da mola. Logo que a mola ¯ca comprimidade de d, solta-se o bloco e este desliza pela pista, como mostra a ¯gura. N~ao existe atrito em parte alguma. Ex. 19 •• m k d C h r Fext •• B F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 15 ~ext? Em que foi (a) Qual ¶e o trabalho Wext realizado pela for»ca F transformado este trabalho? (b) Qual ¶e a velocidade ~v0 do bloco quando chega ao ponto B, a p¶e da pista curvil¶³nea? (c) Qual a altura que o bloco atinge, ao chegar ao ponto C, onde p¶ara? (d) Calcule os valores das grandezas obtidas nos itens anteriores para o caso em que k = 200 dinas/cm, d = 2 m e m = 2 g. Indique as unidades de cada grandeza que calcular. Considere g = 10 m/s 2. 20. Um objeto move-se ao longo do eixo x impulsionado por duas for»cas, ~2, como mostrado na ¯gura. O m¶odulo da for»ca F ~1 varia com x F~1 e F e o de F~2 ¶e constante e igual a 20 N. ~1 quando o objeto se move (a) Determine o trabalho realizado por F de x = 0 at¶e x = 3 m. ~2? (b) Qual o trabalho correspondente realizado por F (c) Qual a velocidade do objeto em x = 3 m, se ele parte do repouso em x = 0 e seu peso ¶e de 80 N? Suponha que n~ao exista atrito entre o corpo e a superf¶³cie e considere g = 10 m/s2 . r F1 r F2 C Ex. 21 B 60 οο k hC •• m θθ •• hB Ex. 20 21. Um bloco de massa m = 0; 2 kg est¶a encostado em uma mola comprimida de 8 cm em rela»c~ao ao seu comprimento normal. Ao ser liberada a mola, o bloco desloca-se plano inclinado acima, chegando ao ponto B (altura hB = 1; 8 m) com velocidade vB = 4 m/s. Considere que no trecho at¶e B n~ao h¶a atrito. A partir de de B o atrito n~ao ¶e mais desprez¶³vel, e o bloco ¯nalmente p¶ara no ponto C (altura hC = 2; 2 m). A inclina»c~ao do plano ¶e de 30±. (a) Calcule, em fun»c~ao dos dados do problema, o valor da constante el¶astica da mola. F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 16 (b) Qual o trabalho realizado pela for»ca de atrito desde o instante inicial at¶e o instante em que o bloco p¶ara? (c) Determine o coe¯ciente de atrito entre o bloco e a superf¶³cie do plano inclinado no trecho BC. 22. Considere dois observadores, o primeiro ¯xo ao solo e o outro num trem que se move com velocidade uniforme u em rela»c~ao ao solo. Cada um deles observa que uma part¶³cula de massa m, inicialmente em repouso em rela»c~ao ao trem, ¶e acelerada por uma for»ca constante aplicada a ela durante um intervalo de tempo t, e orientada no sentido do movimento. (a) Mostre que, para cada observador, o trabalho realizado pela for»ca ¶e igual ao acr¶escimo de energia cin¶etica da part¶³cula, mas que um observador (no trem) mede estas grandezas como sendo 1=2ma2t2, enquanto que o outro (no solo) encontra 1=2ma2t2 + maut, onde a ¶e a acelera»c~ao da part¶³cula vista pelos dois observadores. (b) Explique as diferen»cas entre os trabalhos realizados pela mesma for»ca em termos das diferentes dist^ancias nas quais os observadores medem a for»ca que atua durante o tempo t. Explique as diferentes energias cin¶eticas ¯nais medidas por cada observador em fun»c~ao do trabalho que a part¶³cula poderia realizar ao ser trazida ao repouso, em rela»c~ao ao sistema de refer^encia de cada observador. 23. Considere o sistema constitu¶³do por uma massa m apoiada numa mesa horizontal lisa e presa a uma extremidade de uma mola de massa desprez¶³vel e constante el¶astica k. A outra extremidade da mola est¶a ¯xa. (a) Calcule a energia potencial do sistema e trace o gr¶a¯co desta fun»c~ao. (b) Se o sistema massa-mola for comprimido de uma dist^ancia d em rela»c~ao ao seu comprimento de equil¶³brio, qual ¶e a energia total do sistema? (c) Para a energia do item (b), quais as regi~oes do espa»co em que a massa pode ser encontrada? (d) Calcule os valores m¶aximo e m¶³nimo da velocidade da massa. Em que pontos esses valores ocorrem? F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 17 24. Uma part¶³cula desloca-se sobre um eixo x sob a»c~ao de uma for»ca resultante conservativa cuja energia potencial est¶a representada no gr¶a¯co. No instante inicial a part¶³cula estava no ponto x1 , afastando-se da origem do eixo x. U(x) x x1 x2 x3 x4 x5 x6 x 7 x 8 x9 (a) Descreva o movimento da part¶³cula quando a energia mec^anica total ¶e E1. Caso existam, quais s~ao os pontos de invers~ao neste movimento? (b) Repita o item (a) no caso em que a energia mec^anica total ¶e E2. (c) Idem para o caso em que a energia mec^anica total ¶e E3 . (d) Em que regi~oes do eixo x a for»ca resultante aponta para a origem do eixo x? Justi¯que todas as suas respostas. 25. Um corpo de massa 1 kg que se move sobre o eixo x est¶a sujeito a uma for»ca dada por F (x) = ¡2x onde x ¶e dado em metros e F em Newtons. (a) Determine a energia potencial U em fun»c~ao de x, considerando U (0) = 0. (b) Trace o gr¶a¯co de U contra x. (c) Qual o ponto de equil¶³brio est¶avel e qual a energia do corpo nesta situa»c~ao? (d) Se em x = 0 o corpo tem velocidade v0 = 1 m/s, qual a regi~ao de x para a qual o corpo oscila? 26. Uma part¶³cula de massa m = 2 kg move-se ao longo de uma linha reta em uma regi~ao em que a sua energia potencial varia como na ¯gura. F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 18 N~ao h¶a for»cas dissipativas agindo. Quando x ! 1, a energia potencial se anula. U(x) 6 x1 x2 x -5 (a) Sabendo-se que a part¶³cula se aproxima da origem (x = 0) e que sua energia cin¶etica quando est¶a muito longe dela ¶e de 10 J, determine o m¶odulo de sua velocidade ao passar pelos pontos x1 e x2 . (b) Em que regi~ao a part¶³cula pode ser encontrada se sua energia total for de ¡3 J? (c) Neste caso, quanta energia deve ser fornecida µa part¶³cula para que ela se afaste inde¯nidamente da origem? 27. A energia potencial de uma part¶³cula de massa m em fun»c~ao de sua posi»c~ao x esta indicada na ¯gura. Calcule o per¶³odo de uma oscila»c~ao completa, caso a part¶³cula tenha uma energia mec^anica total dada por E = 3U0 =2. U(x) 2U 0 E U0 0 b x F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Resp.Ex.10 | p. 19 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 10 { Respostas 1. W NORMAL = 0 J ; W P ESO = 0 J. 2. W NORMAL = 0 J ; W P ESO = 6; 0 J; W AT RIT O = ¡ 6; 0 J. 3. W NORMAL = 0 J ; W P ESO = 6; 0 J; W AT RIT O = ¡ 12 m v2±. 4. (a) W NORMAL = 0 J; W P ESO = 0 J; W AT RIT O = ¡ 4; 0 J; (b) ¢Ec = ¡ 16; 0 J; (c) 4; 0 m. 5. (a) 300; 0 J; (b) ¡ 187; 5 J; (c) 0 J; (d) 3; 0 m/s. 6. (Leia a demonstra»c~ao no livro texto, e discuta com seu professor.) 7. 9; 9 £ 103 J. 8. 2 3 `. 9. (a) vB = q q p 2 g h ; vC = 2 g (h ¡ r) ; vD = 2 g (h ¡ 2r) ; (b) h = 5 r=2; (c) h0 = 3r. 10. arccos 0; 73 = 43±. p 11. (a) 2g` ; (b) 3mg ; (c) 12. (a) m1 g h ; (b) (c) q m1¡m2 m1+m2 1 2 2 5 `. (m1 + m2 ) v2 + m2 g h ; 2 g h ; (d) m1¡m2 m1+m2 h. 13. ¡ 25 J. 14. (a) v±2=(2¹g); (b) 42 m; (c) v±2=(2¹g) + v± tr ; (d) 59 m. 15. (a) ¹ = (m0 h) = [(m + m0 ) d + m h]; (b) 0; 39. 16. (a) 7; 5 J; (b) ¡ 3; 0 J; (c) 4; 5 J. 17. 3; 9 m/s. F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Resp.Ex.10 | p. 20 ³ 18. mg=k 1 + q ´ 1 + 2kh=(mg) . 19. (a) W EX T = 12 kd 2; em energia potencial el¶astica; (b) v± = q k=m d; (c) h = kd 2=(2mg); (d) W EXT = 0; 4 J, v± = 20 m/s, h = 20 m. ~2 e a horizontal como sendo 20. (a) 0 J; (b) considerando o ^angulo entre F ± de 60 , 30 J; (c) 2; 7 m/s. 21. Usando g = 10 m/s2 , (a) k = 1625 N/m, (b) W AT = ¡ 0; 8 J, (c) 0; 6. 22. (Discuta com o seu professor). 23. (a) Considerando a energia potencial el¶astica igual a zero quando a mola n~ao est¶a comprimida nem distendida, Ep = 12 k x2 (x ¶e o deslocamento da massa em rela»c~ao µa posi»c~ao de equil¶ ³ brio do sistema).q(b) E = 12 k d2. q (c) ¡ d · x · + d. (d) vMAX = + k=m; d e vMIN = ¡ k=m; d; ambas ocorrem quando x = 0. 24. As energias n~ao est~ao indicadas na ¯gura; considere E1 como sendo a energia associada µa linha pontilhada mais baixa, E2 a seguinte, e E3 µa mais alta. (a) Movimento oscilat¶orio entre os pontos x1 e x3; pontos de invers~ao x1 e x3. (b) O corpo move-se aumentando sua velocidade at¶e x2 , e come»ca, a partir da¶³, a ter sua velocidade reduzida, at¶e parar em x4 ; nesse ponto, ¶e acelerado para x = 0. (c) O corpo move-se at¶e x9 e retorna. (d) At¶e o primeiro m¶aximo (n~ao indicado na ¯gura, antes de x1 ) a for»ca ¶e negativa (aponta para a origem do eixo); a for»ca tamb¶em aponta para x = 0 em: x2 < x < x4 e x > x6 . 25. (a) U (x) = x2. (c) x = 0; para ocorrer equil¶³brio est¶avel, E = 0. (d) ¡0; 7 · x · 0; 7. 26. (a) T (x1 ) = 4 J, T (x2) = 15 J. (b) Substitua no enunciado \se sua energia total for de ¡ 3J" por \se sua energia total for de ¡ 5 J": em x = x1 . (c) Nesse caso, 11 J. 27. Na ¯gura, falta a indica»c~ao do valor de x para o qual a energia potencial salta do valor U± para o valor 1; 5 U± ; considere esse valor como sendo 1; 5 b. per¶³odo completo = 2 b q 7 12 m=U± . 1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) GUIA DE ESTUDO 4 ¶dulo 4: A Rotac ~ o de um Corpo Mo »a ~ 1. INTRODUC » AO Neste m¶odulo, estudaremos o movimento de rota»c~ao de um corpo, e as grandezas que usamos para descrev^e-lo: coordenada, velocidade e acelera»c~ao angulares. Introduziremos o conceito de torque ~¿ de uma for»ca em rela»c~ao a um ponto, e momento angular ~L de um corpo em rela»c~ao a um ponto. Discutiremos a rela»c~ao entre eles, a \segunda lei" para rota»c~oes. Tudo ilustrado com o movimento planet¶ario e as leis de Kepler. Leituras indispens¶aveis: Os t¶opicos citados acima correspondem a parte dos cap¶³tulos 10 (se»c~oes 10.1 a 10.8), 11 (se»c~oes 11.3 e 11.4, e parte da se»c~ao 11.2) e a revis~ao do cap¶³tulo 3 (se»c~oes 3.7 e 3.8) do livro texto, H.M. Nussensveig, Curso de F¶³sica B¶asica, Vol. 1 { Mec^anica, 3a edi»c~ao, Editora Edgard Blucher Ltda. 2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA Atividade extra 1 1. Resolva os exerc¶³cios 1 a 4 da Lista de Exerc¶³cios 11, mais uma sobre vetores. Atividade 1 Discuss~ao sobre as leis de Kepler e sobre a lei da gravita»c~ao universal de Newton (se»c~oes 10.1 a 10.8 do livro texto); e uma revis~ao sobre a descri»c~ao do movimento circular (se»c~oes 3.7 e 3.8 do livro texto), com a obten»c~ao da rela»c~ao entre raio m¶edio da ¶orbita e per¶³odo (a terceira Lei de Kepler). Atividade 2 Demonstrar, a partir da lei da gravita»c~ao universal de Newton, a terceira lei de Kepler para uma ¶orbita circular (o problema inverso do resolvido na se»c~ao 10.6 do livro texto). F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 2 Atividades extras 2 1. Leia as se»c~oes 10.1 a 10.8 do cap¶³tulo 10 do livro texto. 2. Resolva os problemas 3, 4 e 6 da Lista de exerc¶³cios 12 ( Rota»c~oes, Torque e Momento Angular da Part¶³cula). 3. Resolva o problema 7 da Lista 11 (... E Mais Vetores). 4. Resolva os problemas 3.18, 3.19 e 3.20 do cap¶³tulo 3 do livro texto. 5. Resolva os problemas 10.1, 10.2 e 10.3 do cap¶³tulo 10 do livro texto. Atividade 3 Discuss~ao: | o que ¶e o produto vetorial de dois vetores, quais suas propriedades e maneiras de calcul¶a-lo (pequeno trecho µas p¶aginas 229 e 230 da se»c~ao 11.2 do livro texto); | o conceito de torque de uma for»ca; | o conceito de momento angular de um corpo; | e como reescrever a segunda lei de Newton para rota»c~oes: ~± dL dt = ~¿±res ; | e, ¯nalmente, como demonstrar as leis de Kepler a partir da lei da gravita»c~ao universal de Newton. Atividade 4 Resolu»c~ao dos problemas 9, 11, 12, 13 e 14 da Lista 12. Atividades extras 3 1. Leia (releia!) as se»c~oes 3.7 e 3.8 do livro texto. 2. Leia a parte da se»c~ao 11.2 referente ao produto vetorial de dois vetores. 3. Leia as se»c~oes 11.3 e 11.4 do livro texto. 4. Resolva todos os exerc¶³cios (os que faltam) da Lista 11, sobre vetores e produto vetorial. 5. Resolva todos os exerc¶³cios (os que faltam) da Lista 12. F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 3 Atividade 5 Resolu»c~ao de problemas, a crit¶erio do professor. Atividades extras 4 1. Releia tudo que foi indicado nas aulas anteriores. 2. Resolva todos os problemas da Lista 12 (rota»c~oes, torque e momento angular) que voc^e ainda n~ao resolveu. 3. Leia as se»c~oes 3.4, 3.5 e 3.6 do cap¶³tulo 3. 3. ATIVIDADES DE ESTUDO EM CASA 1. Releia tudo: cap¶³tulos 1 (todo), 2 (todo), 3 (todo), 4 (todo), 5 (exceto se»c~ao 5.4), 6 (todo), 7 (se»c~oes 7.1, 7.2, 7.3 e parte a da se»c~ao 7.6), 10 (exceto se»c~oes 10.9, 10.10 e 10.11), 11 (apenas as se»c~oes 11.3 e 11.4, mais a de¯ni»c~ao de produto vetorial na se»c~ao 11.2). 2. Refa»ca todos os exemplos resolvidos do livro. 3. Termine ou refa»ca todos os problemas indicados neste e nos guias anteriores. 4. Fa»ca o que voc^e ainda n~ao fez. F¶³s1 { 04/1 { G.4 { Ex. 11 | p. 4 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 11 ... e Mais Vetores 1. O produto vetorial de dois vetores ¶e uma opera»c~ao que associa a dois vetores ~a e ~b um terceiro vetor ~c = ~a £ ~b de¯nido por um vetor: { de m¶odulo c = a b sen µ , onde µ ¶e o menor ^angulo entre ~a e ~b ; { de dire»c~ao perpendicular tanto µa dire»c~ao de ~a quanto µa dire»c~ao de ~b; { de sentido (por conven»c~ao) obtido atrav¶es da regra da m~ao direita: colocando a m~ao direita com a palma aberta na dire»c~ao do vetor ~a, tente fechar a palma levando-a de ~a para ~b atrav¶es do menor ^angulo; quando o movimento de ir de ~a para ~b fechar a m~ao, o sentido que o polegar apontar ¶e o sentido de ~c. Usa-se a nota»c~ao £ para representar o produto vetorial. Da ¯gura e da de¯ni»c~ao, observa-se que c = j~a £ ~bj = a b sen µ = a b? ; onde ~b? ¶e a proje»c~ao de ~b sobre a dire»c~ao perpendicular a ~a . r r r c = a ×b r b r r r c = a ×b r b r b ) θ ⊥⊥ r a 2 1 r a Demonstre que (a) j~a £ ~bj = S, onde S ¶e a ¶area do paralelogramo de lados de¯nidos por ~a e ~b. F¶³s1 { 04/1 { G.4 { Ex. 11 | p. 5 (b) ~a £~a = 0. (c) ~a £ ~b = ¡ ~b £ ~a . (d) Se a 6= 0, b 6= 0, ent~ao ~a £ ~b = 0 , ~a k ~b. ³ ´ ³ ´ (e) Se ® ¶e um n¶ umero real qualquer, ~a £ ®~b = (®~a)£b = ® ~a £ ~b = ®~a £ ~b. ³ ´ (f) ~a £ ~b + ~c = ~a £ ~b + ~a £ ~c. 2. Considere um sistema de eixos cartesianos x; y; z z como na ¯gura. Os unit¶arios destes eixos s~ao os vetores ^³, ^´ e k^ respectivamente. Demonstre as express~oes a seguir. y x (a) ^³ £^³ = ^´ £ ^´ = ^k £ k^ = 0 ; ^³ £^´ = k^ ; ^³ £ ^k = ¡^´; ^´ £ ^k = ^³ . (b) Se ~a = ax ^³ + ay ^´ + az k^ e ~b = bx ^³ + by ^´ + bz ^k , ent~ao ~a £ ~b = (ay bz ¡ az by ) ^³ + (az bx ¡ axbz ) ^´ + (a xby ¡ a ybx) k^ 3. Para ~a = ^³ + ^´, ~b = ^³ ¡^´ , ~c = ^³ ¡^´ + 2 k^ , e d~ = ¡ 2^³ + ^´ ¡ ^k calcule (a) ~a + ~b (b) ~a ¡ ~b (c) ~a ² ~b (d) ~a £ ~b ³ ´ ³ (e) ~a + ~b ² ~a ¡ ~b ³ ´ ³ ´ ´ (f) ~a + ~b £ ~a ¡ ~b (g) ~c ² d~ (h) ~c £ d~ ³ ´ (i) ~a £ ~c + d~ ³ ´ (j) ~a £ ~b £ ~c F¶³s1 { 04/1 { G.4 { Ex. 11 | p. 6 4. Calcule o produto vetorial ~a £ ~b entre os vetores ~a e ~b onde ^ (a) ~a = 3^³ ¡^´ + ^k e ~b = ¡6^³ + 2^´ ¡ 2 k; (b) ~a ¶e o vetor que liga os pontos O e B, e ~b ¶e o vetor que liga os pontos A e B do cubo de aresta 1 m da ¯gura. ¡ ¡ C¡ ¡ O¡ A B ¡ ¡ ¡ 5. Mostre, baseado na de¯ni»c~ao geom¶etrica do produto vetorial ou usando sua express~ao em componentes, que: (a) a ¶area do paralelogramo cujos lados s~ao formados pelos vetores ~a e ~b ¶e j~a £ ~b j; (b) a ¶area do tri^angulo cujos lados s~ao formados pelos vetores ~a e ~b ¶e 1 j ~a £ ~b j; 2 (c) se ~a e ~b s~ao dois vetores quaisquer, ent~ao ³ ´2 j~a £ ~b j 2 = a2 b2 ¡ ~a ¢ ~b ; (d) se ®, ¯, ° s~ao os ^angulos opostos aos tr^es lados ~a , ~b , ~c de um tri^angulo, ent~ao (lei dos senos) a b c = = ; sen® sen¯ sen° (e) se ~a , ~b s~ao dois vetores quaisquer, ³ ´ ³ ´ ~a + ~b £ ~a ¡ ~b = 2~a £ ~b (interprete geometricamente este resultado); ³ ´ ³ ´ (f) ~a £ ~b £ ~c = ~b ( ~a ¢ ~c ) ¡ ~c ~a ¢ ~b ; (g) ³ ´ ³ ´ ~a £ ~b ¢ ~c = ~b £ ~c ¢ ~a = ( ~c £ ~a ) ¢ ~b. F¶³s1 { 04/1 { G.4 { Ex. 11 | p. 7 6. (a) Mostre que o m¶odulo do produto triplo ³ j ~a £ ~b ´ ¢ ~c j ¶e o volume do paralelep¶³pedo cujos lados s~ao de¯nidos pelos vetores ~a , ~b e ~c . (b) Calcule a ¶area da superf¶³cie deste paralelep¶³pedo. (c) Considere ~a = ^³ + ^´ , ~b = ^³ ¡ ^´ e ~c = ^³ + 2 k^ . Calcule a ¶area da superf¶³cie e o volume do paralelep¶³pedo de¯nido por estes vetores. Considere as unidades dadas no S.I. 7. De¯ne-se o vetor torque de uma for»ca em rela»c~ao a um ponto como ~ ¿~OF = ~r £ F onde ~r ¶e o vetor que de¯ne a posi»c~ao, em rela»c~ao ao ponto O, do ponto de aplica»c~ao da for»ca. r F v r ponto em que a força é aplicada O Considere um objeto num ponto cuja posi»c~ao em rela»c~ao a um observador ¯xo a um ponto O ¶e descrito por ~r = ^³ + 2^´ ¡ ^k Sobre este corpo a for»ca resultante atuando vale ~ = 3^³ ¡~´ F (todas as unidades est~ao em unidades do SI.) Calcule o torque da for»ca F~ em rela»c~ao ao ponto O. Calcule o torque da for»ca F~ em rela»c~ao ao ponto O' cuja posi»c~ao em ~ 0 = ^³. rela»c~ao a O ¶e descrita por OO Os dois valores s~ao iguais? F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 8 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 12 Rotac »~ oes, Torque e Momento Angular 1. Um LP (tamb¶em chamado de \disco de vinil") gira num toca-discos que descreve 33 rpm. Estime a velocidade de um ponto pr¶oximo µa periferia, no in¶³cio do disco, e pr¶oximo a seu centro, no ¯nal do disco, ambas medidas por um observador ¯xo µa Terra. 2. Para o problema anterior, estime a desacelera»c~ao do prato do tocadiscos quando a agulha chega a seu ¯m e o prato p¶ara, supondo a desacelera»c~ao constante e o tempo de parada da ordem de 10 s. 3. Quais os m¶odulos da velocidade e da acelera»c~ao, para um observador suposto inercial, ¯xo ao seu eixo de rota»c~ao, de um corpo parado sobre a superf¶³cie da Terra (a) sobre o Equador; (b) na latitude de 23± (Rio de Janeiro); (c) no p¶olo Sul? Despreze o movimento da Terra em torno do Sol. 4. Quais os m¶odulos da velocidade e da acelera»c~ao da Terra em seu movimento de rota»c~ao em torno do Sol? Suponha a ¶orbita da Terra circular, e procure em tabelas os dados que voc^e precisa. 5. Um motor que move um moinho ¶e desligado quando este ¶ultimo gira a 240 rpm. Ap¶os 10 s, a velocidade angular ¶e 180 rpm. Se a desacelera»c~ao angular permanecer constante, quantas rota»c~oes adicionais ele faz at¶e parar? 6. As duas polias de uma m¶aquina est~ao ligadas por uma correia que n~ao desliza, conforme mostra a ¯gura. Se os raios das duas polias s~ao R1 e R2 , determine a raz~ao entre as velocidades angulares das duas polias. Qual das duas gira mais rapidamente? ' & h h $ h h h h h h º R1 % ¹ R2· ¸ F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 9 7. O volante de uma m¶aquina a vapor desenvolve uma velocidade angular constante de 150 rpm. Quando o motor ¶e desligado, o atrito dos mancais e do ar fazem com que a roda p¶are em 2,2 horas. (a) Qual ¶e a acelera»c~ao angular m¶edia da roda? (b) Quantas rota»c~oes far¶a a roda antes de parar? (c) Qual ¶e a acelera»c~ao tangencial de uma part¶³cula distante 50 cm do eixo de rota»c~ao, quando o volante estiver girando a 75 rpm? (d) Qual ¶e o m¶odulo da acelera»c~ao total da part¶³cula no instante do item (c)? 8. (*) Demonstre que para um corpo que move-se girando num movimento circular em torno de um ponto O com velocidade angular ~! (vetor de¯nido como tendo o m¶odulo dado pela velocidade angular usual, dire»c~ao perpendicular ao plano que cont¶em o c¶³rculo do movimento, e sentido dado usando a \regra da m~ao direita") podemos escrever, para um observador inercial ¯xo ao ponto O (o centro do c¶³rculo) ~v = ~! £ ~r ~a = ~® £ ~r + ~! £ (~! £ ~r) ® ~ ¶e o vetor acelera»c~ao angular, de¯nido de forma an¶aloga ao vetor velocidade angular. 9. Considere uma part¶³cula que est¶a num dado instante na posi»c~ao indi~1 e F ~2 indicadas, onde cada na ¯gura. Sobre ela atuam as duas for»cas F F 1 = 10 N e F2 = 20 N. (a) Calcule o torque de cada uma das for»cas em rela»c~ao ao ponto O. (b) Calcule o torque da for»ca resultante em torno do ponto O. (c) Repita o problema para o ponto A da ¯gura. y (m) 6 @± ~2 F 45 @R ¾ F~1 { 1 { { {'' '' A '1 O - x (m) F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 10 10. De¯ne-se o vetor torque de uma for»ca em rela»c~ao a um ponto O como ~ ¿~±F = ~r £ F onde ~r ¶e o vetor que de¯ne a posi»c~ao, em rela»c~ao ao ponto O, do ponto de aplica»c~ao da for»ca. De¯ne-se o vetor momento angular de uma part¶³cula em rela»c~ao a um ponto O como ~ ± = ~r £ ~p = m ~r £ ~v L onde ~r ¶e o vetor que de¯ne a posi»c~ao da part¶³cula em rela»c~ao ao ponto O, ~v ¶e a sua velocidade ( ~v = d~r=dt ) e ~p = m ~v ¶e o momento linear da part¶³cula. r F v r v r ponto em que r v a força é aplicada O O Demonstre que, se O ¶e um observador num referencial inercial, ent~ao a \segunda lei de Newton para as rota»c~oes" ¶e ~± dL = ~¿±RES : dt 11. Um pequeno objeto de massa m est¶a preso a uma extremidade de um ¯o de comprimento `. A outra extremidade do ¯o est¶a pendurada no teto de uma sala. O objeto oscila em um plano vertical, em torno de sua posi»c~ao de equil¶³brio est¶avel. (a) Indique todas as for»cas que atuam sobre o objeto. (b) Calcule o trabalho realizado por cada uma destas for»cas e pela for»ca resultante quando este corpo desloca-se do ponto mostrado na ¯gura (no qual o ¯o faz um ^angulo ® com a vertical) at¶e o ponto de equil¶³brio est¶avel (quando o ¯o est¶a na vertical). (c) Calcule o torque de cada uma destas for»cas em rela»c~ao ao ponto de sustenta»c~ao do ¯o (no teto). F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 11 (d) Supondo que o objeto foi largado do repouso da posi»c~ao mostrada na ¯gura a, calcule o valor de sua velocidade no instante em que ele passa pela sua posi»c~ao de equil¶³brio. (e) Neste ponto (¯o na vertical), calcule o momento angular do objeto em rela»c~ao ao ponto de sustenta»c~ao. ⊕ ⊕ l m ⊕ ⊕ α α l figura a figura b m 12. Considere um planeta de massa m nas vizinhan»cas de uma estrela de massa M >> m. Supondo que este sistema est¶a isolado de intera»c~oes externas, e considerando que a estrela est¶a no ponto O (¯xo num referencial inercial), (a) indique as for»cas que atuam sobre o planeta; (b) calcule o torque destas for»cas em rela»c~ao ao ponto O. (c) O momento angular deste planeta ¶e constante? Por qu^e? 13. Um objeto de massa m desliza sobre uma mesa lisa. Nesta mesa, um ponto O ¶e tomado como ponto de refer^encia. No instante t = 0, sua velocidade ¶e ~v± , e ele est¶a no ponto indicado na ¯gura, no qual seu vetor posi»c~ao, de m¶odulo b, ¶e perpendicular µa sua velocidade. r v οο r r οο O⊕⊕ r οο== b (a) Calcule o torque de cada uma das for»cas que atuam sobre o corpo e o torque da resultante, em rela»c~ao ao ponto O. F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 12 (b) Calcule o momento angular do corpo em rela»c~ao ao ponto O no instante t = 0. (c) Quanto vale o momento angular em rela»c~ao ao ponto O em um instante de tempo t qualquer? 14. O vetor posi»c~ao de uma part¶³cula de massa 2 kg em rela»c~ao a um observador inercial ¯xo num ponto O ¶e dado por ~r = 2 t2 ^³ + t^´ + t4 ^k, onde todas as unidades empregadas est~ao no S.I. (a) Qual ¶e a for»ca resultante que age sobre esta part¶³cula? (b) Qual ¶e o torque desta for»ca em rela»c~ao a O? (c) Qual ¶e o momento angular desta part¶³cula em rela»c~ao a O? (d) Veri¯que se a segunda lei de Newton para as rota»c~oes ¶e v¶alida neste caso. 15. O momento angular de uma part¶³cula, calculado em rela»c~ao a um ponto O parado em rela»c~ao µa Terra, ¶e dado por ~L = b t^³ + c t2 ^´, onde b = 2 J, c = 2 J/s, e t ¶e dado em segundos. (a) Determine o torque sobre a part¶³cula em rela»c~ao ao ponto O. (b) Calcule o m¶odulo deste torque para t = 1 s. 16. Um proj¶etil de massa m ¶e lan»cado com uma velocidade ~v0 que faz um ^angulo µ0 com a dire»c~ao horizontal. Tomando como origem do sistema de coordenadas o ponto de lan»camento O, calcule o momento angular do proj¶etil em rela»c~ao a O como fun»c~ao do tempo. Calcule o torque da for»ca resultante sobre este corpo em rela»c~ao ao mesmo ponto, e veri¯que se ~0 dL = ~¿0 : ~v0© ©* dt © ©{ { µ {0{ { { { { { { O 17. Quando a Terra est¶a no af¶elio (posi»c~ao em que est¶a mais afastada do Sol), no dia 21 de junho, a sua dist^ancia ao Sol ¶e de 1,52 £ 1011 m, e sua velocidade orbital ¶e de 2,93 £ 104 m/s. Determine sua velocidade orbital no peri¶elio (posi»c~ao mais pr¶oxima do Sol), cerca de 6 meses ap¶os o af¶elio, quando sua dist^ancia ao Sol ¶e de 1,47 £ 1011 m. Determine tamb¶em em cada caso a velocidade angular de rota»c~ao da Terra em torno do Sol. F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 13 18. Um p^endulo c^onico ¶e constitu¶³do por uma bola de massa m presa µa extremidade de um ¯o de comprimento d, amarrado a um suporte ¯xo no laborat¶orio. O p^endulo gira com velocidade ! constante, com o ¯o fazendo um ^angulo constante ® com a vertical. Qual ¶e o momento ~ 0 da bola em rela»c~ao ao ponto de sustenta»c~ao O? Mostre angular L ~ 0 em rela»c~ao ao tempo ¶e medida diretamente que a taxa de varia»c~ao de L pelo torque em rela»c~ao a O das for»cas que agem sobre a bola. O d α R ω m 19. Uma part¶³cula de massa m move-se sob a»c~ao de uma for»ca atrativa que varia com o inverso do quadrado da dist^ancia a um ponto ¯xo: F = ¡k=r 2. A trajet¶oria descrita ¶e um c¶³rculo de raio a. Mostre que aqenergia total ¶e E = ¡k=(2a), que o m¶odulo da velocidade ¶e v = k=(ma), e que o m¶odulo do momento angular em rela»c~ao ao p centro do c¶³rculo ¶e L = mka. 20. Um objeto espacial, A, de massa m, aproxima-se de uma estrela B que permanece ¯xa. A D d B Inicialmente, quando A est¶a muito distante de B (r ! 1), A tem velocidade de m¶odulo v0 dirigida ao longo da linha mostrada na ¯gura. A dist^ancia entre esta linha e B ¶e D. O objeto A desvia-se de sua F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 14 trajet¶oria inicial devido µa presen»ca de B, e move-se segundo a trajet¶oria indicada na ¯gura. A menor dist^ancia entre esta trajet¶oria e B ¶e d. Deduza a massa de B em termos das quantidades dadas e da constante G da gravita»c~ao. 21. A Lua gira em torno da Terra de forma tal que um observador na Terra v^e sempre a mesma face da Lua. (a) Qual ¶e a raz~ao entre a velocidade angular orbital da Lua em redor da Terra e a velocidade angular de rota»cµao da Terra em torno de seu pr¶prio eixo? (b) Determine a raz~ao entre o momento angular orbital e o momento angular de rota»c~ao da Lua, chamando de r a dist^ancia do centro da Terra ao centro da Lua e de RL o raio da Lua. F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 15 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 11 { Respostas 1. As demonstra»c~oes podem ser veri¯cadas em textos sobre vetores. 2. As demonstra»c~oes podem ser veri¯cadas em textos sobre vetores. 3. (a) 2^³; (b) 2^´; (c) 0; (d) ¡2 ^k; (e) 0; (f) 4 ^k; (g) ¡5; (h) ¡^³ ¡ 3^´ ¡ ^k; (i) ^³ ¡^´ + ^k; (j) ¡2^³ ¡ 2^´. ~ (o vetor que liga os 4. (a) 0 (os dois vetores s~ao antiparalelos); (b) OC pontos O e C). 5. As demonstra»c~oes podem ser veri¯cadas em textos sobre vetores. ³¯ ¯ ¯ ¯´ 6. (a) (demonstra»c~ao). (b) S = 2 ¯¯ ~a £ ~b ¯¯ + j~a £ ~c j + ¯¯ ~b £ ~c ¯¯ . (c) Volume = 4 m3 ; ¶area = 16 m2 . ^ n~ao. 7. ~¿O = ¡^³ + 3^´ ¡ 7 ^k; ~¿O0 = ¡^³ + 3^´ ¡ 6 k; Lista de exerc¶³cios 12 { Respostas 1. Supondo que os raios interno e externo do LP s~ao respectivamente iguais a Ri = 5 cm e Re = 15 cm, obt¶em-se para as velocidades os valores vi = 18 m/s e ve = 52 m/s. 2. a ' 1; 7 m/s2. 3. (a) vE ' 470 m/s, aE ' 0; 03 m/s2; (b)vR ' 430 m/s, aR ' 0; 03 m/s2; (c)vP = 0, aP = 0. 4. v ' 3 £ 104 m/s, a ' 6 £ 10¡3 m/s2 . 5. Ele leva 40 s para parar. Portanto, o n¶umero de rota»c~oes at¶e parar ¶e 4. 6. !2 =!1 = R1 =R2 > 1; a roda de raio menor gira mais rapidamente. F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 16 7. (a) ® ' 2 £ 10¡3 s¡2; (b) aproximadamente 9900 rota»c~oes; (c) 0; 001 m/s2; (d) aproximadamente 31 m/s2. 8. (demonstra»c~ao) ³ p p ´ 9. (a) ~¿1 = 10 ^k (J), ~¿2 = ¡ 20 2 ^k (J); (b) ~¿R = 10 ¡ 20 2 k^ (J); (c) ³ p p ´ ^ ~¿2 = ¡10 2 k, ^ ~¿R = 10 1 ¡ 2 k^ = ¡0; 4^k (J). ~¿1 = 10k, 10. d~ L± dt = d(~r£~ p) dt = d~ r dt p ~ RES = ~¿±RES : £ p~ + ~r £ d~ = ~v £ (m~v ) + ~r £ F dt 11. (a) peso e tra»c~ao da corda; (b) W (T ) = 0, W (P ) = mg` (1 ¡ cos ®); (c) considerando o unit¶ario ^k como o unit¶ario do eixo Oz perpendicular ao plano do papel e para fora deste, ~¿O (T ) = 0, ~¿O(P ) = ¡m g ` sen® ^k; (d) a velocidade ¶e tangente ao c¶³rculo e aponta da esquerda para a direiq q ~ = ¡m ` 2g` (1 ¡ cos ®) . ta com m¶odulo v = 2g` (1 ¡ cos ®) ; (e) L 12. (a) A for»ca que atua no planeta ¶e a for»ca de atra»c~ao gravitacional entre ele e a estrela; (b) 0; (c) sim, porque o torque da for»ca resultante ¶e nulo. 13. Usando um sistema de eixos radial, tangencial e perpendicular ao plano com unit¶arios r^ (dire»c~ao da reta que une o corpo ao ponto O, indo de O para o corpo), t^ (dire»c~ao perpendicular a ^r e mesmo sentido da velocidade no instante mostrado na ¯gura) e ^k (perpendicular ao plano ~ ) = b m g ^t, ~¿0(P~ ) = ¡b m g ^t, da mesa, e para dentro dela): (a) ~¿O(N ~ RES ) = 0; (b) L ~ O(t = 0) = b m v± ^k; (c) L ~ O (t) = L ~ O (t = 0). ~¿O (F d 14. (a) F RES = m ~a = m dt ³ d~ r dt ´ ^ = 8^³ + 24 t2 k; ^ (b) ~¿ORES = 24 t3 ^³ ¡ 40 t4 ^´ ¡ 8 t k; ^ (c) ~LO = 6 t4 ^³ ¡ 8 t5 ^´ ¡ 4 t2 k; (d) ~O L dt = 24 t3 ^³ ¡ 40 t4 ^´ ¡ 8 t k^ = ¿~ORES . 15. (a) ~¿ = b^³ + 2 c t^´ = 2^³ + 4 t^´; (b) ~¿ (1) = 2^³ + 4^´, ¿ (1) = p 20 J. 16. Usando um sistema de eixos x (a dire»c~ao horizontal para a direita), y (a dire»c~ao perpendicular a x, no plano do papel, de baixo para cima) F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 17 e z (perpendicular ao papel, para fora), podemos escrever para os vetores acelera»c~ao, velocidade e posi»c~ao: ~a = ~g = ¡g^´, ~v = ~v± ¡ ~g t = v³± cos µ± + (v± sen ´µ± ¡ g t) ^´, ~r = ~r± + ~v± t + 12 ~g t2 = v± cos µ± t^³ + v± sen µ ± t ¡ 12 g t2 ^´. Ent~ao LO = ¡ 12 m g v± cos µ± t2 , ¿0 = ¡ m g v± cos µ± t, ~ e veri¯ca-se diretamente que dL=dt = ~¿ . 17. 3; 03 £ 104 m/s; !A = 1; 93 £ 10¡7 rad/s, !P = 2:06 £ 10¡7 rad/s. ~ O = m d2 ! sen ® cos ® ½^ + m d2 ! sen2 ® ^k. O torque da tens~ao ¶e nulo. 18. L O torque da for»ca peso ¶e ~¿O (P ) = m d2 !2 sen2 ® ^t. Como a derivada do unit¶ario da dire»c~ao radial ¶e o vetor unit¶ario da dire»c~ao tangencial ½ ~ multiplicado por !, ou d^ = ! ^t, veri¯ca-se diretamente que dL=dt = ~¿ . dt 19. (Sugest~ao: escreva a segunda lei de Newton e obtenha a velocidade da part¶³cula.) 20. M = ¡ v±2(d2 ¡D2 ) . 2 Gd 21. (a) As duas velocidades angulares s ao iguais. (b) Leixo LT erra = R2L r2 . 1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) GUIA DE ESTUDO 5 ¶dulo 5: Sistema de Part¶³culas: Mo Momento Linear e sua Lei de Conservac »~ ao, Centro de Massa e Colis ~ oes ~ 1. INTRODUC » AO Neste m¶odulo, daremos in¶³cio µa descri»c~ao de um sistema de part¶³culas, correspondendo µa descri»c~ao de sistemas f¶³sicos que n~ao podem ser tratados como objetos pontuais. Come»caremos de¯nindo o momento linear de um sistema de part¶³culas e vendo como aplicar e generalizar a segunda lei de Newton para este sistema. Estudaremos em que situa»c~oes o momento linear de um sistema de part¶³culas ¶e conservado. Veremos que no estudo de um sistema de part¶³culas um conceito fundamental ¶e o de centro de massa do sistema, ao qual associaremos a for»ca externa total agindo sobre o sistema. Leituras indispens¶aveis: Os t¶opicos citados acima correspondem aos cap¶³tulos 8 (se»c~oes 8.1 a 8.4) e 9 do livro texto, H.M. Nussensveig, Curso de F¶³sica B¶asica, Vol. 1 { Mec^anica, 3a edi»c~ao, Editora Edgard Blucher Ltda. 2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA Atividade 1 Discuss~ao | da de¯ni»c~ao de momento linear para um sistema de duas ou mais part¶³culas (se»c~oes 8.1 e 8.2); | da lei de conserva»c~ao do momento linear (se»c~ao 8.3). Atividade 2 Resolu»c~ao do problema 26 da lista de exerc¶³cios 13 (sobre Sistema de part¶³culas: momento linear, centro de massa, conserva»c~ao do momento, e colis~oes). Este problema corresponde µa primeira atividade experimental do M¶odulo 5, feito no laborat¶orio; pense as condi»c~oes que a F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 2 experi^encia deve ser realizada para que haja conserva»c~ao do momento linear. Atividades extras 1 1. Leia as se»c~oes 8.1, 8.2 e 8.3 do cap¶³tulo 8 do livro texto. 2. Resolva os exerc¶³cios 6 e 8 da lista de exerc¶³cios 13. 3. Demonstre (com o livro fechado) que para um sistema de part¶³culas ~ dP ~ ext =F dt ~ onde P ¶e o momento linear total e F~ ext ¶e a resultante das for»cas externas aplicadas sobre o sistema. Atividade 3 Discuss~ao (novamente) dos conceitos apresentados na aula anterior, com a resolu»c~ao dos exerc¶³cios 5 e 2 da lista 13. Atividade 4 Discuss~ao do conceito de centro de massa, obtendo a equa»c~ao que descreve o movimento deste ponto (se»c~ao 8.3); e c¶alculos de alguns centros de massa para sistemas simples (se»c~ao 8.4). Atividades extras 2 1. Leia novamente as se»c ~oes 8.1, 8.2 e 8.3 do livro texto. 2. Leia a se»c~ao 8.4 do livro texto. 3. Resolva os exerc¶³cios 1,2,3,7,8,9,11,14 e 16 da lista 13. Atividade 5 Discuss~ao dos conceitos envolvidos na an¶alise de colis~oes usando o Exemplo A a seguir. Exemplo A Consideremos a colis~ao de duas bolas de borracha numa mesa sem atrito. As duas bolas t^em massas m1 e m2 , e supomos conhecidas as suas velocidades iniciais ~v1i e ~v2i . Durante um F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 3 curto intervalo de tempo as duas bolas permanecem em contato, e depois se afastam com velocidades ¯nais ~v1f e ~v2f . Esquematicamente, podemos ver como se d¶a a \evolu»c~ao temporal" deste sistema, como na ¯gura abaixo. ¡ ¡ ¡ v1i ¡ ~ ©* ¡ v ©¼ m1 ~v2i ¡ ¡ t± v m2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ t1 ¡ v v t2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ @I ~ vv1f m1 vm2 ¡ ~v@R2f ¡ ¡ ¡ t3 As duas part¶³culas antes, durante e depois da colis~ao. Nosso problema fundamental ¶e encontrar as velocidades ¯nais ~v1f e ~v2f . Podemos fazer um gr¶a¯co das for»cas que agem sobre os dois corpos como fun»c~ao do tempo. Este gr¶a¯co tem a forma mostrada abaixo. ¨¥ ¦ E ¦ EE t ´ ³ µ ¶ 2 F1 (t) t± t1 t3 - t E ¦¦ E§ ¦ ¦ F2 (t) Podemos escrever a segunda lei de Newton para cada um dos dois corpos; tanto antes quanto depois da colis~ao, se ~p1 e ~p2 s~ao os momentos lineares dos corpos, d ~p1 d ~p2 =0 ; =0 dt dt nos intervalos de tempo t0 < t < t1 e t2 < t < t3 . Por outro lado, durante a colis~ao | isto ¶e, no intervalo de tempo t1 < t < t2 , a segunda lei de Newton nos diz que d ~p1 ~1 =F dt ; d ~p2 ~2 : =F dt ¡ F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 4 Se conhecessemos estas for»cas, poder¶³amos (tentar) resolver o problema de encontrar as velocidades ¯nais dos corpos. Mas na maioria dos casos de colis~oes a forma destas for»cas nos ¶e desconhecida. Sabemos, por¶em, pela terceira lei de Newton, que elas constituem um par a»c~ao e rea»c~ao, ~1 + F ~2 = 0 : F Embora n~ao tenhamos uma solu»c~ao completa, podemos usar esta propriedade para obter informa»c~oes ¶uteis sobre o que est¶a acontecendo com o sistema considerado. Se somarmos as duas equa»c~oes, obteremos uma rela»c~ao que ser¶a v¶alida antes, durante e depois da colis~ao: d ~p1 d ~p2 d (~p1 + ~p2) + = =0 dt dt dt Podemos de¯nir uma nova grandeza, a qual chamaremos de momento linear total do sistema, ou quantidade de movimento total do sistema, como sendo a soma do momento de cada uma das part¶³culas que comp~oem o sistema ~ = ~p1 + ~p2 P e, olhando para a equa»c~ao anterior, temos ~ dP =0 dt Esta equa»c~ao signi¯ca que o momento linear total do sistema | que ¶e \isolado" | ¶e uma grandeza conservada; isto ¶e, seu valor ¶e sempre o mesmo, antes, durante e depois da colis~ao: (~ p1 + ~p2)inicial = (~p1 + ~p2)f inal Duas quest~oes s~ao fundamentais. A primeira: o momento linear total de um sistema de part¶³culas ¶e sempre conservado? A resposta ¶e n~ao! Se tivermos for»cas F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 5 externas atuando sobre o sistema (por exemplo, atrito) n~ao teremos o valor nulo para a soma das duas equa»c~oes anteriores. A segunda: a energia cin¶etica ¶e conservada nesta colis~ao? A resposta ¶e n~ao necessariamente! Discutiremos a seguir o porque desta a¯rma»c~ao. Um ¶ultimo coment¶ario: o que discutimos aqui se aplica em geral. N~ao ¯zemos nenhuma restri»c~ao sobre a for»ca interna que atua entre as part¶³culas durante a colis~ao (a ¶unica restri»c~ao foi exigir que ela satis¯zesse ao princ¶³pio de a»c~ao e rea»c~ao). Assim, qualquer que seja a for»ca interna, o momento linear total de um sistema isolado ¶e conservado. Atividade 6 Discuss~ao | do conceito de impulso de uma for»ca (se»c~ao 9.2), ilustrando com o exerc¶³cio 22; | e do que ocorre com o momento linear total e com a energia cin¶etica num processo de colis~ao (se»c~ao 9.3), classi¯cando as colis~oes em el¶asticas e inel¶asticas; | e resolu»c~ao do caso geral de uma colis~ao el¶astica unidimensional. Atividades extras 3 1. 2. 3. 4. Leia as se»c~oes 9.1, 9.2 e 9.3 do livro texto. Resolva os exerc¶³cios 21 e 22 da lista 13. Leia a se»c~ao 9.4. Com o livro fechado, obtenha as equa»c~oes (9.4.11) do livro texto e aplique estas equa»c~oes ao caso particular em que as duas massas s~ao iguais. 5. Escreva um modelo te¶orico que descreva a atividade 2 da experi^encia do laborat¶orio - colis~ao el¶astica entre dois corpos de mesmas massas - e compare com a observa»c~ao feita no laborat¶orio. 6. Resolva os exerc¶³cios 23 e 24 da lista 13. F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 6 Atividade 7 Discuss~ao do problema das colis~oes unidimensionais n~ao el¶asticas, e em particular o caso da colis~ao totalmente inel¶astica (se»c~ao 9.5); e resolu»c~ao do exerc¶³cio 41 (p^endulo bal¶³stico). Atividade 8 Rediscuss~ao de conceitos relacionados µa lei de conserva»c~ao do momento linear de um sistema de part¶³culas e ao conceito de centro de massa usando o Exemplo B a seguir. Exemplo B Consideremos agora o caso de dois corpos (part¶³culas) de massas m1 e m2 . Esses dois corpos n~ao est~ao, como no caso do Exemplo A, isolados. Sobre eles, atuam tanto for»cas internas | a intera»c~ao de um com o outro, como no caso anterior, quanto for»cas externas | por exemplo, a for»ca peso, o atrito, etc. Podemos, para cada um dos dois corpos, separar a for»ca resultante em duas partes: uma, correspondente µas for»cas internas ao sistema, e outra correspondente µas for»cas externas. Assim, sobre os corpos 1 e 2 a resultante das for»cas ¶e escrita como ~1 = F ~1int + F ~1ext F ~2int + F ~2ext ; F~2 = F e a segunda lei de Newton ¯ca d ~p1 = F~1int + F~1ext dt ; d ~p2 ~2int + F ~2ext : =F dt A \for»ca interna" que atua sobre o corpo 1 deve-se µa intera»c~ao deste corpo com outros corpos do sistema; no caso, o outro corpo do sistema ¶e o corpo 2. O mesmo ¶e v¶alido para o corpo ~2int constituem um par a»c~ao-rea»c~ao, e a 2. As for»cas F~1int e F terceira lei de Newton nos d¶a F~1int + F~2int = 0 : De¯nimos o momento linear total de nosso sistema de part¶³culas como sendo ~ ´ ~p1 + ~p2 : P F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 7 Ent~ao podemos escrever ~ dP d (~p1 + ~p2 ) ³ ~ int ~ int ´ ³ ~ ext ~ ext´ = = F1 + F2 + F1 + F2 dt dt ~ ext = F ~1ext + F~2ext ¶e a resultante das for»cas externas que Se F atuam sobre as part¶³culas de nosso sistema, ~ dP = F~ ext : dt Desta express~ao, podemos ver imediatamente sob que condi»c~oes o momento linear total de um sistema ¶e conservado. Todas as vezes que a resultante das for»cas externas ¶e nula, o sistema tem momento linear constante | e n~ao apenas quando o sistema ¶e isolado. Por este motivo, um sistema de duas part¶³culas em colis~ao sobre uma superf¶³cie horizontal sem atrito pode ser tratado como sendo isolado: as for»cas externas, pesos e normais, se anulam, dando uma resultante externa nula e conservando o momento total. A equa»c~ao que de¯ne o momento linear total do sistema nos inspira para uma outra observa»c~ao. Como ~p1 = m1 ~v1 e ~p2 = m2 ~v2, o momento total ¶e dado por P~ = (m1 ~v1 + m2 ~v2 ) Esta express~ao nos faz pensar que talvez fosse conveniente de¯nir um ponto especial de nosso sistema. Este ponto moverse-ia com uma velocidade que ¶e uma \m¶edia ponderada" das velocidades dos corpos ~ = V m1 m2 ~v1 + ~v : m1 + m2 m1 + m2 2 Os pesos nesta m¶edia s~ao as massas dos corpos envolvidos. A este ponto damos o nome de centro de massa do sistema de part¶³culas. Este ponto especial tem algumas propriedades interessantes e que se tornam bastante ¶uteis para a discuss~ao de sistemas de F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 8 part¶³culas. Sua posi»c~ao ¶e de¯nida como um ponto do espa»co que tem coordenadas dadas por m1 m2 ~ cm ´ R ~r1 + ~r2 : m1 + m2 m1 + m2 Se escrevemos para a massa total do sistema M = m1 + m2, temos das de¯ni»c~oes acima ~ cm = m1 ~r1 + m2 ~r2 R M M m m ~cm = 1 ~v1 + 2 ~v2 V M M e observamos (primeira propriedade interessante!) que ~ =MV ~cm : P Este ponto especial tem uma velocidade que corresponde ao momento total do sistema dividido pela massa total do sistema | ou seja, tem a velocidade que teria um corpo de massa M que possu¶³sse um momento linear P~ . Tamb¶em a equa»c~ao que escrevemos acima para a conserva»c~ao do momento linear pode ser reescrita. A acelera»c~ao do centro de massa ¶e ~ cm = m1 ~a1 + m2 ~a2 : A M M Temos que ~ dP d ~p1 d ~p2 = + = m1 ~a1 + m2 ~a2 ; dt dt dt ou seja, ~ ext = M A ~cm : F A¶³ temos mais uma propriedade interessante do centro de massa: sua acelera»c~ao corresponde µa raz~ao entre a for»ca externa resultante sobre o sistema e a massa total do sistema | a acelera»c~ao de uma part¶³cula de massa M sobre a qual agisse uma for»ca F~ ext . Com esta discuss~ao, podemos ver que o centro de massa ¶e um ponto bastante ¶util na discuss~ao do movimento de um sistema de part¶³culas, ou de um corpo constitu¶³do de mais de uma F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 9 \part¶³cula". Este ponto nos permite fazer uma an¶alise global do movimento do sistema, independente do movimento interno das componentes do sistema em rela»c~ao umas µas outras. Este ponto ¶e tal que tudo se passa como se sobre ele estivesse concentrada toda a massa do sistema e agissem todas as for»cas externas ao sistema. Ele ¶e um auxiliar bastante ¶util na discuss~ao de corpos mais complexos, dos quais n~ao temos muitas indica»c~oes (ou temos e s~ao complicadas) de como s~ao as intera»c~oes dentro do sistema, como num corpo r¶³gido, etc. Ele nos permite de uma primeira maneira intuitiva entender porque colocamos a for»ca peso agindo sobre o \centro" dos corpos, e a for»ca gravitacional de um objeto sobre a Terra agindo sobre o centro da Terra, etc, resultados que ser~ao formalizados com mais clareza e exatid~ao posteriormente em nosso curso. Atividade 9 Discuss~ao | de como a descri»c~ao de uma colis~ao pode ser feita usando tanto o referencial do laborat¶orio quanto o referencial do centro de massa do sistema, usando as transforma»c~oes galileanas de velocidade para passar de um sistema de refer^encia inercial para o outro; e | e aplica»c~ao ao Exemplo C a seguir. Exemplo C Duas bolas de bilhar de massas m1 e m2 movendo-se com velocidades ~v1 e ~v2 no referencial do laborat¶orio colidem. A colis~ao ¶e totalmente inel¶astica, isto ¶e, as duas bolas saem juntas ap¶os a colis~ao. 1. Calcule a velocidade do centro de massa do sistema antes e depois da colis~ao no referencial do laborat¶orio. 2. Calcule as energias cin¶eticas inicial e ¯nal do sistema no referencial do laborat¶orio. 3. Calcule as velocidades ~u1 e ~u2 de cada uma das duas bolas antes da colis~ao no referencial do centro de massa do sistema. F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 10 4. Descreva a colis~ao para um observador que anda junto com o centro de massa. 5. Calcule as energias cin¶eticas inicial e ¯nal do sistema no referencial do centro de massa. Atividades extras 4 1. Leia as se»c~oes 9.1 a 9.4 do livro texto. 2. Resolva os exerc¶³cios 27, 28, 29 da lista 13. 3. Resolva os exerc¶³cios 30, 31 e 32 da lista 13. Atividade 10 Discuss~ao sobre colis~oes no caso geral, bidimensional (se»c~oes 9.6 e 9.7) tanto el¶asticas quanto inel¶asticas, exempli¯cando com o problema 36 da lista 13. Atividade 11 Discuss~ao de um processo de colis~ao do ponto de vista do referencial do laborat¶orio e do ponto de vista do referencial do centro de massa do sistema, resolvendo com o problema 39 da lista 13. Atividades extras 5 1. Leia as se»c~oes 9.6 a 9.7 do livro texto. 2. Releia a se»c~ao 13.1 do livro texto (transforma»c ~oes de Galileu). 3. Refa»ca exerc¶³cios da lista 8, sobre mudan»c a de sistema de refer^encia. 4. Resolva os exerc¶³cios 37, 38, 39 da lista 13. Atividade 12 Demonstra»c~ao de que podemos escrever a energia cin¶etica de um sistema de duas part¶³culas como sendo Ec = 1 1 m1 m2 2 M Vcm + (~v1 ¡ ~v2 )2 2 2 m1 + m2 e discuss~ao do exerc¶³cio 28 em vista desta equa»c~ao. F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 11 Atividades extras 6 1. Releia todo o guia, e todo o cap¶³tulo 9. 2. Fa»ca tudo que voc^e ainda n~ao fez. Atividade 13 Resolu»c~ao de problemas da lista 13 e dos cap¶³tulos 8 e 9 do livro texto, a crit¶erio do professor. ¶ 3. ATIVIDADES FINAIS DO MODULO 5 1. Releia os cap¶³tulos 8 e 9 do livro texto. 2. Releia a se»c~ao 13.1 do livro texto. 3. Refa»ca todos os exemplos deste guia e do livro texto. 4. Fa»ca todos os exerc¶³cios da lista 13 que voc^e ainda n~ao fez. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 12 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 13 Sistema de Part¶³culas: Momento Linear, Centro de Massa, ~o do Momento, Colis~ Conservac »a oes 1. Um corpo de massa m1 est¶a sobre o eixo x no ponto x1. Outro corpo de massa m2 est¶a sobre o eixo x no ponto x2. Determine o valor da dist^ancia entre o centro de massa do sistema constitu¶³do pelos dois corpos e o corpo de massa m1. Aplique este resultado aos casos em que m2 = m1 e m2 = 2 m1. 2. Um sistema de part¶³culas ¶e composto de dois objetos de massas m1 e m2. Demonstre que o centro de massa est¶a deste sistema est¶a sobre a linha que une os dois, entre os dois, e a raz~ao entre a dist^ancias d1 e d2 de cada um dos dois corpos ao centro de massa ¶e inversamente proporcional µa raz~ao entre as massas: d1=d2 = m2=m1. 1w d1 cm - d2 2u 3. Obtenha a posi»c~ao do centro de massa de um sistema de duas part¶³culas, de massas m1 = 1 kg e m2 = 3 kg, em repouso nas posi»c~oes ~r1 = 5^³+ 2^´ e ~r2 = ^³ ¡ 3^´. Calcule a dist^ancia de cada uma das massas ao centro de massa do sistema. As posi»c~oes est~ao dadas em metros. 4. Um n¶ucleo de r¶adio 226 (com 88 pr¶otons e 128 n^eutrons, 226 88 Ra) sofre decaimento radioativo, emitindo uma part¶³cula ® (que corresponde ao n¶ ucleo do ¶atomo de h¶elio, com 2 pr¶otons e 2 n^eutrons, 42He). As massas do pr¶oton e do n^eutron s~ao aproximadamente iguais. Se o n¶ucleo original estiver inicialmente em repouso, a part¶³cula ® ¶e emitida com velocidade de 1; 5 £ 107 m/s. Qual ¶e a velocidade do n¶ ucleo residual? F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 13 5. Um proj¶etil ¶e lan»cado com velocidade inicial de 400 m/s numa dire»c~ao que faz um ^angulo de 60± com a horizontal. No ponto mais alto de sua trajet¶oria, ele explode em dois fragmentos iguais, um dos quais cai verticalmente, levando 20 s para chocar-se com o solo. A que dist^ancia do ponto de queda do primeiro cai o outro fragmento, supondo-se o solo horizontal? 6. Um n¶ucleo radioativo, inicialmente em repouso, desintegra-se, emitindo um el¶etron e um neutrino em dire»c~oes perpendiculares entre si. O m¶odulo do momento linear do el¶etron ¶e 1; 2 £ 10¡22 kg m/s e o do neutrino 6; 4 £ 10¡23 kg m/s. (a) Ache a dire»c~ao e o m¶odulo do momento adquirido pelo n¶ucleo ao recuar. (b) A massa do n¶ucleo residual ¶e de 5; 8£10¡26 kg. Qual a sua energia cin¶etica de recuo? 7. Um corpo de massa igual a 8,0 kg desloca-se com velocidade de 2,0 m/s sem in°u^encia de qualquer for»ca externa. Num certo instante, ocorre uma explos~ao interna e o corpo divide-se em dois fragmentos, de 4,0 kg cada. Com a explos~ao, uma energia cin¶etica de transla»c~ao de 36 J ¶e transmitida ao sistema formado pelos dois fragmentos. Nenhum dos dois deixa a linha do movimento inicial. Determine a velocidade e o sentido do movimento de cada fragmento depois da explos~ao. 8. Duas part¶³culas P e Q est~ao inicialmente em repouso, separadas por uma dist^ancia de 1 m. A part¶³cula P tem massa m1 = 3; 0 kg, e Q tem massa m2 = 5; 0 kg. Elas atraem-se mutuamente com uma for»ca constante de m¶odulo 0,35 N. Nenhuma for»ca externa atua sobre este sistema. (a) Descreva o movimento do centro de massa do sistema. (b) A que dist^ancia da posi»c~ao original de P as part¶³culas v~ao colidir? 9. Um homem de massa m est¶a pendurado numa escada de corda, suspensa por um bal~ao de massa M. O bal~ao est¶a estacion¶ario em rela»c~ao ao solo. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 14 (a) Se o homem come»car a subir pela escada com velocidade de m¶odulo v (em rela»c~ao µa escada), em que dire»c~ao e com que velocidade (em rela»c~ao µa Terra) o bal~ao mover-se-¶a? (b) Como se mover¶a o bal~ao depois que o homem parar de subir? 10. Um avi~ao, cuja massa total ¶e M, em v^oo horizontal planado (com motor desligado) com velocidade de m¶odulo v0 dispara para frente um foguete de massa m. O foguete sai com velocidade horizontal de m¶odulo vc em rela»c~ao ao avi~ao (medida pelo piloto ap¶os o lan»camento). Calcule as velocidades do avi~ao e do foguete em rela»c~ao µa Terra imediatamente ap¶os o disparo. 11. Um cachorro de 5,0 kg est¶a de p¶e, parado dentro de um barco cujo extremo encontra-se a 6 m da margem, como mostrado na ¯gura. Ele anda 2,4 m sobre o barco em dire»c~ao µa margem, e depois p¶ara. O barco tem uma massa de 20 kg, e sup~oe-se n~ao haver atrito entre ele e a ¶agua. A que dist^ancia da margem estar¶a o barco no ¯nal da caminhada do cachorro? 12. Um casal passeia num bote a remo de 100 kg e 3 m de comprimento em uma lagoa de ¶aguas calmas. Em um dado momento, o homem cai fora do barco, perdendo o remo, e ¯ca a uma dist^ancia de 1,5 m da popa do barco na dire»c~ao de seu comprimento. Como nenhum dos dois sabe nadar, a mulher, de 50 kg, resolve andar em dire»c~ao µa proa do barco, a ¯m de salvar seu companheiro. Desconsiderando o atrito entre o barco e a ¶agua, determine se a mulher ser¶a ou n~ao bem sucedida. Suponha que o centro de massa do barco est¶a em seu centro geom¶etrico. 13. Um homem de massa M , em repouso, de p¶e com patins sobre uma superf¶³cie supostamente sem atrito, atira uma bola de massa m horizontalmente, com velocidade de m¶odulo v, para outro patinador de mesma massa, em repouso, que a apanha e a devolve com a mesma velocidade v. (A velocidade dada corresponde µa velocidade em rela»c~ao ao patinador antes dele lan»car a bola.) F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 15 (a) Calcule a velocidade do primeiro patinador logo ap¶os lan»car a bola. (b) Calcule a velocidade do segundo patinador logo ap¶os receber a bola. (c) Calcule a velocidade do segundo patinador ap¶os lan»car a bola de volta. 14. Determine o centro de massa de um sistema composto por tr^es part¶³culas de massas 1,0 kg, 3,0 kg e 6,0 kg, localizadas nos v¶ertices de um tri^angulo equil¶atero de 2 m de lado. 15. Num instante particular, tr^es part¶³culas move-se como mostrado na ¯gura. Elas est~ao sujeitas apenas µas suas intera»c~oes m¶utuas. Ap¶os um certo tempo, elas s~ao novamente observadas; v^e-se que m1 move-se como mostrado na ¯gura, enquanto m2 est¶a parada. Ache a velocidade de m3. Considere m1 = 2 kg, m2 = 0; 5 kg, m3 = 1 kg, v1 = 1 m/s, v2 = 2 m/s, v3 = 4 m/s e v01 = 3 m/s. O IN ÍC I y FI M r v3 3 30 0 x 1r v1 r v2 2 y 3? r v1' 1 x 2 16. Um conjunto de part¶³culas possui massa total M = 2 kg. O momento ~ = b t^³ + c t2 ^´, onde b = 2 kg m/s2, linear do sistema ¶e dado por P 3 c = 4 kg m/s e t ¶e dado em segundos. Todas as massas permanecem constantes. (a) Determine a velocidade do centro de massa em fun»c~ao do tempo. (b) Obtenha uma express~ao para a for»ca que atua sobre o sistema como fun»c~ao do tempo. (c) Calcule o m¶odulo da for»ca externa para t = 1 s. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 16 17. A posi»c~ao do centro de massa de um sistema constitu¶³do de 4 part¶³culas de massas m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, m3 = 3 kg e m4 = 4 kg ¶e dada por XCM = ¡0; 4 m e YCM = ¡0; 1 m. Sabendo que as tr^es primeiras part¶³culas est~ao localizadas nas posi»c~oes (1; 0), (¡1; ¡1) e (¡1; 1), onde as coordenadas est~ao dadas em metros, determine a posi»c~ao da quarta part¶³cula. 18. Um observador mede as velocidades de duas part¶³culas de massas m1 e m2 e obt¶em os valores ~v1 e ~v2 . Determine: (a) a velocidade do centro de massa das duas part¶³culas; (b) a velocidade de cada uma das part¶³culas em rela»c~ao ao centro de massa do sistema; (c) o momento linear de cada part¶³cula em rela»c~ao ao centro de massa do sistema. 19. Em uma mesa horizontal, um sistema formado por duas massas m1 = 1 kg e m2 = 3 kg ligadas por uma haste r¶³gida de massa desprez¶³vel e comprimento igual a 20 cm est¶a em repouso na posi»c~ao indicada na ~1 = 3^´ e ¯gura. Num certo instante t = 0, passam a atuar as for»cas F F~2 = ¡4^³ (dadas em Newtons) respectivamente sobre as massas 1 e 2. Despreze o atrito com a mesa. y (cm) 6 w -5 5 10 y 15 - x (cm) (a) Encontre a acelera»c~ao do centro de massa do sistema. (b) Calcule a posi»c~ao do centro de massa do sistema como fun»c~ao do tempo. (c) Que tipo de trajet¶oria descrever¶a o centro de massa? (d) Responda aos itens anteriores no caso em que a haste r¶³gida for substitu¶³da por uma mola de comprimento natural 20 cm e constante el¶astica k = 0; 1 N/cm. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 17 20. Considere uma chapa homog^enea de massa M , na forma de um tri^angulo equil¶atero de lado a, sobre uma mesa horizontal sem atrito. Determine o vetor posi»c~ao do centro de massa da chapa como fun»c~ao do ~1 e F ~2 mostradas na ¯gura tempo, sabendo que as for»cas constantes F s~ao aplicadas na chapa e que esta parte do repouso na posi»c~ao indicada na ¯gura. D^e sua resposta em fun»c~ao dos par^ametros M , a e F , onde y ~1 j = jF~2j : F = jF 6 HY H H ¢ ~ F2 ¢ ¢ ¢ ¢ ~1 6 ¢ F ¢ ¢ ¢ ¢A A A A A A A A A A - x 21. Um taco atinge uma bola de bilhar, exercendo sobre ela uma for»ca de 50 N durante um intervalo de tempo de 0,010 s. Se a massa da bola ¶e de 0,20 kg, que velocidade ela ter¶a ap¶os o impacto? 22. Uma bola de 1,0 kg cai verticalmente sobre o solo, com velocidade de 25 m/s. Ela ¶e rebatida para cima e volta com uma velocidade de 10 m/s. (a) Que impulso age sobre a bola, durante o contato com o solo? (b) Se a bola ¯cou em contato com o solo durante 0,020 s, qual a for»ca m¶edia exercida sobre o solo? 23. Uma bola de borracha de massa 1 kg, que move-se sobre uma mesa plana sem atrito com velocidade constante de 2 m/s, colide frontalmente com um bloco de massa 100 kg, em repouso. O choque ¶e perfeitamente el¶astico. Quais as velocidades da bola e do bloco depois do choque? 24. Uma massa m1, com velocidade de m¶odulo v, choca-se frontalmente com uma massa m2. Ap¶os a colis~ao, m2 possui velocidade de m¶odulo u2 . A massa m1 , chocando-se com a mesma velocidade de m¶odulo v com a massa m3 , faz com que esta adquira uma velocidade de m¶odulo F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 18 u3 . Os choques s~ao el¶asticos e as massas m2 e m3 est~ao inicialmente em repouso. (a) Calcule m1 e v em termos de m2, m3 , u2 e u3. (b) Em 1932, num hist¶orico trabalho de pesquisa, James Chadwick obteve um valor para a massa do n^eutron, estudando colis~oes el¶asticas de n^eutrons r¶apidos com n¶ucleos de hidrog^enio e de nitrog^enio. Ele encontrou que a m¶axima velocidade ¯nal do n¶ucleo de hidrog^enio inicialmente em repouso era 3; 3 £ 107 m/s e que a m¶axima velocidade ¯nal do n¶ucleo de nitrog^enio 14 era 4; 7 £ 106 m/s. A massa do n¶ ucleo de hidrog^enio ¶e uma unidade de massa at^omica (u.m.a.) e a do n¶ucleo de nitrog^enio 14 ¶e de 14 u.m.a.. Queremos saber, em u.m.a., qual a massa do n^eutron, e a velocidade inicial dos n^eutrons utilizados na rea»c~ao. 25. Num reator de ¯ss~ao nuclear, os n^eutrons produzidos pela ¯ss~ao de um n¶ ucleo de ur^anio devem ser freados, de forma que possam ser absorvidos por outros n¶ucleos e produzam mais ¯ss~oes. Esta frenagem ¶e obtida por meio de colis~oes el¶asticas com n¶ ucleos, na regi~ao de modera»c~ao do reator. Se desejarmos frear os n^eutrons com o m¶³nimo de colis~oes poss¶³vel, que elementos devem ser usados como material moderador? Por qu^e? 26. Considere dois blocos A e B, de massas iguais a 1 kg e 2 kg, respectivamente, colocados sobre uma mesa sem atrito. Uma mola de constante el¶astica k = 3 N/cm e de massa desprez¶³vel est¶a presa ao bloco B. Prende-se o bloco A ao bloco B por meio de um ¯o, e neste processo comprime-se a mola de 10 cm. Num dado momento o ¯o se rompe. Determine a velocidade de cada bloco ap¶os a separa»c~ao. antes A γγ γγγ γγ γγ γγ γγ γγ γ B depois A γγ γγγ γγ γ γγ γγγ γγ γ B F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 19 27. Considere um choque el¶astico unidimensional de um corpo A que se aproxima de um corpo B inicialmente em repouso. Como voc^e escolheria a massa de B, em rela»c~ao µa massa de A, para que ap¶os o choque B tenha: (a) a m¶axima velocidade poss¶³vel; (b) o maior momento linear poss¶³vel; (c) a m¶axima energia cin¶etica? 28. Uma part¶³cula de massa m1 e energia cin¶etica inicial T1 colide elasticamente com uma part¶³cula de massa m2 inicialmente em repouso. Qual ¶e a energia m¶axima que a primeira part¶³cula pode perder durante esta colis~ao? (Sugest~ao: use o referencial do centro de massa do sistema.) 29. Dois corpos de massas m1 = 4 kg e m2 = 2 kg, com velocidades de m¶odulos v1 = 5 m/s e v2 = 2 m/s, como indicado na ¯gura, colidem e permanecem juntas ap¶os o choque. v2 m2 v1 m1 (a) Calcule a velocidade das part¶³culas ap¶os o choque e a varia»c~ao na energia cin¶etica total durante o choque. (b) Calcule as velocidades iniciais e ¯nais dos corpos num referencial ligado ao centro de massa do sistema. Fa»ca o esquema da colis~ao neste referencial. (c) Calcule a varia»c~ao da energia cin¶etica no referencial do centro de massa do sistema. 30. Como mostrado na ¯gura, observa-se um bloco de madeira com massa M = 0; 49 kg em repouso num plano horizontal. O coe¯ciente de atrito entre o bloco e o plano ¶e ¹ = 0; 25. Uma bala de massa m = 0; 01 kg ¶e atirada contra o bloco, atingindo-o horizontalmente com velocidade de 500 m/s, ¯cando nele engastada. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 20 (a) Calcule a velocidade do conjunto imediatamente ap¶os o impacto. (b) Ache a dist^ancia que o conjunto percorre at¶e parar. m ~v0 - M 31. Um bloco de madeira de massa m2 repousa sobre uma superf¶³cie horizontal, como mostra a ¯gura. O coe¯ciente de atrito entre o bloco e a superf¶³cie ¶e ¹. Uma extremidade de uma mola, de constante el¶astica k, est¶a ligada ao bloco, e a outra extremidade est¶a presa a uma parede. Inicialmente a mola n~ao est¶a distendida. Uma bala de massa m1 atinge o bloco e ¯ca grudada nele. Se a de°ex~ao m¶axima da mola for x, obtenha a velocidade da bala em fun»c~ao de m1, m2, k, ¹, g e x. °°°°°°° m2 ¾ m t1 32. Um vag~ao de massa m desce uma colina de altura h. Ao ¯nal da colina o solo ¶e horizontal, e o vag~ao colide com um vag~ao igual inicialmente em repouso. Os dois se engatam e come»cam a subir uma outra colina. Que altura eles alcan»cam? Considere o atrito desprez¶³vel. h 33. Considere o sistema da ¯gura, formado por um conjunto de n massas suspensas por ¯os de massas desprez¶³veis de forma a n~ao existir contato entre elas. A primeira massa tem um valor f m0 , a segunda f 2 m0, a terceira f 3 m0 e assim sucessivamente at¶e a n-¶esima, f n m0. Uma part¶³cula de massa m0 e velocidade ~v0 choca-se com a primeira massa. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 21 v-0 {~ k k k k¢ ¢ ¢ m0 f m0 k n f m0 (a) Supondo todas as colis~oes entre as massas perfeitamente el¶asticas, mostre que a u¶ltima massa ¶e ejetada com velocidade " 2 ~vn = 1+f #n ~v0 : (b) Mostre que, para valores de f pr¶oximos da unidade (f = 1 + », » ¿ 1), este sistema pode ser usado para transferir praticamente toda a energia cin¶etica da part¶³cula incidente para a ¶ultima massa suspensa, mesmo para grandes valores de n. (c) Calcule, para f = 0; 9 e n = 20, a massa, a velocidade e a energia cin¶etica da u¶ltima massa suspensa em fun»c~ao de m0 e de ~v0 da part¶³cula incidente. Compare com o resultado que seria obtido numa colis~ao direta entre a part¶³cula incidente e a ¶ultima part¶³cula suspensa. 34. Um ¶atomo de deut¶erio (cujo n¶ucleo, o d^euteron, cont¶em um pr¶oton e um n^eutron) com energia cin¶etica de 0; 81 £ 10¡13 J colide com um ¶atomo similar em repouso. Ocorre uma rea»c~ao nuclear, e ¶e emitido um n^eutron cuja velocidade faz um ^angulo reto com a dire»c~ao da velocidade do primeiro ¶atomo. Nesta rea»c~ao, ¶e liberada uma energia de 5; 31 £ 10¡13 J, que ¶e transformada em energia cin¶etica das part¶³culas emitidas. Determine a energia cin¶etica do n^eutron, dado que o outro produto ¶e um ¶atomo de H¶elio 3 e que as massas do n^eutron, do deut¶erio e do 3He s~ao respectivamente 1,67 , 3,34 e 5,00 em unidades de 10¡27 kg. 35. Uma part¶³cula de massa m0 com velocidade de m¶odulo v0 atinge uma part¶³cula estacion¶aria de massa 2 m0. Como resultado, a part¶³cula de massa m0 tem a dire»c~ao de seu movimento de°etida de um ^angulo de 45± e o m¶odulo de sua velocidade passa a ser v0=2. Ache o vetor velocidade da part¶³cula de massa 2 m0 ap¶os a colis~ao. Houve conserva»c~ao da energia cin¶etica do sistema? F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 22 36. Mostre que em uma colis~ao el¶astica n~ao frontal de duas esferas id^enticas, em que uma delas est¶a inicialmente em repouso, o ^angulo formado pelas dire»c~oes das velocidades ¯nais das duas esferas ¶e sempre ¼=2. 37. Uma part¶³cula de massa m1 e velocidade u1 atinge uma part¶³cula em repouso de massa m2. O choque ¶e perfeitamente el¶astico. Observa-se que depois do choque as part¶³culas t^em velocidades iguais e opostas. Ache: (a) a rela»c~ao m2 ; m1 (b) a velocidade do centro de massa do sistema; (c) a energia cin¶etica total das part¶³culas no referencial do centro de massa do sistema, em fun»c~ao da energia cin¶etica inicial de m1, T1 = 12 m1 u21 ; (d) a energia cin¶etica ¯nal de m1 no sistema de laborat¶orio. 38. Uma part¶³cula de massa m movendo-se com velocidade v sobre uma mesa plana sem atrito incide sobre outra part¶³cula de massa 2m, em repouso. Ap¶os o choque, observa-se que a massa m tem velocidade de m¶odulo 2v=3 fazendo um ^angulo de 60± com a dire»c~ao original do movimento, do ponto de vista de um observador no laborat¶orio. (a) Qual a velocidade do centro de massa do sistema antes e depois do choque? (b) Qual a velocidade, vista do referencial do centro de massa do sistema, da part¶³cula de massa 2m ap¶os o choque? 39. Uma part¶³cula de massa m, que move-se com velocidade de m¶odulo v, choca-se com uma part¶³cula em repouso de massa 2m. Em consequ^encia disto, a part¶³cula de massa m ¶e desviada de 30± da sua dire»c~ao de incid^encia, e ¯ca com uma velocidade ¯nal de m¶odulo v=2. Obtenha a velocidade ¯nal da part¶³cula de massa 2m (em m¶odulo, dire»c~ao e sentido) depois desta colis~ao. A energia cin¶etica se conserva durante a colis~ao? Resolva este mesmo problema no referencial do centro de massa do sistema. Observe que ^angulos medidos em referenciais que se movem um em rela»c~ao ao outro n~ao s~ao necessariamente iguais. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 23 40. Uma bola de a»co de massa 0,5 kg est¶a presa a um cord~ao de 70 cm de comprimento e ¶e abandonada quando o cord~ao est¶a na horizontal. Na parte mais baixa de sua trajet¶oria, a bola atinge um bloco de a»co de massa 2,5 kg, inicialmetne em repouso sobre uma superf¶³cie lisa, como mostrado na ¯gura. A colis~ao ¶e el¶astica. Determine as velocidades da bola e do bloco ap¶os a colis~ao. w p p w 41. O arranjo da ¯gura ¶e chamado de p^endulo bal¶³stico. Ele ¶e usado para determinar a velocidade de um proj¶etil, atrav¶es da medida da altura h que o bloco sobe ap¶os ter sido atingido pelo proj¶etil. A m t ~v A A h M A M (a) Prove que a velocidade do proj¶etil ¶e dada por q m+M ; m onde m ¶e a massa da bala e M a massa do bloco. v= 2gh (b) Calcule a energia gasta pelo proj¶etil para penetrar no bloco. 42. Uma bala de massa m e velocidade v passa atrav¶es do bulbo de um p^endulo de massa M e emerge com velocidade v=2. O ¯o que suporta o bulbo tem comprimento `. Qual ¶e o menor valor de v para que o bulbo do p^endulo gire uma volta completa? m v M v /2 F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 24 43. Demonstre que, para um sistema de part¶³culas, a varia»c~ao da energia cin¶etica total ¶e igual µa soma do trabalho total das for»cas internas e do trabalho total das for»cas externas. 44. Considere duas part¶³culas de massas m1 e m2 sujeitas apenas µa intera»c~ao m¶utua do tipo newtoniano (satisfazendo µa terceira lei de Newton). Escreva a segunda lei de Newton para cada uma das part¶³culas. Subtraia uma das equa»c~oes da outra e mostre ent~ao que \o movimento relativo de duas part¶³culas, sujeitas apenas µas suas intera»c~oes m¶utuas, ¶e equivalente, em rela»c~ao a um observador inercial, ao movimento de uma part¶³cula de massa ¹ = m1 m2=(m1 + m2 ) | a massa reduzida do sistema | sob a a»c~ao de uma for»ca igual µa for»ca de intera»c~ao". 45. Seja um sistema de duas part¶³culas de massas m1 e m2 e velocidades ~v1 e ~v2 . (a) Mostre que para um observador que se move com o centro de massa do sistema a energia cin¶etica vale Tcm = 1 02 ¹v ; 2 onde ¹ = m1 m2=(m1 + m2) ¶e a massa reduzida do sistema e ~v0 = ~v1 ¡ ~v2 ¶e a velocidade relativa das duas part¶³culas. (b) Mostre que para um observador num sistema de refer^encia qualquer a energia cin¶etica do sistema ¶e T = Tcm + 1 2 M Vcm ; 2 ~cm ¶e a velocidade onde M = m1 +m2 ¶e a massa total do sistema e V de seu centro de massa. (c) Qual ¶e o maior valor da energia que pode ser perdida atrav¶es de colis~oes das duas part¶³culas? Suponha o sistema isolado. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex.13 | p. 25 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Respostas { Lista de exerc¶³cios 13 Sistema de Part¶³culas: Momento Linear, Centro de Massa, ~o do Momento, Colis~ Conservac »a oes 1. d 1 = m2 m1 +m2 1w (x2 ¡ x1); se m1 = m2, d1 = 12 (x2 ¡ x1). d1 cm - d2 2u 2. Se d = j~r1 ¡ ~r2 j ¶e a dist^ancia entre os dois objetos, d1 = 1 d 2 = m1m+m d, e portanto d1=d2 = m2=m1. 2 m2 m1 +m2 d, ~ = 2^³ ¡ 7 ^´; d1 = 4; 8 m, d2 = 1; 6 m. 3. R 4 4. 0; 66 £ 105 m/s. 5. 60 m. 6. (a) Fazendo um ^angulo de 118± com a dire»c~ao do momento do el¶etron, com m¶odulo 1; 36 £ 10¡22 kg.m/s. (b) 1; 6 £ 10¡19 kg. 7. Um dos fragmentos tem velocidade igual a 5 m/s com a mesma dire»c~ao e o mesmo sentido da velocidade inicial do corpo; o segundo fragmento tem velocidade de 1 m/s, com a mesma dire»c~ao e sentido oposto ao sentido da velocidade inicial do corpo. 8. (a) O centro de massa est¶a em repouso inicialmente, e permanece em repouso. (b) A 0,75 m de P (sobre o centro de massa do sistema). F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex.13 | p. 26 9. (a) A velocidade do homem em rela»c~ao µa Terra vale u = v + V (em m¶odulo), e V ¶e o m¶odulo da velocidade do bal~ao em rela»c~ao µa Terra; ent~ao V = mv= (M ¡ m) { o bal~ao sobe em rela»c~ao µa Terra se sua massa for maior do que a massa do homem, e desce se sua massa for menor. (b) Ficar¶a em repouso. 10. Avi~ao: (M ¡ m)v±=(M ¡ 2m); foguete: m v± =(2m ¡ M ), onde o sinal positivo corresponde ao movimento no mesmo sentido original do avi~ao. 11. A 6,6 m da margem. 12. N~ao (supondo que o bra»co do homem mede menos de 0,5 m). 13. (a) u1 = m v=M , com sentido oposto ao da bola. (b) u2 = m v=(M + m), com o mesmo sentido da velocidade da bola. (c) u4 = (m=M) m v=(M + m), com sentido oposto ao da velocidade da bola. 14. Usando um sistema de eixos coordenados onde a dire»c~ao x ¶e de¯nida pelas posi»c~oes das massas de 1,0 kg e de 3,0 kg, com a origem colocada sobre a posi»c~ao da massa de 1,0 kg, e com a posi»c~ao da massa de 6,0 kg ~ = 1; 2^³ + 1; 0^´ (em metros). com coordenadas positivas, R 15. v~30 = 4; 5^³ ¡ ^´ (em m/s). ~ = t^³ + 2 t2 ^´ (em m/s). 16. (a) V EXT ~RES (b) F = 2^³ + 8 t^´ (em N). (c) F (t = 1) = 8; 2 N. 17. (0; ¡0; 5). ~ = (m1 ~v1 + m2 ~v2 ) =(m1 + m2). 18. (a) V (b) ~v¤1 = m2 (~v1 ¡ ~v2) =M e ~v ¤2 = ¡ m1 (~v1 ¡ ~v2 ) =M , onde M = m1 + m2 (c) ~p¤1 = ¡~p¤2 = m1 m2 (~v1 ¡ ~v2 ) =M ~ = ¡^³ + 0; 75^´. 19. (a) A F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex.13 | p. 27 (b) Considerando a massa 1 como sendo a que est¶a em x1 = ¡5 cm, ~ R(t) = (0; 1 ¡ 0; 5 t2) ^³ + 0; 38 t2 ^´. (c) Uma reta; a equa»c~ao da trajet¶oria ¶e X = 0; 1 ¡ (4=3) Y , ou Y = 3=4 (0; 1 ¡ X). (d) Todas as respostas anteriores ¯cam iguais, pois o movimento do centro de massa n~ao depende de for»cas internas ao sistema. ~ 20. R(t) = ³ a 2 ¡ p 3 F 2 4 M t ´ ^³ + ³ a p 2 3 + 3 F 2 4 M t ´ ^´ 21. 2; 5 m/s. 22. (a) 35 N.s. (b) 1; 75 £ 103 N. 23. vbola = 4=101 = 0; 04 m/s; vbloco = ¡99=101 = ¡0; 98 m/s. 24. (a) m1 = (m3 u3 ¡ m2 u2) = (u2 ¡ u3); v = 0; 5 [(m3 ¡ 2 m2) u3 + m2 u2] = (m3 u3 ¡ m2 u2 ). (b) m = 1; 16 u.m.a., v = 0; 8 £ 106 m/s. 25. 26. v1 = 1; 4 m/s, v2 = 0; 7 m/s, na mesma dire»c~ao e em sentidos opostos. 27. (a) mB >>> mA, ou mA =mB ! 0 (e nesse caso, vB = 2v±, com v± a velocidade inicial do corpo A). (b) mB << mA, ou mB =mA ! 0 (e nesse caso, pB = 2mBv±). (c) 28. 29. (a) ~vf = 8=3 ^v1 (em m/s); ¢T = ¡ 98=3 J. 1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) GUIA DE ESTUDO 6 ~es M¶ odulo 6: Rotac »o ~ 1. INTRODUC » AO Neste m¶odulo, continuamos o estudo de um sistema de part¶³culas, discutindo movimentos de rota»c~ao, em particular em torno de um eixo ¯xo. Generalizaremos para um sistema de part¶³culas os conceitos de torque e momento angular introduzidos no M¶odulo 4 para uma part¶³cula, e discutiremos a lei de conserva»c~ao do momento angular para um sistema de part¶³culas. Leituras indispens¶aveis: Os t¶opicos citados acima correspondem ao cap¶³tulo 11 do livro texto, H.M. Nussensveig, Curso de F¶³sica B¶asica, Vol. 1 { Mec^anica, 3a edi»c~ao, Editora Edgard BlÄucher Ltda. 2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA Atividade 1 Revis~ao dos conceitos de torque de uma for»ca e momento angular de uma part¶³cula em torno de um ponto O e a \segunda lei de Newton para rota»c~oes" (se»c~oes 11.3 e 11.4). Atividade 2 Discuss~ao da conserva»c~ao do momento angular de uma part¶³cula sob a»c~ao de for»cas centrais, exempli¯cando a discuss~ao com o problema 5 da lista de exerc¶³cios 14 (sobre Sistemas de Part¶³culas: Rota»c~oes e Momento Angular). Atividade 3 Discuss~ao do problema 7 da Lista 14, ilustrando a depend^encia do momento angular com o ponto em rela»c~ao ao qual ele ¶e calculado, e observando um caso simples em que o momento angular precessa. F¶³s1 { 04/1 { G.6 | p. 2 Atividades extras 1 1. 2. 3. 4. Leia as se»c~oes 11.3 e 11.4 do livro texto. Veri¯que se voc^e sabe fazer c¶alculos de produto vetorial. Volte ao Guia 4 e refa»ca a Lista 12, sobre Rota»c~oes. Resolva os exerc¶³cios 1 a 7 da Lista 14. Atividade 4 Apresenta»c~ao dos conceitos de momento angular e torque para um sistema de part¶³culas, e demonstra»c~ao da rela»c~ao existente entre o momento angular em rela»c~ao a um ponto O e o momento angular em rela»c~ao ao centro de massa (equa»c~ao 11.5.6 do livro texto, e parte do exerc¶³cio 21 da lista 14). Atividade 5 Demonstra»c~ao da \lei de conserva»c~ao do momento angular" para um sistema de part¶³culas (se»c~ao 11.6) e discuss~ao de exemplos (parte (a) da se»c~ao 11.7 do livro texto). Atividades extras 2 1. Leia a se»c ~ao 11.6 do texto, obtendo novamente (com o livro fechado) todas as equa»c~oes. 2. Leia a parte (a) da se»c~ao 11.7 do texto. 3. Resolva os exerc¶³cios de 7 a 11 da Lista 14. 4. * Resolva o problema 11.5 do livro texto. Atividade 6 Resolu»c~ao dos problemas 12 e 16 da Lista 14. Atividade 7 Discuss~ao de problemas escolhidos pelo professor. Atividades extras 3 1. Releia o cap¶³tulo 11. 2. Fa»ca os problemas 12 a 16 da Lista 14. F¶³s1 { 04/1 { G.6 | p. 3 Atividade 8 Discuss~ao da situa»c~ao em que um corpo gira em torno de um eixo ¯xo, com a introdu»c~ao do conceito de momento de in¶ercia em rela»c~ao a um eixo; e demonstra»c~ao da rela»c~ao entre a componente do momento angular na dire»c~ao do eixo de rota»c~ao e a velocidade angular, equa»c~ao (12.1.4) do livro texto (se»c~ao 12.1 do livro texto). Atividade 9 Discuss~ao sobre a energia cin¶etica de rota»c~ao de um corpo girando em torno de um eixo ¯xo. Atividade 10 Resolu»c~ao do problema 12.9 do livro texto, que constitui o arranjo experimental que est¶a sendo utilizado na experi^encia do M¶odulo 6 de F¶³sica Experimental I. Atividades extras 4 1. Leia novamente o cap¶³tulo 11. 2. Leia a se»c~ao 12.1 do livro texto. 3. Resolva os exerc¶³cios 17 a 21 da lista 14. Atividade 11 Discuss~ao do conceito de momento de in¶ercia de um corpo, ilustrada com alguns exemplos simples (se»c~ao 12.2 do livro texto). Atividade 12 Resolu»c~ao de exerc¶³cios. ¶ 3. ATIVIDADES FINAIS DO MODULO 6 1. Leia as se»c~oes 12.1 e 12.2 do livro texto. 2. Termine tudo que voc^e ainda n~ao terminou do M¶odulo 4. 3. Termine os problemas que faltam da lista 14. F¶³s1 { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 4 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 14 ~es e Momento Angular Sistema de Part¶³culas:Rotac »o 1. Considere uma part¶³cula que est¶a num dado instante na posi»c~ao descrita pelo vetor ~r = ^³ + ^´ (em rela»c~ao a um observador ¯xo a um ponto O situado na origem de nosso sistema de coordenadas). Sobre esta part¶³cula atuam duas for»cas, F~1 = ¡10^³ e F~2 = 20^³ ¡ 20^´, onde as unidades s~ao dadas no Sistema Internacional (SI) de unidades. (a) Calcule o torque de cada for»ca em rela»c~ao ao ponto O. (b) Calcule o torque da for»ca resultante em torno do ponto O. (c) Repita o c¶alculo para o ponto A = (1,0). 2. A posi»c~ao de uma part¶³cula de massa m = 1 kg, em rela»c~ao a um observador inercial ¯xo no ponto O, ¶e dado pelo vetor ~r = t^³+(5 ¡ 2t2)^´+t3 ^k, onde todas as unidades empregadas s~ao do SI. (a) Qual ¶e a for»ca resultante agindo sobre a part¶³cula? (b) Qual ¶e o torque desta for»ca em rela»c~ao ao ponto O? (c) Qual o valor deste torque no instante t = 2 s? (c) Qual ¶e o momento angular desta part¶³cula em rela»c~ao a O? (d) Veri¯que se a segunda lei de Newton para as rota»c~oes ¶e v¶alida neste caso. 3. Um corpo de massa m est¶a livre, n~ao agindo sobre ele nenhuma for»ca. Um observador inercial O v^e este corpo num certo instante junto a si, com velocidade ~v. Descreva o movimento do corpo visto pelo observador inercial O. Obtenha o momento angular deste corpo e o torque resultante sobre ele em rela»c~ao ao ponto O . Considere agora um outro observador O', que v^e O em repouso e cuja menor dist^ancia ao corpo vale d. Calcule o momento angular e o torque em rela»c~ao a O'. 4. Uma barra r¶³gida de comprimento ` est¶a presa pelo seu centro O, podendo girar em torno dele num movimento plano. Sobre esta barra atua um \bin¶ario" de for»cas, como mostrado na ¯gura: em pontos sim¶etricos em rela»c~ao ao ponto O, atuam for»cas de mesmo m¶odulo, mesma dire»c~ao e sentidos opostos. Descreva o movimento do centro de massa (onde F¶³s1 { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 5 est¶a o centro de massa?) desta barra. Calcule o torque das for»cas que atuam sobre a barra. Qual o movimento descrito pela barra? F~ s O ? 6 ¡F~ 5. Considere um corpo de massa m que move-se sobre uma mesa horizontal lisa preso a um ponto ¯xo O por um ¯o de comprimento ¯xo ` e massa desprez¶³vel . Este corpo descreve um movimento circular uniforme em torno do ponto O. (a) Indique as for»cas que agem sobre o corpo num instante de tempo t0 qualquer. (b) Calcule o torque da for»ca resultante sobre o corpo em torno do ponto O no instante t0 . (c) Calcule o momento angular deste corpo em torno do ponto O no instante t0 . (d) Qual o momento angular deste corpo num instante qualquer? 6. Considere agora o mesmo corpo de massa m do problema anterior, descrevendo agora um movimento circular n~ao uniforme em torno do ponto O. (a) Indique as for»cas que agem sobre o corpo num instante de tempo t0 qualquer. (b) Calcule o torque da for»ca resultante sobre o corpo em torno do ponto O no instante t0 . (c) Calcule o momento angular deste corpo em torno do ponto O no instante t0 . (d) Qual o momento angular deste corpo num instante qualquer? 7. Considere um corpo de massa m que move-se sobre uma mesa horizontal lisa preso a um ponto ¯xo O por um ¯o de comprimento ¯xo ` e massa desprez¶³vel . Este corpo descreve um movimento circular uniforme em torno do ponto O. O eixo z ¶e perpendicular ao plano do movimento circular, e a uma dist^ancia h do ponto O sobre este eixo marcamos um ponto O'. (a) Indique as for»cas que agem sobre o corpo num instante de tempo t0 qualquer. (b) Calcule o torque da for»ca resultante sobre o corpo em torno do ponto O' no instante t0 . (c) Calcule o momento angular deste corpo em torno do ponto O' no instante t0 . (d) Qual o momento angular deste corpo num instante qualquer? 8. A ¯gura mostra algumas for»cas aplicadas a um corpo que gira em torno de um eixo passando pelo ponto O e perpendicular ao plano da folha. F¶³s1 { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 6 Calcule o torque de cada for»ca e o torque resultante em rela»c~ao ao ponto O. Caso o objeto seja solto do repouso na posi»c~ao da ¯gura, em que sentido come»car¶a a girar? Dados: F1 = 10 N, r1 = 1; 0 m, F 2 = 6; 0 N, r 2 = 1; 5 m, F3 = 8; 0 N, r3 = 0; 5 m, F4 = 4; 0 N, r4 = 0; 5 m. @ @ 110± F µ¡ ~ @ - 3 ¡ ~ r1 ~r3 @I ¡ ¾ @ ¡t ~r2 ~r4 ¢ O ~2 F ¢® ? ¢ ~4 ¢F ¢ ¢® ¡ ¡ 45 ± - ~1 F 9. Considere um hex¶agono regular de raio r. Suponha que em cada v¶ertice deste hex¶agono existe uma massa m, conforme mostra a ¯gura, e que este hex¶agono gira em torno de um eixo que passa pelo seu centro e ¶e perpendicular ao plano do papel. (a) Calcule o vetor momento angular ~ 0 do sistema em rela»c~ao ao seu centro de massa. (b) Considerando a L ¯gura, calcule o vetor momento angular ~L do sistema em rela»c~ao a um ~ 0? Por que dos v¶ertices do hex¶agono. (c) Qual a rela»c~ao entre ~L e L ~ = I~! (por este resultado j¶a deveria ser esperado? (d) Usando que L qu^e?), calcule a velocidade angular do sistema. m t © H © H H © ~v¾ mt © ~v ¢ © © ¢® mt H A H ~v AU H H t H © H t © - m ~v H H KA HA tm © © © ¢¸ t ¢ m © ~v ~v 10. Considere duas part¶³culas de mesma massa m, respectivamente, unidas por um bast~ao sem massa de comprimento 2a, girando com velocidade F¶³s1 { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 7 angular ~! em torno de um eixo perpendicular ao bast~ao e passando pelo seu centro, como mostra a ¯gura. (a) Qual ¶e o momento angular do sistema em torno do ponto C? (b) Qual ¶e o momento angular em torno dos pontos O e O', situados sobre o eixo de rota»c~ao a dist^ancias d e d0 , respectivamente, de C? (c) Qual ¶e o torque em torno de cada um dos pontos C, O e O' ? Interprete seu resultado. 6~ ! ¾ m y a -¾ 6 d ? a C 6 sO d0 sO' ym ? 11. Considere duas part¶³culas de massas m e 2m, respectivamente, unidas por um bast~ao sem massa de comprimento 2a, girando com velocidade angular ~! em torno de um eixo perpendicular ao bast~ao e passando pelo seu centro, como mostra a ¯gura. (a) Qual ¶e o momento angular do sistema em torno do ponto C? (b) Qual ¶e o momento angular em torno dos pontos O e O', situados sobre o eixo de rota»c~ao a dist^ancias d e d0 , respectivamente, de C? (c) Qual ¶e o torque em torno de cada um dos pontos C, O e O' ? Interprete seu resultado. 6~ ! ¾ m y a -¾ 6 d ? a C 6 sO d0 sO' ? ~ 2m F¶³s1 { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 8 12. Dois patinadores de mesma massa m movem-se um em rela»c~ao ao outro com velocidades de mesmo m¶odulo v0 e em sentidos opostos. A dist^ancia entre eles ¶e d. Quando passam um pelo outro, se d~ao as m~aos. ~v0 A s- | | | | || | | | || 6 d ¡~v | | | | | | ?| | | | | ¾ 0 sB (a) Calcule a velocidade angular de rota»c~ao dos dois patinadores em torno de seu centro de massa. (b) Calcule a varia»c~ao na energia cin¶etica do sistema constitu¶³do pelos dois patinadores antes e depois de se darem as m~aos. Discuta e justi¯que o resultado encontrado. (c) De repente, os dois patinadores se puxam um na dire»c~ao do outro, e a dist^ancia entre eles passa a ser a metade do valor anterior, d0 = d=2. Qual ser¶a a nova velocidade angular de rota»c~ao !0 do sistema em torno de seu centro de massa? (d) Qual a varia»c~ao na energia cin¶etica do sistema, e o que a causou? (e) Obtenha os resultados acima para m = 70 kg, v0 = 4 m/s e d = 1; 5 m. (f) Repita o problema supondo massas e velocidades diferentes: mA = 100 kg, mB = 50 kg, vA = 6 m/s e vB = 6 m/s. 13. Um corpo de massa M = 2 kg preso a um ¯o de comprimento d = 7 m est¶a em repouso sobre uma superf¶³cie plana e horizontal numa posi»c~ao descrita pelo vetor ~r = ^³ + ^´, como mostra a ¯gura a seguir. Um outro corpo menor, de massa m = 0; 5 kg, move-se com velocidade ~v = 3^´ e vai se chocar com o corpo de massa M , permanecendo preso a ele ap¶os o choque. As unidades utilizadas s~ao as do SI. (a) Qual ¶e a velocidade do conjunto imediatamente ap¶os o choque? F¶³s1 { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 9 (b) Qual ¶e a velocidade angular de rota»c~ao do conjunto ap¶os a corda ser esticada? z 6 - y H ¡ H H x ¡m s - { { H{ Hj{ u {M{ { { { ¡ª ~v 14. Considere um sistema de duas massas iguais m ligadas por uma barra de massa desprez¶³vel e comprimento h. O sistema est¶a suspenso pelo ponto m¶edio da barra, e gira num plano horizontal com velocidade angular !, como mostrado na ¯gura. Suponha que no instante t = 0 o ¯o se rompa e o sistema comece a cair sob a»c~ao da gravidade. Qual o momento angular total do sistema para t = 0 e para t = t0 em rela»c~ao a um ponto O situado no plano inicial de rota»c~ao, a uma dist^ancia d do centro da barra? ³³³³³³³³³³³³ z 6 ¡ - y x ¡ª O ¾ 6~ ! s - d s 15. Uma part¶³cula de massa m est¶a presa num dos extremos de uma haste r¶³gida de comprimento ` e massa M = 2m. Num certo instante, uma outra massa m, que move-se com velocidade ~v0, incide perpendicularmente µa barra, atingindo-a em seu outro extremo, e grudando-se a ela. N~ao h¶a for»cas externas atuando sobre o sistema descrito. Descreva quantitativamente o movimento do sistema ap¶os a colis~ao. Qual a quantidade de energia cin¶etica perdida nesta colis~ao? Seria poss¶³vel haver uma perda maior de energia cin¶etica? Suponha agora que a barra ¶e substitu¶³da por uma mola ideal de constante el¶astica k. Descreva qualitativamente o movimento do sistema ap¶os a colis~ao. s- u F¶³s1 { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 10 16. Uma part¶³cula de massa m e velocidade de m¶odulo v colide com um haltere em repouso. O haltere ¶e formado por duas part¶³culas, cada uma delas com massa m=2, ligadas por uma barra de massa desprez¶³vel e comprimento a. Depois da colis~ao, a part¶³cula incidente possui velocip 2 dade 10 v e sua trajet¶oria faz um ^angulo de ¼=4 com o eixo de colis~ao. Calcule a velocidade ¯nal do centro de massa do haltere e a velocidade angular em torno de seu centro de massa. A energia cin¶etica se conserva? 17. Um haltere de comprimento 2a, tendo uma massa 2m em sua extremidade B e uma massa m em sua extremidade A, repousa sobre uma mesa horizontal lisa. A barra r¶³gida que une A a B tem massa desprez¶³vel. Um objeto de massa m aproxima-se de A com velocidade ~v0 perpendicular µa barra, como mostra a ¯gura, grudando-se µa massa m ap¶os o choque. (a) Veri¯que se h¶a conserva»c~ao do momento angular do sistema. Justi¯que. (b) Qual a velocidade do centro de massa do sistema ap¶os a colis~ao? (c) Qual a velocidade angular de rota»c~ao do sistema em torno do centro de massa ap¶os a colis~ao? (d) Qual a varia»c~ao da energia cin¶etica durante o processo de colis~ao? Bm 2m ~v m i -0{ { { { { { { { { { { { { {Ai m 18. Duas massas iguais M s~ao ligadas por um bast~ao r¶³gido de massa desprez¶³vel e comprimento a. O centro de massa deste sistema est¶a estacion¶ario num espa»co livre de gravidade, e o sistema gira em torno de seu centro de massa com velocidade angular !. Uma das massas em rota»c~ao atinge uma terceira massa estacion¶aria M , que gruda a ela. (a) Localize o centro de massa do sistema de tr^es part¶³culas no instante imediatamente anterior µa colis~ao. Qual ¶e a velocidade do centro de massa? (b) Qual ¶e o momento angular do sistema em torno de seu centro de massa no instante imediatamente anterior µa colis~ao? E no instante seguinte µa colis~ao? (c) Qual ¶e a velocidade angular do sistema F¶³s1 { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 11 em torno de centro de massa ap¶os a colis~ao? (d) Quais s~ao as energias cin¶eticas inicial e ¯nal do sistema? 19. Considere um haltere constitu¶³do de duas massas m ligadas por uma haste r¶³gida de comprimento a e massa desprez¶³vel deslocando-se com velocidade constante ~v sobre uma mesa horizontal sem atrito. O haltere choca-se ent~ao com uma massa m, originalmente em repouso, que por sua vez adere ao conjunto como mostra a ¯gura. Determine a velocidade do centro de massa do sistema e a velocidade de cada corpo em rela»c~ao ao centro de massa ap¶os a colis~ao. w m w ~v - m m antes w ¡ } ¡ ¡ ¡ w depois 20. Um estudante est¶a em cima de uma plataforma que pode girar quase sem atrito, segurando em suas m~aos uma roda de bicicleta que gira com uma velocidade angular ! em torno do eixo vertical. Inicialmente a plataforma est¶a em repouso. O que vai ocorrer quando o estudante (a) mover o eixo da roda para longe do centro da plataforma e depois o trouxer de volta; (b) inverter o eixo de rota»c~ao da roda; (c) voltar o eixo para a orienta»c~ao inicial; (d) tocar a roda com seu bra»co e fazer com que ela p¶are com o atrito. 21. Demonstre que para um sistema de part¶³culas valem as rela»c~oes ~ £F ~ ~¿O = ~¿CM + M R ~O = L ~ CM + M R ~ £ V~ L ~O dL = ~¿0ext (apenas se O for inercial) dt F¶³s1 { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 12 ~ CM dL ext = ~¿CM dt onde ~¿O ¶e o torque total em rela»c~ao ao ponto O, ~¿CM ¶e o torque total em ~ O ¶e o momento angular total em rela»c~ao rela»c~ao ao centro de massa, L ~ CM ¶e o momento angular total em rela»c~ao ao centro de massa, a O, L ext ~¿O ¶e o torque das for»cas externas em rela»c~ao ao ponto O, ~¿CM ¶e o ~ ¶e o vetor torque das for»cas externas em rela»c~ao ao centro de massa, R ~ ¶e o posi»c~ao do centro de massa do sistema do ponto de vista de O, V ~ ¶e a resultante das vetor velocidade do centro de massa do sistema, e F for»cas externas sobre o sistema. 1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) GUIA DE ESTUDO 7 M¶ odulo 7: Corpos R¶³gidos ~ 1. INTRODUC » AO Neste m¶odulo, encerramos a F¶³sica 1 discutindo um exemplo particular de um sistema de part¶³culas, o chamado corpo r¶³gido. Vamos estudar a din^amica do movimento de um corpo r¶³gido no caso simples do movimento plano do corpo r¶³gido, e faremos a discuss~ao da situa»c~ao em que h¶a rolamento sem deslizamento. Leituras indispens¶aveis: Os t¶opicos citados acima correspondem ao cap¶³tulo 12 do livro texto, H.M. Nussensveig, Curso de F¶³sica B¶asica, Vol. 1 { Mec^anica, 3a edi»c~ao, Editora Edgard Blucher Ltda. 2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA Atividade 1 Revis~ao de rota»c~oes em torno de um eixo ¯xo (se»c~ao 12.1 do livro texto). Atividade 2 Exemplos de c¶alculos de momentos de in¶ercia para corpos r¶³gidos (se»c~ao 12.2 do livro texto). Atividade 3 Discuss~ao do problema 21 da lista de exerc¶³cios 15, Corpos R¶³gidos. Atividades extras 1 1. 2. 3. 4. Leia as se»c~oes 12.1 e 12.2 do livro texto. Releia o cap¶³tulo 11 do livro texto. Resolva os exerc¶³cios 1, 3, 4, 5, 6, 20 e 22 da lista 15. Fa»ca o exerc¶³cio 9 e um dos exerc¶³cios entre o 11 e o 14 da lista 15. F¶³s1 { 04/1 { G.7 | p. 2 Atividade 4 Discuss~ao do movimento plano de um corpo r¶³gido, com a decomposi»c~ao do movimento como uma transla»c~ao mais uma rota»c~ao em torno do centro de massa (se»c~ao 12.3). Atividade 5 Exemplos e exerc¶³cios sobre os conceitos discutidos: o i^o-i^o, o rolamento num plano inclinado e a tacada numa bola de bilhar (se»c~ao 12.4). Atividades extras 2 1. Leia as se»c~oes 12.3 e 12.4 do texto. 2. Refa»ca, com o livro fechado, os exemplos da se»c~ao 12.4. 3. Resolva os exerc¶³cios de 19, 20, 23, 25, 26, 28, 29 e 30 da lista 15. Atividade 6 Discuss~ao sobre est¶atica (equil¶³brio) de corpos r¶³gidos (se»c~ao 12.8 do livro texto) e resolu»c~ao do problema 44 da lista 15. Atividades extras 3 1. Releia os cap¶³tulos 11 e 12. 2. Refa»ca os problemas que o professor resolveu em sala. 3. Fa»ca os problemas 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 e 38 da lista 15. Atividade 7 Resolu»c~ao de problemas. Atividades extras 4 1. Leia novamente o cap¶³tulo 12. 2. Resolva os exerc¶³cios 41, 42, 44 e 45 da lista 15. ¶ 3. ATIVIDADES FINAIS DO MODULO 7 1. Releia os cap¶³tulos 11 e 12 do livro texto. 2. Termine tudo que voc^e ainda n~ao terminou das aulas anteriores. F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 3 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 15 Corpos R¶³gidos 1. Considere um sistema formado por dois corpos de mesma massa m ligados por uma barra r¶³gida de comprimento 2` e massa desprez¶³vel, articulada em seu centro com o eixo de rota»c~ao do sistema, que gira com velocidade angular ~! (ver ¯gura). ~ n~ao ¶e paralelo a ~!. (a) Mostre que para µ 6= ¼2 , L (b) Calcule Lz . ~ = I~!. (c) Mostre que para µ = ¼2 , L (d) Mostre que d~ L dt = ~! £ ~L. r ω r ω z l l θ Exercício 1 d d θ a Exercício 2 2. A ¯gura acima (2) mostra um corpo r¶³gido formado por duas massas iguais unidas por um bast~ao sem massa girando com velocidade angular ! ~ em torno de um eixo preso rigidamente ao bast~ao e suportado por dois mancais sem atrito. Calcule a for»ca exercida pelo eixo sobre cada mancal e indique sua dire»c~ao. 3. Uma barra r¶³gida, uniforme, de massa m e comprimento `, tem presa a cada uma de suas pontas duas pequenas esferas, tamb¶em de massa F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 4 m, formando um haltere. As esferas s~ao t~ao pequenas que podem ser consideradas como massas pontuais. (a) Qual ¶e o momento de in¶ercia deste objeto em torno de um eixo perpendicular µa barra passando pelo seu centro? (b) Qual o momento de in¶ercia do sistema em torno de um eixo perpendicular µa barra que passa atrav¶es de uma das massas puntiformes? 4. Calcule o momento de in¶ercia de um cilindro homog^eneo de massa M , raio R e altura H em torno dos eixos principais de in¶ercia que passam pelo centro de massa (eixos x, y e z da ¯gura). (Sugest~ao: decomponha o cilindro em pequenos discos de altura dz e some os momentos de z in¶ercia de cada disco.) y x 5. Demonstre que a soma dos momentos de in¶ercia de uma l^amina plana, relativos a dois eixos perpendiculares quaisquer situados no plano da l^amina, ¶e igual ao momento de in¶ercia da l^amina em rela»c~ao a um eixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo ponto de interse»c~ao dos outros dois eixos (teorema dos eixos perpendiculares). Utilize este resultado para calcular: (a) o momento de in¶ercia de um disco circular em rela»c~ao a um dos di^ametros; (b) o momento de in¶ercia de uma placa retangular de lados a e b em rela»c~ao ao eixo perpendicular que passa pelo seu centro. 6. Calcule o momento de in¶ercia de um disco ¯no uniforme de raio R e massa M em torno de um eixo pertencendo ao plano do disco e tangente a ele. R F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 5 7. Calcule o momento de in¶ercia de uma placa quadrada uniforme de massa M e lado a em torno de um eixo paralelo a um dos lados da placa e passando por ele. 8. Determine o momento de in¶ercia de um disco uniforme, de raio R e massa M com um buraco circular exc^entrico de raio r, em rela»c~ao ao eixo perpendicular que passa pelo centro do disco. A dist^ancia entre os centros do disco e do buraco ¶e a, onde a < R ¡ r. R a L r r F Exercício 9 Exercício 8 A 9. Uma barra homog^enea e estreita, de massa M e comprimento L, repousa sobre uma superf¶³cie horizontal sem atrito. Subitamente a barra ¶e golpeada perpendicularmente em sua extremidade A, recebendo um impulso horizontal que a p~oe em movimento. Que dist^ancia D ter¶a sido percorrida pelo centro de massa, no instante em que a barra tiver dado meia volta? 10. Uma barra homog^enea, de comprimento 2 h, sofre a a»c~ao de uma for»ca impulsiva (por exemplo, uma pancada), a uma dist^ancia d do seu centro de massa (ver ¯gura). Qual o ponto da barra que ¯ca inicialmente em repouso? (Observa»c~ao: pense se isto tem algo a ver com o local onde seguramos uma raquete de t^enis.) d CM Exercício 10 • 2h d CM 2a Exercício 11 11. Um haltere, formado por duas massas m unidas por um bast~ao sem massa de comprimento 2a, repousa sobre uma mesa horizontal sem atrito. Um corpo de massa M = 2 m move-se com velocidade ~v± e F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 6 atinge o bast~ao a uma dist^ancia d do centro de massa do haltere, como mostrado na ¯gura. Ap¶os a colis~ao, a massa M passa a mover-se com velocidade 13 ~v±. (a) Quais as grandezas que se conservam durante este processo? Justi¯que. (b) Qual a velocidade do centro de massa do haltere ap¶os a colis~ao? (c) Qual a velocidade angular de rota»c~ao do haltere em torno de seu centro de massa? (d) Existe algum d para o qual a energia cin¶etica se conserva no processo? Qual ¶e ele? 12. Uma haste de comprimento ` est¶a sobre uma mesa horizontal, sem atrito. Sua massa ¶e M e ela pode mover-se livremente. Um pequeno disco de massa m, que move-se como indicado na ¯gura, com velocidade de m¶odulo v± , colide elasticamente com a haste. (a) Que grandezas s~ao conservadas? (b) Qual deve ser a massa m do disco para que ele permane»ca em repouso ap¶os o choque? M m d r v0 Exercício 12 Exercício 13 CM M 2l l 1 M 3 r v0 13. Um proj¶etil de massa 13 M e velocidade ~v± penetra e se aloja na extremidade de uma barra de massa M e comprimento 2`, que estava originalmente em repouso sobre uma mesa sem atrito. Num instante inicial t = 0 o proj¶etil estava a uma dist^ancia D da barra. Sabendo que ~v± tem dire»c~ao horizontal e perpendicular µa face lateral da barra, como mostra a ¯gura, determine: (a) a velocidade do centro de massa do conjunto barra-proj¶etil antes e depois do choque; (b) as componentes do vetor posi»c~ao do centro de massa (indique o sistema de coordenadas) como fun»c~ao do tempo t ap¶os o choque; F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 7 (c) a velocidade angular do conjunto barra-proj¶etil em torno do centro de massa ap¶os o choque. 14. Uma barra de comprimento d e massa M , na posi»c~ao vertical, pode girar livremente em torno de um pino colocado em A. Um proj¶etil de massa m e velocidade ~v atinge a barra a uma dist^ancia a de A, como mostra a ¯gura, ¯cando alojada nela. Despreze o atrito entre o pino e a barra. (a) Calcule a velocidade angular de rota»c~ao da barra imediatamente ap¶os a colis~ao. (b) Que rela»c~ao deve existir entre a e d para que no instante da colis~ao n~ao haja uma for»ca extra (al¶em da que j¶a existia inicialmente) no pino da barra? (c) Quanta energia ¶e transformada em calor no processo? A a m d r v Exercício 14 M Exercício 15 15. Uma barra homog^enea e estreita de comprimento h ¶e mantida verticalmente com uma de suas extremidades apoiada ao ch~ao. Deixa-se cair a barra de modo que a extremidade apoiada no ch~ao n~ao deslize. Determine a velocidade da outra extremidade quando toca o ch~ao. 16. Uma barra homog^enea de massa m e comprimento h ¶e solta do repouso quando forma um ^angulo µ ± com a vertical, como mostra a ¯gura. Despreze o atrito entre o pino e a barra. (a) Qual a velocidade angular da barra quando esta estiver na vertical? (b) Supondo que nesta posi»c~ao o pino que sustenta a barra se solta, descreva o movimento da barra a partir deste instante. 17. Considere uma barra homog^enea de massa M e comprimento h, que tem uma de suas extremidades presa a um pino ¯xo e sem atrito. A F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 8 barra ¶e abandonada na posi»c~ao horizontal com velocidade inicial nula, como mostra a ¯gura. Calcule, em termos de M , h, e da acelera»c~ao da gravidade g, (a) a for»ca exercida pelo pino na barra no exato momento em que a barra ¶e abandonada; (b) a velocidade angular instant^anea da barra quando esta atinge a posi»c~ao vertical; (c) a for»ca exercida pelo pino na barra no momento em que esta atinge a posi»c~ao vertical. h A θ0 h M R B r g r A Exercício 16 Exercício 17 B Exercício 18 m 18. Um disco cil¶³ndrico de raio R, massa M e momento de in¶ercia 12 M R2 est¶a apoiado em mancais sem atrito por um eixo de raio r e in¶ercia rotacional desprez¶³vel, conforme mostra a ¯gura. Uma massa m ¶e atada a uma corda enrolada em torno do eixo e atua para produzir uma acelera»c~ao angular no sistema. Calcule (a) a acelera»c~ao angular do sistema; (a) a acelera»c~ao linear da massa m; e (a) a tens~ao na corda, em termos de m, M , r, g e R. 19. Um caminh~ao de massa M, com tra»c~ao nas rodas traseiras, est¶a acelerado para a frente com uma acelera»c~ao a, em uma rodovia retil¶³nea. Cada uma de suas quatro rodas possui massa m e raio R, e suponha que cada uma delas ¶e um cilindro homog^eneo. (a) Qual a for»ca de atrito nas rodas dianteiras? (b) Qual a for»ca de atrito nas rodas traseiras? 20. Uma carro»ca ¶e constitu¶³da de uma plataforma de massa M , montada atrav¶es de rolamentos sem atrito sobre duas rodas de raio R, cada uma F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 9 com massa m. Considere cada roda como sendo aproximadamente um anel de raio R. Que for»ca F o cavalo precisa exercer na carro»ca para que ela adquira uma acelera»c~ao de m¶odulo a em um terreno plano? r F r F Exercício 21 Exercício 20 21. Um cilindro de massa M est¶a rolando sem deslizar em uma superf¶³cie horizontal, sendo puxado por uma for»ca F , como est¶a mostrado na ¯gura. Determine: (a) os torques em rela»c~ao ao centro de massa das for»cas peso, F e atrito; (b) a acelera»c~ao adquirida pelo cilindro. 22. O cilindro de a»co de um rolo compressor tem 1 m de raio e massa 20 toneladas. Ele ¶e empurrado pela m¶aquina atrav¶es de uma for»ca horizontal aplicada no seu eixo, como mostra a ¯gura. O coe¯ciente de atrito est¶atico entre o asfalto e o cilindro ¶e 0,4. Fa»ca um diagrama das for»cas que atuam sobe o cilindro e calcule a m¶axima acelera»c~ao a que ele pode ser submetido sem que derrape. (IC = 12 M R2.) 23. O sistema da ¯gura a seguir representa dois cilindros que se movem mediante a a»c~ao de uma for»ca F . Cada cilindro possui massa M e raio R. Entre o ch~ao e os cilindros existe atrito, de maneira que os cilindros rolam sem deslizar. Em termos dos dados do problema, calcule: (a) a acelera»c~ao do sistema; (b) a for»ca de atrito em cada roda (explicitando o sentido). r F z x Exercício 23 Exercício 24 r F y F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 10 24. Um disco uniforme de raio R e massa M est¶a inicialmente em repouso sobre uma superf¶³cie horizontal sem atrito. A partir do instante t± = 0, ~ = F ^³, horizontal e constante, como puxa-se o ¯o com uma for»ca F mostra a ¯gura. Pede-se calcular, para um instante t > t±: (a) a velocidade do centro de massa do disco; (b) a velocidade angular do disco em torno de seu centro de massa. 25. Considere um disco de massa M e raio R, tendo um ¯o de massa desprez¶³vel enrolado nele. A outra extremidade do ¯o est¶a presa numa parede. Escreva as equa»c~oes do movimento do disco, calcule a acelera»c~ao angular e a acelera»c~ao do centro de massa do disco e determine a tens~ao no ¯o. M,R m Exercício 25 Exercício 26 26. Uma massa m est¶a suspensa por um ¯o de massa desprez¶³vel enrolado em uma polia homog^enea de massa M e raio R (ver ¯gura) que pode girar em torno de um eixo perpendicular a ela passando pelo seu centro. (a) Calcule a acelera»c~ao da massa m. (b) Calcule a acelera»c~ao angular da polia. (c) Calcule a tens~ao na corda quando a massa est¶a descendo. Suponha que a distribui»c~ao de massa na polia seja equivalente µa de um disco. 27. Considere dois discos de mesma espessura colocados como na ¯gura. Exercício 27 R1 R2 m m' F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 11 (a) Sendo M a massa total dos discos e R1 e R2 seus raios, determine o momento de in¶ercia do disco. (b) Conhecendo-se m e m0, determine a acelera»c~ao angular do disco composto e a velocidade angular do disco composto, supondo-se que ele partiu do repouso. (c) Calcule no caso do item anterior a tens~ao nas cordas. 28. Quando um corpo r¶³gido rola sobre uma superf¶³cie, sem deslizar, podemos considerar que o corpo gira, em cada instante, em torno de um ponto que est¶a momentaneamente em contato com a superf¶³cie. Este ponto ¶e o que chamamos de centro instant^aneo de rota»c~ao. Seja o seguinte problema, que posde ser resolvido facilmente com este conceito: as ¯guras a seguir representam v¶arias maneiras de puxar um carretel pela linha enrolada sobre o cilindro interno. Considere que o atrito seja su¯ciente para que o carretel role sem deslizar. Fa»ca voc^e mesmo esta experi^encia. Qual o sentido da for»ca de atrito em cada um dos casos? 29. Um i^o-i^o de massa M , raio maior R e momento de in¶ercia I est¶a sobre ~ ¶e apliuma mesa horizontal e pode rolar sem deslizar. Uma for»ca F cada no raio interior r atrav¶es do ¯o, que forma um ^angulo ® com a horizontal. r F R r α R Exercício 30 H Exercício 29 (a) Para quais valores de ® o i^o-i^o ir¶a rolar para frente? E para tr¶as? (b) Calcule a acelera»c~ao do i^o-i^o e a for»ca de atrito entre o i^o-i^o e a mesa supondo que ele n~ao se eleve da mesa. F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 12 (c) Qu~ao forte precisa ser F~ para um ^angulo ® de forma que o i^o-i^o se levante da mesa? 30. Um estudante de F¶³sica Experimental deseja medir a velocidade do centro de massa de uma esfera de massa M e raio R, que desce uma canaleta inclinada (cuja se»c~ao transversal est¶a mostrada na ¯gura). D^e a previs~ao te¶orica da velocidade com que a esfera chega ao ¯nal do plano inclinado de altura H. 31. Um cilindro de raio R e massa M rola sem deslizar, partindo do repouso, do topo de um plano inclinado de altura 2h at¶e a altura h. A partir da altura h o cilindro desliza, pois n~ao existe atrito (ver ¯gura). Exercício 31 A 2h B C h Calcule: (a) a velocidade do centro de massa do cilindro no ponto B; (b) a velocidade angular do cilindro em rela»c~ao ao centro de massa no ponto B; (c) a velocidade do centro de massa no ponto C; (d) a velocidade angular em torno do centro de massa no ponto C. 32. Considere um cilindro homog^eneo de massa total M = 100 kg e raio R = 0; 5 m, contendo um dispositivo interno que lhe proporciona um torque bin¶ario constante ¿ em rela»c~ao ao eixo do cilindro. Este sobe um plano inclinado de inclina»c~ao µ = 30± rolando sem deslizar com acelera»c~ao igual a 1 m/s 2. Sabendo que I± = 12 M R2 e g = 10 m/s2, determine: (a) o valor de ¿ ; (b) o m¶odulo e a dire»c~ao da for»ca de atrito; F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 13 (c) o valor m¶³nimo do coe¯ciente cde atrito est¶atico entre a superf¶³cie do plano e do cilindro para que este possa subir o plano sem deslizar. m1 Exercício 32 I m2 Exercício 33 33. Considere na ¯gura que n~ao existe atrito entre o bloco e a superf¶³cie. A corda que liga os blocos de massas m1 e m2 passa por uma polia cujo momento de in¶ercia ¶e I, raio R e massa M . Calcule as tens~oes na corda, a acelera»c~ao dos blocos, e a acelera»c~ao angular da polia. 34. Nas duas ¯guras a seguir temos um cilindro de massa M e raio R que pode rolar sem deslizar. Na primeira ¯gura, um ¯o ¶e enrolado no cilindro, passa por uma polia sem massa e tem a extremidade presa a um corpo de massa m. Na segunda ¯gura, o ¯o ¶e colocado de tal maneira que ¯que preso ao eixo central do cilindro. (a) Fa»ca o diagrama das for»cas para os dois casos. (b) Calcule e compare as acelera»c~oes da massa m para os dois casos. R fig. 1 fig. 2 r Exercício 34 Exercício 35 35. Um cilindro de massa 2m e raio 2b est¶a ligado por uma corda de massa desprez¶³vel a um bloco de massa 4m, como mostrado na ¯gura. O cilindro tem uma ranhura muito estreita, de tal forma que a corda ¯ca enrolada a uma dist^ancia b de seu eixo. O cilindro rola sem deslizar sobre o plano horizontal; a corda passa por uma polia de massa desprez¶³vel e o atrito entre a polia e o seu eixo ¶e desprez¶³vel. Sabendo-se F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 14 que o raio de gira»c~ao do cilindro em quest~ao em rela»c~ao ao seu eixo de simetria ¶e k, calcule: (a) as acelera»c~oes do cilindro e do bloco, mostrando em um diagrama as for»cas que atuam no cilindro e no bloco; (b) a acelera»c~ao angular do cilindro; (c) a for»ca de atrito; (d) a tens~ao que atua no bloco. 36. Considere um plano inclinado (de um ^angulo µ) com uma polia (disco) de massa MP e raio RP . Uma esfera de raio RE e massa M E tem o seu centro ligado por um ¯o, que passa pela polia e que tem em sua outra extremidade uma massa M , como na ¯gura. Considerando que a esfera rola sem deslizar e que a polia ¶e um disco delgado, calcule a acelera»c~ao da massa M e a tens~ao na parte vertical do ¯o. Exercício 36 θ 37. (Mec^anica do Bilhar, Sommerfeld, Mechanics) Uma bola de bilhar de raio a est¶a sobre uma mesa plana. O taco atinge a bola a uma altura ~ horizontal. Consideh da superf¶³cie, exercendo sobre ela uma for»ca F remos que esta for»ca ¶e t~ao intensa que podemos desprezar a for»ca de ~. atrito entre as superf¶³cies do bloco e da bola durante a aplica»c~ao de F r F Exercício 37 a h (a) Mostre que a velocidade angular de rota»c~ao da bola em torno de seu centro de massa e a velocidade do centro de massa est~ao F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 15 relacionadas, imediatamente ap¶os a tacada, por !± = 5 (h ¡ a) V± 2 a2 (b) Por que voc^e n~ao obteve V± = !± a ? O que acontece se h = a? E se h < a? Qual deve ser o valor de h para que haja rolamento sem deslizamento? (c) Considere a situa»c~ao em que a bola ¶e atingida no seu centro. Mostre que neste caso a velocidade do centro de massa da bola no instante t ¶e dada por V = V± ¡ 25 a !, onde V± ¶e a velocidade inicial do centro de massa da bola e ! ¶e a velocidade angular no instante t. Por que a velocidade do centro de massa da bola n~ao ¶e constante? Ap¶os um certo instante, a bola passar¶a a rolar sem deslizar. Qual o valor de V em termos de V± a partir deste instante? A partir da¶³, a velocidade do centro de massa ¶e constante? Calcule a energia dissipada desde o in¶³cio at¶e este instante. 38. Um truque interessante que pode ser feito com uma bola de gude, colocada sobre uma mesa horizontal, ¶e pression¶a-la com o dedo de maneira a projet¶a-la ao longo da mesa com velocidade angular inicial ~!± na dire»c~ao de um eixo horizontal perpendicular µa velocidade inicial de seu centro de massa ~v± . O coe¯ciente de atrito est¶atico entre a bola de gude e a mesa ¶e constante. A bola possui raio R. (a) Que rela»c~ao precisamos ter entre v±, !± e R para que a bola deslize at¶e parar completamente? (b) Que rela»c~ao devemos ter entre v± , !± e R para que a bola deslize at¶e parar e depois volte at¶e sua posi»c~ao inicial com uma velocidade ¯nal constante de 37 v± ? Exercício 38 r ωο r vο F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 16 39. Um palha»co est¶a andando num monociclo cuja roda pode ser considerada como um anel homog^eneo de raio T R e massa m. A massa do conjunto palha»co-monociclo ¶e M . Qual o torque que deve ser aplicado ao pedal para dar ao conjunto uma acelera»c~ao para a frente de m¶odulo a? Suponha que a roda rola sem deslizar. 40. Um disco plano uniforme de massa M e raio R est¶a girando em torno de um eixo ¯xo perpendicular a ele e passando pelo seu centro de massa com velocidade angular ! constante. Ache o momento angular do disco em rela»c~ao ao seu centro de massa. ¶ poss¶³vel distingÄ 41. E uir um ovo cru de um ovo cozido fazendo-os girar sobre uma mesa? Como? 42. O que aconteceria ao per¶³odo de rota»c~ao da Terra se as camadas polares se derretessem? Explique por qu^e. 43. Dois discos pesados s~ao ligados por um pequeno eixo de raio bem menor que o dos discos, formando um haltere. O conjunto ¶e colocado sobre um plano inclinado estreito de forma tal que s¶o o eixo do haltere ¯ca apoiado, e rola para baixo sem deslizar. Pr¶oximo ao solo, os discos tocam a superf¶³cie e passam a se deslocar com velocidade muito maior. Explique por qu^e. 44. Calcule a tra»c~ao na corda e a rea»c~ao na r¶otula do sistema da ¯gura, sendo de 400 N o peso da barra e de 800 N o da carga. Suponha que a corda tem massa desprez¶³vel. Exercício 43 Exercício 44 45o (( A d B 45 οο 45. Uma barra de massa M est¶a apoiada num buraco, como mostra a ¯gura. A largura do buraco ¶e d = 13 L, onde L ¶e o comprimento da barra. O ^angulo que a barra faz com a horizontal ¶e de 45±. A for»ca de atrito no ponto de contato A ¶e a m¶axima poss¶³vel, por¶em pode ser desprezada F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 17 no ponto B. Qual ¶e o valor do coe¯ciente de atrito em A? Determine a dire»c~ao, o m¶odulo e o sentido da for»ca de atrito em B. 46. A barra uniforme ANB da ¯gura tem 4,0 m de comprimento e pesa 1000 N. H¶a um ponto ¯xo C, que dista 3,0 m de A, em torno do qual ela pode girar. A barra est¶a inicialmente em repouso apoiada sobre o ponto A. Um homem de massa 75 kg est¶a andando sobre a barra, partindo de A. Calcule a maior dist^ancia que o homem pode se afastar de A sem que a barra se desequilibre. Exercício 45 A B C F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 18 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 15 { Respostas 1. (b) Lz = 2 m d2 sen2 µ !. 2. A for»ca do eixo sobre cada mancal tem m¶odulo F = 1 m ! 2 a2 sen(2 µ) 2d e¶ perpendicular (em cada instante) ao eixo, na dire»c~ao da reta que une cada part¶³cula ao centro do c¶³rculo descrito por ela, e apontando para fora do eixo. 3. (a) 7 12 m d2 , (b) 4 3 m d2. 4. Iz = 12 M R2 , Ix = Iy = 5. (a) 1 4 M R2 , (b) 1 12 6. 5 4 M R2 . 7. 1 3 M a2 . 8. 1 2 M R2 + r2 ¡ R2 a2 ¡rr 2 h 2 9. D = 16 ¼ L. 2 1 4 M R2 . M (a2 + b2). i 10. O ponto que ¯ca a uma dist^ancia d + h2 =(3d) do local da pancada. P ~ ext ~ 11. (a) ddtP = F = 0 =) momento linear total do sistema haltere + massa ¶e conservado. ~± dL dt P = ~¿±ext = 0 =) momento angular do sistema (em rela»c~ao a qualquer ponto O da mesa) ¶e constante. (b) 23 ~v±. (c) 2d 3a2 v± , (d) Sim, se d = a. F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 19 P ext ~ 12. (a) O momento linear total do sistema (pois F = 0), o momento P ext angular total (pois ~¿ = 0) e a energia cin¶etica (o enunciado informa que a colis~ao ¶e el¶astica). (b) M h2= (12 d2 + h2). P ~ EXT ~ = MT V ~CM = constante; portanto antes, 13. (a) Como F = 0, P ~CM = 1 ~v± . durante e depois da colis~ao, V 4 (b) Fa»camos ^³ o unit¶ario da dire»c~ao de ~v±, isto ¶e, ~v± = v± ^³, ^´ o unit¶ario da dire»c~ao da barra (perpendicular a ^³) e k^ o unit¶ario da dire»c~ao perpendicular ao plano do papel e saindo dele, como na ¯gura; e escolhamos como origem do sistema de coordenadas o ponto O onde ocorre o toque entre a massa m e a barra (a extremidade da barra antes da colis~ao): ˆj ⊗ O kˆ • R(t) = 1 4 r VCM ιˆ ⊗ ω ⊗ O [(¡D + v± t) + 3`^´]. (c) ! = 3v± =(7`), no sentido anti-hor¶ario. 14. (a) ! = 3Mva m d2+3 m a2 ; (b) d = 32 a ; 2 d (c) ¢T = Tf ¡ Ti = ¡ 12 m v 2 M dM 2+3 m a2 p 15. 3 g h . 16. (a) q 3g h (1 ¡ cos µ ) . (b) O centro de massa descrever¶a um movimento uniformemente acelerq 1 ado com acelera»c~ao inicial horizontal de m¶odulo 2 3 g h (1 ¡ cos µ±) ; aq barra girar¶a em torno do centro de massa com velocidade angular 3g a barra. h (1 ¡ cos µ± ) em torno de um eixo perpendicular µ 17. (a) 14 M g, vertical e para cima. para cima. (b) q 3 g=h . (c) 5 2 M g, vertical e F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 20 18. (a) g 1 r 1+ M R2 2 m r2 19. (b) 1 2 g 2 1+ 2MmRr 2 ; (b) ; (c) mg 2. 1+ 2MmRr2 (M + m) a , para frente. 20. (M + 4m) a. 0 0 ^ onde k^ e¶ o unit¶ario da 21. (a) ~¿peso = 0 , ¿~F0 = 0 , ~¿fa = 13 F R k, dire»c~ao do eixo do cilindro, para dentro. ~. (b) 2 F 3M 22. Amax = 8 m/s. F 23. (a) 32M . (b) Cilindro da frente: ~. tr¶as: ¡ 13 F F 24. (a) ¡ m t^³; (b) 25. (a) Acm = g ¡ (b) 2 g 3 R; (c) 26. (a) 2mg M+2 m 27. (a) M R41 +R42 2 R21 +R22 ; 2F t MR T M 2 3g 2T M R, (d) 13 M 2m g ; (b) R(M+m) onde T ¶e a tens~ao no ¯o. ; (c) M mg M+2 m . ; T g t; m T' m' 0 R2 (R1 +R2 ) (d) T = m g I+m I+m R2+m0 R2 . 1 2 29. (a) Para frente, se cos ® > r=R; para tr¶as, se cos ® < r=R. (b) a = F cos ®¡r=R M 1+ I 2 MR (c) F ¸ Mg . sen® , fa = α r ACM g . α m R1¡m0 R2 I+m R21+m0 R22 m R1 ¡m0 R2 I+m R21 +m0 R22 (b) ® = g (c) F~ (mesmo sentido de F~ ); cilindro de ^k. ; ®= ; 2 3 cos ®+ M IR r 2 1+ M IR , para tr¶as. F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 21 30. Primeiro p modelo: desprezando a energia cin¶etica de rota»c~ao da bola, v = 2gH. Segundo modelo: h¶a rolamento sem deslizamento na canaleta, com um u¶nico ponto de contato (a bola vem girando e rolando semqtocar nas laterais da canaleta e encostando apenas no fundo dela): v = 10gH=7. Terceiro modelo: h¶a rolamento sem deslizamento, com o contato entre a canaleta e a bola dando-se nos dois pontos da ¯gura; k ¶e a dist^aq ncia do centro da esfera ao eixo que passa pelos dois pontos: v = 2gH= (1 + 2R2 =(5k 2)). R k 31. (a) 2 q 1 3 g h ; (b) q 2 R 1 3 g h ; (c) q 10 3 g h ; (d) 2 R q 1 3g h. 2 2 32. (a) 325 N.m; (b) 600 N; (c) 0,69. m1 m2 g m1 +m2+ I2 33 (a) Em m1: m + R2 R (b) m2 g m1 +m2 + I R2 ; (c) r N 34. (a) Caso 1: r P (b) a1 = mg m+ 38 M 35. (a) abloco = (b) 36. (a) 6 gb 22 b2 +k 2 , m2 g R (m1 +m2+ I ) R2 r T . r N Caso 2: r fa r fa a2 = mg m+ 32 M r r N P 2 r T r P (a1 > a 2). r T' r T 18 g b2 22 b2 +k 2 I 1 R2 m2 g m1 +m I . 2+ ; em m2: r fa r P' 2 2 b ¡k 4 b +k ; (c) 4 m g 22 , para a frente; (d) 4 m g 22 . b2 +k2 b2 +k2 M¡Me sen µ M+ 12 Mp + 75 Me g ; (b) 1 2 Mp +( 75 +sen µ) Me M+ 12 Mp+ 75 Me Mg. F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 22 ωο 37. (b) Por que se h ¶e qualquer, a bola pode rolar e deslizar. Se h = a, !± = 0 e a bola come»ca a deslizar sem rolar. Se h < a, a bola rola em sentido anti-hor¶ario. Para que haja rolamento sem deslizamento, h = 7 5 vο ωο vο a. (c) Vcm n~ao ¶e constante porque a resultante das for»cas externas na bola n~ao ¶e nula (h¶a atrito cin¶etico). Quando passarmos µa situa»c~ao de rolamento sem deslizamento, V = 57 V± , e a partir da¶³a velocidade do P ~ ext centro de massa ¯ca constante por que F = 0. A energia dissipada 1 2 ¶e 7 M V ± , e corresponde ao trabalho da for»ca de atrito no deslizamento. 38. (a) v± = 25 !± R ; (b) v± = 14 !± R. 39. (M + m) a R. 40. 1 2 M R2 ~! (~! = ! ^k, onde k^ e¶ o unit¶ario da dire»c~ao do eixo). 41. Sim. O ovo cru n~ao ¶e um corpo r¶³gido... 42. O per¶³odo aumentaria, pois a velocidade angular diminuiria (devido ao aumento do momento de in¶ercia). 43. Discuta com o seu professor. p 44. Tra»c~ao na corda: 1000 2 N ~ onde R ' 1020 N, Rea»c~ao na r¶otula: ¡ R, r R r T α 45ο ® = arctg 0; 2 ' 11±. p 45. ¹ C = 4 3 2 ¡ 1 ' 0; 9 ; fa = (1 ¡ parede do buraco e para cima. p 3 2 8 )M g ' 0; 47 M g, tangente µa