Giulio Massarani - Livro

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FLUIDODINÂMICA EM SISTEMAS PARTICULADOS Giulio Massarani Programa de Engenharia Química COPPE/Universidade Federal do Rio de Janeiro 2º Edição 2001 Ao amigo José Teixeira Freire SUMÁRIO Prefácio 7 Capítulo 1 Fluidodinâmica da Partícula Sólida 9 1. Equação do Movimento da Partícula 9 2. A Força Resistiva Fluido-Partícula 14 Efeito da presença de fronteiras rígidas 20 Influência da concentração de partículas 23 3. O Movimento Acelerado da Partícula 29 4. Dinâmica da Partícula em Fluido Não-Newtoniano 31 Problemas 34 Bibliografia 39 Capítulo 2 A Decantação 41 1. A Trajetória da Partícula 41 2. Separação Sólido-Fluido na Fenda de Seção Retangular 45 3. O Conceito Sigma e a Especificação de Centrífugas 47 4. Ciclones a Gás e Hidrociclones 48 Problemas 56 Bibliografia 63 Capítulo 3 Escoamento de Fluidos em Meios Porosos 1. Equações da Continuidade e de Movimento para o Fluido 65 65 A força resistiva m 67 A tensão extra τ 68 A equação de Darcy 68 2. Propriedades Estruturais da Matriz Porosa 69 A determinação experimental de parâmetros estruturais 69 O modelo capilar 70 3. Escoamento em Meios Porosos: Aplicações Clássicas 76 A perda de carga no meio poroso 76 O escoamento compressível 78 O escoamento transiente 78 4. O Escoamento Bifásico em Meios Porosos 78 Equação de Darcy-Buckingham 79 Generalização da Forma Quadrática de Forchheimer 80 Problemas 83 Bibliografia 98 Capítulo 4 Fluidodinâmica em Sistemas particulados Expandidos 101 1. Equações da Continuidade e do Movimento 101 2. Caracterização dos Meios Expandidos 105 3. O Elo entre a Fluidodinâmica de Partículas e a Teoria de Misturas 107 4. Transporte Hidráulico e Pneumático de Partículas 109 Transporte vertical homogêneo: partículas "grandes" 110 Transporte hidráulico homogêneo 112 Problemas 113 Bibliografia 121 Capítulo 5 Escoamento em Meios Porosos Deformáveis 123 1. Equações da Continuidade e do Movimento 123 2. Teoria da Filtração com Formação de Torta 127 Equacionamento da filtração plana com formação de torta 128 A teoria simplificada da filtração 131 3. A Sedimentação Contínua 133 Problemas 136 Bibliografia 150 Índice Onomástico 151 PREFÁCIO Primeira Edição (Ed. UFRJ, 1997) Entre as múltiplas facetas que os Fenômenos de Transporte em Sistemas Particulados oferecem, tanto do ponto de vista científico como numa larga gama de aplicações tecnológicas, este livro trata apenas dos aspectos fluidodinâmicos da questão. Inicialmente, nos primeiros capítulos, os sistemas em que a fase dispersa é diluída são analisados a partir da fluidodinâmica da partícula isolada; efeitos como aqueles causados pela interação entre partículas são levados em conta através de modificações do problema inicial. Para contornar a dificuldade aparentemente intransponível na descrição geométrica do conjunto de partículas que compõe o sistema denso, os capítulos seguintes utilizam uma Teoria de Misturas com base na Mecânica do Contínuo. A formulação é estabelecida a partir das leis de conservação aplicadas às fases fluida e particulada, e mais um conjunto de informações que caracterizam o sistema, as denominadas equações constitutivas. A poderosa formulação via Teoria de Misturas, com os seus teoremas, acarreta, no primeiro impacto, o desconforto causado pela perda do referencial “partícula” na “estrutura amorfa do contínuo”. No cálculo da queda de pressão no escoamento em duto, problema clássico na Mecânica dos Fluidos, leva-se em conta, por acaso, a estrutura molecular da matéria? Da mesma forma, na Teoria de Misturas os detalhes da estrutura do Sistema Particulado escapam pela luneta usada ao revés; as propriedades do sistema são medidas em experiências simples e os resultados expressos de modo generalizado através das equações constitutivas, tal como na Mecânica dos Fuidos o escoamento laminar em tubo capilar fornece informações sobre a reologia do fluido. Não há como negar, o desafio em ministrar por uma centena de vezes a disciplina de Sistemas Particulados, quer na forma de Operações Unitárias para os estudantes da graduação ou no enfoque de Fenômenos de Transporte para os pós-graduados, foi sempre a busca de uma teoria que procura amalgamar e correlacionar os diferentes temas. Assim, por exemplo, o escoamento em meios porosos, a filtração com formação de torta e o espessamento, guardadas algumas poucas peculiaridades, podem e devem ser tratados dentro de um mesmo arcabouço; os resultados alcançados na fluidização homogênea levam à reologia da suspensão e ao projeto das linhas de tranporte hidráulico; a dinâmica da partícula no campo centrífugo permite analisar o desempenho de ciclcones e de centrífugas. A cena repete-se anualmente desde 1973, sempre em outubro, na atmosfera acolhedora do anfiteatro universitário. Entre os veteranos circulam os debutantes tensos. O evento nasceu Encontro sobre o Escoamento em Meios Porosos (ENEMP) e só recentemente, a partir da 23ª versão, passou a ser Congresso Brasileiro em Sistemas Particulados. Pois é sobretudo neste foro que os últimos resultados são disseminados entre os grupos participantes; esta Fluidodinâmica procura respeitosamente preservar e ordenar um pouco da memória dos Encontros. Rio de Janeiro, Outubro de 1996 Giulio Massarani Versão da Segunda Edição A realização desta Versão foi concretizada graças ao incentivo e ao apoio desta generosa população que trabalha no Laboratório de Sistemas Particulados: Christine Lamenha Luna, Cláudia Miriam Scheid, Flavia Pereira Puget, João Francisco A. Vitor, Marcel Vasconcelos Melo, Marcelo Guilherme G. Mazza, Marcos Roberto T. Halasz e Sílvia Cristina A. França. Rio de Janeiro, Julho de 2001 Giulio Massarani 7 Capítulo 1 Fluidodinâmica da Partícula Sólida 1. Equação do Movimento da Partícula A fluidodinâmica em sistemas particulados pode ser estudada tomando como ponto de partida a fluidodinâmica da partícula isolada. A determinação das propriedades do todo pela extrapolação do comportamento de um elemento da estrutura complexa é intuitiva e didática, embora, na maioria das situações, esta estratégia exija um grande esforço de imaginação combinando a um procedimento matemático complicado e duvidoso. O capítulo 1 procura reunir o conhecimento comum que diz respeito à fluidodinâmica da partícula, consolidado na literatura a partir do trabalho pioneiro de Stokes sobre a interação fluido newtoniano-partícula esférica rígida no movimento relativo lento. C.R. Stokes, "On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums", Trans. Cambridge Phil. Soc., 9,8 (1850). A fluidodinâmica da partícula pode ser descrita através de um conjunto de equações que inclui a equação do movimento da partícula, as equações da continuidade e movimento para o fluido, a condição de aderência na interface fluido-partícula e mais as equações constitutivas para o fluido e as condições limites pertinentes ao problema específico. A análise limita-se à fluidodinâmica da partícula rígida, incluindo-se nesta categoria não apenas as partículas sólidas como também gotas e bolhas de dimensões diminutas. A partícula tem massa mP , densidade uniforme ρ S , volume V P e a superfície em contato com o fluido é S P . As equações que seguem são estabelecidas em base a um referencial inercial. Equação do movimento da partícula mP (a S ) C = ∫ TF ndS + ρ SV P b . (1) SP Equações da continuidade e movimento para o fluido ∂ρ F + div(ρ F v F ) = 0 ∂t (2)  ∂v  ρ F  F + (grad v F )v F  = div TF + ρ F b.  ∂t  (3) Condição de aderência sobre a superfície da partícula ( v F ) Q = ( vs ) C + ω × rQC . (4) 9 Nestas equações, em relação à partícula, ( vs ) C e ( a s ) C são respectivamente a velocidade e a aceleração de seu centro de massa, ω a velocidade angular e rQC o vetor posição do ponto Q sobre a superfície da partícula em relação ao centro de massa. Quanto ao fluido, ρF ,v F e TF são respectivamente a densidade, o campo de velocidades e o tensor tensão que atua sobre esta fase. b é a intensidade do campo exterior. A força de interação fluido-partícula pode ser decomposta na força resistiva empuxo, ∫SP TFndS = l - ρFVPb l e no (5) sendo nula a força resistiva quando a velocidade relativa entre as fases for nula. A equação do movimento da partícula toma a forma m P (as )C = l + (ρS − ρF )VPb (6) A análise limita-se, deste ponto em diante, ao movimento de translação da partícula, para atender às necessidades do próximo capítulo sobre a separação sólido-fluido em sistemas diluidos. Mesmo neste caso relativamente simples, as expressões analíticas conhecidas para representar a força resistiva restringem-se a algumas configurações caracterizadas pela forma regular da partícula e pelo movimento relativo partícula-fluido suficientemente lento, o regime de Stokes, quando a equação do movimento para o fluido, equação (3), pode ser linearizada. Os resultados reunidos na tabela (1), alcançados através das equações (1) a (5), são em maioria exatos ou encerram alguma sorte de aproximação, preservando, no entanto, a forma analítica do resultado (Berker, 1963). Trata-se de um repertório clássico de soluções que forma a base para o estudo da fluidodinâmica da partícula. Os resultados mostram que: a) A força resistiva exercida pelo fluido sobre a partícula depende das dimensões e forma da partícula; b) A força resistiva depende do campo de velocidades do fluido não pertubado pela presença da partícula; c) A força resistiva é influenciada pela presença de contornos rígidos e pela presença de outras partículas; d) No movimento acelerado da partícula a força resistiva depende da história da aceleração da partícula. 10 Tabela 1 - Força resistiva fluido-partícula no movimento de translação da partícula no regime de Stokes. O fluido é newtoniano e tem viscosidade µ. uF é o campo de velocidades do fluido não perturbado pela presença da partícula e vs é a velocidade de translação da partícula (Berker, 1963). Descrição Esfera fixa com diâmetro escoamento permanente. D, Translação retilínea e uniforme de esfera com diâmetro D, fluido inicialmente em repouso Elipsóide fixo, semi-eixos a, b, c, escoamento permanente. x 2 a2 + y 2 b2 + z 2 c2 =1 uF vS l (uF ) x = U ∞ ( uF ) y = ( uF ) z = 0 vS = 0 l x = 3πµDU∞ uF = 0 ( vS ) x = v ( vS ) y = ( vS ) z = 0 l x = −3πµDv lx (uF ) x = U ∞ ( uF ) y = ( uF ) z = 0 vS = 0 = 3πµD' U ∞ 32 πabc D' = 3 ψ o + a 2α o ψ o = 2 πabc ∫ ∞ o [ ∞ du du , α o = 2 πabc ∫ o ( a 2 + u) ∆u ∆u ∆u = (a 2 + u)(b 2 + u)(c 2 + u) Esfera fixa com diâmetro D, escoamento permanente do fluido não pertubado pela presença da partícula resultante do campo de pressões piezométricas P. uF vS = 0 ] 1/ 2 πD3 (grad P)C , 8 onde C denota a posição do centro de massa da partícula l = 3πµD(uF )C + Tabela 1 (cont.) - Força resistiva fluido-partícula no movimento de translação da partícula no regime de Stokes. O fluido é newtoniano e tem viscosidade µ. uF é o campo de velocidades do fluido não perturbado pela presença da partícula e vs é a velocidade de translação da partícula (Berker, 1963). Descrição uF Translação retilínea e uniforme da esfera com diâmetro D em presença de duas paredes planas paralelas. O fluido está inicialmente em repouso. h1 h2 x uF = 0 l vs ( vS ) x = v ( vS ) y = ( vS ) z = 0 lx  9 1 1   = −3πµDv 1 + D +  32  h1 h 2  v fluido Translação retilínea e uniforme da esfera com diâmetro D ao longo do eixo do tubo com diâmetro Dt. O fluido está inicialmente em repouso. uF = 0 v Dt ( vS ) x = v ( vS ) y = ( vS ) z = 0 lx  D = −3πµDv1 + 2,1  Dt   Tabela 1 (cont.) - Força resitiva fluido-partícula no movimento de translação da partícula no regime de Stokes. O fluido é newtoniano e tem viscosidade µ. uF é o campo de velocidades do fluido não perturbado pela presença da partícula e vS é a velocidade de translação da partícula (Berken, 1963). uF Descrição Translação retilínea e uniforme das esferas 1 e 2 com diâmetro D1 e D2. O fluido está inicialmente em repouso. f2 uF = 0 f1 q1 h q2 l vs   3 D2   f1 = 3πµD1v  1 − 8 h    f 2 = 3πµD2 v  1 − 3 D1   8 h  (vS ) x1 = (vS ) x2 = v (vS ) y1 = (vS ) y2 = 0 (vS ) z1 = (vS ) z2 = 0 φ q1 = q2 = v 9 cos φ πµD1D2 v 8 h v Esfera em translação retilínea não uniforme e com velocidade inicial nula. O fluido está inicialmente em repouso. uF = 0 (vS ) x = v (t ), v (0) = 0 (vS ) y = ( vS ) z = 0 -lx == 1 dv πD3ρF + 3πµDv 12 dt dv t 3 + D 2 (πµρ)1 / 2 ∫ dτ dτ o t−τ 2 Na situação em que a partícula apresenta forma irregular e fora do regime de Stokes, não parece haver outra alternativa senão a de tratar a força resistiva de modo empiríco, procurando generalizar os resultados clássicos (Bird et al., 1960, p.193): l = A ⋅ 1 ρF u − v 2 ⋅ c D ⋅ 2 u−v , u−v (7) onde A é uma área característica, cD o coeficiente de arraste cujo valor numérico depende da definição de A, u é a velocidade do fluido não perturbado pela presença da partícula na posição do centro de massa desta partícula, e v a velocidade de translação da partícula. Considera-se na equação (7) que a força resistiva e a velocidade relativa U = u−v (8) tenham a mesma direção, o que implica em admitir que a forma da partícula apresenta um certo grau de regularidade. Nestas condições, a equação do movimento da partícula toma a forma mP a S = 1 Aρ F cD U U + + ( ρ S − ρ F )V P b . 2 (9) 2. A Força Resistiva Fluido-Partícula O estudo da fluidodinâmica da partícula requer o conhecimento da reologia do fluido e das propriedades físicas da partícula expressas pela densidade, dimensão e forma. Entre as múltiplas possibilidades conhecidas na caracterização da partícula e para melhor usufruir um grande número de dados experimentais disponíveis na literatura, adotam-se neste texto o diâmetro volumétrico DP como dimensão característica e a esfericidade φ na caracterização da forma da partícula (Allen, 1981). O diâmetro volumétrico é definido como sendo o diâmetro da esfera com o mesmo volume que a partícula, 6  DP =  V P  π  1/ 3 . (10) O valor desta propriedade para partículas de forma irregular pode ser determinado com o auxílio da picnometria clássica ou, na situação em que as partículas são diminutas, através da análise granulométrica realizada no Coulter Counter (Allen, 1981). A esfericidade é definida como sendo o cociente entre a superfície da esfera com o mesmo volume que a partícula e a superfície S P , φ = πDP2 / S P . (11) 14 A esfericidade é um fator de forma empírico que pode ser determinado por permeametria, técnica que será apresentada em detalhes no capítulo 3. É a partícula esférica que apresenta o maior valor da esfericidade, φ=1; as partículas que ocorrem usualmente, como aquelas resultantes dos processos de moagem, apresentam a esfericidade na faixa de 0,5 a 0,7. O coeficiente de arraste cD , presente na equação que define a força resistiva fluidopartícula, equação (7), pode ser calculado através da medida da velocidade terminal da partícula vt , isto é, a velocidade constante atingida pela partícula quando lançada no fluido inicialmente em repouso. Definindo a área característica desta equação como sendo a área da seção transversal da esfera de diâmetro DP , A = πDP2 / 4 (12) resulta no campo gravitacional, a partir das equações (8) e (9). U z = 0 − vt = − v t cD = (13) 4 (ρ S − ρ F ) DP g . 3 ρ F vt2 (14) vt Um grande número de experiências conduzidas com partículas isométricas, isto é, partículas esféricas ou na forma de poliedros regulares (tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro e dodecaedro), parecem indicar que o valor do coeficiente de arraste depende apenas do número de Reynolds, Re = D P vt ρ F µ (15) e da esfericidade (Pettyjohn e Christiansen, 1948). Generalizande este resultado, cD = 4 (ρ S − ρ F ) DP b = f1 ( Re, φ) 3 ρ FU 2 (16) Re = DPUρ F µ (17) b = b , U = U = u−v . (18) A partir da equação (16): Re = f 2 (cD Re 2 , φ) (19) Re = f 3 (cD / Re, φ) (20) 15 onde os grupos adimensionais cD Re 2 e cD / Re são assim calculados cD Re2 = 4 ρ F (ρS − ρ F )bDP3 3 µ2 (21) cD / Re = 4 (ρ S − ρ F )µb . 3 ρ2F U 3 (22) Cabe ressaltar que a correlação expressa pela equação (16) é o ponto de partida para o estabelecimento das equações (19) e (20) e que pode ser utilizada com vantagem no estudo da dinâmica da partícula em fluido não newtoniano pelo fato da viscosidade estar presente apenas no número de Reynolds. A equação (19) presta-se para o cálculo de U , pois cD Re 2 não inclui esta variável; analogamente, a equação (20) deve ser utilizada no cálculo de DP já que c D /Re não inclui esta variável. Nestas duas últimas situações, U e DP são calculados a partir do número de Reynolds. As correlações apresentadas nas tabelas (2) a (4) referem-se à fluidodinâmica da partícula isométrica isolada em fluido newtoniano. Embora a tabela (3) inclua a partícula esférica, recomenda-se neste caso, para maior precisão, a utilização da tabela (2). A tabela (4) fornece diretamente as expressões para a velocidade relativa fluido-partícula e para o diâmetro da partícula quando prevalece o regime de Stokes ou o de Newton , isto é, quando Re < 0,5 ou 103 < Re < 2 × 105 . As correlações das tabelas (2) e (3) foram estabelecidas através do Método das Duas Assíntotas de Churchill (1983). y ( x ) = [ yon ( x ) + y∞n ( x )]1/ n , (23) onde yo ( x ) e y∞ ( x ) referem-se, respectivamente, aos regimes de Stokes e Newton, e o “valor ótimo” de n é determinado a partir de dados experimentais, dentro de algum critério estatístico. Entre outras correlações apresentadas na literatura para a fluidodinâmica da partícula isométrica, cabe mencionar as de Concha e Barrientos (1986) e Haider e Levenspiel (1989). Estas correlações, baseadas essencialmente nos dados experimentais de Pettyjohn e Christiansen (1948), são de complexidade e precisão equivalentes àquelas apresentadas na tabela (3). Em algumas situações foram levantadas correlações específicas para descrever a fluidodinâmica da partícula não-isométrica (Concha e Christiansen, 1986), porém, na falta destas, utilizam-se os resultados relativos à partícula isométrica, caracterizando a forma da partícula não-isométrica através da esfericidade. 16 Tabela 2 - Fluidodinâmica da partícula esférica isolada: Correlações de Coelho & Massarani (1996) com base nos dados de Lapple & Shepherd (1940) e Pettyjohn & Christiansen (1948). Re < 5 × 104 n Correlação 1/ n  24  n  c D =   + 0,43n   Re    2  −n  2  −n/2  c c Re Re D D   +  Re =    24   0,43    0,63 −1/ n  24  n / 2  0,43  n  Re =     +  cD / Re    cD / Re    Re = 0,95 1/ n 0,88 Valor Médio e Desvio Padrão ( cD ) exp ( cD ) cor ( Re) exp ( Re) cor ( Re) exp ( Re) cor = 1, 00 ± 0, 09 = 1,00 ± 0,06 = 1,00 ± 0,09 DPUρF 4 ρF (ρS − ρF )bDP3 4 (ρS − ρF )µb , cD Re 2 = , cD / Re = 2 µ 3 3 ρF2 U 3 µ 17 Tabela 3 - Fluidodinâmica da partícula isométrica isolada: Correlações de Coelho & Massarani (1996) com base nos dados de Pettyjohn & Christiansen (1948). 0,65 < φ ≤ 1 e Re < 5 × 104 n Correlação  24  n  n + cD =  K  2  K1Re     1/ n −n −n/2    c Re 2  K c Re2    + D  Re =  1 D   24   K2    0,85 −1/ n n/2 n    K2   24 Re =   +    cD / Re    K1 (cD / Re)    Re = 1,2 1/ n 1,3 Valor Médio e Desvio Padrão ( cD ) exp ( cD ) cor ( Re ) exp ( Re ) cor (Re)exp (Re)cor = 1, 00 ± 0, 13 = 1, 00 ± 0, 10 = 1,00 ± 0,14 4 ρF ( ρS − ρF )bDP3 4 ( ρS − ρF )µb DPUρF , cD Re 2 = , c / Re = D µ 3 3 µ2 ρF2 U 3 K1 = 0, 843 log10 ( φ / 0, 065), K2 = 5, 31 − 4 , 88φ 18 Tabela 4 - Fluidodinâmica da partícula isométrica isolada: Cálculo da velocidade e do diâmetro da partícula (Pettyjohn & Christiansen, (1948). 0,65 < φ ≤ 1 Variável a Ser Estimada Regime de Stokes Re < 0, 5 Regime de Newton 103 < Re < 5 × 104 cD 24 K1 Re K2 U Dp ( ρS − ρF )bK1 D 2p 18µ   18µU    ( ρS − ρF )bK1  1/ 2 K1 = 0, 843 log10 ( φ / 0, 065), K2 = 5, 31 − 4 , 88φ 19  4( ρS − ρF )bD p    3ρF K2   3ρF K2U 2 4( ρS − ρF )b 1/ 2 Exemplo Deseja-se estudar a possibilidade de separar o minério A do minério B através da elutriação com corrente ascendente de água. A+B A Propriedades do minério A: ρSA = 2, 2 g / cm3 e φA = 0, 70 Propriedades do minério B: ρSB = 3,2 g / cm3 e φB = 0,85 Água A+B Faixa granulométrica da mistura A+B: 0,149 < DP < 0,595mm , correspondendo às peneiras 28/100 # Tyler. A velocidade de elutriação de água (20ºC) que permite recuperar a maior quantidade possível do produto A puro é igual à velocidade terminal da menor partícula de B, isto é, DPB = 0,149mm . Resulta da tabela 3, utilizando as propriedades de B: cD Re 2 = 95,2 , Re = 2 ,93 e, deste último, uF = vtB = 1,97cm / s . Conhecida a velocidade de elutriação, é possível calcular o diâmetro da maior partícula de A presente no produto arrastado. A tabela (3) leva aos seguintes resultados utilizando as propriedades de A: cD / Re = 2,05 , Re = 3,97 e, deste último, DPA = 0,202mm . Em conclusão, a velocidade de elutriação u = 1,97cm / s leva a um produto de topo constituido de A puro na faixa granulométrica 0,149 < DP < 0,202mm ; o produto de fundo é constituido de uma mistura de A (0,202 < DP < 0,595mm) e de B (0,149 < DP < 0,595mm) . Cabe salientar que esta análise trata apenas das condições de separabilidade dos componentes A e B na elutriação e nada informa sobre a cinética de separação. Pode-se esperar que as partículas maiores de A sejam arrastadas muito lentamente e que as partículas menores de B sedimentem também muito lentamente. Efeito da presença de fronteiras rígidas Resultados analíticos reunidos na tabela (1) evidenciam que a fluidodinâmica da partícula é influenciado pela presença de fronteiras rígidas, resultando uma redução na velocidade terminal em relação à velocidade terminal da partícula isolada, v∞ . 20 Almeida (1995) estudou experimentalmente o movimento da partícula isométrica ao longo do eixo principal de um tubo cilíndrico com diâmetro Dt , resultando a figura (1) e as correlações empíricas apresentadas na tabela (5). Cabe ressaltar que as correlações clássicas de Francis (1933), regime de Stokes, e de Munroe (1888), regime de Newton, válidas para esferas, podem ser utilizadas também para partículas isométricas. vt Dt vt v∞ 0 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,05 0,1 0,2 0,5 0,3 0,4 0,4 0,3 β= 0,2 Dp = 0,5 Dt Francis (1933) Almeida (1995) Munroe (1888) 10 -2 10 -2 -1 10 1 10 10 2 Re∞ = 3 10 Dpv∞ρF µ Figura 1 - Efeito de parede na velocidade terminal da partícula isométrica (Almeida, 1995). 21 Tabela 5 - Efeito de parede na fluidodinâmica da partícula isométrica em fluido newtoniano (Almeida, 1995): 0,65 < φ ≤ 1 e 0 < D P / D t ≤ 0,5 . Re∞ = D P v∞ ρ F µ kP = vt , β = DP / Dt v∞  1− β  kP =   1 − 0,475β  < 0,1 (Francis, 1933) kP = 0, 1 − 10 3 4 10 1 + A Re∞B A = 8,91e 2 ,79β , B = 117 , × 10−3 − 0,281β > 103 (Munroe, 1888) Re = k P = 1 − β 3/ 2 e 3,54β 24 , n = 0,85 para Re < 35 n K1 (cD − K2n )1/ n cD = K1 = 0,843 log10 4 (ρS − ρF )gD P 3 ρF v 2t φ , K2 = 5,31 − 4 ,88φ 0,065 22 Exemplo Deseja-se planejar uma experiência que consiste na medida da velocidade terminal limitando, com a escolha adequada do diâmetro do cilindro de testes, o efeito de parede a 5%, v isto é, k P = t > 0,95 . A partícula tem diâmetro DP = 5mm . Utilizando as correlações de v∞ Francis e Munroe, tabela (5), Regime de Stokes : Dt / DP > 41, Dt > 205mm ; Regime de Newton: Dt / DP > 8, Dt > 40mm . Os resultados evidenciam que o efeito da parede e bem mais agudo no regime de Stokes que no regime de Newton. Influência da concentração de partículas Um grande número de dados experimentais apresentados na literatura evidencia que a velocidade terminal de uma partícula tem seu valor substancialmente reduzido pela presença de outras partículas. Esta redução, tanto mais sensível quanto maior a concentração de sólidos, é da ordem de 5% para concentrações de apenas 2%, como mostra a equação de Einstein (Govier e Aziz, 1972, p. 98). vt / v∞ = 1 / (1 + 2 ,5cV ) , (24) onde v∞ é a velocidade terminal da partícula isolada e cV a fração volumétrica da fase sólida na suspensão. O efeito da presença da fase particulada na fluidodinâmica de suspensões é comumente expresso através de correlação do tipo (Richardson e Zaki, 1954). U / v∞ = f ( Re∞ , ε ) , (25) onde U é o módulo da velocidade relativa fluido-partícula, U = v−u , Re∞ o número de Reynolds referente à velocidade terminal da partícula isolada, Re∞ = D P v∞ ρ F , µ ε, a porosidade, é a fração volumétrica de fluido na suspensão, ε = 1 − cV . 23 As correlações referentes à equação (25) podem ser determinadas através da experimentação conduzida na sedimentação em batelada e na fluidização homogênea: no primeiro caso U = v / ε , onde v é a velocidade da frente de sedimentação; no segundo caso U = QF / (εA) , sendo QF a vazão de fluido e a A área da seção transversal de fluidização (Barnea e Mizrahi, 1973). A experimentação torna-se imprecisa quando a faixa granulométrica das partículas sólidas é extensa e quando a concentração de sólidos é reduzida, inferior a 5% em volume, resultando nas duas situações uma interface fluidosuspensão pouco nítida por problemas de segregação de partículas. A maioria das correlações apresentadas na literatura referem-se a amostras com partículas "arredondadas", em faixa granulométrica "estreita" representada por um diâmetro médio que possivelmente não caracteriza a fluidodinâmica da suspensão. Como conseqüência da caracterização incompleta do sistema particulado, as correlações da literatura podem diferir substancialmente entre si. São apresentadas na tabela (6) as correlações de Richardson e Zaki (1954) para partículas arredondadas, a de Politis e Massarani (1989) para partículas irregulares e outras resultantes dos dados experimentais reunidos por Concha e Almendra (1978). Na figura (2) é feita a comparação entre os resultados de Richardson e Zaki (1954) e Almendra (1979) para partículas arredondadas: as maiores discrepâncias ocorrem quando a porosidade é elevada e na região intermediária entre os regimes de Stokes e Newton. 24 Tabela 6 - Influência da concentração de partículas na fluidodinâmica de suspensões. A. Correlação de Richardson e Zaki (1954) para partículas arredondadas: U / v∞ = ε n , n = n( Re∞ ) Re∞ < 0,2 0,2-1 1-500 > 500 n 3,65 4 ,35 Re∞−0 ,03 − 1 4 ,45 Re∞−0 ,1 − 1 1,39 B. Correlação de Politis e Massarani (1989) para partículas irregulares (areia, hematita, itabirito, dolomita e quartzo, 0,47<φ<0,80). −0 ,14 U / v∞ = ε 5,93 Re∞ , 9,5 < Re∞ < 700 . O diâmetro médio é a média aritmética da abertura das peneiras de corte. C. Correlações empíricas estabelecidas com base nos dados experimentais reunidos por Concha e Almendra (1978) (Massarani e Santana, 1994) Re ∞ < 0,2 , U  0,83ε 3,94 , 0,5 < ε ≤ 0,9 = v∞ 4,8ε − 3,8, 0,9 < ε < 1 1 < Re ∞ < 500, U 1 = , 0,5 < ε < 0,95 −B v∞ 1 + A Re ∞ A = 0,28ε −5,96 , B = 0,35 − 0,33ε U Re ∞ > 2 × 103 , = 0,095exp(2,29ε ), 0,5 < ε < 0,95. v∞ 25 U/v∞ 1 ε = 0,95 0,8 0,95 0,90 0,90 0,6 0,80 0,4 0,80 0,70 0,70 0,60 0,60 0,2 Richardson e Zaki Almendra 0 10 -2 10 -1 1 10 10 2 10 3 Re∞ 10 4 Figura 2 - Influência da concentração de partículas na fluidodinâmica de suspensões: comparação entre os resultados de Richardson e Zaki (1954) e Almendra (1979). 26 Outra estratégia que pode ser adotada na análise de fluidodinâmica de suspensões consiste em considerar o comportamento isolado de uma partícula no seio da mistura sólidofluido, mistura esta caracterizada pela densidade e viscosidade ρSusp e µSusp(Govier e Aziz, 1972, p.98; Massarani e Santana, 1994). Assim, no regime de Stokes, tabela (4), v= (ρS − ρSusp )gK1D 2P 18µSusp = εU . (26) Sendo v∞ = ( ρ S − ρ F )gK1 DP2 18µ (27) e ρ S − ρ Susp = ε (ρ S − ρ F ) , (28) resulta, combinando as equações (25) a (28), µ Susp = µ = µ / f ( Re∞ ,ε) . U / v∞ (29) Finalmente, cabe indagar em que medida podem estar relacionados entre si os resultados clássicos da fluidodinâmica nos meios de densos, estabelecidos no contexto da Teoria de Misturas, e os da fluidodinâmica de suspensões estabelecidos a partir do comportamento da partícula isolada. O assunto será abordado nos capítulos 3 e 4. Demonstrase, por exemplo, que no regime de Stokes U= 1 ( DP φ ) 2 ε 2 ⋅ ⋅ ⋅ (ρ S − ρ F ) g µ 36β 1 − ε (30) ou, de modo equivalente, cD = 4 36β 1 − ε 1 , ⋅ ⋅ ⋅ 3 φ 2 ε 2 Re (31) sendo β = 3,82 / (1 − ε 7,21 ) e ε < 0,97 . 27 Exemplo Deseja-se calcular a porosidade no transporte vertical ascendente, em duto com diâmetro Dt = 5,1cm , de partículas sólidas com as seguintes propriedades: diâmetro DP = 1mm , densidade ρ S = 3g / cm3 e esfericidade φ = 0,75 . a) O fluido é água (ρ F = 1g / cm3 e µ = 0,9cP) e as vazões de fluido e sólido são respectivamente QF = 15m3 / h e QS = 3m3 / h . b) O fluido é ar a 20ºC e 1 atm (ρ F = 1,2 × 10−3 g / cm3 e µ = 1,8 × 10-2 cP) e as vazões de fluido e sólido são respectivamente QF = 39,9m3 / h e QS = 1,32m3 / h . A porosidade no transporte vertical pode ser calculada resolvendo a equação (25), U= QF QS − = v∞ f ( Re∞ , ε ) , εA (1 − ε ) A onde A = 20,4cm2 é a área da seção transversal do duto. Uma estimativa do valor da porosidade pode ser alcançada a partir do conhecimento das vazões de cada fase, α= Quando QF uεA ε . = = QF + QS uεA + v (1 − ε ) A ε + (1 − ε ) v u (32) v tende a 1, ε tende a α. u Na solução deste exemplo admite-se que as correlações de Richardson e Zaki (1954), tabela (6), sejam válidas apesar das partículas não serem arredondadas. 2 c D Re∞ Re∞ v∞ (cm/s) v (cm/s) u v 0,829 246 239 1,03 0,921 592 228 2,60 (tab. 6) (cm/s) α (eq. 32) ε (eq. 25) 134 1,73 12,1 0,833 295 1,52 443 0,968 (eq. 21) (tab. 3) Trans. Hidráulico 3,23x104 Trans. Pneumático 1,45x105 n 28 u O fato da densidade e viscosidade da água serem muito maiores do que estas propriedades para o ar explica os resultados esperados de que a velocidade de deslizamento u − v é muito menor no primeiro caso do que no segundo. 3. O Movimento Acelerado da Partícula O movimento retilínio acelerado de uma esfera no seio de um fluido newtoniano, regime de Stokes, foi estudado no final do século passado por Basset (Berker, 1963, p.241). No caso da queda livre da partícula partindo do repouso em fluido inicialmente estagnado a força resistiva toma a forma indicada na tabela (1): l dv t ρ dv 3 = F VP + 3πDµv( t ) + D 2 (πµρF )1 / 2 ∫ dτ dτ . 0 t−τ 2 dt 2 (33) O primeiro termo do segundo membro da equação fornece o valor da força resistiva que o fluido ideal em escoamento potencial exerce sobre a partícula; o segundo termo exprime o resultado clássico de Stokes para o movimento retilíneo e uniforme de uma esfera em fluido viscoso; o terceiro termo evidencia a ação “hereditária” do fluido sobre a partícula, pois explicita o fato de que a força resistiva depende da história da aceleração da partícula. Substituindo a equação (33) na equação do movimento da partícula, equação (6), resulta a equação integro-diferencial ρ  dv 3  = (ρ S − ρ F )V P g − 3πDµv (t ) − D 2 ( πµρ F )1/ 2 ∫  ρ S + F V P 0   2 dt 2 t dv dτ dτ , t−τ (34) que pode ser resolvida analiticamente por diferentes técnicas (Clift et al., 1979, p. 285; Hackenberg, 1991). O resultado expresso pela equação (34) mostra que a aceleração inicial da partícula a (0) = 2 (ρ S − ρ F ) g, 2ρ S + ρ F (35) tende ao valor da intensidade do campo gravitacional g quando ρS >> ρF e que esta aceleração é nula no caso limite em que as densidades do fluido e da partícula forem iguais entre si. Desprezando o efeito da história da aceleração da partícula, a integração da equação (34) fornece  36µ vt = exp  2 vt − v  (2ρ S + ρ F ) D  t ,  (36) onde vt é a velocidade terminal da partícula 29 (ρ S − ρ F ) gD2 vt = . 18µ Exemplo O diâmetro da esfera sólida de densidade ρ S = 3g / cm3 em queda livre no ar (ρ S = 1,2 × 10−3 g / cm3 e µ = 1,8 × 10−4 P) e na água (ρ F = 1g / cm3 , µ = 10−2 P ) , no limite de validade do regime de Stokes, Re∞ = Dvt ρ F = 0,5 , µ é de respectivamente 43µm e 77µm. Para os sistemas assim definidos, a integração da equação (34) e a equação (36) conduzem à figura (3) (Hackenberg, 1991). Pode-se observar que o regime permanente é atingido em fração de segundo, sendo que a água leva a uma resposta mais rápida inicialmente e mais retardada ao final. O efeito da história da aceleração da partícula é importante no caso da água e desprezível no caso do ar. 1 v/vt água 0,8 ar 0,6 Eq. (34) 0,4 Eq. (36) ar água 0,2 0 0 0,02 0,04 0,08 0,06 0,12 0,10 0,14 t (s) 3 Figura 3 - Movimento acelerado das esferas com densidade 3g / cm e diâmetro D = 43µm em ar e D = 77µm em água (Re ∞ = 0,5) . Face às evidentes dificuldades tanto na abordagem teórica quanto experimental, a literatura evidencia uma grande carência de informações relativas ao movimento acelerado da 30 partícula fora do regime de Stokes e quando estas não são esféricas (Marchildon e Gauvin, 1979; Renganathan et al., 1989). Na situação em que ρS >> ρF, Renganathan et al. (1989), em abordagem empírica, consideram a queda livre da partícula como descrita pela equação do movimento mP dv πD 2 ρ v2 = VPρS g − cD F dt 4 2 (37) em que o coeficiente de arraste cD = f (Re) preserva a forma funcional das correlações alcançadas no movimento estabelecido, cD∞ = f ( Re∞ ) . 4. Dinâmica da Partícula em Fluido Não Newtoniano Os estudos teóricos relativos ao escoamento de fluidos não newtonianos nas vizinhanças de esferas rígidas restringem-se aos casos em que prevalece o regime de Stokes. Neste sentido, cabe mencionar os trabalhos de Caswell (1962, 1970). A estratégia usada neste capítulo e nos seguintes consiste em estender a formulação clássica sobre a dinâmica da partícula sólida em fluidos newtonianos para contemplar também uma classe ampla de fluidos não newtonianos: o elo de ligação é a viscosidade efetiva µef que pode ser calculada através da tensão cisalhante S, uma propriedade material do fluido, e da taxa de deformação característica λ∗ , uma propriedade cinemática de escoamento (Massarani e Silva Telles, 1978), µ ef = S ( λ* ) / λ* (38) A taxa de distensão característica λ∗ pode ser determinada empiricamente através da medida experimental da velocidade da partícula com o auxílio, por exemplo, das relações cD × Re apresentadas nas tabelas (3), (5) e (6) na seguinte seqüência: vt → c D = 4 (ρ S − ρ F ) D P b → Re → µ ef 3 ρ F vt2 λ* a partir D vρ = P t F → de . Re * * µ ef = S ( λ ) / λ A propriedade cinemática λ* pode ser representada do modo, λ* = α v D (39) onde v* e D* são respectivamente uma velocidade e dimensão características e α um fator de configuração adimensional. Estão reunidos na tabela (7) os resultados obtidos para a dinâmica da partícula isolada e nos casos em que são levados em conta os efeitos de parede e de concentração. 31 Tabela 7 - Dinâmica da partícula sólida em fluido não-newtoniano Descrição Partículas esféricas e não esféricas isoladas Deslocamento da partícula esférica ao longo do eixo principal do tubo Taxa de Distensão λ∗ 0,39(−8,85φ2 + 13,46φ − 3,62) Referência v DP Laruccia (1990) v D (β = D / D t < 0,5) Almeida (1995) 1− ε U ⋅ φε D P (ε < 0,9) Silva Telles e Massarani (1979) 0,39e6,81β ⋅ Efeito de concentração na fluidodinâmica de partículas 9 Exemplo Reômetro de Stokes para fluidos não newtonianos Deseja-se determinar a relação S = S ( λ ) para um fluido não newtoniano através da medida da velocidade de deslocamento de esferas neste fluido. Diâmetro do tubo, Dt = 20mm . Densidade do fluido, ρ F = 1,15g / cm3 . Dados: v Dt ρS (g/cm³) 2,55 2,55 3,98 3,98 7,60 7,60 Exp. nº 1 2 3 4 5 6 32 D (cm) 0,20 0,50 0,30 0,50 0,30 0,50 β 0,10 0,25 0,15 0,25 0,15 0,25 v (cm/s) 0,72 3,61 3,78 8,87 9,85 22,3 Resulta: Exp. nº 1 2 3 4 5 6 O λ* ( s −1 ) (tab. 7) cD (eq. 14) Re (tab.5) 2,77 15,1 13,6 38,0 35,6 95,5 614 61,1 67,6 20,5 22,7 7,38 0,056 0,957 0,606 2,94 1,86 8,75 resultado 0,80 S = 3,65λ pode ser expresso 2 dyn / cm , válido para 2 < λ < 100s 33 de −1 . µef = modo D P v ρF Re S(λ* ) = µ ef λ* (P) (dyn / cm 2 ) 2,96 2,17 2,15 1,73 1,83 1,47 8,20 32,8 29,2 65,7 65,2 140 conveniente através de Problemas: Fluidodinâmica da Partícula Sólida 1. Foram os seguintes os resultados obtidos na elutriação de 25 g de um pó industrial com água a 30°C, numa vazão de 37 cm3/min: Elutriador 1 2 3 4 Diâmetro do tubo (cm) 3,0 4,0 6,0 12,0 Massa recolhida (g) 4,62 6,75 7,75 4,42 Determinar a distribuição granulométrica da amostra em termos do diâmetro de Stokes, sabendo-se que a densidade do sólido é 1,8 g/cm3. Resposta: Elutriador Diâmetro (cm) Velocidade do fluido (cm/s) DP (µm) X 1 3,0 8,72×10-2 44,9 0,815 2 4,0 4,91×10-2 33,7 0,545 3 6,0 2,18×10-2 22,4 0,235 4 12,0 5,45×10-3 11,2 0,058 34 2. Calcular a velocidade de sedimentação de uma suspensão de partículas em querosene. Propriedades do fluido: densidade 0,9 g/cm3 e viscosidade 2,3 cP. Propriedades das partículas: densidade 2,3 g/cm3, diâmetro médio 0,8 mm, esfericidade 0,8. Concentração de sólidos na suspensão: 260 g/l de suspensão. Resposta: Porosidade da suspensão: 0,887. Velocidade terminal da partícula isolada: 7,71 cm/s Velocidade de sedimentação da suspensão: 5,25 cm/s. 3. Os seguintes dados foram obtidos em ensaios de sedimentação de partículas de Al2O3 em água, a 25°C: c( gAl2 O3 / cm3 de suspensão) v (cm / min) 0,041 40,5 0,088 38,2 0,143 33,3 0,275 24,4 0,435 14,7 A densidade das partículas é 4,0 g/cm3 e a esfericidade é estimada em 0,7. a) Determinar, pela extrapolação dos dados, a velocidade terminal das partículas à diluição infinita e, a partir deste valor, calcular Dp (diâmetro da esfera de igual volume que a partícula); b) Comparar os resultados experimentais com as estimativas segundo a correlação empírica de Richardson & Zaki. Resposta: Dados experimentais: v = −223 + 267 ε cm / min( R 2 = 0,996) . Velocidade terminal calculada por extrapolação dos dados experimentais: 43,3 cm/min. Diâmetro volumétrico das partículas: 72 µm. ε 0,990 0,978 v (cm / min) 40,5 38,2 33,3 24,4 14,7 v = v∞ ε 4,43 (cm / min) 41,4 39,2 36,8 31,5 25,9 0,964 0,931 0,891 4. Michael e Bolger (IEC Fundam., 1, 24, 1962) desenvolveram um método que permite a caracterização de partículas floculadas (diâmetro e densidade médios, grau de floculação e velocidade de sedimentação dos flocos). Uma vez determinada experimentalmente a velocidade de sedimentação da suspensão v a diferentes concentrações co, os parâmetros desejados podem ser estimados através do seguinte sistema de equações: v = v∞ (1 − kco ) 4 ,65 (Correlação de Richardson e Zaki) 35 v∞ = D 2fl (ρ fl − ρ F ) g 18µ ρ fl − ρ F = (Equação de Stokes) ρS − ρ F (Balanço de massa), kρ S onde v - velocidade de batelada; sedimentação da interface lodo-líquido clarificado no ensaio em v∞ - velocidade terminal do floco à diluição infinita; k - volume de flocos por unidade de massa de sólido seco (fornece o grau de floculação); co - concentração em massa de sólido seco por unidade de volume de supensão; D fl - diâmetro médio dos flocos; ρ fl - densidade média dos flocos; ρ F - densidade do fluido; ρ S - densidade do sólido seco; g - aceleração da gravidade; µ - viscosidade do fluido. Calcular as propriedades caracaterísticas (v∞ , D fl , k e ρ fl ) dos flocos de hidróxido de cálcio de uma suspensão aquosa (agente de floculação: alúmen) sabendo-se que a 25ºC: co ( g / cm3 ) v (cm / min) 6×10-3 8×10-3 10×10-3 12,5×10-3 15×10-3 20×10-3 25×10-3 30×10-3 4,77 4,32 3,65 3,04 2,33 2,08 1,37 0,30. A densidade do sólido seco é 2,20 g/cm3. Resposta: v∞ = 7,89 cm/min e k = 14,7 cm3/g (1ª equação). ρ fl = 1,037 g/cm3 (3ª equação). D fl = 256 µm (2ª equação). 5. Determinar as respectivas velocidades de elutriação para separar pó de diamante nas faixas 0-1 µm, 1-2 µm, 2-3 µm (diâmetro da esfera de igual volume que a partícula). A densidade 36 do diamante é 3,5 g/cm3 e a esfericidade das partículas 0,7. O fluido de arraste é água a 20ºC. (P.Grodzinski, “Diamond Technology”, NAG Press Ltd., Londres, 2ª edição, p. 349, 1953). Resposta: Faixa granulométrica (µm) Velocidade de elutriação (cm/h) 0-1 0,427 1-2 1,71 2-3 3,84. 6. Uma mistura finamente dividida de galena e calcário na proporção 1:4 em massa é sujeita à elutriação com corrente ascendente de água com velocidade de 0,5 cm/s. A distribuição granulométrica dos dois materiais é a mesma: Dp (µm) 100X 20 30 15 28 40 43 50 54 60 64 70 72 80 100 78 88. Calcular a percentagem de galena no material arrastado e no produto de fundo. Galena: densidade 7,5 g/cm3 e esfericidade das partículas 0,8. Calcário: densidade 2,7 g/cm3 e esfericidade das partículas 0,7. Temperatura da água: 20ºC. Resposta: Análise granulométrica da alimentação X = Material Calcário Galena cD / Re = 4 (ρ S − ρ F )µg 3 ρ2F u 3 178 680 % galena na alimentação : % galena no produto de fundo: % galena no produto de topo : 1  44,6   1+   Dp    2, 27 , Dp em µm. Re Diâmetro Crítico, µm % Massa Arrastada 0,395 0,196 73,8 39,2 0,76 0,43 20,0 37,3 12,4. 7. O separador de poeira opera em 3 compartimentos, como mostra o esquema abaixo representado. Estimar a faixa granulométrica das partículas retidas em cada compartimento sabendo-se que a vazão de gás (ar a 20ºC e 1 atm) é 140 m3/min, a densidade das partículas é 3 g/cm3 e sua esfericidade 0,75. 37 Resposta: 4 (ρ S − ρ F )µg Compartimento L(m) vt = H u / L cD / Re = 3 ( m / s) 1 2 3 1,5 3 4,5 0,390 0,195 0,130 8,27 66,2 223 ρ2F vt3 Re 1,84 0,640 0,347 DP (µm) 72,2 49,2 40,0 Faixa Granulométrica (µm) >72,2 49,2-72,2 40,0-49,2 8. Dimensionar um rotâmetro tronco de cone-esfera para medir a vazão de água (20ºC) na faixa de 1 a 3 m3/h. O flutuador é uma esfera de aço com 1 cm de diâmetro e densidade 7,7 g/cm3. Que faixa de vazões este mesmo rotâmetro mediria se o fluido fosse ar a 20ºC e 1 atm? Resposta: A altura h não influencia o desempenho do rotâmetro. Pode ser da ordem de 20 cm por questão de comodidade e precisão na leitura da escala do aparelho. Faixa de vazão de ar: 30,4 a 97,8 m3/h. 38 Bibliografia Allen, T., “Particle Size Measurement”, Chapman & Hall, Londres, 3¦ edição, 454 p. (1981). Almendra, E.R., “Velocidade de Sedimentação de Sistemas Particulados”, Tese de M.Sc., Programa de Eng. Metalúrgica e de Materiais, COPPE/UFRJ, 88 p. (1979). Almeida, O.P., “Estudo do Efeito de Fronteiras Rígidas Sobre a Velocidade Terminal de Partículas Isométricas”, Tese de M.Sc., Programa de Eng.Química, COPPE/UFRJ, 86p.(1995). Barnea, E. e Mizrahi, J., “A Generalized Approach to the Fluid Dynamics of Particulate Systems. Part I. General Correlation for Fluidization and Sedimentation in Solid Multiparticle Systems”, Chem. Engineering J., vol. 5, 171-189 (1973). Berker, R., “Intégration des Équations du Mouvement d'un Fluid Visqueux Incompressible”, Handbuch der Physik (Flügge, S., Ed.), vol. VIII/2, Spring-Verlag, Berlin, 384 p. (1963). Bird, R.B., Stewart, W.E. e Lightfoot, E.N., “Transport Phenomena”, J. Wiley, N.Iorque, 780 p.(1960). 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Considera-se nesta análise que: a) As partículas sejam caracterizadas individualmente através do diâmetro volumétrico DP e da esferacidade φ ; b) A distribuição de tamanhos das partículas, isto é, a análise granulométrica, seja expressa por X = X ( DP ) , sendo X a fração em massa das partículas com diâmetro menor que DP ; c) O campo de velocidades do fluido não pertubado pela presença das partículas seja u = u( x ) ; d) Os efeitos da aceleração e concentração de partículas sejam desprezíveis no comportamento dinâmico destas partículas. Como visto no capítulo anterior, a equação do movimento de translação da partícula é expressa por 0 = l + (ρ S − ρF )VP b (1) l = A ρ Fc D U U , U = u − v (2) 2 cD = f ( Re, φ), Re = DPUρ F , U= U . µ (3) Nestas equações ρ F e µ são respectivamente a densidade e a viscosidade do fluido, ρ S a densidade das partículas, l a força resistiva que o fluido exerce sobre a partícula, A e VP a área projetada ( πDP2 / 4 ) e VP o volume ( πDP3 / 6) da partícula, b a intensidade do campo exterior, cD o coeficiente de arraste, u, v e U respectivamente a velocidade do fluido, a velocidade da partícula e a velocidade relativa fluido-partícula. Seja a situação simples em que se deseja determinar o diâmetro da partícula que percorre a trajetória assinalada na figura (1) representando uma fenda retangular com 41 dimensões B, H e L. Na situação de maior interesse tecnológico H< 15µm no "underflow" 84,5 80,0 79,5 74,4 % D > 15µm da alimentação perdido pelo "overflow" 2,8 2,2 3,2 3,8 Bibliografia Barrientos, A. e Concha, F., “Phenomenological Model of Classification in Conventional Hydrocyclones”. Cap. 21 em “Comminution - Theory and Practice” (Kawatra, K., Ed.) American Institute of Mining, Metallurgical and Petroleum Engineers, N. Iorque, 287-305 (1992). Bird, R.B., Stewart, W.E. e Lightfoot, E.N., “Transport Phenomena”, J. Wiley, N. Iorque, 780 p. (1960). Bloor, M.I.G., Ingham, D.B. e Larerack, S.D., “An Analysis of Boundary Layer Effects in Hydrocyclone”, Int. Conf. on Hydrocyclones, Cambridge, Inglaterra, 49-62 (1980). 63 Brauer, H., “Movement of Single Particles in Various Flow Fields”, em “Advances in Transport Processes, vol. II” (Mujumdar, A.S. e Mashelkar, R.A., Eds.), Wiley Eastern Limited, N. Deli, 352-432 (1982). Leith, D. e Licht, W., “The Collection Efficiency of Cyclone Type Particle Collectors. 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A utilização desta mesma estratégia no estudo de sistemas densos em partículas oferece, no entanto, dificuldade de tal ordem de grandeza que tornaria, por exemplo, a simples estimativa da relação vazão e queda de pressão no escoamento em meios porosos um problema transcendental. Como conhecer a posição de cada partícula num sistema particulado tridimensional e como estabelecer as interações interparticulares e com o fluido em escoamento? Adota-se neste capítulo, bem como nos próximos, um modelo matemático com base numa extensão da Mecânica do Contínuo para contemplar as misturas. As leis básicas de conservação, que formam o núcleo da Teoria do Transporte em misturas, foram estabelecidas por Truesdell (1957) e generalizadas mais tarde por Kelly (1964). Partindo destas equações e na expressão do crescimento da entropia na forma da desigualdade de Clausius-Duhem, diversos autores desenvolveram uma Teoria de Misturas capaz de descrever diferentes fenômenos como a difusão molecular, as reações químicas e o escoamento de fluidos em meios porosos (Crochet e Naghdi, 1966; Müller, 1971; Silva Telles e Fernandes, 1973). As partículas sólidas constituem uma matriz porosa indeformável neste capítulo. Para um referencial fixo à matriz, as equações da continuidade e do movimento para o fluido, na forma integral, podem ser escritas do modo. ∂ ∫ ∂t (ερ)dV + ∫ ρεu ⋅ ndS = 0 (1) ∫ ερudV = ∫ TndS − ∫ m *dV + ∫ ερgdV , (2) VR VR SR SR VR VR onde SR e VR são respectivamente a superfície e o volume da região R que encerra matriz porosa e fluido, ρ a densidade do fluido, ε a porosidade da matriz (fração volumétrica ocupada pelo fluido), u a velocidade intersticial do fluido, T o tensor tensão que atua na fase fluida, m* a força exercida pelo fluido sobre a matriz porosa (por unidade de volume do sistema) e g a intensidade do campo exterior. A velocidade superficial do fluido q, utilizada amplamente em substituição à velocidade intersticial u, é medida desconsiderando a presença da matriz porosa. Confundindo os conceitos de porosidade volumétrica e superficial, q = εu . (3) 65 A força de interação fluido-partícula m* pode ser decomposta na força resistiva m e no empuxo, m* = m − (1 − ε )ρg (4) A parte isotrópica do tensor tensão que atua sobre o fluido no meio poroso é a pressão p, T = − p1 + τ , (5) sendo τ a tensão extra. As equações da continuidade e do movimento tomam a seguinte forma diferencial: ∂ ( ερ) + div (ρq ) = 0 ∂t (6)  ∂u  ερ + (grad u)u = − grad p − m + div τ + ρg .  ∂t  (7) São formulados em seguida hipóteses constitutivas que, apesar de sua simplicidade, parecem compatíveis com o conhecimento comum pertinente ao escoamento isotérmico de um fluido homogêneo através de meios indeformáveis: a força resistiva m e a tensão extra τ são, para um dado sistema matriz porosa-fluido, função da velocidade superficial q relativa a um referencial fixo à matriz, m = f (q ) (8) τ = G (q ) (9) As funções f e G não são inteiramente arbitrárias pois devem satisfazer a segunda lei da termodinâmica e o princípio da invariança às mudanças de referencial. A primeira leva, por exemplo, a f ( 0) = 0 10) e a segunda, no caso dos meios isotrópicos, que f e G são funções isotrópicas, isto é, para todo o tensor ortogonal Q f (Qq ) = Qf ( q ) (11) G (Qq ) = QG (q )Q T . (12) Teoremas de representação para estas funções são conhecidos e conduzem aos resultados (Smith, 1971): m = β( q ) q (13) 66 τ = α1 ( q ) 1 + α 2 ( q ) q ⊗ q (14) As equações (11) e (12) mostram que as funções escalares α1, α2 e β são, para um dado sistema matriz porosa-fluido, função do módulo da velocidade superficial q e que esta e a força resistiva m têm a mesma direção. A força resistiva m A experimentação conduzida nos últimos 150 anos, desde o trabalho pioneiro de Henry Darcy (1856, apêndice D), fornece para a força resistiva m a seguinte equação constitutiva: m= µ  cρ k q  q , 1 + k  µ  (15) onde µ é a viscosidade do fluido newtoniano, k e c são parâmetros que dependem apenas de fatores estruturais da matriz porosa quando não ocorrem interações físico-químicas entre matriz e fluido (Massarani, 1989, p. 37). k é a permeabilidade do meio poroso, com dimensão L2, e c é um parâmetro adimensional. A equação (15), a forma quadrática de Forchheimer, é válida para o escoamento viscoso em meios isotrópicos homogêneos ou heterogêneos, isto é, meios em que k e c são, respectivamente, constantes ou variáveis com a posição no sistema (Massarani, 1967). A equação é válida também em condições não isotérmicas, verificando-se a variação da viscosidade e da densidade do fluido ao longo do escoamento (Massarani, 1969). A extensão da equação (15) para contemplar o escoamento de uma classe ampla de fluidos não-newtonianos pode ser feita substituindo µ pela viscosidade efetiva, µ ef = S ( λ* ) / λ* λ* = 1,1 ( tε )1 / 2 ⋅ (16) q k , (17) onde S é a função tensão cisalhante (uma propriedade material do fluido), λ* a taxa de distensão característica (uma propriedade cinemática do escoamento) e t um fator estrutural da matriz porosa com valor da ordem de 2,5 (Silva Telles e Massarani, 1979). Na situação em que o escoamento de fluido na matriz porosa é lento, cρ k q << 1, µ a forma quadrática expressa pela equação (15) recai na forma linear 67 (18) m= µ q k (19) amplamente conhecida como "lei" de Darcy, e o escoamento darcyano está associado à validade desta "lei". Cabe ainda assinalar que a ocorrência na natureza de meios anisotrópicos leva ao interesse pelo estudo do escoamento nestes meios. A "lei" de Darcy toma a forma m = µRq , (20) onde R é o tensor resistividade (Ferrandon, 1948; Silva Telles e Massarani, 1975). A tensão extra τ O conhecimento atual sobre a tensão extra τ é extremamente escasso. Silva Telles e Fernandes (1973) constataram através de um número limitado de experiências que na equação (14) α 2 é praticamente nulo para fluidos newtonianos podendo, no entanto, atingir valores significativos no caso de certas soluções poliméricas não-newtonianas. Na falta de informação sobre α1, admite-se provisoriamente que nos casos usuais τ = α1 ( q ) 1 . (21) A equação de Darcy Seja a situação comum em que o meio poroso isotrópico e homogêneo é percolado por um fluido newtoniano. Resulta das equações (3), (7), (15) e (21):  1 ∂q 1  ερ + 2 (grad q )q  = − grad p − α1 ( q  ε ∂t ε  [ m= µ  cρ k q  q . 1 + k  µ  ) ] − m + ρg (22) (15) No caso em que o escoamento é uniforme, isto é, quando o campo de velocidades q é uniforme, a equação do movimento (22) toma a forma 0 = − grad p − m + ρg (23) conhecida como equação de Darcy e utilizada indiscriminadamente na literatura sobre a fluidodinâmica em meios porosos (Scheidegger, 1963; Bear, 1972). A utilização da equação de Darcy é satisfatória mesmo na situação em que o escoamento de fluido é acelerado: o termo de aceleração na equação (22) pode tomar valores significativos face ao termo resistivo 68 m apenas quando as partículas são grandes, com diâmetro da ordem de alguns milímetros (Massarani, 1989, p. 45). No escoamento incompressível a equação de Darcy toma a forma − grad P = m . (24) sendo P é a pressão piezométrica do fluido P = p + hρg (25) e h a distância (positiva na direção contrária a g) do ponto em questão medida a partir de um plano horizontal de referência. No escoamento incompressível, sendo válida a "lei"de Darcy, − grad P = µ q k (26) que combinada à equação da continuidade, equação (6), leva ao resultado clássico da hidráulica subterrânea (Polubarinova-Kochina, 1962) ∇2 P = 0. (27) 2. Propriedades Estruturais da Matriz Porosa Como evidenciado no item anterior, a porosidade, a permeabilidade e o fator c são os parâmetros que caracterizam a matriz porosa na percolação de um fluido homogêneo através deste meio. A determinação experimental de parâmetros estruturais A porosidade pode ser determinada com o auxílio da picnometria simples, sendo necessária a picnometria com vácuo nas medidas com meios consolidados que apresentam porosidade reduzida. A permeabilidade e o fator c são determinados experimentalmente por permeametria através de um conjunto de medidas de vazão e queda de pressão efetuadas com a amostra L z amostra Q P1 P2 Permeâmetro 69 A equação de Darcy, equação (23), toma a forma − dp µq cρq 2 = + dz k k (28) na configuração do permeâmetro. A integração desta equação leva aos seguintes resultados para os casos em que o escoamento é incompressível ou compressível e isotérmico de um gás perfeito: Escoamento incompressível, 1  ∆p  µ cρ q, − = + q L  k k (29) Escoamento isotérmico de gás ideal, c ρ  ∆p  µ G − = + G L  k k G = ρq (30) ρ + ρ2 ∆p  M  ρ= 1 = p2 − , ∆P = p 2 − p1 . 2 RT  2  As formas lineares (29) e (30) permitem calcular com facilidade os valores de k e c. O modelo capilar Apesar de sua simplicidade, o modelo capilar permite carrelacionar qualitativamente a permeabilidade com alguns parâmetros estruturais da matriz porosa. A idéia de modelar o meio poroso através de um feixe de dutos nasceu da analogia evidente entre a equação (26), válida para o escoamento darcyano no meio poroso, − dP µ = q dz k (26) e a equação clássica da Mecânica dos Fluidos − dP µ = 2 u dz Rh / β (31) válida para o escoamento laminar e incompressível em dutos retilíneos. Na equação (31) u é a velocidade média do fluido, Rh o raio hidráulico do duto, isto é, a razão entre a área da seção de escoamento e o perímetro de molhamento, e β um fator adimensional que depende da forma da seção transversal do duto, como mostra a tabela (1). 70 Associando a velocidade u do fluido no duto à velocidade intersticial q/ε no meio poroso, resulta das equações (26) e (31) a relação entre a permeabilidade e o raio hidráulico da matriz porosa k = εRh2 / β . (32) O raio hidráulico depende da porosidade e da superfície específica do meio poroso: Rh = Área da seção de escoamento = Perímetro de molhamento (Área da seção de escoamento) (Comprimento do meio poroso) Volume do meio poroso = = (Perímetro de molhamento) (Comprimento do meio poroso) Volume do meio poroso ε = . SV (33) A superfície específica da matriz porosa depende da distribuição granulométrica e dos fatores de forma B associado à superfície das partículas e C ao volume: X = X ( D) (34) S p = BD 2 , V p = CD3 (35) onde X(D) é a fração em massa das partículas da amostra com diâmetro menor que D. Deste modo, para a massa m de partículas com densidade ρ S , SV = Superfície da matriz porosa = Volume do meio saturado com o fluido 1 = ∫ 0 BD m / ρs dX B 1 dX CD 3 = (1 − ε ) ∫ m / ρs C 0 D 1− ε 2 ⋅ 71 (36) Tabela 1 - Escoamento laminar e incompressível em dutos retilíneos: fator de forma β (Berker, 1963) Seção Transversal do Duto Círculo Fator β Observações 2 — a Região anular entre circunferências coaxiais 2(1 − α ) 2 [ 1 + α 2 − (1 − α 2 / ln (1 / α) 0≤ α <1 ] — 2≤β<3 αa a Elipse (1 + α 2 ) π 2 αa 4E 2 0< α ≤1 2 ≤ β < 2,46 a E=∫ π/2 0 (1 + k 2 sen 2 φ)1/ 2 dφ k = (1 − α 2 )1/ 2 Retângulo αa 16 a (1 + α ) 2 f 0 ≤ α ≤1 1,78 ≤ β < 3 f = 16 1024 ∞ tg (am) − 5 α∑ 5 3 π n = 0 ( 2n + 1) m = (2n + 1) π / (2αa ) Cardióide y 2 π 2 (1 + 2α 2 ) 3 θ x (1 + 4α 2 )(1 + 4α 2 − 2α 4 ) I 2 0 ≤ 2α < 1 2 ≤ β ≤ 2,23 x = cos θ + α cos 2θ y = senθ + αsen2θ 72 π 4α  I = ∫ 1 − 2 cos θ 0  4α + 1 1/ 2 dθ Definindo o diâmetro médio de Sauter do modo D = 1/ ∫ 1 dX D 0 , (37) resulta para a superfície específica SV = (1 − ε ) ⋅ B 1 ⋅ . C D (38) De modo coerente com os capítulos anteriores, a dimensão da partícula é especificada pelo diâmetro volumétrico Dp e sua forma através da esfericidade φ , πD3p / 6 = V p φ= (39) Área superficial da esfera com diâmetro D p Área superficial da partícula . (40) Portanto, B = π / φ, C = π / 6 (41) resultando: SV = 6(1 − ε ) Dpφ (42) Rh = ( D p φ) ε ε = 6(1 − ε ) SV (43) e, finalmente, k= ( D p φ) 2 ε 3 εRh2 = β 36β(1 − ε ) 2 Dp = 1 / ∫ 1 dX 0 Dp (44) . (45) O último resultado, conhecido na literatura como equação de Blake-Kozeny ou Kozeny-Carman, permite correlacionar, no contexto do modelo capilar, a permeabilidade com as propriedades das partículas e a porosidade do meio. A experimentação indica que o valor do parâmetro estrutural β está compreendido entre 4 e 5 para meios com porosidade até 50%, 73 como mostra a figura (1). Para meios expandidos o valor de β aumenta significativamente com a porosidade quando ε > 0,75 (Massarani e Santana, 1994). O modelo capilar pode fornecer também informações qualitativas referentes ao fator c. Neste caso, a analogia é estabelecida entre as equações que descrevem o escoamento a altas vazões no meio poroso e no duto retilíneo: − dP cρ 2 q = dz k (46) − dP fρ 2 = u dz 8R h (47) onde f é o fator de atrito no duto. Associando a velocidade u do fluido no duto à velocidade intersticial q/ε no meio poroso, resulta das equações (32), (33) e (42) c= Ω ε 3/ 2 , (48) sendo Ω um parâmetro adimensional a ser determinado experimentalmente, Ergun (1952) : 0,35 < ε < 0,50 10 6 < k < 10 − 4 cm 2 . Massarani (1989, p. 52): 0,15 < ε < 0,75 10−9 < k < 10−3 cm2 Ω = 0,14 (49) 0,37 0,01  k  k   Ω = 0,13 0  + 0,10 0    k  k    2 −6 k0 = 10 cm . 0,98 (50) A equação de Ergun (1952), extensamente utilizada na literatura de Engenharia Química, é a expressão da equação de Darcy, equação (28), na qual a permeabilidade e o fator c são representados por k= ( D p φ) 2 ε 3 150(1 − ε ) 2 e c = 0,14 / ε 3/ 2 , µq ∆P 1 − ε pq 2 (1 − ε) 2 − = 150 + 1,75 3 ( D p φ) L ε3 ε ( D p φ) 2 74 . (51) Fator β 5,5 1/8"cilíndros 1/32" placas 5,0 prismas 4,5 1/4"cilíndros cubos 4,0 1/16"placas 3,5 3,2 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,48 0,44 0,46 0,50 Porosidade, ε Figura 1 - Fator estrutural β (Coulson e Richardson, 1977, p. 12) A literatura referente ao modelo capilar é riquíssima e não carece certamente de imaginação. No início, o meio poroso era representado por um simples feixe de tubos retilíneos de um mesmo diâmetro; mais tarde, o modelo foi se sofisticando: uma trança de tubos com seção elítica variável. A passagem, por exemplo, da representação através do feixe de tubos retilíneos para a configuração na forma de trança levou, no caso arbitrário do duto de seção circular, ao "conceito" de tortuosidade, t, t = β / β tubo = 0,5β (52) que exprime o aumento do comprimento da trança quando retificada. O grande mérito do modelo capilar está na possibilidade de fornecer, através de uma analogia simples, resultados qualitativos que, complementados com a experimentação em meios porosos, permitem correlacionar a estrutura do meio com suas propriedades macroscópicas. A necessidade da experimentação vem do fato de que a estrutura da matriz porosa é diferente daquela que um conjunto de tubos pode oferecer mesmo em configurações complexas. Exemplo Deseja-se estimar o valor da permeabilidade e do fator c para o meio poroso constituído por partículas que apresentam a seguinte análise de peneiras Sistema Tyler (peneira nº) - 35 + 48 - 48 + 65 - 65 + 100 Diâmetro médio da abertura D# (mm) 0,359 0,254 0,180 Total 75 Massa retida (g) 47,6 52,8 45,2 145,6 Fração em massa retida ∆X 0,33 0,36 0,31 1,00 A porosidade do meio é da ordem de 42% e a esfericidade das partículas é 0,78; confunde-se, neste cálculo aproximado, os valores do diâmetro médio de peneiras D# e do diâmetro volumétrico D p . Cálculo do diâmetro médio de Sauter, equação (46) Dp = 1 ≅ 1 dX ∫ 0 Dp 1  ∆X   p i ∑  D i = 1 = 0,246mm . 0,33 0,36 0,31 + + 0,359 0,254 0,180 Cálculo da permeabilidade, equação (44), com β ≅ 4,5 k= ( D pφ) 2 ε 3 36β(1 − ε ) 2 = 5, 01 × 10−7 cm2 . Cálculo do fator c, equação (50), com k0 = 10 −6 cm 2 [ c = 0,13( k 0 / k ) 0,37 + 0,10( k 0 / k ) 0,01 ] 0,98 / ε 3/ 2 = 1,01 . 3. Escoamento em Meios Porosos: Aplicações Clássicas A maioria dos problemas relativos ao escoamento de fluido em meios porosos pode ser resolvida a partir da forma simplificada da equação do movimento expressa pela equação de Darcy, 0 = − grad p − m + ρg m= (23) µ  cρ k q  q , 1 + k  µ  (15) A equação de Darcy não leva em conta a aceleração do fluido na percolação através da matriz porosa, o que parece ser aceitável na maioria dos problemas de interesse tecnológico, quando a permeabilidade é inferior a 10−5 cm2 (Massarani, 1989, p. 45). A perda de carga no meio poroso No escoamento unidirecional e incompressível, as equações (15) e (23) levam à equação da perda de carga no meio poroso, - L  µ cρ q  ∆P  WA  q = = +  ρg  g  MP ρg  k k  (53) 76 expressa em termos da altura de coluna de fluido que escoa no meio. Na equação (53) W A é a energia dissipada devido ao atrito por unidade de massa de fluido. Exemplo Deseja-se calcular o valor do desnível H para que a vazão de água na coluna de ionização seja 4m3/h (30ºC). A perda de carga na tubulação é 7,52m de coluna de água. Dimensões da coluna: diâmetro Dc = 30cm e altura L = 100cm. Propriedades do meio poroso: porosidade ε = 0,42 , permeabilidade k = 4 x 10-6 cm2 e fator c = 0,40. O balanço de energia entre 2 pontos da instalação leva a (Perry e Green, 1984, p. 5-20) W  W ∆p + ∆z = − ∑ A  , g ρg i  g i (54) equação que encerra, respectivamente, a carga de pressão, a carga de altura, a carga da bomba e a perda de carga na tubulação e no equipamento que compõe a montagem (inclui as colunas de recheio). No caso em estudo, entre os pontos 1 e 2 assinalados na figura, W = 0 por não contar a instalação com uma bomba: ∆p = 0 e g W  H = ∑ A  . i  g i (55) Perda de carga no meio poroso q = Q / A = 1,57cm / s ( velocidade superficial na coluna) W L  µ cρq    =  + k  q = 3,70m de coluna de água   g MP ρg  k 77 Cálculo do desnível H W  W  H =  A + A = 7,52 + 3,70 = 11,22m  g  tubo  g  MP O escoamento compressível A permeametria com gases foi analisada anteriormente neste capítulo, resultando a equação (30) para o caso do escoamento isotérmico e unidimensional de gás ideal. Situações mais complexas, como as que ocorrem nos secadores de grãos, podem ser também abordadas partindo da equação de Darcy, com o conhecimento das equações de estado para o fluido. Os problemas (8) e (16), incluidos no final deste capítulo, tratam, respectivamente, da expansão adiabática e do escoamento isotérmico radial de gás ideal através da matriz porosa. O escoamento transiente Os problemas (9) e (11) propostos no final deste capítulo tratam do escoamento em meios porosos sujeito a uma carga de líquido variável. A formulação nestes casos parte da equação do movimento para o fluido à qual se associa, através das condições de contorno, o balanço de massa transiente para o volume de fluido que alimenta o sistema. 4. O Escoamento Bifásico em Meios Porosos As equações da continuidade o do movimento apresentadas neste capítulo podem ser estendidas para contemplar a situação em que os poros da matriz são ocupados por 2 fluidos imiscíveis: ∂ ( εsi ρi ) + div(ρi qi ) = 0 ∂t (55) 0 = − grad pi − mi + ρi g, i = 1,2 . (56) Nestas equações si é a saturação expressa pela fração volumétrica de poros ocupada pela fase i, s1 + s2 = 1 (57) e mi é a força resistiva (por unidade de volume de meio poroso) exercida pelo fluido i sobre a matriz porosa e sobre o outro fluido. O índice i = 1 denota o fluido que "molha" a matriz porosa, isto é, aquele que preferencialmente recobre a superficie sólida. As pressões pi na equação (56) estão relacionadas entre si através da pressão capilar pc (Bear, 1972, p. 441). p2 − p1 = pc ( s1 ) (58) 78 que depende, dentro do ciclo embebição-drenagem, da natureza dos fluidos e de fatores estruturais da matriz porosa. Como conseqüência, na situação em que s1 é constante ao longo do escoamento grad p1 = grad p2 . No rasto das formas constitutivas para a força resistiva mi , seja , por hipótese, para uma dada tríade fluido1 - fluido2 - matriz porosa mi = mi ( s1 , q1 , q2 ), i = 1,2 . (59) A função mi não é inteiramente arbitrária, pois deve satisfazer a segunda lei da termodinâmica e o princípio da invariança às mudanças de referencial. A primeira conduz à conclusão óbvia que mi ( s1 ,0,0) = 0 ; o segundo implica que para meios isotrópicos mi seja uma função isotrópica e que portanto (Smith, 1971) mi = Λ 1i (Ω) q1 + Λ 2i (Ω)q 2 + Λ 3i ( Ω)grad s1 , (60) sendo, para uma tríade específica, Ω = {s1 q1 , q2 , grad s1 , q1 ⋅ q2 , q1 ⋅ grad s1 , q2 ⋅ grad s1} (61) Equação de Darcy-Buckingham Na situação em que prevalece o escoamento lento das fases, a força resistiva, equação (60) toma a forma linear mi = α1i ( s1 )q1 + α1i ( s1 )q2 + α 3i ( s1 )grad s1 α12 = α 21 = 0, (62) que combinada à equação do movimento, equação (56), leva aos resultados: q1 = − 1 [grad p1 + α 31 (s1 )grad s1 − ρ1g] α11 ( s1 ) (63) 1 [grad p2 + α 32 ( s1 )grad s1 − ρ 2 g] . α 22 ( s1 ) (64) q2 = − Seja o caso da percolação de água em solos não saturados em que o gradiente de concentração de água é dominante face ao gradiente de pressão exercido sobre esta fase (Tobinaga e Freire, 1980). Resulta da equação (63) 79 g − D( s1 )grad s1 g , ρg α 31 ( s1) , D( s1 ) = K ( s1 ) = α11 ( s1 ) α11 ( s1) q1 = K ( s1 ) (65) conhecida na literatura como equação de Darcy-Buckingham. A condutividade hidráulica K e o coeficiente de difusão D dependem da estrutura da matriz porosa. Generalização da Forma Quadrática de Forchheimer Nas condições em que o gradiente de saturação não é significativo, a generalização da equação quadrática de Forchheimer para o escoamento bifásico toma a seguinte forma, a partir da equação (60): [ + [δ 1i ( s1 ) + δ 2i ( s1 ) q1 ] + δ 3i ( s1 ) q 2 ]q 2 , mi = γ 1i ( s1 ) + γ 2i ( s1 ) q1 + γ 3i ( s1 ) q 2 q1 + i = 1,2 (66) O resultado é compatível com as tradições da Engenharia de Reservatório, através das equações de Muskat, e com os dados experimentais relativos ao escoamento bifásico na coluna de recheio utilizada nas operações de absorção, destilação e extração (Tobinaga, 1979). Sendo o escoamento dos fluidos lento, a experimentação indica que apenas os coeficientes γ 11 e δ12 são significativos, γ 11 ( s1 ) = µ1 kk 1 ( s1 ) (67) δ12 ( s1 ) = µ2 kk 2 ( s1 ) (68) onde k é a permeabilidade da matriz porosa e ki (s1) a permeabilidade relativa da fase i que depende, no ciclo de embebição-drenagem, da estrutura desta matriz porosa (Scheidegger, 1963, p. 222). As equações de Muskat são as equações do movimento para o escoamento bifásico lento em meios porosos. Resulta das equações (56), (66) a (68): qi = − kk i ( s1 ) (grad pi − ρi g) . µi (69) A operação das colunas de recheio, amplamente utilizadas nos processos de transferência de massa entre fases, caracteriza-se pelo escoamento bifásico em altas vazões através de meios com permeabilidade e porosidade elevadas. Estudos conduzidos por Tobinaga (1979) no escoamento concorrente gás-líquido levou aos seguintes resultados: 80 γ11 = α1 (1 − εs1) 2 µ1 ⋅ k (εs1)3 δ12 = α 2 (1 − εs 2 ) 2 µ 2 ⋅ k (εs 2 )3 γ 21 = β1 1 − εs1 δ32 = β2 (εs1) 3 ⋅ 1 − εs 2 ρ1 k1 / 2 ⋅ ρ2 (εs 2 )3 k1 / 2 sendo que os coeficientes αi e βi dependem da estrutura da matriz porosa. Os coeficientes γ31, δ11, δ21, δ31 são aparentemente pouco importantes na formulação das equações. O valor da queda de pressão na operação em contra-corrente da coluna de recheio é geralmente estimado através de correlações empíricas, como aquela apresentada na figura (2) (Catálogo DC-11, Norton Chemical Process Products, 1977). O problema (13) da coletânea reunida no final do capítulo trata da estimativa da queda de pressão numa coluna operando com selas intalox de cerâmica, 1½". 81 0,1 C - 10,8 CG Fν ρ G ( ρL- ρ G) Figura 2 - Queda de pressão no escoamento bifásico contracorrente em coluna recheada (Norton, DC-11, 1977) lin 6 2 F - Fator de forma 10 G - Velocidade mássica do gás (kg/m2.s) 4 125 2 L - Velocidade mássica do líquido (kg/m2.s) v - Viscosidade cinemática do líquido (cSt). ha de i nu nd 83 1 40 0,6 21 0,4 8 Parâmetro: queda de pressão em mm água/m aç ão de recheio 0,2 ρG - Densidade do gás (kg/m3). 4 0,1 0,06 0,04 ρL - Densidade do líquido (kg/m3) 0,02 0,01 0,01 0,02 0,04 0,06 0,1 0,2 0,4 0,6 1 2 4 6 10 L ρG ) ( G ρL 1/2 Fator de forma F Recheio Dimensão nominal (in) Material 1/4 Hy-pak Super Intalox Super Intalox Anel Pall Anel Pall Intalox Anel Raschig Anel Raschig Anel Raschig Sela Berl Metal Cerâmica Plástico Plástico Metal Cerâmica Cerâmica Metal 1/32” Metal 1/16” Cerâmica 3/8 1/2 5/8 3/4 97 70 725 1600 700 900 330 1000 390 200 580 300 410 240 380 170 290 82 145 255 155 220 170 1 43 60 33 52 48 92 155 115 137 110 1¼ 1½ 125 40 33 52 95 2 18 30 21 24 20 40 65 83 65 57 45 110 3 3½ 16 16 16 22 37 32 Problemas: Escoamento de Fluido em Meios PorosoS 1. Determinar os valores da permeabilidade e do fator c a partir dos dados experimentais obtidos por permeametria. a) Meio de areia artificialmente consolidado com 5% de araldite. Granulometria da areia: -14+20 # Tyler. Fluido: água (densidade 1 g/cm3 e viscosidade 1,18 cP). Comprimento do meio: 2,1 cm. Área da seção de escoamento: 16,8 cm2. Porosidade do meio: 0,37. Dados de velocidade superficial e queda de pressão: 6,33 7,47 10,2 12,7 15,2 17,7 20,3 23,9 q ( cm / s) −∆p( cmHg ) 4,69 6,24 10,4 15,2 21,2 28,0 35,9 48,9. b) Meio não consolidado de areia. Granulometria da areia: −35+48 # Tyler. Fluido: ar a 25ºC e pressão atmosférica na descarga. Comprimento do meio: 33,4 cm. Área da seção de escoamento: 5,57 cm2. Porosidade do meio: 0,44. Dados de velocidade mássica e queda de pressão: G ( g / cm 2 s) 1,59×10-3 5,13×10-3 9,49×10-3 12,3×10-3 22,4×10-3 44,6×10-3 70,3×10-3 −∆p(cm água) 6,40 20,8 38,6 50,3 92,5 197 321. Em relação ao segundo caso, estimar os valores da permeabilidade e do fator c pelas correlações da literatura. Considerar que a esfericidade da areia seja 0,70. 83 Resposta: a) Permeabilidade: 6,9×10−6 cm2. Fator c: 1,10. b) Permeabilidade: 1,29×10−6 cm2. Fator c: 0,75 Valores estimados (caso b): k= ( Dφ ) 2 ε 3 170(1 − ε ) 2 = 1, 02 × 10−6 cm2 0,37 0,01    k0   k0   c = 0,13  + 0,10   k   k    0,98 ε3 / 2 = 0,81 , k0 = 10−6 cm2 . 2. Especificar a bomba centrífuga para a unidade de tratamento de água constituída por um filtro de carvão (A), coluna de troca catiônica (B) e coluna de troca aniônica (C). Capacidade da instalação: 6 m3/h. A tubulação tem 35 m de comprimento (aço comercial, 1½"# 40) e conta com uma válvula globo (aberta) e 12 joelhos de 90º. O desnível entre os pontos 1 e 2 é praticamente nulo. Temperatura de operação: 25ºC. Especificação das colunas: Coluna A B C Altura de recheio (cm) 50 90 90 84 Diâmetro (cm) 50 55 55 Especificação do recheio: Coluna Granulometria # Tyler −35+48 (30%) −48+65 (40%) −65+100 (30%) Esfericidade Porosidade 0,60 0,42 B Dp = 0,45 mm 0,85 0,37 C Dp = 0,70 mm 0,85 0,38 A Resposta: Perda de carga na tubulação incluindo acidentes: 4,45 m. Perda de carga nas colunas: Coluna A B C Velocidade superficial (cm/s) 0,849 0,702 0,702 Diâmetro médio (cm) 2,45×10−2 4,5×10−2 7×10−2 Permeabilidade (cm2) Fator c 2,80×10−7 1,10×10−6 2,97×10−6 1,16 1,03 0,820 Perda de carga (m) 14,7 5,71 2,17 Especificação da bomba: Vazão, 6 m3/h; carga, 27 m; potência, 2cv. 3. Calcular a vazão de água que a bomba centrífuga Minerva (5cv) fornece à instalação abaixo esquematizada constituída por uma coluna recheada, 25 m de tubulação de aço de 1½” (#40), válvula gaveta (1/4 fechada), válvula de retenção e 7 joelhos de 90º. Desnível entre os pontos 1 e 2: -3m. Temperatura de operação: 25ºC. A coluna recheada: diâmetro 20 cm e altura 1 m. O recheio: diâmetro médio e esfericidade das partículas 450 µm e 0,85; porosidade do leito 0,38. 85 Curva característica da bomba: Vazão (m3/h) 0 2 4 6 8 10 12 14 Carga (m) 53,9 53,9 53,3 52,2 50,6 46,7 41,7 32,8. Resposta: Perda de carga na tubulação incluindo acidentes: 7,26×10−2 Q2 m de coluna de água, com a vazão Q expressa em m3/h. Desnível entre os pontos 2 e 1: 3 m. Propriedades do meio poroso: permeabilidade 1,23×10−6 cm2 e fator c 0,97. Perda de carga na coluna recheada: 6,62 Q+0,701 Q2 m de coluna de água, com a vazão Q expressa em m3/h. Carga da instalação: 3+6,62 Q+0,774 Q2 m de coluna de água, com a vazão Q expressa em m3/h. Vazão fornecida pela bomba: 4,7 m3/h (compatibilidade entre as cargas da bomba e da instalação). 4. Estimar a capacidade (m3/m2h) do filtro de areia abaixo esquematizado operando com água a 20ºC. A primeira camada, com porosidade 0,37, é constituída de areia com a seguinte granulometria: Sistema Tyler −14+20 −20+28 −28+35 % em massa 20 60 20 A segunda camada, com porosidade 0,43, é constituída de brita com 1,3 cm de diâmetro. A esfericidade da areia e da brita pode ser considerada como sendo 0,7. 86 Resposta: Propriedades do leito de areia: diâmetro médio das partículas 0,70 mm, permeabilidade 1,80×10−6 cm2 e fator c 0,94. Propriedades do leito de brita: permeabilidade 1,19×10−3 cm2 e fator c 0,38. Capacidade do filtro: 15,1 m3/m2h. 5. Estimar o tempo consumido na percolação de 100L de óleo através de um leito de carvão ativo com porosidade 0,42. A pressão de ar comprimido é 7 atm manométricas. Propriedades do óleo: densidade 0,85 g/cm3 e viscosidade 35 cP. Dimensões do leito de carvão ativo: diâmetro 30 cm e altura 50 cm. Propriedades das partículas de carvão: esfericidade 0,6 e granulometria. Sistema Tyler −35+ 48 −48+ 65 −65+100 % em massa 15 65 20 Resposta: Propriedades do leito de carvão: diâmetro médio das partículas 245 µm, permeabilidade 2,8×10−7 cm2 e fator c 1,16. Vazão de óleo que percola o leito de carvão: 4,78 L/min. Tempo consumido na percolação de 100L de óleo: 21 min. 6. Calcular a queda de pressão no reator catalítico em leito fixo sabendo que opera isotermicamente a 550ºC e que a pressão na descarga do reator é 1,5 atm. A porosidade do leito é 0,44. Vazão mássica de gás com propriedades do nitrogênio: 200 kg/h. Dimensões do leito de catalisador: diâmetro 30 cm e altura 40 cm. Propriedades das partículas de catalisador: esfericidade 0,65 e distribuição granulométrica dada por X= 1  123   1+   Dp    3 , Dp em µm. 87 Resposta: Propriedades do leito de catalisador: diâmetro permeabilidade 7,08×10−8 cm2 e fator c 1,56. Queda de pressão no reator: 8,08 atm. médio das partículas 102 µm, 7. Um conversor secundário de ácido sulfúrico tem 2,3 m de diâmetro e opera com 3 camadas de catalisador, perfazendo um total de 1,35 m de altura. As partículas de catalisador são cilindros eqüiláteros com diâmetro 9,5 mm. A porosidade do leito é 35%. Calcular a queda de pressão no conversor sabendo-se que a velocidade mássica de gás é 2,6 × 103 kg / m2 h . A alimentação é feita a 400ºC, resultando uma temperatura na descarga de 445ºC. A pressão na descarga do conversor é 1 atm. Composição do gás: Alimentação (% molar) Descarga (% molar) SO3 6,6 8,2 SO2 1,7 0,2 O2 10,0 9,3 N2 81,7 82,3 (Coulson, J.M. e Richardson, J.F.; "Chemical Engineering", Pergamon Press, Londres, 2ª edição, vol. 2, p. 737, 1968). Resposta: O escoamento será considerado como sendo isotérmico a 423ºC. Massa molecular média 32,6. A viscosidade da mistura será considerada como sendo a do nitrogênio a 423ºC e 1 atm: 0,033 cP. Propriedades do leito de catalisador: diâmetro e esfericidade 1,09 cm e 0,87, permeabilidade 5,42×10−4 cm2 e fator c 0,54. Queda de pressão no conversor: 40,6 cm de coluna de água. 8. Análise da expansão adiabática de um gás perfeito através de um meio poroso aberto à atmosfera. Estabelecer a relação entre pressão no reservatório de volume V e o tempo, admitindo que o escoamento no meio poroso seja darcyano e que a viscosidade do fluido possa ser considerada como sendo uma constante no processo em questão. Condições iniciais no reservatório: pressão e temperatura po To . 88 Resposta: Expansão adiabática de gás perfeito: p −a T = po−a To = C , constante, onde a = ( c p − cv ) / c p . Equação do movimento do fluido escoando no meio poroso, forma integrada: G= 2−a M k p 2 −a − patm 1 ⋅ ⋅ ⋅ , onde L é o comprimento do meio poroso. L 2 − a CR µ Balanço de massa de gás no reservatório: − GA = (1 − a ) ⋅ VM −a dp ⋅p , onde A é a área da seção de escoamento. CR dt Combinando os resultados, resulta por integração: p /p x −a Akt I 1 ⋅ = , onde I = ∫ o atm dx . p / p atm x 2 − a − 1 (1 − a )( 2 − a ) µLv patm Exemplo: Expansão adiabática de ar, a = 0,286, 89 9. O filtro abaixo esquematizado recebe uma vazão constante Q de líquido newtoniano. Estabelecer a relação entre a velocidade superficial de fluido que escoa através do meio poroso e o tempo de percolação. Estabelecer também o tempo em que ocorrerá o transbordamento do filtro. O escoamento no meio poroso pode ser considerado darcyano. Na condição inicial o meio poroso está saturado com líquido e l = l o Resposta: Forma integrada da equação do movimento do líquido escoando no meio poroso: (l-L)ρg/L = µ q ( t ) , onde q é a velocidade superficial do fluido. k Balanço de massa na camada de líquido: Q − q = dl/dt. A Combinando os resultados e integrando com a condição inicial l(0) = entre a espessura de líquido l e o tempo de percolação t: l 0, obtém-se a relação l = β + (lO − β ) exp(−αt ) α α= α Q k ρg , β = − Lα . A µL Substituindo o resultado na equação que fornece o balanço de massa na camada de líquido, resulta a relação entre a velocidade superficial q e o tempo de percolação: q= Q β + ( lO − )α exp (−αt ) A α 90 O transbordamento do líquido no filtro se dará quando l= H: β l − O 1 α T = ln , β α −H α Q > L α, no tempo T correspondente a A H > lO. 10. Comparar os valores estimados de queda de pressão com os resultados experimentais obtidos por Silva Telles e Massarani (RBF, 9, 2, 535, 1979) para o escoamento de solução aquosa de Natrosol através de um meio poroso de areia artificialmente consolidada. Considerar o escoamento como sendo darcyano. Propriedades do fluido: densidade 1 g/cm3 e relação taxa de distensão - tensão cisalhante dada por: λ( s −1 ) 0 150 300 500 700 900 1100 1300 1500 2 S(dyn/cm ) 0 44,5 70,3 98,5 123 145 166 185 203 Propriedades do meio poroso: comprimento 2,0 cm, permeabilidade 1,4×10−6 cm2, porosidade 0,38. Dados experimentais de velocidade superficial do fluido e de queda de pressão no escoamento através do meio poroso: q(cm/s) −∆p(cmHg ) 0,275 7,63 0,524 11,6 1,07 18,4 1,63 24,8 Resposta: Relação entre a velocidade superficial do fluido e a taxa de distensão característica: q(cm/s) λ* = q (s-1 ) k 0,275 0,524 1,07 1,64 232 443 904 1380 “Modelo reológico” para 232 < λ < 1380 s −1: S = 1,63λ0,66 dyn / cm 2 . Cálculo da viscosidade efetiva e estimativa da queda de pressão: q(cm/s) 0,275 * S( λ ) ( P) 0,256 µ= λ* −∆pexp (cmHg) 7,63 11,6 18,4 24,8 −∆psim (cmHg ) 11,7 18,7 24,8. 7,91 0,524 1,07 1,63 0,205 0,161 0,140 91 11. Análise do dreno vertical darcyano. Estabelecer a relação entre a vazão de água que percola através do dreno e o tempo de percolação, sabendo-se que as paredes são porosas e que no tempo inicial a altura de líquido é ho. Resposta: Equação do movimento do fluido escoando através da parede porosa: dp µ 1 dQ ⋅ = ⋅ dr k 2πr dz − ∆p = (h - z)ρg µ 1 R dQ ⋅ ln 2 ⋅ (h - z)ρg = ⋅ k 2π R1 dz − Q= πkρgh 2 . R2 µln R1 Balanço de massa de fluido no poço: dh dt k ρgt 1 1 ∴ = + . R2 h ho 2 µ R 1 ln R1 − Q( t ) = πR 12 92 Relação entre vazão de fluido e o tempo de percolação: Q= 1 πkρg ⋅ R µ ln 2  R1  1 kρgt  +  h0 µR 2 ln R 2 1  R1        2 12. Análise do dreno-aleta darcyano. Estabelecer a relação entre a capacidade do dreno e as propriedades e dimensões do meio poroso. Resposta: Expressões para a vazão no dreno: k Q = 2πR µ ∫( L o ) k dz = 2π − ∂P ∂r z , R µ ∫ r (− ∂z )o, r dr. R ∂P o 93 Formulação do campo de pressões piezométricas: 1 ∂ ∂P 2   ∂ P  =0 r  +  r ∂r  ∂r  ∂z 2  ∂P  = 0 , P(z, R ) = p atm − zρg    ∂r  z, o  ∂P  =0  P(o, r ) = p atm + Hρg , ∂z  L, r  O campo de pressões piezométricas:   2n − 1   π  sen  2ρg H 2    sen (λ z ) I o (λ n r ) ,  + P(z, r ) = p atm + Hρg − ∑ n 2 I o (λ n R ) L n =1 λ n  λn     π (2n - 1), n = 1,2,3,... λn = 2L ∞  Capacidade do filtro:  π(2n − 1) R  I1  H 2 2 L  Rk  2n − 1   1  . sen Q = 8ρg  L2 ∑  + π   L  µ n =1 L π(2n − 1)  2  2n − 1 I  π(2n − 1) R  o 2 L   ∞ 13. Uma coluna de absorção opera com 680 kg/h de gás e 9000 kg/h de líquido, fluxos em contracorrente. Os fluidos têm as propriedades do ar e da água a 20ºC e 1 atm. Diâmetro da coluna: 0,42 m. Recheio: Intalox 1½", cerâmica. Calcular a queda de pressão na coluna sabendo que a altura de recheio é 9 m. Resposta: A queda de pressão na fase gasosa é 75,4 cm de coluna de água. 14. Um resfriador de partículas pode operar nas configurações abaixo assinaladas. Calcular a vazão de ar fornecida pelo compressor radial Minuano nestas duas situações. As partículas são esferas com diâmetro 0,5 mm e a porosidade do leito é 0,40. Dimensões do equipamento: 30×30×60 cm. Propriedades do ar a 20ºC e 1 atm. ρF < u >2 Queda de pressão na tubulação de 2": ∆p = 3 . 2 94 Curva característica do compressor: Q(m3/min) C(mm água) 1 1870 2 1200 3 600 4 0. S 30 30 S G G 30 30 (cotas em cm) Configuração 2 Configuração 1 Resposta: Propriedades do meio poroso: permeabilidade 2,61×10−6 cm2, fator c 0,78. Queda de pressão na tubulação: − ∆p = 1,21 Q 2 cm água, com a vazão expressa em m3/min. Queda de pressão no resfriador, 1ª configuração: − ∆p = 19,1Q + 1,49 Q 2 cm água, com a vazão expressa em m3/min. Queda de pressão no resfriador, 2ª configuração: − ∆p = 76,7Q + 11,9 Q 2 cm água, com a vazão expressa em m3/min. Vazão na 1ª configuração: 2,75 m3/min (meios em paralelo) Vazão na 2ª configuração: 1,55 m3/min (meios em série) 15. O problema de Dupuit. Desprezando os efeitos de capilaridade, estimar a vazão de líquido newtoniano que percola, em escoamento darcyano, a parede porosa. A largura da parede é B. 95 Resposta: Seja o caso particular em que ( H1 − H2 ) << L . Nesta situação, a posição da interface arlíquido pode ser expressa por uma reta. q=− k dP ⋅ µ dx Q = − Bh ⋅ k d ⋅ (p atm + hρg) µ dx Q kρg H 22 − H12 =− ⋅ . B µL 2 16. Estabelecer a relação entre a vazão mássica W (M/θ) e a queda de pressão no escoamento permanente e isotérmico de um gás perfeito através da configuração abaixo esquematizada. Resposta: Equação do movimento do fluido escoando no meio poroso: 0=− dp µ  cρ k  − 1 + qq dr k  µ  W = 2πrLρq = 2πrLG µW 1 c dp W2 1 ⋅ + ⋅ ⋅ −ρ = 2 dr 2πLk r k (2πL) r 2 96 ρ(− ∆p) = R c W2 µW ln 2 + ⋅ 2πLk R 1 k (2πL) 2  1 1    −  R1 R 2  onde ρ= ∆p  M  p1 + p 2  M   =  p2 − , 2  RT  2  RT  ∆P = p 2 − p1 . 97 Bibliografia Bear, J., “Dynamics of Fluids in Porous Media”, American Elsevier, N. Iorque, 764 p. (1972). Berker, R., “Intégration des Équations du Mouvement d'un Fuide Visqueux Incompressible”, Handbuch der Physik (Flügge, S., Ed.), vol VIII/2, Spring-Verlag, Berlin, 384 p. (1963). Coulson, J.M. e Richardson, J.F., “Tecnologia Química II: Operações Unitárias”, Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa, 889 p. (1977). Crochet, M.J. e Naghdi, P.M., “Constitutive Equation for Flow Through an Elastic Solid” Int. J. Engng. Sci, vol. 2, 303 (1966). Darcy, H., “Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon”, Dalmont, Paris,590 p. (1856). 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Analogamente ao capítulo anterior (Massarani, 1989, p. 84): Equações da continuidade, ∂ ( ερ F ) + div( ερ F v F ) = 0 ∂t (1) ∂ [(1 − ε)ρS ] + div[(1 − ε)ρSvS ] = 0 ; ∂t (2) Equações do movimento,  ∂v  ερ F  F + (grad v F )v F  = − grad p − m + ρ F g  ∂t  (3)  ∂v  (1 − ε )ρ S  S + (grad v S )v S  = div TS + m + (1 − ε )(ρ S - ρ F ) g ;  ∂t  (4) Equações constitutivas, µ  cρ ε k U  m = F 1 + F  εU , U = v F − v S k  µF  (5) TS = − p S ( ε )1 . (6) Nestas equações, ε é a porosidade da matriz (fração volumétrica ocupada pelo fluido), ρ F e ρ S a densidade do fluido e do sólido, v F e v S a velocidade intersticial das fases fluida e sólida, p e pS a pressão no fluido e no sólido, m a força resistiva que o fluido exerce sobre a matriz sólida (por unidade de volume de sistema particulado), g a intensidade do campo exterior e TS a tensão exercida sobre a fase sólida. A força resistiva m foi amplamente estudada na literatura e, como conseqüência, o resultado expresso pela equação (5) mostra-se satisfatório nas situações usuais (Massarani, 1989). A experimentação torna-se, no entanto, particularmente difícil quando a porosidade do sistema alcança valores nas proximidades de 1, como ocorre no transporte pneumático diluído. 101 O panorama em relação à tensão TS exercida sobre a fase sólida é bastante complexo face às dificuldades na realização de ensaios fundamentais em Mecânica dos Sólidos. A forma constitutiva expressa pela equação (6), apesar da simplicidade, é utilizada com resultados satisfatórios na fluidodinâmica dos meios expandidos e no estudo da filtração e sedimentação unidimensional com formação de substratos deformáveis (Massarani, 1989, p. 86; Gidaspow, 1994, p. 31). Como conseqüência, na situação em que a porosidade é constante, div TS = − grad pS ( ε ) = 0 . (7) Formas complexas para a tensão nos sólidos se fazem necessárias quando se trata do estudo de um leito deslizante de partículas, como ocorre na descarga de um silo e na operação dos leitos recirculante e de jorro (Gidaspow, 1994, p. 31). As equações do movimento para as fases fluida e sólida podem tomar formas diferentes segundo as tradições de cada "escola" e as peculiaridades dos temas abordados, o que acarreta um certo desconforto na tentativa de compatibilizar os resultados da literatura. As equações (3) e (4) apresentadas neste texto satisfazem o conhecimento comum e os resultados experimentais conhecidos, não tendo sido assinalado qualquer contra-exemplo. a) A equação (3) conduz na estática ao resultado bem conhecido 0 = − grad p + ρ F g . b) A equação (3) leva à definição da força resistiva m quando prevalece o escoamento uniforme, m = − grad p + ρ F g e dela resultam, a partir das medidas de queda de pressão e vazão, os parâmetros estruturais k e c da equação (5). c) A integração da equação (3) completa, incluindo o termo da aceleração do fluido na matriz porosa, conduz para os escoamentos incompressíveis convergente ou divergente efetuados em calota esférica porosa aos resultados (Massarani, 1974): Escoamento convergente, ρ F QF2 cρ F QF2 µ F QF (1 − α ) = ( p1 − p0 ) − (1 − α ) − (1 − α 3 ); 2 4 2 3 2 πkR0 8π εR0 12 k π R0 4 (8) Escoamento divergente, cρ F QF2 µ F QF − 2 4 (1 − α ) = ( p0 − p1 ) − (1 − α ) − (1 − α 3 ) . 2 3 2 πkR0 8π εR0 12 k π R0 ρ F QF2 4 102 (9) Nestas equações QF é a vazão volumétrica de fluido, R0 e R1 os raios menor e maior da calota e α = R0 / R1 . A Figura (1) mostra que os dados experimentais confirmam a validade das equações (8) e (9) e, portanto, a validade da equação do movimento para o fluido, equação (3). d) A fluidização de um sistema particulado tem inicio quando no escoamento de fluido a força resistiva iguala o peso aparente de sólido por unidade de volume, m = (1 − ε )(ρ S − ρ F ) g . z L (10) Este resultado bem conhecido pode ser resgatado também a partir da equação do movimento para o sólido, equação (4), e da forma constitutiva para TS , equação (6), considerando que na fluidização incipiente a porosidade seja uniforme. De modo equivalente, a combinação das equações do movimento para as fases leva, no caso da fluidização, ao resultado ε distribuidor QF − ∆P = (1 − ε )(ρ S − ρ F ) g L (11) onde P é a pressão piezométrica no fluido. 103 Queda de pressão, mm de carga de água 110 Eq. (8) 90 70 Eq. (9) p 50 Q 30 Resultados experimentais 10 200 400 600 800 1000 1200 3 Vazão de fluido (cm /s) Figura 1 - Escoamento acelerado de fluido (ar a 27,5ºC) em matriz porosa ( R0 = 4,5mm, R1 = 35,5mm, ε = 0,37, k = 1,1 × 10 -4 cm 2 , c = 0,55) (Massarani, 1974). 104 2. Caracterização dos Meios Expandidos Seja abordada a situação em que os campos de velocidades da fases fluida e sólida e a distribuição de porosidades são uniformes, como deve acorrer na fluidização homogênea, na sedimentação livre e no transporte hidráulico vertical de partículas. A equação do movimento para a fase sólida, equação (4), toma a forma cρ F ε 2 2 µFε U+ U = (1 − ε )(ρ S − ρ F )g , k k (12) sendo a velocidade relativa U, respectivamente, U= QF (fluidização homogênea) εA (13) v U = S (sedimentação livre) ε U= (14) QF QS − (transporte vertical homogêneo). εA (1 − ε ) A (15) Nestes resultados, QF e QS são as vazões volumétricas de fluido e de sólido, A a área da seção transversal de escoamento e vS a velocidade de deslocamento da interface líquidosuspensão na sedimentação livre. As relações entre porosidade, permeabilidade e fator c, parâmetros estruturais presentes na equação (12), podem ser determinadas com facilidade através da fluidização com líquido conduzida em duto de seção constante: o aumento da vazão de líquido acima das condições de fluidização mínima acarreta uma expansão uniforme do leito, como mostram os resultados obtidos por Gubulin e Massarani (1977) na fluidização de areia ( −28 + 35# Tyler ) com água (20ºC, velocidade superficial 2,04 cm/s), Distância ao distribuidor (cm) 10 Porosidade média na seção (raios gama) 0,821 0,820 0,824 0,822 0,826 0,821 0,830. 20 30 40 50 60 70 Agrupando os parâmetros estruturais ε, k e c nos termos φ1 e φ2 , resulta da equação (12): µ F φ1 ( ε )U + ρ F φ 2 ( ε )U 2 = (1 − ε )(ρ S − ρ F ) g . onde φ1 ( ε ) = ε / k , φ 2 ( ε ) = cε 2 / k . 105 (16) A fluidização conduzida com líquido de viscosidade elevada (velocidade relativa U reduzida) leva a φ1 ; conhecido este termo, a fluidização com água leva φ2. As funções φ1 e φ2 para sistemas específicos constituidos por cilindros equiláteros, esferas de vidro e areia estão representadas na figura (2). Cabe ainda ressaltar que a fluidodinâmica em meios expandidos fornece valiosas informações sobre a dependência na porosidade do parâmetro β da equação de KozenyCarman apresentada no capítulo anterior, k= β= ( D p φ) 2 ε 3 (17) 36β(1 − ε ) 2 ( D p φ) 2 ε 2 36(1 − ε ) 2 φ1 ( ε ) , (18) onde D p é o diâmetro médio de Sauter relacionado à distribuição granulométrica das partículas e φ é a esfericidade destas partículas. Os dados experimentais reunidos por Restini (1977), Santana e Massarani (1974) e Massarani e d'Ávila (1974) mostram, para partículas com diferentes formas, que o valor de β mantem-se constante para porosidades de até 75% e cresce de forma acentuada à medida que a porosidade aumenta. 106 5 10 φ1(ε) -2 (cm ) 4 6-10 φ2(ε) -1 (cm ) 2 10 4 3-10 60 30 10 4 6-10 3 10 3 6 3-10 3 10 3 2 6-10 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 ε 1 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 ε Figura 2 - Funções φ1 e φ2 para cilindros equiláteros com diâmetro 1,14 mm Ο (Restini, 1977), esferas de vidro com diâmetro 0,58 mm • (Santana e Massarani, 1974) e areia com diâmetro 0,20 mm (Massarani e d`Ávila, 1974). 3. O Elo Entre a Fluidodinâmica de Partículas e a Teoria de Misturas O resultado expresso pela equação (16) permite estabelecer o elo de ligação entre a fluidodinâmica em meios porosos e a fluidinâmica de partículas. O capítulo 1 fornece para a partícula isolada: 107 4 (ρS − ρ F )D p g  24 cD = =  2 3  K1 Re ∞ ρFv∞  Re ∞ =    0,85  0,85  + K2   1,18 (19) D p v∞ ρ F µ K1 = 0,843 log10 ( φ / 0,065), K2 = 5,31 − 4,88φ. (20) Nestas equações, cD e Re ∞ são o coeficiente de arraste e o número de Reynolds da partícula com diâmetro volumétrico D p , v∞ a velocidade terminal da partícula isolada movimentando-se no fluido com densidade ρF e viscosidade µF e φ é a esfericidade da partícula. Combinando as equações (16), (19) e (20): µ F φ1 ( ε )U + ρ F φ 2 ( ε )U 2 = µ 2F 3 c Re∞2 (1 − ε ) 3 D 4 ρ F Dp 2 U U 3 ψ 1 ( ε ) Re∞   + ψ 2 ( ε ) Re∞2   = c D Re∞2 4  v∞   v∞  (21) sendo 2 ε Dp ψ 1 (ε) = 1− ε k e ψ 2 (ε) = ε 2 cD p . 1− ε k O coeficiente de arraste é função do número de Reynolds, equação (19), e portanto, vem da equação (21) que U = f ( Re ∞ , ε) . v∞ (22) Este resultado, o mesmo apresentado no capítulo 1 como correlação empírica do tipo Richardson e Zaki, estabelece o elo de ligação entre a fluidodinâmica da partícula e a fluidodinâmica em meios porosos. Exemplo A influência da porosidade no valor do parâmetro β presente na equação de Kozeny Carman, equação (17), pode ser estabelecida com o auxílio de dados obtidos na fluidização homogênea: 2 ε D p 36β(1 − ε ) ψ1 ( ε ) = . = 1− ε k ε 2φ2 108 Seja a situação em que as partículas são esféricas e Re∞< 0,2. Neste caso, cD = 24 18 , ψ1 = . Re (U / v∞ ) e, em base aos dados reunidos por Concha e Almendra (Tabela 6C do capítulo 1), U 0,83ε 3,94 , 0,5 < ε ≤ 0,9 = v∞ 4,8ε − 3,8 , 0,9 < ε < 1. Resulta para partículas esféricas:  −1,94 0,60 ε , 0,5 < ε ≤ 0,9  1− ε β=  ε2  , 0,9 < ε < 1.  2(1 − ε )(4,8ε − 3,8) O valor do parâmetro β cresce com o aumento da porosidade a partir de ε = 0,80 , ε β 0,6 4,06 0,7 4,01 0,8 4,64 0,9 7,36 0,95 11,9 0,98 26,6. 4. Transporte Hidráulico e Pneumático de Partículas O transporte de partículas sólidas por arraste em fluido conduz, de um modo geral, à formação de um campo de porosidades heterogêneo na seção transversal de escoamento da mistura sólido-fluido. Em algumas situações, no entanto, dependendo da natureza do problema em estudo, a formulação para o transporte de partículas pode ser substancialmente simplificada considerando que a mistura comporta-se como um fluido homogêneo (Santana, 1982; Gidaspow, 1994): a) Transporte pneumático vertical em fase densa (fluidização incipiente) ou em fase diluída (porosidade superior a 95%); transporte hidráulico vertical sem restrições; b)Transporte hidráulico em qualquer configuração no caso em que as partículas são pequenas, verificando-se o critério empírico de Newitt Ne = 1800gDv ∞ 3 VM < 1. (23) Na equação (23) D é o diâmetro do tubo, v∞ a velocidade terminal das partículas no fluido de arraste e VM a velocidade da mistura sólido-fluido, 109 VM = QS + QF , A (24) onde QS e QF são a vazão volumétrica de fluido e de sólido e A a área da seção transversal de transporte. A diferença entre as formulações para os casos (a) e (b) reflete a dificuldade na medida das propriedades reológicas da suspensão constituida por partículas relativamente grandes (caso a) e pelo fato de que nesta situação o valor da velocidade relativa fluidopartícula no transporte pneumático pode ser significativamente maior que zero. Como conseqüência, o valor da porosidade no transporte depende da fluidodinâmica do sistema particulado. Apesar destas considerações, há o concenso bem cristalizado na literatura de que o projeto e o estabelecimento das condições operacionais das linhas de transporte hidráulico e pneumático não podem prescindir de estudos conduzidos em unidade piloto bem instrumentada (Krauss, 1980; Wasp, 1983). Transporte vertical homogêneo: partículas "grandes" Os efeitos causados pela aceleração do sistema particulado não são considerados e o transporte é, por exemplo, vertical ascendente. Equação do movimento para a mistura homogênea: p2 − L ∆p fV M2 ρ M = + ρM g L 2D f = f (Re M , e / D), Re M = p1 (25) DVM ρ M µM ρ M = ερ F + (1 − ε )ρ S = (1 − ε )(ρ S − ρ F ) + ρ F z (26) (27) Equação do movimento para o fluido no sistema particulado, equação (16), que permite calcular a porosidade no transporte: S F µ F φ1 (ε) U + ρ F φ 2 (ε) U 2 = (1 − ε)(ρS − ρ F )g U= QS QF − . Aε A(1 − ε) (28) Nestas equações, ρM e µM são a densidade e a viscosidade da mistura sólido-fluido e f o fator de atrito na interação fluidodinâmica entre a mistura e a parede do duto onde ocorre o transporte. 110 A comparação entre os valores do gradiente de pressão calculados através da equação (25) e os valores resultantes da experimentação conduzida no transporte pneumático em fase densa (Santana, 1982), no transporte pneumático em fase diluida (Ferreira et al., 1996) e no transporte hidráulico (Restini, 1977) parecem indicar que a viscosidade e o fator de atrito da mistura podem ser expressos pela viscosidade e o fator de atrito do fluido, este último representado pela equação clássica 0 ,9  e  6,81   1  = −2 log10 0,27 +   , D  Re M   f    (29) onde e/D é a rugoridade relativa do duto. Do ponto de vista da compatibilidade entre as formulações apresentadas neste capítulo, cabe ressaltar que a combinação das equações do movimento para as fases fluida e sólida, equações (3) e (4), leva à parcela da interação sólido-fluido no gradiente de pressão total,  ∆p  −  = (1 − ε)(ρS − ρ F )g + ρ F g = ρ M g ,  L  SF resultado este incluído na equação (25). Exemplo São comparados na tabela os valores experimentais e calculados do gradiente de pressão no transporte hidráulico vertical de cilindros equiláteros de plástico ( D p = 1, 14 mm , ρ S = 1, 77 g / cm3 ) com água a 30ºC (Restini, 1977). Tubulação de PVC, 1". Os resultados mostram, neste pequeno conjunto de dados, que a formulação proposta permite estimar o gradiente de pressão com erro da ordem de 7%. Dados e resultados experimentais (1) WF ( g / s) WS ( g / s) ε exp Resultados calculados  ∆p  −   L  exp 2 ( dyn / cm ) (2) ε cal (3) fV M2 ρ M 2D 3 ( dyn / cm ) 59,4 239 654 177 92,0 0,773 0,875 0,845 0,920 0,975 1138 1260 1677 1246 1251 0,780 0,876 0,843 0,928 0,962 111 14,7 208 422 305 147  ∆p  −   L  cal 2 2 ( dyn / cm ) ( dyn / cm ) 137 984 2004 1310 1348 (4) ρM g 1150 1075 1100 1035 1010 1160 1283 1522 1340 1154 (1) Medida experimental da porosidade obtida pela técnica de atenuação de raios gama. (2) Porosidade calculada com o auxílio da equação (16) e dados experimentais de φ1 e φ 2 apresentados na figura (2). (3) Fator de atrito calculado através da equação (29). (4) Gradiente de pressão calculado através da equação (25). Transporte hidráulico homogêneo Depedendo das condições fluidodinâmicas, o transporte hidráulico de partículas "pequenas" (Ne<1, equação 23) pode ser formulado do mesmo modo que o escoamento de fluidos homogêneos com características não-newtonianas (Massarani e Silva Telles, 1992). O balanço global de energia entre dois pontos da instalação leva a: ∆p + g∆z = W − W A ρM (30) f ( ∑ L )V M2 WA = 2D 0,9   6,81   DVM ρ M e 1  , ReM = = −2 log10 0,27 +  D  ReM   µ ef  f   Q + QS VM = F , ρ M = ερ F + (1 − ε )ρ S A ε= QF QF + QS (31) (velocidade relativa entre as fases nula). A viscosidade efetiva da suspensão, µ ef , depende da natureza da mistura, através da relação entre taxa de distensão (λ) e tensão cisalhante (S), e das condições de escoamento, V λ* = 6,40 M (taxa de distensão característica) D (32) µ ef = S ( λ* ) / λ* . (33) Nas equações (30) e (31), W e W A são, respectivamente, a energia (por unidade de massa de suspensão) fornecida pela bomba instalada e a energia dissipada por atrito no escoamento; (ΣL) é o comprimento equivalente total da instalação, incluindo dutos e acidentes. Cabe ainda ressaltar que a expressão para a taxa de distensão característica, equação (32), tem natureza empírica e que o procedimento sugerido para o cálculo da viscosidade efetiva independe do tipo do “modelo reológico” associado à suspensão. Finalmente, cabe mencionar que a Samarco (1977) opera no Brasil com a mais extensa instalação conhecida no mundo para o transporte de minério de ferro. O mineroduto liga a 112 Mina de Germano (MG) à Usina de Pelotização de Ponta do Ubu (ES), numa extensão de 396 km, dutos com 50 cm de diâmetro: 12 milhões ton/ano de concentrados finos são transportados na forma de uma polpa contendo 65% em massa de sólidos. Em relação à reologia destas suspensões, Coelho et al. (1981) mostraram que a concentração de sólidos e a taxa de distensão afetam o valor da viscosidade efetiva, como mostra a figura (3). O problema (12) da coletânea reunida no final do capítulo trata da estimativa do valor da potência de bombeamento necessária para a operação do mineroduto da Samarco. µef /µF 8 ε= 0,62 6 4 ε= 0,73 2 ε= 0,86 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 -1 Taxa de distensão (s ) Figura 3 - Viscosidade efetiva de suspensão de minério de ferro em água (Coelho et al., 1981). Problemas: Fluidodinâmica Expandidos em Sistemas Particulados 1. Os seguintes dados resultaram da fluidização com ar de dolomita em tubo com 10 cm de diâmetro: Vazão de Ar Queda de Pressão Altura do Leito (L/min) (cm de coluna de água) (cm) 21,3 74,4 57,3 17,2 73,0 55,3 14,3 71,7 54,3 11,4 69,3 51,2 9,54 67,6 50,2 7,20 51,0 50,2 5,30 37,6 50,1 3,20 22,7 50,0 Propriedades físicas das partículas: densidade 2,6 g/cm3, diâmetro médio de peneira 0,18 mm, esfericidade 0,60. Massa de partículas sólidas, 5380g. Fluidização com ar a 20ºC e 1 atm. Pede-se: 113 a) Determinar através dos dados experimentais a porosidade e a velocidade na fluidização mínima; b) Verificar o resultado clássico da fluidização; − ∆p = W / A onde ∆p é a queda de pressão no leito, W é peso aparente da fase sólida e A a área de seção de fluidização; c) Estimar o valor da velocidade na fluidização mínima a partir da equação válida para o escoamento darcyano de fluido, q fm φ 2 ε 3fm 2 D p (ρ S − ρ F ) g = ⋅ 170(1 − ε fm ) µ onde φ é a esfericidade das partículas sólidas, ε fm a porosidade na fluidização mínima e D p diâmetro médio das partículas. Resposta: a) Porosidade na fluidização mínima: 0,475. Velocidade na fluidização mínima: 2,02 cm/s. b) Valor estimado para a queda de pressão na fluidização: 67,2 cm de coluna de água. Através dos dados experimentais: 68,5 cm de coluna de água. c) Valor estimado para a velocidade na fluidização mínima: 2,00 cm/s. Através dos dados experimentais: 2,02 cm/s 2. Sobreiro (“Um Estudo de Fluidização a Altas Pressões”, Tese de M.Sc., COPPE/UFRJ, 1980) estudou experimentalmente a influência da pressão na fluidização de partículas esféricas de vidro com ar a 20ºC: Pressão Porosidade na Velocidade na Fluidização (atm) Fluidização Mínima Mínima (cm/s) 1 0,502 0,147 5 0,491 0,143 10 0,483 0,146 15 0,483 0,147 20 0,480 0,147 25 0,476 0,145 30 0,476 0,145 35 0,472 0,146 Sabendo-se que o diâmetro médio das partículas é 30,4 µm, estimar pela equação apresentada no problema anterior os valores da velocidade de fluidização mínima e comparar com os resultados experimentais. A densidade das partículas de vidro é 2,43 g/cm3. 114 Resposta: Pressão (atm) Porosidade na Fluidização Mínima (exp.) Velocidade na Fluidização Mínima (exp.) (cm/s) 1 5 10 15 20 25 30 35 0,502 0,491 0,483 0,483 0,480 0,476 0,476 0,472 0,147 0,143 0,146 0,147 0,147 0,145 0,145 0,146 Densidade do ar (g/cm3) 1,2×10−3 6×10−3 12×10−3 18×10−3 24×10−3 30×10−3 36×10−3 42×10−3 Velocidade na Fluidização Mínima (cm/s) (estimada) 0,183 0,167 0,156 0,156 0,152 0,146 0,146 0,141 3. Deseja-se projetar um sistema de fluidização destinado à secagem de produto químico. Diâmetro do secador: 30 cm. Carga de sólido: 39 kg. Propriedades das partículas: diâmetro médio 90 µm, esfericidade 0,8 e densidade 2,1 g/cm3. Estimativa do valor da porosidade na fluidização mínima: 0,48. Para uma velocidade superficial de ar 2 vezes maior que a de fluidização mínima, estimar: a) A altura do distribuidor formado por esferas de aço com diâmetro 200 µm tal que a queda de pressão através deste seja 10% da queda de pressão no leito fluidizado; porosidade, 0,38. b) A potência do soprador para o serviço. As propriedades do ar devem ser calculadas a 150ºC e 1 atm. Resposta: Estimativa do valor da velocidade de fluidização mínima, admitindo o escoamento como sendo darcyano: 0,56 cm/s. Cálculo da queda de pressão no leito fluidizado: 54,1 cm de carga de água. Cálculo da altura do distribuidor: 7,1 cm. Potência do soprador muito baixa, inferior a 0,1 cv. 4. Estimar o valor da porosidade no transporte hidráulico vertical de dolomita, fluxos concorrentes: a) ascendente, e b) descendente. Vazão mássica de água e de sólido: 116 ton/h e 110 ton/h. Características das partículas: diâmetro médio 254 µm, esfericidade 0,7 e densidade 2,7 g/cm3. 115 Diâmetro da tubulação: 5". Temperatura do fluido: 30ºC. Resposta: Cálculo da velocidade terminal da partícula isolada: v∞ = 3,24cm / s . cD Re∞2 = 504 , Re∞ = 9,67 , Porosidade no transporte hidráulico, empregando a expressão de Richardson e Zaki: - Ascendente, 254 89, 3 − = 3, 46 ε 2,50 → ε = 0, 739 . ε 1− ε - Descendente, 89, 3 254 − = 3, 46 ε 2,50 → ε = 0, 741. ε 1− ε Pode-se notar que a velocidade relativa fluido-partícula é, neste caso, praticamente nula pois 89, 3 254 − = 0 → ε = 0, 740 . ε 1− ε 5. Seja o transporte pneumático vertical ascendente de alumina em tubo liso de 1,27 cm de diâmetro interno. Calcular o gradiente de pressão no transporte sabendo que a vazão mássica das fases fluida e sólida é de respectivamente 0,0514 g/s e 8,42 g/s. O transporte ocorre em fase densa com porosidade da ordem daquela de fluidização mínima, no caso 0,48 (Santana, 1982). Propriedades das partículas sólidas: densidade 3,97 g/cm3, diâmetro médio 0,20 mm e esfericidade 0,7. O gás de arraste tem as propriedades do ar a 20ºC e 3,3 atm. Resposta: Gradiente de pressão no transporte pneumático, equação (25): 2,03×103 dyn/cm3. 6. Estimar a faixa de velocidades superficiais do fluido (solução polimérica em xileno) entre a fluidização mínima e o arraste de partículas. Propriedades do fluido: densidade 0,87 g/cm3, e relação tensão cisalhante-taxa de distensão dada por 116 S= 1000λ dyn/cms2, com λ em s−1, λ + 442 determinada experimentalmente para λ < 120s −1. Propriedades das partículas: densidade 2,7 g/cm3, diâmetro volumétrico 0,32 mm e esfericidade 0,78. Porosidade na fluidização mínima: 0,47. Resposta: Velocidade do fluido na fluidização mínima, escoamento darcyano: 2,05 cm/h, com taxa de distensão característica 0,491s−1 e viscosidade efetiva 2,26 P. Velocidade terminal da partícula isolada, regime de Stokes: 148 cm/h, com taxa de distensão característica 0,75s-1 e viscosidade efetiva 2,26 P. Conclusão: A velocidade do fluido pode variar entre 2,05 e 148 cm/h. 7. A coluna de resina troca-iônica é lavada por meio de uma corrente ascendente de água que acarreta uma expansão do leito e o conseqüente arraste das impurezas retidas. Estimar o valor da velocidade superficial do fluido tal que a altura do leito expandido seja o dobro daquela do leito fixo. A resina é constituída por partículas esféricas com diâmetro 0,3 mm e densidade 1,12 g/cm3. A porosidade do leito na fluidização mínima é estimada em 44%. A lavagem é feita a 25ºC. Resposta: Cálculo da porosidade do leito na lavagem: M = (1 − ε fm )ρ s AH fm = (1 − ε )ρ s A( 2 H fm ) → ε = 0, 72 . Velocidade superficial do líquido na lavagem, usando a Forma Quadrática de Forchheimer: 9,13×10−2 cm/s ( k = 2,52 × 10 −5 cm 2 e c = 0,23). 8. Uma suspensão de minério finamente dividido em água tem o seguinte comportamento reológico: Taxa de distensão ( s −1 ) 0 3 10 50 100 200 300 600 2 Tensão cisalhante (g/cms ) 0 1,54 4,90 20,4 33,2 53,9 71,9 116. Calcular o tempo necessário para carregar com a suspensão um caminhão com 10 m3 de capacidade. A tubulação é de aço comercial e tem 2" de diâmetro (#40) e comprimento equivalente total 25 m. Densidade da suspensão: 1,3 g/cm3. 117 Resposta: Formulação (equações 30 a 33): Fator de atrito, f = 2 , 88 × 10−2 ; velocidade da mistura, VM = 429cm / s ; taxa de distensão caracaterística, λ* = 528s −1 ; S = 1,32λ0,70dyn / cm(λ > 50s −1) ; viscosidade efetiva, µ ef = 0, 203 P ; vazão de suspensão, Q M = 0, 56m3 / min. Tempo para carregar o caminhão: 18 min. 9. Seja o transporte hidráulico de dolomita, 65/100 # Tyler, densidade 2,8 g/cm3 e esfericidade das partículas 0,59. O transporte é feito a 30ºC em tubulação de aço, 4" de diâmetro: 1500 m na horizontal e 150 m na vertical ascendente. A perda de carga nos acidentes pode ser estimada em 20% das perdas nos dutos. Vazão mássica de sólido, 8 ton/h. Calcular: a) A vazão de água sabendo que a velocidade da mistura deve ser 20% superior àquela de deposição das partículas; b) A potência da bomba para o serviço. Transporte vertical (equações 25 a 29). Transporte horizontal (Santana, 1982): Velocidade crítica da mistura, abaixo da qual ocorre o depósito de partículas, ρ  VMC = 6,34 c1V/ 3 gD  S − 1  ρF  0, 46  Dp     D    0,077 Gradiente de pressão, 118 (34)  ∆p   ∆p    − − − 1,38 2  −3 / 2  D 0, 23   VM  ρ  L T  L  F p S     = 385 − 1  D   gD  ρ  ∆p  F       cV  −   L F (35) onde cV é a concentração volumétrica de sólidos. Resposta: Velocidade crítica da mistura, V MC = 189cm / s ; velocidade da mistura no transporte, V M = 227cm / s ; vazão de água, QF = 63, 4m3 / h ; vazão de mistura Q M = 66, 2m3 / h ; carga da bomba, 300 m de coluna de suspensão com densidade ρ M = 1, 08 g / cm3 ; potência da bomba (eficiência 0,7), 115 cV. 10. Calcular a vazão de água e a potência de bombeamento requeridas para o transporte hidráulico de 40 ton/h de areia na instalação abaixo esquematizada. Os dutos são de aço com diâmetro 5" e o sistema deve operar com uma velocidade de mistura 20% maior que a velocidade crítica de deposição. A perda de carga nos acidentes pode ser estimada em 25% daquela proporcionada pelos dutos. Temperatura no bombeamento: 30ºC. Densidade e esfericidade da areia: 2,6 g/cm3 e 0,78. Distribuição granulométrica da areia: # Tyler −35+48 −48+65 −65+100 Fração Retida 0,30 0,40 0,30 Resposta: A solução deste problema é obtida através da formulação indicada no problema anterior. Conclusões: vazão de água, 126 m3/h; vazão da mistura areia-água, 151 m3/h; concentração volumétrica de sólido no transporte, 10,2%; potência da bomba, 50 cv (eficiência 0,6). 119 11. Especificar o diâmetro da tubulação e estimar a potência de bombeamento no transporte de 80 m3/h de uma suspensão 2% em massa de polpa de papel em água. A instalação deve ter 2,5 km de dutos e a descarga encontra-se a 30 m acima do nível de alimentação. Propriedades da suspensão: densidade, 1,02 g/cm3; dados reológicos. Taxa de distensão ( s −1 ) 0 2 Tensão cisalhante (dyn/cm ) 0 5 10 1,39 2,65 50 10,2 100 16,0 300 32,6 500 45,4. A velocidade de carga nos acidentes pode ser estimada em 15% da perda de carga nos dutos. Resposta: Diâmetro da tubulação: 5", o que leva à velocidade de mistura de 175 cm/s. Cálculo da taxa de distensão característica e da viscosidade efetiva: respectivamente, 87,1 s−1 e 0,168 P (S = 0,8λ0,65 dyn/cm2, 50<λ<500 s−1). Potência da bomba: carga da bomba, 130 m de suspensão; potência, 60 cv (eficiência 0,65). 12. Estimar a potência de bombeamento no transporte hidráulico de 12 milhões de toneladas/ano de minério de ferro. A polpa tem 65% de minério, em massa. Densidade do minério de ferro: 4,8 g/cm3. Tubulação: 400 km de dutos de aço, 48 cm de diâmetro interno; a descarga está 1000 m abaixo da alimentação. A instalação funciona 340 dias/ano. Dados reológicos da suspensão: Taxa de distensão ( s −1 ) Tensão cisalhante (dyn/cm2) 0 0 3 0,151 7 0,348 10 30 0,488 1,33 50 2,11 100 3,96 200 7,45 (Dados semelhantes aos do mineroduto da Samarco que opera entre a Mina de Germano e o Terminal de Ponta de Ubú). Resposta: Velocidade da mistura: 169 cm/s. Cálculo da taxa de distensão característica e da viscosidade efetiva: respectivamente, 22,3 s−1 e 4,54×10−2 P (S = 0,060 λ0,91 dyn/cms2, 5 < λ < 200s −1 ). Potência da bomba: carga da bomba, 674 m de carga de suspensão com densidade 2,07 g/cm3; potência, 7600 cv (eficiência 0,75). 120 Bibliografia Coelho, G.L.V., Santana, C.C. e Massarani, G., "Reologia de Suspensões de Minério de Ferro", Anais do IX ENEMP, Salvador, BA, vol.2, 27-38 (1981). 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Equações da Continuidade e do Movimento As operações de filtração e espessamento de suspensões levam à formação de tortas e de sedimentos que se caracterizam por exibirem uma variação de porosidade ao longo de sua estrutura, causada pela percolação de fluido. Tal como nos capítulos anteriores, a formulação para a fluidodinâmica em meios deformáveis pode ser estabelecida a partir das equações da continuidade e do movimento para cada fase e mais as equações constitutivas do sistema (Silva Telles e Massarani; 1989; Massarani et al., 1993): Equações da continuidade ∂ ( ερ F ) + div( ερ F v F ) = 0 ∂t (1) ∂ [(1 − ε )ρ F ] + div[(1 − ε )ρ S vS ] = 0 ∂t (2) Equações do movimento   ∂v ερF  F + (grad vF )vF  = −div p − m + ρF g   ∂t (3)  ∂v  (1− ε )ρ S  S + (grad vS )vS  = grad TS + m + (1 − ε )(ρ S − ρ F ) g  ∂t  (4) Equações constitutivas m= µF εU , U = v F − v S k (5) TS = T (FS ) . (6) Nestas equações, ε é a porosidade em um ponto da matriz (fração volumétrica ocupada pelo fluido), ρ F e ρ S a densidade do fluido e do sólido, vF e vS a velocidade intersticial das fases fluida e sólida, p a pressão no fluido, m a força resistiva que o fluido exerce sobre a matriz sólida (por unidade de volume de sistema particulado), g a intensidade do campo exterior, TS a tensão exercida sobre a fase sólida e FS o gradiente de deformação. 123 A equação da continuidade para a fase sólida pode ser escrita em termos do gradiente de deformação (1 − ε*)ρ*S = (1 − ε )ρ S det(FS ), (7) onde ε* e ρ*S denotam, respectivamente, a porosidade e a densidade na configuração de referência. Sendo a densidade do sólido constante, det FS = 1− ε * . 1− ε (8) A força resistiva expressa pela equação (5) é válida nas condições em que o escoamento é lento, situação que prevalece tanto na filtração quanto no espessamento. Nesta equação, µF é a viscosidade do fluido, k(ε) a permeabilidade na matriz porosa e U a velocidade relativa fluido-partícula. A forma constitutiva expressa pela equação (6) considera que a matriz porosa comporta-se como um material elástico não-linear. Nos casos comuns de filtração, espessamento ou adensamento pode-se considerar que o meio poroso se submeta a uma deformação plana segundo um dada direção, por exemplo ao longo do eixo-z, x = X  y = Y z = Z + γ ( Z , t ),  (9) sendo x, y e z a posição de uma partícula que na configuração de referência ocupava a posição X, Y e Z. Resulta das equações (8) e (9), admitindo que o meio seja inicialmente homogêneo,   0 1 0    . FS ( z , t ) = 0 1 0  1− ε *  0 0  1 − ε( z, t )   (10) Portanto, os componentes de Ts na deformação plana são: Txx = Tyy ≠ Tzz  1 − ε * Tzz = f    1− ε  (11) Tij = 0 , i ≠ j . A função f da equação (11) define a pressão sobre os sólidos pS f = − pS ( ε ) (12) 124 e, como conseqüência, a equação do movimento para a fase sólida pode ser escrita da seguinte maneira quando os efeitos de aceleração não são considerados e a deformação do meio é plana: 0=− d µ pS ( ε ) + F εU z + (1 − ε )(ρ S − ρ F ) g z . dz k (13) Os estudos relacionados às aplicações clássicas envolvendo a filtração com formação de torta, a expressão mecânica e a sedimentação contínua defrontam-se com dois grandes desafios: de um lado, a dificuldade experimental no levantamento do perfil de porosidades e da dependência entre a porosidade, pressão nos sólidos e permeabilidade, de outro lado, a solução de um requintado sistema de equações diferenciais não lineares ao qual estão associados condições de salto e contornos móveis. Do ponto de vista tecnológico, o projeto do equipamento de separação industrial não pode ainda prescindir de ensaios de bancada conduzidos diretamente com a suspensão a ser tratada, e o “scale-up”, estabelecido através de teorias simplificadas, é basicamente uma regra-de-três entre capacidade e área de separação. Exemplo Damasceno (1992) desenvolveu uma técnica para a determinação das relações entre porosidade, pressão nos sólidos e permeabilidade nas condições que prevalecem no espessamento contínuo. Nesta técnica, o sedimento formado no interior de um frasco de Mariotte se submete a um processo de deformação causado pela percolação lenta do líquido. Uma vez conhecido o perfil de porosidades (método da atenuação de raios gama) é possível calcular pS ( ε ) e k ( ε ) a partir da equação (4), em duas etapas, 1ª etapa: água Uz = 0 ε = ε ( z ) (experimental) L pS ( z ) = (ρ S − ρ F ) g ∫ [1 − ε ( z )]dz z sedimento (14) pS = pS ( ε ); 2ª etapa: L z placa porosa x Frasco de Mariotte − εU z = QF / A ε = ε ( z ) (experimental) µ F (QF / A) k=− dpS dε ⋅ + (1 − ε )(ρ S − ρ F ) g dε dz k = k ( ε ). 125 (15) Nestas equações, QF é a vazão de líquido que percola o sedimento e A é a área da seção transversal de percolação. Considera-se na equação (14), por falta de melhor informação, que a pressão nos sólidos na interface líquido-suspensão seja nula, isto é, pS ( L) = 0 . Estão reunidos na figura (1) alguns resultados obtidos com uma suspensão aquosa de carbonato de cálcio (diâmetro médio das partículas da ordem de 18µm). 1-ε 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 -4 QF/A = 1,25x10 cm/s 0 10 20 30 1500 1-ε ) [( 0,08 8,4 ps = 7,0 1250 10 ] -1 Pa Z (cm) -8 1-ε ) ( 0,08 -8 k = 1,15x 10 k(cm2) Ps (Pa) 0 -4,1 cm 2 1000 -9 10 750 500 250 0 10 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,30 -10 0,1 0,14 0,22 0,18 1-ε 1-ε Figura 1 - Suspensão aquosa de CaCO3: relações entre porosidade, pressão nos sólidos e permeabilidade. 126 2. Teoria da Filtração com Formação de Torta A denominada “teoria científica da filtração” foi desenvolvida nos últimos 40 anos pelas escolas ilustres de Frank M. Tiller (Universidade de Houston, Estados Unidos) e Mompei Shirato (Universidade de Nagoya, Japão). Esta teoria leva à “teoria simplificada”, base para o projeto e análise do desempenho de filtros. Seja a filtração plana como esquematizada na figura (2) P(-lm, t) p(l,t) p(0,t) meio filtrante torta suspensão sólido-líquido filtrado lm z l(t) Figura 2 - Filtração plana com formação de torta Considerando que o líquido e as partículas sólidas sejam incompressíveis, a combinação das equações (1) e (2) da continuidade leva ao resultado ∂ (q F + qS ) = 0 ∂z q F = εv F , q S = (1 − ε )vS (16) que permite, por integração, relacionar as velocidades das fases líquida e sólida, q S ( z , t ) = q F (0, t ) − q F ( z , t ) , (17) sendo qS (0, t ) = 0 na interface torta-meio filtrante. Sendo a velocidade superficial da fase sólida positiva em qualquer ponto da torta compressível, a equação (17) informa que a velocidade superficial do fluido é maior junto ao meio filtrante do que na interface suspensão torta, q F (0, t ) > qF(l,t), 127 resultado que, apesar de correto, suscitou discussões na literatura quando apresentado pela primeira vez (Tiller, 1961). A combinação das equações (3) e (13) do movimento leva à relação entre as pressões nas fases líquida e sólida. Desconsiderando a aceleração das fases e a influência do campo exterior, ∂ ( p + pS ) = 0 ∂z pS (z, t ) = p(l , t ) − p(z, t ) (18) sendo pS ( l , t ) = 0 na interface torta-suspensão. Portanto, dentro das hipóteses consideradas, a pressão no sólido na filtração resulta apenas da queda de pressão no líquido. Equacionamento da filtração plana com formação de torta • Equação da continuidade para a fase líquida: ∂ε ∂q F = ∂t ∂z (19) • Equação do movimento para a fase líquida e equações (5) e (17): 0=− ∂p µ F ∂p µ  q q (0, t ) − q F  + ε(v F − vS ) = − + F ε F − F   k 1− ε ∂z ∂z k  ε (20) sendo a viscosidade do fluido conhecida. • Equação que correlaciona as pressões nas fases: pS (z, t ) = p(l , t ) − p( x , t ) . (18) • Equações constitutivas referentes ao sistema particulado: pS = pS ( ε ) (21) k = k (ε) . (22) • Relação entre a espessura da torta e o tempo de filtração: C= l ρS ∫ (1 − ε)dz 0 , l ρF ∫ q F (0, t )dt + ρF ∫ εdz 0 0 t (23) onde C é a concentração de sólidos na suspensão a ser filtrada, 128 C= ~ massa de sólido na suspensao massa de sólido na torta = . ~ massa de líquido na suspensao massa de filtrado + massa de líquido na torta • Equação do movimento do fluido no meio filtrante: p(0, t ) − p(− l m, t ) lm = µF q F (0, t ) km (24) sendo o valor do comprimento e da permeabilidade do meio filtrante conhecidos. • Relação vazão-queda de pressão fornecida pelo sistema de bombeamento de suspensão: q F (l , t ) = f [p( l , t ) − p(−l m, t )] . (25) • Condições limites: l (0) = 0 p(l , t ) = f1( t ) ou p(−l m, t ) = f 2 ( t ). Exemplo Silva Telles et al. (1973), fazendo uso da mesma formulação aqui apresentada, estudaram a operação de filtração de uma suspensão aquosa de caulim. A técnica utilizada nesta simulação é a de similaridade, resultando uma equação diferencial ordinária não linear para a pressão nos sólidos, resolvida por técnica numérica. Não é considera na análise a resistência oferecida pelo meio filtrante. Concentração da suspensão: 333g de sólido/L de água. Condições operacionais: a filtração é conduzida a 30ºC, sob a queda de pressão constante com valor 4 atm. Propriedades da torta (Shirato et al., 1964): ε = 0,72 , pS   ε = 1 − 0,131 p 0,082 , p S S  k = 4,2 × 10−11 cm2   k = 2,21 × 10−9 p −0,43cm2 S  ≤ 104 dyn / cm2 ≥ 104 dyn / cm2 , pS ≤ 104 dyn / cm2 , pS ≥ 104 dyn / cm2 . Os resultados apresentados nas figuras (3) fornecem as distribuições de pressão nos sólidos, porosidade e permeabilidade ao longo da torta compressível formada na operação de 129 1 -11 4x10 2 k(cm ) torta incompressível ε 0,8 0,75 -11 3x10 torta incompressível 0,70 0,6 -11 torta incompressível 2x10 0,4 0,65 -11 1x10 0,60 0,2 0,55 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 z z/l 0,5 0,5 0,4 0,4 0,3 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 0 0 2 6 4 Espessura da torta l,cm 0 Volume de filtrado 3 2 por unidade de área v, cm/cm ps(z,t)/p s(0,t) filtração. As figuras mostram também o resultado óbvio de que as maiores taxas de produção de filtrado são alcançadas no inicio do processo, quando a torta ainda é delgada. A estratégia da operação com formação de tortas delgadas é utilizada, por exemplo, na filtração industrial conduzida no filtro rotativo a vácuo. 0 10 8 Tempo de filtração t,min Figura 3 - Filtração de suspensão aquosa de caulim ( ∆p = 4atm) . 130 /l 1 A teoria simplificada da filtração O ponto de partida para o estabelecimento da “teoria simplificada da filtração” é admitir que a velocidade superficial do sólido na torta seja substancialmente menor do que aquela do líquido, resultando da equação (17), q F = q F (t ) , (26) isto é, que a velocidade do líquido é apenas função do tempo de filtração. Esta hipótese, aceitável quando a torta é moderadamente compressível, permite reduzir a complexidade da solução do problema. A equação do movimento para o fluido na torta toma a seguinte forma a partir das equações (18), (20) e (26): ∂ ∂ µ p( z , t ) = − pS ( z , t ) = F q F (t ). ∂z ∂z k (27) Na próxima etapa procura-se correlacionar os resultados da filtração com as condições operacionais expressas pela queda de pressão no filtro. Seja M a massa de sólido seco que compõe a torta, dM = ρ S (1 − ε ) A dz , onde A é área da superfície de filtração. Vem da equação (27), − dpS = µ q µ q 1 ⋅ F F dM = α(ε) F F dM , A ρS (1 − ε)k A sendo α a resistividade local (L/M), α= 1 . ρ S (1 − ε ) k ( ε ) Integrando: −∫ < α >= dpS p(l , t ) − p(0, t ) µ Fq F M, = = p (l , t ) − p (0, t ) α A <α> 0 p(l , t ) − p(0, t ) p(l , t ) − p(0, t ) dpS 0 α ∫ (28) , a resistividade média relativa à queda de pressão p(l , t ) − p(0, t ) . A torta e o meio filtrante são meios porosos percolados em série pelo fluido. A expressão para a queda de pressão no filtro pode ser estabelecida combinando as equações (24) e (28), 131 M   + R m  µ Fq F , p(l , t ) − p(−l m, t ) = ∆p = < α > A   (29) R m =l m / k m , a resistência do meio filtrante (1/L). A velocidade superficial do fluido e a massa de sólido seco na torta estão relacionadas ao volume de filtrado V, ao tempo t, à área de filtração A e à concentração de sólidos na suspensão, C: 1 dV A dt (30) m . ρ FV (31) qF = ~ C− A equação da filtração resulta da combinação das equações (29) a (31), dt µ F  < α > Vρ F C  = + Rm , < α >= f ( ∆ P ) .  dV A( ∆p)  A  (32) Na maioria das situações de interesse industrial a filtração é conduzida sob queda de pressão constante: t µ F  < α > Vρ F C  = + Rm  .  V A( ∆p)  2A  (33) Exemplo A equação (33) permite calcular a resistividade média da torta e a resistência do meio filtrante a partir das medidas de volume de filtrado e tempo de filtração obtidas na operação sob queda de pressão constante. A figura (4) refere-se à filtração de uma supensão aquosa de talco conduzida em unidade de bancada do filtro COPPE (Massarani, 1985). Confirmando um resultado clássico, a resistividade média da torta aumenta com a queda de pressão e a resistência do meio filtrante é praticamente constante: < α >= 2,17 × 1010 ( ∆p)1,05 cm / g , ∆p em atm Rm = 4,11 × 109 cm−1. 132 t/v (s/l) 11 ∆p=5atm 10 ∆p=8atm 9 ∆p=11atm 8 7 6 5 4 0 5 Figura 4 - Desempenho do filtro (Massarani, 1985). V(l) 20 COPPE: suspensão aquosa de talco, A = 670cm2 10 15 3. A Sedimentação Contínua Do ponto de vista da separação sólido-líquido, o projeto do sedimentador contínuo está basicamente relacionado ao cálculo da área da seção de sedimentação e da altura do equipamento. Tal como na filtração, face às dificuldades e incertezas no estabelecimento das equações constitutivas para as lamas compressíveis, o projeto do sedimentador acaba se baseando nos ensaios em batelada conduzidos diretamente com a suspensão a ser tratada. Neste sentido, o procedimento clássico desenvolvido por Kynch leva a resultados satisfatórios quando a lama é moderadamente compressível (Damasceno, 1992; Damasceno e Massarani, 1993). A conexão entre o ensaio de proveta e o projeto de sedimentadores contínuos é abordada nos problemas (12) a (15) reunidos no final do capítulo. A utilização de unidade piloto contínua pode ser de grande valia na determinação direta da capacidade máxima de sedimentação do sistema em estudo. Avalia-se, neste caso, a relação entre a vazão de alimentação e a altura da região de compactação que se forma no fundo do sedimentador. A figura (5), referente à sedimentação de suspensão aquosa de carbonato de cálcio, mostra que a capacidade de sedimentação pode ser aumentada quando o ponto de alimentação é deslocado da supefície do sedimentador (configuração tradicional) para o fundo do equipamento (França, 1996). O aumento registrado na capacidade de sedimentação é de 0,39 a 0,52 m3/m2h. 133 Altura da região de compactação (cm) 140 Alimentação no topo Alimentação a 12 cm do fundo 120 100 80 60 40 20 0 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 3 2 Vazão de alimentação (m /m h) Figura 5 - Sedimentação contínua de suspensão aquosa de carbonato de cálcio. Concentração volumétrica de sólido na alimentação e no lodo: 1,3 e 6,7% (França, 1996). Cabe mencionar que a relação entre a altura da região de compactação e a capacidade do sedimentador pode ser estabelecida pela combinação das equações da continuidade e do movimento, equações (1), (2) e (13), uma vez conhecidas as equações constitutivas para a região mencionada (Tiller e Chen, 1988): L=∫ pS [ ε ( 0)] 0 dpS , µq S  1 1  (ρ S − ρ F )(1 − ε ) g − − k ( ε ) 1 − ε 1 − ε (0)  conhecendo-se ε (0), pS = pS ( ε ) e k = k ( ε ) . 134 (34) alimentação z L extravasante lama Nesta equação, qS é o fluxo volumétrico de sólido. A capacidade máxima do sedimentador está associada ao comprimento infinito da região de compactação. Do ponto de vista científico, os problemas relacionados à sedimentação contínua vão muito além das dificuldades relativas à solução do sistema de equações diferenciais não lineares estabelecido a partir das equações de conservação e das equações constitutivas para as condições que prevalecem no sedimentador. A operação de protótipos contínuos parece indicar, por exemplo, que o estado de equilíbrio atingido no regime permanente, com as interfaces entre as diferentes regiões estáticas, depende do procedimento adotado na partida da operação. Em algumas situações, o equilíbrio rompe-se sem causa aparente e a região de compactação atinge rapidamente o extravasante que antes se apresentava límpido (França, 1996). 135 Problemas: Escoamento em Meios Porosos Deformáveis 1. Deseja-se filtrar uma suspensão aquosa de carbonato de cálcio (23,5 g de sólido/L de água) com o auxílio da bomba centrífuga Worthington 1¼ FT214, 5 cv. Pede-se: o volume de filtrado e a espessura da torta em função do tempo de filtração. A área filtrante é 1 m2. a) Propriedades físicas do sistema: densidade do fluido, 1 g/cm3; densidade do carbonato de cálcio, 2,7 g/cm3; viscosidade da água, 0,90 cP. b) Propriedades da torta e do meio filtrante: Queda de Pressão (atm) Porosidade Média da Torta 0,46 1,10 1,92 2,47 3,34 4,60 5,70 0,73 0,72 0,69 0,67 0,65 0,60 0,59 Resistividade Média da Torta (cm/g) 1,11x1010 1,47×1010 1,61x1010 1,74x1010 1,85×1010 2,23×1010 2,36×1010 Resistência do Meio Filtrante (cm−1) 8,52×108 9,02×108 10,3×108 10,2×108 10,4×108 10,1×108 10,3×108 c) Curva característica da bomba: Q(m3/h) C(m água) 2,0 68 3,6 67 8,4 66 11 63 13 60 15 55 20 35. Resposta: Curva característica da bomba (Q em m3/h): C = 68m, Q ≤ 9 m3/h C = 64,7+1,52Q - 0,149Q2 m de coluna de água Q > 9 m3/h. (35) Propriedades da torta em função da queda de pressão de filtração: < α >= 1, 38 × 1010 ( ∆p) 0,29 cm/g (∆p em atm), (36) < ε >= 0, 744 − 0, 0292 ∆p (∆p em atm). (37) Resistência do meio filtrante: 109 cm−1. Formulação: Resulta da equação (33) da filtração que 136 V=  A∆p  A − µRm  , ∆p = ρ F gC .  µ < α > ρF C  Q  (38) O tempo de filtração e a espessura da torta correspondentes ao volume V de filtrado são dados por V t=∫ 0 l= dV , Q (39) cρFV . [1− < ε >]ρSA Q (m3/h) C (eq.35) (m) 17,7 15,0 10,0 7,0 5,0 3,0 1,0 0,3 44,9 54,0 65,0 68,0 68,0 68,0 68,0 68,0 (40) ∆p (atm) 4,49 5,40 6,50 6,80 6,80 6,80 6,80 6,80 <α> (eq.36) (cm/g) <ε> (eq.37) 1/Q (h/m3) V (eq.38) (l) t (eq.39) (s) 2,13×1010 2,25×1010 2,37×1010 2,41×1010 2,41×1010 2,41×1010 2,41×1010 2,41×1010 0,61 0,59 0,55 0,55 0,54 0,54 0,54 0,54 0,0565 0,0667 0,100 0,143 0,200 0,333 1,00 3,33 0 7,8 27,8 49,6 77,4 140 458 1570 0 1,7 7,7 17,3 30,4* 81,1* 788* 9180* l (eq.40) (mm) 0 0,2 0,5 1,0 1,5 2,7 8,7 29,7 A tabela mostra que após apenas 17,3 s, correspondendo ao volume de filtrado de 49,6L, a filtração prossegue a queda de pressão constante. Nesta situação, desprezando a resistência oferecida pelo meio filtrante, t − t0 = µ < α > ρF C 2 2 A ∆p (V 2 ) − V02 , onde t0 = 17,3s e V0 = 49,6 L . Os valores do tempo de filtração assinalados na tabela foram calculados através desta última equação. 2. Foram obtidos os seguintes resultados na filtração de uma suspensão aquosa de carbonato de cálcio (50 g de sólido/L de água) em filtro-prensa piloto operando com apenas um quadro, dimensões nominais 6×6×1¼ in (valores efetivos 15,1×15×3,2 cm), a 25ºC e queda de pressão 2,72 atm. Determinar a resistividade e porosidade médias da torta, <α> e <ε>, e a resistência do meio filtrante Rm a partir dos dados reunidos na tabela que se segue. A densidade do carbonato de cálcio é 2,7 g/cm3 e a relação entre massa de torta e massa de torta seca é 1,60. 137 Tempo de Filtração (s) 18,0 40,7 108 160 321 467 550 638 833 943 1084 1215 1425 1702 2344 Volume de Filtrado (L) 0,700 1,70 3,70 4,70 7,70 9,70 10,7 11,7 13,7 14,7 15,7 16,7 17,7 18,7 19,7 Resposta: t/V(s/L) A representação gráfica de t/V em função do volume de filtrado 120,0 80,0 40,0 2 Área de filtração: 456 cm ∆p= 2,72 atm 0,0 0,0 4,0 8,0 12,0 16,0 20,0 V(L) mostra que a teoria simplificada da filtração é válida e que: A resistividade média da torta é 7,34×109 cm/g; A resistência do meio filtrante é 2,78x109 cm−1; O volume de filtrado e o tempo de filtração correspondentes ao quadro cheio (final da reta) são respectivamente 14,5 L e 920s . 138 A porosidade média da torta pode ser calculada a partir da relação entre a massa de torta no final da filtração e a massa de torta seca: 0,62. A relação entre os volumes de filtrado e de torta, que depende da natureza do sistema, concentração de sólidos na alimentação e da pressão de operação, pode ser calculada através do gráfico ou por meio da expressão para a concentração de sólidos na alimentação: C= [1− < ε >]vt ρS Vρ F + < ε > vt ρ F = [1− < ε >]ρS V ρF + < ε > ρF vt . Neste problema, V/vt é aproximadamente 20. 3. Foram obtidos os seguintes dados em filtro rotativo de laboratório com 3000 cm2 de superfície filtrante, operando a uma queda de pressão de 0,73 atm. Rpm do tambor Vazão de filtrado (L/min) 0,370 0,719 0,897 1,30 1,47 1,17×10−2 5,00×10−2 12,0×10−2 36,7×10−2 57,0×10−2 Concentração de sólidos na alimentação: 55g de sólido/L de líquido. Ângulo de imersão do tambor: 80º. Relação entre massa de torta e massa de torta seca: 1,85. Propriedades do filtrado: densidade 1 g/cm3 e viscosidade 1,1 cP. Densidade do sólido: 3,1 g/cm3. Determinar a resistividade e a porosidade médias da torta e a resistência do meio filtrante. Resposta: Resistividade média da torta: 1,97x1010 cm/g. Resistência do meio filtrante: 1,37x109 cm−1. Porosidade média da torta: 0,725. 4. Especificar o filtro-prensa com quadros de metal para a filtração de 10 m3/h da suspensão do problema (2). Condições operacionais: 25ºC e 2,72 atm. 1º caso: a torta não requer lavagem. 2º caso: a lavagem deve ser efetuada com volume 2 vezes maior que o volume de torta. Considerar nas duas situações que o tempo de desmantelamento, limpeza e montagem do filtro seja de 20 min. 139 Dados provenientes do Catálogo 59 da T. Shriver & Company (Harrison, N.J., Estados Unidos): Dimensões recomendadas para placas e quadros Área total de filtração (ft2) 5−35 30−100 75−250 150−450 250−700 500−1100 >1000 Dimensão nominal dos elementos (in) 12 18 24 30 36 43 ¼ 48 e 56 Área filtrante efetiva por quadro Dimensão nominal dos elementos (in) 12 18 24 30 36 43¼ 48 56 Área filtrante efetiva por quadro (ft2) Metal Madeira 1,7 0,9 3,9 2,3 7,0 4,8 10,5 7,3 15,6 10,5 22,2 15,1 28,8 19,7 28,4 Resposta: O índice 1 denota a unidade de laboratório e 2 a unidade industrial. Produção de filtrado na unidade industrial: P= (V f )2 (t f )2 + tl + t d . (40) Tempo de filtração na unidade industrial (espessura do quadro, e): t f = BV f2 / A2 140 Vf  2Vf = v t  Ae   2Vf  = 1  Ae   , 2 (Vf / A )2 (Vf / A )1 e = 2 e1 2  (V / A )2   e2  f 2  (t f )1 =   (t f )1 . (t f )2 =   (Vf / A )12   e1  (42) (43) Tempo de lavagem da torta na unidade industrial aparelhada com placas de lavagem (placas com "três botões"): V 1  dV  Q = l =   l tl 4  dt  final da filtração v t = 8β t l  Vf   (t f )2 , β = V / v t . l l (44) Volume de filtrado por ciclo completo na unidade industrial: (Vf )2 = [(t f )2 + tl + t d ]P . (45) Área de filtração da unidade industrial: A2 = A1 (V f )2 e1 . (V f )1 e2 (46) Resulta do problema (2) na filtração a ∆p = 2 , 72 atm e 25ºC: espessura do quadro e1 = 3, 2 cm, área de filtração A1 = 456 cm2, tempo de filtração, (t f )1 = 920 s; volume de filtrado, (Vf )1 = 14,5 L; relação entre volume de filtrado e volume de torta, (Vf / v t )1 = 20 . Produção de filtrado na unidade industrial: P = 9820 L / h . 141 a) A torta não requer lavagem: e2 (in) 1 1¼ 1½ 1¾ 2 3 (t f ) 2 , eq. (43) (t f ) 2 + td (V f ) 2 , eq. (45) (min) 9,79 15,3 22,0 30,0 39,2 88,1 (min) 29,8 35,3 42,0 50,0 59,2 108 (L) 4877 5777 6874 8183 9689 17676 A2 , eq. (46) (m2) 19,2 18,2 18,0 18,4 19,0 23,2 Solução possível: área filtrante, 18m2; espessura dos quadros, 1½ in; dimensão nominal dos elementos, 30 in; número de quadros, 19. b) A torta requer lavagem e2 (in) 1 1¼ 1½ 1¾ 2 3 ( t f ) 2 , eq. (43) (min) 9,79 15,3 22,0 30,0 39,2 88,1 tl , eq. (44) (min) ( t f ) 2 + tl + t d (min) 37,6 47,5 59,6 74,0 90,6 179 7,83 12,2 17,6 24,0 31,4 70,5 (V f ) 2 , eq. (45) (L) 6154 7774 9755 12111 14828 29296 A2 , eq. (46) ( m2 ) 24,2 24,4 25,6 27,2 29,1 38,4 Solução possível: área filtrante, 25,6m2; espessura dos quadros, 1½ in; dimensão nominal dos elementos, 30 in; número de quadros, 27. 5. Especificar o filtro rotativo a vácuo a partir dos dados obtidos em filtro-folha de laboratório com suspensão aquosa de carbonato de cálcio, 50 g de sólido/L de suspensão. Densidade do carbonato de cálcio: 2,7 g/cm3. Queda de pressão no filtro: 600 mm Hg. Temperatura de operação: 28ºC. Produção de filtrado: 10000 L/h. Resultados obtidos no filtro-folha operando com a mesma suspensão, nas mesmas condições operacionais indicadas e área filtrante 133 cm2: Tempo de filtração para se obter uma torta com 6 mm de espessura (volume de filtrado 950 cm3), 163 s; Tempo de lavagem da torta (volume de água de lavagem 160 cm3), 130 s; Tempo de secagem (obtém-se um produto com 81% de sólido em massa), 150 s; Tempo estimado para a descarga da torta e limpeza do meio filtrante, 10 s. 142 Dimensões padrões de filtros a vácuo Dorr-Oliver Diâmetro do tambor, ft 6 8 10 12 4 76 6 113 8 151 200 Área da superfície do filtro, ft2 Comprimento, ft 10 12 14 16 18 20 189 226 250 300 350 400 310 372 434 496 558 620 456 532 608 684 760 22 24 836 912 (Perry, H.R. e Chilton, C.I., "Manual de Engenharia Química", 5ª edição traduzida, Guanabara Dois, Rio de Janeiro, p. 19-72, 1980) Resposta: Sendo o tempo de um ciclo completo 453 s, resulta que a rotação do tambor deve ser 0,132 rpm. A fração submersa é 163/453 e, portanto, o ângulo de imersão é 130º. Produção de filtrado por unidade de área filtrante: 570 (L/m2h). Especificação do filtro considerando um fator de segurança de 20% no cálculo da área: diâmetro do tambor, 6 ft; comprimento do tambor 12 ft. 6. Deseja-se filtrar uma suspensão altamente viscosa em filtro-folha, a pressão constante. A adição do solvente MK-X acarreta uma diminuição na viscosidade do filtrado levando ao valor µ = 0,63F −4 ,48 P, onde F é a fração volumétrica do solvente no filtrado. Filtrando em cada ciclo o volume original de suspensão, determinar o valor de F que conduz ao ciclo mais curto. Desprezar a resistência do meio filtrante e admitir que o solvente não afete a densidade do filtrado. Resposta: Equação da filtração: t = BµcV 2 , B = <α>ρ 2 A2 ∆p . Volume de filtrado por ciclo: V = V0 / (1 − F ) , onde V0 é o volume de filtrado isento de solvente. Concentração de sólido na suspensão a ser filtrada: C = (1 − F ) M / V0 , onde M é a massa de sólido seco na torta. Valor de F que conduz ao ciclo mais curto: 0,82. 143 7. A usina de beneficiamento de caulim Cellini de Mar de Espanha, MG, opera com uma bateria de filtros-prensa constituída por 210 quadros de 30 in (área filtrante efetiva por quadro 10,5 ft2) e 2 in de espessura. A produção de torta é de 5,8 ton/h, sendo, para cada ciclo, o tempo de filtração 55 min e o de desmantelamento, limpeza e montagem 20 min. O Sr. Cellini deseja aumentar a produção em 30% e, ao mesmo tempo, melhorar a qualidade de seu produto através da lavagem da torta com um volume de líquido de lavagem igual ao de torta. Sabe-se ainda, através de experiências conduzidas em laboratório, que nas condições operacionais a relação entre os volumes de filtrado e de torta é 9. Considerar que nas novas instalações o tempo de desmantelamento, limpeza e montagem é também de 20 min e que a operação do sistema aumentado se fará à mesma queda de pressão que no sistema inicial. Resposta: Usando o mesmo procedimento apresentado no problema (4), resulta que o número de quadros adicionais é 242. 8. O ferro-velho de Maria da Graça dispõe de um filtro-prensa Shriver de metal, completo: placas e quadros de 30", 20 quadros de 2" de espessura (área filtrante por quadro, 10,5 ft2). Determinar a capacidade do filtro operando com uma suspensão aquosa de carbonato de bário (70 g de sólido/L de água) a 30ºC e com uma queda de pressão de 65 psi. A lavagem da torta, realizada nas mesmas condições que na filtração, deve empregar um volume de água de lavagem 1,5 vez o volume de torta. O filtro está aparelhado com placas de “3 botões”. O tempo de desmantelamento, limpeza e montagem é estimado em 20 min. Testes de laboratório conduzidos a 30ºC e 65 psi em um único quadro com 1¼" de espessura e área filtrante de 456 cm2 levaram aos seguintes resultados: Tempo de filtração e volume de filtrado na situação de quadro cheio, 18 min e 14L; Relação entre massa de torta e massa de torta seca, 1,5. A densidade do carbonato de bário é 4,1 g/cm3. Resposta: Porosidade média da torta: 0,67. Relação volume de filtrado-volume de torta: 19,2. Volume de filtrado produzido em um ciclo completo da unidade industrial: 9,52×103 L. Tempo de filtração por ciclo: 46,1 min. Tempo de lavagem da torta: 28,8 min. Produção de filtrado: 6020 L/h. Produção de sólido seco: 421 kg/h. 9. Deseja-se filtrar uma suspensão em filtro de tambor rotativo a vácuo de 2 m de diâmetro e 2 m de comprimento. A suspensão apresenta 18% em massa de sólido e as propriedades físicas do sistema são: densidade do fluido 1 g/cm3, viscosidade do fluido 0,8 cP e densidade do sólido 2,3 g/cm3. 144 O filtro industrial deve operar com uma queda de pressão de 25 in Hg, com um ângulo de submersão de 145º. A espessura final da torta deve ser de 5 mm. Pede-se: a) O número de rotações por minuto do cilindro; b) A produção de filtrado. Ensaios de laboratório conduzidos com esta mesma suspensão em filtro-folha de 200 cm2 de área filtrante, queda de pressão de 25 in Hg, levaram a tortas com 63% de porosidade e à seguinte relação entre tempo de filtração e volume de filtrado: Tempo de filtração (min): 1 2 3 Volume de filtrado (cm ): 300 440. Resposta: Volume de filtrado por ciclo: 297L. Tempo de filtração por ciclo: 345s. Rpm do tambor: 0,174. Produção de filtrado: 3100 L/h. 10. Calcular a área do filtro gravitacional para o tratamento de uma suspensão aquosa de rejeito industrial de pequena fábrica da Baixada Fluminense. O filtro tem 1m de altura. Critério: O tempo de filtração deve conduzir à produção máxima, P= Vf t f + td , dP = 0. dt f Capacidade: 500 kg de sólido/dia (10 horas de operação). Propriedades do sistema: densidade do fluido 1 g/cm3, viscosidade do fluido 0,8 cP, densidade do sólido 1,9 g/cm3. Concentração da suspensão: 70 g de sólido/L de água. Propriedades da torta: porosidade 0,6 e permeabilidade 8×10-9 cm2. Tempo de desmantelamento do filtro, retirada da torta e montagem: 30 min. A torta é pouco compressível e a resistência do meio filtrante pode ser desprezada em relação à resistência da torta. 145 Resposta: O tempo ótimo de filtração é igual ao tempo de desmantelamento limpeza e montagem do filtro. Portanto, o tempo ótimo do ciclo é 60 min. Volume de filtrado por ciclo: 714 L. Área de filtração: 1,14 m2. Espessura da torta no final do ciclo: 6 cm. 11. No filtro concentrador contínuo e pressurizado Hirondelle a superfície filtrante fica submersa na suspensão e a torta é dela retirada por meio de raspador rotativo de 2 facas. Sabendo-se que o filtro opera a pressão constante, estabelecer a relação entre a concentração da suspensão espessada e: a capacidade do filtro, a pressão de operação, propriedades da alimentação, características da torta, dimensões do elemento filtrante e velocidade do raspador. 146 Resposta: 1 µ  < α > Pρ F C  = + Rm  ,  2 P A∆p  2 AN  ( ) onde P é a produção de filtrado L3 / θ , N o número de rotações por unidade de tempo e C a concentração média da suspensão no interior da carcaça do filtro. 12. Calcular o diâmetro e a altura do sedimentador Dorr-Oliver para operar com 30 m3/h de suspensão aquosa de cal. Dados: concentração de sólido na alimentação 0,08 g/cm3 de suspensão, concentração de sólido no lodo 0,25 g/cm3 de suspensão, densidade da cal 2,2 g/cm3 e temperatura 25ºC. Ensaio de aproveta a 25ºC (0,08 g/cm3 de suspensão): Distância da interface clarificada ao fundo da proveta, z (cm) 40 32,8 25,5 18,8 14,2 11,2 9,6 6,6 5,2 4,0 Tempo de sedimentação, θ (min) 0 35 40 45 5 10 15 20 147 25 30 Cálculo da capacidade (método de Kynch) e da altura do sedimentador (Damasceno e Massarani, 1993): Ensaio de proveta z z0 ponto crítico z0 ca z0 cl z(t) tmin t >0 t tr Capacidade de projeto z  F = 0 .    A  proj. tmin Altura da região de compactação (balanço de massa) Hc = 4 Fca t r ρS − ρF . 3 AρS ρ − ρF l Nomenclatura A c F Hc t tmi tr - Área da seção transversal do sedimentador ( L2 ) . - Concentração de sólido na suspensão (M sólido/L3 suspensão). - Vazão de suspensão na alimentação (L3/θ). - Altura da região de compactação ( L ) . - Tempo de sedimentação (θ) . - Tempo assinalado na curva de sedimentação ( θ) . - Tempo de resistência da partícula sólida na região de compactação (θ) . 148 z - Distância entre a interface inferior da região clarificada e a base da proveta ( L ) . ρ - Densidade da fase ( M / L3 ) . Índices: a F l - Alimentação do sedimentador; - Líquido; - Lodo que deixa o sedimentador; S - Sólido. Resposta: Diâmetro do sedimentador: 6,1 m. Altura do sedimentador: 1,3 m, incluindo 0,6 m para a separação do “extravasante” e 0,45 m levando em conta a inclinação do fundo. 13. A indústria de papel Bananal Paulista estuda a possibilidade da utilização de um sedimentador Dorr-Oliver com 23 m de diâmetro e 3 m de altura para o tratamento de licor negro. Calcular a capacidade do sedimentador para as seguintes condições operacionais: 6,7 g/L a concentração de sólidos na alimentação e 19 g/L a concentração de sólidos no lodo. Densidade do sólido, 2,8 g/cm3. Temperatura: 25ºC. Ensaio de proveta a 25ºC (6,7 g/L de suspensão): z(cm) θ(min) 30 0 26,5 23,2 16,6 13,5 12,4 11,2 10,4 10,2 2,5 5 10 15 20 30 50 70. Resposta: A altura do sedimentador não é o fator limitante; a capacidade recomendada é da ordem de 160 m3/h de alimentação. 14. Deseja-se estimar a capacidade de um sedimentador lamelado no tratamento de uma suspensão floculenta de hidróxido de alumínio: concentração inicial 4,5 g/L e concentração final 22 g/L. O sedimentador funciona em contacorrente com 30 lamelas ativas, 1,80x2,00 m, espassamento 6 cm e inclinação de 60º com a horizontal. Ensaio de proveta (4,5 g/L de suspensão): z(cm) θ(min) 35 0 32,2 27,4 20,6 16,2 11,2 3 7 13 18 25 8,5 30 149 6,4 35 5,0 40 4,2 45. O procedimento para o cálculo da área de sedimentação do sistema lamelado é o mesmo do sedimentador Dorr-Oliver, devendo-se considerar a soma das áreas projetadas das lamelas ativas na horizontal. Resposta: Área de sedimentação: 54 m2. Capacidade do sedimentador lamelado: 35 m3/h de alimentação. Bibliografia Damasceno, J.J.R., “Uma Contribuição ao Estudo do Espessamento Contínuo”, Tese de D.Sc., Programa de Eng. Química, COPPE/UFRJ, 176 p. (1992). Damasceno, J.J.R. e Massarani, G., “Projeto e Análise do Desempenho de Sedimentadores Contínuos”, Ciência & Engenharia/UFU, ano 2, nº 2, 61-76 (1993). França, S.C.A., “Operação de Espessadores Não-Convencionais”, Tese de M.Sc., Programa de Engª Química, COPPE/UFRJ, 53 p. (1996). Massarani, G., “Filtração”, Revista Brasileira de Tecnologia, número especial, 69 p. (1985). Massarani, G., Silva Telles, A. e Damasceno, J.J.R., “Evaluation of the CompressionPermeability Behavior of Sediments Subjected to Small Deformations”, Anais do 6th World Filtration Congress, Nagoya, Japão, maio, 91-95 (1993). Shirato, M., Sambuichi, M. e Murase, T., “Hydraulic Pressure Distribution in Filter Cakes Under Constant Pressure Filtration”, Memoir of the Faculty of Engineering, Nagoya University, vol. 16, nº 1 e 2, 68-79 (1964). Silva Telles, A., Cohen, B.M., Massarani, G. e Leite, M.S., “Filtração a Pressão Constante”, Anais do I ENEMP, Rio de Janeiro, 7 p. (1973). 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Churchill, S.W. 47, 77 Grodzinski, P. 37 Gubulin, J.C. 105 Hackenberg, C.M. 15 Haider, A. 16 16 Inghan, D.B. 48 Clark, N.N. 31 Kelly, P.D. Clift, R. Krauss, M.N. 29 65 110 Coelho, G.L.V. 113 Lapple, C.E. Coelho, R.M.L. Larerack, S.D. 48 Cohen, B.M. 129 Laruccia, M.B. 32 Concha, F. Leite, M.S. 17 16, 24, 48 17 129 Coulson, J.M. 75, 88 Leith, D. Crochet, M.J. 65 Levenspiel, O. Damasceno, J.J.R. Darcy, H. 29 96, 125, 133, 148 Licht, W. 67 48 48 Lightfoot, E.N. Löffler, F. 48 151 16 14, 44, 46 Marchildon, E.K. Massarani, G. Silva Telles, A. 31 31, 65, 67, 68, 91, 112, 17, 24, 25, 31, 49, 67, 68, 123, 129 69, 73, 74, 76, 91, 101, 102, Smith, G.F. 68 104, 105, 106, 112, 113, Sobreiro, L.E.L. 114 123, 129, 132, 133, 148 Stewart, W.E. Michaels, A.S. 35 14, 44, 46 Stokes, C.R. 9 Mizrahi, J. 24 Svarovski, L. Mothes, H. 48 Tiller, F.M. 128, 134 Tobinaga, S. 79, 80 65 Müller, I. 65 Munroe, B. 21 Truesdell, C. Murase, T. 127 Turton, R. Naghdi, P.M. 65 Pereira, C.M.S. Perry, R.H. Politis, T. Weber, M.E. 81 49 Zaki, W.N. 47, 77 Pettyjohn, E.S. 15 24 Polubarinova-Kochina, P.Ya. 69 Renganathan, K. 31 Restini, C.V. 106, 111 Richardson, J.F. Samarco 23, 28, 75, 88 112 Sambuichi, M. 129 Santana, C.C. 27, 73, 105, 109, 111, 113 Scheidegger, A.E. Schwarz, W.H. 31 Shepherd, C.B. 17 Shirato, M. Silva, E.M.V. 31 Wasp, E.J. Norton Chem. Proces. Products 68, 80 129 111 152 48, 58 110 29 23, 28