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TELECOMUNICAÇÕES
Geometria Espacial Prof. : Filardes Freitas E-MAIL:
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[email protected] São Luis 2011
Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço, onde estudamos as figuras que possuem mais de duas dimensões, essas figuras recebem o nome de sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais, são conhecidas como: prisma, pirâmides, cone, cilindro, esfera. •Prisma: caixa de sapato, caixa de fósforos. •Cone: casquinha de sorvete. •Cilindro: cano PVC, canudo. •Esfera: bola de isopor, bola de futebol.
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Nesta primeira vídeoaula abordaremos os capítulos 1 e 2 que tratam de conceitos, postulados da geometria posicional que nos darão suporte para resolvermos diversas situações– problemas que envolvem os sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais. • CONCEITOS PRIMITIVOS E POSTULADOS
• POLIEDROS
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CONCEITOS PRIMITIVOS E POSTULADOS Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição. As representações de objetos geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma: • Pontos são representados por letras maiúsculas latinas, A, B, C, D, etc. • Retas são representadas por minúsculas latinas, r, s, t, u, v, x, etc
letras
• Planos são representados por letras gregas minúsculas. Plano alfa, beta, gama, etc. Prof.: Filardes Freitas
Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta.
Semi-retas um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semiretas que são denominadas semiretas opostas.
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Segmentos consecutivos dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro.
Segmentos colineares dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta suporte.
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Segmentos congruentes são aqueles que têm as mesmas medidas. Na figura abaixo, AB e CD são congruentes. A congruência entre os segmentos AB e CD é denotada por AB~CD, onde “~” é o símbolo de congruência.
Postulado da existência a) Existe reta e numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. b) Existe plano e num plano, bem como fora dele, uma infinidade de pontos.
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Postulado da determinação a) Dados dois pontos distintos do espaço, existe uma, e somente uma, reta que os contém.
b) Dados três pontos não colineares do espaço, existe um, e somente um plano que os contém.
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PRATICANDO Exemplo: 01
Exemplo: 02
Faça a representação gráfica das semi-retas AB e AC que estão sobre a mesma reta suporte r e que são infinitas e têm sentidos contrários.
Dados três pontos A, B e C não colineares, identifique quantas retas existem passando cada uma por dois destes três pontos.
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Postulado da Inclusão Se uma reta possui dois de seus pontos em um plano, ela está contida no plano.
Retas concorrentes Duas retas são concorrentes se, e somente se, elas têm um único ponto comum.
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Retas paralelas
Retas reversas
Duas retas são paralelas se, e somente se, ou são coincidentes ou são coplanares e não têm ponto comum.
Duas retas são chamadas reversas se, e somente se, não existe plano que as contenha.
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Plano
Existem quatro maneiras de se determinar um plano, são elas: • • • •
por três pontos não colineares; por uma reta e ponto fora dela; por duas retas concorrentes; por duas retas paralelas distintas.
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Paralelismo e posições relativas entre reta e plano As relações de paralelismo entre retas, retas e planos e entre planos, podem ocorrer em diversas situações nas quais podem ser deduzidas a partir do paralelismo de outras retas e planos. Algumas delas são:
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Perpendicularismo As relações de perpendicularismo entre retas, retas e planos e entre planos, podem ocorrer em diversas situações nas quais podem ser deduzidas a partir do perpendicularismo de outras retas e planos. Algumas delas são:
Obs.: Se duas retas r e s formam ângulo reto, então elas são perpendiculares ou ortogonais, (Notação: ⊥ ).
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Projeções Projeção é o processo pelo qual se incidem raios sobre um objeto em um plano chamado plano de projeção. A projeção do objeto é sua representação gráfica no plano de projeção. Como os objetos têm três dimensões, sua representação num plano bidimensional se dá através de alguns artifícios de desenho, para tanto, são considerados os elementos básicos da projeção: • plano de projeção; • Objeto; • raio projetante; • centro de projeção.
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PRATICANDO Exemplo: 03 Assinale verdadeiro ou falso para as afirmações abaixo. ( V ) Duas retas concorrentes têm um único ponto em comum. ( V ) Duas retas perpendiculares têm um único ponto em comum. ( F ) Duas retas que não têm ponto comum são reversas. ( V ) Duas retas coplanares ou são paralelas ou são concorrentes. ( V ) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então eles têm uma reta comum que passa pelo ponto. ( F ) Dois planos secantes têm interseção vazia. ( V ) Se duas retas forma um ângulo reto, então elas são perpendiculares. ( V ) A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é um ponto. ( F ) A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta. Prof.: Filardes Freitas
Poliedros são os sólidos mais elementares da Geometria de concepção humana. Basicamente, um poliedro começa desde um plano e vai até um n-edro. Diedros são poliedros limitados por apenas dois planos. Estes planos inteceptam-se em uma reta da qual todos os pontos desta reta estão contidos em ambos os planos.
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Triedros podemos dizer com segurança que duas paredes da sala de aula, se se interceptando e interceptando o chão, então isto é um triedro. Triedro é a intersecção entre três planos, tendo em comum entre eles as três retas resultantes mais todos os pontos contidos nestas retas.
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DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO Diz-se poliedro todo sólido limitado por polígonos planos. Os polígonos, chamados faces do poliedro, são colocados lado a lado, não pertencentes ao mesmo plano, definindo um trecho fechado no espaço. Os poliedros são divididos em três grupos: • • •
os regulares (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro) os semi-regulares (tetratroncoedro, cuboctatroncoedros, dodecaicositroncoedros). os irregulares (pirâmides e prismas).
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Os poliedros também se classificam em: • •
convexos côncavos
Obs.: Uma região do plano se diz não convexa quando o segmento de reta, ligando dois pontos quaisquer da figura, não estiver totalmente contido nela, caso contrário ela é cônvexa.
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Poliedros regulares convexos e estrelados • Convexos: tetraedro (quatro faces), hexaedro (seis faces), octaedro (oito faces), dodecaedro (doze faces) e icosaedro (vinte faces) .
•
Estrelados
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Relação de Euler Para todo poliedro convexo, ou para sua superfície, vale a relação muito importante entre o número de faces (F), vértices (V) e arestas (A) desse poliedro convexo.
V– A + F = 2
A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo em que V é o número de vértices e r é um ângulo reto é dado por:
S = (V – 2).4.r
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PRATICANDO Exemplo: 04
Exemplo: 05
Classifique os polígonos a seguir em convexos ou côncavos.
Um poliedro convexo tem 6 vértices e 12 arestas. Quantas faces tem?
V– A + F = 2 Convexo
⇒ 6– 12 + F = 2 ⇒ F–6=2 ⇒ F=8
Côncavo Prof.: Filardes Freitas
Poliedros de Platão Um poliedro é chamado poliedro de Platão se, e somente se, satisfaz as três seguintes condições: • • •
todas as faces têm o mesmo número n de arestas. todos os ângulos poliédrico têm o mesmo número m de arestas. Vale a relação de Euler V + F – A = 2.
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PRATICANDO Exemplo: 06 Um poliedro convexo tem 9 faces, sendo 7 quadrangulares e 2 triangulares. Quantos são seus vértices?
Primeiro vamos achar o número de arestas.
9 Faces ⇒
7 quadrang.
⇒ A = 7.4 = 28
2 triang.
⇒ A = 2.3 = 6 ⇒
V– A + F = 2
2A = 34 ⇒
A = 17
⇒ V– 17 + 9 = 2 ⇒ V–8=2 ⇒
V = 10
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PRATICANDO Exemplo: 07 A bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa de 1970 foi inspirada em um conhecido poliedro convexo ( descoberto por Arquimedes) formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Pergunta-se quantos vértices possui tal poliedro.
32 Faces ⇒
12 pentagonais ⇒ A = 12.5 = 60 20 hexagonais
⇒ A = 20.6 = 120 ⇒
V–A+F=2
2A = 180 ⇒ A = 90
⇒ V– 90 + 32 = 2 ⇒ V – 58 = 2 ⇒
V = 60
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PRATICANDO Exemplo: 08 Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas tem de cada espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 retos?
2A =3F3 + 7F7 ⇒ 56 = 3F3 + 7F7 (1) S = (V – 2).4.r ⇒ 64r = (V – 2).4r ⇒ 16.4r = (V – 2).4r ⇒ 16 = (V – 2) ⇒ V = 18 V – A + F = 2 ⇒ 18 – 28 + F = 2 ⇒ F = 12 ⇒ F3 + F7 = 12 (2) De (1) e (2) vem: F3 = 7 e F7 = 5
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SITUAÇÃO - PROBLEMA
Exemplo: 09 Suponha que o volume da terra acumulada no carrinho-de-mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura abaixo, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo. o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho em decímetros cúbicos é igual a:
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Para resolvermos este problema precisaremos recorrer ao volume de um prisma e de uma pirâmide temas que trataremos no próximo capítulo, mas iremos discutir os seus procedimentos.
O plano que contém a base do paralelepípedo é coincidente com o plano da base da pirâmide, cuja área vale:
Área da base = 100cm x 60cm = 6000 cm2 Volume do paralelepípedo = 100cm x 60cm x40cm = 240000 cm3 = 240dm3 Volume do pirâmide = 1/3[6000 cm2 x 30cm] = 60000 cm3 = 60dm3 O volume médio de terra que Hagar acumulou em 20 anos foi: 300dm3
Ao ano foi [300 : 20] = 15 ou seja, 15dm3 Prof.: Filardes Freitas
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS • Qual é a quantidade de volume que um sólido ocupa no espaço? Essa é uma das principais perguntas quando desenvolvemos trabalhos com sólidos geométricos. • Quando se determina a área de um sólido, ou o seu volume, na verdade estamos estabelecendo paralelos para comparar unidade de área ou de volume, que se traduz em um valor numérico.
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Um pouco mais de história dos sólidos O volume de alguns sólidos são tratados por Euclides no Livro XII dos Elementos. Euclides sabia calcular os volumes do prisma, do cilindro, do cone e da pirâmide, mas não apresentou uma fórmula do volume da esfera. Arquimedes (287 a 212 a.C.) foi o primeiro a efetuar, com rigor e elegância, o cálculo do volume da esfera no livro Superfície e volume do cilindro e da esfera. No entanto, esses métodos desenvolvidos pelos matemáticos antigos eram pouco eficazes. O método mais eficiente e geral que se usa hoje em dia para obter fórmulas do volume dos chamados “Três corpos redondos” (cilindro, cone e esfera) é o cálculo infinitesimal, com a integração de funções elementares. O cálculo foi desenvolvido na segunda metade do século 17, por Newton e Leibniz, a partir de trabalhos iniciais de Fermat e Descartes.
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Um pouco mais de história dos sólidos
No começo do século 17, o padre italiano Bonaventura Cavalieri, discípulo de Galileu, deu um passo importante na mesma direção com seu livro “Geometria dos Indivisíveis”. Ali está enunciado seu princípio. Cavalieri considerava uma região plana como formada por cordas paralelas e um sólido como constituído de placas planas paralelas.
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PRISMAS O prisma é um poliedro irregular compreendido entre dois polígonos iguais e paralelos, e cujas faces laterais são paralelogramos. Os dois polígonos iguais e paralelos são as bases do prisma; o número de faces laterais é igual ao número dos lados das bases.
r β
α
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ELEMENTOS DOS PRISMAS • • • •
Bases: polígonos convexos. Faces laterais: os lados do polígono. Arestas da base: os lados dos polígonos. Altura: distância entre os planos paralelos. F’
O prisma tem dois tipos de arestas
E’
A’
D’ C’
B’
arestas das bases (AB, A’B’, ..., FA, F’A’). arestas laterais (AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).
F
E
A
D B
C Prof.: Filardes Freitas
ELEMENTOS DOS PRISMAS
F’
E’
A’ D’ C’
B’
h E
F A
D B •
C
A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima. Prof.: Filardes Freitas
CLASSIFICAÇÃO DOS PRISMAS Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que constitui suas bases. Polígonos das bases
Prisma
triângulo
P. triangular
quadrado
P. quadrangular
pentágono
P. pentagonal
hexágono
P. hexagonal
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EXEMPLOS DE PRISMAS
Hexaedro Octaedro
Eneaedro Heptaedro
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Um prisma pode ser classificado, também, pela posição das arestas laterais em relação ao plano da base. prisma reto, se as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; prisma oblíquo, se as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. Nos prismas retos, as arestas laterais são alturas e as faces laterais são retângulos.
h h
Prisma triangular reto
Prisma Pentagonal oblíquo
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PRISMAS REGULARES Todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares é chamado de prisma regular. B A
C
O prisma é reto e ABC é triângulo eqüilátero
⇒
⇒
Prisma triangular regular
O prisma é reto e a Base é hexágono regular Prisma hexagonal regular Prof.: Filardes Freitas
ÁREAS E VOLUME DE UM PRISMA Vamos aprender a calcular áreas e volumes em prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar prismas retos em que As arestas laterais são alturas; As faces laterais são retângulos; Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos; Área da base (AB) – Área do polígono da base; Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases.
B A
C
AT = AL + 2AB V = AB.h Prof.: Filardes Freitas
PRATICANDO Exemplo: 01 A figura a seguir mostra um prisma triangular reto, com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a área total desse prisma. AL = 3.6 + 4.6 + 5.6 AL = 18 + 24 + 30
= 72 cm2
AB = (3.4)/2 = 6 cm2
6cm 4cm 3cm 5cm
AT = AL + 2.AB AT = 72 + 2.6
= 84cm2
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PRATICANDO Exemplo: 02 Num prisma hexagonal regular, a altura mede 6 m e a área de cada base é 24√3 m2. Achar sua área lateral. O polígono da base é composto por seis triângulos eqüiláteros A = 24√3 ⇒ x2 = 16
6m
x
⇒
6.x2√3 4
= 24√3
⇒ x=4
Af = b.h
⇒ Af = 4.6 = 24m2
AL = 6.Af
⇒ AL = 6.24 = 192 m2 Prof.: Filardes Freitas
PRISMAS QUADRANGULARES - CUBO Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou hexaedro regular. Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou hexaedro regular.
a → medida de cada uma das arestas
D
d → diagonal da face
a d
a
D → diagonal do cubo
a Prof.: Filardes Freitas
DIAGONAIS DO CUBO Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta.
D2 = a2 + d2
D a d
a a
d2 = a2 + a2
D
a
⇒ D = a2 + 2a2
a ⇒ D = 3a2
a a
d a
⇒ D = a√3
⇒ d = 2a2 ⇒ d = a√2
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Área da superfície total e volume do cubo Planificando a superfície total de um cubo de aresta a, obtemos a figura.
a a
a
a a a
AT =
6a2
a
V = a3
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PRATICANDO Exemplo: 03 A área da superfície total de um cubo é 54 cm2. Obter a medida da diagonal da face e da diagonal do cubo?
AT = 6a2
⇒ 6a2 = 54
d = a√2
⇒ d = 3√2 cm
D = a√3
⇒ D = 3√3
⇒ a2 = 9
⇒ a=3
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PRISMAS QUADRANGULARES – PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO O paralelepípedo retângulo é um prisma quadrangular. Suas faces são duas a duas congruentes.
a, b e c → As dimensões do paralelepípedo.
b c a
Suas doze arestas são quatro a quatro congruentes. As medidas dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.
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Diagonal do paralelepípedo Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento cujos extremos são dois vértices não-pertencentes a uma mesma face.
D
c b
d a
d2 = a2 + b2 D2 = a2 + b2 + c2
e
D2 = d2 + c2 ⇒ D = √a2 + b2 + c2
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Área da superfície total e volume do paralelepípedo Planificando a superfície total de um paralelepípedo de dimensões a, b e c obtemos a figura. a
b c bc
ab ac
bc
b c a
ab
AT = 2ab + 2ac + 2bc
ac AT = 2(ab + ac + bc) V = a.b.c Prof.: Filardes Freitas
PRATICANDO Exemplo: 04 A área da superfície total de um paralelepípedo é 248 cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5. Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?
As dimensões a, b e c são proporcionais a 2, 3 e 5 indica que a = 2k, b = 3k e c = 5k. AT = 248 ⇒ 2(ab + ac + bc) = 248 :(2) ⇒ ab + ac + bc = 124 ⇒ 2k.3k + 2k.5k + 3k.5k = 124 ⇒ 6k2 + 10k2 + 15k2 = 124 ⇒ 31k2 = 124 ⇒ k2 = 4 ⇒ k = 2
Logo a = 4, b = 6 e c = 10. D = √42 + 62 + 102 D = √16 + 36 + 100 D = √152 D = 2√38 Prof.: Filardes Freitas
PRATICANDO Exemplo: 05 Uma caixa d’água tem forma de paralelepípedo retângulo. Suas dimensões internas são 1,2 m, 2,5 m e 0,8 m. Obter sua capacidade, em litros?
A capacidade de uma caixa é o volume de água que cabe nela.
V = abc
= 1,2 . 2,5 . 0,8 = 2,4 m3
Sabemos que 1 m3 = 1 000 dm3 e que 1 L = 1 dm3. V = 2 400 dm3 = 2 400 L
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PIRÂMIDES A pirâmide é considerada um dos mais antigos sólidos geométricos construídos pelo homem. Uma das mais famosas é a pirâmide de Quéops, construída em 2.500 a.C., com 150 m de altura, comparado com nossas construções atuais equivaleria aproximadamente a um prédio de 50 andares.
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DEFINIÇÃO Consideremos um polígono convexo situado num plano α e um ponto V fora dele, chama-se pirâmide à reunião dos segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos do polígono. V é o vértice e o polígono é denominado de base da pirâmide. V
α
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ELEMENTOS DA PIRÂMIDE A pirâmide tem dois tipos de faces e dois tipos de arestas V
A base (polígono ABCDEF). As faces laterais (triângulos). arestas da base (AB, BC, CD, DE, EF e FA).
h
arestas laterais(VA, VB, VC, VD, VE e VF ).
F
E
A
α D
B
C
Superfície total da pirâmide é a união da base com a superfície lateral. A distância h do vértice ao plano da base é a altura da pirâmide. Prof.: Filardes Freitas
CLASSIFICAÇÃO Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono que constitui sua base.
Polígono da base
Pirâmide
triângulo
P. triangular
quadrado
P. quadrangular
pentágono
P. pentagonal
hexágono
P. hexagonal
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PIRÂMIDE REGULAR Pirâmide regular é aquela em que A base é um polígono regular; A projeção do vértice sobre o plano da base é o centro dessa base. As arestas laterais são congruentes. Como conseqüência as faces laterais são triângulos isósceles, congruentes entre si. V V
h
h
Pirâmide hexagonal regular
O O
Pirâmide quadrangular regular Prof.: Filardes Freitas
SEGMENTOS IMPORTANTES V
VO = h, altura; VA = a, aresta lateral; AB = b, aresta da base; OM = m, apótema da base;
p
h
a
OA = r, raio da base;
B
VM = p, apótema pirâmide;
m
O
M r A
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b
RELAÇÕES PITAGÓRICAS IMPORTANTES
V
a2 = h 2 + r 2 h
a
O r A Prof.: Filardes Freitas
RELAÇÕES PITAGÓRICAS IMPORTANTES V
p2 = h2 + m2 p
h
B O m
M
A
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RELAÇÕES PITAGÓRICAS IMPORTANTES V
a2 = p2 + (b/2)2 p a B M b/2 A
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ÁREAS Denomina-se área lateral de uma pirâmide à soma das áreas das suas faces laterais que indicaremos em nossos problemas por AL. A área da pirâmide, ou área total AT, é a soma da área lateral com a área da base AB, logo:
AT = AL + AB
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VOLUME O volume de qualquer pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura.
V=
1 3
AB.h
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PRATICANDO Exemplo: 06 A base de uma pirâmide é um quadrado de 4 m de lado. Sabendo-se que a altura da pirâmide mede 10 m, determinar o volume da pirâmide.
AB = 4m.4m = 16m2
V=
1 3
.16.10 = 53,3 m3
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SITUAÇÃO - PROBLEMA Exemplo: 07 Um engenheiro desenvolveu, em um projeto, um pilar de concreto de uma obra civil. O pilar apresenta a forma de um prisma hexagonal regular, cuja aresta da base é de 2m e a altura 8m. Determine: a) o volume de concreto necessário para encher o pilar; b) a área lateral do pilar.
8m
2m Prof.: Filardes Freitas
SITUAÇÃO - PROBLEMA
O polígono da base é composto por seis triângulos eqüiláteros 2m
8m AB = 6ATriangulo =
6.22√3 4
= 6√3 = 6.1,7 ≈ 10,2m2
V = AB.h = 6√3 . 8 = 48.1,7 ≈ 81,6m3
2m
AL = 6.AF = 96 m2 Prof.: Filardes Freitas
AT= AL + 2AB= 96 + 2. 6√3 = 96 + 20,4 ≈ 116,4m2
CILINDRO E CONE
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Um pouco de "Arquimedes" Arquimedes - ( 287 - 212 a.C. ) por muitos considerado o maior matemático de todos os tempos, foi o original inventor de métodos novos em geometria, todos de extraordinário engenho. Desenvolveu a teoria das alavancas, fundou a hidrostática e a teoria dos corpos flutuantes, foi inventor de incontáveis aparelhos de aplicação prática, aperfeiçoou o método da exaustão e com ele obteve importantes resultados. Resolveu inúmeros problemas de quadratura, estudou os corpos redondos ( esfera, cone e cilindro ), enunciando suas principais propriedades, estudou várias curvas entre as quais a espiral, desenvolveu muitas propriedades no campo da aritmética, sendo sua influência marcante e até hoje são estudados os teoremas, as suas contribuições à física e à engenharia.
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CILINDRO
As formas cilíndricas se fazem presentes na vida das pessoas de maneira muito simples. Essa forma se apresenta em depósitos de combustíveis, produtos químicos, água, em embalagens de alimentos, na engenharia, arquitetura e em muitas outras situações do cotidiano.
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CILINDRO O solido geométrico formado a partir da reunião de todos os segmentos de reta paralelos a reta r, com uma das extremidades no circulo contido no plano α e a outra no plano β, denomina-se cilindro circular.
r β
α
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CURIOSIDADES • A cidade de Curitiba (PR) apresenta alguns abrigos ou paradas de ônibus em figuras geométricas inspiradas no cilindro.
• o Rio Anil Shopping fica em uma das regiões mais populosas de São Luís, o sistema de abastecimento de água tem como caixa d'água a figura geométrica cilíndrica descrita na imagem abaixo.
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ELEMENTOS DOS PRISMAS •
A distância h entre os dois planos que contém as bases do cilindro é a altura. r Base β
Geratriz
Base
Raio α
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CILINDRO CIRCULAR RETO •
Um cilindro é reto quando as geratrizes são perpendiculares as bases. Ele Pode ser obtido por meio da rotação de um retângulo.
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CILINDRO EQUILÁTERO •
Todo cilindro circular reto cujas secções meridianas são quadradas é chamado de cilindro eqüilátero.
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ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM CILINDRO •
Caros alunos para compreendermos melhor a área de superfície de um cilindro circular reto, iremos planificá-lo, assim:
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VOLUME DO CILINDRO
O volume de qualquer cilindro é igual ao produto da área da base pela altura.
V = AB.h
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PRATICANDO Exemplo: 01 Um tanque, na forma de um cilindro circular reto, apresenta uma altura de 12m. Sabemos que sua superfície total equivale a 480π m². Determinar o raio da base desse tanque.
AT = 2AB + AL
⇒ 480 π = 2 .π.r2 + 2π.r.h ⇒ 240 = r2 + 12.r
Resolvendo a equação do segundo grau, temos: r ≈ 10,6 m
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PRATICANDO Exemplo: 02 Calcule a área total e o volume do sólido obtido pela rotação completa de um retângulo de dimensões 4 m e 12 m em torno do lado menor.
AT = 2AB + AL
V = AB.h
⇒ AT = 2 .π.122 + 2π.12.4 ⇒ AT = 384πcm2
⇒ V = π.122 .4 ⇒ V = 576π.cm3 Prof.: Filardes Freitas
PRATICANDO Exemplo: 03 Qual o tanque com maior capacidade?
VA = AB.h = πr²h
VC = AB.h = π 4r²
h 2
= 2 VA
VA π r²2h VB = AB.h = = 2 4
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CILINDRO As formas cônicas se fazem presentes na vida das pessoas de maneira muito simples.
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CONE Consideremos uma região do plano α limitado por uma circunferência e um ponto V fora dele, chama-se cone à reunião dos segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos do circulo. V é o vértice e o circulo é denominado de base do cone. V
α
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CURIOSIDADES • Conhecida como o "paraíso dos livros”, é a maior biblioteca técnica da Europa, fica na Holanda e tem formato de cone, com quatro pisos. O eixo do cone fica livre, conforme se vê na foto, de forma que se pode enxergar todos os pisos do térreo (ou o térreo de um dos pisos superiores).
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CURIOSIDADES • Catedral Basílica de Maringá é a mais alta catedral da América Latina. O cone possui uma altura externa de 114 metros, sustentando uma cruz de 10 metros, perfazendo um total de 124 metros de altura. Sua capacidade é de 3.500 pessoas, que podem ser distribuídas em duas galerias internas superpostas.
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ELEMENTOS DO CONE Base: a base do cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva. Eixo: quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base. Geratriz: qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base. Altura: distância do vértice do cone ao plano da base. Vértice: o vértice do cone é o ponto V.
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CLASSIFICAÇÃO DO CONE Superfície lateral: a superfície lateral do cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em V e a outra na curva que envolve a base. Seção meridiana: a seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto.
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CONE EQUILÁTERO Um cone circular reto é um cone eqüilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular eqüilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.
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ÁREAS Caros alunos o procedimento será parecido ao do cilindro circular reto, para compreendermos a área da superfície de um cone.
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VOLUME O volume de qualquer cone é igual a um terço do produto da área da base pela altura.
V=
1 3
AB.h
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PRATICANDO Exemplo: 04 Um cone eqüilátero tem raio da base r, calcule: a) a área lateral; b) a área total
a) AL = π. r. g ⇒
a) AT = AB + AL
AL π.r.2r
= ⇒ AL = 2π.r2
⇒ AT = π. r2 + AL ⇒ AT = π. r2 + 2π. r2 AT = 3 π r2
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PRATICANDO Exemplo: 05 Um copo de caldo de cana, no formato de um cone, tem 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura. Qual a capacidade desse copo? (considere π = 3,14).
V=
1 3
AB.h
⇒V=
1 π.r2 .h 3
⇒V=
1 3
3,14.42.12
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PRATICANDO Exemplo: 06 A figura abaixo mostra um semicírculo de papel com 12 cm de raio. Juntando os raios OA e OB fazemos um cone. Qual é o volume desse cone?
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PRATICANDO Exemplo: 06 Vamos recordar que o perímetro de uma circunferência é igual a 2π.r, logo, o comprimento de metade de uma circunferência e igual a π.R. Quando juntamos os pontos A e B do papel, a semicircunferência de raio 12cm transforma-se em uma circunferência completa de raio r. Temos então, 12. π = 2 πr
⇒ r = 6 cm
g2 = h2+ r2 122 = h2+62 h ≈ 10,39 cm
⇒V=
1 π.r2 .h ⇒ V = 3
1 3
3,14.62 .10,39
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SITUAÇÃO - PROBLEMA Exemplo: 07 Uma comunidade consome 50.000 litros de água por dia. Nessa comunidade, o deposito de água apresenta forma de um cilindro regular reto, cujo raio é de 10m e a sua altura igual a 10m. Por quanto tempo um reservatório cheio poderá abastecer a comunidade?
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SITUAÇÃO - PROBLEMA Precisaremos no primeiro momento identificar o volume de água que o reservatório suporta e depois converter esse volume de metros cúbicos para litros, para isto iremos considerar π = 3,14 assim,
V = AB.h
⇒ V = π.102 .10 ⇒ V = 1000π m3 ⇒ V ≈ 3140 m3
Sabemos que 1 m3 = 1 000 dm3 e que 1 L = 1 dm3. V = 3140 m3 = 3140 .1 000 dm3 = 3140000 dm3 e que 1 L = 1 dm3. V = 3140000 litros Prof.: Filardes Freitas
SITUAÇÃO - PROBLEMA
V = 3140000 litros
Para saber quantos dias esse reservatório pode abastecer essa população, uma vez que a comunidade consome 50000 litros de água ao dia, precisaremos apena fazer a divisão do volume encontrado em litros por 50000 litros.
Total de dias = 3140000 : 50000 = 62,8
Concluímos que o reservatório deverá abastecer essa comunidade durante 62 dias, 19 horas e 12 minutos.
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TRONCOS PIRÂMIDES E CONE
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Tronco de Pirâmide Tronco de pirâmide é a porção de pirâmide compreendida entre a base e a secção plana que corta todas as arestas laterais. Se a secção é paralela à base, tem-se um tronco de pirâmide com bases paralelas; a sua altura é a distância das duas bases.
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Tronco de Pirâmide Um tronco piramidal regular é a porção de pirâmide regular compreendida entre a base e uma secção paralela a essa base. As faces laterais são trapézios isósceles iguais; a altura de cada um desses trapézios chama-se apótema do tronco.
D’ A’ H
C’
B’ D
A
C B
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Tronco de Pirâmide R h’ h
D’
C’
B’
A’ D
C
R h’
A’ h – h’
D’ A’
D’
B
A
Tronco de pirâmide
C’
B’ D
C’
C
B’ A
B Prof.: Filardes Freitas
Tronco de Pirâmide: razão de semelhança - comprimentos R R h’
h
D
A’
C
A
=
AB A’B’
=... =
C’
B’
Razão de semelhança
B
RA RA’
D’
h h’
=k
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Tronco de Pirâmide: razão de semelhança - áreas R R h’
h
D
A’
C
A
D’
C’
B’
B AB A’B
=
AL A’L
=
AT A’T
= k2
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Tronco de Pirâmide: razão de semelhança - volumes R R h’
h
D
A
C
D’ A’
C’
B’
B
V V’
= k3
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Área e Volume PLANIFICAÇÃO
Ab :área da base menor
H : altura
AB :área da base maior
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PRATICANDO Exemplo: 01 Calcular o volume e a área total do tronco de pirâmide quadrangular dado na figura abaixo. Solução:
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SITUAÇÃO - PROBLEMA Exemplo: 02 Uma estátua está sobre um pedestal de concreto em forma de tronco de pirâmide hexagonal regular. As arestas das bases do pedestal medem 10m e 4m, e sua altura é de 6m. Qual é o volume de concreto usado para construir o pedestal?
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SITUAÇÃO - PROBLEMA Solução:
As bases são hexágonos regulares. O polígono da base é composto por seis triângulos eqüiláteros. Área da base menor:
Área da base maior: Volume:
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Tronco de Cone Se um cone sofrer uma intersecção de um plano paralelo à sua base circular, a uma determinada altura, teremos a constituição de uma nova figura geométrica espacial denominada tronco de cone.
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Tronco de Cone O tronco de cone possui duas bases circulares em que uma delas é maior que a outra, dessa forma, os cálculos envolvendo a área superficial e o volume do tronco envolverão a medida dos dois raios. A geratriz, que é a medida da altura lateral do cone, também está presente na composição do tronco de cone.
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Área total de superfície de um tronco
Considere um tronco de cone de bases circulares de raios R da base maior e r raio da base menor, cuja geratriz do tronco é g.
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Volume de um tronco
Considere um tronco de cone de bases circulares de raios R da base maior e r da base menor, cuja altura é h.
ou
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PRATICANDO Exemplo: 03 A figura ao lado representa um tronco de cone, cujas bases são círculos de raios 5 cm e 10 cm, respectivamente, e altura 12 cm. Considerando-se esse sólido, julgue os itens abaixo.
( F ) a área da base maior é o dobro da área da base menor. ( F ) o volume é menor que 2000 centímetros cúbicos.
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PRATICANDO Continuação: 03
( V) o comprimento da geratriz AB é 13 cm
( V ) a medida da área da superfície lateral é 195π cm².
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SITUAÇÃO - PROBLEMA Exemplo: 04 Um depósito de combustível tem a forma de um tronco de cone. Suas dimensões são dadas na figura a seguir . Se apenas 30% da sua capacidade estão ocupados, qual é a quantidade, em litros, de combustível existente no depósito? (considere 1dm³ = 1 litro).
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SITUAÇÃO - PROBLEMA Solução Nesta situação - problema precisaremos encontrar o volume total de litros de combustível que esse depósito suporta e depois multiplicar por 0,3 para identificar o número de litros desse combustível existente.
(considerando 1dm³ = 1 litro)
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ESFERAS
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Esfera A esfera é considerada um dos sólidos mais curiosos que existem, e sua forma tem sido extremamente útil ao homem. É possível que os homens tenham criado a forma esférica a partir da observação e do estudo dos corpos celestes, como o Sol e a Lua. Ou da verificação de fenômenos como a sombra da Terra projetada sobre a Lua. O formato de nosso planeta foi reproduzido em diversos objetos até chegar às bolas de futebol, vôlei e outros.
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Curiosidades Na década de quarenta, o desmatamento do delta de Diquis, sul da Costa Rica, para plantação de bananeiras, acabou revelando fabulosas esferas de pedra de diferentes tamanhos e impressionante perfeição na forma.
Um tipo de pufe gigante que mistura os conceitos de um sofá, as 120 esferas macias que formam o objeto deixam o conjunto incrivelmente prazeroso e cômodo.
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Curiosidades
A maior construção esférica do mundo, a Ericsson Globe, ou Stockholm Globe Arena, antes dos direitos do seu nome terem sido adquiridos pela Ericsson, tem agora elevador, que escala uma das partes da esfera até ao topo do edifício, com uma altura de 130 metros, e que garante uma panorâmica esplêndida da capital sueca, Estocolmo.
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Definição
Seja um ponto O e um número real positivo R qualquer. A esfera de centro O e raio R e o conjunto de todos os pontos do espaço que estão a uma distância, no máximo, igual ao raio R do ponto O.
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Elementos
Pólos são as interseções da superfície com o eixo; Equador é a seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície; Paralelo é qualquer seção (circunferência) perpendicular ao eixo; Meridiano é qualquer seção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo.
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Área da superfície esférica A área A de uma superfície esférica de raio R é definida assim:
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Área da calota esférica Considere a calota esférica da figura.
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Área do fuso esférico Considere o fuso esférico delimitado por dois semiplanos formando um ângulo α ( em graus).
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Volume de uma esfera O volume de uma esfera de raio R é definido assim:
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Volume de um segmento esférico O volume V de um segmento esférico de uma base mostrado na figura é:
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Volume da cunha esférica Considere a cunha esférica delimitada por dois semiplanos formando um ângulo α (em graus).
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PRATICANDO Exemplo: 05 Uma laranja tem a forma esférica com a medida indicada na figura abaixo. Qual é a área aproximada da casca dessa laranja ?
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PRATICANDO Exemplo: 06 Podemos imaginar a formação de uma esfera a partir de um semicírculo rodando em volta de seu diâmetro ( eixo de rotação). Por esse motivo, a esfera é um sólido de revolução ( figura abaixo). Calcule a área superficial e o volume de uma esfera gerada por um semicírculo que tem 157 cm² de área.
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SITUAÇÃO - PROBLEMA Exemplo: 07 Numa indústria química, deseja-se instalar um reservatório esférico para armazenar determinado gás. A capacidade do reservatório deve ser de 33,5 m³. Qual deve ser, aproximadamente, o raio desse reservatório?
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SITUAÇÃO - PROBLEMA Exemplo: 08 Uma indústria metalúrgica produzirá cem mil parafusos como o da figura abaixo, formado por duas peças: uma semi-esfera e um cilindro maciço. Calcule o volume de alumínio necessário, em metros cúbicos.
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