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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIC ¸ OSA Centro de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica 1a Prova de MAT 135 - 23/04/07 Nome: 1a Quest˜ao (20 pontos) Se
Matr´ıcula:
1 −1 C= 1 1
Turma 1
2 1 1 1 2 1 1 1 −1 1 −1 1
determine, usando opera¸co˜es com as linhas da matriz, det C. 2a Quest˜ao (20 pontos) Determine os valores x + x + x + (i) tem uma u ´nica solu¸ca˜o;
reais de k, para os quais o sistema linear y + z=2 3y − kz = 7 ky + 3z = −4
(ii) tem infinitas solu¸c˜oes;
(iii) n˜ao tem solu¸ca˜o.
3a Quest˜ao (20 pontos) O fornecedor de caf´e dos bares de uma cidade vende trˆes misturas de gr˜aos. Um pacote da mistura da gourmet cont´em 1 quilo de caf´e brasileiro, 1 quilo de caf´e colombiano e 2 quilos de caf´e tostado tipo francˆes. Um pacote com a mistura da casa cont´em 3 quilo de caf´e brasileiro, 2 quilos de caf´e colombiano e 1 quilo de caf´e tostado tipo francˆes. Um pacote com a mistura especial cont´em 2 quilos de caf´e brasileiro, 1 quilo de caf´e colombiano e 2 quilos de caf´e tostado tipo francˆes. O fornecedor tem 20 quilos de caf´e brasileiro, 12 quilos de caf´e colombiano e 15 quilos de caf´e tostado tipo francˆes. Se ele deseja utilizar todos os gr˜aos de caf´e, quantos pacotes de cada mistura deve preparar? 3x − 6y + 2z − w = α x − 2y + z = β 4a Quest˜ao. (20 pontos) Considere o sistema de equa¸co˜es lineares: z+w = γ −2x + 4y + z + 3w = ρ (a) Determine condi¸co˜es sobre α, β, γ e ρ para que o sistema admita solu¸c˜ao. (b) Dˆe exemplos de valores de α, β, γ e ρ para os quais o sistema n˜ao admite solu¸ca˜o. (c) Para quais valores de α, β, γ e ρ o conjunto das solu¸c˜oes do sistema cont´em a solu¸ca˜o trivial? Justifique sua resposta. (d) Considerando os valores de α, β, γ e ρ encontrados no item anterior, determine o conjunto solu¸ca˜o do sistema. (e) A matriz dos coeficientes do sistema ´e invers´ıvel? Justifique sua resposta. 5a Quest˜ao (20 pontos) Decida se cada uma das afirmativas dadas abaixo ´e verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta dando um argumento l´ogico matem´atico ou um contra-exemplo. 1. ( ) Se P ´e invers´ıvel e B = P A2 P −1 , ent˜ao detB = (detA)2 . 2. ( ) Se A5 = 0, ent˜ao I − A ´e invers´ıvel e (I − A)−1 = I + A + A2 + A3 + A4 . 3. ( ) det(I + A) = 1 + detA. 4. ( ) Se X1 e X2 s˜ao solu¸co˜es do sistema linear AX = B, ent˜ao X1 + X2 ´e solu¸c˜ao de AX = 2B.
