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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2200 – MECÂNICA B – Prova Substitutiva – 04 de julho de 2006 Duração da Prova: 110 minutos (não é permitido uso de calculadoras)
1ª Questão (4,0 pontos) A figura mostra um disco homogêneo de raio R e peso mg acoplado a uma barra GB de comprimento 3L e massa desprezível. O disco gira com velocidade angular ω constante, em torno da barra GB. O conjunto gira em torno do eixo vertical com velocidade angular Ω constante. O ponto O permanece fixo e a mola BD permanece sempre horizontal. O sistema de coordenadas (O, x, y, z) é solidário à barra GB. Pede-se, para α constante e expressando as respostas no sistema de coordenadas dado: (a) O vetor de rotação absoluto do disco; (b) O momento que o disco aplica sobre a barra GB; (c) A força na mola BD.
barra imediatamente após o choque.
y
L
g
O 2L
α
G
Ω
x
ω
g
2ª Questão (3,0 pontos) A barra de massa m e comprimento 3L encontra-se inicialmente em repouso, como indicado na figura. Em um dado instante, o fio CD é cortado, fazendo com que a barra gire e, posteriormente, choque sua extremidade A com a esfera B de massa M. Sabendo que o choque entre a barra e a esfera é perfeitamente anelástico, determine o vetor de rotação ω’ da
D
B
B C L
2L
O
D
A
3ª Questão (3,0 pontos) No sistema mostrado na figura, o disco possui massa M e raio R. O centro O do disco pode movimentar-se apenas na direção u e está acoplado a uma mola de rigidez k e a um amortecedor viscoso linear de constante c. A periferia do disco está ligada a uma superfície fixa, por meio de uma segunda mola de rigidez k e um segundo amortecedor viscoso linear de constante c. Uma força vertical F atua em um fio acoplado ao disco. Utilizando as coordenadas generalizadas u e θ , e assumindo que as molas têm deformação nula quando as coordenadas u e θ valem zero, determine: (a) A energia cinética do sistema. (b) A energia potencial do sistema. (c) A função dissipativa de Rayleigh do sistema (d) As equações de movimento para as coordenadas u e θ, usando o método de Lagrange.
θ
g O
k
u
F
c k
c
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Resolução da 1ª Questão (4,0 pontos)
D
B A figura mostra um disco homogêneo de raio R e peso mg acoplado a uma barra GB de comprimento 3L e massa desprezível. O disco gira com velocidade angular ω constante, em torno da barra GB. O conjunto gira em torno do eixo vertical com velocidade angular Ω constante. O ponto O permanece fixo e a mola BD permanece sempre horizontal. O sistema de coordenadas (O, x, y, z) é solidário à barra GB. Pede-se, para α constante e expressando as respostas no sistema de coordenadas dado:
y
L
α
2L G
Ω
x
ω
(a) O vetor de rotação absoluto do disco;
r r r r r r r Ω abs = Ω rel + Ω arr Ω abs = ω i − Ω cos α i + Ω sen α j r r r Ω abs = (ω − Ω cos α ) i + Ω sen α j (1,0)
FM cos α
B
Aceleração do baricentro G r& r r r r aG = aO + Ω ∧ ( G − O ) + Ω ∧ [ Ω ∧ ( G − O )] r r r r aG = 0 + 0 + Ω ∧ [Ω ∧ (2 L i )] r r r aG = 2 LΩ 2 ( − sen α cos α j − sen 2 α i )
g
O
FM sen α
YO
XO
O (0,5)
G
Aplicando o TMB no disco (ver DCL ao lado) ZG YG
2 mLΩ ( − sen α ) = X G + mg cos α 2
2
2 mLΩ 2 ( − sen α cos α ) = YG − mg sen α
MG
G ZG XG mg
X G = −2mLΩ 2 sen 2 α − mg cos α
(0,5)
(b) O momento que o disco aplica sobre a barra GB;
Aplicando o TMA no pólo G do disco
r r rrr H O = ( G − O) ∧ mVO + {i j k }[ I O ]{ω}
MG XG
0 = ZG
YG = −2mLΩ 2 sen α cos α + mg sen α
YG
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mR2 / 2 0 0 ω − Ω cos α r r rrr 2 H G = ( G − G ) ∧ m VG + {i j k } 0 mR / 4 0 Ω sen α 0 0 mR 2 / 4 0
r r r H G = (ω − Ω cosα ) mR 2 / 2 i + Ω sen α mR2 / 4 j
(0,5)
r r r r v r r i& = Ω ∧ i = ( −Ω cos α i + Ω sen α j ) ∧ i = −Ω sen α k r r& r r r r r j = Ω ∧ j = ( −Ω cos α i + Ω sen α j ) ∧ j = −Ω cos α k r r r& H G = (ω − Ω cos α )( −Ω sen α ) mR2 / 2 k + Ω sen α ( −Ω cos α ) mR2 / 4 k r r& H G = mR2 [( −Ωω sen α / 2) + ( Ω 2 sen α cos α / 4)] k r& r r r H G = m(VG ∧ VG ) + M G
r r M G = mR2[( −Ω ω sen α / 2) + ( Ω 2 sen α cos α / 4)] k
(0,5)
(c) A força na mola BD. Considerando o momento angular da barra em relação ao pólo O
r HO = 0 r& r r r H O = 0 (VG ∧ VO ) + M O r& r H O = − Fm cos α L − 2 LYG − M = 0
Fm = 2 mg tan α − 4 mLΩ 2 sen α −
(0,5)
mR2 [( −Ωω sen α / 2) + (Ω 2 sen α cos α / 4)] L cos α
(0,5)
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Resolução da 2ª Questão (3,0 pontos)
g
A barra de massa m e comprimento 3L encontra-se inicialmente em repouso, como indicado na figura. Em um dado instante, o fio CD é cortado, fazendo com que a barra gire e, posteriormente, choque sua extremidade A com a esfera B de massa M. Sabendo que o choque entre a barra e a esfera é perfeitamente anelástico, determine o vetor de rotação ω’ da barra imediatamente após o choque.
T +V = 0
1 T = ω 2J o 2
V = mgL / 2
B C L
O
A
(0,5)
2
1 1 L 2 J O = J G + m = m(3L ) + mL2 = mL2 4 2 12 mg
L 1 2 2 = mL ω 2 2
ω=
g L
(0,5)
TMI com pólo em O
(1,0)
J Oω = J Oω ′ + MVB′ L
mL2ω = mL2ω ′ + MVB′ L
VB′ = V A′ = ω ′L mL2 (ω − ω ′) = ML2ω ′ ω′ =
m g ( M + m) L
(0,5) m ω = ( M + m )ω ′
(0,5)
mL2 (ω − ω ′) = MVB′ L
2L
D
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Resolução da 3ª Questão (3,0 pontos)
θ
g
No sistema mostrado na figura, o disco possui massa M e raio R. O centro O do disco pode movimentar-se apenas na direção u e está acoplado a uma mola de rigidez k e a um amortecedor viscoso linear de constante c. A periferia do disco está ligada a uma superfície fixa, por meio de uma segunda mola de rigidez k e um segundo amortecedor viscoso linear de constante c. Uma força vertical F atua em um fio acoplado ao disco. Utilizando as coordenadas generalizadas u e θ , e assumindo que as molas têm deformação nula quando as coordenadas u e θ valem zero, determine:
O
k
1 1 MR 2 & 2 M u& 2 + θ 2 2 2
k
(1,0)
(b) A energia potencial do sistema. V=
1 1 k ( Rθ − u ) 2 + k u 2 + Mg u 2 2
(1,0)
(c) A função dissipativa de Rayleigh do sistema R=
1 1 c( Rθ& − u& ) 2 + c u& 2 2 2
(0.5)
Forças generalizadas:
δW = Fδx ∂x Qu = F =F ∂u ∂x Qθ = F = FR ∂θ
x = Rθ − u
x& = Rθ& − u&
(d) As equações de movimento para as coordenadas u e θ, usando o método de Lagrange.
d ∂T ∂T ∂V ∂R + − + = Qi dt ∂q& i ∂qi ∂qi ∂q& i
F
c
(a) A energia cinética do sistema. T=
u
c
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Departamento de Engenharia Mecânica
Para a coordenada u tem-se: ∂T ∂u& ∂T ∂u ∂V ∂u ∂R ∂u&
= Mu&
d ∂T = Mu&& dt ∂u&
=0 = −kRθ + 2ku + Mg = −c( Rθ& − u& ) + cu& = 2cu& − cRθ&
Mu&& − kRθ + 2 k u + 2c u& − cRθ& + Mg = F Para a coordenada θ tem-se: ∂T MR 2 & = θ ∂θ& 2 ∂T =0 ∂θ ∂V k = ( 2R 2θ − 2 Ru ) ∂θ 2 ∂R = cR 2θ − cRu & ∂θ
d ∂T MR 2 && θ = dt ∂θ& 2
MR 2 && θ + kR2θ − kR u + cR 2θ& − cR u& = FR 2
(0.5) para as 2 equações e forças generalizadas
Na forma matricial: 1 M 0
0 u&& 2 − R u& 2 +c + k R / 2 θ&& − R R 2 θ& − R 2
− R u F − Mg = R 2 θ FR
