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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS E FUNDAÇÕES PROVA SUBSTITUTIVA – PEF 130 07/12/01
1ª. Questão (4,0): a) Resolver a estrutura da Figura 1 pelo T.E.V. e traçar os diagramas de esforços solicitantes; b) Pelo Método da Carga Unitária (T.E.V.), determinar o deslocamento vertical do baricentro da seção C.
∆
∆
δ
Figura 1
Dados:
α = 10-5 ºC-1 a = 1m δ = recalque em B = 0.005m para baixo EI = 106 Nm2 h = altura da seção transversal = 0.04m P = 1200N ∆T1 = +10ºC em toda a face superior ∆T2 = -10ºC em toda a face inferior
2ª. Questão (3,0): Considere o modelo da Figura 2, que representa um choque inelástico. a) Escrever a equação do movimento e indicar as condições iniciais; b) Dar a solução u(t) em regime estacionário; c) Indicar a coluna em que ocorrerão os maiores esforços solicitantes, justificando a conclusão; d) Calcular o momento fletor máximo na coluna mais solicitada.
Figura 2
Dados:
v = 3m/s m = 200 kg EI = 8x105 Nm2 EA = 3x105 N = 3m h = 2m
3ª. Questão (3,0): Determinar o mecanismo e a carga de colapso pelo Teorema Cinemático e verificar a solução obtida pelo Teorema Estático. Dados: Mp = cte
"!# Figura 3
Gabarito 1ª Questão: a) P X Pa=1200Nm
(-) m
a=1m
1m
1m 2
(+)
m
1
M = m + X ⋅m
Seja δ X = 1 carregamento virtual
$
δX =m
δτ i* = δτ e*
%
δM ⋅
est
& est
m⋅
% ∆T − ∆T1 M ⋅dx + δ M ⋅α ⋅ 2 ⋅dx = −δ X ⋅ δ EI h est
& m2 m ∆T − ∆T1 & m ⋅ dx = −δ ⋅dx + X ⋅ ⋅dx + α ⋅ 2 EI EI h est est
10−5 × ( −20 ) 2 −1 ⋅ × + X ⋅ ⋅ + × 2 = −0, 005 1200 5 4 6 × 106 3 × 106 0, 40
X = 2250 N Diagramas
M(Nm) 2250
3300
1050
V(N)
(-)
(-)
2250
b) Seja a solução equilibrada associada a δF=1
3
(-)
2
1m
1 1m
1m
δM
Método da Carga Unitária (T.E.V.)
δτ i* = δτ e*
' est
δM ⋅
' M ∆T − ∆T1 ⋅dx + δ M ⋅α ⋅ 2 ⋅dx = 1 ⋅ vc EI h est
10−5 ⋅ ( −20 ) −1 1 ⋅ × + × − ⋅ × + ⋅ ( −4,50 ) = vc 3300 8 2250 7 2250 5 ( ) ( ) 6 ×106 6 ×106 0, 04
vc = 0, 0136 m para baixo 2ª Questão: a)
()( ( 3m ) ⋅ u + k ⋅ u = 0 u ( 0) = 0 ( ( 3m ) ⋅ u ( 0) = 2 ⋅ m ⋅ v
(
∴ u (0) =
2 ⋅v = 2 m s 3
*
EA
col. esquerda
*
3EI 3 h
EA
3EI 3 h
u 3m
col. direita
*
3EI+ EA 3 h 3m
3EI 3 h
3EI 3 h
k
3m
+
, -
3 ⋅ EI 1 k = 3 ⋅ - 1+ h / 1 + 3 ⋅ EI ⋅ l3 EA h
. 0
. .
k = 375000 N m Nota: para um mesmo deslocamento da massa 3m a força absorvida na coluna direita é maior, pois sua rigidez é maior que a correspondente à associação em série entre a coluna esquerda e a barra biarticulada. b) u ( t ) = ρ ⋅ cos (ω t − θ ) k = 25 rad s 3m 1u 0 ( ) = 0, 08 m ρ=
ω=
θ=
π
ω
2
u ( t ) = 0, 08 ⋅ cos ( 25t )
c) A coluna da direita terá maiores esforços solicitantes. Justificativa: ver nota da parte (a).
2
d) M max
5 =8
342
3
3 ⋅ EI 675 2v 6 94⋅ 8 9 ⋅ h = 4800 Nm 3ω h3
3ª Questão: a) θ
δ We = 2 ⋅ P ⋅θ ⋅ a δ Wi = M p ⋅ 4θ
P1 = 2 ⋅
Mp a
b) δ=2θa
θ
δ We = P ⋅ 2 ⋅θ ⋅ a δ Wi = M p ⋅ 4θ
c)
δ = 2θ a δ
θ
δ1
θ 2θ
δ1 = θ a
δ
δ1
θ
2θ
θ
P2 = 2 ⋅
θ
δ We = P ⋅ δ + 2 ⋅ P ⋅ δ1 + 1,5 ⋅ P ⋅ δ1 δ Wi = M p ⋅ 8 ⋅θ P3 = 1, 45 ⋅
Mp a
Mp a
Verificação MP
x
αP
z
m n
MP
MP
y MP
: <
M mn = >
αP 2
+
Mp ⋅z 2a
?
; =
⋅a − Mp = Mp
A
z = (1, 45α − 3) ⋅ M p
@
α = 2 → x = −0,10 M p
B α = 1, 5
→ x = −0,83M p
MP
