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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica PME 2200 – MECÂNICA B – Prova de Recuperação – 26 de julho de 2005 Duração da Prova: 110 minutos (não é permitido uso de calculadoras) 1ª Questão (3,0 pontos) r r Um disco de massa m e raio R gira com velocidade angular ω = ωj , constante, em torno do ponto O, como indicado na figura. Neste mesmo instante, a barra AB, de comprimento 2L e massa desprezível, gira com
r r velocidade angular Ω = Ωk , constante. Pede-se, na posição mostrada na figura (disco no plano xz): (a) O vetor de rotação absoluto do disco. (b) O momento que o disco aplica sobre o garfo OC, de comprimento L. (c) As reações nos mancais A e B, desprezando-se a massa do garfo.
z MR 2 Jy = 2
Ω
B
g m,R
C O
x
L
L y L
ω
Resolução: (a)
r r r ω abs = ωj + Ωk
(b)
r r r H O = I yyωj + I zz Ωk ; r r& Η O = MO
I yy = mR 2 2 ;
I zz = mR 2 4
(TMA; O=G)
r r r& r Então, como j = Ωk × j = −Ωi : r reat mR 2ωΩ r r reat r r M i = = − M O = I yyωΩi , i.e., MO O 2 (c)
r r R = maO ;
TMB:
r r aO = −Ω 2 L i .
r r r r R = ( X A + X B )i + (Y A + YB ) j + ( Z A − mg )k
XB
YB
mΩ2L
XA =
mR 2ωΩ 2
mg
Equilíbrio de forças e momento: 1 1 m(Ω 2 L − g ); X B = m(Ω 2 L + g ) 2 2
Y A = YB =
YA ZA
XA
1 mR 2ωΩ 4 L
Z A = mg ; Z B = 0
A
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2ª Questão (4,0 pontos) No sistema mostrado na figura, o disco de centro O, massa M e raio R rola sem escorregar sobre o plano horizontal e está acoplado a uma superfície rígida por meio de uma mola de rigidez k e um amortecedor viscoso linear de constante c. Uma massa concentrada m encontra-se na extremidade de um pêndulo, de comprimento L, acoplado ao centro do disco. A mola tem deformação nula quando a coordenada x vale zero. Uma força horizontal F atua no disco. Usando x e θ como coordenadas generalizadas, determine: (a) A energia cinética do sistema. (b) A energia potencial do sistema. (c) As equações de movimento para as coordenadas x e θ, usando o método de Lagrange.
x
g k c
M,R
O
θ
F
L m
A
Resolução: (a)
Energia Cinética:
T = TD + T A
Disco, s/ escorregamento (C=CIR):
TD =
1 1 3MR 2 2 3MR 2 2 IC Ω 2 = Ω = Ω . 2 2 2 4
Energia cinética do pêndulo:
TA =
1 2 mv A . 2
Mas,
r r r v A = ( x& + Θ&L cosθ )i + (Θ&L sin θ ) j e então:
Portanto:
(b)
(D:disco; A: pêndulo)
TA =
(
)
1 m x& 2 + 2 x&Θ&L cosθ + θ& 2 L2 . 2
1 1 3 T = M + m x& 2 + mx&Θ&L cosθ + mθ& 2 L2 . 2 2 4
Energia Potencial:
V=
1 2 kx + mgL(1 − cosθ ) . 2
1 2 Cx& . Forças generalizadas outras (exceto as conservativas ou dissipativas de 2 d ∂T ∂T ∂V ∂R Rayleigh): Q x = F ; QΘ = 0 . Aplicando a equação de Lagrange: = Q j vem: − + + dt ∂q& j ∂q j ∂q j ∂q& j
(c)
Rayleighiana:
R=
3 2 M + m &x& + (mL cosθ )θ&& − mLθ& sin θ + Cx& + kx = F 2 .
(mL cosθ )&x&
+
mL2θ&&
+
mgL sin θ
= 0
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3ª Questão (3,0 pontos) (a) Em relação ao exercício programa 1 (EP1), você obteve as seguintes equações de movimento para o sistema proposto no EP1, para o rotor na posição horizontal:
θ&& = ( P ( xG cos(θ ) − y G sen(θ )) + T (θ&) − Q(θ&)) / J Z (a1) desenhe o diagrama de blocos SCICOS apenas para a equação de movimento do rotor e saída gráfica da velocidade angular; (a2) Considerando os resultados que você obteve durante a simulação do movimento para o rotor na posição vertical, esboce dois gráficos em função do tempo sendo um para a velocidade angular do rotor e outro da reação horizontal no mancal. (b) Em relação ao exercício programa 2 (EP2), você obteve as seguintes equações de movimento para o sistema proposto no EP2:
( M + m) &x& − (ma cos θ )θ&& + (ma senθ )θ& 2 + 2kx = 0 (− ma cos θ ) &x& + 4ma 2θ&& / 3 + mga senθ = 0
(b1) desenhar o diagrama de blocos SCICOS utilizado na simulação numérica do EP2; (b2) esboçar num mesmo gráfico temporal a posição do bloco x(t) e a posição angular da barra θ(t) que você obteve durante a simulação para rigidez de mola k/9 e θ0 = (π – 0,1) e demais condições iniciais nulas.
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Departamento de Engenharia Mecânica 3ª Questão (Resolução): a1) Diagrama de bloco do programa SCICOS para o modelo do rotor. Equação de movimento do rotor utilizada no bloco Scifunc:
θ&& = ( P ( xG cos(θ ) − y G sen(θ )) + T (θ&) − Q(θ&)) / J Z
a2) Gráfico temporal da velocidade angular do rotor (tempo em segundos e velocidade angular em rad/s); gráfico temporal da reação na direção YA no mancal A para o rotor na posição vertical (valor médio nulo - força em Newtons) e gráfico da reação na direção YA na posição horizontal YA na vertical
Ω(t) na vertical
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Departamento de Engenharia Mecânica b1) diagrama de blocos SCICOS utilizado na simulação numérica do EP2:
b2) gráfico temporal da posição do bloco x(t) e da posição angular da barra θ(t) que obtido durante a simulação para rigidez de mola k/9 e θ0 = (π – 0,1) e demais condições iniciais nulas. Conforme a figura, a posição do corpo x(t) está em linha contínua e posição angular da barra θ(t) em linha tracejada.
10
5
0
-5
-10
0
10
20
30 Time (second)
40
50
60
