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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5355 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2200 – MECÂNICA B – Prova de Recuperação – 31 de julho de 2003 Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras) x
1ª Questão (3,0 pontos)
Y
O anel homogêneo de massa m e raio R (espessura desprezível), gira ao redor da barra OG de massa desprezível e comprimento L, com velocidade angular ω . Este rotor está em movimento de precessão estacionária com ângulo θ e velocidade angular de precessão Ω , constantes e conhecidas. Determine:
G
Ω
m
R
θ
y
a) a velocidade de rotação própria ω ; b) a aceleração do baricentro G; c) as reações na articulação O. a
ω
L X
O g
2ª Questão (3,0 pontos) Um cubo homogêneo de lado a e massa m, translada sobre um plano horizontal com velocidade V, quando se choca com um pequeno degrau. Considerando o choque anelástico (e = 0), determine:
V
a G y x
ω´ m G
V´ a/2
a) a velocidade angular do cubo ω´, imediatamente após o choque; b) a energia cinética do cubo no instante imediatamente após o choque c) o valor de V a partir do qual o cubo tomba. m a2 Dado: J Gzz = 6
3ª Questão (4,0 pontos) Duas barras homogêneas idênticas AB e BC de comprimento L e massa m, estão ligadas entre si por uma articulação em B, que desliza sobre o eixo x. Entre o ponto A e o anel deslizante D há um amortecedor viscoso linear de constante c em paralelo com uma mola linear de constante k, de massas desprezíveis, com força nula quando θ = 30°. Há outro conjunto mola+amortecedor entre os pontos C e D. As barras estão apoiadas num plano horizontal e não há atrito entre elas e o plano. Aplica-se, r r então uma força F ( t ) = −F i . Determine: a) b) c) d) e)
y
A m
θ k
B
θ k
F(t)
a energia cinética T em função das coordenadas x e θ do sistema; a energia potencial V do sistema; a função dissipativa R (Rayleigh) ou o trabalho virtual das forças viscosas; a força generalizada associada a F(t); escreva as equações de Lagrange para as coordenadas x e θ.
c D x c
L C
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Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2200 – MECÂNICA B – Resolução da Prova de Recuperação – 31/07/2003 x
1ª Questão - Resolução (3,0 pontos)
Y
O anel homogêneo de massa m e raio R (espessura desprezível), gira ao redor da barra OG de massa desprezível e comprimento L, com velocidade angular ω . Este rotor está em movimento de precessão estacionária com ângulo θ e velocidade angular de precessão Ω, constantes e conhecidas. Determine: a) a velocidade de rotação própria ω ; r r r ω abs = Ω J + ω i
r r r J = cosθ i + senθ j
Momento Angular
ω G
Ω
m
R
θ
y
L X
O
r r r ω abs = (ω + Ω cosθ ) i + Ω senθ j
r r rr r H O = [ i j k ][J ][ω ] + m( G − O) ∧ VO
onde
g
r VO = 0
J O 0 0 ω + Ω cosθ r r r r xx O G G O G 2 H O = [ i j k ] 0 J yy 0 Ω sen θ onde J xx = mR 2 ; J Gyy = mR 2 / 2 ; J O xx = J xx e J yy = J yy + mL 0 0 0 J zzO r& r r& r r& r& r& r r r r r r r O HO = J O i = Ω J ∧ i = Ω (cosθ i + sen θ j ) ∧ i = −Ω sen θ k j = ΩJ ∧ j = Ω cosθ k xx (ω + Ω cosθ ) i + J yy Ω sen θ j r& r r O H O = − J xx (ω + Ω cosθ ) Ω senθ k + J O yy Ω senθ Ω cosθ k
TMA -
r& r r H O = M ext = − mg L senθ k
r r O 2 JO xx (ω + Ω cosθ ) Ω sen θ k − J yy Ω sen θ cosθ k = mg L sen θ
L2 1 gL ω = 2 − Ω cosθ + 2 R 2 R Ω
b) a aceleração do baricentro G;
r ( G − O) = L i
r r r r r r r VG = VO + Ω ∧ (G − O) VG = 0 + Ω (cosθ i + senθ j ) ∧ L i r& r r r r r r r r r aG = aO + Ω ∧ (G − O) + Ω ∧ (VG − VO ) aG = 0 + 0 + Ω (cosθ i + senθ
r r VG = − LΩ senθ k r r r j ) ∧ ( − LΩ senθ k − 0)
r r r aG = − L Ω 2 senθ (senθ i − cosθ j )
c) as reações na articulação O. r
r r r r r m a G = − mg J + Rx i + R y j + Rz k r r r r r r r − mL Ω 2 senθ (senθ i − cosθ j ) = − mg (cosθ i + senθ j ) + Rx i + R y j + R z k
r
TMB - m aG = R Rz = 0
R y = m sen θ ( L Ω 2 cos θ + g )
R x = m ( LΩ 2 sen2 θ + g cosθ )
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Departamento de Engenharia Mecânica
a
2ª Questão - Resolução (3,0 pontos) Um cubo homogêneo de lado a e massa m, translada sobre um plano horizontal com velocidade V, quando se choca com um pequeno degrau. Considerando o choque anelástico (e = 0), determine:
V
a G y
a) a velocidade angular do cubo ω´, imediatamente após o choque; r
x
r
TMI - ∆ H = M ext escolhendo o ponto A r r r H ′A − H A = M A onde r r r H ′A = m (G − A) ∧ V A′ + J zzA ω ′ r r r H A = m (G − A) ∧ V A + J zzA ω r a r J zzA ω ′ = mV A 2 ω′ =
ω´ m
r MA =0 r r H ′A = J zzA ω ′ k r ar a H A = m − i + 2 2
G
pois r r j ∧VA i
V´ a/2
r V A′ = 0
r r a H A = mV A k 2
ω =0
pois 2
2 J zzA = J G zz + md
como
3V 4a
J zzA =
a 2 ma 2 = 2 ma 2 + m 2 6 3
(1,5)
b) a energia cinética do cubo no instante imediatamente após o choque T=
1 1 mV A2 + J zzA ω ′ 2 2 2
T =0+
3V 2 ma 2 6 4a
2
T=
3 mV 2 16
(0,5)
c) o valor de V a partir do qual o cubo tomba. V = mg ( H f − H i )
a 2 a V = mg − 2 2
V = mga
( 2 − 1) 2
Tomba se T > V 3 ( 2 − 1) mV 2 > mga 16 2
V2 >
8( 2 − 1) ga 3
a/2
(1,0)
A√2/2
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Departamento de Engenharia Mecânica
3ª Questão - Resolução (4,0 pontos) Duas barras homogêneas idênticas AB e BC de comprimento L e massa m, estão ligadas entre si por uma articulação em B, que desliza sobre o eixo x. Entre o ponto A e o anel deslizante D há um amortecedor viscoso linear de constante c em paralelo com uma mola linear de constante k, de massas desprezíveis, com força nula quando θ = 30°. Há outro conjunto mola+amortecedor entre os pontos C e D. As barras estão apoiadas num plano horizontal e não há atrito entre elas e o plano. Aplica-se, r r então uma força F ( t ) = −F i . Determine:
y
A m
B
r 1 r 1 mVO2′ + mVO′ ⋅ (ω ∧ ( G − O′)) + ω t J o′ ω 2 2
p/ duas barras
D x
θ k
F(t)
c
L C
a) a energia cinética T em função das coordenadas x e θ do sistema; T=
c
θ k
(1,0)
1 L 11 T = 2 m x& 2B + m x& B θ& senθ + m L2 θ& 2 2 2 2 3
b) a energia potencial V do sistema; V =
1 1 k y 2A + k y C2 2 2
V =
1 1 k ( y A − L sen 30 °) 2 + k ( − y AC − L sen 30° ) 2 2 2
V = k L2 (senθ − 1 / 2) 2
(1,0)
c) a função dissipativa R (Rayleigh); R=
d) a força generalizada associada a F(t); r δW = F δ x
R = c L2θ& 2 cos2 θ
y& A = L θ& cosθ
1 1 c y& A + c y& C 2 2
δ W = Qx δ qx + Qθ δ qθ
como δ x = δ qx
Qθ = 0
e
Qx = − F
(0,5)
(0,5)
e) escreva as equações de Lagrange para as coordenadas x e θ. d ∂T ∂T ∂V ∂R − + + = Qq dt ∂ q& ∂ q ∂q ∂ q&
Para coordenada generalizada x ∂T = 2m x& + mL θ& senθ ∂ x&
∂T =0 ∂x
Para coordenada generalizada θ ∂T 2 = mL x& sen θ + mL2θ& ∂θ& 3
∂V =0 ∂x
∂T = mL x& θ& cosθ ∂θ
∂R =0 ∂x&
2m&x& + mL θ&& senθ + mL θ& 2 cosθ = − F
∂V = 2 k L2 (senθ − 1 / 2) cosθ ∂θ
(0,5)
∂R = 2cL2θ& cos2 θ ∂θ&
2 m L2θ&& + m L &x& senθ + m L θ& 2 cosθ − m L θ& x& cosθ + 2 c L2θ& 2 cos 2 θ + 2 k L2 (senθ − 1 / 2) cos θ = 0 3
(0,5)
