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PMR-2360 - Controle e Automac ¸˜ ao I 2a. Provinha - 7 de Novembro de 2006 Durac ¸˜ ao da prova - 60 minutos [Q. 1] (3.0pt) Os sistemas de audio normalmente possuem caixas ac´ usticas com alto-falantes especializados para cada faixa de freq¨ uˆ encias: graves (woofer), m´ edios (midrange) e agudos (tweeter). Um projeto ideal de caixa ac´ ustica deve fornecer um ganho constante numa faixa de freq¨ uˆ encias tipicamente de 10Hz a 15Khz (62.8 a 94000 rad/s). Deseja-se projetar uma caixa ac´ ustica somente com um woofer e um tweeter. A func ¸˜ ao de transferˆ encia do woofer e do tweeter s˜ ao apresentadas abaixo: 5002 , s 2 + 300s + 5002 1200002 Gtweeter (s) = 2 . s + 24000s + 1200002 Gwoof er (s) =
(1) (2)
O diagrama de Bode das duas func ¸˜ oes de transferˆ encia s˜ ao apresentados nas duas Figuras abaixo. (a) (1.5pt) Para o projeto do woofer ´ e necess´ ario utilizar um filtro el´ etrico passa baixa de segunda ordem para atenuar a ressonˆ ancia do alto-falante. Para esta finalidade, projete um filtro de segunda ordem do tipo: ω2n . (3) Gf ilter1 = s 2 + 2ζωn s + ω2n Desenhe o Diagrama de Bode de Gf ilter1 e o Diagrama de Bode resultante Gwoof er (s)Gf ilter1 (s). Soluc ¸˜ ao: Aqui ´ e necess´ ario estabelecer um filtro com freq¨ uˆ encia natural amortecida ωn < 500 e com coeficiente de amortecimento ζ > 0.707, evitando assim que o sistema possua uma freq¨ uˆ encia de ressonˆ ancia. Vamos escolher aqui, freq¨ uˆ encia natural amortecida ωn = 300 e coeficiente de amortecimento ζ = 1. Na figura abaixo, temos o Diagrama de Bode do woofer, do filtro projetado e a resposta em freq¨ uˆ encia do sistema resultante. Gwoofer −, Gfilter1 −−, Gwoofer*Gfilter1 −. 50
Magnitude (dB)
0
−50
−100
−150
−200 0
Phase (deg)
−90
−180
−270
−360 1
10
2
10
3
10 Frequency (rad/sec)
1
4
10
5
10
(b) (1.5pt) Para o projeto do tweeter ´ e necess´ ario utilizar um filtro el´ etrico passa alta para que este n˜ ao seja excitado em freq¨ uˆ encias onde o woofer esteja trabalhando. Usualmente, utiliza-se um circuito RC (Resistˆ encia e Capacitor) que implementa um filtro de primeira ordem e possui uma func ¸˜ ao de transferˆ encia do tipo: RCs Gf ilter2 (s) = . (4) RCs + 1 Projete este filtro (ou seja, determine um valor adequado para a constante RC). Desenhe o Diagrama de Bode de Gf ilter2 e o Diagrama de Bode resultante Gtweeter (s)Gf ilter2 (s). Resposta: Aqui podemos escolher uma freq¨ uˆ encia de canto 1/T = 1/RC = 500r ad/s. Ou seja, mais ou menos na regi˜ ao onde o woofer comec ¸a a ter o seu ganho diminu´ıdo. Desta forma, obtemos: Gf ilter2 =
1/500s . 1/500s = 1
(5)
Na figura abaixo, temos o Diagrama de Bode do tweeter, do filtro projetado e a resposta em freq¨ uˆ encia do sistema resultante. Gtweeter −, Gfilter2 −−, Gtweeter*Gfilter2 −. 20
Magnitude (dB)
10 0 −10 −20 −30
Phase (deg)
−40 90
0
−90
−180 1
10
2
10
3
4
10 10 Frequency (rad/sec)
5
10
6
10
[Q. 2] (4.0pt) Um sistema G(s) possui a seguinte func ¸˜ ao de transferˆ encia em malha aberta: G(s) =
K(s + 3)(s + 5) . (s − 2)(s − 4)
(6)
Deseja-se inferir a estabilidade do sistema em malha fechada em func ¸˜ ao do parˆ ametro K utilizando o Crit´ erio de Estabilidade de Nyquist. Para quais valores de K este sistema ´ e est´ avel em malha fechada ? (a) (2.0pt) Inicialmente estabelec ¸a um gr´ afico de Nyquist qualitativo. Resposta: Sabemos que para s → 0+ , G(jω) =
2
15 K∠(0o ). 8
(7)
e que para s → ∞+ ,
G(jω) = K∠(0o ).
(8)
Desta forma, chegamos ao seguinte diagrama qualitativo de Nyquist.
−1
K
15/18K
Ou seja, dependendo do valor de K o diagrama polar de Nyquist pode ter 0 ou 2 enlac ¸amentos de -1 no sentido anti-hor´ ario. Como temos P = 2 (n´ umero de p´ olos de G(s) no semi-plano direito), ou seja, como Z = P + N, N = −2 sempre para que o sistema seja est´ avel. (b) (2.0pt) Em seguida, calcule o valor de K para que o sistema seja est´ avel. Partindo do nosso sistema G(s) e substituindo a vari´ avel complexa jω, obtemos:
K
(jω + 3)(jω + 5) (jω)2 + 5jω + 3jω + 15 =K (jω − 2)(jω − 4) (jω)2 − 4jω − 2jω + 8 =K
(15 − ω2 )(8 − ω2 ) − 48ω2 + j(154 − 14ω2 )ω . (8 − ω2 )2 + 36ω2
(9) (10)
O ponto de transic ¸˜ ao entre estabilidade e instabilidade ´ e sempre o ponto −1 + j0, onde o ganho do sistema equivale a um sistema marginalmente est´ avel. Partindo da Equac ¸˜ ao 10 acima, sabemos que para um ponto atravessar o eixo real, ´ e obviamente necess´ ario que ele possua parte imagin´ aria nula. Ent˜ ao: (154 − 14ω2 )ω = 0. (11) √ √ Ou seja, temos as seguintes soluc ¸˜ oes: ω = 0,ω = + 11 = +3.3166,ω = − 11 = −3.3166. Sabemos obviamente que e uma soluc ¸˜ ao mas n˜ ao a procurada e que ω n˜ ao pode ser negativo. √ω = 0´ ¸˜ ao 10, obtemos: Logo, a soluc ¸˜ ao ´ e ω = + 11. Substituindo este valor na Equac u + jv = −1.3333K + j0.
(12)
Neste caso, ´ e necess´ ario que o cruzamento com o eixo real se dˆ e a esquerda do ponto −1 + j0 para que os enlac ¸amentos ocorram. Ou seja,
−1.3333K ≤ −1(× − 1), 1.3333K ≥ 1,
(13) (14)
K ≥ 0.75.
(15)
K . (s + 5)(s + 20)(s + 50)
(16)
[Q. 3] (3.0pt) Seja o seguinte sistema em malha aberta: G(s) =
3
Na Figura abaixo, observamos o Diagrama de Bode para K = 1 (linha cont´ınua) e K = 10000 (descont´ınua), o Diagrama de Fase ´ e o mesmo para ambos. Bode Diagram 20 0 −20
Magnitude (dB)
−40 −60 −80 −100 −120 −140 −160 −180 0
−45
Phase (deg)
−90
−135
−180
−225
−270 −1
0
10
1
10
2
10 Frequency (rad/sec)
3
10
10
(a) (1.0pt) Para K = 10000 calcule a Margem de Ganho e a Margem de Fase do sistema. Do gr´ afico, obtemos Margem de ganho Kg = 19.7dB e Margem de Fase γ = 92.9o . (b) (1.0pt) Para K = 10000 o sistema ´ e est´ avel ? Argumente. Como as margens de ganho e de fase s˜ ao positivas, o sistema ´ e est´ avel. Bode Diagram 20
Magnitude (dB)
0 −20 System: st Gain Margin (dB): 19.7 At frequency (rad/sec): 36.8 Closed Loop Stable? Yes
−40 −60 −80
Phase (deg)
−100 0
−90 System: st Phase Margin (deg): 92.9 Delay Margin (sec): 0.209 At frequency (rad/sec): 7.74 Closed Loop Stable? Yes
−180
−270 −1
10
0
10
1
10 Frequency (rad/sec)
4
2
10
3
10
(c) (1.0pt) Qual o valor de K para que o sistema seja marginalmente est´ avel ? O valor de K para o sistema ser marginalmente est´ avel est´ a relacionado ` a Margem de Ganho Kg do sistema quando K = 1. Ou seja, Kg (G(s)|K = 1) = 20 log K,
(17)
A Margem de Ganho Kg do sistema G(s) quando K = 1 ´ e de aproximadamente Kg ≈ 99.7dB. Logo,
20 log K ≈ 99.7dB 99.7 20 K ≈ 99605.
log K ≈
5
(18) (19) (20)
