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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2100 – MECÂNICA A – Primeira Prova – 15 de setembro de 2006 Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras)
1ª Questão (3,5 pontos) A figura mostra uma placa homogênea quadrada, de peso P e lado a, sujeita à ação de forças aplicadas nos pontos A e B. Considerando os eixos (X,Y,Z), orientados Z r r r pelos versores (i , j , k ) , pede-se: a r r a) A resultante R e o momento M O do Y F sistema de forças, este último calculado B O em relação ao pólo O; r F b) O momento M G do sistema de forças G P em relação ao centro de massa G da placa; F c) Responda e justifique: O sistema é redutível a uma única força? O sistema é A C redutível a um binário? F d) Com F = P 2 , determine o lugar geométrico dos pontos E em relação aos r X quais o momento M E do sistema de forças r
é paralelo à resultante; calcule M E .
Solução: a)
Resultante e momento em relação a O: r r r r R = ( F − F ) i + ( F − F ) k − Pk
(
r r R = − Pk
∴
)
(
(0,5)
)
r r r r r r M O = ( A − O)^ (− Fk ) + (− Fi ) + ( B − O )^ ( Fk ) + ( Fi ) + (G − O )^ (− Pk ) = r a r r r r = aFj + aFi − aFk + P (−i + j ) 2
⇒
r⎞ r P r P r ⎛ M O = a ⎜ ( F − ) i + ( F + ) j − Fk ⎟ 2 2 ⎝ ⎠
b)
Aplicando-se a fórmula de mudança de pólo:
⇒
r r r r r r a r r a r r M G = M O + (O − G )^ R = M O − (i + j )^ ( − Pk ) = M O + P (i − j ) 2 2 r r r r M G = aF i + j − k
(
)
(0,5)
(0,5)
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c)
O sistema: (i) (ii)
é não-redutível a uma única força; é não-redutível a um binário. (0,5)
Sim, pois: (i) (ii)
r r r r o invariante, M O ⋅ R = M G ⋅ R = aFP ≠ 0 , é não-nulo; r r a resultante, R = − Pk , é não-nula. (0,5)
d)
Solicita-se o eixo central: r r r R^ M O ( E − O) = r 2 + λR , com λ ∈ ℜ . R
Assim: r r⎞ P r P r ⎛ (− Pk )^ a⎜ ( F − )i + ( F + ) j − Fk ⎟ 2 2 ⎠ + β kr , com β ∈ ℜ , de onde segue, ⎝ ( E − O) = 2 P P r P r⎞ ⎛ a⎜ − ( F − ) j + ( F + )i ⎟ r 2 2 ⎠ + β k , com β ∈ ℜ , ou ainda, ( E − O) = ⎝ P
r ⎛ ⎛ F 1 ⎞r ⎛ F 1 ⎞ r ⎞ ( E − O) = a⎜⎜ ⎜ + ⎟i − ⎜ − ⎟ j ⎟⎟ + β k , com β ∈ ℜ . ⎝⎝ P 2 ⎠ ⎝ P 2 ⎠ ⎠
(0,5)
r r Com F = P 2 tem-se: ( E − O ) = ai + β k . r Cálculo do valor de M E - pela fórmula de mudança de pólo:
r r r M E = M O + (O − E )^ R , i.e., r⎞ r ⎡ ⎛ ⎛ F 1 ⎞r ⎛ F 1 ⎞ r ⎞ r⎤ r ⎛⎛ P ⎞r ⎛ P ⎞r M E = a⎜⎜ ⎜ F − ⎟i + ⎜ F + ⎟ j − Fk ⎟⎟ + (− Pk )^ ⎢a⎜⎜ ⎜ + ⎟i − ⎜ − ⎟ j ⎟⎟ + β k ⎥ = 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎠ ⎝⎝ ⎣ ⎝⎝ P 2 ⎠ ⎝ P 2 ⎠ ⎠ ⎦ r⎞ ⎛ ⎛ ⎛⎛ P ⎞r ⎛ P ⎞r P ⎞r ⎛ P ⎞r ⎞ = a⎜⎜ ⎜ F − ⎟i + ⎜ F + ⎟ j − Fk ⎟⎟ + a⎜⎜ − ⎜ F + ⎟ j − ⎜ F − ⎟i ⎟⎟ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2⎠ 2⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝⎝ ∴
r r r aP r M E = − aFk . Com F = P 2 tem-se: M E = − k . 2
(0,5)
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2ª Questão (3,0 pontos) Uma estrutura triangular é composta por três barras, articuladas entre si. Esta estrutura é vinculada à parede vertical por uma articulação em A e um apoio simples em B e suporta uma polia homogênea de raio R e peso Q, através de uma articulação em C. Um fio ideal, preso à parede em D, e que passa pela polia, suporta um bloco de peso P. As barras têm peso desprezível. Pede-se: D
a) Calcule a tração no fio e as reações da estrutura triangular sobre a polia, em C; 4a
A
3a
b) Calcule as reações dos vínculos sobre a estrutura triangular em A e B e mostre os resultados em um diagrama de corpo livre;
C
c) Calcule as forças nas barras e informe explicitamente se as barras estão tracionadas ou comprimidas.
5a
B Solução: a) (0,5) Diagrama de corpo livre, da estrutura triangular:
Diagrama de corpo livre da polia: T
Ay
Cy Ax
Cx
4a
C
A
C
Cx
Q Cy
3a
P
5a
B Bx Equilíbrio dos momentos das forças na polia em relação ao pólo C: M C = T .R − P.R = 0 ⇒
T =P
Equilíbrio das forças na polia: ∑ Fx = 0 ⇒ C x − T = 0 ⇒ ∑ Fy = 0
Cx = P
⇒ Cy − Q − P = 0 ⇒
Cy = P + Q 3
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b)
(0,5) Equilíbrio dos momentos das forças na estrutura triangular, em relação ao pólo A: M A = B x .3 a − C y .4 a = 0 ⇒ B x =
4 Cy 3
⇒
Bx =
4 (P + Q ) 3
Equilíbrio das forças na estrutura triangular:
(P + 4Q ) 4 (P + Q ) ⇒ Ax = − 3 3 Ay = P + Q
∑ Fx = 0 ⇒ Ax + B x − C x = 0 ⇒ Ax = C x − B x ⇒ Ax = P − ∑ Fy = 0
c)
⇒
Ay − C y = 0 ⇒
Ay = C y
⇒
(0,5) Forças nas barras:
A estrutura triangular é uma treliça (barras de massa desprezível, articuladas nas extremidades, com forças aplicadas apenas nos nós), e, usando o método dos nós, obtemos: Ay FAC
Ax
FAC
FAC
FAC
A
FBC
FAB
C Cx Cy
FAB FBC
FAB FAB
FBC FBC
B Bx Nó A: ∑ Fx = 0 ⇒ Ax + FAC = 0 ⇒ FAC =
(P + 4Q ) 3
∑ Fy = 0 ⇒ Ay − FAB = 0 ⇒ FAB = P + Q
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Nó B: ∑ Fx = 0 ⇒ FBC ⋅
5 4 5 4 + Bx = 0 ⇒ FBC = − ⋅ (P + Q ) ⇒ FBC = − (P + Q ) 3 5 4 3
Portanto, observando as indicações da figura acima: Barra AB: tracionada Barra AC: tracionada Barra BC: comprimida
FAC =
(P + 4Q ) 3
;
FAB = P + Q ;
FBC = −
5 (P + Q ) 3
5
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3ª Questão (3,5 pontos) A estrutura em forma de T é homogênea e tem peso P. A extremidade A se apóia na parede (vertical) e a extremidade B se apóia no solo (horizontal). A parede e o solo são de materiais diferentes: o coeficiente de atrito entre a estrutura e o piso é μ e o coeficiente de atrito entre a estrutura e a parede é nulo. Pede-se:
y
g C
A L 2
L 2
a) Determine as coordenadas xG e yG do baricentro da estrutura em forma de T; b) Calcule a força de atrito entre a estrutura e o piso no ponto B, supondo que a estrutura esteja em equilíbrio estático; c) Verifique se μ = 0,5 é suficiente para manter o equilíbrio.
L 2
45o
B x
Solução: a) xG = 0
(por simetria)
(0,5)
m L 2 2m 0 + 3 =L 2 yG = 3 2 m 2m 6 + 3 3
(0,5)
b) Diagrama de corpo livre (0,5) A
Equações de equilíbrio: ∑ Fx = 0 ⇒ Fat = N A
NA
∑F
L 2 6
y
∑M
=0 ⇒ Bz
Fat
B
⇒
NB
∴
NB = P
=0 ⇒
P
NA =
(0,5)
N A 2L 2
⎛ 2 L 2⎞ 2 ⎟ = P⎜⎜ L 2 − ⎟ 2 2 6 ⎠ ⎝
⇒
5P 12
Fat =
5 P 12
(0,5)
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c) No limite: Fat = μ N B = 0,5 P >
5P 12
Portanto μ = 0,5 é suficiente para manter o equilíbrio.
(0,5) (0,5)
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