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4) Um grande rolo de papel de massa M e raio R está em repouso contra uma parede vertical e é mantido no lugar por uma barra (com massa desprezível) ligada a um eixo que passa pelo centro do rolo, conforme indicado na figura. O eixo pode girar sem atrito na barra e o momento de inércia do rolo em torno do eixo é I. A outra extremidade da barra está presa à parede por uma articulação sem atrito e faz um ângulo β com a parede. O coeficiente de atrito cinético entre a parede e o papel é µ. Uma força constante vertical de módulo F é aplicada ao papel que se desenrola.
β
r F
Responda às perguntas seguintes expressando todas as suas respostas em função de F, M, R, β, µ, g e I. Despreze o fato que, à medida que o papel desenrola, M, R, β, µ e I variam levemente.
a) (0,5) Desenhe um diagrama contendo todas as forças que atuam sobre o rolo e seus respectivos pontos de aplicação. b) (1,0) Calcule o módulo da força Fsup que a barra exerce sobre o rolo enquanto o papel desenrola? c) (1,0) Quanto tempo o rolo leva para fazer a primeira volta completa?
a) Repare que, como o centro de massa do sistema não sofre translação, a resultante de todas as forças deve ser nula, o que faz com que a componente r horizontal de Fbarra deva compensar a força normal, r enquanto que a componente vertical de Fbarra deve compensar as outras forças verticais do problema.
β
r Fbarra
r N r Fa
r P
r F
b) Movimento de translação do centro de massa : r Fext = 0 Como o centro de massa não mexe,
∑
Ao longo da horizontal : N − Fbarra senβ = 0
→
N = Fbarra senβ
Ao longo da vertical : Fbarra cosβ − Fa − P − F = 0 = Fbarra cos β − µ Fbarra senβ − Mg − F → Fbarra =
Mg + F cos β − µ senβ
c) Movimento de rotação em torno do centro de massa : r r τ ext = Iα
∑
Supondo que o sentido positivo da rotação seja no sentido horário, temos que ⎛ ⎞ Mg + F FR − Fa R = Iα = R(F − µFbarra senβ ) = R⎜⎜ F − µ senβ ⎟⎟ cos β − µ senβ ⎝ ⎠ →α = =
⎞ R⎛ Mg + F R µ senβ ⎟⎟ = [F (cos β − µ senβ ) − (Mg + F ) µ senβ ] ⎜⎜ F − I⎝ cos β − µ senβ ⎠ I (cos β − µ senβ )
R(F (cos β − 2 µ senβ ) − Mg µ senβ ) I (cos β − µ senβ )
Como α só depende de parâmetros constantes do problema, ela é constante. Portanto podemos usar as relações conhecidas do movimento de rotação uniformemente acelerado : 1 2
θ = θ 0 + ϖ 0t + α t 2 Como o sistema estava inicialmente no repouso (ϖ 0 = 0), e tomando θ 0 = 0, temos que t=
2θ
α
=
4πI = ⎛ ⎞ Mg + F R⎜⎜ F − µ senβ ⎟⎟ cos β − µ senβ ⎝ ⎠
4πI (cos β − µ senβ ) R(F (cos β − 2 µ senβ ) − Mg µ senβ )
