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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS E FUNDAÇÕES 2ª. PROVA – PEF 2401 26/06/03
1ª. Questão (5.0): Para a estrutura da Figura 1, pedem-se: a) Determinar, usando o Método Passo a Passo, o valor de γ, multiplicador do carregamento indicado, que provoca o colapso plástico da estrutura; b) Verificar o resultado obtido em a) usando o Teorema Cinemático e o Teorema Estático. Dados: MII = 200kN.m (momento de plastificação, constante para todas as barras) Diagrama de momentos fletores correspondente à solução da γ = 1.0 (Figura2)
E
estrutura
6m
E
γ40kN C 83.47
B 66.12
D
66.12
C
D
20.82
4m
B
20.82
γ20kN
A
A
2m Figura 1
M (kN.m) Diagrama de M para γ=1.0
2m Figura 2
para
2ª. Questão (5.0): Parte A: Constatou-se por meio de ensaio de vibrações livres amortecidas associadas ao deslocamento vertical do ponto D, vD, que a taxa de amortecimento da estrutura da Figura 3 é de 5%. Nessas condições, pedem-se: a) A relação entre dois deslocamentos máximos consecutivos; b) Determinar o coeficiente de rigidez equivalente; c) Determinar o coeficiente de amortecimento, c. Parte B: Em seguida, essa estrutura foi solicitada, conforme se mostra na Figura 4, por carregamento harmônico p (t ) = p0 sen ω t e constatou-se coeficiente de amplificação dinâmica igual a 3 (D=3). Nessas condições, pedem-se: a) A frequência de excitação ω (sabe-se que ω > ω ); b) O deslocamento vertical máximo em C (vCmáx) (em regime permanente); c) A força máxima na estrutura (em regime permanente). 1 EI , conforme se 4 a3 mostra na Figura 5. Considerando-se o mesmo carregamento da parte B, pedem-se: a) Determinar o novo coeficiente de rigidez equivalente; b) A força máxima na estrutura (em regime permanente); c) Apreciar a conveniência da introdução da mola k2 (justificar).
Parte C: Foi introduzida uma mola com coeficiente de rigidez k 2 =
Dados: m = 1000kg
EI = 16 × 10 5 Nm 2 a = 2m p 0 = 1000 N 3 EI k1 = 8 a3 p0 sen ωt
x(u) m
y(v)
m D k1
B
a,EI
p0 sen ωt m
k1
k1
C
k2
a EI
A
Figura 3
Figura 4
Figura 5
Gabarito 1a. questão:
Primeiro passo: determinação de γ 1 (primeira rótula): M max = M C = 83.47kN ⋅ m M C1 = γ 1 ⋅ M C = M II = 200kN ⋅ m
γ1 =
⇒
200 200 = = 2.3961 M C 83.47
Esquema e diagrama de M 1 = γ 1 ⋅ M : E
E
γ 1 40
γ40kN
γ 1 20 γ20kN
158.43
D
20.82
20.82
D
49.89
83.47
C
66.12
158.43 C B 66.12
B
200
A
A
M 1 =Mγ(kN.m) 1⋅M Diagrama de M para γ=1.0
VE
Acréscimo de carga: solução elástica para ∆γ = 1.0 :
V E = 40 + V A
(1)
H A = 20 + H E
(2)
4V A − 10 H A + 20 ⋅ 6 + 40 ⋅ 2 = 0 (3) 2V A − 4 H A = 0
⇒
HE
γ 1 40
V A = 200kN
γ40kN
γ 1 20 γ20kN B
V A = 2H A
(3) 8 H A − 10 H A + 120 + 80 = 0 H A = 100kN ;
E
C
∴ HA
A
VA
D
(1) V E = 240kN (2) H E = 80kN Diagrama:
480 400 480 400
∆M 1
Diagr
Segundo passo: determinação de ∆γ 1 (segunda rótula) Seção B:
M B1 + ∆γ 1 ⋅ ∆M B1 = M II = 200 158.43 + ∆γ 1 ⋅ 400 = 200
Seção D:
⇒
∆γ 1 = 0.1039
M D1 + ∆γ 1 ⋅ ∆M D1 = M II = 200 − 49.89 + ∆γ 1 ⋅ 480 = 200
⇒
(segunda rótula em B) Configuração final e valor de γ :
γ = γ 1 + ∆γ 1 = 2.3961 + 0.1039 = 2.50
∆γ 1 = 0.521
Verificação (T. Cinemático):
θ 6θ
γ C 40 γ C 20
θ
2θ
1.5θ
τ ext = γ C (20 ⋅ 6θ + 40 ⋅ 2θ ) = γ C ⋅ 200θ τ int = M II (θ + θ + 1.5θ − θ ) = M II ⋅ 2.5θ ∴ γ C ⋅ 200 = M II ⋅ 2.5
⇒
γ C = 2.5 (OK)
Verificação (T. Estático): MD / 6
γ e 20
20γ e − B
40γ e
200 + M D 4 MD / 6
MD
200
MD / 6 MD / 6
B
C
D
50
20γ e −
200 50
B
A
E
200 + M D 4
20γ e +
MD / 6
200 + M D 4
D
MD
M C = M II = 200 = 200 + 20 ⋅ γ e ⋅ 2 − 40 ⋅ γ e = 100 +
MD 2
(1)
Equilíbrio em B: 20 ⋅ γ e + (1) e (2)
200 + M D 2
200 ⋅ γ e = 500
MD = 50 6
(2)
γ e = 2.5
∴
M D = 80 ⋅ γ e − 200 = 200 − 200 = 0
(OK)
(OK)
2a questão: a)
u1 = e −ξwt1 ,
u1 / u 2 = e
+ξwTD
=e
u 2 = e −ξw( t1 +TD ) ξ 2π
w wD
=e
2π
ξ 1−ξ 2
=e
2π
0.05 1− 0.05 2
= 1.36
Determinação de ke: Fa a,EI
B
C
a EI
A
δ =∫
3 M 1 a 4 Fa δM = ⋅ Fa ⋅ Fa + a ⋅ Fa ⋅ Fa = 3 EI EI EI 3
⇒
Associação em série entre e a estrutura e a mola k1:
k1 k1e ke
ke =
3EI = 150000 N / m 4a 3
1 1 1 = + k1e k1 k e
∴
k1e =
k1 k e (3 / 8) ⋅ (3 / 4) EI = 50000 N / m = k1 + k e (3 / 8) + (3 / 4 ) a 3
Freqüência natural: w2 =
k EI 1 50000 = 3 = = 50 m 4a m 1000
w = 7.07 rad / s
⇒
c = 2 wmξ = 2 ⋅ 7.07 ⋅ 1000 ⋅ 0.05 = 707 N ⋅ s / m
b)
D=
1 (1 − β 2 ) 2 + (2ξβ ) 2
=3
1 = (1 − β 2 ) 2 + (2 ⋅ 0.05 ⋅ β ) 2 9
β2 =
17.91 ± 17.912 − 4 ⋅ 9 ⋅ 8 2⋅9
⇒ 9 β 4 − 17.91β 2 + 8 = 0
⇒ ⇒
β 2 = 1.31 2 β = 0.68
⇒
β 2 ≅ 1.15 2 β ≅ 0.82
w1′ = β ′ ⋅ w = 1.15 ⋅ 7.07 = 8.13rad / s w1′′ = β ′′ ⋅ w = 0.82 ⋅ 7.07 = 5.80rad / s u max D = D ⋅ u e = 3
p` 1000 =3 = 0.06m k1e 50000
Fmax = k1e ⋅ u max D = 3000 N
u max =
Fmax 3000 = = 0.02m ke 150000
k2 c)
k1
k1 ke
k 2e = k 2 + k e = 50000 + 150000 = 200000 k=
k1 k 2 e 75000 ⋅ 200000 = = 54546 N / m k1 + k 2 e 75000 + 200000
k2 e
k
w2 =
β=
54546 1000
⇒
w 8.13 = = 1.10 w 7.38
w = 7.38rad / s
⇒
D = 4.2
