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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS E FUNDAÇÕES 2ª. PROVA - PEF 2401 - Data: 25/06/02 1ª. Questão (5,0) - Parte A: Foi realizado ensaio de vibrações livres correspondente ao deslocamento horizontal do ponto D da estrutura da Figura 1. Foi verificada uma freqüência angular ω = 92.20 rad/s . Nessas condições, determinar o coeficiente de rigidez equivalente da estrutura, ke, sabendo-se que k m = 4 × 10 6 N / m . Admite-se que a massa das barras seja equivalente a uma massa concentrada em D m1 = 1000 kg . C
B
D
2a
km
60º
A
E a
a
Figura 1 Parte B: Essa estrutura foi posteriormente submetida a um impacto, conforme se mostra na Figura 2. Nessas condições pedem-se: a) o máximo momento na estrutura; b) a máxima força na mola. v
m2
m2 = 1000 kg v = 4 m/ s EI = 12 × 10 7 Nm 2 a=2m
60º
Figura 2
Parte C: Considere-se agora que a estrutura da Figura 1 tenha recebido um amortecedor e que esteja solicitada por carga harmônica, com p0 = 5000 N e ω = 85 rad / s , conforme se indica na Figura 3. Sabendo-se que nessas condições o coeficiente de amplificação dinâmica é D = 10 pedem-se: a) a taxa de amortecimento ξ ; b) o coeficiente de amortecimento c; c) o máximo momento em regime permanente. p0 senωt
c 60º
Figura 3
2ª. Questão (5,0): Considere a estrutura da Figura 4 submetida a um carregamento de referência como indicado. 10kN 20kN
4m
20kN
4m
E
G
F
4m
4m 70kN 4m
4m
Mp = momento de plastificação da seção
D
C 4m
4m A
B
EI = todas as barras tem a mesma seção transversal
Figura 4 Pedem-se: a) Identificar seis candidatos a mecanismo de colapso da estrutura e calcular os respectivos multiplicadores γ ci (i = 1 a 6). b) Determinar o mecanismo de colapso da estrutura e o multiplicador γ II que corresponde ao colapso. Formulário para a 1a Questão Vibrações livres m *u + c *u + k *u = 0 u (t ) = e −ξωt ρ cos(ω D t − θ ) k* ω= m*
ρ=
(u0 )
2
u + ξω u 0 + 0 ωD
2
c* ξ= 2m *ω u + 2ξ u 0 tan θ = 0 u 0ω D
ωD = ω 1−ξ 2 a δ = ln n , a n+1
onde a n e an +1 são deslocamentos máximos sucessivos.
Vibrações forçadas harmônicas m *u + c *u + k *u = p0 sen ω t 1 D= 2 2 1 − β 2 + (2ξβ ) ω β= ω
(
)
Gabarito
1ª Questão: Fm = km.u.cos(α)
2
Fmx = km.u.cos (α)
α
∆l=u.cos(α)
u
α
Parte A: k a = ω 2 ma = 92.20 2 × 1000 = 8.5 × 10 6 N / m k a = k e + k m cos 2 45 ∴ k e = 8.5 ×10 6 − 4 ×10 6 × 0.25
k e = 7.5 ×10 6 N / m ke F
2
km.cos (60º)
Parte B: mb u + k b u = 0 k b 8.5 × 10 6 ω = = = 4250 ω b = 65.19 rad / s 2000 mb u0 = 0 m2 u 0 = v = 2m/ s m1 + m2 u 2 u max = δ δ= 0 = = 3.07 × 10 −2 m ω 65.19 Fe max = k eδ = 7.5 ×10 6 N / m × 3.07 ×10 −2 m ≅ 230250 N 2
Fm
max
= k m ∆ max = k m u max cos 60 = k mδ cos 60 = 61400 N
Fa F
F/2
F/2 F
F
Mmax = 230250 x 2 = 460500 Nm Parte C: m*u + c *u + k *u = p0 sen ω t m * = 1000 c * = 2ξω * m *
c * = c cos 2 45
k * = 8.5 × 10 6 N / m
ω = 92.2 rad / s
β=
ω = 85 rad / s 10 =
85 ω = = 0.92 ω 92.2
1
[(1 − 0.92 ) + (2ξ × 0.92) ] 100[(1 − 0.92 ) + (2 × 0.92ξ ) ] = 1 2 2
2 2
β = 0.922
2
1
2
2
ξ 2 = −3.67 × 10 −3
2 1 − (1 − 0.92 2 ) 100 ∴ não existe ξ que leve a D = 10 !!!
(2 × 0.92)2 ξ 2 =
2ª Questão: 1)
ξ 2 = −4.01×10 −3
20.γC1
θ
10.γC1
20.γC1
θ
70.γC1
γ C ×10 × (4θ ) = M p 2θ M γC = p 20 1
1
2)
10.γC2 20.γC2
20.γC2 θ
θ 70.γC2
2γ C2 × 20 × (4θ ) = M p 2θ
γC = 2
3)
Mp
80
10.γC3 20.γC3
20.γC3
70.γC3
θ
θ
2γ C3 × 20 × (4θ ) = M p 2θ
γC = 3
4)
Mp
80
10.γC4 20.γC4
20.γC4
70.γC4 θ 2θ
θ
θ
γ C [(20 × 2 × 4θ ) + (70 × 4θ )] = M p × 4θ M γC = p 110 4
4
5)
10.γC5 20.γC5
20.γC5
θ
70.γC5
θ
γ C (70 × 4θ ) = 4 M pθ M γC = p 70 5
5
6)
10.γC6 20.γC6
θ 2θ
20.γC6 θ
70.γC6
θ
γ C (2 × 20 × 4θ + 10 × 4θ ) = M p 2θ 6
γ C (160 + 40 ) = 2M p 6
γC = 6
Mp
100
10 20
20
XB
XA YA
YB
∑M
A
=0
YB × 8 − 20 × 4 × 2 − 10 × 4 = 0
⇒
YB = MC = 0
200 = 25 8
YB × 4 + X B × 4 = 0 X B = −YB = −25 ⇒
10 20
20
25
15 25
15
100 60
Teorema estático Pórtico inferior X
Mp
γC =
Mp
110 x+Mp 70 × 8 − γ C3 = −M p 2 4 Mp x = − M p + 140γ C3 − 2 2 3
3 x = 2140γ C3 − M p 2 Mp 3 x = 2140 − M p 110 2 x = −0.454M p Mp -Mp/2 Mp
Pórtico superior 0,909.Mp 0,5454.Mp
10.γC7
20.γC7 θ θ
20.γC7
θ
θ 70.γC7
γ C (− 10 × 4θ + 2 × 20 × 4θ ) = M p × 2θ Mp γC = 60 7
7
