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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS E FUNDAÇÕES 1ª. PROVA – PEF 2401 24/04/03
1ª. Questão (4,5): Considere a estrutura mostrada na Figura 1. Pede-se traçar o diagrama de momento fletor para as barras AB, BC e CD e o diagrama de força normal para a barra CE. -∆θ
P B
+∆θ
C
a
A
δ a
E
D a
Figura 1 Dados: P = 10 kN a=4m α = 10-5 ºC-1 ∆θ = 20ºC EI = 104 kN.m2 EA = 105 kN δ = 0.01m Observações: -
Variação de temperatura somente na barra BC; Desprezar deformação por força normal nas barras AB, BC e CD; Seção transversal das barras AB, BC e CD é retangular de altura h = 0.4 m
2ª. Questão (2,0): O diagrama de forças normais da treliça da Figura 2 é fornecido na Figura 3. Determinar o deslocamento vertical do nó O, utilizando o Teorema dos Esforços Virtuais. A
C 4a
∆θ0
5a P
∆θ0
5a
3a
3a 4a
O
∆θ0 5a
B δ
Figura 2 Dados: EA = 25x107 N P = 50000 N recalque δ = 7x10-4 m coeficiente de variação térmica α = 10-5 ºC-1 variação de temperatura ∆θ0 = 10ºC 10000 7500 + +
N (N) 37500
Figura 3
3ª. Questão (3,5): Para a estrutura da Figura 4, determinar: a) Deformação na mola elástica; b) Deslocamento vertical do baricentro da seção C, usando o Teorema dos Esforços Virtuais.
P
a
a
a
D C A
k B
2a
Figura 4 Dados: P, EI, a EI k =3 3 a
E
F
Gabarito
1a. questão: -∆θ
P B
-∆θ
P B
C
+∆θ
+∆θ
C
1
1
+ X1 × X A0
A
δ
A
∑X =0 ∑Y = 0 A
A
⇒
⇒
⇒
∑X =0 ∑Y = −
⇒
D
X D′
E
YD′
YD0 = P ;
⇒
X A0 = 0 ;
X D0 = − P ; YA0 = − P ;
= −1 ⋅ a 2 + YD′ ⋅ a = 0
M B = X ′A ⋅ a = 0
δ Y A′
= − Pa + YD0 ⋅ a = 0
M B = X A0 ⋅ a = 0
∑M
X ′A
X D0
Y D0
Y A0
∑M
D
⇒
⇒
YD′ = 2 ;
X ′A = 0 ;
X D′ = − 2 / 2 ;
2 / 2 + 2 + YA′ = 0
⇒
YA′ = − 2 / 2 ; 2 a 2
Pa Pa
M0
2 a 2
M1
Forcas virtuais: δM = M 1 , δN = 1 (barra de treliça) TEV: * δτ int = ∫ δM
α∆T M N dx + ∫ δM dx dx + ∫ δN h EI EA
3
* δτ ext = ∑ δRkI ⋅ d kI = 2 ⋅ (−δ ) = −δ 2 k =1
* Detalhando δτ int :
M 0M1 (M 0 )2 1 α( 2 ∆θ) dx + X 1 ∫ dx + X 1 ∫ dx + M 1dx estr estr CE EA EI EI h ∫BC
* δτ int =∫
M 0M1 2 a 2 2 Pa 3 dx = Pa a = ∫estr EI EI 3 2 3 EI (M 0 )2 2 a 2 2 a3 dx a a = = ∫estr EI EI 3 2 2 3EI 1 2a ∫CE EA dx = EA ; * * δτ int = δτ ext
X1 =
−
2α∆θ h
∫
BC
M 1dx = −
2α∆θ 2 a 2 α∆θa 2 a =− h 2 2 2 h
⇒
2 Pa 3 2 α∆θa 2 + −δ 2 2 EI 2 h = −17,652kN a3 2a + 3EI EA
Diagramas:
-17,652
9.926
9.926
M (kN.m)
N (kN)
2a. questão: wO = ?
δ N= 0 δ E= 1
ψ
sen y = 0.6 cos y = 0.8 carregamento virtual aplicado a uma isostática fundamental
δ N= -1
δ R= 1
N dNdx + ò (a D q0 )dNdx est EA est æN dN l ö÷ = å çç + a D q0 å (dN l )i ÷ è EA ÷ øi i i
dt i* =
ò
dt e* = l wO - 1 ×d T.E.V.: dt i* = dt e* \ wO - d =
å i
æN dN l ÷ ö çç + a D q0 å (dN l )i ÷ ÷ è EA øi i
wO = 7 ´ 10- 4 +
(5)(- 37500)(- 1) + (10- 5 )(10)(- 1)(5) 7 25 ´ 10
wO = + 9.5 ´ 10- 4 m 3a. questão:
Estrutura isostática
P a
a 2P
P
2P
P
Fm=2P
a
2P 2P 2a
Pa 4Pa
Pa 2a
a) Fm = 2P Þ dm =
Fm 2P 2P 2Pa 3 = = = k k 3EI 3EI 3 a
(
)
b) wC = ? T.E.V.: dt i* = dt e*
M F dMdx + m dFm = wC ×1 est EI k
ò
dM = momentos fletores virtuais dFm = força virtual na mola
üïï ý para carregamento dP = 1 þïï
M
δP=1
Nota: dM =
M F e dFm = m = 2 P P
Portanto: wC =
a 2a 2Pa 3 (Pa )(2a )(3) + (4Pa )(2 ´ 4a ) + (2) 6EI 6EI 3EI
wC = 13
Pa 3 EI
