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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS E FUNDAÇÕES 1ª. PROVA – PEF 130 25/09/01 1ª. Questão (1,5): Para a viga da Figura 1, usando o Teorema dos Esforços Virtuais, determinar o deslocamento vertical do eixo da viga nas seções B (wB) e D (wD), em decorrência da variação térmica indicada. Esboçar, também, o eixo deformado da viga (“curva elástica”). Dados:
α = coeficiente de variação térmica = 10-5 ºC-1 ∆θ1 = +15º C ∆θ 2 = −15º C a=2m b = largura da seção transversal retangular = 0,05 m h = altura da seção transversal retangular = 0,20 m
Figura 1 2ª. Questão (4,0): Determinar as forças normais da treliça da Figura 2, usando o Teortema dos Esforços Virtuais, em decorrência dos carregamentos e recalques de apoio indicados.
Figura 2 l
f ( x ) g ( x ) dx = 0
l [ f A (2 g A + g B ) + f B ( g A + 2 g B ) ] 6
f ( x ), g ( x) = funções lineares
3ª. Questão (2,5): Considere-se a estrutura formada por barras de mesma secção transversal e por mola, solicitada conforme se indica na Figura 3. Essa estrutura foi analisada com mola de rigidez infinita e observou-se que w c = 0, 01m . Essa mola foi substituída por outra de coeficiente de rigidez k. Nessa nova condição, EI determinar o escalar α = 3 de modo que se tenha w c = 0, 02m . ka Desprezam-se as parcelas dos deslocamentos devidas à força normal nas barras.
Figura 3 4ª. Questão (2,0): Considere-se a grelha formada por barras prismáticas de mesma secção transversal e solicitada conforme se indica na Figura 4.
Figura 4 Essa estrutura foi analisada e foram obtidos os diagramas de esforços solicitantes indicados na Figura 5.
Figura 5 Nessas condições, calcular o deslocamento vertical do ponto E.
Gabarito
1ª Questão:
2a
a
a
2a
1= δEB
2a
(-)
δMB
1= δED
(-) a
B: δτ e* = WB ⋅1 = δτ i* =
D: δτ e* = WD ⋅1 = δτ i* =
WB =
δMD
(+)
2a
α ⋅ ( ∆θ 2 − ∆θ1 ) h
WD =
(
⋅ −2 ⋅ a
2
α ⋅ ( ∆θ 2 − ∆θ1 ) h
α ⋅ ( ∆θ 2 − ∆θ1 ) h
h
⋅ δ M D ⋅ dx
est
10 −5 ⋅ ( −30 ) ⋅ ( −8 ) 0, 2
(
)
= +12 × 10−3 m ↓
⋅ +a 2 = −6 ×10−3 m ↑
Esboço da “elástica” wD wB
est
α ⋅ ( ∆θ 2 − ∆θ1 )
)=
⋅ δ M B ⋅ dx
2ª Questão: 6 δ1
A
A
1
8
8
B
B +X*
C
D
C
1
D 0.75
δ2
n – forças normais r – reações N = n + X ⋅n R = r + X ⋅r
Seja a solução equilibrada decorrente da aplicação do carregamento virtual δ X = 1 na isostática fundamental. Nestas condições surgem forças normais virtuais δ N = n e as reações virtuais δ R = r . Aplicação do T.E.V.:
δτ i* =
δN⋅
N ⋅l = E⋅A
n ⋅(n + X ⋅ n )⋅
l = E⋅A
n ⋅n⋅
l +X⋅ E⋅A
δτ e* = 1 ⋅ δ1 + 0, 75 ⋅ δ 2
δτ i* = δτ e*
X=
δ1 + 0, 75 ⋅ δ 2 −
n2 ⋅
n ⋅n⋅ l E⋅A
ou X =
E ⋅ A ⋅ ( δ1 + 0, 75 ⋅ δ 2 ) −
n ⋅l 2
n ⋅ n ⋅l
l E⋅A
n⋅
l E⋅A
Barra
n
n
l
AC
-6
3
3⋅ a
AB BD CD
-8 -6 -8
AD
10
4 0 0 1
−5
n ⋅n ⋅l −27 ⋅ a 2 0 0 −32 ⋅ a −125 ⋅a 2
4⋅a 3⋅ a 4⋅a
4
5⋅a
n2 ⋅l 27 ⋅a 6 0 0 4⋅a 125 ⋅a 16 27 ⋅a 2
−108 ⋅ a
4 54000 ⋅ 10 −3 + 0, 75 ⋅ ⋅10−3 + 108 ⋅1 3 X = 27 ⋅1 2
X = 16 KN ∴ N = n + 16 ⋅ n
Logo: N AC = 6 KN
tração
N AC = −8 KN
compressão
N AC = −6 KN
compressão
N AC = 8 KN
tração
N AC = −10 KN
compressão
N
6 -8 -6 8 -10
3ª Questão: P x (u)
a
a
B
z (w)
D
C a
a k
A
E
M ⋅M F ds + m ⋅ Fm EI k
wc =
a) Calculo de M e Fm P Pa/2
Pa/2 a
Fm= -P/2 P/2
P/2
a
a
P/2
a
P/2 M
P/2
P/2
b) Calculo de M e Fm 1 a/2
a/2 a
Fm= -1/2 1 /2
a
a
a
1 /2 M 1 /2
1 /2
1 a P⋅a a P 1 P ⋅ a3 P wc = ⋅ ⋅ ⋅ 2⋅ ⋅ 4 + ⋅ = + EI 6 2 2 2⋅ k 2 3⋅ E ⋅ I 4 ⋅ k
3⋅ E ⋅ I P P ⋅ a3 ⋅ 1+ ⋅ ≤w P ⋅ a3 4 ⋅ k 3⋅ E ⋅ I
P ⋅ a3 3 E⋅I ⋅ 1+ ⋅ ≤ 0, 02 m 3⋅ E ⋅ I 4 k ⋅ a3
P ⋅ a3 3 4 = 0, 01 → 1 + ⋅ α ≤ 2 → α ≤ 3⋅ E ⋅ I 4 3
4ª Questão: a) Calculo de wE !
wE =
M ⋅M T ⋅T ds + ds EI GI !
1 1 2.5 4
3
M
wE =
-4
T
1 1 ⋅ [10,875 + 31,819 + 19, 031 + 52,95] + ⋅ [ −83, 04] = 1,91×10−3 − 1,10 ×10−3 EI GIT wE = 0,81× 10−3 m
