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F sica III
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Escola Politecnica - 2004 FGE 2203 - GABARITO DA P3
&1 de julho de 2004
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Quest~ao 1 Considere um toroide de seca~o quadrada de lado a e raio interno R, conforme a gura, R
a I (1,0 ponto)
que possui N espiras enroladas, e por onde passa uma corrente I . Ele se encontra no vacuo.
(a) Calcule o vetor campo magnetico no interior do toroide (B~ ) e o coe ciente de auto-indut^ancia L. 0
Agora, o toroide e preenchido com um material de suscetibilidade magnetica m . (0,5 ponto)
(b) Determine o vetor intensidade magnetica H~ no interior do toroide.
(0,5 ponto)
(c) Determine o campo magnetico (B~ ) no interior do toroide na presenca do material.
(0,5 ponto)
(d) Determine o vetor magnetizac~ao M~ no material.
Soluc~ ao
(a) O campo B~ em um ponto dentro do solenoide depende, aproximadamente, apenas da dist^ancia r entre este ponto e o centro do solenoide. Fora do solenoide o campo e aproximadamente nulo. Usando a lei de Ampere e escolhendo para o caminho C um crculo de raio r, conc^entrico com o toroide, obtemos: I NI ~ d~ ~ = B ` = 2rB = N I =) B ^ 2 r C 0
0
0
0
0
0
z
I
R r
a a
O uxo atraves de uma espira e = (1)
Z
~ ~ B 0 dS
= 2
0 N I
A auto-indut^ancia e dada por
R + a Z 1 NIa adr = `n
R+a
0
R
r
2
R
R + a N a = 2 `n R L= I (b) O vetor intensidade magnetica e dado por ~ B NI ^ ~ = H = 2r (c) O campo B~ dentro do material e N
(1)
0
2
0
0
= H~ = (1 + m)H~ = (1 + m )B~ , B~ = (1 + m ) 2NrI ^ (d) A magnetizac~ao dentro do material e NI ^ ~ = H ~ = m M m 2r ~ B
0
0
0
Quest~ao 2 Considere um capacitor de placas paralelas de area A separadas por uma dist^ancia 3d. Uma chapa metalica de espessura d, area A e carga nula e inserida entre as placas, conforme a gura.
_Q I II III
d d
metal
d
+Q As placas do capacitor possuem cargas +Q e
Q
distribuidas uniformemente.
(0.5 ponto)
(a) Determine a distribuic~ao de carga na chapa metalica. Justi que sua resposta.
(0.5 ponto)
(b) Determine o vetor campo eletrico nas regi~oes I , I I e I I I , conforme a gura.
(0.5 ponto)
(c) Determine a diferenca de potencial eletrico entre as placas do capacitor.
(0.5 ponto)
(d) Determine a capacit^ancia do sistema.
Soluc~ ao
(a) Para que o campo eletrico no interior do condutor seja nulo, a carga induzida na superfcie superior da chapa deve ser igual a +Q e a carga induzida na superfcie inferior deve ser igual a Q, ambas uniformemente distribuidas. (b) O campo eletrico no capacitor plano pode ser calculado com a Lei de Gauss e vale E
= QA ; 0
dentro do capacitor, e E = 0, fora dele. As distribuico~es de carga nas superfcies da placa metalica criam um campo igual e oposto ao do capacitor de modo que o campo dentro da placa e zero. −Q
E = Q ^z εo A E= 0
I Q II −Q III
E=
+Q
Q
εo A
γ
d d
^z
d
(c) A diferenca de potencial e (veja a gura) V =
Z
~ E
d~` = QA d + 0 + QA d = 2QA d 0
0
(d) A capacit^ancia e dada por C
A A = QV = Q = 2Qd 2d 0
0
0
Quest~ao 3 Considere o circuito representado na gura abaixo, onde L, C e R s~ao a indut^ancia, a capacit^ancia e a resist^encia dos diferentes componentes. A e B s~ao duas chaves que servem para abrir ou fechar o circuito. + Q0 C
L
R
_Q
0
A
B
No instante t = 0 o capacitor esta carregado com carga Q . A chave B esta aberta e a chave A e ent~ao fechada. 0
(0.5 ponto)
(a) Escreva a equac~ao diferencial que representa o circuito fechado, em termos da carga na placa superior do capacitor (Q(t)).
(b) Qual e a express~ao da carga em func~ao do tempo e em termos de Q , L e C ? p Agora, no instante t = 2 LC a chave A e aberta e a B e fechada.
(1.0 ponto)
0
(0.5 ponto)
(c) Escreva a equac~ao diferencial que representa o circuito fechado.
(0.5 ponto)
(d) Determine a carga na placa superior do capacitor (Q(t)) em funca~o do tempo.
Soluc~ ao
(a) A equac~ao do circuito e
Q = dt C Para o capacitor descarregando I = dQ=dt. Assim, L
d2 Q 2
dt
+!
2 0
Q
dI
=0;
2
!0
1 = CL
(b) A soluc~ao geral da equac~ao acima e Q
= Acos(! t + ) =) I = 0
dQ=dt
= A! sen(! t + ) 0
0
No instante t = 0, (0) = Acos( ) = Q e
Q
0
Portanto, = 0, A = Q e 0
Q
I
(0) = A! sen( ) = 0 0
= Q cos(! t) 0
0
(c) Para o circuito RC temos
= QC p No instante t = 2 LC = T (um perodo) o capacitor esta novamente com a carga maxima Q . Com o capacitor descarregando I = dQ=dt e dQ R = Q =) dQ = 1 Q RI
0
dt
C
dt
(d) A equac~ao acima pode ser integrada Z Q dQ Zt 1 dQ 1 = dt =) = Q
RC
Q0 Q
RC
T RC
=) Q(t) = Q e 0
(t
dt
2
=) `n QQ = 0
p
LC )=RC
1 (t RC
T
)
Quest~ao 4 Um solenoide ideal com di^ametro D e comprimento L possui N espiras. Um anel de raio a, formado por N espiras e posicionado de modo que seu eixo seja coincidente com o do solenoide. A resist^encia deste anel e de R ohms. 1
2
2
(1,0 ponto)
(1,0 ponto)
(1.0 ponto)
(a) Determine a mutua indut^ancia M do sistema quando a > D=2 e quando a < D=2. 12
(b) Uma corrente I (t) = I cos(!t) e passada pelo solenoide. Determine a corrente induzida na espira quando a > D=2. 1
0
(c) No caso do item b, se o eixo do anel for deslocado de uma dist^ancia d < (a D=2) paralelamente ao eixo do solenoide, havera mudanca na corrente induzida no anel? Justi que sua resposta em termos da lei de Faraday.
Soluc~ ao N2 a D/2
L ,N
e^z
(a) Campo do solenoide: ~ B
=
N1
0
L
Fluxo atraves das N espiras
^
I ez
2
= B (area de uma espira) N aD= = 2
0 0
N1 L N1 L
N
I
2
N
I
2
2
a
D
2
2
2
Logo 2) = I = NL N a N N (a > D=2) = I = L D4
(
M12 a < D= M12
0
1
2
0
1
2
2
2
(b) Usando a lei de Faraday "
Como dIdt =
=
=
d
M12
dt
dI dt
e
Ianel
= R"
2
( ) teremos
!I0 sen !t
N N ( ) = LR
Ianel t
d
0
1
2
2
!I0
D2
4 sen(!t)
d
(c) Como d < [a D=2] o uxo gerado pelo solenoide no anel n~ao sofrera alteraca~o com respeito ao caso do item b, logo I (t) n~ao se alterara. a − D/2
