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Gabarito EM 561 1ª Prova (02 de Maio de 2006) Turmas A e B - duração 02h00 - consulta ao livro texto SOMENTE 1) O corpo cuja seção é mostrada na figura encontra-se pivotado no ponto O. Desprezando-se o peso do corpo, determine o valor da distancia x para que o mesmo não gire.
Circuferência: A força vertical é igual ao peso do volume de líquido. O momento que este exerce sobre o ponto O está distribuido ao longo do semi cilindro. Para calcular o torque vamos calcular o peso das colunas de água de alt ura h definida pela integral Fy R: h ( x ) = 2 R cos θ
x = R sinθ dx = R cos θ dθ π
FRy =
2
∫ ρ gh( x)xdx 0
π
FR = y
2
∫ ρ g ( 2 R cos θ )( R sin θ )( R cos θ ) dθ 0
π
FRy =
∫ ρ g ( 2R 2
3
cos 2 θ ) ( sinθ ) dθ
0
π
FR = ρ g 2R y
3
∫ ( cos θ ) ( sin θ ) dθ 2
2
0
π
cos3 θ 2 FR = ρ g 2R − 3 0 y
3
1 FRy = ρ g 2R 3 3 2 FRy = ρ gR3 3
Triângulo: A força vertical é igual ao peso do volume de líquido. O momento que este exerce sobre o ponto O está distribuido ao longo do prisma. Para calcular o torque vamos calcular o peso das colunas de água de altura h definida pela integral Fy R: h ( x ) x − x0 = L x0 x − x0 h ( x) = L x0 L = 2R
FRy =
0
∫ ρ gh (x )xdx
x0
FR = y
x − x0 ρ g ∫ x0 Lxdx x0 0
x FR = ∫ ρ gL − 1 xdx x0 x0 0
y
x2 FR = ρ gL ∫ − x dx x x0 0
Como FRy = FRy a distância x0 necessária para não haver torque no ponto O:
0
y
0
x3 x 2 FR = ρ gL − 3 x0 2 x0 y
x 3 x 2 FRy = ρ gL − 0 − 0 2 3 x0 x 2 x 2 FRy = ρ gL 0 − 0 3 2 x 2 FRy = ρ gL 0 6 ρ gLx0 2 FRy = 6 ρ g 2 Rx0 2 FRy = 6 1 FRy = ρ gRx0 2 3
1 2 ρ gRx02 = ρ gR3 3 3 1 2 ρ gRx02 = ρ gR 32 3 3 x0 = 2R 2
2
x0 = 2 R
2) Em um escoamento plano e incompressível a componente θ da velocidade é dada por: 1 40 Vθ = 20 1 + 2 sin θ − r r
Equação da Continuidade:
1 ∂ 1 ∂Vθ =0 ( rVr ) + r ∂r r ∂θ
a. Encontre a componente radial da velocidade Vr (r,θ ) se Vr (1,θ ) = 0 . ∂Vθ 1 = 20 1 + 2 cos θ + 0 ∂θ r ∂ 1 ( rVr ) = −20 1 + 2 cos θ ∂r r 1 rVr = −20cos θ r − + f (θ ) r 1 f (θ ) Vr = −20cos θ 1 − 2 + r r como Vr (1,θ ) = 0 → f (θ ) = 0 , logo a componente radial é: 1 Vr = −20 1 − 2 cos θ r b. Encontre a vorticidade do escoamento. ∂ 1 ∂Vr ( rVθ ) − ∂r r ∂θ ∂ 1 1 ∂ 1 20 r + sin θ − 40 − −20 1 − 2 cos θ ∂r r r r ∂θ 1 1 1 1 ω z = −20 1 + 2 sin θ − +20 1 − 2 sin θ r r r r ωz = 0 1 r 1 ωz = r ωz =
Note que as equações de velocidades corresponde àquele num cilindro com um vórtice livre, portanto irrotacional.
3) Uma placa com dimensões infinitas e plana oscila sob um líquido, como mostrado na figura. Escreva os termos não nulos da equação diferencial de quantidade de movimento na direção x, supondo o escoamento como laminar e plano, ocorrendo paralelamente à placa, e o fluido com viscosidade constante. Indique também as condições de contorno que devem ser satisfeitas.(Obs.: não é necessário resolver a equação diferencial.)
∂u ∂ 2u =µ 2 ∂t ∂y uw = U0 sin ϖ t ρ
u ( 0, t ) = U 0 sin ϖ t u ( ∞, t ) = 0 u ( y , 0) = 0
4) Verifique se o escoamento descrito pelo campo de velocidades abaixo é incomprensível. u=
10x x + y2
v=
2
10 y x2 + y2
w=0
Obtenha uma expressão para o gradiente de pressão, supondo um escoamento sem atrito e sem influência de forças de campo e fluido com densidade ρ. ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y ∂u 10 2x2 = 2 − 10. 2 ∂x x + y2 ( x2 + y 2 ) ∂v 10 2 y2 = 2 − 10. 2 ∂y x + y 2 ( x2 + y2 ) ∂u ∂v 10 2x2 10 2 y2 + = 2 − 10. + − 10. 2 2 2 2 ∂x ∂y x + y 2 ( x2 + y2 ) x + y ( x2 + y2 )
( x2 + y2 ) ∂u ∂v 10 + = 2. 2 − 2.10. 2 2 ∂x ∂y x +y ( x2 + y2 ) ∂u ∂v 20 20 + = 2 − 2 =0 2 ∂x ∂y ( x + y ) ( x + y 2 )
Portanto é incompressível. Aplicando Bernoulli: P+
1 ρV 2 = P0 2 2
10 x 10 y 100 2 V = 2 + 2 = x + y) 2 2 2 ( x + y x + y ( x2 + y2 ) 2
1 100 2 P+ ρ x + y ) = P0 2 ( 2 ( x2 + y2 ) P = P0 − ρ
50
(x
2
+ y2 )
2
( x + y )2
∇P = −50 ρ∇
( x + y)
(x
2
+ y2 )
2
2
1 ou ∇P = − ρ ∇ (V 2 ) as componentes do gradiente de pressão são 2
obtidas da expressão acima. Uma segunda maneira de se obter as componentes do gradiente de pressão é diretamente da Eq. De Euler, porém este caminho é mais trabalhoso...
r DV ∇P = −ρ Dt ∂u ∂v ∂P ∂u ∂P ∂v = −ρu +v e = −ρu +v ∂x ∂y ∂y ∂y ∂x ∂x ou ∂P 10ρx =− 2 ∂x x + y2
(
∂P 10ρy =− 2 ∂y x + y2
(
)
20 x 2 10y 2 − 10 + x 2 + y 2 + x 2 + y 2
)
20 y 2 10x 2 + 2 − 10 + 2 x + y2 x + y2
2
2
( (
) ( ) (
) )
5) Ar comprimido é usado para acelerar a passagem da água em um tubo. Despreze a velocidade no reservatório e admita que o escoamento no tubo é sem atrito e uniforme em qualquer seção. Num instante particular, sabe-se que V = 1 m/s e dV/dt = 1,50 m/s2. A área da seção reta do tubo é A = 0,02 m2. Determine a pressão manométrica no tanque nesse instante.
Utilizando a Eq 6.21 do Livro texto dV 1 1 ρL + P + ρV 2 + ρ gz − P + ρV 2 + ρ gz = 0 dt 2 2 2 1 1 PG = 103 ×10 ×1,5 + 103 × 1 − 103 × g ×1,5 2 PG = 103 [15 × 0,5 − g × 1, 5] = 0,78kPa A pressão manométrica no tanque é de 0,78 kPa.
6) O escoamento sobre uma cabana semicilíndrica pode ser aproximado pela por um escoamento potencial com distribuição de velocidade da expressão abaixo , com 0 ≤ θ ≤ π. Durante uma tempestade, a velocidade do vento atinge 120 km/h; a temperatura externa é de 10°C. Um barômetro dentro da cabana indica 96KPa; a pressão poo é também de 96KPa. A cabana tem um diâmetro de 5 m e um comprimento de 20 m. Determine a força que tende a levantar a cabana das suas fundações. Considere o ar gás perfeito, Rgás = 287 J/K.
∧ ∧ → R2 R2 V = U 1 − 2 cos θ er − U 1 + 2 sinθ eθ r r
3 ∫ sin θ dθ =
cos3 θ − cos θ 3
U0 =120km/h = 33,33m/s ρ=P/RT = 1,182 kg/m3 Escoamento potencial no semi- cilindro V 2 = 4U 2 sin 2 θ 1 2 P − P∞ = ρ (U 0 ) (1 − 4sin 2 θ ) 2 A força de sustentação: π
1 2 FL = ∫ ρ (U 0 ) (1 − 4sin 2 θ ) . ( R sin θ ) bdθ 2 0 π π 1 2 FL = ρ (U0 ) Rb ∫ ( sin θ ) dθ −∫ 4 ( sin3 θ ) dθ 2 0 0 π 1 cos3 θ 2 π FL = ρ (U 0 ) Rb − cos θ 0 − 4 × − cos θ 2 3 0
1 2 4 ρ (U0 ) Rb − ( −2 ) − 4 2 3 1 10 2 FL = ρ ( U 0 ) Rb × 2 3 FL =
1 5 10 2 ×1,182 × ( 33,33 ) × × 20 × 2 2 3 FL = 109,5kPa FL =
Cálculo da Força de sustentação com o formulário dado na prova π 1 2 π 4 FL = ρ (U 0 ) Rb − cos θ 0 − 4 × cos 3 θ − 3cos θ 2 3 0 1 2 −10 ρ (U0 ) Rb − ( −2 ) − 4 2 3 1 46 2 FL = ρ (U 0 ) Rb × 2 3 1 5 46 2 FL = ×1,182 × ( 33,33) × × 20 × 2 2 3 FL = 503,7kPa FL =
