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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PME 2200 - MECÂNICA B - 3ª Prova - 21/06/2001 - Duração: 100 minutos (Não é permitido o uso de calculadoras)
F ª
1 Q. (3.5 ptos) - O pêndulo da figura é formado por uma haste sem massa de comprimento L e uma massa m concentrada em sua extremidade inferior. Uma força F, vertical, é aplicada na extremidade superior do pêndulo, no rolete O, de massa desprezível. A este rolete está conectado um amortecedor viscoso linear de constante c. Determinar as equações diferenciais do movimento do pêndulo, através das equações de Lagrange.
g
u O c
θ
L m
g M2 B y 2ª Q. (3.0 ptos) - A peça triangular de massa M1 está sobre um plano horizontal, sustentando a haste AB de massa M2 que foi b instalada em guias verticais; a haste AB desliza sem atrito nas guias, e não há atrito no contato entre a haste e a peça triangular. Determinar, empregando o Princípio dos Trabalhos F Virtuais: A M1 a) o valor da força F responsável pelo equilíbrio estático do x α sistema, supondo a ausência de atrito entre a peça triangular e o plano horizontal. b) Suponha agora que exista atrito entre o plano e a peça triangular (coeficiente de atrito µ ), mas que a força de atrito seja insuficiente para manter a peça em equilíbrio; qual o menor valor de F que mantém a peça em equilíbrio estático? y
Questão 3) (3,5) A figura representa um sistema dinâmico composto por um pêndulo, formado por uma barra homogênea de comprimento 2a e massa M, que é articulado no ponto O a um bloco de massa m, que por sua vez pode se movimentar sobre roletes ideais (sem atrito) no plano horizontal, segundo o eixo x. Este bloco está vinculado a duas paredes verticais através de uma mola linear de constante K e um amortecedor, também linear, de constante C. Sobre este sistema pode
K
m
F(t) x
O C
2a
G
H H F(t) = F(t)i e um binário externo H H B(t) = B(t)k atuando na barra, não indicado na
g
agir a força
M
figura. Pede-se: θ
(a) As equações que regem este sistema dinâmico usando generalizadas são:
x(t)
e
θ(t )
como coordenadas
− ( Masen 2 θ)θ 2 + cx + kx = F (t ) ( M + m) x + ( Ma cos θ)θ 4 M 2 ( Ma cos θ) x+( )a θ + Magsenθ = B (t ) 3
+ Cq + Kq = Q(t ) , onde q(t) Linearize estas equações, e obtenha uma equação matricial na forma: Mq é o vetor de coordenadas generalizadas, M , C, K são matrizes de dimensões compatíveis e Q(t) é o vetor de força generalizada.
b)
Considerando o modelo não-linear e para as condições iniciais abaixo:
θ(0) = π + ε; θ (0) = x (0) = x(0) = 0 onde , ε (0) = x(0) = 0; x(0) = 0,001m / s b2) θ(0) = π; θ
b1)
um número muito pequeno e
Explique muito sucintamente (2 linhas para cada caso), qual será o movimento da barra em cada um dos casos acima. c) De acordo com as simulações que você elaborou para as condições do item (b), o sistema vai parar? O bloco pára? E a barra? Justifique sucintamente cada uma das respostas. d) Avalie e discuta sucintamente o seguinte diagrama de blocos elaborado para simular os movimentos do sistema linearizado no Scicos do Scilab, onde:
teta 2 p = θ; tetap = θ ; teta = θ; xp = x; x2 p = x
sinusoid generator
F(t)
Mux
Scifunc
teta2p função teta
x 1/s
Graf. x(t)
1/s
1/s
teta
tetap
xp
1/s
Graf. teta(t)
x2p
Scifunc
Mux
função x
1
B(t)
PME – 2200 – P#03 – 21/06/2001 – RESOLUÇÃON DETALHADA Solução Q1 Energia Cinética:
T=
1 é m Lθ cos θ 2 êë
(
) + ( u + Lθ sin θ ) 2
2
ù Þ T = 1 m é L2θ 2 + 2 Luθ sin θ + u 2 ù ; û úû 2 ë
Energia Potencial e Lagrangeana:
V = mg ( u − L cosθ ) ;∴L = T − V =
1 m é L2θ 2 + 2 Luθ sin θ + u 2 ùû − mg ( u − L cos θ ) ; 2 ë
Função de dissipação de Rayleigh e forças não conservativas
R=
ìQ = 0 1 2 cu ; δ W = F δ u Þ í θ ; Q = F 2 u î
Equação de Lagrange:
Para
q1 = u :
d æ ∂L ö ∂L ∂R + = Qi ; ç ÷− dt è ∂q i ø ∂qi ∂q i
∂L d æ ∂L ö = mLθ sin θ + mu; ç ÷ = mLθsin θ + mLθ 2 cos θ + mu; ∂u dt è ∂u ø
∂L ∂R = − mg ; = cu; ∴ mu + mLθ sin θ + mLθ 2 cos θ + cu + mg = F ∂u ∂u Para
q2 = θ :
∂L d æ ∂L ö 2 = mL2θ + mLu sin θ ; ç ÷ = mL θ + mLu sin θ + mLuθ cos θ ; dt è ∂θ ø ∂θ
∂L g + u = mLuθ cos θ − mgL sin θ ; ∴ θ + sin θ = 0 L ∂θ Solução Q2
H a) Seja B o ponto de aplicação de F ; o equilíbrio estático do sistema requer que
H H H H δW = F • δr B + M 2 g ( − j ) • δr A = 0 H H H H H H H H H r B = xi Þ δr B = dxi ; r A = bi + yAj ; yA = x tan α Þ δr A = δx tan αj ; Portanto
, δW = Fδx − M 2 g tan αδx = 0; Þ F = M 2 g tan α
b) Na iminência de escorregamento para a esquerda, a força de atrito entre a peça triangular e o plano é:
H H Fat = µ ( M 1 + M 2 )gi ; δW = [F + µ ( M 1 + M 2 )g ]δx − M 2 g tan αδx = 0; Þ F = M 2 g tan α − µ ( M 1 + M 2 )g Solução Q3 a)
éM + m ê êë Ma
Ma ù ì xü é c 0ù ì x ü é k 0 ùì x ü ìF ü 4 Ma 2 ú í ý + ê í ý + ê í ý=í ý ú θ þ ë0 0û îθ þ ë 0 Mag úû îθ þ î B þ ú î 3 û
b) A barra sofre perturbação (nos dois casos) a partir de uma posição de equilíbrio instável. Os dois movimentos são semelhantes. c) Sim, o sistema ( barra e bloco) irá parar devido à dissipação de energia no amortecedor. d) 1
B(t)
Mux
Sci func
teta2p f unção teta
x 1/s
Graf. x(t)
1/s
1/s
teta
tetap
xp
1/s
Gr af. teta(t)
x2p
Sc ifunc
Mux
função x
sinusoid generator
F(t)
