Transcript
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica PME 2200 – MECÂNICA B – 2ª Prova – 23/5/2006 – Duração 100 minutos (Não é permitido o uso de calculadoras). A 2a
B
O
C a
G
D
3a
g
2ª Questão (3,0 pontos) 1) No sistema da figura, o disco homogêneo (massa m, raio R) gira ao redor da barra OG (massa desprezível, comprimento l ) com velocidade angular constante ω; a barra OG mantém a direção horizontal e gira com velocidade angular constante Ω ao redor do eixo vertical que passa pela articulação O. O conjunto está montado dentro de um elevador que sobe com aceleração constante r a j . Usando o sistema de coordenadas (O,x,y,z) solidário à barra, pede-se: r a) o vetor de rotação absoluto ω a do disco e a aceleração do seu baricentro; b) o valor de Ω para que o movimento descrito seja possível (precessão estacionária); c) supondo conhecido o valor de Ω determinado no item (b), calcule as reações na articulação O; d) responda e justifique: o movimento descrito será possível se o elevador descer em queda livre?
1ª Questão (3,5 pontos) A figura mostra um disco homogêneo, de massa m e raio 2a, que gira livremente em torno de seu centro fixo O com velocidade angular ω . Em um determinado instante o ressalto A do disco, de dimensões desprezíveis de forma a não alterar a distribuição de massa do disco, choca-se com a barra de massa m e comprimento 4a que está articulada em C e inicialmente em repouso. Sendo o coeficiente de restituição e, pede-se: a) O diagrama de corpo livre apenas do disco e o diagrama de corpo livre apenas da barra. b) Determine as velocidades angulares ω′ do disco e Ω′ da barra após o impacto. c) O impulso reativo em O. d) O mínimo valor de ω para que a barra venha a se chocar contra o disco.
y, j
a
O
g
Ω l
G
ω x, i
z, k
base do elevador
m, R
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica 3ª Questão (3,5 pontos) (baseada no EP)
φ&
Z
Considere o pião simétrico sujeito apenas à ação da força peso, representado na figura 3.1. O eixo fixo OZ é vertical e O é uma articulação. Nestas condições a equação diferencial que descreve o movimento do pião é,
Iθ&& +
z
θ
ψ&
(α − β cosθ )(β − α cosθ )
= mgz G senθ Isen 3θ Onde α = KOZ = Iφ&sin 2 θ + J cosθ ψ& + φ&cosθ e
(
(
)
y zG
)
β = K Oz = J ψ& + φ& cosθ , componentes do momento angular nas direções dos eixos OZ e Oz, respectivamente, são duas constantes que dependem apenas das condições iniciais do movimento; I e J são os momentos de inércia do pião em relação aos eixos y e z respectivamente. Os valores adotados nas simulações são: mgzG = 0.2 Nm; I = 1,0 kg m 2 ; J = 2I . a) Esboce o digrama SCICOS para o problema.
O mg
φ
X
sentido de φ& ?
x
Figura 3.1 0.25
0.2
- A figura 3.2 mostra os gráficos das coordenadas do centro de massa do pião em função do tempo; os itens b), c) e d) referem-se a esta figura: b) Responda e justifique: que tipo de movimento é executado pelo pião? c) Calcule aproximadamente o valor da velocidade de precessão φ& . d) Sabendo que no movimento descrito ψ& > 0 , qual o
Y
θ
ZG
0.15
0.1
XG 0.05
0
-0.05
YG -0.1 0
- As figuras 3.3.1 e 3.3.2 mostram os gráficos de θ e θ& em função do tempo; sabendo que os dois movimentos descritos nestas figuras têm mesmos valores iniciais de φ e φ& , responda e justifique: e) Em qual figura é apresentado o movimento que tem o maior valor inicial de ψ& ?
1
2
3
6
7
8
9
Figura 3.2
1
θ
0.5
θ
5
t
1.5
1
4
0
0.5
-0.5
0
θ&
-0.5
-1
-1.5 0 -1 0
θ& 1
2
3
t 1
2
3
t Figura 3.3.1
4
5
6
Figura 3.3.2
4
5
6
PME 2200 – MECÂNICA B– 2ª Prova – 23/5/2006 – Duração 100 minutos (Não é permitido o uso de calculadoras). 1ª Questão (3,5 pontos) A figura mostra um disco homogêneo, de massa m e raio 2a, que gira livremente em torno de seu centro fixo O com velocidade angular ω . Em um determinado instante o ressalto A do disco, de dimensões desprezíveis de forma a não alterar a distribuição de massa do disco, choca -se com a barra de massa m e comprimento 4a que está articulada em C e inicialmente em repouso. Sendo o coeficiente de restituição e, pede-se: a) O diagrama de corpo livre apenas do disco e o diagrama de corpo livre apenas da barra. b) Determine as velocidades angulares ω′ do disco e Ω′ da barra após o impacto. c) O impulso reativo em O. d) O mínimo valor de ω para que a barra venha a se chocar contra o disco.
A 2a
B
O
C a
G
D
3a
g
I (0,5)
C
IOx
ICx IOy
I
ICy
Eq. das velocidades relativas: v′B − v′A = e(v A − v B ) ⇒ Ω ′a − ω′2 a = eω2a (eq. 1) (0,5) r r r TMI no disco com pólo em O: ∆H O = ∫ M O dt ⇒ J zO (− ω′ − (− ω )) = 2 Ia k (eq. 2) (0,5) r r r r TMI na barra com pólo em C: ∆H C = ∫ M C dt ⇒ J zC Ω′ k = Ia k (eq. 3) (0,5) Substituindo (eq. 2) em (eq. 3): 16ma 2 4ma 2 4ma 2 3 ⇒ ω− ω′ = 2 + ma 2 Ω′ ⇒ Ω′ = (ω − ω′) 2 2 7 12 Substituindo em (eq. 1): (3 − 14 e) ω 6(1 + e ) 14 ma (1 + e ) ω′ = ω è I= ω è Ω′ = 17 17 17 r r r 14ma (1 + e) TI no disco: I = ∆Q = 0 ⇒ I Oy = −I è I Oy = − ω I Ox = 0 (0,5) 17 Para a barra bater no disco o seu baricentro deverá atingir a altura máxima passando pela vertical
do ponto C. Pelo TEC: ∆T = τ ⇒
1 7ma 2 2 3
2 6g 17 6g Ω′ > mga ⇒ Ω′ 2 > è ω> (0,5) 6 (1 + e ) 7 a 7a
2ª Questão (3,0 pontos) 1) No sistema da figura, o disco homogêneo (massa m, raio R) gira ao redor da barra OG (massa g y, j desprezível, comprimento l ) com velocidade Ω angular constante ω; a barra OG mantém a direção a G ω l horizontal e gira com velocidade angular constante O Ω ao redor do eixo vertical que passa pela x, i articulação O. O conjunto está montado dentro de z, k base do elevador umr elevador que sobe com aceleração constante m, R a j . Usando o sistema de coordenadas (O,x ,y,z) solidário à barra, pede-se: r a) o vetor de rotação absoluto ωa do disco e a aceleração do seu baricentro; b) o valor de Ω para que o movimento descrito seja possível (precessão estacionária); c) supondo conhecido o valor de Ω determinado no item (b), calcule as reações na articulação O; d) responda e justifique: o movimento descrito será possível se o elevador descer em queda livre? r r r ω abs = ω i + Ω j r r a G ,arr = a j ;
(0,5) r r r r r r r a G , rel = −Ω 2 L i ; a G ,cor = 0 è a G = −Ω 2 L i + a j
(0,5)
r& r r r TMA pólo em O: H O = m (v G ∧ v O ) + M O
[
]
r r r r mR 2 r mR 2 r r r r H O = m(G − O) ∧ v O + i j k [J]O {ωabs } = mLv O k + ω i + + mL2 Ω j 2 4 r& r r mR 2 r H O = mLa k + mLv O Ω i − ωΩ k 2 r r M O = − mgL k r r r r r r mR 2 mLv O Ω i + mLa − ωΩ k = m v O j − ΩL k ∧ vO j + − mgL k 2
[(
r 2 L(g + a ) resolvendo para a direção k : Ω = R 2ω
(
)
)
è YO = m (a + g )
)
(1,0)
r r r r r TMB: m − Ω 2 L i + a j = X O i + (YO − mg) j + Z O k è X O = − mΩ 2L
] (
(0,5)
è ZO = 0
Caso em queda livre, a = -g ⇒ Ω = 0 e assim não há precessão. (0,5)
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica Questão 3 (3,5 pontos) Baseada no 2º Exercício computacional.
φ&
Z
Considere o pião simétrico sujeito apenas à ação da força peso, representado na figura 3.1. O eixo fixo OZ é vertical e O é uma articulação. Nestas condições a equação diferencial que descreve o movimento do pião é, (α − β cosθ )(β − α cosθ ) Iθ&& + = mgzGsenθ 3 Isen θ
z
θ
e α = K O Z = Iϕ& sin 2 θ + J cos θ (ψ& + ϕ& cosθ ) β = K Oz = J (ψ& + ϕ& cos θ ) , componentes do momento angular nas direções dos eixos OZ e Oz, respectivamente, são duas constantes que dependem apenas das condições iniciais do movimento; I e J são os momentos de inércia do pião em relação aos eixos y e z respectivamente. Os valores adotados nas simulações são:
ψ&
onde
2 mgzG = 0.2 Nm; I = 1,0 kg m ; J = 2I . a) Esboce o diagrama SCICOS para o problema. - A figura 3.2 mostra os gráficos das coordenadas do centro de massa do pião em função do tempo; os itens a), b) e c) referem-se a esta figura. b) Responda e justifique: que tipo de movimento é executado pelo pião? c) Calcule aproximadamente o valor da velocidade de precessão ϕ& . d) Sabendo que no movimento descrito ψ& > 0 , qual o sentido de ϕ& ? - As figuras 3.3.1 e 3.3.2 mostram os gráficos de θ e θ& em
função do tempo; sabendo que os dois movimentos descritos nestas figuras têm mesmos valores iniciais de ϕ e ϕ& , responda e justifique: e) Em qual figura é apresentado o movimento que tem o maior valor inicial de ψ& ?
y zG
O
θ
mg
φ
X
Y
x
Figura 3.1 0.25
0.2
ZG 0.15
0.1
XG
0.05
0
-0.05
YG -0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
1.5
Figura 3.2 1
θ
1
0.5
θ
0.5
0
0
θ&
-0.5
-0.5
-1
0
1
2
3
t Figura 3.3.1
4
5
6
-1
-1.5
θ& 0
1
2
3
t Figura 3.3.2
4
5
6
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica
a) Diagrama SCICOS (1,5)
b) Z G = cte → θ = θ = cte → θ& = 0, θ&& = 0; α − β cos θ β = cte e ψ& = − φ& cos θ = cte. (0,5) 3 I sin θ J Logo, o pião está em precessão estacionária. ∴φ& =
c) A partir dos gráficos de X G ou YG da figura 3.2, observa -se que G completa 3 voltas ao redor de 3 Z em aproximadamente 7.8 segundos, logo, φ& ≈ = 0.39 rps ou φ& ≈ 2.42 rad / s . (0,5) 7.8 d) Traçando-se o gráfico de YG em função de X G , observa-se que a trajetória de G ao redor de Z é percorrida no sentido horário, logo, φ& é negativa. (0,5) YG ¾ volta
t=0 XG
½ volta ¼ volta .
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica e) Os gráficos mostram que o período de nutação é menor no movimento descrito na figura 3.3. 2, indicando que neste caso, a “rigidez giroscópica” é maior. Como essa “rigidez” é proporcional a ψ& , o maior valor inicial de ψ& corresponde ao movimento descrito na figura3.3.2 . (0,5)
