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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2200 – MECÂNICA B – Segunda Prova – 17 de maio de 2005 Duração da Prova: 110 minutos (não é permitido uso de calculadoras)
1ª Questão (3,5 pontos) A cruzeta ABCD, de massa desprezível e dimensões dadas na figura, gira em torno de AB com velocidade r r angular constante Ω = Ωi . Neste mesmo instante, o disco com centro no ponto C, de massa m e raio R, gira r r com velocidade angular constante ωC = − 2ω k e o disco com centro no ponto D, de massa 2m erraio R, gira com r velocidade angular constante ω D = ω k . Pede-se, na posição indicada na figura (braço CD na horizontal): (a) O vetor de rotação absoluto dos discos (b) As acelerações dos centros de massa dos discos (c) Os momentos que os discos aplicam na cruzeta (d) As reações nos mancais A e B.
y Ω
g
G
(b) Calcule o impulso na articulação A. r (c) Calcule a aceleração angular da barra ω& ′ , após o choque.
D O L
A
L
2ω
2m,R x
L
2L
C z
m,R
2ª Questão (3,5 pontos) No sistema mostrado na figura, a barra tem comprimento l e massa m e encontra-se inicialmente em repouso. Em um dado instante, uma esfera de massa m/2 atinge o ponto r r B com velocidade V = Vi , de maneira perfeitamente anelástica. r (a) Calcule o vetor de rotação ω ′ e a velocidade do r baricentro V ′ da barra, imediatamente após o choque.
ω
B Discos: J G z =
mR 2 2
m/2,V
B g
l /3 A
.G
r j
2
r i m,l
Barra: J y = mL
12
y G
x m ,L
3ª Questão (3,0 pontos) Ao se resolver o problema proposto no EP-1, obtém-se a seguinte equação de movimento para o rotor na posição horizontal: J zθ&& = P( xG cos(θ ) − y G sen(θ )) + T (θ& ) − Q (θ&) a) Desenhe o diagrama de blocos implementado no programa SCICOS apenas para a equação de movimento do rotor e saída gráfica da velocidade angular. (explicitar a função usada no Scifunc) b) Considerando os resultados que você obteve durante a simulação do movimento para o rotor na posição vertical, esboce dois gráficos em função do tempo sendo um para a velocidade angular do rotor e outro da reação horizontal no mancal. c) Esboce o gráfico da reação Ya(t) no mancal A, e descreva o movimento do rotor para o caso de torque inicial do motor de T0 = 3 Nm (posição horizontal)
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Departamento de Engenharia Mecânica Gabarito da 2a Prova de PME2200 17/02/2005
1ª Questão (3,5 pontos) A cruzeta ABCD, de massa desprezível e dimensões dadas na figura, gira em torno de AB com velocidade r r angular constante Ω = Ωi . Neste mesmo instante, o disco com centro no ponto C, de massa m e raio R, gira r r com velocidade angular constante ωC = − 2ω k e o disco com centro no ponto D, de massa 2m erraio R, gira com r velocidade angular constante ω D = ω k . Pede-se, na posição indicada na figura (braço CD na horizontal): (a) O vetor de rotação absoluto dos discos (b) As acelerações dos centros de massa dos discos (c) Os momentos que os discos aplicam na cruzeta (d) As reações nos mancais A e B. Solução r r r r r r (a) W C = Ω i − 2ω k ; W D = Ω i + ω k ;(0,5) r r r r (b) a C = − Ω 2 2 L k ; a D = Ω 2 L k ;(0,5) J r& r& r& x (c) TMAC : i , j , k 0 0 J r& r& r& x TMAD : i , j , k 0 0
0 Jy 0
0 Jy 0
y
0 Ω r r r 2 0 = M ⇒ M D D = − mR ω Ω j J z D ω
Ω
g
D O L
A
L
2ω
2L
C z
0 Ω r r r 2 0 = M C ⇒ M C = mR ω Ω j J z C − 2ω
ω
m,R
2m,R x
L B Discos: J G z =
mR 2 2
;(0,5)
;(0,5) r
Portanto, o disco de centro C aplica na cruzeta o momento − mR 2ω Ω j e o disco de centro D aplica r na cruzeta o momento mR 2ω Ω j . (0,5) (d)Diagrama de corpo livre da cruzeta mR 2ω Ω 2 mΩ 2 L
ZA
YA
ZB
2 mΩ 2 L
YB mg
;(0,5)
(Z A − Z B )L = 0 TMA: (− YA + YB )L = 0
2m g
mR 2ω Ω
YA + YB = 3mg TMB: Z A + Z B = 0
3mg ∴ YA = YB = 2 ;(0,5) Z A = Z B = 0
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Questão 2 (3,5 pontos) a) Diagrama de corpo livre (0,5) r r r r r TMI: K ′A − K A = M IA ; M AI = 0; B r r r m mlv r K A = ( B − A) ∧ (− vi ) ⇒ K A = k ; (0,5) 123 2 Ix 6 r l A j 3 Iy r r 3m r G K ′A = (G′ − A) ∧ v A + J z A ω ′k 1442r 4243 =0
2 r m l ml 2 6ml 2 ml 2 l + + m ⇒ J = ; ∴ K ′ = ω ′; zA A 2 3 12 36 6 6 (0,5) 2
J zA =
ml 2 mlv v ω′− = 0 ⇒ω′ = 6 6 l r r r r r v Como v G′ = v A + ω ′ ∧ (G − A) ⇒ v G′ = i 6 Substituindo na expressão do TMI:
(0,5)
b)
r m r r r r ω ′l r r ω ′l r mv TRIA: (v B′ − v (− i )) + m vG′ = I X i ; v ′B = − i ; vG′ = i ; (0,5) ∴ I X = (0,5) 2 3 6 2
c)
TMAA:
(G′ − A) ∧ 3m arA + J z
A
r r r r r ω& ′k = M A ; Como (G ′ − A) = 0 ⇒ M A = 0 , pois a única força
2 externa que causa momento é o peso do sólido composto pela barra e pela esfera. Portanto ω& ′ = 0 .(0,5)
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Resolução da 3ª Questão a) Diagrama de bloco do programa SCICOS para o modelo do rotor. Equação de movimento do rotor utilizada no bloco Scifunc: θ&& = ( P ( x G cos(θ ) − y G sen(θ )) + T (θ& ) − Q (θ&)) / J Z
b) Gráfico temporal da velocidade angular do rotor (tempo em segundos e velocidade angular em rad/s); gráfico temporal da reação na direção YA no mancal A para o rotor na posição vertical (valor médio nulo - força em Newtons) e gráfico da reação na direção YA na posição horizontal
YA na vertical
Ω(t) na vertical
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c) Para um torque inicial do motor de To = 3,0 Nm, o movimento do rotor irá depender das condições iniciais. Para velocidade inicial nula e: θo = 0 o rotor inicia o movimento e fica girando; θo = -p/2, p/2 e p, o rotor oscila sem completar uma volta e se estabiliza em ponto de equilíbrio próximo de p.
YA na horizontal para θo = 0
YA na vertical para θo = 0
