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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica PME 2100 – MECÂNICA A – Primeira Prova – 13 de setembro de 2005 Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras)
1ª Questão (3,0 pontos)
r
r
r
r
r
r
Dados os pontos O(0,0,0), A(2,0,1) e B (0,1,0) e as forças (F1 ,0), (F2 ,A) e (F3 ,B) com F1 = i + 2 j ; r r r r r r F2 = 2i + 2k ; F3 = j − k , determine: a) b) c) d) e)
O vetor resultante do sistema. O momento do sistema de forças em relação ao ponto O. O momento do sistema de forças em relação ao ponto B. O invariante escalar do sistema de forças. Se o sistema é redutível a uma única força. Justifique.
2ª Questão (3,5 pontos) J A placa homogenia ABCDEFHI de peso P é suportado por uma articulação em A, por um anel em B e por um fio ideal em I no plano Ayz . Determine:
g
3L z
a) b) c) d)
A
B
C L
x
L
D L F
E H
L
O baricentro da placa. O diagrama de corpo livre (DCL) da placa. A tração T no fio. As reações vinculares em A e B.
I 2L
y
3ª Questão (3,5 pontos) A treliça da figura ao lado é formada por um conjunto de barras em um arranjo de triângulos eqüiláteros, de lado a. Nas articulações A e C estão montadas duas polias, de massa desprezível e raio r. O fio ideal suporta a carga P e está preso em Q. O segmento PQ é paralelo a OA. Pede-se: a) b) c) d)
y P r
A
B
r
C
Q a O
a
a E
O diagrama de corpo livre (DCL) das polias. O diagrama de corpo livre (DCL) da treliça. Calcular as reações vinculares em O e D. As forças nas barras OA e AE, indicando se são de tração ou compressão.
a
D
x
g
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica PME 2100 – MECÂNICA A – Primeira Prova – 13 de setembro de 2005 Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras)
1ª Questão (3,0 pontos)
r
r
r
r
r
r
Dados os pontos O(0,0,0), A(2,0,1) e B (0,1,0) e as forças ( F1 ,O), ( F2 ,A) e ( F3 ,B) com F1 = i + 2 j ; r r r r r r F2 = 2i + 2k ; F3 = j − k , determine: a) b) c) d) e)
O vetor resultante do sistema. O momento do sistema de forças em relação ao ponto O. O momento do sistema de forças em relação ao ponto B. O invariante escalar do sistema de forças. Se o sistema é redutível a uma única força. Justifique.
Solução a) b) c) d) e)
r r r r r r r r R = F1 + F2 + F3 → R = 3i + 3 j + k ; (0,5) r r r r r r r M O = (O − O) ∧ F1 + ( A − O) ∧ F2 + ( B − O) ∧ F3 → M O = −i − 2 j ; (1,0) r r r r r r r M B = M O + (O − B) ∧ R → M B = −2i − 2 j + 3k ; (0,5) r r I = R • M O → I = −9 ; (0,5)
O sistema não é redutível a uma única força pois I ≠ 0 .
(0,5)
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Departamento de Engenharia Mecânica
2ª Questão (3,5 pontos) J A placa homogênea ABCDEFHI de peso P é suportado por uma articulação em A, por um anel em B e por um fio ideal em I. O fio está no plano Ayz . Determine:
g
3L z A
B x
a) b) c) d)
D
C
E
L F
L
H
L
I
O baricentro da placa. O diagrama de corpo livre (DCL) da placa. A tração T no fio. As reações vinculares em A e B.
y
2L
L Solução a) Considerando a placa subdividida em 5 elementos de área L2 , sendo 3 na aresta AI e 2 na BH, resulta: ((0,5) pelo equacionamento e (0,5) pelas respostas) xG =
3L2 .
L 3L + 2 L2 . 2 2 → x = 9 L ; y = 3L (por simetria); G G 2 2 10 5L
b) Dcl da placa:
(0,5)
ZA d) YA
XA
45°
T
XA =0 r r 2 R = 0 Y A + Y B − T =0 2 2 Z A + Z B + T 2 = P
ZB r Y B = 0 r MA =0→ 9L Z B 2 L = P 10
P YB
Portanto, as reações vinculares são: P P , ZA = 2 20 9P = , 20
X A = 0, Y A =
r
r
c) Impondo M A • i = 0 → T
2 3L 2 3L = P ⇒T = P 2 2 2
Y B = 0, Z B
Itens c) e d): (1,0) pelo equacionamento e (1,0) pelas respostas
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Departamento de Engenharia Mecânica
y
3ª Questão (3,5 pontos) A treliça da figura ao lado é formada por um conjunto de barras em um arranjo de triângulos eqüiláteros, de lado a. Nas articulações A e C estão montadas duas polias, de massa desprezível e raio r. O fio ideal suporta a carga de peso F e está preso em Q. O segmento PQ é paralelo a OA. Pede-se: a) b) c) d)
P r
A
B
r
C
Q a O
a
a E
D
a
x
g
O diagrama de corpo livre (DCL) das polias. O diagrama de corpo livre (DCL) da treliça. Calcular as reações vinculares em O e D. As forças nas barras AO, AB e AE, indicando se são de tração ou de compressão. Solução a) DCL das polias (0,5) Impondo o equilíbrio das polias: F F F F 3 F
VC
HA
HC
VA
F
H A = − ; V A = 2 2 H C = F ; VC = F
b)DCL da treliça (1,0) HA
VA
VC HC
HO VO
VD
c)Impondo as condições de equilíbrio e substituindo os valores calculados em a): F H O + − F = 0; 2 F 3 VO + V D − − F = 0; 2 5a 3 a F 3 r M A = 0 → V D 2a + F 2 − F 2 2 − 2 a 2 = 0;
Portanto: F HO = ; 2 5F F ; VO = 2 3 −1 V D = 4 4
(
)
(0,5) equacionamento e (0,5) respostas
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Departamento de Engenharia Mecânica
d) “Cortando” a treliça nas barras AB, AE e OE: FAB
F
F
FAE FOE
5F/4
Impondo o equilíbrio FAB + FOE + FAE
1 + F = 0; 2
3 5 FAE + F − F = 0; 2 4 r r 3 3 5 3 M E = 0 → FAB a+F a + F a − F a = 0; 2 2 4 2
Resolvendo, chega-se a:
FAB = F (
3 − 1) comp. 6
FAE = − F
3 comp. 6
FOE = − F
3 comp. 12
Finalmente, isolando o nó O: FOA HO FOE VO Impondo o equilíbrio na vertical FOA
3 3 + VO = 0 → FOA = F − 1 comp. 6 2
(0,5) equacionamento e (0,5) respostas
