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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2200 – MECÂNICA B – Primeira Prova – 12 de abril de 2005 Duração da Prova: 110 minutos (não é permitido uso de calculadoras)
y
1ª Questão (4,0 pontos) Uma esfera sólida e homogênea, de centro O, massa M e raio R, gira em tono r do eixo AB, de massa r desprezível, com ω = ω i . O garfo AFB, também de massa desprezível, está preso ao suporte DEF, composto por duas barras homogêneas de massa m e r r comprimento l. O suporte DEF gira com Ω = Ω j . Pede-se: (a) O momento de inércia JyC do suporte DEF em relação ao eixo Cy (b) A energia cinética do conjunto (suporte + esfera) (c) O momento angular da esfera em relação ao pólo O
A
B
O
x
ω F 2MR 2 Esfera : J x = 5
m,l
2
mL Barra: J y = 12 y
m,l
D
E
Ω
C
x
G
m,L
y m,l
2ª Questão (4,0 pontos) Duas barras de massa m e comprimento l estão ligadas a um eixo r que gira com velocidade angular constante r ω = ω i , como indicado na figura. Pede-se: (a) O momento angular do sistema em relação ao pólo O (b) As reações dinâmicas (desconsiderando o peso) nos mancais A e B.
B
l A
ω
O
l
x
m,l
z
r
B
y A
3ª Questão (2,0 pontos) Uma barra homogênea delgada, de massa m por unidade de comprimento, está contida no plano xz e tem a forma indicada na figura. Balanceie o sistema pela adição de duas massas nas periferias dos volantes A e B, de raio R e massa M.
r O
z z r
G
x
Dado: zG = 2r/π
x
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Departamento de Engenharia Mecânica
GABARITO PME 2200 – MECÂNICA B – Primeira Prova – 12 de abril de 2005 y
1ª Questão (4,0 pontos) Uma esfera sólida e homogênea, de centro O, massa M e raio R, gira em tono r do eixo AB, de massa r desprezível, com ω = ω i . O garfo AFB, também de massa desprezível, está preso ao suporte DEF, composto por duas barras homogêneas de massa m e r r comprimento l. O suporte DEF gira com Ω = Ω j . Pede-se: (a) O momento de inércia JyC do suporte DEF em relação ao eixo Cy (b) A energia cinética do conjunto (suporte + esfera) (c) O momento angular da esfera em relação ao pólo O
A
F 2MR 2 Esfera : J x = 5
m,l
2
mL Barra: J y = 12
D C
y
m,l
E
Ω
ml 2 4 ml 2 ; J y Ef = ml 2 ⇒ J y = 3 3 a) _________________________________________________________ b) T = T + T , onde Ts é a En. Cin. do suporte e T é a En. Cin. da esfera; J y = J y DE + J y EF ; J y DE =
e
e
− J xy
Jx 1 Ts = {0, Ω,0}− J xy 2 0
0 0 1 2 Jy 0 Ω ⇒ Ts = J y Ω 2 ⇒ Ts = ml 2 Ω 2 ; 2 3 0 J z 0 Jx 0 r r r v r 1 1 t Te = Mv o2 + {We } [J ]o {We }; We = ω i + Ω j ; vo = −Ωl k ; [ J ]o = 0 J y 2 2 0 0
(
)
0 0 ⇒ J z
(
)
1 1 2 MR 2 1 MR 2 2 M Ω 2l 2 + ω 2 J x + Ω 2 J y ; J x = J y = ⇒ Te = M Ω 2 l 2 + ω + Ω2 ; 2 2 5 2 5 2 2 MR 2 1 2 MR 2 ∴T = ω + Ml + + ml 2 Ω 2 5 5 3 2 Te =
c) K o = (1 G − O ) ∧ M vo + {i j k }[ J ]o {We }⇒ K o = 23 r
r
r =0
rrr
r
(
x
ω
Solução
s
B
O
r 2MR 2 r ωi +Ω j 5
)
G
x m,L
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
2ª Questão (4,0 pontos) Duas barras de massa m e comprimento l estão ligadas a um eixo que gira com velocidade angular constante r r ω = ω i , como indicado na figura. Pede-se: (a) O momento angular do sistema em relação ao pólo O (b) As reações dinâmicas (desconsiderando o peso) nos mancais A e B.
y m,l
l A
l
ω
O m,l
Solução a) r r rrr K o = (G − O ) ∧ Mvo + i j k [J ]o {W }; r r r r r r (G − O ) = 1 0 i + ml j + ml k ⇒ (G − O ) = l j + k ;v o = 0; 2m 2
{
(
Jx = − J xy − J xz
B
}
)
(
)
z
(0,5)
− J xz ω r r r r [J ]o Jy − J yz ; {W } = 0 ; ∴ K o = J xω i − J xyω j − J xz ω k (0,5) 0 − J yz J z r r 1r 1r l l (0,5) J x = 2ml 2 ; J xy = m l ; J xz = m − l ; ⇒ K o = ml 2 ω 2 i − j + k (0,5) 2 2 2 2 b) Aplicando o TMB: r r r r ω 2l r r ZB 2 maG = (YA + YB ) j + ( Z A + Z B ) k ; a G = − j +k ⇒ YA 2 ZA (0,5) − mω 2l = YA + YB (1) YB 2 − mω l = Z A + Z B ( 2) − J xy
(
Aplicando o TMA: r r r r (G − O ) ∧ 2maro + i& , &j , k& [J ]o {W } = M o ; r r& r r r r r r a o = 0 ; i& = 0; &j = ωk ; k = − ωj ;
{ }
− mω 2l 2 2 = (− YA + YB )l 2 2 − mω l 2 = (Z A − Z B ) l
(3) (4)
)
r r r (0,5) M o = (Z A − Z B ) lj + (− YA + YB )lk ⇒
(0,5)
Resolvendo as equações (1) a (4) resulta: YA = Z B = − mω 2l 4; Z A = YB = − 3mω 2l 4;
(0,5)
x
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Departamento de Engenharia Mecânica
y
3ª Questão (2,0 pontos) Uma barra homogênea delgada, de massa m por unidade de comprimento, está contida no plano xz e tem a forma indicada na figura. Balanceie o sistema pela adição de duas massas nas periferias dos volantes A e B, de raio R e massa M.
A r O
z
r
B x
z r
G
x
Dado: zG = 2r/π
Solução: Como o sistema já está balanceado estaticamente, basta adicionar duas massas iguais de forma a não alterar o balanceamento estático (0,5) e resultar J xz = 0 ; os demais produtos de inércia, J xy e J zy são nulos pois (x,z) é plano de simetria do sistema (0,5). Sejam mb as massas adicionadas: J xz = m AO x GAO zG AO + m BO x GBO z GBO + m b (−2r ) R + m b 2r ( − R) = 0 ⇒ (0,5) mπr (−r )( −
2r 2r mr 2 ) + mπr ( r )( ) − 4 mb rR = 0 ⇒ mb = π π R
(0,5)
