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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2200 – MECÂNICA B – Primeira Prova – 25 de março de 2003 Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras)
1ª Questão (4,0 pontos)
r j
Um disco de raio r e massa m gira com velocidade angular relativa constante ω 2 em torno do mancal A do garfo de massa desprezível e altura b. O braço de sustentação do garfo, de comprimento a e massa M, gira em torno do eixo y da torre de suporte, com velocidade angular constante ω 1 . Pede-se:
y
r k
a O
z
ω1
b x
a) determinar a energia cinética T do sistema (disco + braço); r b) determinar o momento angular H A do disco, em relação ao pólo A.
A
ω
2
r
2ª Questão (4,0 pontos) Duas massas m, A e B, estão ligadas com barras de comprimento L a um eixo que gira com velocidade angular constante ω. Os volantes C e D de massas m e raio L e espessura desprezível, estão fixados ao eixo que gira suportado pelos mancais de apoio (articulação em D e anel em C), conforme mostrado na figura. Considerando o sistema CXYZ, solidário ao volante, pede-se:
r a) determinar as reações dinâmicas FC e r FD dos mancais C e D, sobre o eixo; b) determinar a localização e os valores de duas massas compensadoras m1 e m2 fixadas na parte externa dos volantes C e D respectivamente, suficientes para balancear o sistema.
B
Y
L
L L m A
m
Z
D
ω
C m L
m
L
3ª Questão (2,0 pontos) A dinâmica do sistema massa/mola/amortecedor da figura, é regida pela equação diferencial ordinária: m &x& + cx& + kx = F (t ) . Baseado no tutorial sobre a utilização do programa SCILAB/SCICOS, fazer o diagrama de blocos do sistema para integração numérica (simulação computacional), indicando a saída para um gráfico de posição em função do tempo.
x c
m k
F(t)
X
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2200 – MECÂNICA B – Primeira Prova – Resolução - 25/03/2003 r j
1ª Questão (4,0 pontos) Um disco de raio r e massa m gira com velocidade angular relativa constante ω 2 em torno do mancal A do garfo de massa desprezível e altura b. O braço de sustentação do garfo, de comprimento a e massa M, gira em torno do eixo y da torre de suporte, com velocidade angular constante ω 1 . Pede-se:
y
r k
a O
z
ω1
x
a) determinar a energia cinética T do sistema (disco + braço); r b) determinar o momento angular H A do disco, em relação ao pólo A.
r r r r r r v A = ω1 j ∧ (A − O) = ω1 j ∧ a i − b j = −ω1ak
(
)
1 1 r r mv 2A + {ωdisco }T [J ]Axyz {ω disco} 2 2 mr 2 0 4 ma 2 ω12 1 mr 2 = + {0 ω1 ω2 } 0 2 2 4 0 0
A
ω
r r r ωdisco = ω1 j + ω 2 k
;
b
;
r r ωbraço = ω1 j
Tdisco =
Tdisco
Tbraço =
r 1 r 1 T { ω braço } [J]Oxyz {ωbraço } = {0 ω1 2 2
(
)
0 0 m 4a 2 + r 2 2 mr 2 2 0 ω1 = ω1 + ω 8 4 2 mr 2 ω 2 2 0 0 0 0 Ma 2 Ma 2 0}0 0 ω1 = ω12 3 6 Ma 2 0 0 0 3
m 4a 2 + r 2 Ma 2 2 mr 2 2 Tsistema = + ω1 + ω2 8 6 4 mr2 4 r r r r r r r r H A = i j k [J ]Axyz {ω disco} = i j k 0 0 2 r r r mr HA = ω1 j + 2ω 2k 4
{
}
(
{
)
}
(
0 mr2 4 0
0 0 0 ω1 2 ω mr 2 2
)
2
r
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
MECÂNICA B – PME 2200 - Primeira Prova – Resolução - 25/03/2003 2ª Questão (4,0 pontos) Duas massas m, A e B, estão ligadas com barras de comprimento L a um eixo que gira com velocidade angular constante ω. Os volantes C e D de massas m e raio L e espessura desprezível, estão fixados ao eixo que gira suportado pelos mancais de apoio (articulação em D e anel em C), conforme mostrado na figura. Considerando o sistema CXYZ, solidário ao volante, pede-se:
r r a) determinar as reações dinâmica FC e FD dos mancais C e D, sobre o eixo; b) determinar a localização e os valores de duas massas compensadoras m1 e m2 fixadas na parte externa dos volantes C e D respectivamente, suficientes para balancear o sistema.
YC
B
Y
m L
L
L m A
Z
D
ω
C m L
m
X
L
YD ZD
ZC
XD
r r y G = z G = 0 , isto é, o baricentro está sobre o eixo de rotação è a G = 0 r r r r TMB: 0 = X D i + ( YC + YD ) j + ( Z C + Z D ) k ⇒ r& r TMA pólo em C: H = M C C
J r r x j k − J yx − J zx r& r H C = −2mL 2ω 2 k ; r r HC = i
{
}
è YD = −YC = −mL ω 2
XD = 0 YC = −YD Z = − Z C D
− J xy − J xz ω r r Jy − J yz 0 = 3mL2ω i − 2mL2ω j − J zy J z 0 r r r M C = YD .2 L k − Z D .2L j ZD = −ZC = 0
r r FD = − mL ω 2 j
mL2 mL2 2 J x = mL + + mL + = 3mL 2 2 J xy = m( − L)( − L) + m( L)( L ) = 2mL2 J xz = 0 2
r r FC = mL ω 2 j
Para balancear é necessário apenas fazer Jxy =0 mantendo yG = zG = 0 e Jxz = 0. Para tanto acrescenta-se m1 = m em (0,L,0) e m2 = m em (2L,-L,0).
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Departamento de Engenharia Mecânica
MECÂNICA B – PME 2200 - Primeira Prova – Resolução - 25/03/2003 3ª Questão (2,0 pontos) x
A dinâmica do sistema massa/mola/amortecedor da figura, é regida pela equação diferencial ordinária: m &x& + cx& + kx = F (t ) . Baseado no tutorial sobre a utilização do programa SCILAB/SCICOS, fazer o diagrama de blocos do sistema para integração numérica (simulação computacional) indicando a saída para um gráfico de posição em função do tempo.
&x& =
c
m k
1 [ F (t ) − cx& − kx] m
xpp
Scifunc
1/s
xp
1/s
x
Mux sinusoid generator
F(t)
F(t)
