Fundamentos De Física

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Carlos Armando CHOHFI CURSO DE ENGENHARIA FUNDAMENTOS DE FÍSICA ANO 2.008/2 NOME DO ALUNO .............................................................................................................................................................. CÓDIGO DA TURMA............................................................MATRÍCULA............................................................. ÁREA DE HABILITAÇÃO ............................................................................................................................................... 2 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI FUNDAMENTOS DE FÍSICA Com o desenvolvimento da Ciência e da Técnica, um número cada vez maior de conhecimentos vem sendo exigido e tendo de ser ensinado aos estudantes. Por outro lado, a vida moderna desperta um interesse cada vez maior pelos fatos científicos e uma maior avidez pelo estudo de disciplinas de Ciência Natural. Torna-se, então, imperativo pôr o estudante em contato direto com o que se sabe acerca de fenômenos naturais, em particular com os do campo da Física. O objetivo da disciplina Física Geral, numa escola superior, é fornecer ao futuro técnico o lastro de ciência pura imprescindível não apenas à compreensão do exposto nas diversas disciplinas especializadas que se deverão seguir como também ao exercício eficiente de sua profissão. A Física é matéria de formação básica comum a todas as áreas de habilitação, compreendendo os fundamentos científicos e tecnológicos da Engenharia. O seu estudo é a base para a compreensão das matérias de formação profissional geral. Para a Engenharia, não resta dúvida, que a Física é a matéria de formação básica mais importante. Pode-se até dizer informalmente que: “engenharia é física aliada a bom senso” PERSEVERANÇA É A BASE DO SUCESSO. BONS ESTUDOS. Justificativa. A Física é matéria de formação básica e compreende os fundamentos científicos e tecnológicos da Engenharia. Ementa: Medidas Físicas. Fundamentos de Mecânica Clássica. Atividades de Laboratório Objetivos. Preparação para o estudo de outras áreas da Ciência e da Engenharia. Desenvolvimento da intuição física e da capacidade de resolução de problemas, utilizando a Matemática como instrumento de trabalho e também de técnicas experimentais de laboratório. Conteúdo: 1) Apresentação da disciplina. Introdução. 2) Medidas Físicas. 3) Forças Coplanares. 4) Estática do Ponto no Plano. 5) Estática do Sólido no Plano. 6) Cinemática. 7) Leis de Newton do Movimento. 8) Trabalho. Energia. Potência. Rendimento. 9) Colisões. 10) Atividades de Laboratório. Técnicas e recursos didáticos: Aulas expositivas dialogadas, com uso de quadro-negro e giz. Uso da Unidade WEB. Debate de conceitos fundamentais. Realização de trabalhos de pesquisa sobre temas do conteúdo programático. Experimentos laboratoriais. Construção e apresentação de experimentos. Resolução de exercícios e argüições. Bibliografia. 1. YOUNG, D. Hugh ; FREEDMAN, Roger A., SEARS, Francis Weston e ZEMANSKY, Mark W.. Física. Addison Wesley 2. SERWAY, Raymond. Física para Cientistas e Engenheiros. LTC Editora SA. 3. HALLIDAY, RESNICK E WALKER. Fundamentos de Física. LTC Editora SA. 4. TIPLER, Paul A,. Física para Cientistas e Engenheiros. LTC Editora SA.. 5. KELLER, GETTYS E SKOVE. Física. Makron Books do Brasil Ltda. 6. RAMALHO JR, Francisco et al. Os Fundamentos da Física. Editora Moderna Ltda. Carga horária: 80 h/a presenciais e 40 h/a on-line. Número máximo de faltas: 20 h/a Avaliação. 1a. Etapa: a) Prova discursiva individual, valendo 5,0 pontos; b) Trabalho escrito individual, valendo 2,0 pontos; c) Relatórios de laboratório, valendo 1,0 ponto; d) Freqüência às aulas e participação nas atividades propostas, valendo 2,0 pontos. Não há substitutiva (reposição) para as atividades não realizadas. 2a. Etapa = avaliação única individual e escrita (10,0), versando sobre toda a matéria do semestre. Alunos ausentes poderão realizar a prova substitutiva. 3 Engenharia Fundamentos de Física Apêndice Carlos Armando CHOHFI A Alfabeto Grego 1a. letra Alfa Α α a Beta Β β a Gama Γ γ a Delta ∆ δ a Épsilo (Épsilon) Ε ε a Zeta (Dzeta) Ζ ζ a Eta Η η a Teta Θ θ a Iota Ι ι a Capa Κ κ a Lambda Λ λ a 12 . letra Mi (Mu) Μ µ 13a. letra 2 . letra 3 . letra 4 . letra 5 . letra 6 . letra 7 . letra 8 . letra 9 . letra 10 . letra 11 . letra Ni (Nu) Ν ν a Csi (Xi) Ξ ξ a Ômicron Ο ο a Pi Π π a 17 . letra Rô Ρ ρ 18a. letra 14 . letra 15 . letra 16 . letra Sigma Σ σ a Tau Τ τ a Ipsilon (Hipsilo) Υ ϑ a Fi Φ φ,ϕ a 22 . letra Qui Χ χ 23a. letra Psi Ψ ψ Ômega Ω ω 19 . letra 20 . letra 21 . letra a 24 . letra 4 Engenharia Fundamentos de Física Apêndice Carlos Armando CHOHFI B Prefixos legais: múltiplos e submúltiplos decimais das unidades Todas as unidades, derivadas ou fundamentais, admitem múltiplos e submúltiplos decimais, que são obtidos pela colocação de um prefixo anteposto à unidade. Estes prefixos são recomendados para trabalhos de caráter técnico ou científico. PREFIXO yotta zetta exa peta tera giga mega quilo hecto deca unidade deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto SÍMBOLO Y Z E P T G M k h da ⎯ d c m µ n p f a z y FATOR MULTIPLICADOR 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 10o 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18 10−21 10−24 NOME COMUM quintilhão quatrilhão trilhão bilhão milhão mil cem dez décimo centésimo milésimo milionésimo bilionésimo trilionésimo quadrilionésimo quintilionésimo Por razões históricas, a unidade fundamental de massa é o quilograma, obtida pelo acréscimo do prefixo “quilo” à unidade grama. Por isso, as unidades de massa múltiplas e submúltiplos são obtidas pelo acréscimo do prefixo ao grama e não ao quilograma. Quanto à pronúncia, costuma-se conservar a sílaba tônica da unidade, não a mudando quando se acrescenta o prefixo. Assim, o correto é micrometro (micrométro), e não micrômetro; nanometro (nanométro) e não nanômetro, etc. As palavras quilômetro, hectômetro, decâmetro, decímetro, centímetro e milímetro, consagradas pelo uso com o acento tônico deslocado para o prefixo, são as únicas exceções a esta regra. 5 Engenharia Fundamentos de Física Apêndice Carlos Armando CHOHFI C Algumas Fórmulas de Geometria e de Trigonometria Geometria Figuras Quadrado de lado a Retângulo de lados a e b Triângulo de base b e altura h Paralelogramo de base b e altura h Círculo de raio r Elipse de semi-eixo maior a e semi-eixo menor b Esfera de raio r Cilindro circular de raio r e altura h Áreas a2 a.b b.h/2 b.h π.r2 π.a.b 4.π.r2 2.π.r2 +2.π.r.h Figuras Cubo de lado a Paralelepípedo com área da base A e altura h Esfera de raio r Cilindro com área da base A e altura h Cone com área da base A e altura h Volumes a3 A.h 4.π.r3/3 A.h A.h/3 Triângulo Retângulo a c sen θ = cos ecθ = c a b c cos θ = sec θ = c b a b tan θ = cot θ = b a c = a2 + b2 a = cateto oposto a = c −b 2 b = c 2 − a2 Triângulo Qualquer Ângulos internos: α, β, γ Lados opostos:a, b, c Soma dos ângulos internos: α + β + γ = 180o sen α sen β sen γ = = a b c c 2 = a 2 + b 2 − 2.a.b. cos γ b 2 = a 2 + c 2 − 2.a.c. cos β a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c. cos α 2 b = cateto adjacente c = hipotenusa 6 Engenharia Apêndice Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI Algumas Fórmulas de Geometria e de Trigonometria. Sinais e Símbolos Matemáticos Símbolo = ≈ ∼ ≠ ≡ > < ≥ ≤ >> << ± ∝ ∑ ∆x ⎜x⎜ ∂x/∂t ∫ Significado igual a aproximadamente igual a da ordem de grandeza de diferente de idêntico a, definido como maior que menor que maior que ou igual a menor que ou igual a muito maior que muito menor que mais ou menos proporcional a soma de (somatório de) variação de x módulo de x (sempre positivo) derivada parcial de x em relação a t integral Identidades Trigonométricas 1 senθ 1 sec θ = cos θ 1 cot = tgθ cos ecθ = sec 2 θ = 1 + tg 2 θ sen2θ = 2 senθ cos θ cos 2θ = cos 2 θ − sen 2 θ sen(90 − θ) = cos θ o cos(90 o − θ) = senθ tan(90 o − θ) = cot θ cos ec 2 θ = 1 + cot 2 θ tan 2θ = sen( −θ) = −senθ 1 − tg 2 θ sen 2 θ 1 − cos θ = 2 2 cos 2 θ 1 + cos θ = 2 2 cos( −θ) = cos θ tan( −θ) = −tgθ 2 tgθ sen 2 θ + cos 2 θ = 1 tan θ = 2 1 − cos θ 1 + cos θ 7 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI Apêndice D Fatores de Conversão de Unidades As tabelas foram compiladas do livro Fundamentos de Física por Halliday, Resnick e Walker, uma publicação de Livros Técnicos e Científicos Editora SA. As unidades em negrito são as unidades legais do Sistema Internacional de Unidades. Na coluna está o nome da unidade e na linha o seu símbolo. ÂNGULO PLANO o 1 grau = 1 minuto = 1 segundo = 1 radiano = 1 revolução (volta) = 1 1,667 x 10-2 2,778 x 10-4 57,30 360 ´ 60 1 1,667 x 10−2 3,438 4 2,16 x 10 ´´ 3 600 60 1 2,063 x 105 1,296 x 106 rev 2,778 x 10−3 4,630 x 10−5 7,716 x 10−7 0,1592 1 radiano 1,745 x 10−2 2,909 x 10−4 4,848 x 10−6 1 6,283 ÂNGULO SÓLIDO 1 esfera = 4π esterradianos = 12,57 esterradianos COMPRIMENTO cm 1 centímetro= 1 1 metro = 100 1 quilômetro= 105 1 polegada = 2,540 1 pé = 30,48 1 milha = 1,609 x 105 -10 m 10−2 1 1 000 2,540 x 10−2 0,3048 1 609 km 10−5 10−3 1 2,540 x 10−5 3,048 x 10−4 1,609 -15 1 angstron = 10 m 1 milha náutica = 1 852 m = = 1,151 milhas = 6 076 pés 1 fermi = 10 m 15 1 ano-luz = 9,460 x 10 m 16 1 parsec = 3,084 x 10 m ÁREA m2 1 10−4 9,290 x 10−2 6,452 x 10−4 1 metro quadrado = 1 centímetro quadrado = 1 pé quadrado = 1 polegada quadrada = 7 VOLUME 1 metro cúbico = 1 centímetro cúbico = 1 litro = 1 pé cúbico = 1 polegada cúbica = m3 1 10-6 1,000 x 10−3 2,832 x 10−2 1,639 x 10−5 ft2 10,76 1,076 x 10−3 1 6,944 x 10−3 4 1 milha quadrada = 2,788 x 10 ft = = 640 acres 2 2 1 acre = 43 560 ft = 40,47 ares = 4 047 m -28 2 1 barn = 10 m ft 3,281 x 10−2 3,281 3 281 8,333 x 10−2 1 5 280 mi 6,214 x 10−6 6,214 x 10−4 0,6214 1,578 x 10−5 1,894 x 10−4 1 1 braça = 6 pés = 1,829 m 1 vara = 16,5 pés = 50,29 m -11 -3 1 raio de Bohr = 5,292 x 10 m 1 mil = 10 polegadas -9 1 jarda = 3 pés = 0,9144 m 1 nm = 10 m cm2 104 1 929,0 6,452 2 in. 0,3937 39,37 3,937 x 104 1 12 6,336 x 104 in.2 1,550 0,1550 144 1 2 1 hectare = 10 m = 2,741 acres 2 1 are = 100 m 2 1 alqueire (SP) = 24 200 m 2 1 alqueire (GO, MG, RJ) =48 400 m cm3 106 1 1 000 2,832 x 104 16,39 ft3 35,31 3,531 x 10−5 3,531 x 10−2 1 5,787 x 10−4 ℓ 1 000 1,000 x 10−3 1 28,32 1,639 x 10−23 1 galão americano = 4 quartos americanos = 8 pints americanos = 128 onças = 231 in. = 3,786 ℓ 3 1 galão inglês = 277,4 in. = 1,201 galões americanos = 4,547 ℓ = 4,547 ℓ in.3 6,102 x 104 6,102 x 10−2 61,02 1 728 1 8 Engenharia Apêndice Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI Fatores de Conversão de Unidades MASSA As unidades na área sombreada, onça (oz), libra (lb) e ton (curta), não são unidades de massa, mas são usadas muitas vezes, como se fossem. Quando escrevemos, por exemplo, 1 kg = 2,205 lb, isto significa que o quilograma é uma massa que pesa 2,205 libras num local onde g tem o valor padrão de 9,806 65 m/s2. 1 grama = 1 quilograma 1 slug = 1 u.m.a(a).= 1 onça = 1 libra = 1 ton (curta) = g 1 1 000 4 1,459x10 1,661x10-24 28,35 453,6 9,072x105 kg 0,001 1 14,59 1,661x10-27 2,835x10-2 0,4536 907,2 slug 6,852 x 10-5 6,852 x 10-2 1 1,138 x 10-28 1,943 x 10-3 3,108 x 10-2 62,16 u 6,022 x 1023 6,022 x 1026 8,786 x 1027 1 1,718 x 1025 2,732 x 1026 5,463 x 1029 oz 3,527 x 10-2 35,27 514,8 5,857 x 10-26 1 16 3,2 x 104 lb 2,205 x 10-3 2,205 32,17 3,662 x 10-27 6,250 x 10-2 1 2 000 ton 1,102 x 10-6 1,102 x 10-3 1,609 x 10-2 1,830 x 10-30 3,125 x 10-5 0,0005 1 (a) 1 uma = 1 u = 1 unidade unificada de massa atômica. 1 tonelada métrica = 1 000 kg -4 1 quilate = 2 x 10 kg MASSA ESPECÍFICA (DENSIDADE ABSOLUTA) As unidades na área sombreada, lb/ft3 e lb/in.3, são pesos específicos e, portanto, são dimensionalmente diferentes de massas específicas (densidades de massa). Ver a nota na tabela de massa. slug/ft3 1 slug por pé = 1 1 quilograma por metro3 = 1,940 x 10−3 1 grama por centímetro3 = 1,940 1 libra por pé3 = 3,108 x 10−2 1 libra por polegada3 = 53,71 g/cm3 0,5154 0,001 1 1,602 x 10−2 27,68 3 kg/m 515,4 1 1 000 16,02 2,768 x 104 3 lb/ft3 32,17 6,243 x 10−2 62,43 1 1 728 lb/in.3 1,862 x 10−2 3,613 x 10−5 3,613 x 10−2 5,787 x 10−4 1 TEMPO 1 ano = 1 dia = 1 hora = 1 minuto = 1 segundo = a 1 2,738 x 10−3 1,141 x 10−4 1,901 x 10−6 3,169 x 10−8 d 365,25 1 4,167 x 10−2 6,944 x 10−4 1,157 x 10−5 h 8,766 x 103 24 1 1,667 x 10−2 2,778 x 10−4 min 5,259 x 105 1 440 60 1 1,667 x 10−2 s 3,156 x 107 4 8,640 x 10 3 600 60 1 VELOCIDADE 1 pé por segundo = 1 quilômetro por hora = 1 metro por segundo = 1 milha por hora = 1 centímetro por segundo = ft/s 1 0,9113 3,281 1,467 3,281 x 10−2 km/h 1,097 1 3,6 1,609 3,6 x 10−2 m/s 0,3048 0,2778 1 0,4470 0,01 1 nó = 1 kt (knot) = 1 milha náutica por hora = 1,852 km/h = 1,688 1 mi/min = 88,00 ft/s = 60,00 mi/h ft/s mi/h 0,6818 0,6214 2,237 1 2,237 x 10−2 cm/s 30,48 27,78 100 44,70 1 9 Engenharia Apêndice Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI Fatores de Conversão de Unidades FORÇA As unidades na área sombreada, gf e kgf, admitidas temporariamente pelo SI, são cada vez menos utilizadas, e devem ser evitadas. Para esclarecer: 1 quilograma-força (= 1 kgf) é a força da gravidade que atua sobre um corpo de massa igual a 1 quilograma num local onde a aceleração da gravidade é normal, isto é, gn = 9,806 65 m/s2. 1 dina = 1 newton = 1 libra = 1poundal (pdl) = 1 grama-força = 1 quilograma-força = dina 1 105 5 4,448 x 10 1,383 x 104 980,7 5 9,807 x 10 N 10−5 1 4,448 0,1383 9,807 x 10−3 9,807 lb 2,248 x 10−6 0,2248 1 3,108 x 10−2 2,205 x 10−3 2,205 pdl 7,233 x 10−5 7,233 32,17 1 7,093 x 10−2 70,93 kgf 1,020 x 10−6 0,1020 0,4536 1,410 x 10−2 0,001 1 gf 1,020 x 10−3 102,0 453,6 14,10 1 1 000 PESO E MASSA Seguem-se as equivalências entre uma força (à esquerda) e a força exercida sobre uma massa em quilogramas em um local onde a aceleração da gravidade é normal, isto é, gn = 9,806 65 m/s2. Unidade 1 carat = 1 grain = 1 onça (avoirdupois) = 1 onça (troy) = 1 libra (troy) = 1 libra (avoirdupois) = 1 ton (avoirdupois) = PRESSÃO Massa 2,00 x 10−4 kg 6,48 x 10−5 kg 2,83 x 10−2 kg 3,11 x 10−2 kg 0,373 kg 0,453 kg 907 kg atm dina/cm2 cmHg Pa lb/in.2 lb/ft2 1,013 x 106 polegada de água 406,8 1 atmosfera 1 76 1,013 x 105 14,70 2,116 1 dina por centímetro2= 1 polegada de águaa = 1 centímetro b de mercúrio 1 pascal = 9,869 x 10−7 1 4,015 x 10−4 7,501 x 10−5 0,1 1,405 x 10−5 2,089 x 10−3 2,458 x 10−3 2 491 1 0,1868 249,1 3,613 x 10−2 5,202 1,316 x 10−2 1,333 x 10 5,353 1 1 333 0,1934 27,85 9,869 x 10−6 10 4,015 x 10−3 7,501 x 10−4 1 1,450 x 10−4 2,089 x 10−2 6,895 x 10 27,68 5,171 6,895 x 103 1 144 478,8 0,1922 3,591 x 10−2 47,88 6,944 x 10−3 1 1 libra por 6,805 x 10−2 polegada2 = 2 1 libra por pé 4,725 x 10−4 = 4 4 o (a) a 4 C o 2 (b) a 0 C e onde gn = 9,806 65 m/s 6 2 1 bar = 10 dina/cm = 0,1 MPa 3 2 2 1 milibar = 10 dina/cm = 10 Pa 1 torr = 1 mmHg 10 Engenharia Apêndice Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI Fatores de Conversão de Unidades ENERGIA, TRABALHO, CALOR Btu 1 unidade térmica 1 britânica = 1 erg = 9,481 x 10−11 1 pé-libra = 1,285 x 10−3 1 hp-hora = 2 545 1 joule = a 1 caloria = 1 quilowatt-hora = 1 elétron-volt = erg 1,055 x 1010 1 ft.lb 777,9 7,376 x 10-8 1 1,356 x 107 2,685 x 1013 107 9,481 x 10−4 3,969 x 10−3 3 413 1,980 x 106 0,7376 4,186 x 107 3,600 x 1013 1,602 x 10−12 1,519 x 10−22 3,088 2,655 x 106 1,182 x 10−19 hp.h 3,929 x 10−4 3,725 x 10−14 5,051 x 10−7 1 J 1 055 10-7 cal kWh 2,930 x 10−4 2,778 x 10−14 3,766 x 10−7 0,7457 252,0 2,389 x 10−8 1,356 3,725 x 10−7 1,560 x 10−6 1,341 5,967 x 10−26 2,685 x 106 1 0,3238 6,413 x 105 0,2389 4,186 1 3,600 x 106 1,602 x 10−19 8,600 x 105 3,827 x 10−20 2,778 x 10−7 1,163 x 10−6 1 4,450 x 10−26 eV 6,585 x 1021 6,242 x 1011 8,464 x 1018 1,676 x 1025 6,242 x 1018 2,613 x 1019 2,247 x 1025 1 (a) a caloria utilizada em dieta humana (Cal) vale 1 000 calorias (1 kcal). A caloria termoquímica se define como 4,184 J. POTÊNCIA Btu/h 1 unidade térmica 1 britânica por hora = 1 pé-libra por segundo 4,628 = a 2 545 1 hp = ft-lb/s 0,2161 hp 3,929 x 10−4 cv 3,983 x 10−4 cal/s 6,998 x 10−2 kW 2,930 x 10−4 1 1,818 x 10−3 1,843 x 10−3 0,3239 1,356 x 10−-3 1,356 550 1 1,014 178,1 0,7457 745,7 2 510 542,5 0,9863 1 175,7 0,7355 735,5 1 caloria por segundo 14,29 = 1 quilowatt = 3 413 3,088 5,615 x 10−3 5,693 x 10−3 1 4,186 x 10−3 4,186 737,6 1,341 1,360 238,9 1 1 000 0,7376 1,341 x 10−3 1,360 x 10−3 0,2389 0,001 1 b 1 cv = 3,413 1 watt = (a) hp = horse-power = 745,7 W (b) cv = cavalo-vapor = 735,5 W FLUXO MAGNÉTICO maxwell 1 108 1 maxwell = 1 weber = Wb 10−8 1 INDUÇÃO MAGNÉTICA gauss 1 104 0,001 1 gauss = 1 tesla = 1 miligauss = 2 1 tesla = 1 Wb/m T 10−4 1 10−7 miligauss 1 000 107 1 W 0,2930 11 Engenharia Fundamentos de Física Apêndice Carlos Armando CHOHFI E 12 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 13 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 14 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 15 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 16 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 17 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 18 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 19 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 20 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI CAPÍTULO 1 — INTRODUÇÃO 1. A FÍSICA – OBJETO E MÉTODO. Estudar-se cientificamente o Universo como um todo é uma tarefa humanamente impossível. Por este motivo, estudam-se inicialmente algumas coisas de cada vez, resultando deste estudo as diversas ciências existentes atualmente, e que, de acordo com o objeto de estudo de cada uma, podem ser classificadas do seguinte modo: • • • CIÊNCIAS NATURAIS: são as ciências que estudam a Natureza, ou seja, o mundo físico que nos cerca: Física, Química, Astronomia, Botânica etc. CIÊNCIAS HUMANAS são ciências que estudam o Homem: Antropologia, Psicologia, Biologia etc. CIÊNCIAS CULTURAIS são ciências que estudam o produto da ação do homem sobre o homem ou sobre o Universo: Sociologia, História, Matemática etc. A CIÊNCIA é conhecimento ordenado e estruturado, não representando, portanto, simples soma de informações ou um amontoado de fatos. A FÍSICA (palavra originária do vocábulo grego Physis que significa natureza) seleciona certos aspectos da experiência −os fatos são fenômenos físicos − que Ihes parece suscetíveis de uma descrição precisa e procura submetê-los a um esquema lógico. Os fenômenos da natureza estudados em Física são tantos e tão variados que se pode dizer que a Física é a ciência cujo objetivo é estudar os componentes da matéria e suas interações mútuas. Através destas interações, os cientistas explicam as propriedades da matéria no seu estado natural, assim como outros fenômenos naturais que se pode observar. Como outras ciências, a Física é dividida de acordo com diversos critérios. Em primeiro lugar há uma divisão fundamental entre física teórica, física experimental e física aplicada. • A física teórica procura definir novas teorias que condensem o conhecimento advindo das experiências; também vai procurar formular as perguntas e os experimentos que permitam expandir o conhecimento. • A física experimental conduz experimentos capazes de validar ou não teorias científicas, ou mesmo corrigir aspectos defeituosos destas teorias. • A física aplicada trata do uso das teorias físicas na vida cotidiana e cria técnicas que podem ser empregadas em todas as áreas de pesquisas pura ou aplicada. Os astrônomos precisam de técnicas ópticas, espectroscópicas e de rádio; os geólogos usam métodos gravimétricos, acústicos, nucleares e mecânicos em suas pesquisas; o mesmo se pode dizer do oceanógrafo, do meteorologista, do engenheiro, do farmacêutico etc. Uma outra divisão pode ser feita pela magnitude do objeto em análise. • A física quântica trata do universo do muito pequeno, dos átomos e das partículas que compõem os átomos; • A física clássica trata dos objetos que encontramos no nosso dia-a-dia; • A física relativística trata de situações que envolvem grandes quantidades de matéria e energia. Denomina-se grandeza física todo elemento suscetível de definição quantitativa, convencionalmente introduzido com o objetivo puro e simples de facilitar o estudo e a descrição de um fenômeno, ou um grupo de fenômenos. Toda grandeza física é concebida como resultado de operação bem definida (medição), em laboratório. A lei física é a descrição exata das relações de interdependência entre as grandezas associadas a um dado fenômeno; sempre que possível ela é representada mediante relações matemáticas entre símbolos que representam as grandezas físicas. Chega-se às leis físicas a partir de conhecimentos adquiridos anteriormente (método racional) ou por meio da observação e/ou experimentação (método experimental). 21 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI Embora a Física se utilize métodos matemáticos, estes entram como uma ferramenta de trabalho, ao lado da observação e da experimentação. A Física não é disciplina matemática e muito menos construída sobre modelo matemático − é a ciência do estudo geral da matéria bruta, da energia e de suas transformações e que se utiliza predominantemente do método experimental e também do método dedutivo-matemático; é, portanto, uma ciência experimental. O método experimental consiste no seguinte procedimento: • • • • Observação: constatação do fenômeno (sem influenciá-la, se possível) e anotação de suas características essenciais. Formulação de hipóteses: proposição provisória, visando descrever cientificamente os fatos observados; se a hipótese for confirmada, ela se converte em lei, que pode inclusive vir a ser derrubada em vista de novos conhecimentos. Experimentação: intervenção do pesquisador na reprodução artificial do fenômeno em condições mais adequadas para a observação, com o intuito de verificar se a hipótese formulada é correta ou não; sempre que possível, modificar intencionalmente as condições para observar os efeitos daí decorrentes. Indução: a partir dos fatos particulares alcançar fatos gerais (generalização); toda indução encerra o risco de conduzir a erro. A teoria física é um conjunto completo e logicamente estruturado de leis físicas. Toda teoria procura correlacionar o maior número de fenômenos partindo de um pequeno número de princípios, assim como estabelecer ligações entre as leis experimentais e prever novos fenômenos e novas relações entre as grandezas físicas. Uma teoria terá tanto maior sucesso quanto mais se aproximar destes objetivos. Toda teoria é perecível; nenhuma teoria é definitiva. O teste crucial da teoria física é o seu confronto com os fenômenos observados; ele pode confirmar a teoria, pode invalidar parte dela ou pode invalidar toda ela. Pode-se dizer que as grandes teorias físicas são: a) Teoria de Newton da Mecânica; b) Teoria da Termodinâmica; c) Teoria Cinética; d) Teoria das Ondas; e) Teoria da Relatividade Especial; f) Teoria Quântica; g) Teoria da Eletricidade e do Magnetismo; h) Teoria da Tabela Periódica e Valência. A Física é usualmente dividida nos seguintes ramos, nem sempre bem distintos entre si, e que estudam as grandes teorias físicas: MECÂNICA (a), CALOR (b , c), ACÚSTICA (d), ÓPTICA (d, e, f), ELETROMAGNETISMO (g) e FísICA ATÔMICA (f, h). 2. MEDIÇÃO. • Mensurando é o objeto da medição, é a grandeza específica sujeita à medição. • Medição é o conjunto de operações que tem por objetivo determinar o valor de uma grandeza (mensurando). Medir uma grandeza significa compará-la com outra da mesma espécie denominada unidade. • Unidade (de medida) é a grandeza específica, definida e adotada por convenção, com a qual as outras grandezas de mesma natureza são comparadas para expressar suas magnitudes em relação àquela grandeza. • Valor de uma grandeza é o resultado da medição, é a expressão quantitativa de uma grandeza específica, geralmente sob a forma de uma unidade de medida multiplicada por um número. • Valor numérico é o número que multiplica a unidade na expressão do valor de uma grandeza. Deste modo, quando se diz que a área de um terreno vale 100 metros quadrados (simbolicamente A = 100 m2), significa dizer que a área do terreno considerado é 100 vezes maior que a área de um quadrado com 1 metro de lado. 22 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI valor da grandeza = valor numérico × unidade • Espécie ou classe. Grandezas de mesma espécie ou classe são grandezas que tem o mesmo significado físico Todos os comprimentos (por ex., diâmetro de uma bola, perímetro de um triângulo, altura de uma torre etc.) são da espécie "comprimento"; todas as forças (por ex., força de atração entre duas cargas elétricas, força de colisão entre dois automóveis, força de um boxeador no rosto de seu adversário etc.) são da espécie "força". Grandezas de mesma espécie, e somente estas, podem ser comparadas entre si. Por exemplo, a altura de uma torre é um comprimento; a extensão de um pé também é um comprimento; altura e pé são grandezas da mesma espécie; portanto altura e pé podem ser comparados entre si. 1 pé = 1 ft (foot) = 0,3048 m 3. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES. Sistema de unidades físicas é o conjunto completo de unidades usadas para medir todas as espécies de grandezas físicas. Antigamente cada unidade era definida arbitrariamente. Não havia a menor correlação entre as unidades de um sistema. Isto causava um inconveniente: sobrecarregava as fórmulas físicas com incômodas constantes de proporcionalidade (fatores numéricos). Tais sistemas, ditos incoerentes, estão fora de uso. No Sistema Internacional de Unidades (SI), somente algumas unidades em número mínimo, estritamente necessárias e independentes entre si, denominadas unidades de base, são definidas arbitrariamente. As demais unidades, denominadas unidades derivadas, mediante as equações de definição e as leis físicas, são definidas em função das unidades de base. O SI admite também as denominadas unidades suplementares. Um sistema de unidades estruturado deste modo é denominado sistema coerente de unidades, isto é, sistema de unidades ligadas pelas regras de multiplicação e divisão, sem qualquer fator numérico. As unidades de base medem grandezas de base e as unidades derivadas medem grandezas derivadas, as unidades suplementares medem grandezas suplementares. O conjunto de espécies das grandezas de base constitui a base do sistema. O valor de uma grandeza física exprime-se como produto simbólico do valor numérico (número puro) por unidade. A adoção exclusiva de sistemas coerentes de unidades permite unificar as fórmulas. As unidades de medidas legais no País são aquelas do Sistema Internacional de Unidades de Medida (SI), adotado pela Conferência Geral de Pesos e Medidas, cuja adesão pelo Brasil foi formalizada através do Decreto Legislativo no 57, de 27 de junho de 1953. Veja o SI completo publicado pelo INMETRO. Para enfatizar a importância das unidades de medida, leia um trecho de notícia publicada no jornal Folha de S. Paulo, em 4/12/1999, na seção CIÊNCIA. Maldição acompanha exploração “O último vexame aconteceu com a Mars Climate Orbiter, nave irmã da atual Mars Polar Lander. Em setembro, a sonda foi destruída por um erro grosseiro de cálculo ⎯ os engenheiros esqueceram de converter as medidas inglesas para o sistema métrico. Mais de US$ 125 milhões de prejuízo.” 23 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI Ciência Conta de maluco Confusão de medidas derruba sonda espacial e mostra como é urgente esquecer pés e polegadas Marcos Gusmão: (p. 118 – 119 - 6 de outubro. 1999 Revista Veja) A escola ensina que, para qualquer operação que envolva padrões diferentes de pesos e medidas, é necessário fazer a conversão para um único sistema de unidade. Sem isso, é confusão na certa. Na semana passada, a agência espacial americana, a NASA, admitiu que um erro primário como esse pode ter sido a causa do desvio, e depois da perda, da sonda Mars Climate Orbiter, que custou 125 milhões de dólares. A nave foi enviada ao espaço para estudar o clima de Marte e espatifou-se ao entrar desastradamente na atmosfera marciana. Para o constrangimento dos cientistas americanos, a única explicação é a sonda ter recebido informações conflitantes dos controladores de vôo. Ou seja, ao se aproximar do planeta vermelho, foi abastecida de dados em metro e em quilograma, do Sistema Métrico Decimal, e também em pé e em libra, unidades do Sistema Imperial Britânico. A comissão de cientistas que investiga o caso acredita que os programas de computador da Nasa não foram capazes de detectar as diferenças entre valores expressos em dois sistemas. O melhor time de navegadores espaciais do mundo acabou com uma nave caríssima por causa da teimosia dos Estados Unidos e de outros países de origem anglo-saxã em manter esse sistema de medidas criado há oito séculos e que já deveria ter virado peça de museu. "Somente o sistema métrico deveria ser usado", diz Lorde Young, a presidente da Associação Métrica dos Estados Unidos. "Ele é a língua de toda ciência sofisticada." De fato, é inconcebível para uma cabeça adaptada ao sistema decimal a quantidade de cálculos necessária para trabalhar com medidas como polegadas, jardas e pés. A dificuldade de associação rápida é assombrosa. Um pé se divide em 12 polegadas. A jarda tem 3 pés e uma milha equivale a 1 760 jardas. Para responder quantas polegadas existem em uma milha sem fritar os neurônios só apelando de imediato para uma calculadora. São 63 360 polegadas. E em três quartos de milha? É melhor esquecer. Pelo sistema métrico, para se chegar a quantos centímetros existem em um quilômetro, é só pensar nas 100 subdivisões do metro e acrescentar mais os três zeros do milhar. O resultado: 100000 centímetros em cada quilômetro. Em três quartos de quilômetro? Na ponta da língua: 75 000 centímetros. Para abastecer o carro, o inglês e o americano pedem o combustível em galão e não em litro, bebe cerveja em pint e não em mililitro. Mede o peso em libra ou onça. Para a temperatura adota um estranhíssimo sistema com ebulição a 212 graus, batizado como Fahrenheit e completamente diverso dos graus Celsius que o resto do mundo usa. Quando se leva em conta a origem do sistema então, parece piada. Houve um tempo em que a jarda era a distância que ia do nariz à extremidade do braço esticado do rei no poder, senhor de todos os padrões. O pé era exatamente do tamanho do pé real e a polegada ia pelo mesmo caminho, vinculada ao dedo do soberano. Hoje não é assim, óbvio. A polegada não é o dedão da rainha Elizabeth II, mas sim 2,5 centímetros. Para se chegar à jarda também não é preciso medir o braço real: fechou-se a questão em 91,4 centímetros. E o pé, então, é uma lancha de 30,4 centímetros, que claramente não corresponde às dimensões do de sua majestade. Os padrões do chamado Sistema Imperial Britânico foram adaptados ao sistema métrico para poder funcionar como medidas modernas. Mesmo com os ingleses mantendo os conceitos antropomórficos, o metro e as demais unidades do sistema decimal acabaram vencendo a batalha", afirma Giorgio Moscati, professor do Instituto de Física da Universidade de São Paulo e membro do Comitê Internacional dos Pesos e Medidas. E por quê? Porque o metro já nasceu com conceituação científica e filosófica e não apenas prática. Ele surgiu como uma unidade de medida física imutável, no caso, a décima milionésima parte da distância entre o Pólo Norte e o Equador, medida pelo meridiano que passa por Paris. Foi um produto do iluminismo francês, para acabar com as medidas arbitrárias da Antiguidade e da Idade Média ainda em vigor no século XVIII. E até se sofisticou. Hoje ele é calculado com base no espaço percorrido 24 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI pela luz no vácuo em determinado período de tempo, o que permite uma calibragem de instrumentos com precisão indiscutível. O problema é que, por motivos culturais diversos países, entre eles a maior potência do planeta, relutam em abrir mão de suas medidas arcaicas. O que foi disputa entre as pretensões imperiais da França e da Inglaterra nos últimos dois séculos virou um problemão científico para o futuro, como prova a bobagem cometida pelos cientistas da NASA na semana retrasada. "Não dá para trocar as medidas de uma hora para outra", explica o professor Moscati. "Assim como a jarda é incompreensível para nós, o metro não passa de uma abstração para a maioria dos americanos e ingleses", diz ele. O resultado é um conflito de comunicação entre metade do planeta que pensa de um jeito e o outro lado que pensa de outro, insustentável numa sociedade globalizada. Para resolver pendengas como essa, na próxima segundafeira a Conferência Geral dos Pesos e Medidas se reúne mais uma vez em Paris, na França. Os especialistas discutirão exatamente quais são as maneiras de acelerar o processo de unificação que adotará definitivamente o sistema internacional de unidades, SI que regulamenta o metro, o quilograma, o litro e os graus Celsius como padrão. "A unificação no padrão métrico decimal é inevitável", afirma Moscati, que participará da reunião. Os Estados Unidos aderiram ao sistema internacional em 1959. Há quatro anos, por força da União Européia, a Inglaterra resolveu dar adeus definitivo à velharia baseada em pés, polegares e narizes reais. Em ambos os países, o sistema métrico convive com o imperial, mas a maioria da população só faz contas no estilo antigo. Por isso as trapalhadas como a ocorrida na NASA. A confusão está longe de acabar. 4. RESULTADOS NUMÉRICOS. Teoricamente, todas as vezes que se mede uma grandeza (mensurando) com uma mesma unidade encontra-se um mesmo resultado. Praticamente, tal não acontece, pois toda vez que se realiza a medida de uma mesma grandeza com uma mesma unidade encontra-se, em geral, um resultado diferente dos anteriores. Isto se deve ao fato de que as medidas são realizadas com o auxílio de instrumentos e operadores, os quais nunca são perfeitos. Conseqüentemente, quando um mensurando é medido não se encontra, em geral, o valor correto, o valor exato da grandeza, mas sim apenas um valor aproximado. A Física e a Engenharia são Ciências que lidam, essencialmente, com grandezas experimentais, oriundas de medições. Assim, os resultados encontrados não são valores exatos ou corretos, mas simplesmente aproximados. Por exemplo, quando resolvemos um problema e encontramos que a tensão normal σ em um cabo de aço é igual a 375 MPa, queremos, na realidade, dizer que a tensão normal σ é aproximadamente igual a 375 MPa. Isto corresponde, no fundo, a se considerar equivalentes as expressões: igual a e aproximadamente igual a, ou seja, a considerar equivalentes os símbolos = e ≈. Em Engenharia e em Física: σn = 375 MPa equivale a σn ≈ 375 MPa A este respeito, o padrão de resposta esperado publicado pelo MEC para a questão 5 do PROVÃO 2000 de Engenharia Civil, assinalava o seguinte resultado: momento máximo suportado pela seção é Md = 270,9 kNm (aceitar valores entre 261,2 e 280,6 kNm) Significa dizer, em outras palavras, que o valor mais provável do momento máximo é 270,9 kNm, aceitando-se, porém, resultados com desvio de 9,7 kNm e desvio percentual de 3,58%. Em representação formal: Md = (270,9 ± 9,7) kNm ou Md = (270,9 ±3,58%) kNm O valor correto, o valor exato, o valor verdadeiro de uma grandeza são normalmente definidos ou tomados como padrão. Exemplos: Comprimento do metro padrão = Lp = 1,000 000 00...m (exato, precisão infinita) Aceleração normal da gravidade = gn = 9,806 65 m/s2 (convenção) Atmosfera normal = 1 atm = 101 325 Pa (definição) 25 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 5. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS. Na realização de cálculos numéricos com dados experimentais depara-se frequentemente com questões acerca de quantos algarismos significativos deve-se usar e do arredondamento do valor de várias grandezas. Estes procedimentos serão agora revistos. Um algarismo significativo é qualquer um dos dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O número zero é também um algarismo significativo exceto quando for usado para precisar número de casas decimais ou para ocupar o lugar de dígitos desconhecidos ou desprezados. Assim, no número 0,000532 os algarismos significativos são 5, 3 e 2, enquanto que nos números 2 076 e 1 060 todos os algarismos são significativos, incluindo os zeros. Os algarismos significativos evitam ilusões sobre o grau de precisão dos números. É importante notar que casas decimais nada têm a ver com algarismos significativos. Os algarismos significativos de um número contam-se da esquerda para a direita, a partir do primeiro não nulo. É chamado de algarismo duvidoso o último da direita, mesmo que esse seja o zero. Assim, os algarismos significativos de um número são todos os algarismos corretos e também o primeiro duvidoso, e mais nenhum. Em Física e em Engenharia, casas decimais não têm a mínima importância: o que importa são os algarismos significativos. Deslocamento de vírgula não influi na quantidade de algarismos significativos. Considere que na medida do comprimento de um objeto encontrou-se 15,7 cm. Por convenção, isto quer dizer que tal medida foi obtida com aproximação de um décimo de centímetro. Se tal medida pudesse ser realizada com uma aproximação de um centésimo de centímetro, dever-se-ia indicá-la por 15,70 cm. O valor numérico 15,7 é representado com três algarismos significativos (1, 5, 7), enquanto que o valor numérico 15,70 é representado com quatro algarismos significativos (1, 5, 7, 0). Observe que em 15,7 há segurança quanto à precisão dos dois primeiros algarismos (1 e 5), sendo duvidoso o último (7), e em 15,70 há segurança quanto à precisão dos três primeiros algarismos (1, 5, 7), sendo duvidoso o último (0). O comprimento 15,7 cm seguramente foi obtido com um instrumento cuja menor divisão da escala é o milímetro, enquanto que o de 15,70 cm foi obtido com um instrumento cuja menor divisão da escala seguramente é o décimo de milímetro. O mesmo comprimento L pode ser escrito, sem alteração alguma, sob as formas: L = 15,7 cm , L = 157 mm , L = 0,157 m ; L= 1,57 dm ; L = 0,000157 km com 1, 0, 3, 2 e 6 casas decimais, respectivamente, e, no entanto, a quantidade de algarismos significativos em todas as expressões continua a ser 3. Exemplos: número 2,1 2,10 0,210 0,201 0,0201 0,00201 0,002010 0,020100 0,0020100 quantidade de algarismos significativos 2 3 3 3 3 3 4 5 5 6. REPRESENTAÇÃO ESCRITA DOS NÚMEROS. Para a representação escrita dos números, aconselha-se a “notação científica”: escreve-se um coeficiente entre 1 (inclusive) e 10 (exclusive), multiplicado por 10n, sendo n um número inteiro positivo ou negativo. O fator 10n não influi na precisão (não influi na quantidade de algarismos significativos). 26 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI Exemplo: O número 126,8 escrito de várias formas diferentes. número 126,8×100 1 268×10–1 12,68×10 1,268×102 0,126 8×103 0,012 68×104 notação Potência de dez Potência de dez Potência de dez Notação científica Potência de dez Potência de dez quantidade de algarismos significativos 4 4 4 4 4 4 7. REGRA DE ARREDONDAMENTO. Ao realizar cálculos as quantidades podem ter diferentes números de algarismos significativos. Por exemplo, na multiplicação 4,62 x 0,317856 o primeiro número possui três algarismos significativos enquanto que o segundo possui seis . Pode-se mostrar que o produto de ambos terá apenas três algarismos significativos. Portanto, o número de seis algarismos deve ser arredondado antes da multiplicação para se evitar um trabalho desnecessário. Uma regra de arredondamento largamente usada é a seguinte: “Quando o algarismo situado imediatamente após o duvidoso for maior ou igual a 5, aumenta-se uma unidade ao duvidoso e abandonam-se os restantes (arredondamento para mais). Se tal algarismo for inferior a 5, escreve-se até o algarismo duvidoso, e eliminam-se os demais (arredondamento para menos).“ Veja a pergunta proposta na questão 8 do PROVÃO 99 para Engenharia Civil: “Qual a economia mensal de energia elétrica, em reais, que a adoção do coletor irá proporcionar? (Na resposta, considere duas casas decimais, arredondando a segunda para o valor imediatamente superior se a terceira casa for 5 ou mais)”. 8. CÁLCULOS NUMÉRICOS E RESPOSTAS DOS PROBLEMAS. O cálculo numérico na prática da engenharia é freqüentemente realizado com o uso de calculadoras e computadores. É importante, entretanto, que as respostas de qualquer problema sejam dadas com uma precisão representada por uma quantidade adequada de algarismos significativos. Para os cálculos numéricos, a precisão obtida na solução de um problema não deve ser maior do que a precisão dos dados do problema. Isto é o que se espera, entretanto, freqüentemente as calculadoras e os computadores fornecem mais algarismos na resposta do que o número de algarismos significativos utilizados nos dados. Por esta razão, um resultado calculado deve ser sempre “arredondado” para uma quantidade apropriada de algarismos significativos. Como regra geral, para obtermos a precisão desejada para um resultado final ao realizarmos os cálculos em uma calculadora, devemos reter sempre uma quantidade de dígitos maior do que os fornecidos nos dados do problema. Em engenharia geralmente aproximamos as respostas finais para três algarismos significativos, uma vez que os dados de geometria, cargas mecânicas e outras grandezas são, freqüentemente, documentadas com esta precisão. Em todo este texto, admite-se, em geral, que os dados têm precisão suficiente para garantir respostas com três algarismos significativos. Então, ao se dizer que um corredor corre 5 km, deve-se entender que a distância percorrida foi de 5,00 km. Da mesma forma, se o diâmetro de uma peça for dado como 1,3 cm, o seu valor deve ser entendido como 1,30 cm. 27 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI Recomenda-se, então, que os cálculos intermediários sejam em geral avaliados com cinco (ou mais) algarismos significativos e as respostas finais expressas com três, no mínimo. Desse modo, salvo os casos especiais e de uma maneira geral, as respostas dos problemas devem ser escritas com três algarismos significativos, no mínimo. Para isto, em muitos casos, é necessário aplicar as regras de arredondamento e também a notação científica. Escrever números com precisão descabida é mostrar falta de senso crítico. 9. EXEMPLOS RESOLVIDOS. Nos exemplos a seguir, uma primeira providência é caracterizar cada grandeza envolvida na questão por um símbolo (letra) adequado e converter todas as unidades para um sistema coerente de unidades. No Brasil o sistema legal é o Sistema Internacional de Unidades ⎯ SI. Veja a publicação oficial do INMETRO no final da apostila. Exemplo 1. Estática. Um pilar de concreto, vertical, de altura três metros e setenta centímetros e de diâmetro cinco polegadas e meia, está estático apoiado no solo. Em sua extremidade superior suporta uma caixa contendo 450 litros d’água. A caixa vazia pesa 785 newtons. Que tensão mecânica (pressão) o pilar exerce no solo? Solução. H = 3,70 m D = 5,5 in. = 5,50 × 0,02540 m = 0,139 70 m Vágua = 450 L = 0,450 m (conversão obtida no apêndice ) 3 Pcaixa = 785 N d concreto = 2 500 kg / m 3 d água = 1 000 kg / m g = 9,81 m / s 2 3 (obtido no apêndice) (obtido no apêndice ) (obtido no apêndice ) D 0,139 70 = = 0,069 850 m 2 2 A = πR 2 = π(0,069 850) 2 = 0,015 328 m 2 R= Vconcreto = A × H = 0,015 328 × 3,70 = 0,056 714 m 3 M concreto = d concreto × V = 2 500 × 0,056 714 = 141,785 kg Pconcreto = M concreto × g = 141,785 × 9,81 = 1 390,91 N M água = d água × Vágua = 1 000 × 0,450 = 450 kg Págua = M água × g = 450 × 9,81 = 4 414,5 N Ptotal = Pconcreto + Págua + Pcaixa = 1 390,91 + 4 415,5 + 785 = 6 590,41 N σ= Ptotal 6 590,41 = = 429 959 Pa ∴ σ = 4,30 × 10 5 Pa = 430 kPa A 0,015 328 Exemplo 2. Princípio Fundamental da Dinâmica. Um bloco com massa 31,5 kg encontra-se em repouso sobre um plano horizontal. Aplica-se nele uma força horizontal de intensidade 47 N. O coeficiente de atrito entre o bloco e o apoio vale 0,11. Calcule a aceleração adquirida pelo bloco e a distância que ele percorre durante o primeiro meio minuto de movimento. 28 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI M = 31,5 kg F = 47 N = 47,0 N µ = 0,11 = 0,110 t = 0,5 min = 30,0 s g = 9,81 m / s 2 P = Mg = 31,5 × 9,81 = 309,015 N ΣFVERT = 0 ∴ N = P ∴ N = 309,015 N Fat = µN = 0,110 × 309,015 = 33,992 N ΣFHOR = Ma ∴ F − Fat = Ma ∴ 47,0 − 33,992 = 31,5a ∴ a = 0,412 95 m / s 2 = 0,413 m / s 2 ∆x = v o t + 0,412 95 × 30,0 2 a.t 2 = = 185,83 m ∴ ∆x = 186 m 2 2 Exemplo 3. Elasticidade. Um arame de aço é amarrado em um tronco e puxado por um trator. O arame tem 12,5 mm de diâmetro e seu comprimento é de 10,5 m entre o tronco e o trator. È necessária uma força de 9,5 kN para puxar o tronco. Calcule a tensão normal no arame e o alongamento do arame quando o tronco for puxado. D = 12,5 mm = 12,5 × 10 −3 m = 1,25 × 10 −4 m L = 10,5 m F = 9,5 kN = 9,50 × 10 3 N E = 210 GPa = 210 × 10 9 Pa = 2,10 × 10 11 Pa (obtido no Apêndice) π(1,25 × 10 − 4 ) 2 πD 2 = = 0,000 122 718 m 2 = 1,227 2 × 10 − 4 m 2 4 4 F 9,50 × 10 3 σ= = = 77 411 995 Pa = 7,741 2 × 10 7 Pa = 77,4 MPa A 1,2272 × 10 − 4 A= ∆L = σL (7,741 2 × 10 7 ) × 10,5 = = 0,003 870 6 m ∴ ∆L = 3,87 × 10 −3 m = 3,87 mm E 2,10 × 10 11 Exemplo 4. Eletricidade. Um gerador (fem 237 V e resistência interna 2,1 Ω) alimenta um motor (fcem 197 V e resistência interna 1,87 Ω) que está localizado à distância de 0,485 km. A linha de transmissão é constituída por dois condutores de cobre n.º 12 AWG cada um. Calcule a resistência total da linha de transmissão e a intensidade de corrente no circuito. OBS.: A antiga escala para fios condutores AWG está em desuso e não é recomendada. O mercado atualmente trabalha com as seções nominais dos fios em mm2. E g = 237 V E m = 197 V rg = 2,1 Ω = 2,10 Ω rm = 1,87 Ω L = 0,485 km = 485 m A = 3,309 mm 2 = 3,309 × 10 − 6 m 2 (obtido no Apêndice) ρ = 17 nΩ.m = 17,0 nΩ.m = 17,0 × 10 −9 Ω.m = 1,70 × 10 −8 Ω.m (obtido no Apêndice) ρ.L (1,70 × 10 −8 ) × 485 = = 2,491 7 Ω A 3,309 × 10 −6 R LINHA = 2 R = 2 × 2,491 7 = 4,983 4 Ω = 4,98 Ω R= − E g + E m + (rg + rm + 2R)I = 0 ∴ −237 + 197 + (2,10 + 1,87 + 2 × 2,491 7)I = 0 I = 4,467 6 A ∴ I = 4,47 A 29 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI PROBLEMAS PROPOSTOS 1) Dadas as seguintes grandezas, indicar, entre parênteses, a quantidade de algarismos significativos que elas contêm, e reescrevê-las com a quantidade de algarismos significativos indicada. a) 2,0145 m ( ) com 4 AS → b) 2,0009 mm ( ) com 3 AS → c) 2 23,59 m ( ) com 2 AS → d) 85,42 kg ( ) com 3 AS → 2 e) 23,5 m ( ) com 2 AS → f) 8 542,7 kg ( ) com 1 AS → g) 6 470 280 m ( ) com 2 AS → 2) Efetue as operações e dê os resultados abaixo em notação científica, com 3 (três) algarismos significativos. a) 32,1 = g) 0,3475 = m) b) 865 = h) 0,07635 = n) 106616 = c) 4262 = i) 0,0012484 = o) 4651459 = d) 65431 = j) 0,0004962 = p) 0,0257 = e) 1006 = k) 0,00005984 = q) 0,000385 = f) 934300 = l) 0,000001685 = r) 0,00006177 = 65,8 = 3) Escreva os números abaixo em notação decimal com 3 (três) algarismos significativos. a) 3,115×100 = e) 0,0005474×103 = i) 157×10−4 = b) 3,2147×10 = f) 37,55×10−1 = j) 0,37627×10−1 = c) 0,92349×102 = g) 8971,7×10−2 = k) 0,03676×10−3 = d) 0,04853×103 = h) 395×10−3 = l) 849,2×10−5 = 4) Com o auxílio de sua calculadora científica efetue os seguintes cálculos, dando o resultado com 3 (três) algarismos significativos. a) sen 47,5o = j) sen x = 0,458 → x= b) sen 175 = k) sen x = 0,851 → x= c) sen (−210o) = l) sen x = −0,593 → x= d) cos 274 = m) cos x = 0,892 → x= e)cos(−47,3o) = o o n) cos x = −0,154 → x= o o) cos x = 0,0683 → x= o p) tan x = 0,671 → x= q) tan x = 5,78 → x= r) tan x = −2,47 → x= f) cos 45,0 = g) tan 25,3 = o h) tan 170 = o i) tan (−71,0 ) = 30 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 5) Com o auxílio da calculadora científica, efetue os seguintes cálculos, dando os resultados com 3 (três) algarismos significativos. a) 251 × 184 = b) 0,173 × 325 2 × 24,8 = 347 × 1745 2 × 0,357 c) 0,0974 3 0,785 × 2,99 2 × 890 d) 1,332 × 4,512 = = e) 2,87 × 984 × 0,0567 = f) 0,00974 3 × 74,9 × 200 2 = 321 g) (87,4)(1,77 × 10 2 )(5,27 × 10 3 ) = h) (0,0758)( 2,45 × 10 −2 )(8,66 × 10 −4 ) = i) ( 2,45 × 10 3 ) 2 ( 4,55 × 10 −2 )( 7,77 × 10 −5 ) = j) (7,32 × 10 4 )(1,88 × 10 −3 ) 2 k) l) m) n) (6,68 × 10 −3 )(9,47 × 10 2 ) = (8,39 × 10 −3 )(7,77 × 10 −1 ) 2 (1,73 × 10 −2 ) = (9,45 × 10 2 )(6,33 × 10 3 ) (3,85 × 10 −5 )( 2,83 × 10 −6 ) = (1,86 × 10 3 ) 2 (6,17 × 10 −3 ) 2 = 1785 sen 27o × 3,26 × 543 = tan 67o 6) Converta as grandezas abaixo discriminadas para o SI, dando o resultado com 3 (três) algarismos significativos. Grandeza a) 2,34 polegadas 2 b) 1,354 cm c) 56,13 L 3 SI Grandeza h) 2,54 atm i) 12,3 cmHg j) 2 325 Btu d) 2,827 g/cm k) 583 kWh e) 7,817 h l) 0,6738 cal f) 417 km/h m) 673 cv g) 137,4 kgf n) 977 hp SI 31 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI CAPÍTULO 2: ESTÁTICA DO PONTO E DO SÓLIDO. A Estática é a parte da Mecânica que estuda o equilíbrio dos corpos sob a ação de forças. Relativamente ao referencial adotado, um corpo se diz em equilíbrio quando se apresenta em repouso (equilíbrio estático) ou executa translação retilínea e uniforme, ou rotação uniforme, ou ambas combinadas (equilíbrio dinâmico). 1. FORCA. A força representa a ação de um corpo sobre outro. Do ponto de vista estático, a força aplicada em um corpo provoca deformação. A experiência assegura que a força é uma grandeza vetorial e se caracteriza por intensidade (ou módulo, ou magnitude ou valor), direção, sentido e ponto de aplicação. 2. FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DAS FORCAS: • Forma cartesiana: através das componentes cartesianas Fx e Fy. As componentes cujos sentidos concordam com os eixos são positivas, caso contrário, são negativas. F = ( Fx , F y ) ou • F = Fx i + F y j Forma polar: através de sua intensidade F = F e do ângulo polar θ (também chamado azimute) que o segmento orientado forma com o eixo de referência, medido com sinal positivo no sentido anti-horário. F = ( F , θ ) ou F =Fθ 3. PRINCÍPIO DA ACÃO E REACÃO. A experiência revela que os corpos exercem forças mutuamente, em obediência ao Princípio da Ação e Reação: toda vez que um corpo exerce uma força F em outro, este exerce naquele uma força F ' colinear de intensidade igual e de sentido contrário. F = −F ' Estas são forças de interação; qualquer uma delas pode ser chamada ação, a outra é chamada reação. Uma vez que as forças de ação e reação não agem no mesmo corpo, mas em corpos distintos, elas não se compensam mutuamente. Em Engenharia das Estruturas o termo "reação" se aplica especificamente para designar as forças exerci das pelos vínculos, as chamadas reações vinculares (por exemplo, a reação de apoio, reação de uma articulação etc.). 4. FORÇAS INTERNAS E FORCAS EXTERNAS. As forças que atuam sobre partículas de um mesmo corpo devido a outros corpos se chamam externas. As forças com as quais as partículas de um corpo atuam entre si se chamam-se internas. Devido ao Princípio da Ação e Reação, as forças internas são duas a duas colineares, opostas e com intensidades iguais, resultando desse modo em um sistema de forças em equilíbrio. Assim, ao se estudar o corpo rígido leva-se em conta somente as forças externas. 32 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 5. PRINCÍPIO DA TRANSMISSIBILIDADE DAS FORCAS. A experiência indica que não é necessário restringir a ação da força a um dado ponto do corpo. Assim, a força F que atua no corpo no ponto indicado na figura, pode ser aplicada em A, em B ou em qualquer ponto de sua linha de ação e o efeito externo total de F sobre o corpo não se alterará. Esse fato é enunciado no princípio da transmissibilidade das forças: a ação de uma força sobre um corpo rígido não se modifica quando o ponto de aplicação da força é deslocado ao longo da linha de ação da força, para qualquer outro ponto do corpo. Em outras palavras, força aplicada em sólido é vetor deslizante dentro dele. 6. PESO. A força de atração gravitacional que a Terra exerce em um corpo nas vizinhanças de sua superfície é denominada forca de gravidade ou peso do corpo. O peso do corpo tem direção vertical e sentido descendente; seu ponto de aplicação é denominado centro de gravidade ou baricentro (G) do corpo. O peso de um corpo depende da massa m do corpo e da aceleração da gravidade, que varia de lugar para lugar. Nos problemas comuns costuma-se adotar g = 9,81 m/s2. 7. COMPOSICÃO DE FORCAS. RESULTANTE. Denomina-se resultante R de um sistema de forças a soma vetorial das forças componentes do sistema: R = F1 + F 2 + F 3 +K+ F n → R = ΣF i Para se determinar a resultante de um sistema de forças coplanares, pode-se usar o processo cartesiano: escolhe-se um sistema cartesiano Oxy conveniente e estabelece-se o ângulo polar θ para cada força; calculam-se as componentes cartesianas de cada força: Fix = Fi cos θ i Fiy = Fi senθ i As componentes cartesianas Rx e Ry da resultante resultam perpendiculares entre si; somando-se vetorialmente estas duas componentes pela regra do paralelogramo, obtém-se a resultante R. 33 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI R x = ΣFix = ΣFi cos θ i R y = ΣFiy = ΣFi senθ i R = R x2 + R y2 tan θ = Ry Rx Esse ângulo fornece a direção da linha de ação Nem sempre é a respósta final 8. MOMENTO POLAR DE FORCA OU TORQUE. A intensidade do efeito de rotação de um corpo mede- se por meio do momento da forca em relação ao pólo ou torque, o qual é o produto do braço pela intensidade da força, precedido de sinal que depende de convenção: É usual atribuir-se sinal positivo ao momento que age em sentido anti-horário. O braço é a distância do pólo à linha de ação da força; quando a linha de ação da força passa pelo pólo, o braço é nulo e o momento é nulo. M O (F ) = ± F b 9. CONDICÕES GERAIS DE EQUILÍBRIO. Para o equilíbrio de um sólido sujeito á ação de forças coplanares, é necessário e suficiente que se cumpram separadamente as seguintes condições: • É preciso ser nula a soma vetorial de todas as forças aplicadas ao sólido. R x = ΣFix = 0 R y = ΣFiy = 0 • É preciso ser nula a soma dos momentos (torques) de todas as forças externas aplicadas ao sólido, em relação a qualquer pólo O: M O ( R ) = ΣM O ( Fi ) = 0 34 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 10. SÓLIDO EM EQUILÍBRIO SOB A ACÃO DE SOMENTE TRÊS FORCAS. • Quando um sólido estiver em equilíbrio sob a ação de somente três forças externas, as forças serão obrigatoriamente coplanares. • Quando um sólido estiver em equilíbrio sob a ação de somente três forças externas, as forças serão ou paralelas, ou concorrentes. • TEOREMA DE LAMY. Quando um sólido estiver em equilíbrio sob a ação de somente três forças externas, não paralelas, a intensidade de cada uma é proporcional ao seno do ângulo entre as outras duas. F1 senα = F2 senβ = F3 senγ 11. VÍNCULOS. REAÇÕES VINCULARES. Chama-se vínculo qualquer elemento que restrinja os movimentos de um corpo. A força com a qual o vínculo atua sobre o corpo denomina-se reação vincular. a) Fios ideais. A força T exercida por um fio ideal é sempre de tração, tem a direção do fio e tem a mesma intensidade em qualquer ponto do fio. b) Superfícies ideais (lisas). A reação N de uma superfície perfeitamente lisa, ou de um apoio, é de compressão e tem a direção da normal comum às superfícies dos corpos. Quando uma das superfícies em contato é um ponto, a reação normal N tem a direção da normal à outra superfície. 35 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI c) Articulações cilíndricas ou conexões de pino. A reação de uma articulação pode ter qualquer direção perpendicular ao pino. Desconhece-se, portanto, a intensidade e a direção de F A . Usualmente opera-se com as componentes cartesianas Fx e Fy. 2 2 FA = FAX + FAY tan θ = FAY FAX esse ângulo fornece a direção de FA d) Molas helicoidais. No regime elástico, a intensidade da força exercida por uma mola num corpo segue a lei de Hooke: F =k x sendo k a constante elástica da mola e x a sua deformação ( expansão ou contração). PROBLEMAS. 1) Triângulo retângulo. As funções trigonométricas mais usadas são seno, cosseno e tangente. É conveniente definir essas funções trigonométricas em função dos lados de um triângulo retângulo. cateto oposto a α a = hipotenusa c cateto adjacente a α b cosα = = hipotenusa c cateto oposto a α a tan α = = cateto adjacente a α b cateto oposto a β b = hipotenusa c cateto adjacente a β a cos β = = hipotenusa c cateto oposto a β b tan β = = cateto adjacente a β a senα = sen β = α + β = 90o c = a2 + b 2 Resolva os seguintes triângulos retângulos, ou seja, determine os ângulos internos e os comprimentos dos lados preenchendo as quadrículas em branco da tabela. Respostas com três algarismos significativos. 36 Engenharia a Fundamentos de Física a (m) b (m) 2,54 3,82 b c Carlos Armando CHOHFI c (m) α (o) 0,346 23,3o β (o) 49,2o 2,22 d 66,6o 11,3 e 6,73 f 8,88 10,5 17,5 g 57,0o 1,58 h 23,7o 15,7 i 67,1o 5,28 2) Represente as forças indicadas na forma cartesiana, isto é, determine as componentes Fx e Fy preenchendo a tabela. i Fix (N) Fiy (N) i 1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12 Fix (N) Fiy (N) 37 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 3) Calcule a resultante do sistema de força, sendo dados F1 = 40 N, F2 = 60 N, F3 = 50 N, F4 = 50 N, F5 = 40 N e F6 = 30 N. i Fix (N) Fiy (N) 1 2 3 4 5 6 Σ Rx = ........................................................................ Ry = ........................................................................ R = ........................................................................ 4) Calcule a resultante do sistema de força, sendo dados F1 = 450 N, F2 = 610 N, F3 = 590 N e F4 = 550 N. i Fix (N) Fiy (N) 1 2 3 4 Σ Rx = ........................................................................ Ry = ........................................................................ R = ........................................................................ 5) Calcule a resultante do sistema de força, sendo dados F1 = 18 N, F2 = 61 N, F3 = 46 N e F4 = 25 N e F5 = 17 N. i Fix (N) Fiy (N) 1 2 3 4 5 Σ Rx = ........................................................................ Ry = ........................................................................ R = ........................................................................ 38 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 6) Dado o sistema de forças, calcule Rx, Ry e R. 7) Dado o sistema de forças, calcule Rx, Ry e R. 8) Dado o sistema de forças, calcule Rx, Ry e R. 9) Dado o sistema de forças, calcule Rx, Ry e R. 10) Dado o sistema de forças, calcule Rx, Ry e R. 11) Dado o sistema de forças, calcule Rx, Ry e R. 39 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 12) Dado o sistema de forças, calcule Rx, Ry e R. 13) Dado o sistema de forças, calcule Rx, Ry e R. 14) Dado o sistema de forças, calcule Rx, Ry e R. 15) Dado o sistema de forças, calcule Rx, Ry e R. 16) Dado o sistema de forças, calcule Rx, Ry e R. 17) Dado o sistema de forças, calcule Rx, Ry e R. 40 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI NOS PROBLEMAS A SEGUIR, TODOS OS SISTEMAS DE CORPOS ESTÃO EM EQUILÍBRIO ESTÁTICO E TODOS OS ATRITOS SÃO DESPREZADOS. 18) O bloco suspenso tem peso P 100 N. Calcule a tração no fio de suspensão. 19) Os blocos têm pesos PA = 40 N e PB = 60 N. Calcule as trações nos fios de suspensão. 20) O sistema de fios mantém suspenso o corpo de peso P = 100 N. Calcule as trações nos fios. 21) A luminária suspensa tem peso P = 50 N. Calcule as trações nos fios. 22) O vento exerce uma força horizontal numa luminária de peso P = 100 N provocando um desvio de 30o em relação à vertical. Calcule a intensidade da força F do vento e da força tensora T. 23) Dado o peso do corpo suspenso P = 100 N, calcule as trações nos fios. 41 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 24) Dado o peso Da luminária suspensa P = 100 N, calcule as trações nos fios. 25) Dado o peso do corpo p = 120 N, calcule as trações nos fios. 26) Dado PA = 100 N, calcule PB e PC. 27) Dado PA = 70 N, calcule as trações nos fios. 28) No sistema indicado, a força horizontal tem intensidade F = 330 N. Calcule as trações nos fios. 29) No sistema indicado, o corpo suspenso tem peso P = 4 500 N. Calcule as trações nos fios. 42 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 30) Considere o corpo preso ao sistema de fios. Sendo T1 = 12,0 N, calcule a tração nos outros fios e o peso do corpo suspenso. 31) Calcule as trações nos fios, sendo o peso do corpo suspenso P = 50 N. 32) Calcule as trações nos fios, sendo o peso do corpo suspenso P = 80 N. 33) Calcule as trações nos fios, sendo o peso do corpo suspenso P = 100 N. 34) No sistema indicado, o peso da luminária é W = 40,0 N. Calcule as trações nos fios e a intensidade da força F. 35) No sistema indicado, o peso do corpo suspenso é W = 300 N. Calcule as trações nos fios. 43 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 36) No sistema indicado, o corpo suspenso A tem peso WA = 20,0 N. Calcule o peso do corpo B e as trações nos fios. 37) No sistema indicado o corpo suspenso tem peso W = 130 N. Calcule as trações nos fios. 38) As pequenas esferas têm pesos, respectivamente, WA = 1,0 N e WB = 2,0 N. Elas são mantidas em equilíbrio estático pelas cordas nas posições indicadas. Calcule a tração em cada corda 39) Sendo PB = 50 N, calcule PA, N e T 40) Sendo PA 40 N e PB = 60 N, calcule T, NC e ND. 41) Os pesos dos blocos são PA = 30 N, PB = 50 N e PC = 60 N. Calcule a reação normal do apoio e o ângulo α 44 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 42) Sendo os pesos dos blocos PA = 80 N e PB = 50 N, calcule a reação normal do apoio e as trações nos fios. 43) Sendo os pesos dos blocos PA = 40 N e PB = 20 N, calcule a reação normal do apoio e as trações nos fios. 44) Sendo os pesos dos blocos PA = PB = 100 N, calcule a reação normal do apoio e as trações nos fios 45) No sistema indicado, tem-se WA = 500 N e WB = 80,0 N. Calcule a tração em cada cabo. 46) A placa de reforço está sujeita às forças referentes às quatro barras. Sendo dados F1 = 8,0 kN, e F3 = 12,0 kN, calcule as forças F2 e F4. 47) Determine as intensidades das forças Q e S que atuam num nó de uma treliça em conjunto com outras três forças P = 16,0 KN, R = 3,0 kN e T = 8,0 kN. 45 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 48) A placa de reforço mostrada está sujeita às três forças das barras. Tem-se F = 8,0 kN e Q = 9,0 kN. Calcule a força trativa (T) da barra C e sua orientação (θ) na condição de equilíbrio estático 49) O cilindro D tem peso W = 300 N e uma força F = 360 N é aplicada horizontalmente no anel A. Na situação de equilíbrio estático mostrada na figura calcule as trações nos cabos. 50) No sistema de forças indicado tem-se: F1 = 20 N, F2 = 30 N, F3 = 10 N e F4 = 40 N. Calcule o torque (momento) resultante do sistema de forças em relação aos pólos A, B, C e D. 51) No sistema de forças indicado abaixo tem-se: F1 = 10 N, F2 = 40 N, F3 = 20 N e F4 = 30 N. Calcule a soma dos momentos de todas as forças em relação aos pontos A e C. 52) Uma viga horizontal MN, homogênea, com peso 30,0 N/m, está em repouso simplesmente apoiada em A e B. Calcule as reações dos apoios. 53) Duas pessoas carregam um bloco de concreto de peso 800 N, suspenso a uma barra AB de peso 150 N e comprimento 1,5 m, cujas extremidades apóiam-se nos respectivos ombros. O bloco está a 0,50 m da extremidade A. Calcule as forças aplicadas na barra pelos ombros dos carregadores. 46 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 54) Uma barra homogênea de peso 25,0 N/m está apoiada em A e B. Calcule as reações dos apoios sobre a barra. 55) A barra homogênea BC tem peso P = 100 N e seu comprimento vale 10 m. Qual é o peso do corpo X que deve ser suspenso no ponto B para manter a barra em repouso na posição horizontal? Dado: AB = 2,0 m. 56) A barra AB, horizontal e homogênea, está em repouso apoiada em um ponto fixo. A esfera suspensa pelo ponto A tem peso 20 N. Calcule o peso da barra e a reação do apoio sobre a barra. 57) Uma viga horizontal, homogênea, com peso 400 N/m, está sujeita ao esforço vertical F = 600 N e encontra-se em repouso simplesmente apoiada em A e B. Calcule as reações dos apoios. 58) Uma viga horizontal, homogênea, com peso 10,0 N/m, está sujeita ao esforço vertical F = 240 N e encontra-se em repouso simplesmente apoiada em A e B. Calcule as reações dos apoios. 59) Uma viga horizontal MN, homogênea, com peso 5,0 N/m, apoiada em dois roletes A e B, está sujeita a vários esforços verticais F1 = 30 N, F2 = 60 N, F3 = 45 N e F4 = 30 N. Calcule as reações dos apoios. 47 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 60) Uma viga homogênea MN, de peso 50,0 N/m, está em repouso apoiada em dois roletes A e B. Ela está sujeita às forças verticais F1 = 240 N, F2 = 120 N, F3 = 120 N e F4 = 60 N. Calcule as reações de apoio. 61) José (peso 700 N) e Maria (peso 500 N) estão sentados em um assento horizontal de madeira (peso 200 N) preso ao teto por duas cordas verticais. Calcule as trações nas cordas. 62) Um caminhão pesando 200 kN encontra-se parado sobre uma ponte homogênea que pesa 1 000 kN. A ponte é suportada por dois pilares A e B que distam 50 m entre si. Calcule a reação dos pilares sobre a ponte. 63) Uma ponte de 100 m de comprimento e peso igual a 120 kN apóia-se em pilares A e B. Uma locomotiva L de peso 20 kN encontra-se parada sobre a ponte com seu centro a 12 m do pilar A. Calcule as reações dos pilares sobre a ponte. 64) A mesa de piquenique mostrada na figura pesa 290 N e tem centro de gravidade em GM. Se um homem pesando 600 N com centro de gravidade em GH se senta na posição indicada, com os pés somente relando no solo, determine a reação vertical em cada uma das pernas. 65) Uma empilhadeira com peso de 25 000 N é utilizada para levantar uma caixa de peso 12 000 N. Determine as reações no par de rodas dianteiras e traseiras. 48 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 66) O carro possui um peso de 14 000 N com centro de gravidade em G. Calcule: a) A força normal exercida pelas rodas traseiras; b) A força normal exercida pelas rodas dianteiras. 67) 68) A viga homogênea da Figura pesa 2 250 N/m. Calcule: a) A reação no apoio A; b) A reação no apoio B. 69) A viga homogênea da Figura pesa 600 N/m e está sujeita às cargas Q = 3,0 kN e S = 10 kN. Calcule: a) A reação do rolete A; b) A reação do rolete B. 70) Três cargas S = 3,0 kN, U = 5,0 kN e Q = 6,0 kN são aplicadas na viga da Figura que está suspensa pelos cabos BG e DH. Sabendo-se que o peso da viga é W = 2,0 kN, calcule: a) A tração TBG; b) A tração TDH. 71) Três cargas Q = 8,0 kN, R = 3,0 kN e S = 4,0 kN são aplicadas na viga da Figura. A viga está apoiada em um rolete (apoio simples) em A e em uma articulação em B. Sendo W = 2,0 kN o peso da viga, determine: a) A reação em A; b) A reação em B. A localização para o centro de gravidade G de uma cominhonete de 16 000 N está associada a uma situação sem carga. Uma carga, cujo centro de gravidade está em x = 0,40 m atrás do eixo traseiro, é adicionada à caminhonete, como mostra a Figura. Determine: a) O peso W da carga para o qual as forças normais sobre as rodas dianteiras e traseiras são iguais; b) As forças normais exercidas pelas rodas. 49 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 72) Duas cargas R = 1 500 N e S = 500 N são aplicadas na viga que está apoiada em dois roletes (apoios simples) em A e em B. Sendo desprezível o peso da viga, determine as reações em A e em B. 73) Calcule a tração no fio 2 e o peso da viga horizontal, sabendo-se que PA = 20 N e T1 = 30 N. 74) Considere PA = PB = 80 N Calcule as trações nos fios. 75) Considere PA = 80 N, PB = 30 N e PVIGA = 40 N. Calcule as trações nos fios. 76) e PVIGA = 50 N. 77) 50 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI CAPÍTULO 3: LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO. A Dinâmica é a parte da Mecânica que estuda a relação entre o movimento dos corpos e as causas deste movimento. Pela experiência sabemos que o movimento de um corpo é o resultado de sua interação com outros corpos que o cercam. As interações são convenientemente descritas por um ente chamado força. Esse capítulo requer que combinemos nossos conhecimentos de duas partes da Mecânica, a saber, as propriedades das forças desenvolvidas no estudo da Estática e a Cinemática da partícula. Podemos dizer que as forças são interações entre corpos, provocando variações em seu estado de movimento (conceito dinâmico) ou deformação (conceito estático). 1. PRINCÍPIOS DA DINÂMICA CLÁSSICA. A Dinâmica é baseada em certos princípios, que generalizam os resultados de numerosos experimentos e observações sobre o movimento. Primeira Lei de Newton ou Princípio da Inércia. Uma partícula isolada, isto é, completamente livre de quaisquer ações que o ambiente posas exercer nela, permanece em repouso ou executa movimento retilíneo e uniforme. O movimento que uma partícula realiza na ausência de forças denomina-se movimento por inércia. Segunda Lei de Newton ou Princípio Fundamental da Dinâmica. A força resultante exercida em uma partícula e a aceleração que ela lhe imprime têm direções e sentidos iguais e intensidades proporcionais. Sendo m a massa inercial da partícula, Fi uma força genérica exercida nela, R a força resultante nela e a a sua aceleração, tem-se: r R= r ∑F i r = m .a ⎧R x = ⎪ ⎨ ⎪⎩ R y = ∑F ∑F ix = m .ax iy = m .a y Em Mecânica Clássica, a massa de uma partícula é uma grandeza característica dela (invariante), não depende do referencial, tempo, velocidade, aceleração ou qualquer outra variável. Se a resultante for nula, a aceleração é nula; então podem dar os seguintes casos: • se a partícula estiver parada, ela permanece parada (equilíbrio estático) • se a partícula estiver em movimento, ela continua neste estado, executando movimento retilíneo e uniforme (equilíbrio dinâmico). Terceira Lei de Newton ou Princípio da Ação e Reação. Toda vez que uma partícula exerce uma força F em outra, esta exerce naquela uma força colinear F´ de intensidade e direções iguais e sentido oposto. r r F = −F ' 2. REFERENCIAL INERCIAL Denominam-se referenciais inerciais os referenciais em relação aos quais vale o princípio da inércia. São referenciais inerciais: Referencial de Copérnico ou Referencial Inercial primário: é formado por três eixos rígidos, com origem no centro de gravidade do sistema solar (praticamente no centro do Sol) e dirigidos para as “estrelas fixas”. 51 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI Referencial de Galileu ou Referencial Inercial Secundário: é todo referencial que se translada retilínea e uniformemente em relação ao referencial de Copérnico Referencial de Foucault: é todo referencial rigidamente ligado à Terra. Tal referencial não é inercial, mas comporta-se sensivelmente como referencial inercial quando a duração do movimento é pequena em comparação com a duração de um dia e a extensão da trajetória é pequena quando comparada com o raio da Terra (6 370 km). 3. DINÂMICA RETILÍNEA. SEGUNDA LEI DE NEWTON DO MOVIMENTO. Se a força resultante exercida na partícula for não nula, a aceleração é não nula. No caso particular de a força resultante e a velocidade terem direções iguais, a aceleração e a velocidade têm direções iguais e o movimento é retilíneo; a Dinâmica Retilínea pode ser tratada de modo escalar. Se escolhermos o eixo Ox na direção e sentido do movimento da partícula de massa m, a aceleração na direção Oy será nula, e as componentes escalares ficam: ∑F = ∑F Rx = ix = m.a Ry iy =0 Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV). É o movimento efetuado por uma partícula em trajetória retilínea com aceleração constante (diferente de zero). Como visto em Cinemática, valem as seguintes leis: • Equação horária da v =vo +a t t = instante v = velocidade no instante t velocidade vo = velocidade no instante t = 0 • Equação horária do espaço x = x o + v ot + at2 2 at2 ∆x = v o t + 2 • Equação de Torricelli v 2 x = posição (espaço) no instante t xo = posição no instante t = 0 ∆x = x − xo = deslocamento no intervalo de tempo ∆t = v o2 + 2 a ∆x O movimento pode ser classificado quanto ao módulo da velocidade: • • Movimento acelerado: o módulo da velocidade aumenta; velocidade e aceleração têm os mesmos sentidos. Movimento retardado: o módulo da velocidade diminui; a velocidade e aceleração têm sentidos opostos. 52 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 4. ATRITO SÓLIDO. Consideremos um corpo apoiado sobre uma superfície áspera S; a superfície exerce no corpo uma força de contato F, que admite uma componente normal N de compressão e uma componente tangencial Fat, denominada força de atrito de escorregamento. Força de atrito é a componente tangencial da força da força de contato entre os corpos; ela contraria o deslizamento ou a tendência de deslizamento de um corpo sobre o outro. As causas do atrito sólido. são a rugosidade das superfícies em contato e forças intermoleculares (adesão e coesão). O atrito se diz estático quando não há deslizamento e dinâmico quando há deslizamento das superfícies em contato. O atrito é contrário ao deslizamento, ou à tendência de deslizamento. O atrito estático impede o deslizamento, o atrito dinâmico contraria o deslizamento dos corpos em contato. Essa lei determina o sentido da força de atrito: imagina-se ausência de atrito; nessa hipótese ocorre o deslizamento; o atrito é contra. Note-se que o atrito é contrário ao deslizamento, mas freqüentemente é a favor do movimento (carro ao partir, correia transportadora em aclive etc). Leis do atrito estático (Coulomb e Morin) • • • As forças de atrito estático somente aparecem quando há tendência de corpos deslizarem uns sobre outros. O sentido da força de atrito estático que um corpo A exerce sobre um corpo B, é sempre oposto ao do deslizamento que as demais forças agindo sobre o corpo B tendam a lhe imprimir, tal movimento sendo relativo ao corpo A. A intensidade da força de atrito estático exercida por uma superfície sobre outra não é predeterminada, podendo ter qualquer valor compreendido entre zero e um máximo, denominado força de destaque Fd e que se observa na iminência do deslizamento. Superada a força de destaque, ocorre em seguida o deslizamento. Existe proporcionalidade entre a força de destaque e a reação normal de compressão; simbolicamente: Fatrito máximo = Fdestaque = µ e N O símbolo µe representa um número denominado coeficiente de atrito estático para as superfícies em contato. Tal coeficiente é sensivelmente independente da área das superfícies em contato, dependendo apenas da natureza e estado de acabamento dessas superfícies (material e acabamento). Em suma: Fatrito estático ≤ µ e N Leis do atrito dinâmico (Coulomb e Morin) • • • Somente existem forças de atrito dinâmico quando superfícies deslizam pressionadas umas contra outras. O sentido da força de atrito dinâmico que uma superfície A exerce sobre uma outra B, é sempre oposto ao deslizamento de B em relação a A. A intensidade da força de atrito dinâmico exercido por uma superfície sobre outra é proporcional à reação normal de compressão entre as superfícies: Fatrito dinâmica = µ d N O símbolo µd representa um número denominado coeficiente de atrito dinâmico correspondente ao par de superfícies em contato. Tal coeficiente é sensivelmente independente da área das superfícies em 53 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI contato e da velocidade de uma em relação à outra, dependendo apenas da natureza e estado de acabamento dessas superfícies (material e acabamento). Considere a situação indicada na figura: um corpo de peso P apoiado numa superfície horizontal e sujeita à ação da força horizontal F, de direção horizontal e intensidade variável. O que foi explicado, resume-se no seguinte diagrama. PROBLEMAS. 1) Um ponto material de massa 0,20 kg está em MRUA com aceleração de 7,0 m/s2. Calcule a intensidade da resultante das forças que atuam no ponto material. 2) .A resultante das forças que atuam em um ponto material de massa 5,00 kg tem intensidade 60,0 N. Calcule a aceleração do ponto. 3) Duas forças horizontais, perpendiculares entre si e de intensidades 6,0 N e 8,0 N, agem sobre um corpo de 2,0 kg que se encontra sobre uma superfície plana e horizontal. Desprezando os atritos, calcule a intensidade da aceleração adquirida pelo corpo. 4) Um carro GT de massa 1,0 t, partindo do repouso, atinge 108 km/h em 10,0 s. Supondo que a aceleração do carro seja constante, determine: a) a força resultante exercida nele: b) percurso. 5) Um estudante aficionado por automobilismo analisou o teste de retomada de velocidade do auto Vectra CD, 2.2 MPFI, realizado e publicado pela revista especializada AUTOESPORTE, da Editora Globo. 40 60 80 80 - 80 km/h 100 km/h 120 km/h 120 km/h RETOMADA DE VELOCIDADE marcha tempo (s) (3a.) ........... 7,80 ........... (4a.) ........... 11,16 ........... (4a.) ........... 11,92 ........... (5a.) ........... 17,71 ........... distância (m) 130 248 331 492 Tendo o carro massa M = 1 367 kg, calcule a força resultante aplicada ao carro, suposta constante, em cada teste. 6) Um automóvel com massa M = 800 kg se move em uma estrada reta e horizontal. A força motora vale 2,0 kN e a resistência do ar 400 N. Calcule a aceleração do automóvel. 7) Um automóvel, com massa 800 kg, percorre uma estrada reta e horizontal, com velocidade constante de 72 km/h. Para manter esta velocidade, o motorista mantém o acelerador pressionado. Num certo instante, o motorista tira o pé do acelerador e verifica que a velocidade cai para 54 km/h num intervalo de tempo de 10 s. a) Calcule a força de resistência do ar supondo que se manteve constante. b) Qual era a força motora enquanto o motorista pressionava o acelerador? 54 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 8) Um caixote de massa m = 50 kg empurrado horizontalmente sobre um assoalho horizontal, por uma força de intensidade F = 150 N adquire aceleração a = 1,5 m/s2. Calcule o coeficiente de atrito entre o caixote e o assoalho. 9) Um bloco com massa 24,7 kg encontra-se em repouso apoiado em plano horizontal. Aplica-se, então, uma força horizontal de intensidade 42,9 N. O coeficiente de atrito entre o bloco e o apoio vale 0,100. Calcule: a) A reação normal do apoio, b) A força de atrito, c) A aceleração, d) A velocidade ao fim de 20,0 s; e) A distância percorrida durante os primeiros 30,0 s. 10) Dois blocos A e B, de massas respectivamente iguais a 2,40 kg e 5,60 kg, estão encostados entre si e apoiados um uma superfície horizontal. Com o sistema em repouso, a força horizontal de intensidade F = 18,0 N é aplicada ao bloco A. Considere µ = 0,150. Calcule: a) A aceleração adquirida pelo conjunto; b) A intensidade da força que A aplica em B; c) A velocidade do conjunto após um percurso de 85,0 m; d) O percurso e a velocidade do conjunto depois de transcorridos 15,0 s de movimento. 11) Três blocos A, B e C de massas mA = 1,70 kg, mB = 3,40 kg e mC = 5,60 kg estão encostados entre si e apoiados em uma superfície horizontal. Com o sistema em repouso, a força F = 80,0 N é aplicada em A. Considere µ = 0,40. Calcule: a) a aceleração adquirida pelo conjunto; b) a força que B exerce em C; c) a força que A exerce em B; d) o percurso e a velocidade do conjunto depois de transcorridos 7,50 s de movimento; e) a velocidade do conjunto após percorrer 100 m. 12) No esquema notam-se dois blocos com massas mA = 2,00 kg e, mB = 8,00 kg ligados por um fio apoiando-se num plano horizontal. Considere µ = 0,200. Com o sistema em repouso, aplica-se ao bloco B a força horizontal F = 50,0 N. Calcule: a) a aceleração conjunto; b) a tração no fio. c) a velocidade do conjunto após percorrer a distância de 15,0 m; d) o percurso e a velocidade do conjunto depois de transcorridos 5,00 s de movimento. 13) No esquema notam-se três blocos com massas mA = 8,00 kg, mB = 3,00 kg e mC = 1,00 kg; eles são ligados por fios e apóiam-se num plano horizontal. Com o sistema em repouso, aplica-se ao bloco A a força horizontal F = 100 N. Considere µ = 0,300. Calcule: a) a aceleração conjunto; b) a tração em cada fio; c) a velocidade do conjunto após percorrer a distância de 12,7 m; d) o percurso e a velocidade do conjunto depois de transcorridos 10,0 s de movimento. 14) Um elevador vertical de massa total 370 kg, trafega com aceleração constante de 0,870 m/s2 . Calcule a tração no cabo: a) Na subida em movimento acelerado; b) Na subida em movimento retardado; 55 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI c) Na descida em movimento acelerado; d) Na descida em movimento retardado. 15) Um elevador vertical carregado tem massa total de 2 000 kg e os cabos, muito gastos, suportam uma tração máxima de 24 000 N. a) Qual a máxima aceleração que o elevador pode ter para que os cabos não se rompam? b) Qual seria a resposta se o elevador fosse levado para a Lua, onde g = 1,67 m/s2? 16) O corpo A está preso ao corpo B por um fio ideal que passa por uma polia fixa. Abandonado o sistema em repouso, o corpo A arrasta o corpo C sobre o plano horizontal. São dados; MA = 8,0 kg, MB = 10,0 kg e MC = 2,0 kg. Considere dois casos: µ = 0 e µ = 0,20 e calcule: a) A aceleração dos corpos; b) A tração no fio; c) A força que A aplica em C; d) O deslocamento do corpo A transcorridos 3,0 s após o início do movimento; e) A velocidade do corpo B após um percurso de 1,2 m. 17) Os sistemas indicados nas figuras são abandonados em repouso. São dados: MA = 5,80 kg, MB = 3,60 kg, MC = 2,40 kg e h = 3,00 m. Em cada sistema, calcule a aceleração do conjunto, a tração em cada fio, a velocidade do bloco A ao atingir o solo e o tempo gasto para isto. Considere µ = 0,200. FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3 FIGURA 4 FIGURA 5 FIGURA 6 56 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI CAPÍTULO 4 :TRABALHO E ENERGIA. Sempre que ocorre uma transferência ou transformação de energia, verifica-se que o ponto de aplicação de pelo menos uma força sofre um deslocamento. Este deslocamento pode ser microscópico, como numa reação química, ou macroscópico, como numa compressão de uma mola. A grandeza física que mede a variação de energia de um corpo, ou a quantidade de energia transferida de um corpo para outro, devido ao deslocamento do ponto de aplicação de uma força, é denominada trabalho da força. 1. TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE. O trabalho realizado por uma força constante F num deslocamento qualquer d (i → f) é o produto escalar da força pelo deslocamento, isto é, o produto da intensidade da força pela intensidade do deslocamento e pelo co-seno do ângulo α formado entre a força e o deslocamento. r r r W Fi →f = F • d = F r d cosα = Ft cosα Observações: • Para uma força variável, a definição de trabalho é feita com o uso da matemática superior, a função integral. • O trabalho corresponde a uma forma de energia em trânsito e portanto é uma grandeza escalar. • O trabalho de uma força constante independe da forma da trajetória descrita entre a posição inicial i e a final f. • O trabalho da força resultante sobre a partícula é igual à soma algébrica dos trabalhos das n forças atuantes. • O produto F cosα corresponde à projeção da força F sobre o deslocamento d, e indica-se por Ft. • Trabalho de força que favorece o movimento é positivo ( W > 0 ) e é denominado trabalho motor ou trabalho motriz; Trabalho de força que se opõe ao movimento é negativo (W < 0 ) e é denominado trabalho resistente. • O trabalho é nulo quando : F = 0 ; d = 0 ou F ⊥ d 2. TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL NUM DESLOCAMENTO QUALQUER. No diagrama cartesiano Ft (valor algébrico da componente tangencial da força) em função de s (espaço quer define a posição da partícula), a área sob o gráfico mede numericamente o trabalho realizado pela força. W = ∫ ssfi Ft ds = área sob o grafico 57 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 3. ENERGIA. Dizemos que um sistema possui energia quando ele é capaz de realizar trabalho; medimos a energia do sistema pelo trabalho realizado pelas forças que o sistema pode exercer. A energia de um sistema depende de seu estado: pode ser energia potencial e/ou energia cinética. A energia potencial de um sistema é a energia que ele possui em virtude de sua configuração, isto é, das posições relativas de suas partes. Por exemplo, dizer que uma mola esticada possui energia potencial igual a 5,0 J equivale dizer que a mola, ao contrair-se até sua configuração natural, realizará trabalho igual a 5,0 J. A energia cinética de um sistema é a energia que ele possui em virtude do movimento de suas partes. Por exemplo, dizer que um projétil possui energia cinética igual a 6,0 kJ equivale dizer que o projétil, ao ser detido por um obstáculo, realizará trabalho sobre o obstáculo de 6,0 kJ. A energia cinética de uma partícula com massa m, animada com velocidade v, é grandeza escalar positiva ou nula, sendo dada pela equação: ( EC ) = energia cinética da patícula = m .v 2 2 ≥0 A energia mecânica de um sistema é a soma das energias cinética e potencial. 4. TEOREMA DA ENERGIA CINÉTICA (TEC). O trabalho total (soma algébrica dos trabalhos de todas as forças) realizado sobre uma partícula entre dois instantes é igual à variação de energia cinética ( Ec = m v2 / 2) da partícula entre os dois instantes considerados. W total = ΣW = ∆ ( EC ) = ( EC ) final − ( EC ) inicial 5. CAMPO DE FORÇAS: ENERGIA POTENCIAL. Uma região do espaço físico é dito um campo de forças , se uma partícula colocada nos pontos desse campo ficar sob a ação de uma força de campo. O campo será conservativo se o trabalho da força de campo (chamada força conservativa), entre duas posições fixas, não depender da forma da trajetória descrita, mas depender somente da posição inicial e da posição final. A esse tipo de campo, e somente a esse, pode-se associar uma função escalar, denominada energia potencial (EP), tal que o trabalho da força conservativa seja igual à diminuição de sua energia potencial, isto é: W forca conservativa = − ∆ ( EP ) A energia potencial é função exclusiva de força conservativa. Em Mecânica, consideram-se as seguintes forças conservativas: força de gravidade (peso) e força elástica. A força cujo trabalho depende da forma da trajetória é chamada força não conservativa. São exemplos as forças dissipativas, assim denominadas porque dissipam energia mecânica: as forças de viscosidade, de atrito sólido etc. Trabalho da força de gravidade (peso). Energia Potencial Gravitacional (EPG). Em qualquer trajetória o trabalho do peso vale: 58 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI W Peso = − m g ( hf − hi ) = − m g ∆h portanto ( EPG ) = m .g .h a) Na descida : ∆h < 0 → Wpeso > 0 b) Na subida : ∆h > 0 → WPeso < 0 c) Quando ∆h = 0 → WPeso = 0 6. ENERGIA MECÂNICA OU ENERGIA TOTAL (EM). A energia mecânica de uma partícula é a soma de sua energia cinética e de todas as formas de energia potencial que ela tem. ( EM ) = ( EC ) + ( EP ) = 1 m v2 + m g h 2 7.TEOREMA DA ENERGIA MECÂNICA (TEM). O trabalho das forças não conservativas é igual à variação da energia mecânica. W nao cons = ∆ ( EM ) = ( EM ) final − ( EM ) inicial São forças não conservativas: forças de atrito sólido, forças de viscosidade, forças desenvolvidas por motor térmico, em particular empuxo de foguete; força muscular. Conforme o caso, tais forças podem contribuir para a energia mecânica, aumentando-a (mecanização), ou então podem consumir energia (dissipação). 8. TEOREMA DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA (TCEM). Um processo no qual somente trabalham forças conservativas é chamado processo puramente mecânico. É processo no qual as forças não conservativas não realizam trabalho; não se cria energia mecânica (não há mecanização de calor, por exemplo) e não se destrói energia mecânica (não há dissipação de energia mecânica). Em virtude de tal processo, converte-se energia potencial em energia cinética ou vice-versa; a soma de ambas permanece constante. Tal comportamento se caracteriza pela conservação da energia mecânica: em processo puramente mecânico, a energia mecânica do sistema se conserva. ( EM ) inicial = ( EM ) final 59 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 9. POTÊNCIA. Quando se pretende medir a capacidade de realizar trabalho de um sistema ou máquina (por exemplo, guindaste, motor etc) não se deve somente verificar o trabalho realizado, mas também o tempo em que foi executado. Prefixando um intervalo de tempo, o dispositivo que maior trabalho conseguir realizar intuitivamente é considerado mais potente. Sendo ∆W o trabalho realizado por uma força em duração ∆t; chama-se potência média da força neste processo o trabalho realizado por unidade de tempo. O conceito estende-se a qualquer transferência ou conversão de energia; sendo ∆E a energia transferida ou convertida em duração ∆t, chama-se potência média a energia transferida ou convertida por unidade de tempo. Pot media = ∆W ∆t Pot media = ∆E ∆t Qualquer dos mencionados processos é dito uniforme quando sua potência é constante, igual em todos os intervalos de tempo. Potência dos principais aparelhos eletrodomésticos: • Bomba d'água de 1/6hp: 125 W; • Geladeira: 115 W ou menos, as mais econômicas; • Lâmpada mini fluorescente: 7 W, 9W ou 13 W; • Lâmpada fluorescente convencional: 15W, 20W ou 40W; • Ventilador: 35 W; • Receptor de TV por satélite: 20 W; • Vídeo cassete: 25 W; • TV de 21": 50W, TV de 14": 35W ou menos, as menores; • Aparelho de som: 45 W ou menos, os menores. 10. RENDIMENTO. Rendimento é um parâmetro que pode ser associado a todo e qualquer sistema ou máquina que tem por objetivo transformar ou transmitir energia. É uma grandeza que dá uma idéia da perfeição com que o sistema ou máquina realiza seu objetivo. Quando se tem em vista desempenhar determinada tarefa, geralmente é necessário empregar mais energia do que a requerida pela tarefa em si. Isto decorre da tendência que existe de qualquer energia sofrer dissipação. A potência que corresponde à estrita realização da tarefa que se deseja realizar chama-se potência útil (Pu). A potência não aproveitada denomina-se potência dissipada ou potência passiva (Pd). Para se obter a realização da tarefa proposta é então necessária uma potência total (Pt) que corresponda à potência absorvida pelo dispositivo e que corresponda à soma das potências útil e dissipada. Ptotal = Pútil + Pdissipada 60 Engenharia energia total energia de acionamento energia absorvida energia ganha energia recebida energia de entrada Fundamentos de Física energia útil energia efetivamen te utilizada energia fornecida energia cedida energia entregue energia de saída Carlos Armando CHOHFI potência total potência de acionamento potência absorvida potência útil potência efetivamente utilizada potência fornecida potência ganha potência recebida potência de entrada potência cedida potência entregue potência de saída Para qualquer dispositivo, denomina-se rendimento (η) a relação entre a potência útil e a potência total. η= Pútil P = saída Ptotal Pentrada Entre parênteses está o rendimento médio de algumas máquinas: turbina a vapor (20%), motor a gasolina (30%), motor a álcool (35%), motor a diesel (40%) e motor elétrico (90%). 11. QUEDA E ELEVAÇÃO DE LÍQUIDOS, Vazão ou descarga de um líquido é o volume de líquido escoado, através de uma seção transversal da canalização, por unidade de tempo. Sendo a vazão Φ, o volume V e o intervalo de tempo ∆t, tem-se: vazão = volume tempo ∴ Φ= V ∆t Pretende-se instalar um gerador elétrico para aproveitar a energia de uma queda d’água de uma altura H com vazão Φ. Qual a potência máxima que ele pode obter dessa queda d’água? Lembrando a definição de potência, P = W/∆t, para saber a potência máxima que pode ser aproveitada dessa queda d’água é preciso saber qual o trabalho (W) que a água caindo uniformemente pode realizar sobre o gerador (movendo uma roda-d’água, por exemplo) localizado no ponto mais baixo da queda. Por outro lado, o trabalho que essa água realiza sobre o gerador, no ponto mais baixo, é igual a sua energia potencial gravitacional no alto da queda d’água. Portanto, pode-se escrever: Potência Total, Máxima ou Teórica = Pt = M gh dV g h = =d Φg h ∆t ∆t Essa é a potência máxima, potência teórica ou potência total que poderia ser obtida dessa queda d’água. Dizemos máxima porque não pode ser atingida, sendo que a potência útil é bem menor, pois ocorrem inúmeras perdas. A água perde energia na queda devido ao atrito com o ar e com a rodad’água que ela deve fazer girar para acionar o gerador, que também tem perdas por atrito e aquecimento. Para saber o que de fato se aproveita, isto é, o valor da potência útil, é necessário conhecer o rendimento do sistema. À medida que a água cai, sua velocidade aumenta. Isso significa que, durante a queda, a água adquire energia cinética. Mais ainda: enquanto a água cai, essa energia cinética aumenta, pois a 61 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI velocidade também aumenta. Por outro lado, ao mesmo tempo, a altura vai diminuindo e, portanto, a energia potencial gravitacional também vai diminuindo. Queda de água (usina hidrelétrica): Potência Total ou Teórica = Pt = Elevação de água (recalque): Potência Útil = Pu = M gh dV g h = =d Φg h ∆t ∆t M gh dV g h = =d Φg h ∆t ∆t 12. MÁQUINAS E CAVALOS. As primeiras máquinas a vapor marcaram o início da revolução industrial nas Inglaterra no século XVIII e uma das tarefas mais importantes era a retirada das águas das minas de carvão. Essa tarefa era anteriormente realizada por cavalos e, portanto, a comparação entre as máquinas e os animais tornou-se inevitável. Na Inglaterra estabeleceu-se a unidade HP (Horse Power) , enquanto sua histórica inimiga, a França, adotou o CV (Cheval Vapeur, Cavalo Vapor). As unidades hp e cv permanecem até nossos dias consagradas pelo uso, embora não façam parte do Sistema Internacional, mas sendo admitidas temporariamente. Existe uma recomendação expressa de substituir essas unidades pela unidade SI correspondente, o watt, símbolo W. As equivalências são: 1 hp ( horse − power ) = 745,7 W 1 cv (cavalo − vapor ) = 735,5W PROBLEMAS. Densidades: água = 1 000 kg/m3 gasolina = 680 kg/m3 1) Um cavalo realiza força de tração igual a 600 N. Em um percurso de 1,00 m, que trabalho ele realiza? 2) Um alpinista de massa 80,0 kg, subindo pela encosta de uma montanha, passa da altitude 1 000 m para a altitude 1 200 m. Determine o trabalho do peso. 3) Partindo do rés-do-chão, um carregador leva uma carga de 40,0 kg ao 5o andar de um edifício. A altura média por andar é de 3,00 m. Calcule o trabalho do peso 4) Um elevador de carga tem peso 2,0 kN Levando uma carga de 8,0 kN, ele a eleva à altura de 10,0 m. Calcule o trabalho do peso: a) sobre o elevador com carga, na ascensão b) b) sobre o elevador vazio, no retorno. 5) Um rapaz de massa 60,0 kg sobe uma escada com 20 degraus em meio minuto. Cada degrau possui 20,0 cm de altura. Calcule: a) o trabalho contra o peso do rapaz; b) a potência média desenvolvida contra o peso do rapaz. 6) Uma criança com massa de 30 kg desliza num escorregador de 2,0 m de altura e atinge o solo em 3,0 s. Calcule o trabalho do peso da criança e sua potência média nesse intervalo de tempo. 7) Um motor de potência útil 250 W é utilizado para erguer uma carga de peso 500 N a uma altura de 4,0 m, em movimento uniforme. Despreze eventuais perdas. a) Qual é o trabalho da força aplicada pelo motor? b) Em que tempo a carga atinge a altura desejada? 8) Uma grua (guindaste) alça uma carga de 2,00 t à altura de 20,0 m em duração de três quartos de minuto. Determine a potência desenvolvida contra o peso. 9) Juntamente com sua carga um elevador tem massa 1,50 t. Em subida uniforme, a potência desenvolvida contra o peso é 30,0 kW. Calcule a velocidade. 62 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 10) Constrói-se uma usina hidrelétrica aproveitando uma queda d,água de altura 10 m e de vazão 100 m3/s. Qual é a potência teórica hidráulica recebida por esta usina? 11) Qual é a potência máxima que se poderá obter, aproveitando-se uma queda-d’água de 15 m de altura com uma vazão de 100 ℓ/s? 12) Numa usina hidrelétrica a vazão da água é de 40 m3/s e a potência teórica disponível é de 2,0 MW. Determine a altura da queda de água. 13) O motor de uma bomba hidráulica tem potência útil de 1/6 hp. Em quanto tempo, aproximadamente, esta bomba enche um reservatório de capacidade 1 500 ℓ colocado a 12 m de altura? 14) Um motor de potência de entrada 16 hp entrega 12 hp quando em operação. Qual é o seu rendimento e qual é a potência dissipada? 15) O rendimento de uma máquina é 70%. Se a potência recebida é 10 hp, qual é a potência entregue e qual é a potência dissipada? 16) Para esgotar uma mina de profundidade igual a 500 m uma bomba retira 300 litros d’água por minuto. Aproveitam-se 75% da potência de entrada da bomba; o restante é dissipado. Determine a potência total da bomba. 17) De uma mina de profundidade igual a 120 m é preciso bombear 4 500 ℓ de água a cada 12 minutos. O rendimento global da bomba é 65%. Calcule a potência de saída e a potência de entrada da bomba. 18) A água é retirada de um poço de 18 m de profundidade com o auxílio de uma moto−bomba de potência total de acionamento 5,0 cv. Calcule o rendimento do motor se 420 000 litros são retirados em 7,0 h de operação. 19) Em uma refinaria, é preciso recalcar 4 500 litros de gasolina de um reservatório de profundidade 12 m.. A potência de entrada da bomba hidráulica utilizada é igual a 3,0 hp e seu rendimento é de 75%. Calcule a duração da operação. 20) Uma bomba hidráulica retira 2 500 litros de água de um poço durante 5,0 minutos de operação. A potência de entrada da bomba é igual a 6,0 hp e seu rendimento é de 75%. Calcule a profundidade do poço. 21) Uma partícula é abandonada, em repouso, no ponto mais elevado de um plano inclinado perfeitamente liso de altura 2,50 m. Determine a velocidade da partícula ao atingir a base do plano. 22) Uma partícula desliza por um plano perfeitamente liso inclinado de 40o em relação à horizontal. Sua velocidade é 2,0 m/s em um ponto e 5,0 m/s em outro ponto da trajetória. Calcule o desnível e a distância entre os pontos mencionados. 23) Considere um plano inclinado, perfeitamente liso, de comprimento 10,0 m e altura 5,00 m. Seja A o ponto mais alto e B o ponto mais baixo do plano. a) Abandona-se, em repouso, uma partícula em A. Qual a sua velocidade em B? b) Em A lança-se, para baixo, uma partícula com velocidade 10,0 m/s. Qual a sua velocidade em B? c) Com que velocidade mínima a partícula deve ser arremessada em B, para cima, para que atinja A? d) Em B lança-se, para cima, uma partícula com velocidade 20,0 m/s. Qual é a sua velocidade em A? e) Lançando-se em B, para cima, uma partícula com velocidade 8,0 m/s, qual é a distância que percorre ao longo do plano até parar? 24) As duas perguntas a seguir são independentes entre si. Despreze o atrito com o ar. a) Um projétil de canhão é disparado obliquamente, para cima, com velocidade de 500 m/s. Chegando à altitude de 4 500 m, qual é a sua velocidade? b) Estando o canhão no alto de uma colina de 80,0 m de altura, ele dispara um projétil horizontalmente com velocidade de 20,0 m/s. Calcule a velocidade do projétil ao atingir o solo. 63 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI 25) Um projétil é atirado verticalmente para cima com velocidade de 10 m/s. Calcule a velocidade do projétil ao passar pelo ponto médio de sua altura máxima. 26) Um projétil é atirado verticalmente para cima com velocidade de 8,0 m/s. Calcule a velocidade do projétil ao percorrer ¾ de sua altura máxima. 27) Uma pedra é abandonada do alto de um edifício de 45 m de altura. Calcule a altura do ponto onde a pedra passa com velocidade igual à metade da velocidade com que chega ao solo. 28) Uma pedra é abandonada do alto de um edifício de 50 m de altura. Calcule a altura do ponto onde a pedra passa com velocidade igual a ¾ da velocidade com que chega ao solo. 29) Numa montanha-russa um carrinho é abandonado em repouso no ponto A. São dados: hA = 5,0 m e hC = 4,0 m. Desprezandose o atrito, calcule a velocidade do carrinho em B e C. 30) Na montanha-russa indicada na figura são dados hA = 1,25 m e hB = 2,0 m. Calcule: a) A velocidade que deve ter a esfera A para que atinja o ponto B com velocidade de 2,2 m/s; b) A mínima velocidade que deve ter a esfera A para que atinja o ponto B. 31) Na superfície polida, uma esfera percorre a pista ABCDE de raio R = 4,0 m. Considere α = 20o e β = 40o. A esfera sendo lançada com velocidade vo = 15 m/s, calcule a sua velocidade nos pontos A, B, C, D e E. 32) A figura representa uma pista em que o trecho final BCDEF é um arco de circunferência com raio R = 0,10 m. O carrinho tem velocidade de 2,0 m/s no topo da pista em A. Dados: hA = 0,40 m, α = 35o e β = 50o. Calcule a velocidade do carrinho nos pontos B, C, D, E e F. 64 Engenharia Fundamentos de Física 33) A figura representa uma pista em que o trecho final BCDEF é um arco de circunferência com raio R = 2,0 m. O carrinho tem velocidade de 5,0 m/s no topo da pista em A. Dados: hA = 3,00 m, α = 35o e β = 50o. Calcule a velocidade do carrinho nos pontos B, C, D, E e F. 34) A figura representa uma pista em que o trecho final BCDEF é um arco de circunferência com raio R = 2,0 m. O carrinho tem velocidade de 10,0 m/s na posição A. Dados: hA = 3,00 m, α = 40o e β = 70o. Calcule a velocidade do carrinho nos pontos B, C, D e E. 35) Um carrinho é lançado em A com velocidade 5,0 m/s em direção a uma rampa. Despreze todos os atritos. Sabe-se que o ponto B está à altura hB = 0,40 m e que ao passar por C, a velocidade do carrinho é de 3,0 m/s. Sendo dado θ = 20o, calcule: a) a velocidade em B; b) o desnível entre B e C; c) a máxima altura atingida pelo carrinho sobre a rampa; d) a máxima distância percorrida pelo carrinho sobre a rampa. 36) Um corpo é lançado em direção à uma rampa, conforme a figura. Despreze todos os atritos. A máxima distância percorrida pelo corpo ao longo da rampa é de 5,0 m. Sendo dado θ = 27o, calcule: a) A velocidade de lançamento do corpo; b) A velocidade do corpo ao passar por um ponto da rampa com altura de 1,4 m. 37) Considere uma partícula deslizando livremente pela trajetória BCDE, sem atrito, em um trilho cujo perfil, contido em um plano vertical, é mostrado na figura. A partícula passa pelo ponto C com velocidade de 11,8 m/s. a) Qual é a velocidade em B? b) Quanto vale hD sabendo-se que a velocidade em D é de 7,17 m/s? c) Qual é a máxima altura hE atingida pela partícula? d) Com que velocidade mínima, outra partícula deve ser arremessada em A para atingir o ponto B? Carlos Armando CHOHFI 65 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI CAPÍTULO 5: COLISÕES O impulso e a quantidade de movimento (também chamado de momento linear) são grandezas vetoriais. Todavia, ao se estudar os movimentos retos, bastam o impulso e a quantidade de movimento escalares (trabalham-se com valores algébricos). 1. IMPULSO DE UMA FORÇA CONSTANTE. Considere uma força constante F, atuando sobre uma partícula, durante um intervalo de tempo ∆t. Define-se impulso da força como sendo o produto da força pelo intervalo de tempo. r r I = F × ∆t 2. QUANTIDADE DE MOVIMENTO OU MOMENTO LINEAR. Uma partícula de massa m animada de velocidade vetorial v possui quantidade de movimento (também chamado momento linear) dada por: r r Q =mv 3. TEOREMA DO IMPULSO. O impulso total sobre uma partícula, corpo extenso ou sistema de partículas, para um dado intervalo de tempo, é igual à variação da quantidade de movimento da partícula, corpo extenso ou sistema de partículas naquele intervalo. r r I = ∆Q 4. LEI DA CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO. Um sistema de partículas é dito isolado quando a resultante das forças externas ao sistema é nula. No sistema isolado as partículas que compõem o sistema podem interagir entre si. Tais forças são chamadas forças internas e obedecem a lei da Ação e Reação. Os impulsos das forças internas se neutralizam dois a dos e como no sistema isolado, a resultante externa é nula, o impulso total no sistema isolado é nulo. Daí, de acordo com o teorema do impulso, a quantidade de movimento do sistema deve permanecer constante. Em sistema isolado de partículas a quantidade de movimento do sistema permanece constante. r Q sistema = cte ou r r (Q sistema ) inicial = (Q sistema ) final Dentre os sistemas isolados destacam-se a explosão e a colisão (choque mecânico). Em uma explosão ou numa colisão as forças internas são muito intensas e, portanto, as eventuais forças externas (como por ex., a forca da gravidade) são consideradas desprezíveis durante o breve intervalo de tempo em que ocorre a explosão ou a colisão e, portanto, são considerados sistemas isolados. 5. COLISÕES. Quando um corpo invade a mesma região de espaço ocupada simultaneamente por outro, ocorre uma colisão. É uma interação breve e violenta; as acelerações escapam à observação, notando-se somente as variações de velocidades. Somente analisaremos a colisão central direta, isto é, quando as velocidades são colineares com a linha de colisão. Durante a interação, inicialmente os centros de massa 66 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI se avizinham mutuamente; é esta a fase de deformação. Em seguida pode sobrevir a fase de recuperação parcial ou total; os centros de massa se distanciam um do outro e os corpos em colisão recuperam parcialmente ou totalmente as formas originais. Os corpos em colisão exercem mutuamente forças impulsivas; elas são internas ao sistema. Durante a colisão, as forças externas eventualmente agentes dão impulso desprezível. Logo a variação da quantidade de movimento do sistema é desprezível. Portanto, durante uma colisão a quantidade de movimento do par de corpos em colisão se conserva. Os corpos em colisão possuem massas m1 e m2; suas velocidades antes da colisão são v1 e v2 e depois da colisão são v1’ e v2’. Portanto: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1' + m 2 v 2' 6. COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO. Para toda a classe de colisão, ao invés de exprimir-se o incremento de energia cinética pode-se proceder conforme o fez Newton, introduzindo o coeficiente de restituição. A velocidade de aproximação dos móveis é (v1 - v2), a velocidade de afastamento é (v´2 - v’1). Denomina-se coeficiente de restituição do par de móveis o número puro: e= v 2' − v 1' v 1 −v 2 A importância dessa grandeza decorre de uma propriedade descoberta por Newton, a saber: o coeficiente de restituição de um par de móveis depende exclusivamente dos materiais que os compõem. 7. TIPOS DE COLISÕES. colisão inelástica : e = 0. Após a colisão, os corpos permanecem juntos. A energia cinética do sistema diminui. Há máxima dissipação de energia. colisão elástica : e = 1. A energia cinética inicial do sistema é igual à energia cinética final do sistema. colisão parcialmente elástica : 0 < e < 1. Após a colisão os corpos não permanecem juntos e a energia cinética do sistema é menor do que antes da colisão. Há dissipação parcial de energia. PRINCIPAIS TIPOS DE COLISÃO inelástico COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO e=0 parcialmente elástico elástico ENERGIA máxima dissipação QUANTIDADE DE MOVIMENTO CONSTANTE Qantes = Qdepois e<1 dissipação parcial CONSTANTE Qantes = Qdepois e=1 conservação de energia cinética CONSTANTE Qantes = Qdepois 67 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI PROBLEMAS. 1) Uma bala de canhão de massa 10,0 kg atinge horizontalmente um barco de massa 100 t, flutuando livremente e inicialmente parado. A bala aloja-se no barco e lhe comunica velocidade 0,100 m/s. Qual era a velocidade inicial da bala? 2) Um atacante de 85 kg, movimentando-se a 7,00 m/s, colide com um meio-campo de 105 kg inicialmente em repouso, através de um choque inelástico. Qual a velocidade dos jogadores após colidirem? 3) Um carro com massa 600 kg e velocidade 13,0 m/s colide com outro de massa 800 kg e velocidade 6,00 m/s que corre na mesma direção e sentido. Os dois carros ficam enganchados pelos párachoques. Imediatamente após, que velocidade comum eles possuem? 4) No pátio de manobras de uma estação ferroviária um vagão de 30,0 t, com velocidade de 1,00 m/s, colide com um vagão de 20,0 t, estacionário. Em conseqüência da colisão, fecha-se o engate entre os vagões. Após o engate, qual é a velocidade comum? 5) No pátio de uma estação ferroviária, um vagão de massa 30,0 t e velocidade desconhecida vx colide com outro de massa 20,0 t e velocidade 3,00 m/s, que vem em sentido oposto. Em conseqüência da colisão, fecha-se o engate entre os vagões. Após o engate, qual é a velocidade comum dos vagões? Considere: a) vx = 2,00 m/s; b) vx = 1,00 m/s; c) vx = 3,00 m/s; d) vx = 0,0 m/s 6) Determine o coeficiente de restituição em cada caso que se segue e classifique o tipo de colisão: 7) Um bloco de 4,0 kg movendo-se para a direita a 6,0 m/s colide elasticamente com outro bloco de 2,0 kg que se move para a direita a 3,0 m/s. Determine as velocidades finais após a colisão. 8) Um corpo de 5,0 kg, com velocidade de 4,0 m/s, colide de frente com outro corpo de 10,0 kg movendo-se com velocidade de 3,0 m/s. O corpo de 10 kg permanece parado após a colisão. a) Qual a velocidade final do corpo de 5,0 kg? b) Qual é o coeficiente de restituição do choque? 9) Um corpo de 2,0 kg, com velocidade de 6,0 m/s, colide de frente com outro corpo de 10 kg movendose com velocidade de 1,0 m/s. Calcule as velocidades finais dos corpos, supondo: a) Colisão elástica; b) Colisão inelástica; c) Coeficiente de restituição da colisão= 0,50. 10) Um corpo de 3,00 kg, com velocidade de 4,00 m/s, persegue outro corpo de 2,00 kg movendo-se com velocidade de 1,00 m/s. Há uma colisão entre eles. Calcule as velocidades finais das duas esferas, supondo: a) colisão elástica; b) colisão inelástica; 68 Engenharia Fundamentos de Física Carlos Armando CHOHFI c) coeficiente de restituição da colisão = 0,20. 11) Duas esferas com massas 5,00 kg e 3,00 kg movimentando-se na mesma direção sobre um plano horizontal com velocidades, respectivamente, 6,00 m/s e 2,00 m/s, em sentidos opostos sofrem uma colisão. Calcule as velocidades adquiridas pelas esferas, supondo: a) colisão elástica; b) colisão inelástica; c) coeficiente de restituição da colisão= 0,75. 12) Uma esfera A com massa 6,00 kg movimentando-se sobre um plano horizontal com velocidade 2,00 m/s, colide com outra esfera B com massa 4,00 kg, em repouso. Calcule as velocidades adquiridas pelas duas esferas, supondo: a) colisão elástica; b) colisão inelástica; c) coeficiente de restituição da colisão= 0,40. 13) Duas esferas A e B com massas 2,00 kg e 1,00 kg movendo-se na mesma direção sobre um plano horizontal com velocidades, respectivamente, 5,00 m/s e 2,00 m/s, nos mesmos sentidos, sofrem uma colisão. Após a colisão, a velocidade de A é 3,00 m/s, no mesmo sentido de sua velocidade inicial. a) Calcule a velocidade de B após a colisão. b) Qual foi o tipo de colisão? 14) Uma esfera A de massa 1,00 kg e velocidade desconhecida colide com outra B, de massa, 5,00 kg, em repouso. Após o choque a esfera A recua com velocidade 1,00 m/s e B é impulsionada para frente com velocidade 1,00 /s. Calcule: a) A velocidade de A antes da colisão. b) O coeficiente de restituição da colisão e indique o tipo de choque. 15) Uma esfera A de massa 2,50 kg e velocidade desconhecida colide com outra B, de massa, 5,00 kg, em repouso. Após o choque a esfera A recua com velocidade 1,00 m/s e B é impulsionada para frente com velocidade 3,00 m/s. Calcule: a) A velocidade de A antes da colisão. b) O coeficiente de restituição da colisão e indique o tipo de choque. 16) Duas esferas A e B com massas 4,00 kg e 12,0 kg movem-se sobre um plano horizontal com velocidades, respectivamente, 8,00 m/s e 2,00 m/s, com sentidos opostos. Após a colisão, a esfera A recua com velocidade de 1,75 m/s. Calcule: a) A velocidade de B após a colisão; b) O coeficiente de restituição da colisão e indique o tipo de choque. 17) Um bloco de 2,00 kg, movendo-se a 6,00 m/s, colide com outro de 4,00 kg inicialmente em repouso. Após a colisão, o corpo com de 2,00 kg recua a 1,00 m/s. a) Determine a velocidade do corpo de 4,00 kg após a colisão; b) Qual é o coeficiente de restituição da colisão? 18) Um bloco de 2,00 kg, movendo-se para a direita a 5,00 m/s, colide com outro de 3,00 kg que se move no mesmo sentido a 2,00 m/s. Após a colisão, o bloco de 3,00 kg se move a 4,20 m/s. Determine: a) A velocidade do bloco de 2,00 kg após a colisão; b) O coeficiente de restituição dessa colisão.