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1o Edição A primeira intenção ao elaborar este documento foi cooperar e auxiliar os trabalhos didáticos das disciplinas de Topografia Teórica e Prática, do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Além deste objetivo, que já justifica todo o empenho, este trabalho busca contribuir com a literatura das ciências geodésica e topográfica. É com muita satisfação que repasso este conhecimento à família “cefetiana” e aos demais leitores de outras instituições, reconhecendo que ao elaborar este projeto, iniciei-o com afinco, executei-o com paixão e finalizei-o com satisfação. Agradeço a minha família à compreensão pelas horas dedicadas na confecção deste documento, e ao Centro Federal de Educação Tecnológica pelo apoio de recursos humanos e materiais.
13 de fevereiro de 1998. Marcelo Tuler de Oliveira Engenheiro Agrimensor
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2o Edição Com satisfação faço a apresentação deste documento, agradecendo ao amigo Marcelo Tuler, autor desta obra, pela oportunidade de prestar minha colaboração a esse trabalho. Sei que foi elaborado com muita dedicação, esforço e pesquisa. A sua grande preocupação com o ensino e sua capacidade e competência, criou uma excelente fonte de consulta para estudantes e profissionais das áreas de Topografia e Geodésia.
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Esta 2a Edição, revisada e ampliada é bastante didática e bem organizada em capítulos por assuntos, facilitando a leitura e o entendimento, destes estudantes e profissionais que necessitem de aprendizado no dia a dia, ou aprimoramento de seus conhecimentos. Com certeza é uma importante contribuição à literatura técnica. Com conteúdo atualizado, bem ilustrado, com vários exemplos e exercícios, este trabalho demonstra dedicação a anos de estudos e pesquisa na área. Com sua experiência em docência, o Professor Tuler, compartilha seus conhecimentos com clareza e muito profissionalismo. Com certeza esta obra ajudará muitas pessoas no seu desenvolvimento profissional, em especial aos estudantes dos Cursos Técnicos e aos alunos de Engenharia de Agrimensura. A exemplo da 1a Edição, que é fonte de consulta bibliográfica de muitos trabalhos e pesquisas, esta 2a Edição, ainda melhorada, contribuirá ainda muito mais à comunidade técnica.
04 de março de 2002. Sérgio Luiz Costa Saraiva Engenheiro Civil
[email protected]
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Prefácio ............................................................................................................................................................. ii Sumário ............................................................................................................................................................ iv Lista de Figuras ................................................................................................................................................ x Lista de Quadros e Tabelas ............................................................................................................................... xvi
Capítulo 1 - Generalidades e Definições 1 - Introdução ................................................................................................................................................... 1 2 - Resumo Histórico ........................................................................................................................................ 2 2.1 - Das Primeiras Civilizações à Idade Antiga ......................................................................................... 2 2.2 - Da Idade Média à Revolução Científica ............................................................................................. 6 2.3 - Da Revolução Industrial ao Contemporâneo ...................................................................................... 7 3 - Conceitos Fundamentais da Geodésia ......................................................................................................... 8 3.1 - Terra Geoidal, Elipsoidal e Esférica ................................................................................................... 9 4 - Conceitos Fundamentais da Topografia ...................................................................................................... 14 4.1 - Divisão da Topografia ......................................................................................................................... 14 4.2 - Importância e Aplicações .................................................................................................................... 16 5 - Sistemas de Referência na Geodésia e Topografia ...................................................................................... 17 5.1 - Sistema de Coordenadas Astronômicas e Geodésicas ........................................................................ 18 5.1.1 - Sistema de Coordenadas Astronômicas .................................................................................... 18 5.1.2 - Sistema de Coordenadas Geodésicas ........................................................................................ 19 5.1.3 - Relação entre as Coordenadas Astronômicas e Geodésicas ..................................................... 19 5.2 - Sistema de Coordenadas UTM e Topográficas ................................................................................... 20 5.2.1 - Sistema de Coordenadas UTM ................................................................................................. 20 5.2.2 - Sistema de Coordenadas Topográficas ..................................................................................... 22 5.2.3 - Relação entre o Sistema de Coordenadas UTM e Topográficas .............................................. 23
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6 - Sistema Geodésico Brasileiro ...................................................................................................................... 23 6.1 - Situação Atual do SGB ....................................................................................................................... 24 6.2 - Novas Propostas para Implantação de Redes Fundamentais ............................................................... 26
Capítulo 2 - Planimetria 1 - Introdução ................................................................................................................................................... 29 2 - Sistemas de Unidades de Medidas .............................................................................................................. 29 2.1 - Unidade de Medida Linear .................................................................................................................. 30 2.2 - Unidade de Medida de Superfície ....................................................................................................... 32 2.3 - Unidade de Medida de Volume ........................................................................................................... 34 2.4 - Unidade de Medida Angular ............................................................................................................... 34 2.4.1 - Sistema Sexagesimal ................................................................................................................ 34 2.4.2 - Sistema Centesimal e Radiano ................................................................................................. 37 3 - Gramometria ................................................................................................................................................ 40 3.1 - Processos Diretos ................................................................................................................................ 40 3.2 - Processos Indiretos .............................................................................................................................. 43 3.2.1 - Distância Horizontal - Plano Horizontal .................................................................................. 43 3.2.2 - Distância Horizontal - Plano Inclinado .................................................................................... 45 3.2.3 - Diferença de Nível .................................................................................................................... 46 3.2.4 - Distâncias Máximas e Mínimas ................................................................................................ 47 4 - Goniologia ................................................................................................................................................... 50 4.1 - Ângulos Horizontais ............................................................................................................................ 50 4.1.1 - Ângulos Azimutais ................................................................................................................... 51 4.1.2 - Ângulos Goniométricos ............................................................................................................ 52 4.1.3 - Azimutes Calculados ................................................................................................................ 53 4.2 - Ângulos Verticais................................................................................................................................. 54 4.2.1 - Ângulo de Inclinação ................................................................................................................ 54 4.2.2 - Ângulo Zenital .......................................................................................................................... 54 4.3 - Magnetismo Terrestre ......................................................................................................................... 55 4.3.1 - Declinação Magnética .............................................................................................................. 55 5 - Métodos de Levantamento Planimétrico ..................................................................................................... 58 5.1 - Métodos Principais e Secundários ...................................................................................................... 59 5.1.1 - Métodos Principais ................................................................................................................... 59 5.1.2 - Métodos Secundários ............................................................................................................... 61 5.1.3 – Exemplo 30 – Ponto Inacessível .............................................................................................. 62 5.2 - Poligonal Topográfica ......................................................................................................................... 65 6 - Planilha de Coordenadas ............................................................................................................................. 69
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6.1 - Cálculo do Fechamento Angular ......................................................................................................... 69 6.1.1 - Determinação do Erro Angular ................................................................................................ 70 6.1.2 - Tolerância do Erro Angular ...................................................................................................... 72 6.1.3 - Distribuição do Erro Angular ................................................................................................... 73 6.2 - Cálculo de Azimutes ........................................................................................................................... 74 6.3 - Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas ........................................................................... 76 6.4 - Cálculo do Fechamento Linear ........................................................................................................... 78 6.4.1 - Determinação do Erro Linear ................................................................................................... 78 6.4.2 - Tolerância do Erro Linear ........................................................................................................ 78 6.5 - Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas .................................................................................. 79 6.6 - Cálculo das Coordenadas Absolutas ................................................................................................... 80 6.7 - Exemplos de Cálculos de Planilhas de Coordenadas .......................................................................... 81 6.7.1 - Exemplo 39 .............................................................................................................................. 81 6.7.2 - Exemplo 40 .............................................................................................................................. 87 7 - Cálculo de Áreas Planas .............................................................................................................................. 94 7.1 - Método Analítico pela Fórmula de Gauss ........................................................................................... 94 7.2 - Método de Decomposição em Polígonos ............................................................................................ 97 7.3 - Método de Comparação por Quadrículas ............................................................................................ 98 Capítulo 3 - Altimetria 1 - Introdução ................................................................................................................................................... 101 1.1 - Superfícies de Referência de Nível ..................................................................................................... 101 1.1.1 - Erro de Nível Aparente ............................................................................................................. 103 1.2 - Altitude, Cota e Diferença de Nível .................................................................................................... 105 2 - Instrumentos Altimétricos ........................................................................................................................... 107 2.1 - Plano de Visada Horizontal ................................................................................................................. 107 2.2 - Plano de Visada Inclinado ................................................................................................................... 110 2.3 - Acessórios ........................................................................................................................................... 111 2.4 - Barômetros .......................................................................................................................................... 111 3 - Processos de Nivelamento ........................................................................................................................... 112 3.1 - Introdução ........................................................................................................................................... 112 3.2 - Nivelamento Geométrico .................................................................................................................... 112 3.3 - Nivelamento Trigonométrico .............................................................................................................. 113 3.4 - Nivelamento Barométrico ................................................................................................................... 115 3.5 - Nivelamento Taqueométrico ............................................................................................................... 116 3.6 - Fatos Atuais em Altimetria ................................................................................................................. 116 3.6.1 - Normas Técnicas Nivelamento segundo a ABNT .................................................................... 117 3.6.2 - Nivelamento Geodésico ........................................................................................................... 117
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3.6.3 - Nivelamento GPS ..................................................................................................................... 120 4 - Nivelamento Geométrico ............................................................................................................................ 121 4.1 - Nivelamento Geométrico Simples ....................................................................................................... 121 4.2 - Nivelamento Geométrico Composto ................................................................................................... 124 4.3 - Verificação dos Cálculos da Caderneta ............................................................................................... 126 4.4 – Erro no Nivelamento Topográfico ...................................................................................................... 127 4.4.1 – Determinação do Erro .............................................................................................................. 128 4.4.2 - Definição da Tolerância ........................................................................................................... 129 4.4.3 - Distribuição do Erro Admissível .............................................................................................. 130 4.5 - Exemplo de Cálculo de Nivelamento Geométrico .............................................................................. 130 5 - Perfis Longitudinais e Transversais ............................................................................................................ 133 5.1 - Perfil Longitudinal .............................................................................................................................. 134 5.2 - Perfil Transversal ................................................................................................................................ 134 5.2.1 - Nivelamento das Seções Transversais a Nível ......................................................................... 135 5.2.2 - Nivelamento das Seções Transversais a Régua ........................................................................ 135 5.2.3 - Nivelamento das Seções Transversais a Clinômetro ................................................................ 137 6 - Representação Altimétrica .......................................................................................................................... 138 6.1 - Planta Baixa ........................................................................................................................................ 139 6.2 - Perfil .................................................................................................................................................... 140
Capítulo 4 - Planialtimetria 1 - Introdução ................................................................................................................................................... 143 2 – Levantamento Planialtimétrico ................................................................................................................... 143 3 - Exemplo de Cálculo Planialtimétrico .......................................................................................................... 144 3.1 – Planimetria – Planilha de Coordenadas .............................................................................................. 147 3.2 – Altimetria – Nivelamento Estadimétrico ............................................................................................ 152 3.3 – Planialtimetria ..................................................................................................................................... 154
Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos 1 - Introdução e Histórico ................................................................................................................................. 159 2 - Segmentos do Sistema e o Projeto NAVSTAR-GPS .................................................................................. 160 3 - Princípios de Observação e Técnicas de Posicionamento GPS ................................................................... 162 3.1 - Observações no Modo Relativo ou Diferencial .................................................................................. 164 4 - Informações Básicas para Utilização do Sistema ........................................................................................ 167 5 - Transformação de Referenciais Geodésicos ................................................................................................ 167
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6 - Instrumento Receptor .................................................................................................................................. 168 7 - Precisão e Classificação dos Levantamentos GPS ...................................................................................... 168 8 – Aplicações do Sistema GPS ....................................................................................................................... 170
Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos 1 - Definições e Generalidades ......................................................................................................................... 173 2 - Câmaras Aéreas ........................................................................................................................................... 174 2.1 Câmaras Aéreas Digitais ....................................................................................................................... 175 3 - Formação do Modelo Estereoscópico ......................................................................................................... 177 3.1 - Restituição Fotogramétrica ................................................................................................................. 178 4 - Medição Aproximada de Altura .................................................................................................................. 180 5 - Plano de Vôo Aerofotogramétrico .............................................................................................................. 182 5.1 - Informações Complementares para Projeto Aerofotogramétrico ........................................................ 186 5.2 - Problema de Orientação das Fotos ...................................................................................................... 187 6 - Produtos Aerofotogramétricos .................................................................................................................... 189 6.1 - Aplicações na Fotointerpretação ......................................................................................................... 190
Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos 1 - Generalidades e Definições ......................................................................................................................... 193 2 - Conceitos e Classificação dos Erros de Observação ................................................................................... 195 2.1 - Conceitos Iniciais ................................................................................................................................ 196 2.2 - Classificação dos Erros de Observação ............................................................................................... 197 2.2.1 - Estudos Experimentais dos Erros Acidentais ........................................................................... 198 3 - Aplicações Estatísticas ................................................................................................................................ 201 3.1 - Exemplo 1 ........................................................................................................................................... 202 3.2 - Exemplo 2 ........................................................................................................................................... 204 3.3 - Exemplo 3 ........................................................................................................................................... 207
Capítulo 8 – Locação – Aspectos Básicos 1 – Generalidades e Definições ........................................................................................................................ 213 2 – Locação para Construção de Estradas ........................................................................................................ 214 2.1 – Locação das Tangentes e PI´s ............................................................................................................. 215 2.2 – Locação das Curvas ............................................................................................................................ 217 2.1.1 – Curva Circular Simples ............................................................................................................ 218
Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos 1 – Introdução ................................................................................................................................................... 249
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2 – Animais Perigosos ...................................................................................................................................... 250 2.1 – Aranhas ............................................................................................................................................... 252 2.2 – Escorpiões .......................................................................................................................................... 253 2.3 – Abelhas, vespas e marimbondos ......................................................................................................... 253 2.4 – Taturanas e Lacraias ........................................................................................................................... 254 2.5 – Cobras ................................................................................................................................................. 255 2.5.1 – Identificação de Cobras ........................................................................................................... 255 3 – Prevenção de Acidentes .............................................................................................................................. 259
Referências Bibliográficas ................................................................................................................................ 263
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pg. Capítulo 1 - Generalidades e Definições Figura 1.1: Determinação do raio da Terra, por Erastótenes ............................................................................ 4 Figura 1.2: Narrativa da experiência de Erastótenes ........................................................................................ 5 Figura 1.3: Astrolábio ....................................................................................................................................... 6 Figura 1.4: Elipsóide de Revolução .................................................................................................................. 9 Figura 1.5: Extensão do campo topográfico ..................................................................................................... 12 Figura 1.6: Sistema de coordenadas astronômicas ........................................................................................... 17 Figura 1.7: Sistema de coordenadas geodésicas ............................................................................................... 18 Figura 1.8: Relação entre superfícies da Geodésia ........................................................................................... 19 Figura 1.9: Algumas superfícies de projeção ................................................................................................... 20 Figura 1.10: Projeção UTM .............................................................................................................................. 20 Figura 1.11: Sistema de coordenadas UTM ..................................................................................................... 21 Figura 1.12: Deformações do sistema de projeção UTM ................................................................................. 21
Capítulo 2 - Planimetria Figura 2.1: Múltiplos e submúltiplos do metro ................................................................................................ 30 Figura 2.2: Sistema sexagesimal ...................................................................................................................... 35 Figura 2.3: Sistema centesimal ......................................................................................................................... 37 Figura 2.4: Sistema radiano .............................................................................................................................. 38 Figura 2.5: Medição horizontal do alinhamento AB ........................................................................................ 40 Figura 2.6: Horizontalidade do diastímetro ...................................................................................................... 41 Figura 2.7: Erro de catenária ............................................................................................................................ 42 Figura 2.8: Desvio vertical da baliza ................................................................................................................ 42 Figura 2.9: Desvio lateral do diastímetro ......................................................................................................... 42 Figura 2.10: Distância horizontal estadimétrica I ............................................................................................. 43 Figura 2.11: Fios estadimétricos ....................................................................................................................... 44
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Figura 2.12: Tipos de luneta ............................................................................................................................. 45 Figura 2.13: Distância horizontal estadimétrica II ............................................................................................ 45 Figura 2.14: Diferença de nível estadimétrica .................................................................................................. 46 Figura 2.15: Máxima distância teórica conferindo ........................................................................................... 48 Figura 2.16: Máxima distância teórica sem conferência .................................................................................. 48 Figura 2.17: Mínima distância teórica conferindo ............................................................................................ 48 Figura 2.18: Distância horizontal e diferença de nível pelo processo estadimétrico ........................................ 49 Figura 2.19: Ângulos na Topografia ................................................................................................................. 50 Figura 2.20: Ângulo horizontal α ..................................................................................................................... 51 Figura 2.21 : Medição de azimutes ................................................................................................................... 51 Figura 2.22: Azimute de vante e ré ................................................................................................................... 51 Figura 2.23: Medição dos rumos ...................................................................................................................... 52 Figura 2.24: Conversão azimutes em rumos ..................................................................................................... 52 Figura 2.25: Medição de ângulos horários internos e externos ........................................................................ 52 Figura 2.26: Medição dos ângulos de deflexão ................................................................................................ 53 Figura 2.27: Azimute calculado a partir do rumo ............................................................................................. 53 Figura 2.28: Azimute calculado a partir da deflexão ........................................................................................ 53 Figura 2.29: Azimute calculado a partir do ângulo horário .............................................................................. 54 Figura 2.30: Ângulo de inclinação e zenital ..................................................................................................... 54 Figura 2.31: Declinação magnética .................................................................................................................. 55 Figura 2.32: Simulação de cálculo da declinação para BH .............................................................................. 57 Figura 2.33: Azimute magnético e verdadeiro .................................................................................................. 57 Figura 2.34: Levantamento por triangulação .................................................................................................... 59 Figura 2.35: Levantamento por caminhamento ................................................................................................ 60 Figura 2.36: Levantamento por interseção de ângulos ..................................................................................... 60 Figura 2.37: Levantamento por interseção de distâncias .................................................................................. 61 Figura 2.38: Levantamento por irradiação ........................................................................................................ 61 Figura 2.39: Levantamento por coordenadas retangulares ............................................................................... 62 Figura 2.40: Pontos inacessíveis ....................................................................................................................... 62 Figura 2.41: Acessórios ao levantamento da poligonal topográfica ................................................................. 66 Figura 2.42: Poligonal topográfica ................................................................................................................... 66 Figura 2.43: Levantamento planimétrico de uma propriedade ......................................................................... 67 Figura 2.44: Erro de fechamento angular I ....................................................................................................... 71 Figura 2.45: Erro de fechamento angular II ...................................................................................................... 72 Figura 2.46: Cálculo de azimutes I ................................................................................................................... 75 Figura 2.47: Cálculo de azimutes II .................................................................................................................. 76 Figura 2.48: Cálculo das coordenadas relativas I ............................................................................................. 77
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Figura 2.49: Cálculo das coordenadas relativas II ............................................................................................ 77 Figura 2.50: Poligonal topográfica I ................................................................................................................. 82 Figura 2.51: Poligonal topográfica II ............................................................................................................... 87 Figura 2.52: Cálculo de área I .......................................................................................................................... 95 Figura 2.53: Cálculo de área II ......................................................................................................................... 95 Figura 2.54: Cálculo de área III ........................................................................................................................ 97 Figura 2.55: Cálculo de área IV ....................................................................................................................... 98
Capítulo 3 - Altimetria Figura 3.1: Superfície terrestre, geóide e elipsóide .......................................................................................... 101 Figura 3.2: Alturas ortométricas ....................................................................................................................... 102 Figura 3.3: Superfície de referência verdadeira e aparente .............................................................................. 103 Figura 3.4: Altitudes de pontos topográficos ................................................................................................... 105 Figura 3.5: Cotas de pontos topográficos ......................................................................................................... 106 Figura 3.6: Níveis esféricos .............................................................................................................................. 108 Figura 3.7: Nível cilíndrico .............................................................................................................................. 108 Figura 3.8: Níveis de luneta .............................................................................................................................. 108 Figura 3.9: Nível de pedreiro ............................................................................................................................ 109 Figura 3.10: Níveis laser ................................................................................................................................... 109 Figura 3.11: Nível de mangueira ...................................................................................................................... 109 Figura 3.12: Corpos suspensos ......................................................................................................................... 110 Figura 3.13: Clinômetro ................................................................................................................................... 110 Figura 3.14: Estação Total ................................................................................................................................ 111 Figura 3.15: Miras ............................................................................................................................................ 111 Figura 3.16: Altímetro ...................................................................................................................................... 111 Figura 3.17: Nivelamento geométrico .............................................................................................................. 113 Figura 3.18: Nivelamento trigonométrico ........................................................................................................ 114 Figura 3.19: Nivelamento barométrico ............................................................................................................. 115 Figura 3.20: Nivelamento geométrico simples ................................................................................................. 122 Figura 3.21: Nivelamento geométrico composto I ........................................................................................... 124 Figura 3.22: Nivelamento geométrico composto II .......................................................................................... 131 Figura 3.23: Eixos longitudinal e transversal ................................................................................................... 134 Figura 3.24: Nivelamento de seção transversal a régua ................................................................................... 135 Figura 3.25: Perfil transversal .......................................................................................................................... 136 Figura 3.26: Nivelamento de seção transversal à clinômetro ........................................................................... 137 Figura 3.27: Planta com pontos cotados ........................................................................................................... 139 Figura 3.28: Planta com curvas de nível ........................................................................................................... 139
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Figura 3.29: Planta com cores hipsométricas ................................................................................................... 140 Figura 3.30: Desenho de perfil ......................................................................................................................... 141 Figura 3.31: Desenho em perspectiva ............................................................................................................... 141
Capítulo 4 - Planialtimetria Figura 4.1: Croqui de área ................................................................................................................................ 144 Figura 4.2: Planta planialtimétrica do terreno .................................................................................................. 154 Figura 4.3: Planta em perspectiva do terreno ................................................................................................... 154
Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos Figura 5.1: Segmento de controle ..................................................................................................................... 160 Figura 5.2: Segmento dos usuários ................................................................................................................... 161 Figura 5.3: Princípio de observação ................................................................................................................. 163 Figura 5.4: Fase codificada ............................................................................................................................... 163 Figura 5.5: Posicionamento relativo ou diferencial .......................................................................................... 164 Figura 5.6: Método diferencial utilizando as ondas portadoras ........................................................................ 165 Figura 5.7: Alguns modelos de receptores GPS ............................................................................................... 168
Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos Figura 6.1: Escala da fotografia aérea .............................................................................................................. 173 Figura 6.2: Câmaras terrestre e aérea ................................................................................................................ 174 Figura 6.3: Relação entre distância focal e escala ............................................................................................ 176 Figura 6.4: Estereoscópio de espelhos .............................................................................................................. 177 Figura 6.5: Restituidor universal ...................................................................................................................... 179 Figura 6.6: Medição aproximada de altura ....................................................................................................... 180 Figura 6.7: Plano de vôo ................................................................................................................................... 183 Figura 6.8: Apoio terrestre ................................................................................................................................ 187 Figura 6.9: Ortofotocarta .................................................................................................................................. 190 Figura 6.10: Construção de cartas e mapas ....................................................................................................... 190 Figura 6.11: Fotointerpretação urbana .............................................................................................................. 191 Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos Figura 7.1: Acurácia x Precisão ........................................................................................................................ 196 Figura 7.2: Relação entre a freqüência observada e freqüência teórica ............................................................ 201 Figura 7.3: Nivelamento geométrico ................................................................................................................ 207
Capítulo 8 – Locação – Aspectos Básicos Figura 8.1: Estaca testemunha .......................................................................................................................... 213
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Figura 8.2: Referência do greide ...................................................................................................................... 213 Figura 8.3: Utilização de cruzetas .................................................................................................................... 213 Figura 8.4: Exemplo da marcação de off-set .................................................................................................... 215 Figura 8.5: Marcação das tangentes e PI´s ........................................................................................................ 215 Figura 8.6: Amarração de um PI por interseção de ângulos ............................................................................. 216 Figura 8.7: Amarração de um PI por interseção de distâncias .......................................................................... 217 Figura 8.8: Elementos de uma curva circular simples ...................................................................................... 217 Figura 8.9: Elementos de uma curva de transição ............................................................................................ 218 Figura 8.10: Estaqueamento final de uma estrada ............................................................................................ 218 Figura 8.11: Elementos as curva circular ......................................................................................................... 219 Figura 8.12: Cálculo da tangente externa ......................................................................................................... 220 Figura 8.13: Ângulo AC ................................................................................................................................... 220 Figura 8.14: Cálculo das estacas do PC e PT ................................................................................................... 221 Figura 8.15: Cálculo das estacas do PI ............................................................................................................. 222 Figura 8.16: Distância PC-PT, considerando as tangentes e o desenvolvimento ............................................. 223 Figura 8.17: Diferença entre distância reta e curva .......................................................................................... 226 Figura 8.18: Locação das curvas através da corda ........................................................................................... 228 Figura 8.19: Locação I. Arcos de 20 m ............................................................................................................ 229 Figura 8.20: Locação II. Arcos de 10 m ........................................................................................................... 230 Figura 8.21: Locação III. Arcos de 5 m............................................................................................................. 231 Figura 8.22: Cálculo do afastamento ................................................................................................................ 232 Figura 8.23: Aplicação do cálculo de afastamento ........................................................................................... 232 Figura 8.24: Grau da curva ............................................................................................................................... 233 Figura 8.25: Deflexão ....................................................................................................................................... 233 Figura 8.26: Deflexão total I ............................................................................................................................ 234 Figura 8.27: Deflexão total II ........................................................................................................................... 234 Figura 8.28: Deflexão acumulada I .................................................................................................................. 235 Figura 8.29: Deflexão acumulada II ................................................................................................................. 236 Figura 8.30: Deflexão acumulada III ................................................................................................................ 237 Figura 8.31: Cálculo da cordas I ....................................................................................................................... 238 Figura 8.32: Cálculo da cordas II ..................................................................................................................... 238 Figura 8.33: Cálculo das coordenadas da curva ............................................................................................... 242 Figura 8.34: Cálculo dos azimutes dos alinhamentos ....................................................................................... 243 Figura 8.35: Esquema de cálculo de azimutes .................................................................................................. 243 Figura 8.36: Esquema para locação de curva através das deflexões ................................................................ 245 Figura 8.37: Ilustrativo da locação por deflexão .............................................................................................. 245 Figura 8.38: Ilustrativo da locação por coordenadas ........................................................................................ 246
xiv
Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos Figura 9.1: Animais perigosos .......................................................................................................................... 251 Figura 9.2: Espécies de aranhas ........................................................................................................................ 252 Figura 9.3: Escorpião ........................................................................................................................................ 253 Figura 9.4: Lacraia ............................................................................................................................................ 254 Figura 9.5: Espécies de cobras .......................................................................................................................... 255 Figura 9.6: Fosseta loreal .................................................................................................................................. 256 Figura 9.7: Esquema não confiável de identificação de cobras ........................................................................ 257 Figura 9.8: Identificando cobras ....................................................................................................................... 258 Figura 9.9: Percentual de picadas de cobras nas partes do corpo ..................................................................... 259 Figura 9.10: Equipamentos de segurança ......................................................................................................... 259 Figura 9.11: Bote .............................................................................................................................................. 260
xv
pg. Capítulo 1 - Generalidades e Definições Quadro 1.1: Classificação dos Levantamentos Geodésicos .............................................................................. 24 Tabela 1.1: Alguns elipsóides e seus parâmetros ............................................................................................. 10 Tabela 1.2: Transformação entre sistemas geodésicos ..................................................................................... 26
Capítulo 2 - Planimetria Quadro 2.1: Outros sistemas lineares ............................................................................................................... 30 Tabela 2.1: Relação entre sistemas de unidades de medidas angulares ............................................................ 38 Tabela 2.2: Resumo do Sistema Internacional de Unidades (SI) ..................................................................... 39 Tabela 2.3: Classificação dos processos diretos segundo a precisão ................................................................ 40 Tabela 2.4: Resumo das equações estadimétricas ............................................................................................ 47 Tabela 2.5: Levantamento Planimétrico – Poligonais ...................................................................................... 68 Tabela 2.6: Classificação dos teodolitos ........................................................................................................... 68 Tabela 2.7: Classificação dos MED ................................................................................................................. 68 Tabela 2.8: Classificação de estações totais ..................................................................................................... 68 Tabela 2.9: Classe x Coeficiente b ................................................................................................................... 72 Tabela 2.10: Classe x Coeficiente d ................................................................................................................. 79
Capítulo 3 - Altimetria Tabela 3.1: Valores de distâncias versus erro de nível aparente ...................................................................... 104 Tabela 3.2: Instrumentos altimétricos .............................................................................................................. 107 Tabela 3.3: Classificação dos instrumentos (níveis) ......................................................................................... 117 Tabela 3.4: Nivelamento de linhas ou circuitos e seções ................................................................................. 117 Tabela 3.5: Especificações para nivelamento geométrico – IBGE ................................................................... 119 Capítulo 4 - Planialtimetria Tabela 4.1: Resumo das equações taqueométricas ........................................................................................... 144
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Tabela 4.2: Altimetria – Exemplo .................................................................................................................... 153
Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos Tabela 5.1: Configuração Original do NAVSTAR-GPS .................................................................................. 161 Tabela 5.2: Configuração em 1990 do NAVSTAR-GPS ................................................................................. 161 Tabela 5.3: Mercado de receptores GPS ........................................................................................................... 169 Tabela 5.4: Técnicas de Posicionamento com o sistema GPS x Precisão ........................................................ 169
Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos Tabela 7.1: Experimento de Bradley ................................................................................................................ 199 Tabela 7.2: Medidas de uma base geodésica .................................................................................................... 202 Tabela 7.3: Resumo dos cálculos I ................................................................................................................... 203 Tabela 7.4: Medidas do ângulo horizontal ....................................................................................................... 205 Tabela 7.5: Resumo dos cálculos II .................................................................................................................. 206 Tabela 7.6: Medidas da diferença de nível ....................................................................................................... 208 Tabela 7.7: Resumo dos cálculos III ................................................................................................................. 208
Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos Quadro 9.1: Acidentes x soro ........................................................................................................................... 261
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1 - Introdução Considerando que a topometria é a parte da Topografia responsável pela avaliação de grandezas para representar o ambiente (Cap. 1), a planimetria estuda os procedimentos, métodos e instrumentos de medida de ângulos e distâncias, considerando o plano horizontal. Para estudo da planimetria, divide-se inicialmente o conteúdo em dois temas, baseado nas duas grandezas básicas a serem avaliadas em campo, ou seja, as distâncias (Gramometria - Item 3) e ângulos (Goniologia - Item 4). No Item 5 estes temas se fundem perfazendo os métodos de levantamento planimétrico. Nos próximos itens (6 e 7) calculam-se coordenadas e áreas de polígonos topográficos. Como o assunto está associado à interpretação e medida de grandezas lineares e angulares, tem-se no Item 2, uma revisão associada aos sistemas de unidades de medidas.
2 - Sistemas de Unidades de Medidas Medir uma grandeza consiste em compará-la com outra, denominada padrão, e verificar quantas vezes ela é maior ou menor que aquela tomada como padrão. Já está bem difundido a utilização do “Sistema Internacional de Unidades SI”, apesar de alguns sistemas antigos (infelizmente !) ainda serem usados com freqüência. A seguir são comentadas as unidades mais utilizadas na Topografia, citando as de medidas lineares, de superfície, volumétricas e angulares, e ao final um resumo dos vários sistemas de unidades utilizadas pelo Engenheiro.
29
Capítulo 2 - Planimetria
2.1 - Unidade de Medida Linear A unidade de medida internacional para medidas lineares é o metro (m), que corresponde à décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre. O sistema métrico decimal envolve seus múltiplos e submúltiplos (Figura 2.1):
Figura 2.1: Múltiplos e submúltiplos do metro.
Exemplo 1: Transforme 10 km e 98 mm, nos múltiplos e submúltiplos do metro. Solução: 10 km = 100 hm = 1.000 dam = 10.000 m = 100.000 dm = 1.000.000 cm = 10.000.000 mm. 98 mm = 9,8 cm = 0,98 dm = 0,098 m = 0,0098 dam = 0,00098 hm = 0,000098 km.
Exemplo 2: Transforme 21,45 m, para mm e km. Solução: 21,45 m = 21.450 mm = 0,02145 km.
Apesar da tendência de utilização do sistema métrico decimal, unidade antigas ainda são utilizadas, como: Quadro 2.1: Outros sistemas lineares. # 1 polegada inglesa = 25,4 mm;
# 1 pé = 30,479 cm;
# 1 jarda = 3 pés = 0,91438 m;
# 1 milha terrestre = 1.609,34 m;
# 1 palmo = 8 polegadas = 0,22 m;
# 1 milha náutica ou marítima = 1.852,35 m;
# 1 vara = 5 palmos = 1,10 m;
# 1 milha (bras.) = 2.200 m;
# 1 braça = 2 varas = 2,20 m;
# 1 corda = 15 braças = 33 m;
# 1 légua de sesmaria = 6.600 m.
# 1 légua geométrica = 6.000 m.
1
2
Exemplo 3: Transforme 12 polegadas inglesas e 5 pés em metros. 1
Polegada: Segundo a ASPM (Antigo Sistema de Pesos e Medidas), equivale a 27,5 mm 30
Solução: 1 polegada = 25,4 mm, logo 12 polegadas =304,8 mm, ou, 0,3048 m 1 pé = 30,479 cm, logo 5 pés = 152,39 cm, ou 1,524 m
Saiba desta ... !
Curiosidades sobre o Metro A comissão de acadêmicos constituída por Monge, Lagrange, Condorcet e Borda, formulando um esboço do sistema de medidas, encarregou os astrônomos João Delambre e Pedro Nadré Mechain, a proceder os trabalhos geodésicos necessários para a medida de 10o do meridiano, que vai de Dunquerque, no norte da França, a Monjony, próximo a Barcelona. Empregando como unidade de medida a toesa (1 toesa = 6 pés), do qual se deduziria a quarta parte do mesmo meridiano para, então, ser determinado o padrão da unidade fundamental escolhida. O comprimento do quarto do meridiano deduzido das medidas efetuadas foi de 5.130.740 toesas, cuja décima-milionésima parte equivale a 0,51307 toesa. Esta parte recebeu a denominação proposta por Borda, de metro (metron = medida). O padrão, protótipo em platina, que dá o comprimento legal do metro, construído pelo físico francês Fortin, de seção retangular, 25 x 4 mm, foi por lei de 10/12/1799 declarado “MÈTRE VRAI ET DÈFINITIF” e depositado nos arquivos do Estado Francês. Em 1909 após seus trabalhos geodésicos, Hayford encontrou para o quadrante terrestre 10.002,286, chegando a conclusão que o metro dos arquivos possuía 1/5 de mm a mais ou seja, o metro arquivado tinha 1,0002 m. Resolveu-se, no entanto, não modificar o metro dos arquivos, razão por que na Convenção Internacional do Metro, realizada em 1875, a qual participaram os principais países do mundo entre os quais o Brasil, foi mantida esta medida e designada a cidade de Bretevil, próximo a Paris, para a sede do Departamento Internacional de Pesos e Medidas, encarregado dos trabalhos de metrologia. Foram então confeccionadas 30 cópias do metro, de seção especial, numa liga de 90% de platina e 10 % de irídio, e por deliberação da primeira conferência geral, realizado em 26/09/1899, a cópia mais aproximada seria o metro protótipo internacional, e as outras distribuídas pelos países participantes da conferência, seriam os protótipos nacionais.
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Braça: Unidade linear do ASPM (Antigo Sistema de Pesos e Medidas). 31
Capítulo 2 - Planimetria
Saiba também ... !
Por que a milha náutica é diferente da milha terrestre ? A origem da milha terrestre – sistema de medida ainda em uso na Inglaterra e nos Estados Unidos – esta no “Mille passus”, unidade de comprimento utilizada pelo exército romano que correspondia a 1.000 passos dados por um centurião, o comandante das suas milícias. Os passos do centurião tomados como base eram duplos, mais largos que o normal, e a medida encontrada foi o equivalente a 63.360 polegadas, ou 1.690,34 metros. Já a milha náutica foi esta estabelecida de forma científica. Como a terra possui um formato arredondado, qualquer linha a contorná-la terá 360o. A linha do equador mede aproximadamente 40.000 quilômetros. Dividiu-se, então esse perímetro por 360 partes (1o) e depois por 60 (1’). Ou seja, 1 minuto de arco corresponde a 1.853,25 metros, que é a milha marítima. Por convenção internacional, esse valor foi arredondado para 1.852 metros.
Saiba ainda... !
Qual a medida da LÉGUA ? Do latim “leuca”, esta medida itinerária cujo valor primitivo não está bem fixado e possui várias interpretações, que variam de 2,2 a 7,4 km, conforme a época e o povo. A légua de sesmaria equivale a 3.300 braças ou a 6, 6 km. A légua de uma hora, légua de 4,875 km. Légua geométrica possui 6.000 metros enquanto a légua marítima, a 20a parte do grau, contada num círculo máximo da terra, que vale 3 milhas, ou cerca de 5,556 km. Esta última também é denominada de légua de vinte ao grau. Tem-se ainda a légua quilométrica (4 km) e a légua terrestre ou comum, légua de 4,445 km, também chamada de vinte e cinco ao grau. Não satisfeitos, tem-se ainda a légua de beiço, distância indicada por uma pessoa que a expressa esticando o lábio inferior, para dar a entender que é longe, principalmente se for precedida de um “logo ali” do mineirinho.
2.2 – Unidade de Medida de Superfície A unidade padrão é o metro quadrado (m2), porém em topografia, em razão da avaliação de grandes extensões da superfície, utiliza-se com mais freqüência o múltiplo hectare, correspondente a 10.000 m2.
Are (a)
=>
100 m2
Múltiplo
=>
1 hectare (ha) = 10.000 m2 = 100 a
Submúltiplo =>
1 centiare (ca) = 1,0 m2 = 0,01 a
Exemplo 4: Seja transformar: 32
# 23,34 ha = 233.400 m2 # 1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2 = 1.000.000 mm2 # 1 km2 = 1.000.000 m2 Existem ainda algumas unidades antigas de superfície utilizadas no Brasil, baseado no ASPM (Antigo Sistema de Pesos e Medidas), como por exemplo o alqueire, variando sua medida entre regiões; citando: # 1 alqueire geométrico = 100 x 100 braças = 48.400 m2 = 4,84 ha # 1 alqueire paulista = 50 x 100 braças = 24.200 m2 = 2,42 ha # 1 alqueire mineiro = 75 x 75 braças = 27.224 m2 = 2,7225 ha # 1 alqueire goiano = 96.800 m2 Exemplo 5: Transforme 200 ha em m2 e em alqueires geométricos. Solução: 2
200 ha = 2.000.000,000 m = 41,3223 alqueires geométricos.
Algumas outras utilizadas em algumas regiões brasileiras e outros países (e até curiosas !), como: # 1 milha quadrada = 2,788 x 107 pés2 = 640 acres # 1 pé quadrado = 929,0 cm2 # 1 acre 3 = 43.560 pés2 = 4.046,8 m2 (cerca de 0,4 ha) # 1 Braça quadrada = 4,84 m2
Saiba desta ... !
# Cinqüenta é uma unidade de medida agrária empregada na Paraíba e equivale à 50 x 50 braças, também chamada de Quarta no Rio Grande do Sul. No Paraná a Quarta vale 50 x 25 braças.
# Colônia é uma unidade de superfície usada no estado do Espírito Santo, equivalente a 5 alqueires de 100 x 100 braças.
# Geira é uma unidade de medida agrária e equivale a 400 braças quadradas. # Tarefa é uma unidade agrária de valor variável de estado a estado. Na Bahia corresponde à superfície de um quadrado de 30 braças de lado, por exemplo.
# Morgo é uma unidade de superfície empregada em Santa Catarina, equivale a 0,25 hectare, seja um quadrado de 50 m de lado.
# Lote é uma unidade de superfície empregada em Santa Catarina, equivale a 25 hectares.
2.3 – Unidade de Medida de Volume 3
Acre é uma unidade de medida agrária empregada na Inglaterra e nos Estados Unidos. 33
Capítulo 2 - Planimetria
A unidade padrão é o metro cúbico (m3), corresponde a um cubo de 1 x 1 x 1 m. Têm-se ainda as seguintes unidades volumétricas: # 1 jarda cúbica = 0,7645 m3.
# 1 litro = 1 dm3;
Exemplo 6: Transforme: 1 m3 = 1m x 1m x 1m = 10 dm x 10 dm x 10 dm = 1.000 dm3 = 100 cm x 100 cm x 100 cm = 1.000.000 cm3 Exemplo 7: Calcule a capacidade, em litros e em m3, de uma caixa de água com as seguintes dimensões (largura = 4 m; comprimento = 100 dm; altura: 500 cm). Solução: Capacidade = largura x comprimento x altura = 4,000 m x 10,000 m x 5,000 m = 200 m3 Capacidade = 200 m3 = 200.000 litros Exemplo 8: Seja calcular a capacidade, em m3, de um moto-scraper que transporta 24 jardas cúbicas por viagem. Solução: 3
1 jarda cúbica = 0,7645 m
24 jardas cúbicas = 18,348 m3 Capacidade = 18,348 m3
2.4 – Unidade de Medida Angular As unidades de medidas dos ângulos e arcos podem ser sexagesimais (grau), centesimais (grado) e o radiano.
2.4.1 - Sistema Sexagesimal É o sistema mais utilizado na Topografia. No sistema sexagesimal o círculo trigonométrico é dividido em 360 partes, tendo como unidade básica o grau (Figura 2.2).
34
Figura 2.2: Sistema sexagesimal. Círculo: 360o Unidade básica: 1o Submúltiplos: Minuto: 60’ = 1o Segundo: 3.600” = 1o Logo: 1o = 60’ = 3.600”
Geralmente tem-se a origem da medição na direção do Norte, em sentido horário. As modalidades de ângulos horizontais e verticais utilizados na topografia são comentados no item 4 (Item 4 – Goniologia). Exemplo 9: 30o 49’ 32,5” (lê-se trinta graus, quarenta e nove minutos e trinta e dois “vírgula” cinco segundos).
Pode-se executar as seguintes operações algébricas: a) Adição # Adicionar as unidades comuns. Exemplo 10: Some 50o 20’ 30” e 20o 45’ 43” Solução: o
50 20’ 30” + 20o 45’ 43” 70o 65’ 73” = 71o 06’ 13” Logo, 70o 65’ 73” = 70o 66’ 13” = 71o 06’ 13”
b) Subtração 35
Capítulo 2 - Planimetria
# Subtrair as unidades comuns e iguais. Exemplo 11: Subtraia 50o 20’ 30” e 10o 42’ 40” Solução: o
50 20’ 30” 10o 42’ 40”
o
50 19’ 90” 10o 42’ 40”
o
49 79’ 90” 10o 42’ 40” 39o 37’ 50”
c) Multiplicação # Multiplicar apenas por números adimensionais; # Não multiplicar ângulos por ângulos. Exemplo 12: Multiplique 80o 20’ 30” por 5 Solução: o
80 20’ 30” x 5 400o 100’ 150” Corretamente tem-se 401o 42’ 30”
d) Divisão # Dividir apenas por números adimensionais. # Não dividir ângulos por ângulos. Exemplo 13: Divida 80o 40’ 20” por 4.
Solução:
80 o 40' 20' '
o 4 = 20 10' 05' '
Deve ser claro que relações trigonométricas envolvendo unidades do grau, minuto e segundo, estes devem ser “decimalizados”, ou seja, por exemplo: # sen 30o 30’ ≠ sen 30,30o (erro muito comum em operações trigonométricas). pois sen 30o 30’ = 0,507538362921 sen 30,30o = 0,504527623815 A operação da decimalização já é uma rotina existente na maioria das calculadoras científicas, devendo ser executada antes de qualquer operação matemática relacionada à ângulos sexagesimais.
Exemplo 14: Decimalize e/ou calcule: a) 30o 30’ 36
b) 20o 06’ 18” c) tan 30o 20’ 01,20” Solução: o
a) 60’ equivalem a 1 , logo, 30’ equivale a 0,5o, então: 30o 30’ = 30o + 0,5o = 30,5o b) 60’ equivale a 1o, logo 06’ equivale a 0,1o; e 3600” equivale a 1o, logo, 18” equivale a 0,005o; então: 20o 06’ 18” = 20o + 0,1o + 0,005o = 20,105o c) tan 30o 20’ 01,20” = tan 30,3336666667 = 0,585141328646
2.4.2 - Sistema Centesimal e Radiano O sistema centesimal foi bastante empregado na Topografia, não ocorrendo com freqüência na atualidade. No sistema centesimal o círculo trigonométrico é dividido em 400 partes, tendo como unidade básica o grado (Figura 2.3). Círculo - 400g Unidade básica: 1g Submúltiplos: Centigrado: 100 centrigados = 1g; Decimiligados = 10.000 decimiligrados = 1g
Figura 2.3: Sistema centesimal. Exemplo 15: 382,4839g (lê-se trezentos e oitenta e dois grados, quarenta e oito centigrados e trinta e nove decimiligrados).
37
Capítulo 2 - Planimetria
O radiano é o ângulo central correspondente à um arco de comprimento igual ao raio (Figura 2.4).
2 π R ==> 360o a
==> α
360 0 ⋅ a α= 2πR se a = R
∴
360 0 = 57,3 0 ≈ 57 0 18' 2π
Logo 1 radiano ≈ 57 0 18 ' = α
Figura 2.4: Sistema radiano.
Na tabela 2.1 tem-se a conversão de sistemas de unidades de medidas angulares vistos anteriormente.
Tabela 2.1: Relação entre sistemas de unidades de medidas angulares. Graus 0o 90o 180o 270o 360o
Grados 0gr 100gr 200gr 300gr 400gr
Radianos 0 rd π/2 rd π rd 3π/2 rd 2π rd
Geralmente é necessário transformar os valores entre os vários sistemas angulares, principalmente ao confeccionar algum programa de cálculo. Alguns equipamentos modernos (Estações Totais, por exemplo) possibilitam a tomada destas grandezas em quaisquer sistemas mencionados acima. 38
Exemplo 16: Seja transformar: a) 358o (para grado) = 397,7g b) 120o (para grado) = 133,3g c) 76o (para grado) = 84,4g d) 104g (para grau) = 93,60 = 93o 36’ e) 96g (para grau) = 86o 24’ f) 78g (para grau) = 70o 12’ g) 100o (para radiano) = 1,74 rd h) 2 rd (para grau) = 114o 36’
A tabela 2.2 ilustra outros sistemas de unidades utilizados freqüentemente nas medições em geral.
Tabela 2.2: Resumo do Sistema Internacional de Unidades (SI). Grandeza
Nome
Símbolo
Comprimento
Metro
m
Massa
Quilograma
kg
Tempo
Segundo
s
Corrente elétrica
Ampére
A
Área Volume Freqüência Densidade Velocidade Aceleração Força Pressão Trabalho/Energia Potência
Metro quadrado Metro cúbico Hertz Quil. por metro cúbico Metro por segundo Metro por seg. quadr. Newton Pascal Joule Watt
m2 m3 Hz kg/m3 m/s m/s2 N Pa J W
Definição “ ... a distância percorrida pela luz no vácuo em 1/299.792.458 do segundo. ” (1983). “ ... este protótipo (um determinado cilindro de platina e irídio) será, daqui em diante, considerando a unidade de massa. ” (1889). “ ... a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.” (1967). “ ... a corrente constante que, mantida em dois condutores retilíneos paralelos de comprimento infinito e seção circular transversal desprezível, situados no vácuo e distantes um do outro 1 metro, produziria entre esses condutores uma força igual a 2 x 10-7 newton por metro.” (1946). s-1 kg . m/s2 N/m2 N.m J/s
3 - Gramometria A Gramometria estuda os processos e instrumentos usados nas determinações de distâncias entre dois pontos. Esta distância pode ser obtida por processos direto ou indireto. 39
Capítulo 2 - Planimetria
3.1 - Processos Diretos Pelo método direto, as distâncias são determinadas percorrendo-se o alinhamento. Genericamente os instrumentos destinados a medida direta são denominados de diastímetros. Geralmente as trenas são constituídas de uma fita de lona, de aço ou de nylon, enrolada no interior de uma caixa circular. Existem trenas de 2, 5, 10, 20, 30 e 50 metros, sendo mais usadas as de 20m. As fitas de aço temperado possuem geralmente 10, 20, 30 e 50 e até 100 metros. Na tabela abaixo (Tabela 2.3) tem-se uma classificação dos processos diretos segundo sua respectiva precisão.
Tabela 2.3: Classificação dos processos diretos segundo a precisão. Baixa precisão
Média precisão
Alta precisão
* Passo (por ex.: p ≅ 0,80 m) * Régua graduada (por ex.: bambu) * Medidor topográfico - De aço * Fitas - De fibra de vidro - De lona * Trenas - De aço - De fibra de vidro * Fio ínvar
Na operação das medidas lineares deve-se ter o cuidado de avaliar sempre a projeção horizontal dos pontos considerados. Como os alinhamentos são representados em planta por suas projeções num plano horizontal (rever o conceito de Topografia), as medidas das distâncias devem ser feitas na horizontal. Logo, caso o terreno seja inclinado, a medida deve ser executada tendo uma das extremidades no ponto mais alto, e a outra num ponto mais baixo, com auxílio de duas balizas (Figura 2.5).
Figura 2.5: Medição horizontal do alinhamento AB. Ainda, na medição de uma distância, alguns erros devem ser corrigidos e outros evitados. O erro total ao executar uma medida é a resultante de um conjunto destes erros. Abaixo são citados os erros mais comuns.
a) Erro no comprimento do diastímetro Deve ser corrigido. 40
Exemplo 17: Suponha um diastímetro, inicialmente, com a marcação de 25 metros. Em segunda análise, suponha que foi feita uma aferição (constatação em laboratório), e sua verdadeira medida seja 24,9 m. Neste caso, pensaria o usuário estar medindo 25m, mas na realidade teria apenas 24,9 m.
Exemplo 18: Partindo do exemplo 15, suponha uma distância no campo igual 100 m, qual seria a distância real ? Solução: 100 m ⇒ 25,0 m x m ⇒ 24,9 m x = 99,60 m (distância real medida pelo usuário)
Exemplo 19: Ainda, para obter a distância real de 100 m, com o diastímetro acima, quanto deve-se medir no campo ? Solução: x m ⇒ 25,0 m 100 m ⇒ 24,9 m x = 100,40 m (a ser medido no campo para obter os 100,00 m)
b) Erro de dilatação do diastímetro Deve ser corrigido.
e = L * α *(T − t ) , onde: e - Erro; L - Distância medida; α - Coeficiente de dilatação; T - Temperatura ambiente; t - Temperatura de aferição (± 20o C).
c) Falta de horizontalidade do diastímetro Como os pontos A e B devem ser projetados considerando um plano horizontal, caso ocorra uma inclinação do diastímetro, a distância tomada será sempre maior que a real. Deve ser evitado, por exemplo, com auxílio de uma 3o pessoa
Figura 2.6: Horizontalidade do diastímetro.
verificando a posição do diastímetro (Figura 2.6).
d) Erro de catenária 41
Capítulo 2 - Planimetria
Erro devido ao peso do diastímetro. Para evitá-lo deve-se esticar o diastímetro, avaliar trechos menores ou adotar escoras intermediárias. (Figura 2.7).
e) Desvio vertical da baliza Em virtude das balizas não estarem perfeitamente na vertical, a distância medida pode ser maior ou menor que a distância real AB (Figura 2.8). Deve ser evitado, por exemplo, com a utiliza-
Figura 2.7: Erro de catenária.
ção de um nível de cantoneira.
f) Erro de desvio lateral do diastímetro Considerando dois pontos topográficos, a distância horizontal entre eles deve ser tomada materializando um alinhamento reto, ou seja um traço da interseção do terreno com apenas um plano vertical que contém estes pontos. Deve ser evitado, por exemplo, através do
Figura 2.8: Desvio vertical da baliza.
balizamento (Figura 2.9).
Figura 2.9: Desvio lateral do diastímetro.
g) Enganos Ocorre pela inabilidade do operador. Pode-se citar como erro grosseiro ou engano: Posição do zero no diastímetro, erro de leitura, omissão de trenadas, anotação errada, etc. Este erro tem de ser evitado.
3.2 - Processos Indiretos Na medição indireta de distâncias, estas são determinadas sem percorrer o alinhamento. Os instrumentos de medida indireta de distância são denominados distanciômetros. Estes podem ser: # Óticos # Mecânicos # Eletrônicos Os instrumentos óticos e mecânicos são designados de taqueômetros ou taquímetros.
42
O processo indireto confundia-se com a taqueometria ou estadimetria, por este ser um processo de levantamento muito aplicado em levantamentos topográficos, contudo com o avanço da utilização de instrumentos eletrônicos para obtenção de distâncias, reafirma-se a divisão proposta. Taqueometria é a parte da topografia que se ocupa da medida indireta das distâncias horizontais e das diferenças de nível, quer por meios óticos, quer por meios mecânicos, empregando-se instrumentos denominados taqueômetros. Os taqueômetros estadimétricos ou normais são teodolitos com luneta portadora de retículos estadimétricos, constituídos de três fios horizontais e um vertical. Com os fios de retículo, associados às miras verticais ou horizontais, pode-se obter a distância horizontal e a diferença de nível entre dois pontos. Nos itens a seguir (3.2.1, 3.2.2, 3.2.3 e 3.2.4), dá-se ênfase ao processo de obtenção de distâncias e diferenças de nível com uso de taqueômetros, associados à miras verticais.
3.2.1 - Distância Horizontal - Plano Horizontal O princípio de construção está ilustrado figura 2.10, onde: AC BC = AF EF
(01)
AC CD = AF FG
(02)
AC BC + CD BD = = AF EF + FG EG
(03) Figura 2.10: Distância horizontal estadimétrica I.
sendo AC - Distância a ser determinada (D) AF - Distância focal (f) BD - Leitura estadimétrica (m) (FS - FI) EG - Altura dos fios do retículo (h)
D f
=
m h
∴D =
m*f
(04)
h
f = g (cons tan te) h
D = m⋅g
onde # D - Distância horizontal; # m - Leitura estadimétrica onde: m = FS - FI; 43
Capítulo 2 - Planimetria
onde FS - Fio superior do retículo; FI - Fio inferior do retículo; FM - Fio médio do retículo; # g - Constante do aparelho. Em 99% dos casos, g = 100;
Existe ainda a seguinte relação: 2 . FM ≅ FS + FI
Obs.: Muitas vezes é considerando a igualdade ao invés da aproximação da igualdade.
Exemplo 20: Dados os fios FS, FI e g, calcule o FM e a distância (Figura 2.11): Solução: FS = 2,800 m; FI = 1,200 m g = 100 2 . FM ≅ (FS + FI) => 2 . 2,000 = (2,800 + 1,200) => 4,000 = 4,000 OK ! m = FS - FI = 2,800 - 1,200 = 1,600 m D = m . g = 1,600 . 100 = 160 m
Em alguns taqueômetros, a luneta pode não coincidir com o centro do instrumento (alática) ou coincidir (analática) (Figura 2.12). No caso da luneta alática, para determinação das distâncias ho-
Figura 2.11: Fios estadimétricos.
rizontal e vertical, deve-se considerar a constante “c” mais a distância focal “f”. A maioria das lunetas dos taqueômetros é analática.
Figura 2.12: Tipos de luneta – Alática e Analática.
3.2.2 - Distância Horizontal - Plano Inclinado 44
Seja agora a figura 2.13, considerando um plano inclinado: BD = m - Leitura estadimétrica com a mira na vertical; FG = n - Leitura estadimétrica com a mira normal à visada; AC = n . g
(05);
AE = AC . cosα
(06)
AE = n . g . cosα
(07)
Dos triângulos FBC e DCG (considerando serem retângulos semelhantes ao triângulo ACE) (Figura 2.13), os ângulos: FCB = DCG = CAE = α
(08)
n n 2/ cos α = 2 ∴ cos α = ⋅ m 2/ m 2 n cos α = ∴ n = m ⋅ cos α m
Figura 2.13: Distância horizontal estadimétrica II.
n = m . cosα
(09)
(09 em 07) D = m . g . cosα . cosα
(10)
D = m . g . cos2 α Obs.: Se o ângulo vertical corresponde ao ângulo zenital (ângulo com origem no zênite) (Item 4 – Goniologia), a fórmula estadimétrica será:
3.2.3 - Diferença de
D = m . g . sen2 Z
Nível
Considere a figura 2.14, para avaliar a diferença de nível FG, ou seja, a distância vertical entre o ponto F e a projeção do ponto A. BD => Leitura estadimétrica - m; FG => Diferença de nível; LE => D = m . g . cos2α
(12)
CF => Leitura feita na mira com o fio médio - alvo; EG => i - Altura do instrumento.
45
Capítulo 2 - Planimetria
Definição: FG = CG - CF
(13)
CG = CE + EG
(14)
(14) em (13) FG = CE + EG - CF
(15)
CE = LE . tgα
(16) Figura 2.14: Diferença de nível estadimétrica.
(16) em (15) FG = LE . tgα + EG - CF (10)
(17)
Substituindo, tem-se: dn = m . g . cos2α . tgα + i – alvo
(18)
⎡
sen ( 2 ⋅ α ) ⎤
⎣
2
dn = ⎢ m ⋅ g ⋅
⎥+i−l ⎦
Obs.: Se o ângulo vertical corresponde ao ângulo zenital (ângulo com origem no zênite) (Item 4 – Goniologia), a fórmula taqueométrica será:
⎡ ⎣
dn = ⎢ m ⋅ g ⋅
sen (2 ⋅ Z ) ⎤ 2
⎥⎦ + i − l
Na tabela 2.4 tem-se um resumo das equações taqueométricas para avaliar distâncias horizontais e diferenças de nível.
Tabela 2.4: Resumo das equações estadimétricas. Analática Plano horizontal Distância horizontal Plano inclinado Distância horizontal Plano inclinado Diferença de nível
D=m.g D = m . g . cos2 α (α) D = m . g . sen2 Z (Z)
sen (2 ⋅ α ) ⎤ ⎡ (α) dn = ⎢ m ⋅ g ⋅ ⎥+i−l 2 ⎣ ⎦ 46
sen(2 ⋅ Z) ⎤ ⎡ (Z) dn = ⎢m ⋅ g ⋅ ⎥⎦ + i − l 2 ⎣
Igualmente à medida direta de uma distância, ao avaliar indiretamente uma distância por taqueometria, alguns cuidados devem ser considerados, evitando alguns erros como: # Na leitura da mira - Distância imprópria, capacidade de aumento focal da luneta, desvios causa-
dos pela refração atmosférica; # Erros nas constantes c, f, g; # Falta de verticalidade da mira; # Erro na medição do ângulo de inclinação (α ou Z).
3.2.4 - Distâncias Máximas e Mínimas Através de exemplos, pode-se demonstrar as máximas e mínimas distâncias que podem ser obtidas pela taqueometria. Estas podem ser avaliadas pelo aspecto teórico, ou seja, matematicamente, ou pelo aspecto prático, ou seja, a real distância que se pode obter pelo taqueômetro. Na consideração teórica estão em questão o tamanho da mira e sua menor subdivisão, e o valor da constante g.
Para a prática, depende diretamente do foco do instrumento, sendo que a distâncias superiores a 150 m, e inferiores a aproximadamente 5 m, a imagem do objeto começa a ficar prejudicada. Exemplo 21: Sejam os dados abaixo, calcule a máxima distância teórica conferindo (Figura 2.15)
e sem conferência (Figura 2.16). Dados: L (tamanho da mira) = 4,000 m g = 100
Solução: Obs.: A máxima distância entre dois pontos é aquela tomada na horizontal,
Figura 2.15: Máxima distância teórica conferindo.
logo: D=m.g m = FS - FI m = 4,000 - 0,000 = 4,000 m
47
Capítulo 2 - Planimetria
D = 4,000 x 100 = 400 m (conferindo)
Obs.: Para determinar a distância máxima sem conferência, um dos fios (superior ou inferior) está impossibilitado de ser lido, logo, deve ser calculado pela fórmula:
FM =
FS + FI FS + 0,000 ∴ 4,000 m = ∴ FS = 8,000 m 2 2
m = 8,000 - 0,00 = 8,000 m D = 8,000 x 100 = 800 m (sem conferência)
Exemplo 22: Sejam os dados a-
baixo, calcule a mínima distância teórica conferindo (Figura 2.17).
Dados: menor subdivisão = 0,010 m Figura 2.17: Mínima distância teórica conferindo.
g = 100 Solução:
D=m.g
Figura 2.16: Máxima distância teórica sem confe-
m = 1,010 - 1,000 = 0,010 m
rência.
D = 0,010 x 100 = 1,000 m (conferindo) Exemplo 23: Durante as operações topográficas, a maioria das medidas de distâncias é tomada
considerando um plano inclinado. Considerado os dados abaixo e as fórmulas da tabela 2.4, calcule a distância horizontal e diferença de nível entre dois pontos (Figura 2.18).
Dados: FS = 2,344 m; FI = 1,200 m; FM = 1,772 m; g = 100; α = 30o 30’; i = 1,5 m
Solução:
a) Distância horizontal
D = m . g . cos2α D = (FS - FI) . 100 . cos2 (30o 30’) D = (2,344 - 1,200) . 100 . cos2 (30,5o) = 1,144 . 100 . 0,74240 = 84,931 m
b) Diferença de nível 48
dn = m ⋅ g ⋅
sen 2 . 30 o 30' sen 2 ⋅ α + 1,500 − 1,772 + i − l ∴ dn = ( FS − FI) ⋅ 100 ⋅ 2 2
sen 2 . 30,5o + 1,500 − 1,772 2 dn = (1,144 ⋅ 100 ⋅ 0,43730) + 1,500 − 1,772 = 49,756 m dn = 1,144 ⋅ 100 ⋅
Figura 2.18: Distância horizontal e diferença de nível pelo processo estadimétrico.
4 - Goniologia A Goniologia estuda os processos e instrumentos necessários para avaliar um ângulo. Para seu estudo alguns autores a dividem em: # Goniografia - Estuda os processos de representação gráfica dos ângulos; # Goniometria - Estuda os processos e instrumentos necessários para a medida dos ângulos em
campo. Na figura abaixo (Figura 2.19) têm-se os vários tipos de ângulos utilizados na topografia, comentados nos itens 4.1 e 4.2.
49
Capítulo 2 - Planimetria
Figura 2.19: Ângulos na Topografia.
Os instrumentos utilizados para medir estes ângulos em campo (e escritório) são denominados de goniômetros. O teodolito é um goniômetro que possui limbos vertical e horizontal (Figura 2.19), internos
ou externos. O limbo é a parte específica do goniômetro que permite fazer a avaliação numérica dos ângulos. É constituída de uma coroa graduada podendo ter os seguintes sistemas de graduação: # Sexagesimal (grau)
# Centesimal (grado)
4.1 - Ângulos Horizontais O ângulo horizontal é definido como o ângulo formado pelo afastamento de 2 planos verticais, considerando um eixo (Figura 2.20). Os ângulos horizontais, de acordo com a direção ou alinhamento que serve de origem para sua medida, podem ser azimutais ou goniométricos. Os ângulos horizontais azimutais, têm por origem a direção norte-sul, sendo denominados de azimutes e rumos;
Os ângulos goniométricos são medidos com relação a um alinhamento qualquer, sendo denominados de ângulos entre alinhamentos (interno ou externo) e deflexões.
50
Figura 2.20: Ângulo horizontal α.
4.1.1 - Ângulos Azimutais a) Azimutes
É o ângulo horizontal formado entre a direção norte-sul e um alinhamento, tendo por origem o sentido do norte e grandeza variável entre 0o e 360o (Figura 2.21). O azimute recíproco de um alinhamento AB (vante) é o azimute deste alinhamento em sentido contrário, isto é, o azimute de BA (ré), os quais diferem de 180o, ou seja (Figura 2.22):
Figura 2.21 : Medição de azimutes. AZ BA = AZ AB + 180 o
Figura 2.22: Azimute de vante e ré.
(19)
b) Rumos
É o menor ângulo formado entre a direção norte-sul e um alinhamento, tendo como origem a direção norte ou sul, ou seja, com grandeza variável entre 0o e 90o (Figura 2.23).
c) Conversão de Rumo em Azimute 51
Capítulo 2 - Planimetria
Algumas vezes avalia-se em campo o valor do azimute, e este deve ser transformado em rumo para cálculos posteriores, logo como os rumos e os azimutes são referidos à uma mesma direção, estes podem ser relacionados entre si (Figura 2.24).
Figura 2.23: Medição dos rumos.
Figura 2.24: Conversão azimutes em rumos.
4.1.2 - Ângulos Goniométricos a) Ângulos horários internos e externos
É o ângulo formado entre dois alinhamentos, contado no sentido horário e variável de 0o a 360o, internamente (interno) ou externamente (externo) ao polígono (Figura 2.25).
Figura 2.25: Medição de ângulos horários internos e externos. b) Ângulos de deflexão
52
É o ângulo formado entre o prolongamento do alinhamento anterior e o alinhamento em estudo, contado para a direita ou para a esquerda e tendo sua grandeza limitada entre 0o e 180o (Figura 2.26).
Figura 2.26: Ângulos de deflexão.
4.1.3 - Azimutes Calculados Em um levantamento topográfico, geralmente determina-se o azimute inicial no primeiro alinhamento da poligonal, com objetivo de orientar o levantamento. A seguir são utilizados outros métodos para medição dos próximos ângulos, podendo ser o rumo, ângulo horário (interno ou externo) ou deflexão. Desta forma, às vezes, é necessário calcular os demais azimutes de cada alinhamento. Veja os exemplos a seguir. Exemplo 24: Seja calcular o azimute a partir do
rumo dado (Figura 2.27). Dados: AZA-B = 100o; RumoB-C = 50o SO
Solução:
AZB-C = 50o + 180o = 230o Figura 2.27: Azimute calculado a partir do rumo. Exemplo 25: Seja calcular o azimute a partir da
deflexão dada (Figura 2.28). Dados: AZA-B = 110o; DeflexãoB-C = 110o Dd
Solução: o
o
AZB-C = 110 + 110 = 220o
Figura 2.28: Azimute calculado a partir da deflexão.
53
Capítulo 2 - Planimetria
Exemplo 26: Seja calcular o azimute a partir do
ângulo horário dado (Figura 2.29). Dados: AZA-B = 100o; Ângulo HorárioB-C = 320o AZB-C = 100o + 320o - 180o = 240o
4.2 - Ângulos Verticais
Figura 2.29: Azimute calculado a partir do ângulo horário.
O ângulo vertical é definido como o ângulo formado pelo afastamento de 2 planos horizontais, considerando-se um eixo. De acordo com a origem para medição do ângulo, estes podem ser de inclinação ou zenital. A transformação entre estas grandezas às vezes é necessária, podendo ser visualizada na figura 2.30.
4.2.1 - Ângulo de Inclinação Fornece ângulo vertical entre a linha do horizonte e o alinhamento do ponto considerado (Figura 2.30).
4.2.2 - Ângulo Zenital Fornece ângulo vertical entre a linha do zênite (linha que acompanha a vertical do ponto neste local), com origem no sentido contrário ao centro de massa da terra e o alinhamento do ponto considerado (Figura 2.30).
Figura 2.30: Ângulos de inclinação e zenital.
4.3 - Magnetismo Terrestre 54
Tendo a terra propriedades de um grande magneto, as extremidades da agulha de uma bússola são atraídas por duas forças atuando em dois pontos diametralmente opostos, que são os pólos magnéticos da terra, os quais não coincidem com os pólos geográficos. A linha que une os pólos magnéticos é denominada meridiana magnética. A linha que une os pólos geográficos é denominada meridiana geográfica ou verdadeira.
O goniômetro utilizado para materializar a linha norte-sul magnética é a bússola.
4.3.1 - Declinação Magnética A declinação magnética é o ângulo formado entre o meridiano magnético e o meridiano geográfico. Com relação a posição dos meridianos, a declinação magnética pode ser (Figura 2.31): # Ocidental - Meridiano magnético à esquerda do meridiano verdadeiro; # Oriental - Meridiano magnético à direita do meridiano verdadeiro; # Nula - Coincidência entre os dois meridianos
Atualmente no Brasil, a declinação é ocidental.
Figura 2.31: Declinação magnética.
O valor da declinação magnética é variável, podendo ocorrer tanto no espaço (variações geográficas), quanto no tempo (variações diurnas, mensais, anuais e seculares), além das acidentais. Os processos de determinação da declinação magnética podem ser por métodos da Astronomia de campo; por magnetômetros e pelos mapas isogônicos e isopóricos. a) Mapas isogônicos e isopóricos # Linhas isogônicas - Linhas que possuem o mesmo valor de declinação magnética; 55
Capítulo 2 - Planimetria
# Linhas isopóricas - Linhas que possuem o mesmo valor de variação anual desta declinação.
b) Cálculo da declinação magnética Fórmula
DM = Cig + [ (A + Fa) . (Cip) ]
(20)
Onde, DM - Declinação Magnética Cig - Curva isogônica (valor interpolado) Cip - Curva Isopórica (valor interpolado) A – Diferença entre o ano de construção do mapa e do ano da observação (por ex.,1980 para 1982 = 02) Fa - Fração do ano
c) Fração do ano – Divisão por período de dias no mês
01 jan - 19 jan - 0,0
20 jul - 25 ago - 0,6
20 jan - 24 fev - 0,1
26 ago - 30 set - 0,7
25 fev - 01 abr - 0,2
01 out - 06 nov - 0,8
02 abr - 07 maio - 0,3
07 nov - 12 dez - 0,9
08 maio - 13 jun - 0,4
13 dez - 31 dez - 1,0
14 jun - 19 jul - 0,5 Exemplo 27: Calcule a declinação magnética para São Luís (MA) em 01 de julho de 1982. Solução:
DM = - 19o 45’ + [ ( 2 + 0,5 ) . ( - 5,2’ ) ] DM = - 19o 45’ - 13’ DM = - 19o 58’ (ou 19o 58’ ocidental ou 19o 58’ W)
Exemplo 28: Calcule a declinação magnética para Belo Horizonte em 31 de março de 1998 (Figura
2.32). Solução:
Isogônicas 1cm => 1o 0,4 cm => xo xo =
0,4 cm ⋅ 1o = 0,4 o 1 cm
Isopóricas 4,5cm => 1’ 2,0 cm => x’ x' =
2,0cm ⋅ 1' = 0,44' 4,5cm
56
-8’
-7’
Belo Horizonte
-14o
-15o
-16o
-17o
-18o
-19o
-20o
-21o
Figura 2.32: Simulação de cálculo da declinação para BH – Mapa de 1980.
DM = Cig + [ (A + Fa) . (Cip) ] DM = - 18,4o + [ ( 18 + 0,2 ) . ( - 7,44’ ) ] DM = - 18,4o - 135,41’ DM = - 18o 24’ - 2o 15’ 25” = -20o 39’ 25” (20o 39’ 25” W - ocidental)
Exemplo 29: Considere que o Azimute
Magnético A-B = 40o 30’ em 1980. Qual será o valor atual deste azimute magnético A-B e o valor do azimute verdadeiro (Figura 2.33).
Solução:
Az. magnético A-B (1988,4) = 40o 30’ + 2o 15’ 25” = 42o 45’ 25”
Az.verdadeiro A-B = 40o 30’ - 18o 24’ = 22o 06’ Figura 2.33: Azimute magnético e verdadeiro.
5 - Métodos de Levantamento Planimétrico 57
Capítulo 2 - Planimetria
Ao conjunto de processos e operações realizadas para obtenção de medidas no terreno (ângulos e distâncias), capazes de definir um trecho da superfície terrestre, com objetivo de representá-lo em planta, denomina-se levantamento topográfico. Segunda a NBR 13.133 (ABNT), o levantamento topográfico, em qualquer de suas finalidades, deve ter, no mínimo, as seguintes fases: a) Planejamento e seleção de métodos e aparelhagem; b) Apoio topográfico; c) Levantamento de detalhes d) Cálculos e ajustes e) Original topográfico f) Desenho topográfico final g) Relatório técnico
Quanto ao Relatório Técnico, a norma explicita que, quando do término de todo e qualquer levantamento topográfico ou serviço de topografia, deve conter, no mínimo, os seguintes tópicos: a) Objeto; b) Finalidade; c) Período de execução; d) Localização; e) Origem (Datum); g) Precisões obtidas; h) Quantidades realizadas; i) Relação de aparelhagem utilizada; j) Equipe técnica e identificação do responsável técnico; l) Documentos produzidos; m) Memórias de cálculo, destacando-se: * Planilhas de cálculo das poligonais; * Planilhas das linhas de nivelamento.
O levantamento topográfico está diretamente relacionado aos dados a serem coletados em campo e à sua representação, podendo ser:
# Planimétrico - São coletados ângulos horizontais e verticais, e distâncias horizontais, onde estes
são projetados num mesmo plano horizontal; 58
# Altimétrico - São coletados elementos para definir as diferenças de nível entre os pontos e estes
projetados num plano vertical (perfil) (Cap. 3); # Planialtimétrico - São coletados dados planimétricos e altimétricos com objetivo de representa-
los (Cap. 4). Ainda, de conformidade com as circunstâncias em que se opera no campo e seu objetivo, o levantamento pode ser classificado em: # Expedito - Uso de instrumentos de baixa precisão. Sua execução é fácil e rápida. # Comum - Uso de instrumental mais aprimorado e de métodos de medições mais rigorosos. # De precisão - Uso de instrumentos de alta precisão, propiciando maior aperfeiçoamento nas me-
dições. Tendo em vista a sistematização do estudo dos métodos de levantamento planimétrico, que são baseados em princípios matemáticos diversos e considerando a importância e precisão, estes podem ser classificados em métodos principais e secundários.
5.1 - Métodos Principais e Secundários 5.1.1 - Métodos Principais Os métodos definidos como principais estão relacionados com a maior utilização destes em campo, servindo geralmente para implantação de pontos de apoio para o levantamento topográfico, conseqüentemente, solicitando de maior rigidez e controle. Pode-se citar os seguintes métodos:
a) Triangulação
O processo de Triangulação é o método baseado numa série de interseções sucessivas ou encadeadas, onde medem-se uma única distância e todos os ângulos dos triângulos (Figura 2.34). É considerado muito preciso, e foi utilizado para densificar a rede geodésica nacional. Figura 2.34: Levantamento por triangulação. b) Caminhamento
59
Capítulo 2 - Planimetria
Consiste na medição de ângulos e distâncias resultando numa sucessão de alinhamentos. Na figura 2.35 tem-se um caminhamento, onde são avaliados os ângulos horários e as distâncias (pelo processo direto ou indireto). É o método mais utilizado para levantamento topográfico.
Figura 2.35: Levantamento por caminhamento.
c) Interseção (ângulos e distâncias)
Este processo dar-se através de interseção de ângulos ou de distâncias. É um método utilizado em situações onde se possuam apenas 03 (três) elementos de um triângulo e os outros 03 (três) a determinar; por exemplo, 02 distâncias e 01 ângulo conhecidos e os demais ângulos e distância a determinar. Geralmente é utilizado para determinação de pontos inacessíveis. # De ângulos
A posição do ponto C é definida pela medição dos ângulos a e b e pela distância do lado AB (Figura 2.36). Os elementos podem ser calculados utilizando a fórmula do somatório dos ângulos de um polígono e a lei dos senos.
Figura 2.36: Levantamento por interseção de ângulos. Somatório dos ângulos -
∑ angulos = 180
o
⋅ (n ± 2 )
(20) 60
Lei dos senos -
sen a D BC
=
sen b D AC
=
sen c
(21)
D AB
# De distâncias
A posição do ponto C é definida pela medição de dois lados e pelo ângulo formado entre estes. Seus elementos podem ser determinados pela lei dos cossenos (Figura 2.37).
Fórmula dos cossenos
2 2 2 AB = AC + BC − 2 ⋅ AC ⋅ BC ⋅ cos α
(22) Figura 2.37: Levantamento por interseção de distâncias.
5.1.2 - Métodos Secundários Os métodos definidos como secundários são aqueles no qual podem ser utilizados eventualmente durante um levantamento topográfico. Estes são aplicados geralmente para levantar os aspectos naturais e artificiais, “amarrando” estas informações à poligonal principal, na qual foi concebida através dos métodos principais. Pode-se citar:
a) Irradiação
A posição dos pontos i’s é determinada por um ângulo e uma distância a partir de um ponto da poligonal (Figura 2.38).
Figura 2.38: Levantamento por irradiação
b) Coordenadas Retangulares
61
Capítulo 2 - Planimetria
A posição do ponto P é definida por duas distâncias (abscissa “X” e ordenada “Y”) a partir de um ponto da poligonal (Figura 2.39).
Figura 2.39: Levantamento por coordenadas retangulares.
5.1.3 - Exemplo 30 – Ponto Inacessível Dado a distância da base P0-P1, e os ângulos formados a dois pontos inacessíveis A e B, considerando os métodos de interseção de lados e de distância e suas respectivas fórmulas, calcule a distância AB (Figura 2.40).
B
0 '1 °3
85 °1
80
2'3 0
"
A
45°
30" 20'
12'2
0"
2"
48°
P0
153,320
P1
Figura 2.40: Pontos inacessíveis. Solução:
1 – Cálculo das distâncias P0 A e P1A (Lei dos senos) 62
sen (P0 AP1 ) sen ( AP0 P1 ) sen ( AP1 P0 ) = = 153,320 AP1 AP0 7'28" 54°1
133,994
2 23 6, 18
0'1 °3 80 45° 12'2 0"
2"
P0
P1
153,320
2 – Cálculo das distâncias P0 B e P1B (Lei dos senos)
B sen (P0 BP1 ) sen (BP0 P1 ) sen (BP1 P0 ) = = 153,320 BP1 BP0
21
0,8 0
158,048
3
46°2 7'0"
20 48°
8
12 5°
'30
"
" '30
P0 153,320
P1
3 – Cálculo da distância A-B (Fórmula do cosseno)
63
Capítulo 2 - Planimetria
AB =
(P A) + (P B ) 2
2
0
0
− 2 ∗ P0 A ∗ P0 B * cos ( AP0 B ) = 120,700 m ou
AB =
(P A) + (P B ) 2
2
1
1
120,70
− 2 ∗ P1 A ∗ P1 B * cos ( AP1 B ) = 120,700 m B
B
0
0 120,70
A
133,994
2 23 6, 18
32 ° 9'42
158,048
21 0,8 03
A
"
P0
40°
" 0'10
P1
4 – Resumo de cálculo 120,70
B
0
A
46°2 7'0"
2
133,994
3 ,2
32° 9
6 18
21
0,8
158,048
03
7'28" 54°1
'42 " 40°
45° 12'2 0"
85
°1 2
'30
"
2" 0" 0'1 20'3 °3 48° 80
P0
"
0'10
153,320
P1
5.2 - Poligonal Topográfica 64
Uma poligonal topográfica é uma sucessão de alinhamentos topográficos. Quando tem caráter de representar o arcabouço do levantamento de uma área, esta é denominada de poligonal básica ou poligonal principal. Para materialização da poligonal principal utiliza-se dos métodos principais vistos anteriormen-
te (Item 5.1.1), sendo mais utilizado o processo por caminhamento. A partir da poligonal principal, todos os elementos naturais e artificiais no qual sejam de interesse à representação, são levantados utilizando-se de uma poligonal interna auxiliar, geralmente valendo-se dos métodos secundários (Item 5.1.2), principalmente do processo por irradiação.
Todos os pontos da poligonal topográfica (principais e secundários) são denominados de pontos topográficos. Estes pontos definem a área levantada topograficamente, podendo ser: # Naturais - São aqueles que já existem no terreno, o foram objeto de levantamento (ex.: torre de
igreja, árvores; postes, pontes, prédios, etc.); # Artificiais - São aqueles implantados ou assinalados no terreno especificamente para execução
do levantamento topográfico (piquetes, marcas de tinta, etc.). Segundo a NBR 13.133, a poligonal principal determina os pontos do apoio topográfico de primeira ordem. Uma poligonal dita de secundária é aquela que, apoiada nos vértices da poligonal principal, determina pontos do apoio topográfico de segunda ordem. Ainda, define-se por poligonal auxiliar, a poligonal que, baseada nos pontos de apoio planimétrico, têm seus vértices distribuídos na área ou faixa a ser levantada, de tal forma que seja possível coletar, direta ou indiretamente, por irradiação, interseção ou por ordenadas sobre uma linha-base, os pontos de detalhe julgados importantes, que devem ser estabelecidos pela escala ou nível de detalhamento do levantamento. Para implantação da poligonal topográfica, além dos instrumentos necessários à avaliação dos ângulos e distâncias (teodolitos e trena ou distanciômetro), são utilizados alguns acessórios como (Figura 2.41): # Piquetes - São utilizados para demarcação do ponto topográfico; # Balizas - São utilizadas para materialização vertical do ponto topográfico; # Estaca testemunha - Geralmente é colocada ao lado do piquete, para auxiliar a localização e i-
dentificação do ponto topográfico; # Marco - Tem função similar à estaca testemunha, tendo a particularidade de maior resistência às
intempéries.
Com relação ao seu desenvolvimento, a poligonal pode ainda ser classificada como poligonal aberta ou fechada (Figura 2.42).
Na poligonal aberta o ponto topográfico inicial não coincide com o final (ex.: trecho de uma estrada, trecho de um córrego, linha de transmissão de energia elétrica, sistema de esgoto, etc.).
65
Capítulo 2 - Planimetria
Na poligonal fechada o ponto topográfico inicial coincide com o final. Esta é denominada também de poligonal em “looping” (ex.: loteamento, medição de uma bacia hidrográfica, definição de uma área urbana ou rural, etc.).
Figura 2.41: Acessórios ao levantamento da poligonal topográfica.
a) Aberta
b) Fechada
Figura 2.42: Poligonal topográfica.
Exemplo 31: Na figura 2.43 observa-se uma área que foi levantada e representada em escala apro-
priada. Nesta, os pontos 00 a 09 são os pontos topográficos da poligonal principal, sendo esta desenvolvida em “looping”. O córrego e a estrada foram levantados por poligonais internas auxiliares, sendo abertas. 66
Uma lagoa localizada à direita, foi levantada pelo processo de irradiação. As dimensões da benfeitoria, à esquerda, foram levantadas e “amarradas” à estrada pelo processo de coordenadas retangulares.
Figura 2.43: Levantamento planimétrico de uma propriedade.
A NBR 13.133, considerando a aparelhagem, procedimentos, desenvolvimentos e materialização, classifica as poligonais planimétricas em 05 classes:
a) Classe I P – Adensamento da rede geodésica (Transporte de coordenadas); b) Classe II P – Apoio topográfico para projetos básicos, executivos, como executado, e obras de engenharia; c) Classe III P – Adensamento do apoio topográfico para projetos básicos, executivos, como executado, e obras de engenharia; d) Classe IV P - Adensamento do apoio topográfico para poligonais III P. Levantamentos topográficos para estudos de viabilidade em projetos de engenharia; e) Classe V P – Levantamentos topográficos para estudos expeditos. Tabela 2.5: Levantamento Planimétrico – Poligonais. Medição Classe
IP
Angular
Linear
Extensão máxima (L)
Método das direções: Três séries de leituras conjuga-
Leituras recíprocas (vante e ré) com distanciômetro eletrônico
50 km
Desenvolvimento Lado Mínimo Médio (Dmin) (Dméd) ≥ 1,5 1 km km
Número máximo de vértices 11
Materialização Marcos de concreto ou pinos
67
Capítulo 2 - Planimetria
II P
das direta e inversa, horizontal e vertical. Teodolito classe 3. Método das direções; três séries de leituras conjugadas direta e inversa, horizontal e vertical. Teodolito classe 3.
classe 2. Correção de temperatura e pressão. Leituras recíprocas (vante e ré) com distanciômetro eletrônico classe 1. Correção de temperatura e pressão.
Leituras recíprocas (vante e ré) com distanciômetro eletrônico classe 1 ou medidas com trena de III P aço aferida com correções de dilatação, tensão, catenária e redução ao horizonte. Leituras recíprocas (vante e ré) Método das direções com com distanciômetro eletrônico uma série de leituras conclasse 1 ou medidas com trena de IV P jugadas direta e inversa, aço aferida e controle taqueométrihorizontal e vertical. Teoco com leitura dos três fios ou edolito classe 2. quivalente (teodolitos autoredutores) Leitura numa só posição Observações taqueométricas (vante da luneta, horizontal e e ré) em miras centimétricas previvertical, com correções de amente aferidas, providas de nível VP colimação, PZ (ou de ínesférico com leitura dos três fios dice) com teodolito classe ou equivalente (teodolitos autore1. dutores) (P) – Poligonal principal (S) – Poligonal secundária (A) – Auxiliar Método das direções com duas séries de leituras conjugadas direta e inversa, horizontal e vertical. Teodolito classe 2.
15 km
100 m
≥ 190 m
31
Marcos de concreto ou pinos
10 km
50 m
≥ 170 m
41
Marcos de concreto ou pinos no apoio topográfico. Pinos ou piquetes nas poligonais auxiliares
07 km
30 m
≥ 160 m
41
Pinos ou piquetes
05 km (P) 02 km (S) 01 km (A)
30 m
90 m
41 (P) 21 (S) 12 (A)
Pinos ou piquetes
Fonte: NBR 13.133
Com relação às classes de teodolitos, distanciômetros (MED) e estações totais citados na tabela 2.5, segundo a mesma norma tem-se: Tabela 2.6: Classificação dos teodolitos. Classes de teodolitos
1 – Precisão baixa 2 – Precisão média 3 – Precisão alta
Desvio-padrão - Precisão angular ≤ ± 30” ≤ ± 07” ≤ ± 02”
Fonte: NBR 13.133
Tabela 2.7: Classificação dos MED. Classes de teodolitos 1 – Precisão baixa 2 – Precisão média 3 – Precisão alta D = Distância medida em km. ppm = parte por milhão.
Desvio-padrão ± (10 mm + 10 ppm x D) ± (5 mm + 5 ppm x D) ± (3 mm + 2 ppm x D) Fonte: NBR 13.133
Tabela 2.8: Classificação de estações totais. Classes de teodolitos 1 – Precisão baixa 2 – Precisão média 3 – Precisão alta
Desvio-padrão - Precisão angular ≤ ± 30” ≤ ± 07” ≤ ± 02”
Desvio-padrão ± (10 mm + 10 ppm x D) ± (5 mm + 5 ppm x D) ± (3 mm + 2 ppm x D)
Fonte: NBR 13.133
6 - Planilha de Coordenadas
68
A finalidade da coleta dos elementos naturais e artificiais através do levantamento topográfico é a construção da planta topográfica. Sendo a planta topográfica o objetivo final da topografia, os conceitos e procedimentos para sua construção merecem outra disciplina geralmente intitulada de “Desenho Topográfico”. Porém deve-se ter conhecimento até então da possibilidade de representação ou desenho desta planta,
por dois processos distintos: # Coordenadas polares, onde com auxílio de transferidor e escalímetro, transfere-se ângulos e distâncias tomados em campo; # Coordenadas retangulares, onde com auxílio de escalímetro transferem-se duas distâncias,
considerando dois eixos cartesianos.
Objetivando uma representação mais precisa do terreno, faz-se a transformação dos dados da caderneta de campo (coordenadas polares) para coordenadas retangulares. Para esta operação seguir-se-á as seguintes etapas:
1 - Calcular o fechamento angular; 2 - Calcular os azimutes de todos os alinhamentos; 3 - Calcular as coordenadas relativas não corrigidas; 4 - Calcular o erro de fechamento linear; 5 - Calcular as coordenadas relativas corrigidas; 6 - Calcular as coordenadas absolutas. 3 Atenção:
Para o cálculo das irradiações, não é necessário envolver as etapas 1, 4, 5. Estas etapas são comentadas nos próximos itens e reforçadas nos exemplos 38 e 39.
6.1 - Cálculo do Fechamento Angular Quando estamos executando uma medida, sempre estaremos sujeito a erros. A partir do erro detectado, a próxima etapa é verificar se este erro é admissível ou tolerável. Sendo o erro tolerável, faz-se a distribuição deste erro.
6.1.1 – Determinação do Erro Angular
69
Capítulo 2 - Planimetria
Para determinar o erro de fechamento angular de uma poligonal, primeiramente deve-se verificar se esta se desenvolveu de forma aberta ou fechada (Item 5.2) e o processo de medida do ângulo horizontal, ângulo horário (interno/externo) ou deflexão (Item 4.1.2).
a) Poligonal Aberta
Para calcular o erro de fechamento de uma poligonal aberta deve-se: # Conhecer o azimute inicial; # Calcular os azimutes dos lados da poligonal; # Comparar o último azimute calculado com o último azimute conhecido.
O erro será dado por: Erro = Azimute calculado - Azimute conhecido b) Poligonal Fechada
Considerando que a poligonal fechada pode ser desenvolvida através da medida dos ângulos horários ou por deflexão, tem-se # Considerado por ângulos horários (interno/externo)
O erro será detectado caso o somatório dos ângulos da poligonal não for igual a:
∑ angulos = 180
o
⋅ (n ± 2 )
onde n - representa o número de lados da poligonal; e o sinal ± significa: + ângulo horário externo; - ângulo horário interno.
Exemplo 32: Seja a poligonal fechada, desenvolvida por ângulos horários internos e sua respectiva
caderneta de campo (Figura 2.44). Calcule o erro de fechamento angular.
Caderneta de Campo Estação Ponto Visado Ângulos 1 2 70o 20’ 2 3 192o 03’ 3 4 71o 34’ 4 5 95o 43’ 5 1 110o 23’ Soma 540o 03’
Distâncias 100,00 90,00 150,00 76,00 80,00
70
Figura 2.44: Erro de fechamento angular I.
Solução:
∑ angulos = 180
o
o o ⋅ (n ± 2 ) = 180 . (5 - 2) = 180 . 3 = 540 o
erro = 540o 03’ - 540o = + 03’ (erro por excesso !) # Considerado por deflexão
O erro será detectado caso a igualdade abaixo não ser verdadeira:
∑ Deflexao direita − ∑ Deflexao esquerda
= 360o
Exemplo 33: Seja a poligonal fechada, desenvolvida por deflexão e sua respectiva caderneta de
campo (Figura 2.45). Calcule o erro de fechamento angular.
Caderneta de Campo Deflexão Estação Ponto Visado Direita Esquerda 1 2 100o 30’ o 2 3 10 43’ o 3 4 120 34’ 4 5 74o 15’ 5 1 75o 20’ Soma 10o 43’ 370o 39’
Distâncias
100,00 90,00 150,00 76,00 80,00
71
Capítulo 2 - Planimetria
Figura 2.45: Erro de fechamento angular II.
Solução:
∑ Deflexao direita − ∑ Deflexao esquerda
= 360 o
10 o 43'−370 o 39' = 359 o 56' erro = 359o 56’ - 360o = - 04’ (erro por falta !)
6.1.2 – Tolerância do Erro Angular Visto a forma de detecção do erro de fechamento angular, deve-se agora analisá-lo. Para estabelecer a validade de um levantamento topográfico, deve-se ter parâmetros de comparação para aceitação ou rejeição deste levantamento. Desta forma, inúmeras regras e fórmulas são aplicadas, inclusive algumas basea-
das em fórmulas empíricas e outras nos conceitos do Ajustamento de Observações (Cap. 8). Uma referência para validar um levantamento topográfico pode ser consultada na NBR 13.133.
Para aplicações em geral, pode-se utilizar a seguinte relação:
Tolerância = b ⋅ n
onde b => Depende das diferentes classes de poligonais (Tabela 2.5); n => Número de vértices da poligonal. Tabela 2.9: Classe x Coeficiente b. 72
Classe de poligonais IP II P III P IV P VP
Coeficiente (b) 6” 15” 20” 40” 180”
Fonte: NBR 13.133
Exemplo 34: Baseado nos exemplos 32 e 33, considerando os dados abaixo, calcule a tolerância
angular. Dados: b = 2’; n = 5. Solução: Tolerancia = b ⋅ n Tolerancia = 2'⋅ 5 = 4,47' = 4'28' '
Logo, os dois exemplos podem ser considerados dentro da tolerância.
6.1.3 – Distribuição do Erro Angular Considerando que o erro angular cometido no levantamento foi menor que a tolerância estipulada inicialmente, a próxima etapa será a distribuição deste erro.
Considerando que a possibilidade de cometimento de erro na medida de qualquer ângulo é a mesma, já que são medidas com o mesmo instrumento e nas mesmas condições, a correção será dada pela divisão do erro angular pelo número total de lados da poligonal. correção =
Erro angular Numero de lados
Deve-se atentar que a correção possui sinal contrário ao erro cometido
Exemplo 35: Baseado no exemplo 32, distribua o erro angular. Solução:
O erro angular foi detectado por:
∑ angulos = 180
o
o o ⋅ ( n ± 2) = 180 . 3 = 540 , ou seja,
erro = 540o 03’ - 540o - = 03’ (erro por excesso)
73
Capítulo 2 - Planimetria
Como o erro foi por excesso, ou seja ultrapassou o esperado em 3’, o sinal da correção deve ser negativo.
correção =
Erro angular
=
Numero de lados
− 3' = − 0,6' = − 36" para cada alinhamento 5
Caderneta de Campo Est/P.V. 1-2 2-3 3-4 4-5 5-1 Soma
Ângulos horários lidos 70o 20’ 192o 03’ 71o 34’ 95o 43’ 110o 23’ 540o 03’
Correção - 36” - 36” - 36” - 36” - 36” - 3’
Ângulos horários corrigidos 70o 19’ 24” 192o 02’ 24” 71o 33’ 24” 95o 42’ 24” 110o 22’ 24” 540o 00’ 00”
Distância 100,000 90,000 150,000 76,000 80,000
6.2 - Cálculo de Azimutes Sabendo que o levantamento pode utilizar-se de ângulos horários ou por deflexão tem-se:
a) Considerando ângulos por deflexão
O cálculo do azimute em função dos ângulos por deflexão obtidos em campo, pode ser dado por: Azimute calculado = Azimute anterior ± Deflexão sendo
+ ) se deflexão à direita; - ) se deflexão à esquerda.
Exemplo 36: Dado a caderneta de campo abaixo, calcule os azimutes (Figura 2.46).
Solução: o
o
AZB-C = AZA-B + Dd = 100 + 120 = 220
o
AZC-D = AZB-C - De = 220o + 110o = 110o
Alinhamentos A-B B-C C-D
Caderneta de Campo Azimute lido Deflexão 100o 120o D 110o E
Azimute calculado
220o 110o
74
Figura 2.46: Cálculo de azimutes I.
b) Considerando ângulos horários
Os azimutes calculados serão dados pela seguinte expressão: Azimute calculado = (Azimute anterior + ângulo horário) ± 180o (ou - 540o) sendo
+ 180o ) se a soma entre parêntesis for inferior a 180o - 180o ) se a soma entre parêntesis for superior a 180o e inferior a 540o - 540o ) se a soma entre parêntesis for superior a 540o
Exemplo 37: Dado a caderneta de campo abaixo, calcule os azimutes (Figura 2.47). Solução: o
o
AZB-C = AZA-B + âng. hor. = 100 + 300 = 400o (540o > soma > 180o logo “ - 180o ”) = 400o - 180o = 220o AzC-D = Az-BC + âng. hor. = 220o + 70o = 290o (540o > soma > 180o logo “ - 180o ”) = 290o - 180o = 110o
Caderneta de Campo Alinhamentos A-B B-C C-D
Azimute lido 100o
Ângulo horário
Azimute calculado
300o 70o
220o 110o
75
Capítulo 2 - Planimetria
Figura 2.47: Cálculo de azimutes II.
6.3 - Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas O cálculo das coordenadas relativas ou parciais relaciona os ângulos corrigidos e distâncias medidas em campo. Considerando que o levantamento topográfico está orientado com relação ao norte magnético ou ao norte verdadeiro, impõe-se que esta direção coincida com o eixo das ordenadas Y. O eixo da abscissa X forma 90o com este primeiro, perfazendo o par de eixos cartesianos. Desta forma utiliza-se da trigonometria para calcular as coordenadas relativas, pelas seguintes relações: xA-B = DA-B . sen AzimuteA-B - (abscissa relativa) yA-B = DA-B . cos AzimuteA-B - (ordenada relativa)
Os sinais das coordenadas relativas devem ser considerados e estarão diretamente relacionados com o quadrante em que pertence o ponto topográfico. Pela figura 2.48 observa-se que o sinal de abscissa positiva (x +) está no sentido a leste (azimute é menor que 180o ou rumo em NE e SE). Tem-se para o sinal de abscissa negativa (x -), os valores no sentido oeste (azimute é menor que ou rumo em SO e NO).
Para as ordenadas, os valores positivos estão no sentido norte (azimute maior que 270o e menor que 90o ou rumo em NO e NE). As ordenadas negativas estão no sentido sul (azimute entre 90o e 270o ou rumo em SE e SO) (Figura 2.48).
76
Figura 2.48: Cálculo das coordenadas relativas I.
Exemplo 38: Dado a figura 2.49, calcule as coordenadas relativas.
Solução:
xA-B = DA-B . sen AZA-B = 100 . sen 45o 35’= + 71,427 m yA-B = DA-B . AZA-B - = 100 .cos 45o 35’ = + 69,987 m xB-C = DB-C . sen AZB-C = 85 . sen (180o - 50o 43’) = + 65,792 m yB-C = DB-C . cos AZB-C = 85 . cos (180o - 50o 43’) = - 53,818 m
Figura 2.49: Cálculo das coordenadas relativas II.
77
Capítulo 2 - Planimetria
6.4 - Cálculo do Fechamento Linear 6.4.1 – Determinação do Erro Linear O cálculo do erro de fechamento linear é dado pelas seguintes expressões: El = ex 2 + ey 2
ex = ∑ x (+) + ∑ x (−) ey = ∑ y(+) + ∑ y(−)
onde El - Erro total absoluto de fechamento linear; ex - Erro de fechamento nas abscissas; ey - Erro de fechamento nas ordenadas.
O erro relativo será dado por: Er =
El L
onde Er - Erro relativo;
L - Perímetro em metros;
El - Erro total absoluto de fechamento linear; O cálculo do erro relativo já pode ser uma indicação da precisão do levantamento, por exemplo, se o erro relativo é igual a 1/10.000 (Er = 1/10.000), tem-se um erro de 1m para 10 km, ou 1cm para 100 m; precisão razoável para várias aplicações da Agrimensura.
6.4.2 – Tolerância do Erro Linear Como comentado anteriormente, ao cometer um erro, deve-se analisar se este é tolerável. A tolerância, segundo a NBR 13.133, para poligonais do Tipo 1, pode ser definida como:
T = d ⋅ L (km)
onde d – Coeficiente que expressa a tolerância para o erro de fechamento linear em m/km de desenvolvimento poligonal, e depende do tipo de poligonal (Tabela 2.5); e L, é o perímetro medido, expresso em quilômetros.
78
Tabela 2.10: Classe x Coeficiente d. Classe de poligonais IP II P III P IV P VP I PRC II PRC
Coeficiente d (m) 0,10 0,30 0,42 0,56 2,20 0,07 0,30
Fonte: NBR 13.133
6.5 - Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas Para cálculo da correção das coordenadas relativas, existem dois processos usualmente empregados: # Processo 1 - Proporcional às Distâncias
Os erros são distribuídos proporcionalmente às distâncias medidas em campo, e seguirá a seguinte sequência de cálculo:
a) Achar os fatores em x e em y.
fatorx =
ex P
;
fatory =
ey P
sendo P o perímetro em metros.
b) Achar a correção em x e em y, multiplicando o fator pelas distâncias.
Correção x1-2 = fatorx . dist1-2;
Correção y1-2 = fatory . dist1-2
# Processo 2 - Proporcional às Coordenadas Relativas
Os erros são distribuídos proporcionalmente às coordenadas relativas calculadas, e seguirá a seguinte seqüência de cálculo:
79
Capítulo 2 - Planimetria
a) Achar os fatores em x e em y. fatorx =
ex
∑x
;
fatory =
ey
∑y
∑ x => somar todos os valores de abscissas;
∑ y => somar todos os valores de ordenadas.
b) Achar a correção em x e em y, multiplicando o fator pelas coordenadas relativas. Correção x1-2 = fatorx . x1-2;
Correção y1-2 = fatory . y1-2
Deve-se atentar para que toda correção deva ter sinal contrário ao erro linear cometido, para cumprir seu objetivo. A coordenada relativa corrigida será dada pela coordenada relativa com erro mais ou menos a correção: Coord. relativa corrigida = Cood. rel. com erro ± correção Para levantamentos topográficos de áreas não muito extensas, e sua precisão angular for semelhante à linear utiliza-se do método 1. Quando no levantamento usa-se precisão angular superior à linear, o método 2 é mais indicado. Estes dois métodos são demonstrados nos exemplo 39 e 40.
6.6 - Cálculo das Coordenadas Absolutas Finalmente deve-se determinar as coordenadas absolutas, ou seja, aquelas que realmente servirão à construção da planta topográfica. Para que o polígono se situe no primeiro quadrante (NE), atribui-se no ponto de partida, valores arbitrários positivos. Outra opção é adotar as coordenadas UTM para este ponto de partida, sendo esta a escolha mais ideal. As coordenadas absolutas serão dadas pelas seguintes expressões:
Xn = Xn - 1 + x
Yn = Yn - 1 + y
Estes cálculos são demonstrados nos exemplos 39 e 40.
80
6.7 – Exemplos de Cálculo de Planilha de Coordenadas A seguir serão apresentados 2 exemplos de cálculo de planilha de coordenadas, contemplando os itens vistos acima (itens 6.1 a 6.6). Deve-se acompanhar cada etapa de cálculo com o embasamento teórico visto anteriormente, e principalmente o cálculo das irradiações. Segue ainda um desenho das respectivas cadernetas de campo para esclarecimento dos cálculos. No cálculo da correção linear (Item 6.5) foi utilizado o processo 1 no exemplo 39 e os dois processos, para comparação, no exemplo 40.
6.7.1 - Exemplo 39 Elaborada uma poligonal topográfica da classe V P (Tabela 2.5), com sua caderneta de campo e o croqui da área a seguir (Figura 2.50), pede-se:
1 - Cálculo do Fechamento Angular 2 - Cálculo de Azimutes 3 - Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas 4 - Cálculo do Fechamento Linear 5 - Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas 6 - Cálculo das Coordenadas Absolutas
Valores para definição das tolerâncias: Angular => b = 180” = 3’ (Tabela 2.9) Linear => d = 2,20 m (Tabela 2.10)
Obs.: Na caderneta, todos os valores em fonte normal são dados de campo e em negrito foram calculados.
81
82
Planilha de Cálculo de Coordenadas Est. 0-1 1-2 1-a 2-0 Σ
Deflexão Lida Corr. 120o 02’ E - 1’ 120o 03’ E - 1’ 40o 45’ E 119o 58’ E - 1’ 360o 03’
Corrigida 120o 01’ E 120o 02’ E 40o 45’ E 119o 57’ E 360o 00’
Azimutes
Distâncias
150o 00’ (lido) 29o 58’ 109o 15’ 270o 01’
20,100 20,050 10,000 20,000 60,150
Coordenadas Parciais não Corrigidas (m) x = D .sen AZ y = D .cos AZ + 10,050 - 17,407 + 10,015 + 17,370 + 9,441 - 3,297 - 20,000 + 0,006 + 0,065
- 0,031
Correções (m) Cx Cy - 0,022 + 0,010 - 0,022 + 0,010 - 0,021 + 0,011 - 0,065
+ 0,031
Coordenadas Parciais Corrigidas (m) x y + 10,028 - 17,397 + 9,993 + 17,380 + 9,441 - 3,297 - 20,021 + 0,017 0,000
Coordenadas Totais (metros) X Y 100,000 100,000 110,028 82,603 119,469 79,306 120,021 99,983
0,000
Figura 2.50: Poligonal topográfica I. 82
Solução:
1 - Cálculo do Fechamento Angular a) Cálculo do erro angular
∑ Deflexão direita − ∑ Deflexão esquerda
= 360o
0 − 360o 03' = 360o 03'∴360o 03'− 360o = +03'
Erro de 3’ por excesso.
b) Cálculo da tolerância angular Tolerância = b ⋅ n
Considerando: b = 3’ e n = 3, têm-se: Tolerância = 3'⋅ 3 = 5,196' ≅ 5' 12' '
Erro (3’) < Tolerância (5’ 12”) - Dentro da tolerância !
c) Cálculo da correção angular
correção =
Erro angular Número de lados
=
− 3' = − 1' para cada lado . 3
Observe que a irradiação não sofreu correção.
2 - Cálculo de Azimutes Azimute calculado = Azimute anterior ± Deflexão Como a deflexão é a esquerda tem-se: Azimute calculado = Azimute anterior - Deflexão AZ0-1 = 150o 00’(Este é obtido em campo, sem possibilidade de alteração) AZ1-2 = AZ0-1 - De = 150o - 120o 02’ = 29o 58’ AZ2-0 = AZ1-2 - De = 29o 58’ - 119o 57’ = - 89o 59’ (não podendo ficar negativo, soma-se 360o) - 89o 59’ + 360o = 270o 01’ AZ0-1= AZ2-0 - De = 270o 01’ - 120o 01’ = 150o 00’ Irradiação: AZ1-a = AZ0-1 - De = 150o - 40o 45’ = 109o 15’ (Observe que o anterior é o AZ0-1)
3 - Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas 83
Capítulo 2 - Planimetria
xA-B = DA-B . sen AzimuteA-B (abscissa relativa) yA-B = DA-B . cos AzimuteA-B (ordenada relativa) x0-1 = D0-1 . sen AZ0-1 = 20,100 . sen 150o 00’= + 10,050 m x1-2 = D1-2 . sen AZ1-2 = 20,050 . sen 29o 58’ = + 10,015 m x2-0 = D2-0 . sen AZ2-0 = 20,000 . sen 270o 01’ = - 20,000 m y0-1 = D0-1 . cos AZ0-1 = 20,100 . cos 150o 00’= - 17,407 m y1-2 = D1-2 . cos AZ1-2 = 20,050 . cos 29o 58’ = + 17,370 m y2-0 = D2-0 . cos AZ2-0 = 20,000 . cos 270o 01’ = + 0,006 m
Irradiação: x1-a = D1-a . sen AZ1-a = 10,000 . sen 109o 15’ = + 9,441 m y1-a = D1-a . cos AZ1-a = 10,000 . cos 109o 15’ = - 3,297 m
4 - Cálculo do Fechamento Linear a) Cálculo do erro linear
El = ex 2 + ey 2 ex = ∑ x ( + ) + ∑ x ( −) = (10,050 + 10,015) + (- 20,000) = + 0,065 m ey = ∑ y( + ) + ∑ y( −) = (17,370 + 0,006) + (- 17,407) = - 0,031 m El = 0,065 2 + (− 0,031) = 0,072m 2
b) Cálculo da tolerância linear T = d ⋅ L (km)
Considerando d = 2,20 m (Tabela 2.10) e L = 0,0601 (soma dos lados em quilômetros) tem-se: T = 2,20 ⋅ 0,0601 = 0,539 m
Erro (0,072 m) < Tolerância (0,539 m) => Dentro da tolerância ! c) Cálculo do erro relativo linear
O erro relativo é dado por: 84
Er =
El 0,072 1 1 = = ≅ L 60,15 835 800
sendo El e L em metros.
ou seja, projeta um erro de 1 cm a cada 8,000 m, sendo uma precisão ruim para algumas aplicações da Agrimensura.
5 - Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas Será utilizado o processo 1 (proporcional às distâncias), por ser uma poligonal pequena.
a) Cálculo dos fatores em x e em y.
fatorx = fatory =
ex P
ey P
=
− 0.065 = − 1,08063 x 10 −3 60,150
=
+ 0,031 = + 5,15378 x 10 −4 60,150
sendo P o perímetro em metros.
b) Cálculo da correção em x e em y
Deve-se observar que o sinal da correção deve ser contrário ao do erro.
Correção x1-2 = fatorx . dist1-2; Correção y1-2 = fatory . dist1-2 Corr x0-1 = fatorx . dist0-1 = - 1,08063 x 10-3 . 20,100 = - 0,022 m Corr x1-2 = fatorx . dist1-2 = - 1,08063 x 10-3 . 20,050 = - 0,022 m Corr x2-0 = fatorx . dist2-0 = - 1,08063 x 10-3 . 20,000 = - 0,021 m Corr y0-1 = fatory . dist0-1 = + 5,15378 x 10-4 . 20,100 = + 0,010 m Corr y1-2 = fatory . dist1-2 = - 1,08063 x 10-3 . 20,050 = + 0,010 m Corr y2-0 = fatory . dist2-0 = - 1,08063 x 10-3 . 20,000 = + 0,011 m
A irradiação não sofre correção.
c) Coordenada relativa corrigida
Basta somar a correção à coordenada relativa não corrigida: 85
Capítulo 2 - Planimetria
x1-2(corrigida) = x1-2(erro) + Corr x1-2 = + 10,050 - 0,022 = + 10,028 m ................................................................................................
y1-2(corrigida) = y1-2(erro) + Corr y1-2 = - 17,407 + 0,010 = + 17,397 m ................................................................................................
Obs.: O restante dos cálculos está na caderneta.
6 - Cálculo das Coordenadas Absolutas Para determinação das coordenadas absolutas, adotou-se valores para as coordenadas X e Y iniciais (ponto 0). X0 = 100,000 m; Y0 = 100,000 m
X1 = X0 + x0-1 = 100,000 + 10,028 = 110,028 m X2= X1+ x1-2= 110,028 + 9,993 = 120,021 m X0 = X2+ x2-0= 120,021 + ( - 20,021) = 100,000 m
Y1 = Y0 + y0-1 = 100,000 + ( - 17,397) = 82,603 m Y2= Y1+ y1-2= 82,603 + 17,380 = 99,983 m Y0 = Y2+ y2-0= 99,983 + 0,017 = 100,000 m
Irradiação: Xa = X1 + x1-a = 110,028 + 9,441 = 119,469 m Ya = Y1 + y1-a = 82,603 + ( - 3,297) = 79,306 m
6.7.2 - Exemplo 40
86
Elaborada uma poligonal topográfica da classe IV P (Tabela 2.5), com sua caderneta de campo e o croqui da área a seguir (Figura 2.51), pede-se:
1 - Cálculo do Fechamento Angular 2 - Cálculo de Azimutes 3 - Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas 4 - Cálculo do Fechamento Linear 5 - Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas 6 - Cálculo das Coordenadas Absolutas
Valores para definição das tolerâncias: Angular => b = 40” (Tabela 2.9); Linear => d = 0,56 m (Tabela 2.10).
Obs.: Na caderneta, todos os valores em fonte normal são dados de campo e em negrito foram calculados.
Figura 2.51: Poligonal topográfica II.
87
88
Capítulo 2 - Planimetria
Planilha de Cálculo de Coordenadas
Ângulo horário
Est.
Azimutes
Dist. (m)
Coordenadas Parciais (m)
Correções (m)
Coordenadas Parciais Corr. (m) x y
Coordenadas Totais (metros) X Y
x = D .sen AZ
x = D .cos AZ
Cx1
Cy1
Cx2
Cy2
411,340
+ 356,231
+ 205,670
+ 0,055
+ 0,039
+ 0,075
+ 0,035
+ 356,286
+ 205,709
1.000,000
1.000,000
110o 45’ 25”
339,230
+ 317,211
- 120,225
+ 0,045
+ 0,032
+ 0,067
+ 0,020
+ 317,256
- 120,193
1.356,286
1.205,709
65o 15’ 35”
356o 01’ 00”
408,500
- 28,377
+ 407,513
+ 0,054
+ 0,039
+ 0,006
+ 0,069
- 28,323
+ 407,552
1.673,542
1.085,516
-
90o 30’ 00”
21o 15’ 25”
100,300
+ 36,364
+ 93,476
-
-
-
-
+ 36,364
+ 93,476
1.709,906
1.178,992
88o 12’ 40”
- 05”
88o 12’ 35”
264o 13’ 35”
530,330
- 527,640
- 53,350
+ 0,070
+ 0,051
+ 0,111
+ 0,009
- 527,570
- 53,299
1.645,219
1.493,068
3-i2
70o 20’ 00”
-
70o 20’ 00”
246o 21’ 00”
100,200
- 91,785
- 40,195
-
-
-
-
- 91,785
- 40,195
1.553,434
1.452,873
3-i3
100o 40’ 00”
-
100o 40’ 00”
276o 41’ 00”
90,100
- 89,488
+ 10,486
-
-
-
-
- 89,488
+ 10,486
1.555,731
1.503,554
4-5
126o 10’ 30”
- 05”
126o 10’ 25”
210o 24’ 00”
252,450
- 127,748
- 217,742
+ 0,033
+ 0,024
+ 0,027
+ 0,037
- 127,715
- 217,718
1.117,649
1.439,769
5-0
147o 00’ 50”
- 05”
147o 00’ 45”
177o 24’ 45”
222,300
+ 10,036
- 222,073
+ 0,030
+ 0,022
+ 0,001
+ 0,037
+ 10,066
- 222,051
989,934
1.222,051
1.000,000
1.000,000
Lido
Corr.
Corrigido
0-1
62o 35’ 20”
- 05”
62o 35’ 15”
60o 00’ 00”
1-2
230o 45’ 30”
- 05”
230o 45’ 25”
2-3
65o 15’ 40”
- 05”
2-i1
90o 30’ 00”
3-4
Σ
720o 00’ 30”
720o 00’ 00”
2.164,150
- 0,287
- 0,207
+ 0,287
+ 0,207
+ 0,287
+ 0,207
0,000
0,000
88
Solução:
1 - Cálculo do Fechamento Angular a) Cálculo do erro angular
∑ ângulos = 180
⋅ (n ± 2) ; Sendo n = 6 e ângulos horários internos tem-se:
o
∑ ângulos = 180
o
∑ ângulos = 720
o
⋅ (6 − 2) = 720 o 00'30"∴720 o 00'30"−720 o = +0 o 00'30"
ou seja, erro de 30” por excesso.
b) Cálculo da tolerância angular Tolerância = b ⋅ n
Considerando: b = 40’’ e n = 6, tem-se: Tolerância = 40' '⋅ 6 = 97,979' ' ≅ 1' 38' '
Erro (30’’) < Tolerância (1’ 38”) => Dentro da tolerância !
c) Distribuição do erro angular
correção =
Erro angular Número de lados
=
− 30' ' = − 5' ' para cada lado 6
Observe que a irradiação não sofreu correção.
2 - Cálculo de Azimutes Azimute calculado = (Azimute anterior + ângulo horário) ± 180o (ou - 540o) Resumo Se (soma < 180o) Se (540o > soma > 180o) Se (soma > 540o)
) (soma + 180o) ) (soma - 180o) ) (soma - 540o)
AZ0-1 = 60o 00’ 00”(Este é obtido em campo, sem possibilidade de alteração) AZ1-2 = (AZ0-1 + Ang. hor.1-2) = 60o 00’ 00” + 230o 45’ 25” = = 290o 45’ 25” - 180o = 110o 45’ 25” AZ2-3 = (AZ1-2 + Ang. hor.2-3) = 110o 45’ 25” + 65o 15’ 35” = = 176o 01’ 00” + 180o = 356o 01’ 00”
89
Capítulo 2 - Planimetria
AZ3-4 = (AZ2-3 + Ang. hor.3-4) = 356o 01’ 00” + 88o 12’ 35” = = 444o 13’ 35” - 180o = 264o 13’ 35” AZ4-5 = (AZ3-4 + Ang. hor.4-5) = 264o 13’ 35” + 126o 10’ 25” = = 390o 24’ 00” - 180o = 210o 24’ 00” AZ5-0 = (AZ4-5 + Ang. hor.5-0) = 210o 24’ 00” + 147o 00’ 45” = = 357o 24’ 45” - 180o = 177o 24’ 45” AZ0-1 = (AZ5-0 + Ang. hor.0-1) = 177o 24’ 45” + 62o 35’ 15” = = 240o 00’ 00” - 180o = 60o 00’ 00” Irradiações: AZ2-i1 = (AZ1-2 + Ang. hor.2-i1) = 110o 45’ 25” + 90o 30’ 00” = = 201o 15’ 25” - 180o = 21o 15’ 25” AZ3-i2 = (AZ2-3 + Ang. hor.3-i2) = 356o 01’ 00” + 70o 20’ 00” = = 426o 21’ 00” - 180o = 246o 21’ 00” AZ3-i3 = (AZ2-3 + Ang. hor.3-i3) = 356o 01’ 00” + 100o 40’ 00” = = 456o 41’ 00” - 180o = 276o 41’ 00”
3 - Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas Obs.: Serão feitos apenas alguns cálculos demonstrativos, sendo o restante a cargo do leitor. Os resultados constam da caderneta de cálculo. xA-B = DA-B . sen AzimuteA-B (abscissa relativa) yA-B = DA-B . cos AzimuteA-B (ordenada relativa) x0-1 = D0-1 . sen AZ0-1 = 411,340 . sen 60o 00’ 00” = + 356,231 m x1-2 = D1-2 . sen AZ1-2 = 339,230 . sen 110o 45’ 25” = + 317,211 m ...................................................................................................... x5-0 = D5-0 . sen AZ5-0 = 222,300. sen 177o 24’ 45” = + 10,036 m y0-1 = D0-1 . cos AZ0-1 = 411,340 . cos 60o 00’ 00” = + 205,670 m y1-2 = D1-2 . cos AZ1-2 = 339,230 . cos 110o 45’ 25” = - 120,240 m ...................................................................................................... y5-0 = D5-0 . cos AZ5-0 = 222,300. cos 177o 24’ 45” = - 222,073 m Irradiação: x2-i1 = D2-i1 . sen AZ2-i1 = 100,300 . sen 21o 15’ 25” = + 36,364 m y2-i1 = D2-i1 . cos AZ2-i1 = 100,300 . cos 21o 15’ 25” = + 93,476 m
4 - Cálculo do Fechamento Linear 90
a) Cálculo do erro linear El = ex 2 + ey 2 ex = ∑ x ( + ) + ∑ x ( −) = (683,478) + ( - 683,765) = - 0,287 m ey = ∑ y ( + ) + ∑ y ( − ) = (613,183) + ( - 613,390) = - 0,207 m El =
(− 0,287 )2 + (− 0,207 )2
= 0,125 = 0,354m
b) Cálculo da tolerância linear T = d ⋅ L (km)
Considerando d = 0,56 m e L = 2,16415 (em quilômetros) tem-se: T = 0,56 ⋅ 2,16415 = 0,824 m
Erro (0,354 m) < Tolerância (0,824 m) => Dentro da tolerância !
c) Cálculo do erro relativo linear
Er =
El 0,354 1 1 = = ≅ L 2.164,150 6.113,418 6.000
ou seja, projeta um erro de 1 cm a aproximadamente 60 m, sendo uma precisão boa para algumas aplicações da Agrimensura.
5 - Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas Serão utilizados os dois processos (proporcional às distâncias e às coordenadas relativas), apenas para exercitá-los. Serão feitos apenas alguns cálculos demonstrativos, sendo o restante a cargo do leitor. Os resultados constam da caderneta de cálculo.
Processo 1 - Proporcional às distâncias a) Cálculo dos fatores em x e em y.
fatorx =
fatory =
ex P
ey P
=
+ 0,287 = + 1,32615 x 10 −4 2.164,150
=
+ 0,207 = + 9,56496 x 10 −5 2.164,150
sendo P o perímetro em metros. 91
Capítulo 2 - Planimetria
b) Cálculo da correção em x e em y
Deve-se observar que o sinal da correção deve ser contrário ao do erro.
Correção x1-2 = fatorx . dist1-2; Correção y1-2 = fatory . dist1-2 Corr x0-1 = fatorx . dist0-1 = + 1,32615 x 10-4 . 411,340 = + 0,055 m .................................................................................................... Corr x5-0 = fatorx . dist5-0 = + 1,32615 x 10-4 . 222,300 = + 0,029 m Corr y0-1 = fatory . dist0-1 = + 9,56495 x 10-5 . 411,340 = + 0,039 m .................................................................................................... Corr y5-0 = fatory . dist5-0 = + 9,56495 x 10-5. 222,300 = + 0,021 m
Processo 2 - Proporcional às coordenadas relativas. a) Cálculo dos fatores em x e em y.
fatorx =
fatory =
ex
∑x ey
∑y
=
+0,287 = + 2,09911x10 − 4 1.367,243
=
+0,207 = +1,68763x10 − 4 1.226,573
b) Cálculo da correção em x e em y
Deve-se observar que o sinal da correção deve ser contrário ao do erro. Correção x1-2 = fatorx . x1-2;
Correção y1-2 = fatory . y1-2
Corr x0-1 = fatorx . x0-1 = + 2,09911 x 10-4 . 356,231 = + 0,075 m .................................................................................................... Corr x5-0 = fatorx . x5-0 = + 2,09911 x 10-4 . 10,036 = + 0,002 m Corr y0-1 = fatory . y0-1 = + 1,68763 x 10-4 . 205,670 = + 0,035 m .................................................................................................... Corr y5-0 = fatory . y5-0 = + 1,68763 x 10-5. 222,073 = + 0,037 m Finalmente, as coordenadas relativas corrigidas serão dadas pela coordenada relativa não corrigida mais ou menos a correção (Obs.: Neste exemplo, utilizaram-se apenas as correções calculadas pelo processo 1). x1-2(corrigida) = x1-2(erro) + Corr x1-2 = + 356,231 - 0,055 = + 356,286 m 92
................................................................................................ x5-0(corrigida) = x5-0(erro) + Corr x5-0 = + 10,036 + 0,030 = + 10,066 m
y1-2(corrigida) = y1-2(erro) + Corr y1-2 = + 205,670 + 0,039 = + 205,709 m ................................................................................................ y5-0(corrigida) = y5-0(erro) + Corr y5-0 = - 222,073 + 0,022 = - 222,051 m
Obs.: As irradiações não sofrem correção. O restante dos cálculos está na caderneta.
6 - Cálculo das Coordenadas Absolutas Para determinação das coordenadas absolutas, adotou-se valores para as coordenadas X e Y iniciais (ponto 0). X0 = 1.000,000 m Y0 = 1.000,000 m X1 = X0 + x0-1 = 1.000,000 + 356,286 = 1.356,286 m X2= X1+ x1-2= 1.356,286 + 317,256 = 1.673,542 m ................................................................................. X0 = X5+ x5-0= 989,934 - 10,066 = 1.000,000 m
Y1 = Y0 + y0-1 = 1.000,000 + 205,709 = 1.205,709 m Y2= Y1+ y1-2= 1.205,709 - 120,193 = 1.085,516 m ................................................................................. Y0 = Y5+ y5-0= 1.222,051 - 222,051 = 1.000,000 m
Irradiação: Xi1 = X2 + x2-i1 = 1.673,542 + 36,364 = 1.709,906 m ................................................................................. Yi1 = Y2 + y2-i1 = 1.085,516 + 93,476 = 1.178,992 m .................................................................................
7 - Cálculo de Áreas Planas A medição da área plana de uma localidade é importante para a maioria dos problemas de engenharia, principalmente quando envolvam estudos de custos. 93
Capítulo 2 - Planimetria
Os cálculos para quantificar as áreas são relativamente simples, porém um custo muito alto quando realizado manualmente. A utilização de computadores considerando o método analítico, agiliza o cálculo de áreas. Entre alguns exemplos de aplicação do conhecimento da área plana, pode-se citar: # Construção de loteamentos - Dimensionamento de lotes, cálculo de impostos, titulação de terras; # Construção de barragens - Medição de áreas a serem desapropriadas, medição da bacia hidrográ-
fica, avaliação da capacidade do reservatório, dimensionamento da barragem; # Construção de portos - Previsão do tempo entre dragagens do canal, pagamento dos serviços de
draga; # Construção de túneis e minas - Avaliação de jazidas, análise de custo de transporte de material; # Construção de estradas - Medição de áreas a serem desapropriadas, estimativas de material para
construção de cortes e aterros, análise de custos para transporte de material de corte e aterro, previsão de tempo para execução da obra em função da quantidade e tipo de material a ser retirado ou depositado.
Entre os métodos para cálculo de áreas, cita-se 5 tipos: # Métodos gráficos - Método de Garceau e Método de Collignon; # Métodos analíticos - Coordenadas polares, Fórmula do trapézio, Fórmula de Gauss; # Métodos de decomposição - Decomposição em polígonos, Decomposição em triângulos e Fór-
mulas para lados curvos; # Métodos mecânicos - Planímetro polar; # Métodos de comparação - Quadrícula.
São discutidos a seguir o método analítico pela fórmula de Gauss, o método de decomposição em polígonos e o método de comparação por quadrículas.
7.1 - Método Analítico pela Fórmula de Gauss É possível o cálculo por processo analítico da área de uma poligonal conhecendo as coordenadas relativas e absolutas dos vértices.
Para isto, aplica-se a fórmula de Gauss para cálculo de áreas, baseado na fórmula do trapézio. Este é considerado o método mais preciso para cálculo de áreas de poligonais topográficas.
94
Considerando a figura a lado (Figura 2.52), o polígono ABC e suas projeções relativas e absolutas segundo os eixos x e y, tem-se que a área do polígono pode ser avaliada como (Figura 2.53):
Área MABNM + Área NBCPN - Área MACPM = Área do polígono Figura 2.52: Cálculo de área I.
Figura 2.53: Cálculo de área II.
Considerando as ordenadas absolutas YA, YB e YC e as abscissas relativas xA-B, xB-C e xC-A, podese escrever:
(YA + YB ) ⋅ xA − B + (YB + YC ) ⋅ x B−C − (YC + YA ) ⋅ xC−A = área do polígono. 2
2
2
Reajustando a fórmula:
(YA + YB ) ⋅ x A − B + (YB + YC ) ⋅ x B−C - (YC + YA ) ⋅ x C−A = 2.área do polígono. Então, a área dupla será igual à soma binária das ordenadas absolutas pelas abscissas relativas corrigidas.
Da mesma maneira, pode-se considerar o outro eixo de projeção e teria como a área dupla da área a soma binária das abscissas absolutas pelas ordenadas relativas. Logo:
( X A + X B ) ⋅ y AB - ( X B + X C ) ⋅ y BC + ( X C + X A ) ⋅ y CA
= 2.área
Para exemplificar, utilizaremos os valores das planilhas de cálculo dos exemplos 39 e 40 do item 6.7. Observe que com o preenchimento correto da planilha de cálculo de áreas, em muita facilita o cálculo da área.
95
96
Capítulo 2 - Planimetria
Exemplo 41: Baseado na planilha de coordenadas do exemplo 39, calcule a área da poligonal topográfica. Solução:
Est.
0 1 2 0
Coordenadas Relativas x y + 10,028 - 17,397 + 9,993 + 17,380 - 20,021 + 0,017
Coordenadas Absolutas X Y 100,000 100,000 110,028 82,603 120,021 99,983 100,000 100,000
∑X
∑Y
210,028 230,049 220,021
182,603 182,586 199,983
Áreas Duplas x . ∑Y
Soma Área (2.S) Área (S)
Áreas Duplas y . ∑X
+ 1.831,143 1.824,582
-
+
4.003,860
3.998,252 3,740
n = 3.655,725 o = 4.003,860 2.S = n - o = - 348,135 S = 174,068 m2 = 0,01740 (ha)
3.653,857
p = 4.001,992 q = 3.653,857 2.S = p - q = 348,135
Exemplo 42: Baseado na planilha de coordenadas do exemplo 40, calcule a área da poligonal topográfica. Solução: Est.
0 1 2 3 4 5 0
Coordenadas Relativas x y + 356,286 + 205,709 + 317,256 - 120,193 - 28,323 + 407,552 - 527,570 - 53,299 - 127,715 - 217,718 + 10,066 - 222,051
Coordenadas Absolutas X Y 1.000,000 1.000,000 1.356,286 1.205,709 1.673,542 1.085,516 1.645,219 1.493,068 1.117,649 1.439,769 989,934 1.222,051 1.000,000 1.000,000
∑X
2.356,286 3.029,828 3.318,761 2.762,868 2.107,583 1.989,934
∑Y
2.205,709 2.291,225 2.578,584 2.932,837 2.661,820 2.222,051
Áreas Duplas x . ∑Y + 785.863,237 726.904,879
22.367,165
Áreas Duplas y . ∑X -
+ 484.709,237
73.033,235 1.547.276,816 339.954,341
1.352.567,683
364.164,117 147.258,102 458.858,756 441.866,835
Soma n = 1.535.135,281 o =1.960.264,392 p = 1.837.276,920 q = 1.412.147,809 Área (2.S) 2.S = n - o = - 425.129,111 2.S = p - q = 425.129,111 Área (S) S = 212.564,555 m2 = 21,256 ha
96
7.2 - Método de Decomposição em Polígonos Qualquer que seja o método discutido anteriormente, deve-se levar em consideração a escala da representação. Os processos gráficos podem falsear a avaliação da área plana, e devem ser evitados quando se requer precisão. O método de decomposição em polígonos geralmente é aplicado em poligonais regulares, as quais permitam o traçado de um alinhamento que a atravesse. Para totalização da área, deve-se recorrer às expressões da geometria plana, que fornecem a área de figuras como triângulos, retângulos, trapézios e outros.
Exemplo 43: Baseado no exemplo 40, do item 6.7.1, calcule a área da poligonal topográfica (Figu-
ra 2.54). Solução:
Área 1 (trapézio) = (468 + 278) x 160 / 2 = 59.680 m2 Área 2 (trapézio) = (468 + 78) x 190 / 2 = 51.870 m2 Área 3 (triângulo) = (697 x 280) / 2 = 97.580 m2 Área 4 (triângulo) = (78 x 347) / 2 = 13.533 m2 Área total = 1 + 2 + 3 + 4 = 222.663,500 m2 Área correta = 212.564,555 => Erro de 10.098,945 m2 (≅ 5 %)
Figura 2.54: Cálculo de área III.
97
Capítulo 2 - Planimetria
7.3 - Método de Comparação por Quadrículas Consiste em determinar um padrão unitário de área e seu correspondente real, em função da escala da representação. Bastará contar quantas unidades do padrão se ajustam nos limites da propriedade e assim por simples regra de três obter o total da área. A precisão do método está vinculada à estabilidade na reprodução do padrão assim como ao tamanho físico do mesmo.
Exemplo 44: Baseado no exemplo 40, do item 6.7.1, calcule a área da poligonal topográfica (Figu-
ra 2.55). Área total = 226.250,000 m2 Área correta = 212.564,555 m2 Erro de 13.685,445 m2 (≅ 6 %)
Figura 2.55: Cálculo de área IV.
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Observações e anotações - Cap. 2 ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 99
Capítulo 2 - Planimetria
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100
1 - Introdução A Altimetria trata dos métodos e instrumentos topográficos empregados no estudo e representação do relevo do terreno. Para estes objetivos, as medidas são efetuadas na vertical ou considerando um plano vertical, obtendo-se distâncias verticais ou diferenças de nível, e ângulos verticais (COSMATRI, 1987). O nivelamento é a operação ou prática topográfica para definir a altimetria do terreno, ou seja, tem o objetivo de determinar as diferenças de altura entre pontos deste terreno. O princípio fundamental para o estudo da altimetria é a identificação de superfícies de referência de nível, que sirvam de comparação entre os vários pontos do terreno.
1.1 - Superfícies de Referência de Nível Considerando um corte vertical no terreno, pode-se considerar três superfícies básicas (Figura 3.1): # Superfície do terreno - Onde são realizadas as operações topográficas, por exemplo, o nivelamento; # Superfície do geóide - Definido como a figura que melhor representa a forma da terra, sendo obtida através do prolongamento do nível médio dos mares, em repouso, através dos continentes; # Superfície do elipsóide - Figura com possibilidade de tratamento matemático, que mais se assemelha ao geóide. A distância entre o elipsóide e
Figura 3.1: Superfície terrestre, geóide e elipsóide. 101
Capítulo 3 - Altimetria
o geóide, medido ao longo da normal ao elipsóide (PQ) é a altura geoidal ou ondulação geoidal (N). A distância entre o elipsóide e o terreno medida ao longo da normal ao elipsóide (TQ) é a altura elipsoidal (h). A distância entre o geóide e o terreno, medida ao longo da linha de prumo ou vertical (TP’) é a altura ortométrica (H), esta obtida pelo nivelamento geométrico.
Obs.: Alguns autores fazem referência a altura elipsoidal pela letra “H”, e altura ortométrica, letra “h”. Por aproximação pode-se escrever: H≅N+h Se considerarmos que o desvio da vertical possa ser nulo para determinadas aplicações, tem-se: h=N+H Considerando a superfície geoidal, como uma superfície de referência, ou seja, como uma superfície para tomar medidas por comparação, dois pontos estarão no mesmo nível se suas alturas ortométricas forem iguais (Figura 3.2).
Figura 3.2: Alturas ortométricas.
Quando se relaciona a superfície de referência de comparação ao geóide esta é denominada de superfície de referência ideal ou verdadeira. Apesar desta denominação, ocorrem várias perturbações nesta superfície, como por exemplo as atrações combinadas da lua e do sol (fenômeno das marés). Logo, esta referência se baseia no nível médio dos mares, sendo determinado por observações num marégrafo (por exemplo, o datum altimétrico brasileiro, localizado na Baía de Imbituba, Santa Catarina), por um grande período de anos, com o propósito de minimizar os efeitos das forças perturbadoras, e assim definir uma superfície estável. Porém, nos trabalhos de topografia, geralmente a materialização da superfície de referência ideal ou verdadeira é substituída por uma superfície denominada de superfície de referência aparente. 102
Esta superfície de referência aparente corresponde a um plano paralelo ao plano tangente à superfície de referência ideal ou verdadeira, e materializada, na prática, pelo plano horizontal de visada dos instrumentos de nivelamento (Figura 3.3).
Figura 3.3: Superfície de referência verdadeira e aparente. Como visto anteriormente, existem duas superfícies de referência importantes na altimetria: # Superfície de referência de nível ideal ou verdadeira, definida pelo geóide; # Superfície de referência de nível aparente, definida por um plano paralelo ao plano tangente ao geóide, sendo arbitrário a altura entre estes planos.
1.1.1 - Erro de Nível Aparente É a combinação do erro de esfericidade e do erro de refração. a) Erro de Esfericidade Quando se substitui a superfície de nível verdadeira pela superfície de nível aparente comete-se um erro denominado erro de esfericidade. Demonstrado em COMASTRI, 1987, o erro de esfericidade pode ser dado pela seguinte expressão:
onde:
D2 Ee = 2⋅R
Ee => Erro de esfericidade (m); D => Distância entre os pontos; R => Raio da terra.
103
Capítulo 3 - Altimetria
Exemplo 1: Tomandose os valores de R ≅ 6.367 km e a distância entre dois pontos igual a 500 m, calcule o erro de esfericidade. Solução
500 2 D2 Ee = = = 0,020 m 2 ⋅ R 2 ⋅ 6.367.000 b) Erro de refração O erro de refração é devido ao desvio do raio luminoso que, ao atravessar as diversas camadas atmosféricas, quando se faz uma visada de um ponto ao outro, este segue uma trajetória curva em vez de uma linha reta. Em geral, as camadas de ar mais densas são as mais próximas da terra, resultando uma trajetória curva cuja concavidade é voltada para a superfície da terra. Demonstrado em COMASTRI, 1987, o erro de refração pode ser dado por:
Er =
0,079 ⋅ D 2 R
onde Er => Erro de refração (m); D => Distância entre os pontos; R => Raio da terra.
c) Erro de nível aparente Como dito anteriormente, o erro de nível aparente é a combinação dos dois erros discutidos acima, e pode ser obtido pela seguinte expressão (COMASTRI, 1987):
Ena =
0,421⋅ D 2 R
Na tabela 3.1 obtêm-se valores para o erro de nível aparente (Ena) para valores em função da distância D e R = 6.367 km.
Tabela 3.1: Valores de distâncias versus erro de nível aparente. Distância (m) Erro de nível aparente (m) 40 0,0001 80 0,0004 120 0,0009 150 0,0015 200 0,0026 1000 0,0066 Nas aplicações práticas de nivelamento, considera-se sem efeito o erro de nível aparente inferior a 1 milímetro, ou seja, conforme a tabela 3.1, para distâncias entre visadas menores que 120 metros. Porém, quando as visadas forem superiores a 120 metros, e de acordo com a precisão do trabalho, deve-se determinar o erro de nível aparente, a fim de proceder a correção da diferença de nível verdadeira. A 104
diferença de nível verdadeira será obtida somando-se o erro de nível aparente à diferença de nível aparente (COMASTRI, 1987). Estas correções geralmente são adotadas quando se executa o nivelamento pelo processo trigonométrico, com intuito de obter boa precisão. No nivelamento geométrico estas correções podem ser desprezadas porque as distâncias entre as visadas são relativamente pequenas, e com a alternativa ainda de posicionar o nível à distâncias iguais dos pontos a medir, minimizando os efeitos da esfericidade e refração.
1.2 - Altitude, Cota e Diferença de Nível A partir da definição de superfícies de referência de nível (Item 1.1), designa-se por:
a) Altitude É definida como a altura de um ponto do terreno em relação à superfície de referência ideal ou verdadeira, ou seja, ao nível médio dos mares (Figura 3.4).
Figura 3.4: Altitudes de pontos topográficos.
b) Cota É definida como a altura de um ponto em relação à superfície de referência aparente, ou seja, a um plano horizontal arbitrário (Figura 3.5).
105
Capítulo 3 - Altimetria
Figura 3.5: Cotas de pontos topográficos. S.N.C. - Superfície de Nível de Comparação
Embora seja mais comum nos trabalhos topográficos o emprego das cotas, deve-se sempre que possível relacionar estas alturas com o nível médio dos mares, a fim de obter as altitudes dos pontos. O recurso de utilizar uma superfície de nível de comparação arbitrário é prático quando se trabalha em regiões em que não se tenha nenhuma referência de altitudes. Mesmo nestas condições é sempre recomendado trabalhar com altitudes aproximadas (obtidas com um altímetro ou por meio de carta topográfica), para o ponto de partida do levantamento altimétrico. A respeito do inconveniente ao emprego de cotas nos levantamentos altimétricos, pode-se citar a impossibilidade de relacionar plantas topográficas provenientes de levantamentos diferentes, na mesma região.
c) Diferença de nível Entende-se como a diferença de altura entre dois pontos topográficos. Esta diferença pode estar associada com as altitudes ou cotas dos pontos, podendo ocorrer em valores positivos ou negativos caso estejam acima ou abaixo daquele tomado como termo de comparação, ou seja, depende do referencial adotado.
Para cálculo da diferença de nível entre dois pontos A-B, simbolizado geralmente por DNA-B ou ΔNA-B, tem-se:
DNA-B = CotaB – CotaA B
ou DNA-B = AltitudeB – AltitudeA B
2 - Instrumentos Altimétricos 106
Os instrumentos empregados nos trabalhos de nivelamento são denominados níveis. Os níveis, cujo princípio construtivo é baseado no fenômeno da gravidade, têm por finalidade fornecer durante as operações topográficas, retas que pertençam a um plano horizontal. Além dos níveis, utilizam-se miras verticais como acessórios nas operações de nivelamento. Os níveis podem ser classificados em duas categorias: # Níveis cujo plano de visada é sempre horizontal; # Níveis cujo plano de visada tem movimento ascendente ou descendente. Uma categoria não caracterizada na definição acima é o barômetro, comentado no item 2.4.
2.1 - Plano de Visada Horizontal Nesta categoria, os instrumentos, ao serem girados em torno de um eixo vertical devidamente ajustado, descrevem sempre um plano horizontal. A horizontalidade do plano de visada fornecida pelos instrumentos está apoiada na física, especificamente no princípio gravitacional, sendo obtida com o emprego de níveis de bolha, do equilíbrio dos líquidos nos vasos comunicantes, ou pelo emprego do princípio dos corpos suspensos (Tabela 3.2).
Tabela 3.2: Instrumentos altimétricos. Princípios construtivos Níveis de bolha Equilíbrio dos líquidos nos vasos comunicantes Corpos suspensos
Exemplos de instrumentos Níveis de luneta Níveis de água Perpendículo
Confiabilidade Ótima a Boa Boa a Média Média a Baixa
a) Níveis de bolha Tem como finalidade determinar a vertical que passa por um ponto e, conseqüentemente, normal a esta vertical, fornece o plano horizontal. O nível de bolha consiste em um espesso tubo, no qual é feito o vazio e introduzido um líquido, o mais volátil possível. Geralmente utiliza-se o álcool ou o éter e, em seguida, o tubo é hermeticamente fechado. O tubo, segundo a sua forma, distinguem-se em dois tipos: nível esférico e nível cilíndrico. # Níveis esféricos - São constituídos, basicamente, de uma calota esférica de cristal, acondicionada em caixa metálica (Figura 3.6).
107
Capítulo 3 - Altimetria
Figura 3.6: Níveis esféricos. # Níveis cilíndricos - São constituídos de um tubo cilíndrico de cristal. A superfície da parte interna é polida de maneira a formar um ligeiro arco (Figura 3.7). Figura 3.7: Nível cilíndrico. Quando se associa uma luneta aos níveis de bolha (esférico e/ou cilíndricos), têm-se os níveis de luneta. A precisão deste nível está associada, em princípio, à sensibilidade dos níveis de bolha e à capacidade de aumento da luneta (Figura 3.8). Outro instrumento muito utilizado na construção civil, valendo-se do nível de bolha, é o nível de pedreiro. Possui baixa precisão, porém atendem a alguns tipos de serviços (Figura 3.9).
Nível Wild NAK2
Níveis Sokkia Figura 3.8: Níveis de luneta.
108
Figura 3.9: Nível de pedreiro. Atualmente existe uma grande inovação em termos de instrumentos para o nivelamento. O primeiro nível eletrônico foi lançado em 1990, pela empresa WILD. O princípio de funcionamento é o processamento unidimensional de imagens, a partir de mira codificada em códigos de barras. Em termos de precisão, os níveis eletrônicos possuem precisões que variam de 0,4 mm a 0,9 mm em nivelamento duplo com miras de ínvar. Outro modelo é o nível a laser. Trata-se de um nível automático bastante prático e econômico. A base operacional do instrumento consiste na geração de um plano horizontal ou vertical, através de um raio laser que gira perpendicularmente em relação à vertical ou horizontal (Figura 3.10).
Figura 3.10: Níveis laser.
b) Equilíbrio dos líquidos nos vasos comunicantes É baseado no princípio físico da força da gravidade sobre os vasos comunicantes. O instrumento mais utilizado é o nível de borracha ou de mangueira. Para funcionamento, utilizam-se dois suportes de madeira ou metal, aos quais estão presas as extremidades do tubo de vidro ou mangueira transparente. Além de fácil manejo e baixo custo, permitem marcações confiáveis nos nivelamentos (Figura 3.11).
Figura 3.11: Nível de mangueira. 109
Capítulo 3 - Altimetria
c) Corpos suspensos
Baseado no princípio físico da força da gravidade sobre os corpos suspensos. Pode-se citar dois instrumentos baseados neste princípio (Figura 3.12): # Perpendículo; # Niveltec.
Figura 3.12: Corpos suspensos.
2.2 - Plano de Visada Inclinado Os equipamentos que permitem o afastamento do plano de visada em relação a sua horizontalidade, possibilitam à esta categoria medir ângulos de verticais. Entre estes, pode-se citar dois mais importantes: # Clinômetros Para operá-los, visa-se uma mira colocada no ponto em que se deseja determinar o ângulo vertical ou declividade. A visada deve ser feita na mesma altura do olho do operador, para facilitar os cálculos. A seguir, gira-se o nível de bolha até que fique na posição de nivelado. O ângulo ou a declividade ficará registrado no lim-
Figura 3.13: Clinômetro.
bo vertical (Figura 3.13).
110
# Estações Totais Geralmente utilizado para o processo de nivelamento trigonométrico (Figura 3.14).
2.3 - Acessórios A mira vertical constitui o principal acessório dos instrumentos utilizados em nivelamento. As mais utilizadas são as miras falantes, pois possibilitam a determinação direta das alturas das visadas nos pontos topoFigura 3.14: Estação Total.
gráficos.
Estas são construídas de madeira ou metalon; reforçadas na extremidade superior e inferior, por guarnições metálicas; e geralmente graduadas em centímetros. Podem apresentar graduações direta ou invertida. Pela modalidade de construção, podem ser classificados em miras de dobrar ou encaixe, sendo esta última a mais usada, em virtude da facilidade de manejo e de transporte (Figura 3.15).
Mira dobrávelSapata para auxílio ao nivelamento
Campo visual – Visada Invertida Fio Superior (FS) = 0,672 Fio Médio (FM) = 0,586 Fio Inferior (FI) = 0,500
Figura 3.15: Miras.
2.4 - Barômetros São instrumentos baseados na variação de pressão atmosférica com a altitude. Os instrumentos mais utilizados são os altímetros e aneróides, por serem mais resistentes e adaptáveis às condições de campo. Possuem baixa precisão em suas determinações (Figura 3.16). Figura 3.16: Altímetro. 111
Capítulo 3 - Altimetria
3 - Processos de Nivelamento 3.1 - Introdução Como visto, pode-se entender o nivelamento topográfico como a operação que consiste na determinação da diferença de nível entre dois ou mais pontos do terreno. Esta operação é realizada empregando-se métodos e instrumentos adequados, sendo que as diferenças de nível podem ser determinadas de duas formas: # Diretamente - Com emprego de instrumentos de medições chamados níveis, ou; # Indiretamente - Com base em resoluções trigonométricas ou pelo princípio barométrico.
Em decorrência da natureza e do processo de medida usado na determinação das cotas ou das altitudes, os nivelamentos topográficos podem ser classificados em: a) Geométricos; b) Trigonométricos; c) Barométricos; d) Taqueométricos.
Um fato importante ao executar um nivelamento de uma área destinada à execução de projetos, cuja implantação exigirá a modificação do relevo (por exemplo, construção de uma estrada ou obras em via urbana), onde serão necessárias as cotas de pontos do projeto até sua finalização, deve-se implantar pontos fixos no terreno por meio de marcos, que servirão de referência ao nivelamento para futuras verificações. Estes marcos, denominados de Referência de nível - RN, devem ter boa durabilidade e serem implantados em pontos afastados do local da obra, para evitar que sejam destruídos durante a execução da mesma. Neste ponto deve-se conhecer a cota ou altitude para referência do nivelamento.
3.2 - Nivelamento Geométrico No nivelamento direto, ou geométrico, as diferenças de nível são determinadas com instrumentos que fornecem retas do plano horizontal. A geração deste plano horizontal com a interseção da mira colocada sucessivamente nos pontos topográficos, permite determinar as alturas de leituras nestes pontos. Por diferença entre os valores encontrados, chega-se às diferenças de nível procuradas (Figura 3.17). Simbolizando a diferença de nível por “DN”, tem-se: 112
Figura 3.17: Nivelamento geométrico.
DNA-B = 2,80 - 1,70 = + 1,10 m; DNA-C = 2,80 - 0,40 = + 2,40 m; DNA-D = 2,80 - 3,40 = - 0,60 m.
Imaginando que a 10,00 metros abaixo do ponto A passe a superfície de nível de comparação (SNC), as alturas relativas ou cotas dos pontos estudados são:
Cota (A) = 10,00 metros; Cota (B) = Cota (A) + DNA-B = 10,00 + 1,10 = 11,10 m; Cota (C) = Cota (A) + DNA-C = 10,00 + 2,40 = 12,40 m; Cota (D) = Cota (A) + ( - DNA-D) = 10,00 - 0,60 = 9,40 m.
Pelo fato do nivelamento geométrico fornecer melhor precisão nos trabalhos topográficos, este processo será exposto com detalhamento no Item 4.
3.3 - Nivelamento Trigonométrico Tem como base o valor natural da tangente do ângulo de inclinação do terreno, uma vez que este elemento representa a diferença de nível, por metro de distância horizontal. Designado por “α”, o ângulo de inclinação do terreno; “DN”, a diferença de nível; “D” a distância horizontal, “i”, a altura do instrumento e “l”, altura do alvo, pode-se escrever:
113
Capítulo 3 - Altimetria
tgα =
DN ∴ DN = D ⋅ tgα + i - alvo D
Assim, as diferenças de nível ou distâncias verticais, podem ser perfeitamente determinadas, quando se conhecem os ângulos verticais, as distâncias horizontais, a altura do instrumento e a altura do alvo entre os pontos topográficos materializados no terreno. Pode-se eventualmente visar o alvo à mesma altura do instrumento, eliminando os dois últimos termos da expressão. Os ângulos de inclinação do terreno são obtidos com emprego de goniômetros dotados de limbo vertical (taqueômetros e clinômetros). Já as distâncias horizontais podem ser determinadas por processos diretos ou indiretos. Logo, se conclui que o cálculo das diferenças de nível pelo nivelamento trigonométrico consiste na resolução de um triângulo retângulo, cuja incógnita é o cateto, que representa a diferença de nível, em que se conhece o ângulo oposto a este (ângulo vertical) e o outro cateto adjacente (distância horizontal) (Figura 3.18).
Figura 3.18: Nivelamento trigonométrico.
Para i = l, tem-se: DNA-B = BB’ = tg +15o * d (AB) = 0,27 * 50 = 13,50 m; DNB-C = CC’ = tg -10o * d (BC) = -0,18 * 30 = -5,40 m; Cota (A) = 50,00 m; Cota (B) = 50,00 + 13,50 = 63,50 m; Cota (C) = 63,50 - 5,40 = 58,10 m.
114
3.4 - Nivelamento Barométrico No nivelamento barométrico utilizam-se de barômetros de cuba ou metálicos (altímetros e aneróides), que indicam as pressões atmosféricas, com as quais se pode calcular as diferenças de nível ou as altitudes dos pontos topográficos tomados no terreno. Sendo a pressão barométrica resultante do peso total da camada de ar existente entre o limite superior da atmosfera e o solo, esta pressão diminui à medida que aumenta a altitude, pois a camada de ar sobreposta fica menor. Este é o motivo por que, subindo a um monte, vê-se a coluna de mercúrio descer gradualmente no tubo barométrico, registrando portanto, menor pressão atmosférica para pontos situados em maior altitude. Assim, para aplicação deste processo de nivelamento é necessário conhecer a relação que existe entre a variação da coluna barométrica e os pontos topográficos situados em diferentes alturas. Esta relação pode ser determinada para efeito prático, exprimindo-se a densidade do mercúrio em relação ao ar. Sabendo que a densidade do mercúrio, em relação à água, é de 13,6 vezes maior, e um litro de água pesa 1.000 gramas e que um litro de ar pesa 1,293 gramas, tem-se:
c = 13,6 / 1,293 * 10-3 ∴ c = 10.518 Este valor encontrado mostra que o mercúrio é 10.518 vezes mais pesado do que o ar; portanto para a variação de um milímetro na coluna barométrica com mercúrio, deverá corresponder a uma variação de 10.518 milímetros, na altura da camada de ar. Pode-se concluir que, em aplicações imediatas, cada diferença de um milímetro de leitura, na coluna barométrica, corresponde a uma diferença de nível de 10,518 metros, isto é, 1mm/10,518 m. Chamando de dp a diferença de pressão entre dois pontos topográficos, a distância vertical entre eles será dada pela seguinte expressão (Figura 3.19):
Figura 3.19: Nivelamento barométrico. 115
Capítulo 3 - Altimetria
DN = 10,518 * dp DNA-B = 10,518 (700 - 680) = 210,360 m DNB-C = 10,518 (680 - 710) = - 315,540 m
AltitudeA = 525,900 m AltitudeB = 525,90 + 210,360 = 736,260 m B
AltitudeC = 736,260 - 315,540 = 420,720 m
No cálculo das diferenças de nível, é preciso levar em consideração outros elementos que influenciam nas determinações das pressões atmosféricas, tais como, temperatura, umidade relativa e densidade do ar.
3.5 - Nivelamento Taqueométrico O nivelamento taqueométrico tem o mesmo princípio do nivelamento trigonométrico, no qual as distâncias são obtidas pelo princípio taqueométrico, e a altura do alvo visado é obtida pela visada do fio médio do retículo da luneta sobre uma mira colocada verticalmente no ponto considerado. Os taqueômetros estadimétricos ou normais são teodolitos com luneta portadora de retículos estadimétricos, constituídos de três fios horizontais e um vertical. Com os fios de retículo, associados às miras verticais ou horizontais, pode-se obter a distância horizontal (inclinada) e a diferença de nível entre dois pontos. A definição da expressão para determinação da diferença de nível foi deduzida no Cap. 2 no Item 3.2.3, sendo:
dn = m ⋅ g ⋅
sen( 2 ⋅ α) 2
+i−l
3.6 - Fatos Atuais em Altimetria O registro a seguir tem caráter informativo, preocupando-se em sintetizar alguns pontos importantes e atuais, citados nas Normas Técnicas para Nivelamentos Topográficos da ABNT (Item 3.6.1), do Nivelamento Geodésico e das Normas do IBGE (Item 3.6.2) e do Nivelamento GPS (Item 3.6.3). 116
3.6.1 - Normas Técnicas de Nivelamento segundo a ABNT A ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas), através do documento NBR 13.133 - Execução de Levantamentos Topográficos, classifica os níveis quanto ao nível de precisão, nas seguintes categorias (Tabela 3.3): Tabela 3.3: Classificação dos instrumentos (níveis). Classes dos níveis 1 - Precisão baixa 2 - Precisão média 3 - Precisão alta 4 - Precisão muito alta
Desvio padrão > ± 10 mm/Km ≤ ± 10 mm/Km ≤ ± 3 mm/Km ≤ ± 1 mm/Km
Fonte: NBR 13.133 - ABNT
Ainda, neste documento, classificam-se os diversos métodos de levantamento, citando a metodologia a ser empregada, seu desenvolvimento e as respectivas tolerâncias de fechamento (Tabela 3.4).
Tabela 3.4: Nivelamento de linhas ou circuitos e seções. Classe
Metodologia
IN Geom. II N Geom. III N Trig. IV N Taqueo.
consultar a norma consultar a norma consultar a norma consultar a norma
Linha Seção
Desenvolvimento Extensão Lance Lance Máxima Máximo Mínimo
N. Max. de lances
Tolerâncias de fechamento
-
10 km
80 m
15 m
12 mm. k
-
10 km
80 m
15 m
12 mm. k
Princ. Sec. Princ. Sec.
10 km 5 km 5 km 2 km
500 m 300 m 150 m 150 m
40 m 30 m 30 m 30 m
40 20 40 20
0,15 m. 0,20 m. 0,30 m. 0,40 m.
k k k k
Fonte: NBR 13.133 - ABNT
3.6.2 - Nivelamento Geodésico No nivelamento topográfico considerava-se um plano tangente à superfície da terra num ponto considerado. Utilizava-se este plano como uma superfície de nível de referência (que poderia até ser o nível médio dos mares), e todas as alturas eram referidas a este plano de referência. Quando a referência era o nível médio dos mares esta altura denominava-se altitude. No nivelamento geodésico a superfície de referência será o geóide. O geóide é definido como a superfície equipotencial que mais se aproxima do nível médio dos mares.
117
Capítulo 3 - Altimetria
A altitude de um ponto, ou seja, a altitude ortométrica é a distância avaliada sobre uma vertical do geóide ao ponto considerado. As altitudes geralmente são obtidas através do nivelamento geométrico, sob algumas considerações. O datum vertical ou datum altimétrico se refere ao ponto zero do nivelamento, ou seja, ao nível médio dos mares naquele ponto. No Brasil o datum vertical localiza-se na baía de Imbituba-SC. Muitos autores consideram os dois processos de levantamento vistos para nivelamento topográfico, especificamente o Geométrico e o Trigonométrico, como os mesmos a serem utilizados no nivelamento geodésico, porém segundo algumas especificações de controle, objetivando uma melhor precisão final. Porém, o nivelamento geométrico se destaca pela precisão entre os demais. Geralmente os equipamentos no nivelamento geométrico geodésico são: a) Um nível de precisão automático, de bolha (provido de micrômetro ótico de placas planoparalelas) ou eletrônico; b) Miras de Ínvar (miras de códigos de barra).
Duas correções geralmente são adotadas: a) Curvatura; b) Refração.
O IBGE, com objetivo de regularizar a execução de levantamentos geodésicos, publicou através da Resolução no. 22 de 21-07-83, as especificações e normas gerais para levantamentos altimétricos. Estas normas classificam o nivelamento geométrico geodésico quanto ao nível de precisão em (Tabela 3.5): a) De alta precisão (fundamental); b) De precisão: # Áreas mais desenvolvidas; # Áreas menos desenvolvidas; c) Para fins topográficos.
Nesta mesma publicação, faz-se ainda algumas recomendações para evitar a ocorrência e propagação dos erros sistemáticos de um nivelamento geométrico, por exemplo: a) Comprimento das visadas de ré e vante devem ser aproximadamente iguais, de modo a se compensar o efeito da curvatura terrestre e da refração atmosférica; b) Evitar visadas com mais de 100 m (ideal 60 m); c) Visadas acima de 20 cm do solo para evitar a reverberação; d) Utilizar miras aos pares, alternando a ré e a vante (eliminar o erro de índice); e) Colocação da miras sobre chapas ou pinos e, no caminhamento, sobre sapatas.
118
Tabela 3.5: Especificações para nivelamento geométrico - IBGE.
Levantamentos Geodésicos - Nivelamento De Alta Precisão Item
Para áreas mais desenvolvidas 1 - CONFIGURAÇÃO DOS CIRCUITOS E LINHAS
Fundamental
1.1 - Geral * Perímetro máximo dos circuitos * Comprimento máximo das linhas * Intervalo máximo entre as estações monumentadas ou comprimento máximo da seção 1.2 - Regiões metropolitanas * Perímetro dos circuitos * Comprimento desejável das linhas * Comprimento da seção 2.1 - Procedimento
2.2 - Instrumental
2.3 Colimação do nível (C) * Não precisa ser retificado * Poderá ser retificado * Deverá ser retificado 2.4 - Comprimento máximo da visada 2.5 Divergência de leituras entre duas graduações em unidades de mira 2.6 - Uso dos três fios - Divergência do 1o. e 2o. e 2o. e 3o. 2.7 - Diferença máxima tolerável entre os comprimentos das visadas de ré e vante, acumulada para a seção
Para Fins Topográficos
De Precisão Para áreas menos desenvolvidas
400 Km 100 Km
200 Km 50 Km
200 Km 50 Km
3 Km
3 Km
3 Km
Local
De acordo com as finalidades
De acordo com as De acordo com as 2 - 8 Km 8 - 10 Km finalidades finalidades 2 Km 2 Km 1 - 3 Km 1 - 3 Km 2 - MEDIÇÃO DE DESNÍVEIS Nivelamento duplo Nivelamento duplo Nivelamento duplo Nivelamento duplo (N e C) (N e C) (N e C) ou simples (N e C) Nível automático Nível automático Nível automático ou de ou de bolha proviou de bolha provibolha provido de mido de micrômetro Nível automático do de micrômetro crômetro ótico de plaótico de placas plaou de bolha e miótico de placas placas plano-paralelas. no-paralelas. Miras ras no-paralelas. Miras Miras de ínvar com de ínvar com dupla de ínvar dupla graduação graduação |C| ≤ 0,001 mm/m 0,01 < |C| 0,03 mm/m |C| > 0,03 mm/m 100 m
Idem Idem Idem 100 m
Idem Idem Idem 100 m
100 m
0,0002 m
Idem
Idem
Idem
0,002 m
0,002 m
0,005 m
0,005 m
3m
5m
10 m
10 m
3 - CONTROLE PARA A QUALIDADE 3.1 - Diferença máxima aceitável entre o nivelamento e o contra-nivelamento de uma seção (K = comprimento da seção em Km) 3.2 - Diferença máxima aceitável entre o nivelamento e o contra-nivelamento de uma linha (K = comprimento da linha em Km) 3.3 - Valor máximo para a razão entre a discrepância acumulada e o perímetro do circuito 4 - ERRO PADRÃO ACEITÁVEL PARA UMA LINHA APÓS O AJUSTAMENTO (K = COMPRIMENTO DA LINHA EM KM)
3 mm
k
6 mm
k
8 mm
k
12 mm
k
4 mm
k
6 mm
k
8 mm
k
12 mm
k
0,5 mm/Km
2 mm
k
5 mm/Km
5 mm/Km
10 mm/Km
3 mm
4 mm
6 mm
k
k
k
Fonte: IBGE.
3.6.3 - Nivelamento GPS 119
Capítulo 3 - Altimetria
Há uma expectativa de usar o sistema GPS para determinar a altitude ortométrica (H), evitando assim a onerosa operação do nivelamento geométrico. Através das observações GPS, obtém-se as coordenadas cartesianas X, Y e Z de um ponto desconhecido em função das diferenças de coordenadas fornecidas pelo GPS e das coordenadas supostamente conhecidas do ponto de partida. A relação entre as coordenadas cartesianas e as geodésicas são dados pelas seguintes expressões: X = (N + H) cos φ . cosλ Y = (N + H) cos φ . senλ Z = [N (1 - e2) + H] . senφ onde X, Y, Z => Coordenadas cartesianas; N => Grande Normal (não confudir com a ondulação geoidal); φ - Latitude; λ - Longitude.
Observe que geralmente têm-se as altitudes ortométricas (h), sendo o H obtido por aproximação de soma desta à ondulação geoidal (N). Figura 3.1: Superfície terrestre, geóide e elipsóide. H≅h+N
Contribuem atualmente para a determinação das alturas geoidais os modelos do geopotencial, os levantamentos gravimétricos e as observações sobre satélites artificiais. A fundação IBGE e a USP (Universidade de São Paulo) têm trabalhado ao longo dos últimos 15 anos no melhoramento da carta geoidal do Brasil. Já se dispõe de uma centena de alturas geoidais derivadas de medições GPS conduzidas sobre a rede de nivelamento de primeira ordem. O erro absoluto esperado para a carta é de 3m e o relativo de 0,2/10Km. Porém, em muitas aplicações da cartografia e sobretudo da engenharia as precisões exigidas são bem superiores às da carta geoidal. Se em uma região houver uma cobertura razoável de dados gravimétricos, é possível melhorar este erro para algo da ordem da fração do metro.
4 - Nivelamento Geométrico 120
Pelo fato do processo de nivelamento geométrico ser o mais preciso e utilizado na topografia, existem algumas condições para sua execução visando dar maior qualidade ao mesmo. Para evitar erros de diversas naturezas, deve-se observar o seguinte: a) Instalar o nível sempre que possível entre os pontos a serem nivelados; b) Ler e anotar corretamente as leituras da mira mantendo a mesma na vertical e imóvel, principalmente nas visadas que ocasionam as mudanças de instrumento (mudança de PR); c) Certificar sempre se o nível está em boas condições técnicas; d) Instalar o instrumento em lugar firme e seguro; e) Evitar leitura de mira a grandes distâncias, limitando-de a aproximadamente 70 m; f) Evitar leituras inferiores a aproximadamente meio metro, principalmente em horários de forte irradiação solar.
No nivelamento geométrico ou direto, as diferenças de nível são determinadas com emprego de instrumentos que fornecem retas do plano horizontal. Pode ser classificado em: # Nivelamento geométrico simples; # Nivelamento geométrico composto.
4.1 - Nivelamento Geométrico Simples Denomina-se de nivelamento geométrico simples quando é possível visar, de uma única estação do nível, a mira colocada sucessivamente em todos os pontos do terreno a nivelar. Por exemplo, na figura 3.20 pode-se constatar que o nível localizado entre os pontos A e B consegue levantar todos os pontos em questão, considerando apenas uma reta horizontal, sem a necessidade de transferência do instrumento. Estes dados são anotados em cadernetas próprias, apresentadas durante os exemplos a seguir. Caso a diferença de nível for muito grande (a mira só possui 3 a 4 m) ou quando existir um obstáculo, é necessário realizar uma mudança de local de instalação do aparelho. Este procedimento será discutido a frente (Item 4.2).
121
Capítulo 3 - Altimetria
Figura 3.20: Nivelamento geométrico simples.
No procedimento de campo, deve-se instalar o nível numa posição de modo a visar a mira colocada na vertical em todos os pontos a levantar. A primeira visada, feita no ponto A (Figura 3.20), início do levantamento, é chamada de visada de ré (RA); e as seguintes, visadas de vante (VB, VC, VD). B
Conhecida a cota do primeiro ponto (ponto A - Figura 3.20), denomina-se plano de referência (PR) a soma da cota deste ponto com a leitura da mira, isto é: PRA = CotaA + RA ou seja, altura do instrumento em A (ou plano de referência em A) é igual a cota de A mais a visada de ré em A. As próximas cotas (CB, CC, CD) serão dadas pela diferença entre o plano de referência em A (PRA) B
e as visadas de vante (VB, VC, VD). B
CB = PRA - VB; B
B
CC = PRA - VC; CD = PRA - VD.
As diferenças de nível entre os pontos (dnA-B, dnA-C, dnA-D, dnB-C, dnB-D, dnC-D) serão dadas por: dnA-B = CB - CA; B
dnA-C = CC - CA; dnA-D = CD - CA; dnB-C = CC - CB; B
dnB-D = CD - CB; B
dnC-D = CD - CC. Exemplo 2: Baseado na figura 3.20 e sua respectiva caderneta de campo dada abaixo, calcular as diferenças de nível entre todos os pontos do terreno. 122
CADERNETA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO
Leituras na mira Ponto Plano de Cotas ou Observações Visado Referência Altitudes Ré Vante A 12,80 A - RN - Na soleira do 2,80 10,00 B 11,10 prédio principal 1,70 C 12,40 0,40 D 9,40 Cota do ponto A = 10 m 3,40 Obs.: Em negrito estão os dados com informações de campo, e em itálico os dados calculados.
Solução: a) Determinação do plano de referência em A
PRA = CotaA + RA = 10,00 + 2,80 = 12,80 m
b) Determinação das cotas dos pontos (CB, CC, CD) B
CB = PRA - VB = 12,80 - 1,70 = 11,10 m B
B
CC = PRA - VC = 12,80 - 0,40 = 12,40 m CD = PRA - VD = 12,80 - 3,40 =9,40 m
c) Diferenças de nível (dnA-B, dnA-C, dnA-D, dnB-C, dnB-D, dnC-D)
dnA-B = CB - CA = 11,10 - 10,00 = + 1,10 m B
dnA-C = CC - CA = 12,40 - 10,00 = + 2,40 m dnA-D = CD - CA = 9,40 - 10,00 = - 0,60 m dnB-C = CC - CB = 12,40 - 11,10 = + 1,30 m B
dnB-D = CD - CB = 9,40 - 11,10 = - 1,70 m B
dnC-D = CD - CC = 9,40 - 12,40 = - 3,00 m
obs.: A maior diferença de nível é entre o ponto C e D e a menor entre os pontos A e D.
4.2 - Nivelamento Geométrico Composto 123
Capítulo 3 - Altimetria
No Item 4.1 observou-se que com apenas uma instalação do instrumento solucionou-se o problema de determinação das diferenças de nível entre todos os pontos (Figura 3.20). Porém, se a diferença de nível for maior que o tamanho da mira (geralmente de 4 m), quando existir um obstáculo ou ultrapassar o limite da visada do nível (máximo 100 m), será necessário realizar uma mudança de local de instalação do aparelho. Ao executar a mudança de instrumento, estar-se-á executando um nivelamento geométrico composto. Assim o aparelho é novamente instalado e recomeçado um novo nivelamento com a mira sobre o último ponto de cota conhecida do nivelamento anterior (Figura 3.21). Logo, pode-se ainda entender nivelamento geométrico composto como uma sucessão de nivelamentos geométricos simples. O cálculo é idêntico ao visto anteriormente (Item 4.1), com exceção da alteração do valor do plano de referência, que deverá ser novamente calculado, em virtude da mudança de instrumento (veja exemplo 3). As fórmulas já discutidas anteriormente, podem ser resumidas em:
PR = Cota + Ré;
Cota = PR - Vante
Figura 3.21: Nivelamento geométrico composto I.
Exemplo 3: Baseado na figura 3.21 e sua respectiva caderneta de campo dada abaixo, calcular as cotas de todos os pontos do terreno. CADERNETA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO
124
Ponto Plano de Leituras na mira Cotas ou Observações Visado Referência Altitudes Ré Vante A 12,95 A - RN - Em um marco 2,95 10,00 B 11,95 de madeira, situado 1,00 bis (B) 15,10 8,00 m à 3,15 C 14,75 esquerda da estaca 0 0,35 D 12,10 3,00 E 14,30 0,80 bis (E) 16,45 2,15 F 15,40 Cota do ponto A = 10 m 1,05 Obs.: * Em negrito estão os dados com informações de campo, e em itálico os dados calculados. * Na coluna “ponto visado”, onde se encontra a palavra bis, significa que neste ponto foi tomado uma visada de vante e outra de ré.
Solução a) Determinação do plano de referência em A PRA = CotaA + RA = 10,00 + 2,95 = 12,95 m
b) Determinação da cota do ponto CB B
CB = PRA - VB = 12,95 - 1,00 = 11,95 m B
B
Observe agora que com a mudança do instrumento da posição 1 para 2 (Figura 3.21), deve-se recalcular o valor do PR, agora considerado PRB. Para isto segue-se raciocínio análogo. B
c) Determinação do plano de referência em B PRB = CotaB + RB = 11,95 + 3,15 = 15,10 m B
B
B
Agora, para cálculo das cotas dos pontos C, D e E, deve-se utilizar este plano de referência (PRB), e B
apenas variando as leituras de vante (VC, VD e VE).
d) Determinação das cotas dos pontos Cc , CD, CE CC = PRB - VC = 15,10 - 0,35 = 14,75 m B
CD = PRB - VD = 15,10 - 3,00 = 12,10 m B
CE = PRB - VE = 15,10 - 0,80 = 14,30 m B
Nova mudança de instrumento (de 2 para 3) (Figura 3.21).
e) Determinação do plano de referência em E PRE = CotaE + RE = 14,30 + 2,15 = 16,45 m f) Determinação da cota do ponto CB B
CF = PRE - VF = 16,45 - 1,05 = 15,40 m
Observação: 125
Capítulo 3 - Altimetria
Para cálculo das diferenças de nível entre pontos, basta fazer a diferença entre as cotas dos pontos em questão: dnA-B = CB - CA = 11,95 - 10,00 = + 1,95 m B
dnA-F = CF - CA = 15,40 - 10,00 = + 5,40 m
PAUSA PARA RESUMO Referência de Nível - RN - Pontos implantados e fixos no terreno com cota ou altitude conhecidas, para auxiliar as operações do nivelamento. Visada de Ré (R) - A primeira visada, no início do levantamento; Visada de Vante(V) - As visadas seguintes do levantamento; Plano de Referência (PR) - Soma da cota à leitura da mira de Ré PR = Cota + Ré Cota do ponto - Diferença do PR e leitura da mira de Vante Cota = PR - Vante Diferença de Nível - Diferença entre as cotas dos pontos considerados dnA-B = CotaB - CotaA B
Nivelamento Geométrico Composto - É uma sucessão de nivelamentos geométricos simples.
4.3 - Verificação dos Cálculos da Caderneta Para verificação dos cálculos da caderneta, aplica-se o seguinte procedimento: a) O somatório das visadas de ré, menos o somatório das visadas de vante, deve ser igual a diferença das cotas entre o ponto final (chegada) e o ponto inicial, ou seja:
∑ Ré − ∑ Vante = Cotachegada - Cotainício Para o somatório das visadas de vante deve-se utilizar as medidas onde houve mudança de instrumento mais a última visada de vante (veja o exemplo 4).
Baseado nisto, verificou-se abaixo os cálculos executados nos exemplos 2 e 3 (Itens 4.2 e 4.3 respectivamente):
Exemplo 4: Execute a verificação do cálculo da caderneta do exemplo 2 do item 4.1. Solução: 126
∑ Ré = 2,80 m;
∑ Vante = 3,40 m;
Cotachegada = 9,40 m;
Cotainício = 10,00 m.
∑ Re − ∑ Vante = Cotachegada - Cotainício 2,80 - 3,40 = 9,40 - 10,00 - 0,60 m = - 0,60 m Logo, os cálculo executados estão OK !
Exemplo 5: Execute a verificação do cálculo da caderneta do exemplo 3 do item 4.2. Solução:
∑ Re = 2,95 + 3,15 + 2,15 = 8,25 m ∑ Vante = 1,00 + 0,80 + 1,05 = 2,85 m Cotachegada = 15,40 m; Cotainício = 10,00 m
∑ Re − ∑ Vante = Cotachegada - Cotainício 8,25 - 2,85 = 15,40 - 10,00 + 5,40 m = + 5,40 m Logo, os cálculos executado estão OK !
4.4 – Erro no Nivelamento Geométrico O erro cometido em campo durante a operação do nivelamento, independe da verificação do cálculo da caderneta visto no item 4.3. O erro cometido pode ser função do desvio na horizontalidade do eixo de colimação da luneta do nível, na imperfeição da verticalidade da mira e imprecisão na leitura da mira. Para obter este erro de operação do levantamento de campo, deve-se primeiramente classificar o nivelamento em duas categorias: # Nivelamento de uma poligonal fechada; # Nivelamento de uma poligonal aberta.
4.4.1 - Determinação do Erro
127
Capítulo 3 - Altimetria
a) Considerando o nivelamento de poligonal fechada Quando se executa o nivelamento numa poligonal fechada, isto é, parte-se de um ponto de cota conhecida, em geral de uma RN, e termina neste mesmo ponto, significa que a cota final deverá ser igual a inicial. A diferença entre a cota inicial e a cota final após o nivelamento é o erro cometido no nivelamento: En = CF - CI onde En => Erro no nivelamento; CF => Cota final; CI - Cota inicial. Se
CF > CI (erro por excesso);
CF < CI (erro por falta).
b) Considerando o nivelamento de poligonal aberta Quando se executa o nivelamento em uma poligonal aberta, isto é, parte-se de um ponto e chega-se a outro ponto, a única maneira de se verificar a sua exatidão e controlar o erro porventura cometido, consiste em repetir o nivelamento de trás para frente, o que se denomina de contra-nivelamento. Na operação do contra-nivelamento não é necessário nivelar todas as estacas do nivelamento, bastando fazer o nivelamento de pontos auxiliares para que, partindo do último, se retorne ao ponto de partida. A diferença entre a cota do ponto de partida e a cota que for calculada para este ponto de partida ao final da operação do contra-nivelamento é o erro cometido no nivelamento: En = CFc - CI onde En => Erro no nivelamento; CFc => Cota final após o contra-nivelamento; CI => Cota inicial. Se
CFc > CI (erro por excesso);
CFc < CI (erro por falta).
& Observação: No caso da existência da cota da RN do ponto de partida e RN do ponto de chegada, o erro será dado por: En = CF - CRNf En => Erro no nivelamento; CF => Cota final; CRNf => Cota do RN final.
4.4.2 - Definição da Tolerância
128
A definição da tolerância nos nivelamentos é variável de acordo com as irregularidades relevo do terreno e o número de estações, entre outros fatores. A ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) e o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) fornecem tabelas e fórmulas para determinar as tolerâncias no nivelamento, segundo diferentes precisões (Tabelas 3.3, 3.4 e 3.5). Alguns autores (PINTO, 1989; COMASTRI, 1989) propõem a seguinte expressão para o cálculo da tolerância do nivelamento: T = c⋅ k⋅ L
onde T => Tolerância do nivelamento;
c => Coeficiente de precisão que varia de 1 a 2,5
k => Erro médio admitido por quilômetro;
L => Extensão nivelada em km;
k = 5 mm para nivelamento de precisão de primeira ordem; k = 10 mm para nivelamento de precisão de segunda ordem; k = 15 mm para nivelamento de precisão de terceira ordem.
Exemplo 6: Considerando c = 2 e k = 5 mm, k = 10 mm, k = 15 mm , para um trecho nivelado de 16 km, qual a tolerância permitida para o erro no nivelamento ? Solução:
T= c⋅k⋅ L
T = 2 ⋅ 5 mm ⋅ 16 = 10 mm ⋅ 4 = 40 mm T = 2 ⋅ 10 mm ⋅ 16 = 20 mm ⋅ 4 = 80 mm T = 2 ⋅ 15 mm ⋅ 16 = 30 mm ⋅ 4 = 120 mm
ou seja, pode-se errar até 40 mm (4 cm), 80 mm (8 cm), 120 mm (12 cm), no trecho citado, que estará dentro da tolerância exigida (1o, 2o e 3o ordem respectivamente). Se o erro for maior do que a tolerância, é sinal que houve qualquer descuido no trabalho e, nestas condições, o nivelamento deverá ser realizado novamente. Para nivelamentos taqueométricos, a Associação Brasileira de Normas Técnicas, através da NBR 13.133, considera uma tolerância igual a (T = 0,30 m. k ), para poligonais principais, sendo k a extensão nivelada em km, medida num único sentido.
4.4.3 - Distribuição do Erro Admissível
129
Capítulo 3 - Altimetria
O erro cometido no nivelamento, depois de comparado com a tolerância, estando dentro do limite aceitável, passa a denominar-se de erro admissível. A correção a ser introduzida em cada mudança de posição do nível, ou mais precisamente nas visadas de ré, é igual à divisão do erro admissível pelo número de estações do nível:
Corr =
erro admissível número de estações do nível
A correção será feita com sinal contrário ao erro no nivelamento: # Se por excesso ⇒ correção negativa; # Se por falta ⇒ correção positiva.
Outra característica é que a correção deve ser acumulativa, de modo a compensar as correções anteriores. Deve ainda observar que: # Para a correção deve-se evitar valores menores que o milímetro, em virtude da precisão dos nivelamentos topográficos; # Em caso de valores sem divisão exata (decimais), arredondar e adotar valores inteiros até o milímetro. As cotas compensadas são obtidas em coluna própria, pela soma ou diferença das correções calculadas, demonstrado no próximo item (Item 4.5).
4.5 – Exemplo de Cálculo de Nivelamento Geométrico É apresentado a seguir um exemplo de cálculo completo de um nivelamento geométrico composto. Baseado na figura abaixo (Figura 3.22) e sua respectiva caderneta de campo, pede-se: a) Cálculo das cotas dos pontos (Itens 4.1 e 4.2); b) Verificação do cálculo de caderneta (Item 4.3); c) Determinação do erro do nivelamento (Item 4.4.1); d) Definição da tolerância (Item 4.4.2); e) Distribuição do erro (Item 4.4.3).
Dados: Nivelamento geométrico composto em poligonal fechada; Nivelamento de precisão de 2o ordem; c = 2; L = 1.385,00 m.
130
VG
G
Ré em F F
Vante no RN
VF 4ª Instalação
Ré no RN Ré em D
RN
3ª Instalação
VA
VB
1ª Instalação
VE
VD D
Ré em B A
E VC B 2ª Instalação C
Figura 3.22: Nivelamento geométrico composto II.
CADERNETA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO Ponto Visado RN A B bis C D bis E F bis G RN
Plano de Referência 50,438
47,405
47,931
51,449
Leituras na mira Ré Vante 0,438 1,795 3,542 0,509 2,064 3,285 3,811 2,053 0,276 3,794 2,082 1,444
Cotas ou Correção Altitudes Acumulada 50,000 48,643 - 0,002 46,896 - 0,002
Cotas Corrigida 48,641 46,894
45,341 44,120
- 0,003 - 0,003
45,338 44,117
45,878 47,655
- 0,004 - 0,004
45,874 47,651
49,367 50,005
- 0,005 - 0,005
49,362 50,000
Observações
RN em um marco de madeira de lei, situado a 25,50 m à direita do vértice A
Obs.: Em negrito estão os dados com informações de campo, e em itálico os dados calculados.
Solução: a) Cálculo das cotas dos pontos Para cálculo das cotas utilizou-se das seguintes fórmulas: 131
Capítulo 3 - Altimetria
PR = Cota + Ré;
Cota = PR - Vante
PRRN = CotaRN + RéRN = 50,000 + 0,438 = 50,438 m CotaA = PRRN - VanteA = 50,438 - 1,795 = 48,643 m CotaB = PRRN - VanteB = 50,438 - 3,542 = 46,896 m B
B
PRB = CotaB + RéB = 46,896 + 0,509 = 47,405 m B
B
B
CotaC = PRB - VanteC = 47,405 - 2,064 = 45,339 m B
CotaD = PRB - VanteD = 47,405 - 3,285 = 44,120 m B
PRD = CotaD + RéD = 44,120 + 3,811 = 47,931 m CotaE = PRD - VanteE = 47,931 - 2,053 = 45,878 m .............................................................................. (e assim sucessivamente)
b) Verificação do cálculo de caderneta
∑ Re − ∑ Vante = Cotachegada - Cotainício ∑ Re = 0,438 + 0,509 + 3,811 + 3,794 = 8,552 m; ∑ Vante = 3,542 + 3,285 + 0,276 + 1,444 = 8,547 m; Cotachegada = 50,005 m;
Cotainício = 50,000 m;
∑ Re − ∑ Vante = Cotachegada - Cotainício 8,552 - 8,547 = 50,005 - 50,000 0,005 m = 0,005 m
c) Determinação do erro do nivelamento Obs.: Poligonal fechada, logo: E = CF - CI CI = 50,000 m e CF = 50,005 m E = 50,005 - 50,000 = + 0,005 m (5 mm)
d) Definição da tolerância
T = c⋅ k ⋅ L Considerando: c = 2;
Nivelamento de precisão de 2o ordem - k = 10 mm;
L = 1,385,00 km, tem-se:
T = 2 ⋅ 10 mm ⋅ 1,385 = 23,53 mm ≅ 24 mm Logo o erro cometido esta dentro do tolerável, ou seja, 5 mm < 24 mm !
e) Distribuição do erro
132
Sendo o erro admissível e por excesso, a correção terá sinal contrário (negativo), dado pela expressão:
Corr = Corr =
erro admissível número de estações do nível
5 mm = 1,25 mm 4
Obs.: Não sendo a divisão exata, o procedimento será o seguinte: Pontos a sofrer correção PRRN PRB PRD PRF Soma B
Correção - 2 mm - 1 mm - 1 mm - 1 mm - 5 mm
Correção acumulada - 2 mm - 3 mm - 4 mm - 5 mm
5 - Perfis Longitudinais e Transversais Quando se realiza um trabalho de nivelamento, com finalidade de conhecer particularidades do terreno, pode-se representar estes elementos altimétricos (cotas ou altitudes) por meio de perfis longitudinais e transversais. Um perfil é a representação gráfica, no plano vertical, das diferenças de nível, cotas ou altitudes, obtidas num nivelamento. A utilização desse processo de representação é muito utilizada na engenharia de construção, desde o planejamento até execução do projeto. Especificamente no projeto de estradas (rodovias, ferrovias, vias urbanas), o conhecimento do relevo através do estudo de perfis é de fundamental interesse para sua viabilização. Entre suas utilidades de auxílio ao projeto tem-se: # Escolha do melhor traçado das vias; # Estudo da drenagem; # Estudo de corte/aterro; # Estudo de jazidas; # Estudo de seção tipo; # Definição de rampas, etc.; Obs.: A construção do perfil será comentada no próximo item (Item 6).
5.1 - Perfil Longitudinal
133
Capítulo 3 - Altimetria
Os perfis longitudinais são obtidos por seções longitudinais, e construídos a partir do nivelamento ao longo do caminhamento ou eixo longitudinal (Figura 3.23). Geralmente o nivelamento desta seção longitudinal é feito com a utilização de níveis de luneta. O procedimento de levantamento pode ser o nivelamento geométrico simples ou composto.
5.2 - Perfil Transversal Os perfis transversais são obtidos por seções transversais, geralmente normais aos alinhamentos de uma poligonal. Quando se tratar de uma estaca de vértice, faz-se a seção transversal como a bissetriz do ângulo entre os alinhamentos. Logo, o nivelamento das seções transversais está sempre amarrado à seção longitudinal, conseqüentemente relacionado ao mesmo RN. De acordo com o sentido do desenvolvimento da poligonal, as seções situadas de um lado e outro do eixo longitudinal são denominados seções à direita ou seções à esquerda da poligonal (Figura 3.23).
Figura 3.23: Eixos longitudinal e transversal.
No processo de levantamento das seções transversais são comumente utilizados os métodos geométricos a nível ou a régua, e os métodos trigonométricos a clinômetro.
5.2.1 - Nivelamento das Seções Transversais a Nível
134
É utilizado o nível de luneta e aplicado os métodos de levantamento geométrico simples e composto, já discutidos anteriormente (Itens 4.1 e 4.2).
5.2.2 - Nivelamento das Seções Transversais a Régua Emprega-se uma régua horizontal e uma outra vertical, ambas graduadas convenientemente. A horizontalidade será obtida com nível de bolha (nível de pedreiro) (Figura 3.24). Na figura 3.24, para a primeira diferença de nível do lado direito, observa-se que uma das extremidades da régua horizontal é apoiada numa régua vertical na estaca 12, a outra extremidade é apoiada sobre a estaca denominada D1, e por meio de um nível de pedreiro, verifica-se a horizontalidade. A seguir, procedese, com a face inferior da régua horizontal, a leitura na régua vertical, que representa a diferença de nível entre os pontos. O valor lido na régua horizontal será a distância entre os pontos nivelados. Repete-se o procedimento para os outros pontos. Como se trata de nivelamento de seções transversais, este procedimento deve ser executado à direita e à esquerda do eixo longitudinal (Figura 3.24).
Exemplo 7: Baseado nos valores obtidos pelo nivelamento à régua da figura 3.24: a) Preencha a caderneta de campo; b) Calcule as cotas de todos os pontos; c) Faça o desenho do perfil transversal (Figura 3.25).
Figura 3.24: Nivelamento de seção transversal a régua. Solução:
a) Preenchimento da caderneta 135
Capítulo 3 - Altimetria
CADERNETA DE SEÇÕES TRANSVERSAIS Lado Esquerdo dn dist
dn dist
+ 1,0 1,9
+ 1,0 3,0
- 0,3 3,0
Eixo Estaca 12 Cota 52,50
Lado Direito + 1,0 3,0
+ 0,8 1,6
- 0,4 1,4
- 1,4 2,5
dn dist
b) Cálculo das cotas de todos os pontos; Cota da estaca 12 = 52,50 m CotaE1 = Cotaest12 + dnest12-E1 = 52,50 + (- 0,3) = 52,20 m CotaE2 = CotaE1 + dnE1-E2 = 52,20 + 1,0 = 53,20 m CotaE3 = CotaE2 + dnE2-E3 = 53,20 + 1,0 = 54,20 m
CotaD1 = Cotaest12 + dnest12-D1 = 52,50 + 1,0 = 53,50 m CotaD2 = CotaD1 + dnD1-D2 = 53,50 + 0,8 = 54,30 m CotaD3 = CotaD2 + dnD2-D3 = 54,30 - 0,4 = 53,90 m CotaD4 = CotaD3 + dnD3-D4 = 53,90 - 1,4 = 52,50 m
c) Desenho do perfil transversal
Figura 3.25: Perfil transversal.
5.2.3 - Nivelamento das Seções Transversais a Clinômetro
136
Neste processo são avaliados os ângulos de inclinação do terreno e a distância entre os pontos (Figura 3.26). Na operação de campo, visa-se com o clinômetro apoiado a um bastão vertical para outro de mesma altura na vertical, e mede-se o ângulo de inclinação. A seguir mede-se a distância horizontal entre os dois pontos. O cálculo das diferenças de nível é obtido pela resolução trigonométrica dos triângulos: dn = D . tgα onde dn - Diferença de nível; D - Distância entre os pontos, α - Ângulo de inclinação.
Exemplo 8: Baseado nos valores obtidos pelo nivelamento à clinômetro da figura 3.26:
Figura 3.26: Nivelamento de seção transversal a clinômetro.
a) Preencha a caderneta de campo; b) Calcule as cotas de todos os pontos.
Solução: a) Preenchimento da caderneta
137
Capítulo 3 - Altimetria
CADERNETA DE SEÇÕES TRANSVERSAIS Lado Esquerdo ±α dist
- 15o 6,00
- 16o 12,00
Eixo Estaca 34 Cota 102,20
Lado Direito - 20o 5,00
+ 14o 11,00
b) Cálculo das cotas de todos os pontos Primeiramente deve-se calcular as diferenças de nível entre os pontos, pela expressão:
dn = D . tgα dnest34-E1 = Dest34-E1 . tgαest34-E1 = 12,00 . tg(- 16o) = - 3,44 m dnE1-E2 = 6,00 . tg(- 15o) = - 1,61 m dnest34-D1 = Dest34-D1 . tgαest34-D1 = 5,00 . tg(- 20o) = - 1,82 m dnD1-D2 = 11,00 . tg(+ 14o) = + 2,74 m
CotaE1 = Cotaest34 + (- dnest34-E1) = 102,20 - 3,44 = 98,76 m CotaE2 = CotaE1 + dnE1-E2 = 98,76 - 1,61 = 97,15 m CotaD1 = Cotaest34 + dnest 12-D1 = 102,20 - 1,82 = 100,38 m CotaD2 = CotaD1 + dnD1-D2 = 100,38 + 2,74 = 103,12 m
6 - Representação Altimétrica Nas operações topográficas denominamos relevo as elevações e depressões do terreno. O relevo pode ser representado em planta baixa ou perfil, no plano do papel. Qualquer que seja o processo de representação do relevo, ele deve satisfazer as seguintes condições: # Realçar de forma mais expressiva possível as formas do relevo; # Permitir determinar, com precisão, a cota ou altitude de qualquer ponto do terreno.
6.1 - Planta Baixa A representação em planta baixa pode ser feita pelos seguintes processos: 138
a) Planta com pontos cotados Neste processo todos os pontos topográficos possuem as suas alturas fornecendo uma idéia aproximada do relevo (Figura 3.27).
Eixo Y
524.00 526.00
466.00 474.60 465.60 469.11 466.50 505.00 504.88 461.40 475.02 474.42 524.00 470.75 477.50 485.67 489.54 509.00 464.60 466.20 493.40501.70504.10 512.90 470.57475.89 479.20 466.00 10100.00 463.40 519.00 460.10 486.70 474.98 470.07 480.59 471.99 468.63460.79 496.73 494.30 502.20504.50 482.90 499.93 497.00 497.00 492.40 461.60 459.20472.95 485.87 502.10 468.82 459.10 501.40 464.72 462.10 501.85 471.02 461.60 462.89 9900.00 487.50 460.20468.18 461.60 462.60 464.85 456.60 502.40 501.73502.80 509.90 480.64 464.62 453.60 464.50 457.20 486.36 467.74 462.90 471.70 441.00 466.82 490.20 495.20 456.40 464.60 497.90 460.98 494.42 492.80 493.56 488.00 446.10 459.99 459.85 455.52 461.40 462.40 482.68 9700.00 469.80 502.65 545.22 484.02 490.40 478.41 485.76 475.20 459.00 480.40 467.98 481.57 465.84 453.11
10300.00
454.04
9500.00 2500.00 2750.00 3000.00 3250.00 3500.00 3750.00 4000.00 4250.00 4500.00 4750.00 5000.00 Eixo X
Figura 3.27: Planta com pontos cotados.
b) Planta com curvas de nível Este é o processo mais rigoroso de representação do relevo em planta baixa. Define-se curva de nível como o lugar geométrico onde todos os pontos possuem as mesmas cotas ou altitudes. Geralmente seu traçado percorre cotas ou altitudes inteiras (Figura 3.28). 10300.00 10100.00 9900.00 9700.00 9500.00 2500.00
3000.00
3500.00
4000.00
4500.00
5000.00
Figura 3.28: Planta com curvas de nível.
c) Planta de cores hipsométricas Neste caso as alturas dos pontos são representadas por cores diferentes, onde cada cor representa uma determinada altitude ou cota. Geralmente as cores mais claras representam as partes mais baixas e as escuras as partes mais altas (Figura 3.29).
139
Capítulo 3 - Altimetria
37.50 37.45 37.40 37.35 3800
37.30
3400
37.25 37.20
3000
37.15 2600 37.10 2200 37.05 37.00 -107.50
1800 -107.40
-107.30
-107.20
-107.10
-107.00
Figura 3.29: Planta em cores hipsométricas.
6.2 - Perfil A representação em perfil pode ser feita pelos seguintes processos:
a) Desenho do perfil Denomina-se perfil a representação, no plano vertical, das diferenças de nível obtidas durante o levantamento topográfico altimétrico (nivelamento) (Figura 3.30). Utilizado quando se deseja representar particularidades de um terreno, para fins de projetos. É um processo rigoroso de representar as elevações e depressões de um determinado terreno. A representação do terreno, no desenho, é feita por meio de eixos de coordenadas onde colocamos no eixo X as distâncias entre os pontos e no eixo Y as cotas ou altitudes. Normalmente utiliza-se um papel milimetrado. Nos desenhos de perfis, geralmente aplicam-se escalas independentes para os eixos X e Y. Acontece que, para melhor visualização do relevo, normalmente a escala vertical é maior. A relação mais recomendada é aquela em que a escala vertical seja de 5 a 10 (dez) vezes maior que a escala horizontal. Após o desenho do perfil, onde foram lançadas as cotas e distâncias, pode-se fazer a transferência das cotas inteiras para o desenho da planta baixa. Isto é realizado pela medida das distâncias entre as cotas inteiras, no eixo X. Um artifício a ser utilizado é o processo de transferência por “fita”, aonde são registradas todas as distâncias e transportadas para a planta baixa.
140
510,00
500,00
490,00
480,00
470,00
460,00
450,00
440,00 0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
3 5
4 0
4 5
5 0
5 5
6 0
6 5
7 0
7 5
8 0
8 5
9 0
9 5
1 0 0
1 0 5
1 1 0
1 1 5
1 2 0
1 2 5
1 3 0
1 3 5
1 4 0
1 4 5
Figura 3.30: Desenho de perfil.
b) Perspectiva Gerado através da Modelagem Digital de Terrenos (Figura 3.31). Pode-se citar as seguintes aplicações: # Estimativas de volume; # Análise de intervisibilidade entre pontos; # Extração de formas do relevo; # Estudos de tendência.
520.00 510.00 500.00 490.00 480.00 470.00 460.00 450.00 440.00
Figura 3.31: Desenho em perspectiva.
141
Capítulo 3 - Altimetria
Observações e anotações - Cap. 3 ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 142
1 - Introdução Na planialtimetria, as medidas angulares e lineares são tomadas considerando os planos horizontal e vertical. Nas medidas planimétricas, são avaliados os ângulos e distâncias por processos de levantamento planimétrico, e os cálculos para sua representação já foram discutidos anteriormente (Cap. 2). Para obtenção das medidas altimétricas, utiliza-se dos processos de nivelamento, com objetivo de representar o relevo (Cap. 3). Desta forma, a proposta da planialtimetria é utilizar-se dos processos planimétricos e altimétricos para a representação de um determinado trecho da terra, onde possa conter informações planimétricas (benfeitorias, rios, estradas, etc.) e altimétricas (vales, linhas de cumeada, etc.).
2 – Levantamento Planialtimétrico Os processos de levantamento são os mesmos utilizados para obter os elementos planimétricos (métodos principais e secundários - Cap. 2). Os procedimentos de avaliação dos ângulos horizontais e distâncias horizontais podem ser obtidos pelas diversas formas, também já discutidas. Porém, para caracterizar a planialtimetria, uma nova dimensão deve ser avaliada, ou seja, a altura (a cota ou a altitude) dos vários pontos do terreno. Esta dimensão deverá ser obtida pelo nivelamento. Um processo antigo, porém ainda muito utilizado pela rapidez e relativa precisão, é o processo taqueométrico. A taqueometria é um processo de levantamento planialtimétrico realizado por intermédio dos instrumentos denominados taqueômetros (Cap. 2). O levantamento taqueométrico é utilizado com grande freqüência para definição planialtimétrica de parcelas do terreno, realizado através de poligonais e de irradiações a partir de vértices das poligonais. A poligonal geralmente é desenvolvida em torno da área a ser levantada, servindo de arcabouço e base do levantamento, enquanto as irradiações têm por finalidade a determinação de pontos capazes a representar os acidentes naturais e artificiais deste local. 143
Capítulo 4 - Planialtimetria
Um resumo das fórmulas taqueométricas pode ser revisado pela tabela abaixo (Tabela 4.1). Tabela 4.1: Resumo das equações taqueométricas. Distância horizontal Diferença de nível
Analática D = m . g . cos2α
sen (2 ⋅ α ) ⎤ ⎡ dn = ⎢ m ⋅ g ⋅ ⎥+i−l 2 ⎣ ⎦
O processo de Poligonação, executado pelas Estações Totais, onde são avaliados diretamente as distâncias horizontais e diferenças de nível, bem como os ângulos horizontais entre os alinhamento têm suplantado o método taqueométrico em precisão e tempo de execução. Com a característica de armazenamento e exportação das informações obtidas em campo para softwares específicos para este equipamento, as operações topográficas de planialtimetria se facilitaram; contudo ainda deve-se obedecer os critérios de aceitação destes trabalhos através das normas vigentes, a citar, a NBR13.133 da ABNT.
3 – Exemplo de Cálculo Planialtimétrico A seguir é apresentado um exemplo de levantamento planialtimétrico, comentando-se as etapas para o cálculo planialtimétrico e construção da respectiva planta planialtimétrica. Para facilitar o cálculo de caderneta, este foi dividido em duas etapas distintas: planimetria e altimetria. Ainda, sua concepção será pautada em resolução com comentários teóricos desta solução. Muitos dos conceitos citados já foram de estudo do leitor, razão pela qual faz-se algumas referências à itens anteriores, especificamente dos capítulos 2 e 3. O exemplo simula uma caderneta estadimétrica, porém o cálculo é similar caso considerasse uma poligonação concebida por uma Estação Total.
Exemplo 1: Baseado na caderneta estadimétrica abaixo, calcule e desenhe a planta planialtimétrica (Figura 4.1). Considere a poligonal sendo da Classe V.
Figura 4.1: Croqui de área.
144
145
CADERNETA ESTADIMÉTRICA Est. A
B
C
D
E
F
G
H
Ponto Visado
Ângulo horário
B 1 2 3 C 4 5 6 D 7 8 9 10 E 11 12 13 14 F 15 16 17 18 19 G 20 21 22 23 H 24 25 26 27 28 A
180o 00’ 281o 30’ 271o 08’ 255o 34’ 243o 57’ 257o 45’ 280o 12’ 243o 40’ 186o 41’ 319o 20’ 273o 25’ 243o 57’ 187o 15’ 253o 02’ 316o 42’ 307o 28’ 253o 00’ 280o 06’ 237o 42’ 00o 00’ 307o 15’ 302o 28’ 269o 50’ 237o 42’ 252o 07’ 293o 10’ 294o 55’ 264o 00’ 290o 30’ 174o 35’ 269o 22’ 252o 33’ 202o 48’ 217o 40’ 174o 45’ 271o 54’
Azimute 8o 05’
FS
Estadia FM
FI
Ângulo vertical
Altura instr. (i)
1,930 1,787 1,780 1,788 2,168 1,827 1,788 1,881 2,073 1,678 1,678 1,406 1,428 2,216 2,284 1,912 1,698 1,780 2,128 1,788 1,932 1,839 1,776 1,719 2,162 1,830 1,998 1,972 2,098 2,198 1,879 1,772 1,651 1,825 1,782 1,689
1,470 1,470 1,470 1,470 1,510 1,510 1,510 1,510 1,480 1,480 1,339 1,203 1,214 1,490 2,000 1,490 1,490 1,490 1,520 1,520 1,520 1,520 1,520 1,520 1,490 1,490 1,490 1,490 1,490 1,510 1,510 1,510 1,510 1,510 1,510 1,500
1,010 1,153 1,160 1,152 0,852 1,193 1,232 1,139 0,887 1,282 1,000 1,000 1,000 0,765 1,716 1,068 1,282 1,200 0,912 1,252 1,108 1,201 1,264 1,321 0,818 1,150 0,982 1,008 0,882 0,822 1,141 1,248 1,369 1,195 1,238 1,312
- 3o 11’ + 0o 51’ + 0o 53’ + 0o 07’ + 0o 05’ + 0o 44’ + 0o 14’ + 0o 07’ + 0o 18’ - 0o 21’ - 0o 30’ - 4o 58’ - 1o 14’ + 1o 12’ - 3o 25’ - 0o 50’ - 1o 04’ - 1o 05’ - 1o 24’ - 2o 16’ - 0o 12’ - 0o 11’ - 0o 10’ - 0o 12’ + 0o 59’ + 2o 28’ + 1o 41’ + 1o 36’ + 1o 21’ - 0o 11’ + 0o 24’ + 0o 48’ + 1o 09’ + 2o 57’ - 0o 42’ + 3o 39’
1,470
Distância (m)
Diferença de Nível (m)
Observação M. dir. estrada l = 8,00 m casa - fundo - 12,50 m casa
1,510
1,480
1,490
1,520 M. direita cerca curral cerca curral 1,490 cerca curral cerca curral M. direita 1,510 M. direita
1,500
145
Capítulo 4 - Planialtimetria
Solução: Para cálculo da caderneta, têm-se as seguintes etapas: Primeiramente, deve-se classificar o tipo da poligonal topográfica adotada, considerando a tabela 2.5. Desta, projetar para as tabelas 2.9 e 2.10 e extrair os valores para coeficientes “b” e “d”, que relacionam com as precisões angulares e lineares respectivamente. A poligonal base utilizada neste exemplo é da classe V P, ou seja: Tabela 2.5: Levantamento Planimétrico – Poligonais. Medição Classe
Angular
Linear
Extensão máxima (L)
Leitura numa só posição Observações taqueométricas (vante e da luneta, horizontal e ré) em miras centimétricas previa05 km (P) vertical, com correções de mente aferidas, providas de nível esVP 02 km (S) colimação, PZ (ou de ín- férico com leitura dos três fios ou e01 km (A) dice) com teodolito classe quivalente (teodolitos autoredutores) 1. (P) – Poligonal principal (S) – Poligonal secundária (A) – Auxiliar
Desenvolvimento Lado Médio Mínimo (Dméd) (Dmin)
30 m
Número máximo de vértices
90 m
41 (P) 21 (S) 12 (A)
Materialização
Pinos ou piquetes
Fonte: NBR 13.133 - ABNT
Valores para definição das tolerâncias: Angular => b = 180” = 3’ (Tabela 2.9); Linear => d = 2,20 m (Tabela 2.10)
1 – Planimetria - Planilha de Coordenadas 1 - Cálculo do Fechamento Angular a) Cálculo do fechamento angular; b) Cálculo da tolerância angular (segundo ABNT); c) Distribuição do erro angular; 2 - Cálculo de Azimutes; 3 - Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas; a) Cálculo das distâncias (fórmula estadimétrica); 4 - Cálculo do Fechamento Linear; 5 - Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas; 6 - Cálculo das Coordenadas Absolutas; 7 - Cálculo da área da poligonal-base.
2 – Altimetria – Nivelamento estadimétrico 1 - Cálculo das diferenças de nível (fórmula estadimétrica); 2 - Cálculo das cotas ou altitudes.
3 - Planialtimetria 1 - Interpolação das cotas dos pontos; 2 - Desenho final (curvas de nível).
3.1 – Planimetria - Planilha de Coordenadas 146
1 - Cálculo do Fechamento Angular a) Cálculo do erro de fechamento angular Baseado na seguinte fórmula:
∑ ângulos = 180
o
∑ ângulos = 180
o
⋅ ( n ± 2)
⋅ (8 + 2) = 180 o ⋅ 10 = 1.800o (ângulos externos)
o 1.799 o 58' ≠ 1800 . → erro de 2’ por falta.
b) Cálculo da tolerância angular
Tolerancia = b ⋅ n
Considerando: b = 3’ e n = 8, tem-se: Tolerancia = 3'⋅ 8 = 8,485' ≅ 8' 29' '
Erro (2’) < Tolerância (8’ 29”) => Dentro da tolerância !
c) Cálculo da correção angular
correção =
Erro angular − 2' = = − 15 ' ' para cada lado Número de lados 8
Observe que a irradiação não sofreu correção.
2 - Cálculo de Azimutes AZA-B = 8o 05’ 00”(Este é medido em campo, sem possibilidade de alteração) Azimute calculado = (Azimute anterior + ângulo horário) ± 180o (ou - 540o)
Resumo Se (soma < 180o) Se (540o > soma > 180o) Se (soma > 540o)
) (soma + 180o) ) (soma - 180o) ) (soma - 540o)
AZB-C = (AZA-B + Ang. hor.B-C) = 8o 05’ 00” + 243o 57’ 15” = = 252o 02’ 15” - 180o = 72o 02’ 15” 147
Capítulo 4 - Planialtimetria
AZC-D = (AZB-C + Ang. hor.C-D) = 72o 02’ 15” + 186o 41’ 15” = = 258o 43’ 30” - 180o = 78o 43’ 30” ..................................................................................................... AZA-B = (AZH-A + Ang. hor.A-B) = 8o 04’ 45” + 180o 00’ 15” = = 188o 05’ 00” - 180o = 8o 05’ 00”
Irradiação: AZA-1 = (AZH-A + Ang. hor.A-1) = 8o 04’ 45” + 281o 30’ = = 289o 34’ 45” - 281o 30’ = 109o 34’ 45” .............................................................................................................. Demais resultados na caderneta de coordenadas.
3 - Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas Obs.: Serão feitos apenas alguns cálculos demonstrativos, sendo o restante a cargo do leitor. Os resultados constam da caderneta de cálculo. Primeiramente o cálculo das distâncias e a seguir as coordenadas. D = m . g . cos2α xA-B = DA-B . sen AzimuteA-B => (abcissa relativa) yA-B = DA-B . cos AzimuteA-B => (ordenada relativa)
a) Cálculo das distâncias (estadimetria) DA-B = (1,930 - 1,010) . 100 . cos2(- 3o 11’) = 91,716 m DA-1 = (1,787 - 1,153) . 100 . cos2(- 0o 51’) = 63,386 m DA-2 = (1,780 - 1,160) . 100 . cos2(- 0o 53’) = 61,985 m DA-3 = (1,788 - 1,152) . 100 . cos2(- 0o 07’) = 63,600 m ..................................................................................... e assim sucessivamente
Demais resultados na caderneta de coordenadas. xA-B = DA-B . sen AZA-B = 91,716 . sen 8o 05’ 00” = + 12,896 m ................................................................................................ xH-A = DH-A . sen AZH-A = 37,547 . sen 8o 04’ 45” = + 5,277 m yA-B = DA-B . cos AZA-B = 91,716 . cos 8o 05’ 00” = + 90,805 m 148
................................................................................................ yH-A = DH-A . cos AZH-A = 37,547. cos 8o 04’ 45” = + 37,174 m
Irradiação: xA-1 = DA-1 . sen AZA-1 = 63,386. sen 109o 34’ 45” = + 59,721 m yA-1 = DA-1 . cos AZA-1 = 63,386. cos 109o 34’ 45”= - 21,241 m
4 - Cálculo do Fechamento Linear a) Cálculo do erro linear E = ex 2 + ey 2 ex = ∑ x ( + ) + ∑ x ( − ) = + 0,084 m ey = ∑ y ( + ) + ∑ y ( − ) = - 0,042 m
E=
( +0,084)2 + ( −0,042)2
= 0,125 = 0,094 m
b) Cálculo da tolerância linear T = d ⋅ L (km)
Considerando d = 2,20 m e L = 0,91798 (em quilômetros) tem-se: T = 2,20 ⋅ 0,91798 = 2,11 m
Erro (0,094 m) < Tolerância (2,11) - Dentro da tolerância !
c) Cálculo do erro relativo linear
Er =
El 0,094 1 1 = = ≅ L 917,98 9.795,766 10.000
ou seja, projeta um erro de aproximadamente 1 cm a cada 100,000 m, sendo uma precisão muito boa para a maioria das aplicações de Agrimensura.
5 - Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas
149
Capítulo 4 - Planialtimetria
Será utilizado o processo de proporcional às distâncias. Serão feitos apenas alguns cálculos demonstrativos, sendo o restante a cargo do leitor. Os resultados constam da caderneta de cálculo.
Processo 1 - Proporcional às distâncias
a) Cálculo dos fatores em x e em y.
fatorx =
fatory =
ex P
ey P
=
− 0,084 = −9,151 x 10 −5 917,982
=
+ 0,042 = + 4,575 x 10 −5 917,982
sendo P o perímetro em metros.
b) Cálculo da correção em x e em y Correção x1-2 = fatorx . dist1-2;
Correção y1-2 = fatory . dist1-2
Deve-se observar que o sinal da correção deve ser contrário ao do erro. Corr xA-B = fatorx . distA-B = - 9,151 x 10-5 . 91,716 = - 0,008 m .................................................................................................... Corr xH-A = fatorx . distH-A = - 9,151 x 10-5. 37,547 = - 0,003 m
Corr yA-B = fatory . dist A-B = + 4,575 x 10-5 . 91,716 = + 0,004 m .................................................................................................... Corr y H-A = fatory . dist H-A = + 4,575 x 10-5. 37,547 = + 0,002 m
Finalmente, as coordenadas relativas ou parciais corrigidas serão dadas pela coordenadas relativas não corrigidas, mais ou menos a correção
6 - Cálculo das Coordenadas Absolutas
150
Para determinação das coordenadas absolutas, adotou-se valores para as coordenadas X e Y iniciais (ponto A). XA = 1.000,000 m YA = 1.000,000 m
XB = XA + xA-B = 1.000,000 + 12,888 = 1.012,888 m B
................................................................................. XH = XG+ xG-H = 1.131,541 - 136,814 = 994,727
YB = YA + yA-B = 1.000,000 + 90,809 = 1.090,809 m B
................................................................................. YH = YG+ yG-H = 948,017 + 14,807 = 962,824
Irradiação: XA-1 = XA + xA-1 = 1.000,000 + 59,721 = 1.059,721 m YA-1 = YA + yA-1 = 1.000,000 - 21,241 = 978,759 m .................................................................................
7 - Cálculo da área da poligonal-base. O cálculo da área utilizou-se do método analítico pela Fórmula de Gauss (Cap. 2, item 7.1), tendo como resposta: Área = 53.525 m2 = 5,3525 ha.
Sugere-se que este valor seja comprovado pelo leitor.
3.2 – Altimetria – Nivelamento Estadimétrico a) Cálculo das diferenças de nível (estadimetria) 151
Capítulo 4 - Planialtimetria
Será demonstrado apenas um cálculo e o restante dos resultados fica a cargo do leitor. Baseado na seguinte fórmula: sen ( 2 ⋅ α ) ⎤ ⎡ dn = ⎢ m ⋅ g ⋅ ⎥+i−l 2 ⎣ ⎦
(
) ⎥ + 1,470 − 1,470 = − 5,101 m
⎡
sen 2 ⋅ ( −3o 11' ) ⎤
⎢⎣
2
dn A − B = ⎢(1,930 − 1,010) ⋅ 100 ⋅
⎥⎦
............................................................................................................
b) Cálculo do erro fechamento altimétrico e sua distribuição
Como se trata de uma poligonal em “looping”, as somas de suas diferenças de nível entre os alinhamentos da poligonal principal devem ser iguais a zero.
∑ diferenca de nivel = 0
Logo, somando os resultados da tabela 4.2, tem-se:
∑ diferenca de nivel = +0,040 m ≠ 0 , com erro de +0,040 m por excesso.
No cap. 3, item 3.6.1 (Tabela 3.4), definiu-se as tolerâncias para o erro altimétrico no nivelamento taqueométrico, considerando a seguinte expressão: Tolerância = 0,30 m .
k
Para k igual a aproximadamente 918 m (0,918 km), a tolerância permitida para o erro no nivelamento será:
T = 0,30 ⋅ 0,918 = 0,287 m
Logo, o erro é menor que a tolerância (erro < tolerância) devendo ser distribuído entre os pontos da poligonal. A distribuição deste erro será dada pela divisão do erro pelo número de estações da poligonal (Tabela 4.2):
152
Corr =
erro admissível − 0,040 = = −0,005m número de estações do nível 8
c) Cálculo das cotas
Baseado nas diferenças de nível compensadas, e a cota do marco inicial, os cálculos das cotas serão obtidos por (Tabela 4.2): Cota A = 1.000,000 m (arbitrada) Esta coordenada (cota ou altitude) deve ser conhecida em algum ponto da poligonal, para que a partir desta o levantamento esteja referenciado, no caso do ponto A. Cota B = Cota A ± ΔNA-B = 1.000,000 - 5,1016 = 994,894 m Cota C = Cota B ± ΔNB-C = 994,894 + 0,186 = 995,080 m ...............................................................................................
As irradiações serão dadas por: Cota 1 = Cota A ± ΔNA-1 Cota 2 = Cota A ± ΔNA-2 .........................................
Tabela 4.2: Altimetria – Exemplo. Est.
A B C D E F G H
Ponto visado A B C D E F G H A Soma
Diferença de nível (m)
Correção (m)
Diferença de nível compensada (m)
- 5,101 + 0,191 + 0,621 + 3,038 - 2,970 + 2,306 - 0,440 + 2,395 + 0,040
- 0,005 - 0,005 - 0,005 - 0,005 - 0,005 - 0,005 - 0,005 - 0,005 - 0,040
- 5,106 + 0,186 + 0,616 + 3,033 - 2,975 + 2,301 - 0,445 + 2,390 0,000
Cotas (m) 1.000,000 994,894 995,080 995,696 998,729 995,754 998,055 997,610 1.000,000
153
Capítulo 4 - Planialtimetria
3.3 - Planialtimetria Finalmente a planialtimetria se consagra com a junção dos dados planimétricos e altimétricos numa mesma representação. A forma de representação planialtimétrica mais comum é a planta topográfica com curvas de nível, aonde podem ser observados elementos planimétricos e conformações do relevo do terreno. Para construção desta planta com curvas de nível lança-se mão de conceitos do desenho topográfico (Figura 4.2). Na figura 4.3 tem-se o modelo digital deste terreno, em perspectiva.
Figura 4.2: Planta planialtimétrica do terreno.
Figura 4.3: Planta em perspectiva do terreno. 154
155
PLANILHA DE COORDENADAS Est.
A
B
C
D
E
F
G
H
Ponto Visado
B 1 2 3 C 4 5 6 D 7 8 9 10 E 11 12 13 14 F 15 16 17 18 19 G 20 21 22 23 H 24 25 26 27 28 A
Ângulo horário Lido
Corr.
Corrigido
180o 00’ 281o 30’ 271o 08’ 255o 34’ 243o 57’ 257o 45’ 280o 12’ 243o 40’ 186o 41’ 319o 20’ 273o 25’ 243o 57’ 187o 15’ 253o 02’ 316o 42’ 307o 28’ 253o 00’ 280o 06’ 237o 42’ 00o 00’ 307o 15’ 302o 28’ 269o 50’ 237o 42’ 252o 07’ 293o 10’ 294o 55’ 264o 00’ 290o 30’ 174o 35’ 269o 22’ 252o 33’ 202o 48’ 217o 40’ 174o 45’ 271o 54’
+ 15” + 15” + 15” + 15” + 15” + 15” + 15” + 15”
180o 00’ 15” 281o 30’ 271o 08’ 255o 34’ 243o 57’ 15” 257o 45’ 280o 12’ 243o 40’ 186o 41’ 15” 319o 20’ 273o 25’ 243o 57’ 187o 15’ 253o 02’ 15” 316o 42’ 307o 28’ 253o 00’ 280o 06’ 237o 42’ 15” 00o 00’ 307o 15’ 302o 28’ 269o 50’ 237o 42’ 252o 07’ 15” 293o 10’ 294o 55’ 264o 00’ 290o 30’ 174o 35’ 15” 269o 22’ 252o 33’ 202o 48’ 217o 40’ 174o 45’ 271o 54’ 15”
Azimutes
8o 05’ 00” 109o 34’ 45” 99o 12’ 45” 83o 38’ 45” 72o 02’ 15” 85o 50’ 00” 108o 17’ 00” 71o 45’ 00” 78o 43’ 30” 211o 22’ 15” 165o 27’ 15” 135o 59’ 15” 79o 17’ 15” 151o 45’ 45” 215o 25’ 30” 206o 11’ 30” 151o 43’ 30” 178o 49’ 30” 209o 28’ 00” 331o 45’ 45” 279o 00’ 45” 274o 13’ 45” 241o 35’ 45” 209o 27’ 45” 281o 35’ 15” 322o 38’ 00” 324o 23’ 00” 293o 28’ 00” 319o 58’ 00” 276o 10’ 30” 10o 57’ 15” 354o 08’ 15” 304o 23’ 15” 319o 15’ 15” 276o 20’ 15” 8o 04’ 45”
Dist. (m)
91,716 63,386 61,985 63,600 131,600 63,390 55,599 74,200 118,597 39,599 67,795 40,296 42,780 145,036 56,598 84,382 41,586 57,979 121,527 53,516 82,399 63,799 51,200 39,800 134,360 67,874 101,512 96,325 121,532 137,599 73,796 52,390 28,189 62,833 54,392 37,547
Coordenadas Parciais (m)
Correções (m)
x = D .sen AZ
y = D .cos AZ
Cx
Cy
+ 12,896 + 59,721 + 61,185 + 63,209 + 125,186 + 63,222 + 52,792 + 70,468 + 116,308 - 20,614 + 17,027 + 27,998 + 42,034 + 68,621 - 32,806 - 66,975 + 19,699 + 1,189 - 59,781 - 25,320 - 81,382 - 63,625 - 45,036 - 19,576 - 131,622 - 41,194 - 59,116 - 88,358 - 78,173 - 136,801 + 14,023 - 5,351 - 23,263 - 41,011 - 54,060 + 5,277
+ 90,805 - 21,241 - 9,924 + 7,039 + 40,585 + 4,606 - 17,442 + 23,237 + 23,188 - 33,810 - 65,622 - 28,980 + 7,952 - 127,776 - 46,120 + 51,330 - 36,624 - 57,967 - 105,807 + 47,147 + 12,908 + 4,705 - 24,355 - 34,653 + 26,988 + 53,944 + 82,522 + 38,358 + 93,053 + 14,801 + 72,451 + 52,116 + 15,921 + 47,603 + 6,004 + 37,174
- 0,008 - 0,012 - 0,011 - 0,013 - 0,011 - 0,012 - 0,013 - 0,004
+ 0,004 + 0,006 + 0,005 + 0,007 + 0,006 + 0,006 + 0,006 + 0,002
Coordenadas Parciais Corrigidas (m) x y
+ 12,888 + 59,721 + 61,185 + 63,209 + 125,174 + 63,222 + 52,792 + 70,468 + 116,297 - 20,614 + 17,027 + 27,998 + 42,034 + 68,608 - 32,806 - 66,975 + 19,699 + 1,189 - 59,792 - 25,320 - 81,382 - 63,625 - 45,036 - 19,576 - 131,634 - 41,194 - 59,116 - 88,358 - 78,173 - 136,814 + 14,023 - 5,351 - 23,263 - 41,011 - 54,060 + 5,273
+ 90,809 - 21,241 - 9,924 + 7,039 + 40,591 + 4,606 - 17,442 + 23,237 + 23,193 - 33,810 - 65,622 - 28,980 + 7,952 - 127,769 - 46,120 + 51,330 - 36,624 - 57,967 - 105,801 + 47,147 + 12,908 + 4,705 - 24,355 - 34,653 + 26,994 + 53,944 + 82,522 + 38,358 + 93,053 + 14,807 + 72,451 + 52,116 + 15,921 + 47,603 + 6,004 + 37,176
Coordenadas Totais (m) X
Y
1.012,888 1.059,721 1.061,185 1.063,209 1.138,062 1.076,110 1.065,680 1.083,356 1.254,359 1.117,448 1.155,089 1.166,060 1.180,096 1.322,967 1.221,553 1.187,384 1.274,058 1.255,548 1.263,175 1.297,647 1.241,585 1.259,342 1.277,931 1.303,391 1.131,541 1.221,981 1.204,059 1.174,817 1.185,002 994,727 1.145,564 1.126,190 1.108,278 1.090,530 1.077,481 1.000,000
1.090,809 978,759 990,076 1.007,039 1.131,400 1.095,415 1.073,367 1.114,046 1.154,593 1.097,590 1.065,778 1.102,420 1.139,352 1.026,824 1.108,473 1.205,923 1.117,969 1.096,626 921,023 1.073,971 1.039,732 1.031,529 1.002,469 992,171 948,017 974,967 1.003,545 959,381 1.014,076 962,824 1.020,468 1.000,133 963,938 995,620 954,021 1.000,000
155
Capítulo 4 - Planialtimetria
Observações e anotações - Cap. 4 ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 156
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Capítulo 4 - Planialtimetria
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1 - Introdução e Histórico Importante: Este capítulo foi baseado no capítulo “GPS: Global Positioning System. Aspectos Básicos”, do livro “Topografia Contemporânea” de Loch & Cordini, editado em 1995 pela Universidade Federal de Santa Catarina. Com o advento da era espacial, viu-se a possibilidade de posicionamento cada vez mais rápido e preciso, que se baseiam no rastreamento de satélites. Trabalhos tanto de Geodésia quanto Topografia vem se valendo desta possibilidade. A partir de 1973 foi implantado o projeto NAVSTAR-GPS ou simplesmente GPS: Global Positioning System. O sistema consiste basicamente de um conjunto de estações fixas espalhadas na superfície da terra (estações de controle), uma constelação de satélites artificiais em órbita a cerca de 20.200 Km e estações receptoras móveis. Pode-se citar alguns benefícios advindos desta técnica de posicionamento como: precisão compatível, rapidez, independência das condições atmosféricas, etc. Num breve histórico da utilização de satélites de posicionamento, este se inicia com o SPUTINIK I, lançado pela antiga União Soviética em 1957. A seguir, tem-se o Programa TRANSIT, desenvolvido pela Marinha Americana e operando com 3 satélites (1964). Em 1967 se tornou disponível à comunidade civil. Desde então, foi batizado de NNSS (Navy Navigation Satellite System), e o sistema acusa uma rápida expansão. Porém para evitar uma proliferação de sistemas paralelos, agências americanas (Departamento de Defesa, NASA, Departamento de Comércio, Departamento de Transportes e a Administração Federal da Aeronáutica) criaram o DNSS (Defense Navigation Satellite System). O objetivo deste grupo era investigar a viabilidade de sistemas de satélites para comunicação, transferência precisa de tempo e controle de tráfego aéreo. Com as exigências do DNSS, a Marinha Americana e a Força Aérea formularam dois projetos: # TIMATION (Marinha); 159
Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos
# SYSTEM 621-B (Força Aérea).
Da União deste dois projetos, em 1973, originou o NAVSTAR-GPS: NAVigation System with Time and Ranging - Global Positioning System.
2 - Segmentos do Sistema e o Projeto NAVSTAR-GPS De maneira geral, o sistema NAVSTAR-GPS subdivide-se em três segmentos: # Segmento espacial; # Segmento de controle; # Segmento dos usuários.
a) Segmento espacial É composto por 21 satélites em operação, com mais 3 de reserva (24 satélites). Sua função é gerar e transmitir os sinais GPS: códigos, portadoras e mensagens de navegação. Os sinais são derivados da freqüência fundamental f0 = 10,23 MHz, com a seguinte estrutura (ondas portadoras): L1 = 154 . f0 = 1.575,42 MHz e
L2 = 120 . f0 = 1.227,60 MHz
Os códigos são modulados em fase com a onda portadora, emitida à freqüência de: Código C/A = f0/10 = 1,023 MHz Código P = f0 = 10,23 MHz
b) Segmento de controle Consistem de estações monitoras localizadas em Diego Garcia, Ascension Island, Kwajlein e Hawaii; e uma
estação
de
controle
(“master”) em Consolidated Space
Operations
Center
(CSOC), em Colorado Springs. Seu objetivo é monitorar a “saúde” (condições) dos
Figura 5.1: Segmento de controle.
satélites, determinar suas órbitas (efemérides) e as correções aos relógios dos satélites (Figura 5.1).
c) Segmento dos usuários 160
Consistem de todos os usuários militares e civis. Receptores apropriados rastreiam os códigos ou as fases das portadoras (ou ambos), além das mensagens transmitidas pelos satélites (Figura 5.2).
Com relação às necessidades propostas pelo DNSS, pode-se citar: a) Precisão de posicionamento na ordem de centímetro; b) Exata definição da velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas (c = 299.792.458 m/s ± 1,2 m/s) e do tempo; c) Disponibilidade contínua de dados para navegação;
Figura 5.2: Segmento dos usuários.
d) Base para o estabelecimento de um referencial global; e) Cobertura global e regional; f) Potencial generalizado de navegação para minimizar a proliferação de sistemas para fins especiais ou de cobertura regional.
Nas tabelas a seguir (Tabela 5.1 e 5.2) tem-se a configuração original e atual do sistema GPS.
Tabela 5.1: Configuração Original do
Tabela 5.2: Configuração em 1990 do
NAVSTAR-GPS.
NAVSTAR-GPS.
* Constelação de 24 satélites * 03 planos orbitais com 8 satélites cada * Altitude da órbita: 20.000 Km * Órbita circular * Inclinação dos planos orbitais: 630 * Período de revolução : 12 horas * Relógios atômicos a bordo dos satélites com estabilidade de 10-13 do segundo * Portadoras de radiofrequência de 1,2 e 1,6 GHz * Potência: 450 Watts
* Constelação de 24 satélites * 06 planos orbitais com 4 satélites cada * Altitude nominal da órbita: 20.183 Km * Órbita quase circular * Inclinação dos planos orbitais em relação ao equador : 540 44’ * Período de revolução : 12 horas siderais * Relógios atômicos a bordo dos satélites com estabilidade de 10-13 do segundo * Portadoras de radiofrequência: L1 = 1575,42 MHz e L2 = 1227,60 MHz * Potência: 450 Watts 3 satélites de reserva
3 - Princípios de Observação e Técnicas de Posicionamento GPS 161
Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos
O princípio básico para a determinação de pontos sobre a superfície terrestre (posicionamento) a partir de observações GPS trata-se de um procedimento de medição de distância na qual, ao mesmo tempo, são medidas as distâncias entre a estação de recepção e 4 satélites artificiais. Logo, partindo-se de coordenadas conhecidas dos 4 satélites, num dado instante, calculam-se as coordenadas da estação. Acompanhe a seguir este princípio: Um conjunto de observações sobre os satélites, em cada estação, resulta num conjunto de 4 equações do tipo (Figura 5.3):
Ri = [(XS - XR)2 + (YS - YR)2 + (ZS - ZR)2]1/2 + COR
onde COR = c.DTU - c.DTS + ION + TROP sendo XS, YS, ZS = Coordenadas tridimensionais do satélite (conhecidas através de suas efemérides); XR, YR, ZR = Coordenadas tridimensionais do receptor (inicialmente são consideradas incógnitas); COR - Correção; DTU - Estado do relógio do receptor; DTS - Estado do relógio do satélite; c - Velocidade de propagação da luz no vácuo; ION - Correção devido à refração ionosférica; TROP - Correção devido à refração troposférica.
Logo, tendo 4 equações R’s, a 3 incógnitas XR, YR, ZR, certamente o sistema estará resolvido.
As variáveis de observação, ou seja, os dados a serem avaliados pelo receptor, consistem em dois tipos de informações: # Medição de fase codificada; # Medição de fase da portadora.
162
Figura 5.3: Princípio de observação. a) Medição de fase codificada A fase codificada (C/A e P) permite a determinação indireta da distância a partir da medida direta do intervalo de tempo de propagação da onda entre o satélite e o receptor, multiplicado pela velocidade de propagação desta onda. Entre as aplicações deste método pode-se citar o posicio-
Figura 5.4: Fase codificada.
namento em tempo real de um móvel. Sua precisão é da ordem de metros (Figura 5.4).
b) Medição de fase da portadora A fase da portadora (L1 e L2 => comprimento em torno de 20 cm) permite a determinação indireta da distância análoga àquelas obtidas a partir dos códigos. Porém neste caso, mede-se a diferença de fase entre o sinal que chega do satélite e o sinal gerado pelo oscilador, surgindo uma incógnita adicional na observação da distância, denominada ambigüidade. A ambigüidade é o número total de comprimentos de onda completos (ciclos) que o sinal apresenta ao ser captado pelo receptor no início do período de rastreamento. Existem diversas técnicas de determinação da ambigüidade. Nas aplicações deste método, obtêm uma melhor precisão no posicionamento.
163
Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos
3.1 - Observações no Modo Relativo ou Diferencial Para otimizar a medição de fase da onda codificada e da portadora, procura-se minimizar ou até mesmo eliminar alguns erros ou perturbações (erro de órbita do satélite, refração troposférica e refração ionosférica, etc.). Desta forma aplica-se o posicionamento relativo. Este posicionamento adota modelos matemáticos que promovem a diferença de observações, utilizando-se no mínimo duas
Figura 5.5: Posicionamento relativo ou diferencial.
estações que conduzem observações simultâneas aos mesmos satélites (Figura 5.5). Geralmente uma destas estações possui as coordenadas do receptor conhecidas, e por diferença entre estas coordenadas conhecidas e as calculadas, são calculadas correções à serem inseridas na segunda estação.
Os principais erros a serem eliminados são:
a) Erros de órbita (gira em torno de 10 a 30 m) - A influência deste erro sobre estações vizinhas é facilmente eliminada quando se faz o uso de diferenças de observações. Para distâncias superiores a 50 Km devem ser consideradas. b) Ionosfera - Devido à alta freqüência da onda portadora, a sua influência é muito pequena. c) Troposfera - Pode ser modelada - 2 a 3 cm.
Tanto as observações de código (C/A e P), quanto à da fase das portadoras (L1 e L2), podem ser tratadas adotando-se o procedimento do posicionamento relativo ou diferencial. No caso de observações de código (C/A e P), a técnica associada denomina-se DGPS-Differential GPS, muito utilizado em navegação.
No caso de observações da fase da onda portadora (L1 e L2), as observações são combinadas linearmente, originando-se as seguintes equações de observação (Figura 5.6):
164
1) Simples diferença de fase - Quando se diferenciam as observações de fase de duas estações em relação ao mesmo satélite (cancelar os erros dos relógios dos satélites). 2) Dupla diferença de fase - Quando se diferenciam as diferenças simples em relação a dois satélites (cancelar os erros dos relógios dos satélites e do receptor). 3) Tripla diferença de fase - Quando se diferenciam as duplas diferenças em relação ao tempo (cancelar os erros dos relógios dos satélites e do receptor e as ambigüidades).
Figura 5.6: Método diferencial utilizando as ondas portadoras.
Após ter visto as grandezas que podem ser avaliadas pelo usuário, este necessita adotar algumas técnicas para seu posicionamento através de satélites. Com relação às técnicas de posicionamento, para aplicações geodésicas e topográficas, os procedimentos devem possibilitar algumas condições favoráveis como: # Utilizar a medição de fase da onda portadora; # Realizar observações no modelo relativo ou diferencial (mínimo de dois aparelhos); # Utilizar receptor e programa de cálculo apropriado.
As técnicas de posicionamento topográfico e geodésico mais amplamente utilizadas segundo as Especificações e Normas do IBGE são:
a) Posicionamento estático 165
Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos
Dois ou mais receptores fixos observam os mesmos satélites durante uma hora ou mais - Precisão de 1 a 2 ppm. b) Posicionamento cinemático contínuo ou semicinemático (stop-and-go) Um receptor é mantido fixo enquanto outro(s) é (são) móvel. Os sinais devem ser continuamente rastreados para evitar perdas de sinais a fim que se determine a ambigüidade.
c) Posicionamento pseudocinemático ou pseudo-estático Um receptor é mantido fixo enquanto outro(s) ocupa(m) a(s) mesma(s) estação(ções) mais de uma vez.
d) Posicionamento estático-rápido Corresponde ao pseudocinemático sem a necessidade de re-ocupação das estações.
e) Solução de ambigüidades em tempo real Equivale ao estático-rápido, com receptor itinerante se movendo continuamente.
Os métodos das alíneas “d” e “e” adotam soluções de cálculos que utilizam simultaneamente os quatro tipos de observação proporcionados pelo sistema: fases da portadora (L1 e L2) e os códigos (C/A e P). As técnicas de posicionamento relativo revestem-se de grande importância quando considera a implantação da degradação da qualidade proporcionada pelo sistema. Devido ao fato do GPS ter sido desenvolvido principalmente por razões militares, o Departamento de Defesa dos EUA projetou as seguintes técnicas de imprecisão ao sistema: # Disponibilidade Seletiva (Selective Availability - SA): técnica de degradação deliberada da estabilidade dos relógios dos satélites e da mensagem por eles transmitida (bloco II); # Anti-spoofing (AS): técnica de criptografia do código P, dando origem ao código Y (implementado).
Para o posicionamento relativo, que tem como objetivo minimizar os erros associados aos relógios, o SA não constitui grandes problemas. No caso da técnica AS, a maioria dos receptores utiliza o código C/A ou possuem alternativas para o caso do código P ser criptografado. Portanto a degradação do sinal representa um problema para usuários que buscam posicionamento isolado, o que prejudica a maioria das aplicações tradicionais em tempo real.
4 - Informações Básicas para Utilização do Sistema 166
Para que se utilize o sistema GPS, algumas observações devem ser consideradas: a) Disponibilidade de satélites em quantidade suficiente (“janelas”) (pode ser determinado através de programas); b) Rastreamento simultâneo de pelo menos quatro satélites; c) Estações próximas uma das outras (± 20 Km) para o método diferencial; d) Satélites “saudáveis”, isto é, em plenas condições de operação; e) Atenção com altitude elipsoidal x altitude ortométrica; f) Condições locais.
Com relação às altitudes obtidas pelo GPS, alguns pontos devem estar claros, pois as altitudes no sistema GPS são referenciadas a um elipsóide (modelo matemático adotado para forma da terra - WGS 84), enquanto as altitudes geodésicas são referidas ao geóide (nível médio dos mares). Assim, a altitude GPS (elipsoidal) deve sofrer uma transformação do elipsóide para o geóide. Dependendo da aplicação, pode-se usar de mapas geoidais, como o publicado pelo IBGE para o Brasil. No cap. 3, item 3.6.3, discutiu-se a possibilidade de nivelamento pelo sistema GPS.
Quanto ao local recomenda-se: a) Boas condições de acesso; b) Inexistência de obstáculos acima de 20o; c) Evitar proximidades de redes de alta tensão; d) Evitar proximidades de objetos que possam refletir as ondas (multicaminhos).
5 - Transformação de Referenciais Geodésicos O sistema geodésico adotado como referência, tanto das efemérides transmitidas quanto das precisas, é o World Geodetic System 1984 (WGS 84). Isto acarreta a transformação dos resultados para o sistema SAD-69 (South American Datum)
SAD-69
WGS-84
adotado no Brasil. Estes parâmetros são fornecidos pelo IBGE através de sua publicação “Especificações e Normas Gerais para Levantamentos GPS”.
167
Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos
Como dito no item anterior, deve-se ressaltar que GPS fornece resultados de altitude elipsoidal (WGS 84). Para algumas aplicações, torna obrigatório o emprego do Mapa Geoidal do Brasil, para a obtenção das altitudes referidas ao geóide e ao datum Imbituba-S.C.
6 - Instrumento Receptor Do ponto de vista da precisão é importante o receptor ser capaz de medir a fase da portadora; de preferência nas duas freqüências (L1 e L2). Outro fator importante é o número de satélites que podem ser rastreados simultaneamente (Figura 5.7). Na tabela (Tabela 5.3) se pode observar alguns modelos encontrados no mercado de receptores GPS, com sua precisão e preço (dados de 1998).
Figura 5.7: Alguns modelos de receptores GPS.
7 - Precisão e Classificação dos Levantamentos GPS A precisão no levantamento está relacionada com os seguintes fatores: método de levantamento, geometria dos satélites, tipo (número de máximo de satélites, sinais rastreados) e quantidade de receptores (Tabela 5.4). # Com um único receptor, obtêm-se coordenadas com precisão entre 20 a 30 m (modo absoluto). # Dois aparelhos e método diferencial - alguns centímetros. # Ocupando vários pontos conhecidos e a determinar - pode atingir de 1 a 2 cm.
Tabela 5.3: Mercado de receptores GPS – Referência ano 2000 168
Aplicação
Fabricante
Modelo
Lev. Expedito Navegação Autônomo
Trimble Garmin Magelan
Lev. Topográfico Navegação Diferencial
Trimble
Ensign GPS-45 Traiblazer Geoexplorer Pathfinder Pro-XL GPS-45 4000 RS 4000 DS SRVY II Fild Pro-V Pro Mark V
Navegação Diferencial de Precisão Geodésico Estático Bases Curtas Cinemático Geodésico Estático Bases Longas Cinemático Geodésico Estático Cinemático Rápido Estático Geodésico Dinâmico (on-the-fly)
Garmin Trimble Garmin Magelan
Trimble Ashtech Topcon Trimble Ashtech Topcon Trimble Ashtech Topcon
4000 SE Land Surveyor Dimension GP-R1 4000 SSE Land Surveyor MDX II GP-R1D 4000 SSE Geodetic Surveyor Z-12 GP-R1DY
No Máximo de Satélites 8 8 12 8 8/12 8 9 8 5 8 12 12 9 12 12 9 12 12
Trimble
4000 SSE Site Surveyor
9
Ashtech
Z-12
12
2 a 5m < 1m < 1m < 0,5m 5 a 10m
Peso (Kg) 0,4 0,3 0,4 0,4 1,8 0,3
< 1m
2,7
< 5m <5 m < 1m
0,7 0,4 0,85
Preço (R$) 1.302 1.200 1.300 55.580 16.740 1.200 37.200 29.760 6.500 3.000 12.000
2 ppm
2,7
18.600
1 a 2 ppm 1 a 2 ppm
2,7 3,8
15.000 22.000
1 ppm
3,1
37.200
1 a 2 ppm 1 a 2 ppm
6,0 4,0
25.000 30.000
1 ppm
3,1
44.640
1 ppm 1 ppm
6,0 4,2
45.000 40.000
1 ppm
3,1
46.500
10 cm
6,0
45.000
Sinais rastreados
Precisão
L1 C/A Código
100 m
L1 C/A Código L1 C/A Código e Portadora
L1 C/A Código e Portadora L1 C/A Código e Portadora L2Squaring L1 C/A Código e Portadora L2, P ou Y L1 C/A Código e Portadora L2, P ou Y
Tabela 5.4: Técnicas de Posicionamento com o sistema GPS x Precisão – Referência ano 2000. Técnica Ponto isolado DGPS Ponto Isolado acumulado Diferencial com código acumulado Interferometria (Estático) Interferometria (Cinemático) Interferometria (Pseudo-cinemático) Estático-rápido e solução de ambigüidades em tempo real. Relaxação Orbital Integração Orbital
Aplicações
Observação
Navegação Reconhecimento Navegação Engenharia Topografia Engenharia Topografia Engenharia Geodésia (bases curtas) Geodésia Geodésia (bases curtas)
Código C/A (Pseudo-distância) Código P (Pseudo-distância) Código C/A (Pseudo-distância) Código P (Pseudo-distância) Código C/A (Pseudo-distância) Código P (Pseudo-distância) Código C/A (Pseudo-distância) Código P (Pseudo-distância) Portadora L1
Geodésia Geodésia Geodésia (fins científicos) Geodinâmica
Precisão (sem S.A.) 30 m 20 m 1 a 10 m N.D. 20 m 3m 3a5m 1m 2 ppm
Precisão (com S.A) 120 m 120 m 1 a 10 m N.D. N.D. N.D. 3a5m 1m 2 ppm
1 ppm 2 ppm 1 ppm 2 ppm 1 ppm
1 ppm 2 ppm 1 ppm 2 ppm 1 ppm
1 ppm
1 ppm
Portadoras L1 e L2
0,1 ppm
0,1 ppm
Portadoras L1 e L2
0,01 ppm
0,01 ppm
Portadoras L1 e L2 Portadora L1 Portadoras L1 e L2 Portadora L1 Portadoras L1 e L2 Portadoras e código P em L1 e L2 (sem S.A.); Portadoras, código C/A em L1 e correlação cruzada do código P (com S.A)
Com relação à classificação destes levantamentos, segundo o IBGE (Especificações e Normas Gerais - 1993), pode-se identificar três categorias de levantamentos GPS: 169
Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos
a) Geodinâmico Global e Regional - Essencialmente científico (0,01 ppm); b) Sistemas Geodésicos Nacionais - implantação de redes primárias (0,1 ppm). Pode-se citar os trabalhos ligados ao controle e monitoramento das estações da RBMC (Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo); c) Sistemas Geodésicos Nacionais - implantação de redes secundárias (1 ppm). Densificação do SGB (Sistema Geodésico Brasileiro).
8 - Aplicações do Sistema GPS Entre as várias aplicações, pode-se citar: a) Levantamentos Geodésicos Locais - Trata-se da utilização do sistema em medições geodésicas de curta distância (topografia, cadastro, batimetria). b) Aplicações terrestres (monitoramento de deformações, controle de redes, geodinâmica, etc.); c) Transporte e comunicação (navegação, monitoramento de frotas, etc.); d) Aplicações marítimas (ancoradouros, gravimetria, levantamento hidrográfico, etc.); e) A bordo de aeronaves (fotogrametria, gradiometria e gravimetria, etc.); f) Aplicações espaciais (imageamento, radar altimétrico, etc.); g) Aplicações de lazer (montanhismo, iatismo, etc.).
170
Observações e anotações - Cap. 5 ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 171
Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos
________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 172
1 - Definições e Generalidades A fotogrametria tem por finalidade a determinação da forma e dimensões de objetos por meio de medidas obtidas em fotografias aéreas ou terrestres. Sua utilização tem inúmeras aplicações, podendo citar o auxílio a projetos de estradas, cadastro urbano e rural, dimensionamento de bacias hidrográficas, projetos urbanísticos, localização e dimensionamento de jazidas, reconhecimento de áreas de risco, reflorestamentos, etc. A grande vantagem no processo fotogramétrico é sua rapidez no levantamento, podendo recobrir uma extensa área a ser mapeada. Para estudo da fotogrametria, esta pode ser dividida em fotogrametria terrestre, quando as fotos são tiradas de câmaras estacionadas em pontos do terreno; e fotogrametria aérea ou aerofotogrametria, se as fotografias forem tomadas de pontos de vista no espaço. Abaixo são citadas algumas escalas mais comumente adotadas nas fotografias aéreas, relativo a seus objetivos: # 1/500 - Projetos de irrigação; # 1/1.000 a 1/2.000 - Cadastro urbano e rural, urbanismo, projetos de estradas; # 1/5.000 - Estudo de bacias para aproveitamento hidrelétrico, projeto de estradas; # 1/10.000 a 1/25.000 - Análise e interpretação geológica; # > 1/100.000 - Fotointerpretação florestal. Com relação à fotografia aérea, estas devem ser verticais (eixo da câmara vertical), porém ocorrem de ser inclinadas (eixo inclinado), devido ao movimento da aeronave. Admi-
Figura 6.1: Escala da fotografia aérea. 173
Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos
tindo um plano horizontal na chapa, seja “l” o lado da foto, “L” o lado do terreno, “H” a altura média de vôo e “f” a distância focal da câmara, tem-se (Figura 6.1):
E foto =
1 Mf
=
f H
=
l L
Porém na prática, é impossível ocorrer uma única escala, e sim uma diversidade de escalas pois: # O relevo do terreno não é constante, ou seja, ocorrem altitudes diferentes nos vários pontos levantados; # Em condições de vôo é impossível a tomada de fotos perfeitamente verticais; # O altímetro não avalia com precisão as altitudes; # A fotografia aérea possui uma projeção cônica.
2 - Câmaras Aéreas Com relação às câmaras aéreas e terrestres, algumas características são importantes como: a) Objetiva de alto rendimento, quanto ao seu poder de separação, ausência de distorção e iluminação uniforme da imagem; b) Obturador com tempo de exposição de alta velocidade, para eliminação do arrastamento da imagem; c) Dispositivo de sustentação (correções, vibrações); d) Dispositivo de orientação da câmara; e) Relógio contador de fotografias, com indicação do número da objetiva e da distância focal da câmara; f) Possuir altímetro de boa precisão.
Figura 6.2: Câmaras terrestre e aérea.
Em função de sua distância angular (ângulo de abertura), as câmaras áreas podem possuir ângulo estreito, ângulo normal, ângulo intermediário, grande angular e supergrande angular, variando conseqüentemente sua distância focal.
2.1 - Câmaras Aéreas Digitais 174
Segundo TOMMASELLI, 1997, a tecnologia de imageamento digital com câmaras digitais, tem sido empregada em aplicações de Visão de Máquina, Fotogrametria à Curta Distância e em algumas aplicações aéreas. No Sensoriamento Remoto, o imageamento eletrônico vem sendo usado desde seus primórdios em sensores orbitais, gerando produtos multiespectrais. A maioria das aplicações atuais de Fotogrametria, tanto em mapeamento quanto em curta distância, são digitais, no sentido de que a informação é toda ela tratada numericamente. Entretanto, a captura das imagens em Aerofotogrametria continua sendo feita com filmes e depois digitalizada em scanners fotogramétricos. Isto ocorre porque os sensores digitais recentemente disponibilizados, que equivalem em resolução à uma câmara fotogramétrica, ainda apresentam custo muito alto. Além disto, a massa de dados a ser armazenada em tempo real é muito grande e o seu gerenciamento é bastante complexo. Apesar destes problemas as vantagens das câmaras digitais justificam a substituição gradativa das câmaras convencionais: # É possível reaproveitar a mídia de gravação inúmeras vezes e as imagens podem ser melhoradas já durante o vôo; # Não é necessário digitalizar a fotografia em scanner;
Exemplo 1: Sobrevoando uma região com altura média de 1.000 m, tomando fotos com dimensões de 23 cm x 23 cm, uma câmara supergrande angular de distância focal igual a 85 mm, recobre uma área de 7,32 Km2. Calcule a escala da foto e confirme a área levantada. Solução: a) Escala da foto
E foto =
f H
∴
0,085 1000 .
≈
1 12.000
b) Área levantada f H
=
l L
∴
0,085m
=
0,23m
1.000m L Área = L2 ≅ 7,32km 2
∴ L = 2.705,88m 2
Exemplo 2: Considerando o exemplo anterior, com uma câmara de ângulo normal com 210 mm de distância focal, percebe-se que recobre 1,20 Km2. Calcule a escala da foto e confirme a área levantada.
Solução: a) Escala da foto 175
Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos
E foto =
f H
∴
0,210 1000 .
≈
1 5.000
b) Área levantada f l 0,210 m 0,23 m = ∴ = ∴ L = 1.095,24 m 2 H L 1.000 m L Área = L2 ≅ 1,20 km 2
Dos exemplos 1 e 2, pode-se concluir que o aumento da distância focal implica em um aumento da escala (para mesma altura e tamanho da foto), porém a área fotografada será menor na foto do exemplo 2, com mais detalhes do terreno (Figura 6.3). Logo, pode-se relacionar alguns ângulos de abertura com suas escalas: # Câmaras normais - grandes escalas; # Câmaras grande-angular - médias e pequenas escalas; # Câmaras supergrande angular - pequenas escalas. Uma restrição à câmara grande-angular seria a obstrução de elementos atrás de árvores, edifícios, etc. (distorções provocadas pela projeção cônica).
Figura 6.3: Relação entre distância focal e escala.
3 - Formação do Modelo Estereoscópico
176
Para que o terreno possa ser definido de forma planialtimétrica, é necessário abranger a mesma área de terreno de dois pontos de vista diferentes. Esta percepção da profundidade ou estereoscopia resulta da visão binocular, apesar de que com apenas um olho pode-se obter informações tridimensionais, como: a) A visão de objetos que sabemos ter as mesmas dimensões, sob diferentes tamanhos aparentes; b) A sombra projetada; c) Efeitos perspectivos; d) Rápido movimento do olho para observar dois objetos. Este par de fotografias, em que cada componente é a perspectiva de um mesmo objeto, denominase estereograma. A formação do modelo estereoscópico é proporcionada por instrumentos designados de restituidores, conduzindo ao desenho da carta planialtimétrica. Estes podem ser de projeção luminosa ou virtual.
a) Luminosa Nestes, a projeção das imagens reais é apoiada sobre um anteparo. Podem utilizar-se de dois instrumentos: # Estereoscópios de lentes: - Vantagens - Baixo custo, portabilidade, simplicidade de manutenção; - Desvantagens - Dificuldade de anotação nas fotos, devido a proximidade, campo de visão limitado. Figura 6.4: Estereoscópio de espelhos. # Estereoscópios de espelhos (Figura 6.4): - Vantagens - Maior separação entre fotos e entre estas e o instrumento; - Desvantagens - Maior custo, menor facilidade manuseio.
b) Virtual Utiliza-se de dispositivos óticos, denominados de restituidores universais.
3.1 - Restituição Fotogramétrica 177
Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos
A restituição fotogramétrica consiste na transformação da imagem fotográfica (que é uma representação em projeção cônica) em um mapa (que é uma representação em projeção ortogonal). O procedimento é reproduzir um modelo estereoscópico do terreno fotografado, através da interseção de par de raios luminosos que passam pelos centros de perspectiva e pelos pontos homólogos, e projetar ortogonalmente cada uma dessas interseções sobre um plano de referência onde é reproduzido o mapa. Esta operação é realizada através de aparelhos restituidores, e podem ser classificados:
a) Quanto ao princípio de funcionamento # Restituidores Analógicos São aqueles que trabalham sobre um modelo tridimensional do terreno (modelo de trabalho), reconstituindo ponto a ponto, a partir da interseção dos raios homólogos. # Restituidores Analíticos O modelo de trabalho é totalmente matemático. As operações de orientação, medição e desenho são completados analiticamente, usando-se um equipamento de processamento eletrônico de dados acoplado à unidade básica, que é, em última análise um estereocompilador. # Restituidores Semi-analíticos Combinam parte das características dos dois anteriores.
b) Quanto à precisão # De alta precisão ou 1o ordem Reconstituição precisa em escalas médias e pequenas, na ordem de 0,01mm da escala do fotograma e a vertical na ordem de 0,015% da altura de vôo. # Topográficos ou de 2o ordem Reconstituição precisa em escalas médias e grandes, na ordem de 0,02mm da escala do fotograma e a vertical na ordem de 0,02% da altura de vôo. # Aproximados ou de 3o ordem Reconstituição precisa em escalas médias e grandes, na ordem de 0,03mm da escala do fotograma e a vertical na ordem de 0,05% da altura de vôo.
c) Quanto à versatilidade # Universais Realizam qualquer tipo de operação estereofotogramétrica, inclusive fotos terrestres.
# Simples Possuem limitações operacionais, como por exemplo, não fazem a aerotriangulação analógica. 178
d) Quanto ao tipo de projeção do modelo de trabalho # Ótica Projetam imagens reais dos dois fotogramas sobre um anteparo (mesa traçadora). # Mecânica Os fotogramas são observados por um sistema estereoscópico, mas, para efeitos fotogramétricos, a reconstituição do modelo de trabalho é totalmente realizada por duas hastes metálicas que representam os raios perspectivos. # Ótico-mecânica É ótica, no espaço objeto, e mecânica, no espaço imagem.
e) Quanto ao uso de fotogramas # Restituidores aerofotogramétricos Trabalham exclusivamente para fotos aéreas. # Restituidores terrestres Trabalham exclusivamente para fotos terrestres. # Restituidores universais Trabalham com ambos os tipos de fotogramas (Figura 6.5).
Figura 6.5: Restituidor universal.
f) Quanto à rotação dos projetores # Centrados Os movimentos de rotação dos projetores ou porta-placas são feitos em torno do centro de projeção, que permanece fixo. # Não centrados As rotações são feitas em torno dos eixos X e Y contidos no plano dos fotogramas, produzindo deslocamentos do CP. Numerosos processos vêm sendo elaborados a fim de efetuar ou sustentar a interpretação de fotos aéreas por meios automáticos, entre eles a restituição digital. Na restituição digital, a tarefa de aquisição de dados se materializa pela operação do restituidor, sendo que as coordenadas X, Y e Z, do sistema do aparelho, dos pontos percorridos pela marca estereoscópica, são enviados ao computador por meio de registrador digital triaxial.
179
Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos
Este procedimento teve êxito devido ao desenvolvimento da eletrônica e o barateamento dos computadores, com a inclusão de registradores digitais triaxiais de coordenadas no sistema de medição e locação dos restituidores, permitindo o registro digital e armazenamento em meio magnético, para posterior tratamento e edição. Esta é uma das formas mais empregadas na confecção de documentos cartográficos. Este apresenta as vantagens de exigir quase que exclusivamente a habilidade do operador na tarefa de restituição, além de permitir o emprego de diversos modos de coleta como curvas de nível, grades regulares, perfis, pontos isolados, etc.
4 - Medição Aproximada de Altura Na figura abaixo (Figura 6.6) tem-se uma fotografia aérea perfeitamente vertical tomada de um terreno acidentado. Neste terreno estão marcados os pontos P1, P2 e P3. Seja ainda: f => distância focal; Z => Altura de vôo sobre o plano médio S; h1 e h3 => altura de h1 e h3.
Figura 6.6: Medição aproximada de altura. De acordo com uma projeção ortogonal, num plano horizontal médio imaginário de referência, passando por P2, as projeções desses pontos serão P’1, P’2 e P’3, que são seus lugares corretos em um mapa.
180
A projeção central dos pontos P1, P2 e P3 na fotografia resultará em p1, p2 e p3, enquanto deveriam cair em p’1, p’2 e p’3 para corresponderem aos lugares dos pontos P’1, P’2 e P’3. Pode-se concluir que: # Pontos que estão no nível mais alto que o plano horizontal de referência, são mudados radialmente para fora em relação ao ponto principal; # Pontos que estão no nível mais baixo que o plano horizontal de referência, são mudados radialmente para dentro em relação ao ponto principal. Esse deslocamento é devido ao relevo do terreno e é inerente à projeção cônica e não pode ser eliminada. Esses deslocamentos são responsáveis pela necessária diferença de paralaxe que permite a visão estereoscópica. Denominando, por exemplo (Figura 6.6), P2P3 de r e P2P3’ de r’, a diferença dr = r - r’ é o deslocamento que sofre a imagem do ponto P3 devido ao relevo, através da semelhança de triângulos, pode-se calcular as alturas de 1 e 3.
ΔOp p ≈ ΔOP P 3' 2 3' 2 ΔOp p ≈ ΔOP P 3 2 3 2
f
=
Z f Z
=
r' P P 3' 2' r P P 3 2
dividindo membro a membro, e P3’P2’ = P3P2 tem-se:
Z−h Z
=
r' r
e
dr = r ⋅
h Z
∴ dr = r '⋅
h Z−h
∴ h = dr ⋅
Z r
Este valor é aproximado pois não se conhece a altura do plano médio, as fotos não são totalmente verticais. Exemplo 3: A imagem do topo da colina está a r = 9 mm do centro da fotografia. Sua altura sobre o plano médio é h = 600 m, e altura de vôo e Z = 4.000 m. Qual deslocamento da imagem ? Solução:
dr = r ⋅
h Z
= 9⋅
600 4000
= 1,35mm
5 - Plano de Vôo Aerofotogramétrico
181
Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos
O plano de vôo tem por finalidade orientar a equipe de vôo, dar uniformidade, maior rendimento, precisão e economia à tarefa de fotografar. As características que as fotografias devem ter estão relacionadas diretamente à sua aplicação. Logo, de acordo com a escala exigida e com as características dos equipamentos de compilação que se possua, é possível decidir o equipamento necessário para o levantamento. Para que uma missão de vôo tenha êxito, devem ser definidos os seguintes dados: a) Tipo de câmara a ser utilizada; b) Superposição longitudinal entre fotos sucessivas; c) Superposição lateral entre as faixas de vôo; d) Altura de vôo; e) Número de fotografias por faixa; f) Número de faixas de vôo; g) Quantidade de filme necessário; h) Tempo de exposição de cada fotografia; i) Intervalo de tempo entre duas exposições; j) Autonomia da aeronave. A seguir é comentada sucintamente cada uma destas operações.
a) Tipo de câmara a ser utilizada Dos tipos de câmara mais usados, pode-se distinguir, as normais, grandes angulares e supergrande angulares, segundo o campo de abertura de suas objetivas. Assim deve-se avaliar a constante da câmara (f => distância focal), dado pelo manual da câmara.
b) Superposição longitudinal entre fotos sucessivas Geralmente adotado como 60% para efeito de estereoscopia. O comprimento da base é definido pelo recobrimento. Se for 60%, tem-se:
B = 0,40 *
l E
onde B => Comprimento da base; l => lado da foto em metros; E => escala da foto
c) Superposição lateral entre as faixas de vôo Geralmente de 30% de recobrimento. O intervalo entre faixas de recobrimento pode ser calculado pela fórmula:
I=
l E
* 0,7
onde I - Intervalo entre faixas;
l - lado da foto em metros;
E - escala da foto. 182
d) Altura de vôo (de acordo com a escala desejada) Altura de vôo é a distância do centro ótico da câmara fotogramétrica até o plano, cujo nível coincide com o nível médio do terreno a fotografar. Uma vez definidas a escala e a câmara fotogramétrica, podese calcular a altura de vôo.
E=
f H
, ou seja, H =
f E
, onde
E - Escala da fotografia;
f - Constante da câmara (distância focal);
H - Altura de vôo.
Como o altímetro geralmente fornece a altitude baseada na pressão atmosférica, ou seja, a altura em relação ao nível médio dos mares, é preciso somar a altura de vôo, a altitude média da região a fotografar. Dependendo da escala e câmara a altura pode ser elevada, necessitando de equipamento de oxigênio para o operador (Figura 6.7). Figura 6.7: Plano de vôo. e) Número de fotografias por faixa O número de fotografias por faixa N, pode ser obtido da seguinte forma:
N=
Comprimento da faixa base aérea estereoscó pica
+l
O comprimento da faixa é obtido no projeto de vôo, enquanto que a base aérea é definida pelo recobrimento. Quando o contorno da área a fotografar é irregular - uma grande ilha - o cálculo do número de fotografias é feito dividindo a área total a recobrir pela área que cobre cada foto, descontando o recobrimento. Desta maneira não se calcula o número de fotos por faixa, mas o número total de fotos. Por exemplo, se o recobrimento longitudinal é 60% e o lateral 30%, tem-se:
s = 0,4 * 0,7 L2 ∴ s = 0,28 * L2 O número total de fotografias será:
N=
S s
onde S - Área da superfície total a fotografar; s - Área útil da foto; L - Comprimento do lado da foto. Ao número N de fotografias devem ser acrescidos de 10 a 15 % para perdas.
183
Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos
f) Número de faixas de vôo Para determinar o número de faixas, geralmente executa-se algumas faixas transversais e com estas confecciona-se as entradas das faixas de recobrimento (30%) e determina-se o número de faixas de recobrimento.
g) Quantidade de filme necessário Conhecido o número de fotografias por faixa e o número de faixas, é fácil calcular o número total de fotografias. Para cálculo da quantidade de filme, torna-se necessário conhecer o número de chapas que um rolo de filmes possui, e calcular o número de rolos necessários.
h) Tempo de exposição de cada fotografia Existe um tempo máximo da abertura na tomada das fotos, para que as imagens não resultem arrastadas, devido à velocidade do avião. Uma imagem é considerada arrastada quando o arrastamento é maior que o poder de resolução normal de olho humano, que é de 20 linhas por milímetro, ou seja 1/20 mm. Sendo “V” a velocidade do avião, “A” a distância que a aeronave percorre enquanto o obturador permanece aberto durante o tempo de exposição t, tem-se que:
t=
A V
Ao espaço A corresponde ao arrastamento a da imagem. Então:
A=
a E
, ou seja, t =
a V*E
Sendo o arrastamento admissível para uma fotografia ser considerada boa, deve ser menor que 1/20mm ou 0,05mm, pode-se escrever:
t=
0,00005 V*E
, onde 0,00005 m é o arrastamento admissível (a).
Exemplo 4: Dado V = 300 Km/h = 83 m/s e E = 1/25.000, calcule o tempo de exposição.
Solução:
t=
0,00005 V*E
∴ t = 1/66 seg.
O tempo de exposição não poderá ser maior que 1/66 segundos. Os obturadores das câmaras fotográficas admitem algumas velocidades padrão, como 1/60, 1/120, 1/300, 1/500, 1/1000 do segundo. 184
i) Intervalo de tempo entre duas exposições O intervalo de tempo depende da velocidade do avião em relação ao terreno, da escala da foto, do tamanho da chapa e do recobrimento longitudinal. Como o recobrimento longitudinal é geralmente de 60%, o avanço deve ser de 40% do comprimento do lado da área fotografada por uma chapa. Resulta que a distância que o avião deve percorrer entre duas tomadas de fotos sucessivas é:
B = 0,40 *
l E
onde: B - Distância a percorrer; l - lado da fotografia em metros; E - Escala da fotografia. Desta forma, o tempo que decorre entre duas exposições sucessivas, resultará em:
T=
0,40 * l V*E
sendo V - velocidade do avião em metros/segundo. Exemplo 5: Dado E = 1:25.000, l = 23 cm = 0,23 m e V = 300 Km/h = 83 m/s, calcule o intervalo de tempo entre exposições. Solução:
T=
0,40 * l V*E
∴ T = 27 seg.
Como a velocidade do avião varia em conseqüência da ação dos ventos, existem aparelhos auxiliares para regular o recobrimento correto chamados intervalômetros.
j) Autonomia da aeronave. O avião escolhido depende da altura de vôo que se exige para tomar as fotografias. Quanto maior for a altura, mais equipado terá que ser. Os bimotores são melhores que os monomotores devido à estabilidade. A tripulação mínima é composta por um piloto, um navegador e um fotógrafo.
5.1 - Informações Complementares para Projeto Aerofotogramétrico Após comentar sobre as atividades para o plano de vôo, o projeto, como um todo, de um levantamento aéreo deve-se ainda preocupar com outros detalhes. Um projeto de levantamento aerofotogramétrico se faz com o auxílio da melhor carta existente na região. 185
Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos
Devem estar locados neste mapa, pontos de controle terrestres, através de suas coordenadas. Estes pontos devem ser sinalizados, para melhor aparecer nas fotografias. A quantidade desses pontos de controle pode ser reduzida até 50%, através de planejamento e execução do vôo com faixas transversais ou faixas de apoio, que são faixas de vôo feitas no sentido transversal ao das faixas de recobrimento. Ao executar o vôo de recobrimento, o avião deve percorrer a região a fotografar em faixas contíguas, num vai e vem sucessivo. O comprimento de uma faixa de vôo não deve ultrapassar 100 Km, pois se torna difícil controlar a rota e o efeito da curvatura da terra começa a ser considerável. Se possível, as faixas devem ser orientadas no sentido norte-sul ou leste-oeste (escolher a menor distância), para facilitar o controle do rumo. Outra informação importante é o estudo e traçado das rotas para atingir o local de trabalho e para o retorno e consultar boletins meteorológicos, para que não seja prejudicada a missão. Ainda, o levantamento deve ser acompanhado por um relatório de vôo, que deve conter: # Nome dos elementos da equipe de vôo, característica de vôo, localidade, dia, hora, finalidade, altura de vôo, tempo de exposição, número de horas voadas, número de faixas voadas, número de fotografias tomadas; # Equipamentos utilizados, como tipo de aeronave, tipo de câmara (número e distância focal), filtro utilizado, falhas observadas no equipamento; # Condições do tempo, como temperatura, vento, condições de luz, nuvens, etc. Com relação ao material da fotografia, esta escolha é função do fim a que se destina, tendo as seguintes variações:
a) Variação da escala Na escolha da escala entram em conta diversos fatores de ordem técnica e econômica. Segundo a sua aplicação, têm-se dois campos principais: # Cartografia - Fotografias em escalas pequenas são bastante acuradas para confecção de bons mapas (até 1:80.000). # Fotointerpretação - Pequenos detalhes podem ser importantes e o tamanho deste detalhe indicará a melhor escala. Para finalidades florestais - 1:10.000 até 1:25.000 Para finalidades geológicas - 1.60.000 até 1:80.000
b) Variação do tipo de filme Podem ser agrupados da seguinte maneira: # Filmes preto e branco;
# Filmes coloridos;
# Filmes infravermelhos;
# Filmes de cores falsas.
186
c) Variação da câmara Dos tipos de câmara mais usados, pode-se distinguir, as normais, grandes angulares e supergrande angulares, segundo o campo de abertura de suas objetivas. A escolha depende: # Do equipamento estereocompilador disponível; # Da escala em combinação ao tipo de aeronave (pela altura); # Da finalidade. Outro ponto importante a ser analisado é o apoio terrestre, ou seja, a determinação de pontos coordenados no terreno para auxiliar o processo de restituição. Este apoio é feito sobre uma planta baseada pelo foto-índice. Os pontos a serem coletados podem fazer parte de uma rede de triangulação do Sistema Geodésico Brasileiro, ou serem determinados por procedimentos geodésicos (Figura 6.8).
Figura 6.8: Apoio terrestre.
5.2 - Problema de Orientação das Fotos Para orientação, vamos admitir um sistema de eixos cartesianos triortogonais X, Y e Z com origem no centro ótico da câmara fotográfica, onde XY definem um plano horizontal e X é paralela a linha de vôo e Z coincide com a vertical do lugar. Devido às causas externas (vento e diferença de pressão), a aeronave tende a se desviar da rota e altitude previstas, provocando desvios (translações) e rotações da câmara com relação às situações ideais e previstas. As translações ou deslocamentos em relação ao eixo adotado são bx, by e bz e as rotações W, Y e X, respectivamente em relação aos eixos X, Y, Z.
a) Deslocamento “bx” da câmara Quando um vento de proa ou de popa altera a velocidade do avião. Problema: Interfere no recobrimento aéreo. Solução: Utilização de intervalômetros. 187
Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos
b) Deslocamento “bz” da câmara Quando o vento ou a diferença de pressão faz com que a nave saia da altura que deveria voar. Problema: Interfere na altura prevista, acarretando escala diferente da prevista. Solução: Voar segundo uma linha de pressão constante.
c) Deslocamento “by” e giro capa da câmara Quando existe um vento lateral, este obriga o avião a se desviar da linha de vôo prevista. Problema: Resultarão em fotografia com recobrimento defeituoso-escalonado e com giro em torno do eixo Z, se considerarmos a linha de vôo realmente voada. Ocorrerá ainda defeito no recobrimento lateral entre as faixas. Solução: Corrigir a deriva (ângulo formado pela linha de vôo prevista e a linha de vôo realmente voada). O giro resultante da câmara, em relação à linha de vôo realmente voada, chama-se capa. Se o fotógrafo corrigir a capa, com auxílio de um visor, não haverá capa nem by, porém o recobrimento lateral continuará sendo prejudicado. Admitindo agora que o piloto manobrou a aeronave de modo que a força resultante do avião e do vento coincida com a linha de vôo, corrigindo a deriva. Neste caso o fotógrafo deve corrigir e girar de capa em sentido contrário, pois haverá prejuízo no recobrimento longitudinal e lateral.
d) Giros ômega e fi da câmara - em torno de X e Y Devido à instabilidade da aeronave, o eixo ótico esta a todo o momento se afastando da vertical do lugar. Problema: Fotos inclinadas. Solução: Corrige esse inconveniente, buscando manter a bolha do nível esférico da câmara “calada”.
6 - Produtos Aerofotogramétricos Entre os produtos principais da aerofotogrametria, pode-se citar: a) Foto-índice
188
É o conjunto de fotografias de uma região, constituído pela superposição das fotografias na ordem em que foram tomadas, e reduzidas fotograficamente. Mostra a qualidade do recobrimento e serve de base para o projeto do apoio terrestre. b) Mosaico É a reunião das fotografias de uma região, na escala em que foram tiradas. Deve-se recortar as fotografias para melhor encaixe. Estes podem ser simples ou controlados. Nos controlados são assinalados nas fotografias os acidentes naturais e artificiais mais importantes. Com algumas restrições os mosaicos podem ser usados como uma planta. c) Ortofotocartas Devido às inclinações e ao relevo do terreno, as fotografias mostram deslocamentos radiais e erros de escala. Esses erros podem ser corrigidos com auxílio de um retificador, que produz uma projeção do negativo da fotografia. Uma ortofotocarta é uma fotografia de um terreno em projeção ortogonal (Figura 6.9).
d) Mapas e Cartas Na confecção de cartas e mapas, a aerofotogrametria tem seu principal objetivo (Figura 6.10).
Figura 6.9: Ortofotocarta.
Figura 6.10: Construção de cartas e mapas.
6.1 - Aplicações na Fotointerpretação A tarefa da fotointerpretação é identificar as características importantes de áreas e objetos, determinando seu significado, através das imagens representadas nas fotografias aéreas (Figura 6.11). 189
Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos
Para realizar a fotointerpretação, algumas considerações básicas devem ser consideradas, como:
a) A leitura da fotografia Consiste no reconhecimento do detalhe fotográfico bidimensional como limites de vegetação, ruas, rios, riachos, etc.
b) A análise da fotografia Os diferentes objetos podem ser classificados segundo fatores como tamanho, tonalidade, textura, forma, etc. Esta análise deve ser feita sobre o modelo estereoscópico e usualmente conta com instrumentos auxiliares como planímetro, comparadores de declives, barras de paralaxe e chaves de interpretação.
Figura 6.11: Fotointerpretação urbana. Região em BH, do bairro Floresta, rua Aquiles Lobo.
c) A síntese da fotointerpretação Avaliação intuitiva e dedutiva da imagem fotográfica é suportada pela acuidade mental e visual. O processo de síntese da interpretação inclui as seguintes fases: # Detecção - Relaciona com a acuidade visual; # Reconhecimento - Relaciona com a perícia e experiência do fotointerpretador; 190
# Classificação - Classificação da interpretação sintetizada, usada para uma finalidade particular, como o mapa florestal, estradas de rodagem, etc.
191
Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos
Observações e anotações - Cap. 6 ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 192
1 - Generalidades e Definições Nos capítulos anteriores, observou-se que durante as operações topográficas, faz-se a coleta de várias grandezas. Como dito anteriormente, medir uma grandeza consiste em comparar esta, com uma definida como padrão, e analisar quantas vezes é maior ou menor que este padrão. Pode-se citar como exemplo de padrão, a medida real de 1 metro. Porém, ao se medir uma grandeza com um número finito de vezes, um dos problemas a ser resolvido é estimar o melhor valor que represente esta medida. Esta resposta é estudada na disciplina Ajustamento de Observações. Sendo o tema proposto bastante abrangente, este capítulo busca sintetizar alguns conceitos básicos e definições para o tratamento estatístico de dados topográficos e exemplificar sua aplicação. Neste contexto, algumas definições da Estatística são importantes:
a) Erro absoluto verdadeiro É a diferença, em valor absoluto, entre a medição de uma grandeza e o seu verdadeiro valor. Porém, na prática não se conhece o valor real ou verdadeiro de uma medida; mas sim o valor mais provável da grandeza.
b) Valor mais provável de uma grandeza ou média aritmética simples ( x ) É a relação entre a soma dos valores observações pelo número de observações efetuadas, desde que mereçam a mesma confiança (mesmo operador, mesmo equipamento, mesmas condições ambientais).
n ∑ xi x = i=1 n
c) Erro absoluto aparente (e) 193
Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos
É a diferença, em valor absoluto, entre a medição de uma grandeza (xi) e o seu valor mais provável ( x ). Será denominado daqui para frente de apenas erro absoluto da observação “i” (ei). e = xi − x i
d) Resíduo ou desvio ou erro (v)
Designação para o conceito anterior, quando considera o sinal da diferença entre as medidas.
v = xi − x i
e) Discrepância
É a diferença entre os valores de duas medidas de uma mesma grandeza, obtidas por dois operadores diferentes ou em situações diferentes. Ás vezes esta é incorretamente chamada de erro aparente.
f) Erro relativo (er)
É a relação entre o erro absoluto (e) e o valor mais provável da grandeza ( x ). Este erro é mais importante que o erro absoluto, na avaliação da qualidade da medida.
er =
e x
g) Erro absoluto médio (em ou e )
É a média aritmética dos erros absolutos cometidos em certo número de medidas n. Não é necessário considerar o sinal. n ∑ ei e m = i=1 n
h) Resíduo ou desvio médio (vm ou v )
É a média aritmética dos resíduos cometidos em certo número de medidas n. Deve-se considerar o sinal. n ∑ vi v m = i=1 n
i) Erro médio quadrático ou desvio-padrão (σ)
194
É a raiz quadrada dos quadrados dos resíduos dividida pelos n - 1 termos.
σ=±
(
∑ xi − x n −1
2 ∑v =± n −1
)2
Se considerar o valor σ2, este será denominado de variância de uma observação isolada. Pode-se ainda exprimir também o desvio padrão, através de propriedades matemáticas, pela seguinte relação:
σ=
∑ xi
2
n −1
(∑ xi ) −
2
n ⋅ ( n − 1)
j) Erro médio quadrático da média ou desvio padrão da média ( m x )
mx =
σ n
k) Erro tolerável (et)
Considera-se normalmente como sendo o triplo do erro médio quadrático. et = 3 . σ Na prática, medidas cujos resíduos são maiores que o erro tolerável devem ser abandonadas. Nas operações topográficas, seja de campo ou de escritório, várias são as formas para definição da tolerância dos trabalhos executados. Entre as definições das tolerâncias, estas podem estar baseadas em processos empíricos ou matemáticos e estatísticos. Para normatizar os trabalhos de Topografia, sugerem-se a aplicação das expressões publicadas nas normas da ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) - NBR 13.133 - Execução de levantamento topográfico.
2 - Conceitos e Classificação dos Erros de Observação A seguir são discutidos alguns termos muito utilizados, às vezes incorretamente, para tratarmos as informações topográficas, e a classificação dos erros das observações.
2.1 - Conceitos Iniciais 195
Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos
a) Precisão
É a tolerância do erro de medição para determinado medidor. Portanto, se o erro tolerável for atendido, as medidas serão consideradas precisas. b) Precisão absoluta
É expressa pela percentagem de toda a faixa da escala de medidas. Seja, por exemplo, um distanciômetro eletrônico que mede distâncias de 1 m a 3.000 m, com precisão de ± 0,2%. Isto significa que a tolerância de erro é de ± 0,600 m, em qualquer medida. c) Precisão relativa
É expressa pela percentagem do valor instantâneo da escala de medidas. Seja o exemplo anterior, com precisão de ± 0,2% do valor instantâneo. Isto significa que quando o medidor eletrônico indicar uma distância de 400 m, a tolerância de erro será de 0,080 m. A precisão relativa de ± 0,2% em valor instantâneo é, obviamente, melhor que a precisão absoluta de ± 0,2% em precisão absoluta. d) Exatidão ou acurácia
É aquilo que está de acordo com uma referência tomada como padrão, ou seja, uma referência verdadeira. Uma medida precisa não significa que seja exata. Pode-se dizer que um grupo de medidas mostra precisão se os resultados concordam entre si. A concordância não é, contudo, uma garantia de exatidão, uma vez que pode haver perturbação sistemática, acarretando erro em todos os valores. Supondo, por exemplo, que um levantador esteja comparando dois diastímetros (A e B) com um padrão (C). As medidas feitas com o diastímetro A concordam entre si, mas não concordam com as medidas feitas pelo diastímetro C. Já as medidas feitas pelo diastímetro B, além de concordarem entre si, concordam também com o diastímetro C. Isto significa que o diastímetro A é preciso, mas não exato ou acurado; e o diastímetro B é preciso e exato, devendo ser o escolhido para medidas. O diastímetro A deve ser retificado
ou determinar um fator de correção para suas medidas.
Figura 7.1: Acurácia x Precisão. Nos desenhos acima: 1o - Nem preciso, nem acurado; 2o – Apenas preciso; 3o - Preciso e Acurado.
2.2 - Classificação dos Erros de Observação
196
Como já notado, as determinações de valores numéricos e gráficos jamais terão uma exatidão absoluta, pois se for repetida várias vezes a mesma medida de uma determinada grandeza, constata-se que os resultados obtidos nunca serão idênticos, por maior que seja o cuidado utilizado. Isto leva a analisar que as principais fontes de erros nos trabalhos de medição estão em razão: a) Da falibilidade humana; b) Da imperfeição do equipamento; c) Da influência das condições ambientais. Conforme as causas dos erros cometidos na topografia, estes são classificados como:
a) Erros grosseiros ou enganos
Ocorrem devido à falta de cuidado ou imperícia do operador. Como exemplos de erros grosseiros pode-se citar: # Erro de leitura (ex.: troca de dígitos - ler na mira 1,378, em vez de 1,738); # Erro de cálculo (ex.: não transformar o ângulo zenital em vertical); # Anotação errada (ex.: omissão de trenadas, na medição de distâncias);
Uma observação no qual contenha erro grosseiro deve ser rejeitada, pois não está sujeita a tratamentos matemáticos. Para evitar a ocorrência de erros grosseiros, deve-se fazer repetições cuidadosas nas medidas.
b) Erros sistemáticos
Estes erros são produzidos por causas conhecidas, e podem ser evitados através de técnicas especiais de observação ou eliminados a posteriori mediante fórmulas fornecidas pela teoria. São erros acumulativos. Caracterizam-se por ocorrerem sempre em um mesmo sentido e conservam, em medições sucessivas, o mesmo valor. São três os tipos de erros sistemáticos (e alguns exemplos):
1 - Erros sistemáticos introduzidos pelo operador # Numa observação astronômica, o operador efetuar cronometragem sempre um pouco antes (ou
sempre um pouco depois) da estrela cruzar o fio do retículo; # Erros cometidos pela deficiência de visão (ex.: nivelador que sempre observa um pouco abaixo
(ou acima) do valor do fio médio na mira).
2 - Erros sistemáticos introduzidos pelo instrumento (aparelho não retificado) # Erro de excentricidade do instrumento;
197
Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos
# Erro nas divisões da escala (ex.: gravação das divisões do vernier, trena maior (ou menor) que o
padrão).
3 - Erros sistemáticos introduzidos pelo método # A medida eletrônica de uma distância deve ser depurada do efeito de refração; # A distância zenital de uma estrela deve ser corrigida da aberração diurna.
Todos este erros sistemáticos citados acima, sendo considerados de influências sobre as observações, podem e devem ser corrigidos, através de procedimentos de campo, da retificação dos equipamentos ou pela concepção de modelos matemáticos. Pode-se exemplificar como correção: a) Utilizando procedimentos de campo: A colocação do nível a distâncias iguais das miras; medidas angulares por reiteração. b) Retificando equipamentos - Determinado fatores de correção para as trenas, planímetros, etc. c) Modelos matemáticos: Modelos para influência da troposfera e ionosfera nas medidas GPS, modelo para influências da pressão e temperatura sobre as medidas à trena, etc.
c) Erros acidentais ou aleatórios
Ocorrem ora num ora noutro sentido e que não podem ser vinculados a nenhuma causa conhecida. Alguns o consideram estar relacionados a um número relativamente grande de pequenas variações do ambiente, da imperfeição dos sentidos humanos e dos instrumentos empregados. Estes erros apresentam uma distribuição normal, e tendem a se neutralizar quando o número de observações cresce. Como as influências sobre as observações são aleatórias, não se admite outro tratamento senão o baseado na “teoria da probabilidade”.
2.2.1 - Estudos Experimentais dos Erros Acidentais Se efetuar uma medida por um número grande de vezes, os erros acidentais produzidos gozam das seguintes propriedades: # O número de resíduos positivo corresponde ao número aproximadamente igual de resíduos ne-
gativos; # Os resíduos pequenos são mais numerosos, ou seja, tem mais freqüência, sendo o resíduo nulo o
mais provável. Para exemplificar o estudo dos erros acidentais, seja o clássico trabalho de Bradley, no início do século XVII (Gemael, 1994). Sua experiência era obter a posição do ponto vernal através de 462 determinações da ascensão reta do sol. Assim foram medidos 462 ângulos, determinado a média (valor mais provável)
198
destas observações, e calculados os resíduos das observações em relação à média. Na tabela 7.1, são registrados: a) Na primeira coluna tem-se o limite do intervalo dos resíduos considerado (a unidade aqui utilizada é o segundo); b) Na segunda coluna tem-se a freqüência dos resíduos (fi), para cada classe de intervalo; c) As demais colunas (3o e 4o) são auxiliares para o cálculo da freqüência teórica (Fi) (5o coluna). Observe que existem 230 resíduos positivos e 232 resíduos negativos e a simetria e o predomínio de valores em torno da média dos desvios (≈ zero), sugerem a distribuição normal de Gauss, visualizada pelo polígono de freqüência da figura 7.2. Para comprovar esta afirmação acima, foi calculada também a freqüência teórica (Fi), utilizando o conceito da área sob a curva normal reduzida.
Tabela 7.1: Experimento de Bradley. Limite do intervalo 0,9” 1,0” 0,8” 0,9” 0,7” 0,8” 0,6” 0,7” 0,5” 0,6” 0,4” 0,5” 0,3” 0,4” 0,2” 0,3” 0,1” 0,2” 0,0” 0,1” -0,1” 0,0” -0,2” -0,1 -0,3” -0,2” -0,4” -0,3” -0,5” -0,4” -0,6” -0,5” -0,7” -0,6” -0,8” -0,7” -0,9” -0,8” -1,0” -0,9” Soma
fi 3 5 7 13 18 25 29 39 44 47 47 44 39 29 26 18 13 7 5 4 462
fi . v i * 2,85 4,25 5,25 8,45 9,90 11,25 10,15 9,75 6,60 2,35 -2,35 -6,60 -9,75 -10,15 -11,70 -9,90 -8,45 -5,25 -4,25 -3,80 -1,40”
fi . v i 2 2,7075 3,6125 3,9375 5,4925 5,4450 5,0625 3,5525 2,4375 0,9900 0,1175 0,1175 0,9900 2,4375 3,5525 5,2650 5,4450 5,4925 3,9375 2,6125 3,6100 67,8150
Fi 2,3 4,1 7,1 11,4 17,0 24,9 31,7 38,7 44,3 47,4 47,4 44,3 38,7 31,7 24,9 17,0 11,4 7,1 4,1 2,3
* Sendo vi o ponto médio de cada intervalo.
O cálculo da freqüência teórica (Fi), utilizando o conceito da área sob a curva normal reduzida, pode ser assim resumido:
Solução:
a) Cálculo da média dos resíduos
199
Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos
n ∑ f vi i − 1,40" v = i=1 = = − 0,003'' ≈ 0 462 n b) Cálculo do erro médio quadrático ou desvio padrão dos resíduos
σ=±
∑f ⋅v i i n −1
2 =±
67,8150 = 0,1471 = ± 0,3835'' 461
c) Cálculo da freqüência teórica (Fi)
Inicialmente é necessário calcular a variável reduzida (zi), para cada limite do intervalo, argumento para obtenção das “áreas sob a curva normal reduzida 1 ”.
z=
v'− v
σ
onde: # v’ são os limites dos intervalos; # v é a média dos resíduos; # σ é o desvio padrão dos resíduos
1 - Calculo de z1 e z2 (ex.: limites 0,9 e 1,0 (primeiro intervalo))
v'− v 0,9 − ( −0,003) z = = = + 2,3546 ≅ + 2,35 1 0,3835 σ v'− v 1,09 − ( −0,003) z = = = + 2,6154 ≅ + 2,62 2 0,3835 σ
2 - Valores da tabela das “áreas sob a curva normal reduzida”
Para z1 = +2,35 →
area = 0,99061
Para z2 = +2,62
area = 0,99560
→
3 - Cálculo da freqüência teórica
Esta será dada pela diferença entre as áreas, multiplicado por n: Fi = (área1 - área2) . n = (0,99061 - 0,99560) . 462 ≅ 2,3
1
Esta tabela das “áreas sob a curva normal reduzida” é encontrada em qualquer publicação de fundamentos de Estatística. Será apresentado apenas o resultado obtido, relativo ao exemplo dado.
200
50 45 40 35 30 fi
25
Freq. Teorica
20 15 10 5 0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9 -1,0 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9
Figura 7.2: Relação entre a freqüência observada e freqüência teórica.
Observe (Figura 7.2), que a curva que representa a lei de Gauss (distribuição normal) tem a forma de um sino e goza das seguintes propriedades: # É simétrica em relação ao eixo do Y, isto é, os desvios positivos e negativos de mesmo valor ab-
soluto têm igual probabilidade; # As observações correspondentes aos desvios pequenos são os maiores; # A curva tem por assíntota o eixo x, isto é, o desvio ∞ tem probabilidade nula; # A curva apresenta dois pontos de inflexão, correspondentes a ± 1.σ # A área total limitada pela curva, isto é, a probabilidade de se cometer simultaneamente todos os
desvios é, portanto, igual a 100%.
3 - Aplicações Estatísticas O tratamento estatístico dos dados torna-se importante quando queremos obter confiança no serviço executado. Neste item, têm-se alguns exemplos, aplicados à topografia, contemplando os conceitos vistos no item 1 e 2. A inclusão do conceito de peso nas observações, ou seja, da possibilidade de ponderar os dados com níveis de confiança distintos também será proposto nestes exemplos.
201
Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos
3.1 - Exemplo 1 Supondo-se que tenha medido 10 vezes um alinhamento para definir uma base geodésica, e obtidos os resultados constantes na tabela 7.2. Estes valores foram obtidos pelo distanciômetro eletrônico da Leica TC 600, com alcance 1,5 km (em condições normais), de precisão nominal de 3 mm + 3 ppm. Pede-se: a) A maior discrepância entre duas medidas; b) O valor mais provável desta medida; c) O erro absoluto médio; d) O desvio médio; e) O desvio padrão das observações; f) O desvio padrão da média; g) O erro de tolerância; h) O erro relativo médio; i) A precisão absoluta, considerando uma precisão de ± 0,1%; j) A precisão relativa, considerando uma precisão de ± 0,1%; k) A tolerância, considerando a precisão nominal do equipamento (10 mm + 3ppm); l) A definição se alguns dados devem ser eliminados.
Tabela 7.2: Medidas de uma base geodésica. Operadores: Equipe 01 Local: B.H. Temperatura: 20o C Pressão: 700 mmHg Valores obtidos com a estação total - Leica TC 600 para o alinhamento A-B 1.234,305 m 1.234,300 m 1.234,320 m 1.234,332 m 1.234,335 m 1.234,320 m 1.234,340 m 1.234,300 m 1.234,320 m 1.234,305 m Solução:
a) A maior discrepância entre duas medidas
A maior medida foi 1.234,340 m A menor medida foi 1.234,300 m Logo a maior discrepância é dada por: disc = (1.234,340 - 1.234,300) = 0,040 m = 4 cm
b) O valor mais provável desta medida (Tabela 7.3) n ∑ xi 1.234,305 + 1.234,300 + ... + 1.234,320 + 1.234,305 x = i =1 = ≅ 1.234,318m 10 n
Obs.: O valor mais provável ( x ) pode ser acompanhado de seu desvio padrão ( m x ), calculado na alínea f. Logo pode-se dizer que o valor mais provável é 1.234,318 ± 0,005 m. 202
c) O erro absoluto médio (Tabela 7.3) n ∑ ei − 0,013 + − 0,018 + ... + − 0,013 e m = i =1 = ≅ 0,012m 10 n
d) O desvio médio (Tabela 7.3) n ∑ vi (− 0,013) + (− 0,018) + ... + (− 0,013) = − 0,003 = 0,0003m ≅ 0m v m = i =1 = 10 10 n
e) O desvio padrão das observações (Tabela 7.3) σ=±
2 ∑v =± n −1
0,001967 = 0,000219 = ± 0,01478 ≅ ± 0,015 m 9
f) O desvio padrão da média
mx =
σ n
=±
0,015 10
= ± 0,00474 ≅ ± 0,005 m
Tabela 7.3: Resumo dos cálculos I. Valores 1.234,305 m 1.234,300 m 1.234,320 m 1.234,332 m 1.234,335 m 1.234,320 m 1.234,340 m 1.234,300 m 1.234,320 m 1.234,305 m
Média
1.234,318 m
Soma
Desvio (vi) - 0,013 m - 0,018 m + 0,002 m + 0,014 m + 0,017 m + 0,002 m + 0,022 m - 0,018 m + 0,002 m - 0,013 m - 0,003 m
vi2 0,000169 0,000324 0,000004 0,000196 0,000289 0,000004 0,000484 0,000324 0,000004 0,000169 0,001967
g) O erro de tolerância
Neste exemplo vamos defini-lo como: et = 3 . σ = 3 . ± 0,015 = ± 0,045 m
h) O erro relativo médio
O erro relativo de uma observação é dado pela divisão do erro absoluto pelo valor médio (Item 1, alínea e). O erro relativo médio é a relação entre o erro absoluto médio e o valor médio das observações. 203
Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos
e 0,012 1 = 0,000010 ∴ ≈ er = m = x 1234 . ,318 100.000 ou seja, possui uma precisão de 1 m em 100 km (muito bom para aplicações de agrimensura). i) A tolerância para uma precisão absoluta de ± 0,1%
Isto significa que a tolerância de erro é de 1.500 m . 0,0001 = 0,150 m, em qualquer medida. j) A tolerância para uma precisão relativa de ± 0,1%
A tolerância para a medida da média das observações é de 1.234,318 . 0,0001 = 0,123 m, bem superior ao calculado na alínea g.
k) A tolerância, considerando a precisão nominal do equipamento (10 mm + 3 ppm)
A unidade “ppm” significa “parte por milhão”, ou seja, pode-se errar 3 milímetros em 1 milhão de milímetros, ou 3 mm em 1 km. Em nosso exemplo, a tolerância pode ser dada por: tolerância = 10 mm + 3 . 1,234 = 3 + 3,70 = 13,70 mm ≅ 0,014 m
l) A definição se alguns dados devem ser eliminados
Considerando as tolerâncias definidas nas alíneas g, i e j, todos os desvios calculados (Tabela 7.3) são menores que o erro tolerável. Neste caso nenhuma medida será eliminada. Sendo a tolerância atendida, este levantamento pode ser considerado preciso. Porém, considerando a precisão do equipamento (alínea k), existem alguns resíduos (0,018; 0,017, 0,022) maiores que a tolerância. Desta forma, eliminam-se estas observações (ou repete-as), e faz-se novamente o tratamento estatístico dos dados.
3.2 - Exemplo 2 Às vezes tem-se de determinar o valor mais provável de uma série de observações, que tenha sido realizadas com diferentes graus de confiança. Para tornar estas observações homogêneas, introduz em cada observação um fator de proporcionalidade denominado peso. Sendo a média aritmética simples, o valor mais provável de um conjunto de observações de mesma confiança ou mesmo peso, neste exemplo tem-se a média aritmética ponderada, onde introduz a influência dos diferentes pesos, originando também o valor mais provável deste conjunto de observações. As fórmulas a serem empregadas no exemplo a seguir não foram comentadas anteriormente (Item 1), e serão apresentadas juntamente com a solução do exercício. 204
Seja a medição de um ângulo horizontal, no qual foi realizado por número diferente de observações (Tabela 7.4). O instrumento utilizado foi a estação total da Leica TC 600, com precisão nominal angular de 5”. Pede-se: a) O valor mais provável desta medida; b) O desvio padrão das observações; c) O desvio padrão da média; d) O erro de tolerância; e) A tolerância, considerando a precisão nominal do equipamento (5”); f) A definição se alguns dados que devam ser eliminados.
Tabela 7.4: Medidas do ângulo horizontal. Operadores: Equipe 01 Local: B.H. Valores obtidos com a estação total - Leica TC 600 – Ângulo A-B-C xi xi xi o o o 35 20’ 34” 35 20’ 29” 35 20’ 30” 35o 20’ 30” 35o 20’ 33” 35o 20’ 34” o o 35 20’ 32” 35 20’ 30” 35o 20’ 33” 35o 20’ 29” 35o 20’ 35” 35o 20’ 35” o o 35 20’ 34” 35 20’ 28” 35o 20’ 30” 35o 20’ 33” 35o 20’ 29” Operador 1 - 5 repetições Operador 2 - 6 repetições Operador 3 - 6 repetições
x = 35o 20’ 31,8”
x = 35o 20’ 31,3”
x = 35o 20’ 31,8”
Solução: a) O valor mais provável desta medida (Tabela 7.5)
Para valores de xi, foi adotado a média aritmética simples ( x ) e pi e o peso correspondente ao número de repetições. n ∑ xi ⋅ p i 35o 20'31,8' '⋅5+...+35o 20'31,8' '⋅6 600o 48'57,6' ' x p = i =1 = = = 35 o 20'31,6' ' n 17 17 ∑ p i i =1
(
)
Obs.: O valor mais provável pode ser acompanhado de seu desvio padrão, calculado na alínea c. Logo, se pode dizer que o valor mais provável é 35o 20’ 31,6” ± 0,07”
b) O desvio padrão das observações (Tabela 7.5)
Será dado pela seguinte expressão:
205
Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos
σ=±
2 ∑p ⋅v i i ⋅ n = n −1 ∑ pi
0,98 3 ⋅ = 0,086 = ± 0,29' ' ≅ ± 0,30'' 17 2
Os valores de vi’s foram definidos como a diferença entre as médias de cada série de observação e a média ponderada final (valor mais provável) (vi = x - x p ).
c) O desvio padrão da média (Tabela 7.5)
Será dado pela seguinte expressão: mx =
σ ∑ pi
=±
0,30 17
= ± 0,07' '
Tabela 7.5: Resumo dos cálculos II. Média dos ângulos 35o 20’ 31,8” 35o 20’ 31,3” 35o 20’ 31,8” Soma
Peso (P) 5 6 6 17
Média x Peso 176o 42’ 39,0” 212o 03’ 07,8” 212o 03’ 10,8” 600o 48’ 57,6”
Desvio - v + 0,2” - 0,3” + 0,2”
v2 0,04” 0,09” 0,04”
P x v2 0,20” 0,54” 0,24” 0,98”
d) O erro de tolerância
Neste exemplo vamos defini-lo como: et = 3 . σ = 3 . ± 0,30” = ± 0,90” ≅ 1,00”
e) A definição se alguns dados devem ser eliminados
Considerando o erro de tolerância calculado na alínea d, os desvios da tabela 7.5 são menores que este valor, podendo ser considerado todas as observações. Considerando ainda a precisão nominal do equipamento (5”), os resíduos das observações também estão consistentes.
3.3 - Exemplo 3 O exemplo a seguir refere-se a tratamento de observações altimétricas. No transporte de altitudes, às vezes, o valor da diferença de nível deve ser preciso, relativo à tolerância exigida. Este transporte geralmente é executado através do nivelamento geométrico composto (Cap. 3), e dependendo da aplicação, o tre206
cho a ser percorrido para o transporte é realizado várias vezes, sendo que normalmente não é o mesmo percurso. Desta forma considera-se que ao percorrer um trecho menor, ocorrerão menos mudanças de planos de referência, conseqüentemente o resultado desta diferença de nível possui um grau de confiabilidade maior. Então, pode-se afirmar que os pesos são proporcionais ao inverso dos respectivos comprimentos nivelados. Porém em se tratando de nivelamento trigonométrico (Cap. 3), considera-se que os pesos são proporcionais ao inverso do quadrado da distância entre os referidos pontos. # Nivelamento geométrico => pi =
1 L
; onde L é o comprimento nivelado em km;
# Nivelamento trigonométrico => pi =
1 ; onde L é o comprimento nivelado em km; 2 L
Seja a medida da diferença de nível entre dois pontos A e B, separadas por obstáculos, onde foram realizados três nivelamentos e seus respectivos contra-nivelamentos. Obtiveram-se então 6 diferenças de nível, sendo que os trechos percorridos constam da tabela 7.6 (Figura 7.3). O instrumento utilizado foi um nível automático Leica NA 820, que possui uma precisão nominal de 2,5 mm/km nivelado.
3
B 5
2
6
4
1
A
Figura 7.3: Nivelamento geométrico. Pede-se: a) O valor mais provável desta medida; b) O desvio padrão das observações; c) O desvio padrão da média; d) O erro de tolerância; 207
Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos
e) O erro de tolerância segundo a fórmula utilizada no Cap. 3; f) O erro de tolerância segundo a ABNT; g) O erro de tolerância, segundo a precisão nominal do equipamento (2,5 mm/km); h) A definição se alguns dados que devam ser eliminados;
Tabela 7.6: Medidas da diferença de nível. Nivelamento geométrico Operadores: Equipe 01 Local: B.H. Valores obtidos com o nível automático - Leica NA 820 Alinhamentos Comprimento Diferença de nível Pesos* Peso x constante** A-1-2-3-B 1.532,340 m + 5,621 m 0,653 65,3 B-3-2-1-A 1.532,340 m - 5,625 m 0,653 65,3 A-4-5-B 1.240,300 m + 5,622 m 0,806 80,6 B-5-4-A 1.240,300 m - 5,624 m 0,806 80,6 A-6-B 993,240 m + 5,624 m 1,007 100,7 B-6-A 993,240 m - 5,625 m 1,007 100,7 * Os pesos foram obtidos pela expressão pi = 1/L; sendo L o comprimento em km. ** Para facilitar os cálculos, pode-se multiplicar os pesos por uma constante sem afetar o resultado final e, neste exemplo, tomou-se a constante como 100.
Solução: a) O valor mais provável desta medida (Tabela 7.7)
(
)
n ∑ xi ⋅ p i 5,6230 ⋅ 65,3 + 5,6230 ⋅ 80,6 + 5,6245 ⋅ 100,7 1.386,7829 x p = i=1 = = = 5,6236 m n 246,6 246,6 ∑ p i i =1
Tabela 7.7: Resumo dos cálculos III. Operação do nivelamento Nível. Contra-nivel. 5,621 m 5,625 m 5,622 m 5,624 m 5,624 m 5,625 m Soma
Média
Peso
Média x Peso
5,6230 5,6230 5,6245
65,3 80,6 100,7 246,6
367,1819 453,2138 566,3872 1.386,7829
Média ponderada 5,6236 m
Desvio v - 0,0006 - 0,0006 + 0,0009
v2
Peso x v2
3,6 x 10-7 3,6 x 10-7 8,1 x 10-7
0,0000235 0,0000290 0,0000816 0,0001341
b) O desvio padrão das observações
σ=±
2 ∑p ⋅v i i ⋅ n = n −1 ∑ pi
0,0001341 3 ⋅ = 0,0000008 = ± 0,0009 m 246,6 2
208
c) O desvio padrão da média mx =
σ ∑ pi
=±
0,0009 246,6
= ± 0,00006 m ≅ 0 ( zero)
d) O erro de tolerância
et = 3 . σ = 3 . ± 0,0009 m = ± 0,0027 m ≅ 3 mm
e) O erro de tolerância segundo a fórmula utilizada no Cap. 3
No capítulo 3, item 4.4.2 definiu-se uma expressão de tolerância, com os seguintes fatores: T = c⋅k⋅ L
onde T - Tolerância do nivelamento; c - Coeficiente de precisão que varia de 1 a 2,5 k - Erro médio admitido por quilômetro: k = 5 mm para nivelamento de precisão de primeira ordem; k = 10 mm para nivelamento de precisão de segunda ordem; k = 15 mm para nivelamento de precisão de terceira ordem. L - Extensão nivelada em km;
Desta forma, considerando c igual a 1, nivelamento de primeira ordem (k = 5 mm) e L médio igual a 1 km, tem-se: T = c ⋅ k ⋅ L = 1 ⋅ 5 mm ⋅ 1 = 5 mm
f) O erro de tolerância segundo a ABNT
Segundo as normas da ABNT, publicada na “NBR – 13.133 - Execução de levantamento topográfico”, este exemplo encontra-se na classe IN Geom., na qual possui uma tolerância de 12 mm .
k , com k em
extensão em km, logo:
T = 12 mm .
k = 12 mm .
1 = 12,0 mm
g) O erro de tolerância segundo o IBGE
Segundo as normas do IBGE (Cap. 3, Item 3.6.2, Tabela 3.5), considerando um nivelamento de alta precisão, o erro padrão aceitável para uma linha após o ajustamento (k = comprimento da linha em km) é: T = 2 mm
k = 2 . 1 = 2,0 mm
209
Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos
h) O erro de tolerância, segundo a precisão nominal do equipamento (2,5 mm/km)
Pela precisão nominal, observa-se que o erro de tolerância é de 2,5 mm em 1 km medido. Considerando nosso percurso com distância aproximada de 1 km, pode dizer então que a tolerância é 2,5 mm (T = 2,5 mm).
i) A definição se alguns dados que devam ser eliminados
Observe que nas alíneas d, e, f, g e h buscou-se formas e padrões diferentes para definir a tolerância a ser admitida às observações. Observa-se também que todas estas tolerâncias são superiores aos desvios encontrados nas observações, concluindo que estas estão precisas na avaliação da diferença de nível entre os dois pontos considerados.
210
Observações e anotações - Cap. 7 ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 211
Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos
________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 212
1 - Generalidades e Definições Locação pode ser definida como a prática topográfica de implantação no terreno, dos pontos que forneçam informações planimétricas e/ou altimétricas, de modo que se possa executar uma obra de acordo com um projeto. As marcações planimétricas são implantadas no terreno em forma de pontos (piquetes, pregos, marcos), que determinam alinhamentos de eixos ou bordos, vértices, direções ou outras referências para construção de uma obra. As marcações altimétricas (cotas, corte ou aterro e outras), podem ser feitas acompanhando-se o ponto planimétrico, com informações escritas em uma estaca ao lado (Figura 8.1). Pode ser ainda em estacas, para referências do greide (Figura 8.2), ou em formas de cruzetas para a marcação de aterros (Figura 8.3).
Figura 8.1: Estaca testemunha.
Figura 8.2: Referência do greide.
Figura 8.3: Utilização de cruzetas. 213
Capítulo 8 - Locação
A locação tem suas especificidades para cada tipo de projeto ou obra, devendo fazer a melhor marcação visual, para que fique bem definida no campo a representação do projeto. A seguir alguns tipos de serviços que necessitam de marcações diferenciadas: # Construção de estradas; # Edificações; # Locação de terrenos (lotes, fazendas, etc.); # Terraplenagem de grandes áreas; # Construções com alinhamento vertical (torres, chaminés, etc.); # Túneis; # Montagem industrial; # Mineração; # Canalizações.
A seguir serão comentadas algumas especificidades da locação de estradas.
2 – Locação para Construção de Estradas Na construção de estradas rodoviárias ou ferroviárias, deve-se tratar as etapas de execução em separado. O acompanhamento e controle planialtimétrico será uma constante no decorrer da obra, sempre partindo da locação do eixo para a implantação de outros pontos. Portanto é fácil entender o porque da locação ser uma constante na obra. O eixo da estrada é exatamente onde os serviços de construção serão executados, e por onde trafegam e trabalham os equipamentos pesados (moto-scraper, trator, motoniveladora, rolos compactador, etc.) da obra. Em cada etapa da obra ou sempre que necessário, a equipe de topografia deve fazer novamente a locação do eixo e as marcações adequadas ao serviço a ser executado pelas máquinas. Pode-se citar algumas etapas caracterizadas na construção de estradas: # Locação do eixo – planimétrico; # Marcação da faixa (largura) para o desmatamento – planimétrico; # Marcação de off-set para terraplenagem – planialtimétrico (Figura 8.4); # Locação de obras de arte (bueiro, galerias, passa-gados, etc.) – planialtimétrico; # Locação dos bordos da pista para subleito, sub-base ou base – planialtimétrico; # Locação dos alinhamentos de trilhos ou revestimentos das estradas – planimétrico; # Locação para obras complementares (cerca, sarjeta, pinturas de faixas) – planimétrico.
214
Off-set
Eixo
Off-set
d1
d2 d1 ≠ d 2
Figura 8.4: Exemplo da marcação de off-set.
2.1 – Locação das Tangentes e PI´s Inicia-se a locação para a implantação de uma estrada pela identificação no terreno natural de algum ponto de referência do projeto. A partir de cálculos de distâncias e ângulos, que podem ser deflexões, azimutes ou rumos, chega-se à estaca inicial, que é o ponto de partida para a locação do eixo. Com o projeto em mãos inicia-se a marcação dos trechos retos (tangentes), e dos pontos de interseção das tangentes (PI’s) (Figura 8.5):
Figura 8.5: Marcação das tangentes e PI´s. 215
Capítulo 8 - Locação
Determinada as tangentes e os PI’s, referencia-se os pontos de interseção (PI’s) em outros pontos (amarração) fora do movimento das máquinas na obra. É importante lembrar que os piquetes do eixo sempre serão perdidos com a movimentação e execução de cada etapa da obra. Com isso os pontos de referência para a locação serão os PI’s. Se estes também forem perdidos, a solução será buscar os pontos de amarração para a re-locação do eixo da estrada (Figura 8.6).
Figura 8.6: Amarração de um PI por interseção de ângulos.
Para se fazer amarração de um PI, pelo processo de interseção de ângulos, conforme mostra a Figura 8.6, deve-se escolher dois pontos fora da estrada (A1 e A2) e que estejam protegidos da obra, e ainda que tenham visão do PI, sendo materializados por piquetes. Instalando-se o teodolito no ponto A1, zera-se o teodolito na direção do PI, mede-se 90° e marca-se o alinhamento. Instala-se o equipamento agora em A2, zera-se na direção do PI, mede-se 90°. A interseção dos dois alinhamentos será o ponto Aux. que também servirá de referência. Para a locação do PI a partir dos pontos de amarração é só fazer o processo inverso, ou seja: # Instala-se o teodolito em A1 e zera-se no ponto Aux., marcando-se um alinhamento com o ângulo de 90°; # Instala-se o teodolito em A2 e zera-se no ponto Aux., marcando-se um alinhamento com o ângulo de 90°; # A interseção dos dois alinhamentos é o ponto do PI.
Este processo agiliza-se na obra se for feito com dois teodolitos simultaneamente.
Outro processo similar é a amarração por interseção de distâncias indicado na Figura 8.7.
216
Figura 8.7: Amarração de um PI por interseção de distâncias.
Na amarração por distâncias são necessários trena e balizas. Os pontos A1, A2 e um outro ponto de reserva são escolhidos com o mesmo critério anterior. Notar-se-á neste processo que somente dois pontos seriam necessários para se definir um terceiro, porém escolhe-se mais um ponto, para eventuais perdas de A1 ou A2. Depois de implantados os pontos, simplesmente medem-se a distância de cada um ao PI (d1, d2 e dr). Para a locação do PI a partir dos pontos de amarração é só fazer o processo inverso, ou seja: # A partir do A1 marca-se com a trena a distância d1, fazendo-se um arco no chão; # A partir do A2 marca-se com a trena a distância d1, fazendo-se um arco no chão. # A interseção dos dois arcos é o ponto do PI. No caso de perda de algum ponto, utiliza-se o ponto reserva com o mesmo procedimento. Este processo pode ser feito com duas trenas simultaneamente.
2.2 – Locação das Curvas Locada as tangentes, faz-se à locação das curvas. A locação das curvas deve seguir os dados de projeto e ainda ter uma planilha de cálculo complementar para se implantar ponto a ponto o seu eixo. As curvas podem ser circulares (Figura 8.8) ou com transição em espiral (Figura 8.9).
Figura 8.8: Elementos de uma curva circular simples. 217
Capítulo 8 - Locação
As curvas com transição, ou simplesmente chamadas de “Curvas de Transição”, possuem um trecho em espiral que faz a ligação da tangente com o trecho circular na entrada e saída de curva. O grau de curvatura da espiral é variável, sendo mais aberto no início da curva, onde concorda com a tangente e mais fechado no encontro com a circular.
Figura 8.9: Elementos de uma curva de transição.
Locadas e implantadas a curvas na obra, refaz-se o cálculo do estaqueamento, que servirá de referência para todo o trecho. O estaqueamento deverá seguir as tangentes e acompanhar o alinhamento das curvas, não passando mais pelos PI’s (Figura 8.10).
Figura 8.10: Estaqueamento final de uma estrada.
2.2.1 – Curva Circular Simples A curva circular simples é usada normalmente para raios maiores que 600 metros, mas pode ser aplicada também em raios muito pequeno, como no caso de praças, trevos, estacionamentos, etc. A curva circular como o nome indica, é um seguimento de uma circunferência. Na Figura 8.11 têm-se representado alguns elementos da curva circular simples: 218
# Os pontos PC e PT, são pontos de início e término da curva, sendo pontos de tangência, os alinhamentos PC => O e PT => O, são ortogonais às tangentes da estrada. # O desenvolvimento (D), é o comprimento curvo entre o PC e o PT. # A distância reta do PC ao PI e do PT ao PI, são iguais e são chamadas tangentes externas (T). # O ângulo de deflexão (I), é o ângulo de mudança de direção das tangentes. # AC é o ângulo interno da curva, formado pelas as ortogonais do PC do PT. # O centro da curva (O) é o ponto que com a distância do raio (R) traça-se a curvatura passando pelos pontos PC e PT.
Traçando-se uma reta ligando o PI ao centro da curva (O), definimos um eixo de simetria. O raio (R) e o Ângulo de deflexão (I) são dados conhecidos do projeto.
Figura 8.11: Elementos da curva circular.
a) Cálculo da Tangente Externa (T)
Para o cálculo da distância da tangente externa (T), vamos utilizar o triângulo retângulo PC-PI-O da Figura 8.12, sabendo se que o raio (R) e a deflexão (I) são dados conhecidos no projeto.
219
Capítulo 8 - Locação
Figura 8.12: Cálculo da tangente externa. Tem-se: tg
AC T ∴ T = R .tg ⎛⎜ AC ⎞⎟ = 2 R ⎝ 2 ⎠
b) Cálculo do desenvolvimento (D) Sabendo-se que o comprimento de uma circunferência é “2.π.R” e que corresponde a um ângulo de 360°, pode-se fazer uma regra de três, para saber o comprimento “D” correspondente a um ângulo “AC”: 2.π.R Æ 360° D Æ AC ∴ 2.π.R .AC = 360 . D Então: D=
2.π.R × AC 360
⇒
D=
π.R .AC 180
Ainda não se conhece o valor do ângulo central (AC) da curva. Levando-se em conta o eixo de simetria da curva, toma-se o triângulo “O-PI-PT” na Figura 8.13, assim temos:
Figura 8.13: Ângulo AC. 220
A soma dos ângulos internos do triângulo é 180°, então: α + 90° +
AC = 180° 2
(1)
tem-se:
α + α + I = 180 ⇒ 2.α = 180 − I ⇒ α =
180 − I 2
⇒ α = 90 −
I 2
(2)
Substituindo (2) em (1), tem-se:
AC I AC ⎛ 90 − I ⎞ = 180 ⇒ 180 − + = 180 ⇒ ⎜ ⎟ + 90 + 2 2 2 ⎝ 2 ⎠
AC I = ⇒ AC = I 2 2
Portanto, vimos que o ângulo central (AC) de uma curva é igual à sua deflexão (I). Como a deflexão é um elemento já conhecido, também passamos a conhecer o AC.
c) Cálculo das estacas do PC e do PT
A estaca do primeiro PI (PI1) da Figura 8.14, tem-se que é a estaca inicial mais a distância até o PI. A estaca do PC1 é a distância da estaca inicial ao PI 1 (d1), menos a tangente externa T1, calculada em metros e depois transformada em estacas, ou seja: est.PC = est.PI − T
Para o cálculo da estaca do PT 1, deve-se partir da estaca do PC 1 (já calculada), e passar pela curva, percorrendo seu desenvolvimento (D1) (Figura 8.14). est.PT = est.PC + D
Figura 8.14: Cálculo das estacas do PC e PT.
Exemplo 1: Para uma curva circular de raio igual a 750,00m, estaca do PI igual a 47 + 12,30 m e
deflexão (I) de 47° 30’ 40’’, calcular os elementos : 221
Capítulo 8 - Locação
a) Tangente externa (T); b) Desenvolvimento (D); c) Estaca do PC; d) Estaca do PT. Solução:
a) T = R.tg b) D =
AC 2
π.R.AC 180
⇒
⎛ 47°30'40' ' ⎞ ⎟ ⇒ T = 330,095 m 2 ⎝ ⎠
T = 750 × tg ⎜
⇒ D=
π.750 × 47°30'40' ' ⇒ D = 621,919 m 180
# Observações:
Os ângulos devem ser decimalizados para se executar as operações; O valor de π deve ser o da calculadora (3,1415...).
Est.PC = EST.PI − T ⇒ Est.PC = Est.(47 + 12,30) − 330,095 ⇒
Est.PC = 952,300 − 330,095 ⇒ Est.PC = 622,205 m ⇒ Est.PC = 31 + 2,205 m Est.PT = EST.PC + D ⇒ Est.PT = Est.(31 + 2,205) + 621,919 ⇒ Est.PT = 622,205 + 621,919 ⇒ Est.PT = 1.244,124 m ⇒ Est.PT = 62 + 4,124 m
d) Cálculo das estacas do PI’s seguintes
Como visto anteriormente a estaca do primeiro PI não muda com a implantação da curva. A distância da estaca inicial ao PI1 é d1 (est. PI1 = d1), porém a partir do segundo PI as estacas sofrem alteração se considerarmos o estaqueamento do trecho reto e após a implantação das curvas. A distância da estaca inicial até o PI 2 considerando o trecho reto é igual a d1+d2 (Figura 8.15), porém se considerarmos as curvas as tangentes externas (T) são substituídas pelo desenvolvimento (D) (Figura 8.16).
Figura 8.15: Cálculo das estacas do PI. 222
Considerando-se então o estaqueamento, com as curvas implantadas, pode-se tirar da figura 8.15, que: est.PI1 = est.inicial + d1
est .PC 1 = est .PI 1 − T 1
⇒
est .PC 1 = est .inicial + d1 − T 1
est.PI2 = est.inicial + d1 − T1 + D1 + d 2 − T1
mas, est.PC = est.inicial + d1 − T1 ∴ est.PI 2 = est.PC1 + D1 + d 2 − T1
analogamente, tem-se: est.PI3 = est.PC2 + D2 + d3 − T2
Pode-se generalizar a equação como: est.PI n = est.PC n −1 + D n −1 + d n − Tn −1
Figura 8.16: Distância PC-PT, considerando as tangentes e o desenvolvimento.
Exemplo 2: Calcular os elementos das curvas, a estaca final e as estacas dos PI’s do trecho dado,
após a implantação das curvas, de acordo com os dados e desenho esquemático: Observações: # O desenvolvimento e as tangentes externas podem ser de curva circular simples ou de transição.
Os cálculos dos elementos das curvas com transição, serão estudados adiante. Onde nas fórmulas têm PC, para curva circular é só substituir por TS da curva de transição correspondente. # A estaca inicial de uma estrada, não necessariamente será a estaca 0, pois poderá ser a continua-
ção de um trecho antigo ou alguma ramificação de um trecho principal. # A diferença entre a estaca inicial e a estaca final, será o comprimento total da estrada. 223
Capítulo 8 - Locação
# A estaca final pode ser tratada como um PI final,para efeito de cálculos. # Para os cálculos que envolvem estacas e distâncias, deve-se tomar o cuidado para transforma-
ções, de estaca em metros ou vice-versa. Desenho esquemático de uma estrada: CURVA 2 R2 = 250,000 m D2 = 505,789 m
Estaca inicial = 0
T2 = 315,132 m d2 = 1.323,000 m
T2
d2
PI2
Est. TS2 = Est. ST2 =
TS2
T1
T2
Est. PI2 =
D2
PC1 D1
PT1 ST2
T1
d1
PI1 d3
CURVA 1 CURVA 3
R1 = 750,000 m
R3 = 840,000 m
D1 = 621,919 m
PC3
D3 = 879,646 m
T1 = 330,095 m
T3 = 484,974 m
d1 = 952,300 m
T3
d3 = 2.952,300 m
Est. PC1 = 31 + 2,205 m
Est. PC3 =
Est. PT1 = 62 + 4,124 m
Est. PT3 =
Est. PI1 = 47 + 12,300 m
D3
Est. PI3 =
PI3
AC = 40° 30’ 40’’
T3
PT3 TS4 T4 d4
CURVA 4
D4
R4 = 165,000 m D4 = 266,777 m
PI4 ST4
T4 = 261,526 m d4 = 2.467,000 m Est. TS4 = Est. ST4 =
Estaca final
T4 d5
Est. PI4 = AC = 40° 30’ 40’’ d5 = 843,638 m Est. final =
224
Solução:
a) Cálculo da estaca de PI1
est.Pi1 = est.inicial + d1 ⇒ est.PI1 = est.(0) + 952,300m ⇒ est.PI1 = 47 + 12,300m
b) Cálculo da estaca do PI2 sabemos que: Æ est .PI n = est .PC n − 1 + D n − 1 + d n − T n − 1
∴ est.PI2 = estPC1 + D1 + d 2 − T1
Porém precisamos dos valores de:
Est.PC1 = Est.(47 + 12,30) − 330,095 ⇒ Est.PC1 = 31 + 2,205 m D1 = 621,919 m d 2 = 1.323,000 m T1 = 330,095 m ∴ estPI2 = est.(31 + 2,205m) + 621,919 + 1.323,000 − 330,095 = 2.237,029m ∴ est.PI2 = 111 + 17,029 m
c) Cálculo da estaca do PI3
∴ est.PI3 = estTS2 + D2 + d3 − T 2
Porém precisamos dos valores de:
Est.TS2 = Est.(111 + 17,029) − 315,132 ⇒ Est.TS2 = 96 + 1,897 m D2 = 505,789 m d3 = 2.952,300 m T 2 = 315,132 m ∴ estPI3 = est.(96 + 1,897m) + 505,789 + 2.952,300 − 315,132 = 5.064,854m ∴ est.PI3 = 253 + 4,854 m
d) Cálculo da estaca do PI4
∴ est.PI4 = estPC3 + D3 + d 4 − T3
Porém precisamos dos valores de:
Est.PC3 = Est.(253 + 4,854) − 484,974 ⇒ Est.PC3 = 228 + 19,880 m D3 = 879,646 m 225
Capítulo 8 - Locação
d 4 = 2.467,000 m T3 = 484,974 m ∴ estPI4 = est.(228 + 19,880m) + 879,646 + 2.467,000 − 484,974 = 7.441,552 m ∴ est.PI4 = 372 + 1,552 m
e) Cálculo da estaca final Considerando a estaca final como sendo o PI5, segue-se o mesmo procedimento:
∴ est.PI5 = est.TS4 + D 4 + d5 − T 4 ∴ est.final = est.TS4 + D4 + d5 − T 4 Porém precisamos dos valores de:
Est.TS4 = Est.(372 + 1,552) − 261,526 ⇒ Est.TS4 = 359 + 0,026 m D4 = 266,777 m d5 = 843,638 m T 4 = 261,526 m ∴ est.final = est.(359 + 0,026m) + 266,777 + 843,638 − 261,526 = 8.028,915 m ∴ est.final = 401 + 8,915 m
Para conferência dos cálculos, recalcula-se a estaca final de maneira direta, ou seja, somam-se todas as distâncias retas (d) à estaca inicial e subtraem-se as tangentes externas de cada curva (T) substituindoas por seu desenvolvimento (D). Porém para cada curva, tem-se um desenvolvimento e duas tangentes externas (Figura 8.17).
Figura 8.17: Diferença entre distância reta e curva.
Pode-se escrever que: est.final = est.inicial +
∑ d + ∑ D − 2.∑ T
Para o exemplo, tem-se: 226
∑ D = D1 + D2 + D3 + D4 = 2.274,131 m ∑ d = d1 + d2 + d3 + d4 = 8.538,238 2.∑ T = 2.(T1 + T 2 + T3 + T 4) = 2 ×1.391,727 = 2.783,454 est.final = est.0 + 2.274,131 + 8.538,238 − 2.783,454 = 8.028,915 m est.final = 401 + 8,915 m 9 Ok ! Confere com os cálculos anteriores.
e) Locação da Curva Circular Simples
Na implantação da estrada, as locações dos trechos de retas e de curvas, são fundamentais para obra, pois a marcação dos pontos no terreno servirá de referência para a execução da obra. A locação da curva no campo, é feita através de pontos no eixo da estrada, podendo ser feita por vários processos, entre eles os mais usados na prática são: locação por deflexão e locação por coordenadas. A locação por deflexão é feita com teodolito ou estação total, instalado no ponto de início da curva (PC). A marcação dos pontos é feita a partir da medição de ângulos e distâncias. A locação por coordenadas é feita com estação total, que poderá ficar em qualquer posição que tenha visão da curva. A marcação dos pontos é feita a partir de medidas fornecidas pela estação total, previamente programada. A distância entre os pontos que demarcam o eixo da curva na locação, deve ser tal que represente bem a curvatura, de maneira que os pontos marcados mostrem com eficiência o alinhamento correto da curva. A distância entre os pontos pode ser reta (corda) ou curva (arco) e seu comprimento será em função do raio. A divisão da curva é feita em arcos, porém em campo as medidas são tomadas retas, portanto o comprimento do arco deverá ser de forma que a medida reta (corda) entre dois pontos, seja bastante aproximada da medida curva (Figura 8.18). Quanto menor o raio, maior será o grau de curvatura da curva, devendo ser dividida em arcos menores (Figura 8.18). Para raios maiores, a representação poderá ser feita com arcos maiores pois sendo o grau de curvatura menor, o arco será aproximadamente igual à corda. Como se nota na figura 8.18, para raios menores, necessita-se de cordas menores, assim na prática se utilizam as seguintes medidas:
R ≥ 100 m
⇒ a ≅ c = 5,00 m
100 m < R < 600 m ⇒ a ≅ c = 10,00 m R > 600 m ⇒ a ≅ c = 20,00 m
227
Capítulo 8 - Locação
Figura 8.18: Locação das curvas através da corda.
f) Distribuição do estaqueamento na planilha
Têm-se as três condições vistas, ou seja, para arcos de 5, 10 ou 20 m (Figuras 8.19, 8.19, 8.20). A locação das curvas com raios maiores que 600,00 m deve ser feita com arcos de no máximo 20,00 m. A distância curva entre as estacas será o arco, que é diferente da distância reta (corda) que é medida em campo. Veremos o cálculo da corda ainda neste capítulo. Na planilha serão representados somente os pontos dentro da curva, entre o PC e o PT. Conforme a curva da figura 8.19, e sua planilha, será representada no campo com arcos de 20,00 m, após a locação de 7 pontos. Não há necessidade na planilha de se repetir a estaca inteira em todas as linhas para as estacas intermediárias, e também de colocar a estaca inteira mais zero (Ex: 204 + 0,00). Nota-se ainda que os arcos entre o início da curva PC e o 2° ponto de locação (17,20 m) e o penúltimo ponto de locação e o PT (16,60 m) serão menores que 20,00 m, devido às estacas do PC e PT não serem inteiras. A locação das curvas com raios entre 100,00 m e 600,00 m deve ser feita com arcos de no máximo 10,00 m. A curva da figura 8.20, e sua planilha, com arcos de 10,00 m, será representada no campo após a locação de 13 pontos. Nota-se ainda que os arcos entre o início da curva PC e o 2° ponto de locação (7,20 m) e o penúltimo ponto de locação e o PT (6,60 m) serão menores que 10,00 m, devido às estacas do PC e PT não serem inteiras. A locação das curvas com raios menores que 100,00 m deve ser feita com arcos de no máximo 5,00 m. Esta curva, conforme figura 8.21 e sua planilha, com arcos de 5,00 m, será representada no campo após a locação de 25 pontos. A locação é feita com o aparelho (teodolito) instalado no PC. Nota-se ainda que os arcos entre o início da curva PC e o 2° ponto de locação (2,20 m) e o penúltimo ponto de locação e o PT (1,60 m) serão menores que 5,00 m, devido as estacas do PC e PT não serem inteiras. 228
Distribuição do estaqueamento e planilha para uma curva com arcos de 20,00 m, usados para raios maiores que 600 m.
est. 208
est. PC 207 + 16,60 m
est. 207
PLANILHA
est. 206
est. 205
est. 204
Estacas Inteira intermed. 201 202 202 2,80 203 204 205 206 207 16,60 208
Arco (m) 17,20 20,00 20,00 20,00 20,00 16,60 -
Observ. Fora da curva Fora da curva PC - 1°ponto 2° ponto 3° ponto 4° ponto 5° ponto 6° ponto PT - 7°ponto
Fora da curva
est. 203
est. PC 202 + 2,80 m
est. 202
est. 201
Figura 8.19: Locação I. Arcos de 20,00 m. 229
Capítulo 8 - Locação
Distribuição do estaqueamento e planilha para uma curva com arcos de 10,00 m, usados para raios entre 100 e 600 m.
est. 208
est. PC 207 + 16,60 m + 10,00
est. 207 PLANILHA
+ 10,00
Estacas Inteira intermed. 201 202 202 2,80 10,00 203 10,00 204 10,00 205 10,00 206 10,00 207 10,00 16,60 208
est. 206
+ 10,00
est. 205
+ 10,00
est. 204
+ 10,00
Arco (m) 7,20 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 6,60 -
Observ. Fora da curva Fora da curva PC - 1°ponto 2° ponto 3° ponto 4° ponto 5° ponto 6° ponto 7° ponto 8° ponto 9° ponto 10° ponto 11° ponto 12° ponto PT - 13°ponto
Fora da curva
est. 203
+ 10,00 est. PC 202 + 2,80 m
est. 202
est. 201
Figura 8.20: Locação II. Arcos de 10,00 m. 230
Distribuição do estaqueamento e planilha para uma curva com arcos de 5,00 m, usados para raios menores que 100 m.
est. 208 PLANILHA + 5,00 Estacas + 10,00 Arco (m) Inteira intermed. + 5,00 201 202 est. 207 202 2,80 + 5,00 5,00 2,20 + 10,00 10,00 5,00 15,00 5,00 + 5,00 203 5,00 5,00 5,00 est. 206 10,00 5,00 + 5,00 15,00 5,00 + 10,00 204 5,00 5,00 5,00 + 5,00 10,00 5,00 15,00 5,00 est. 205 205 5,00 5,00 5,00 + 5,00 10,00 5,00 + 10,00 15,00 5,00 206 5,00 + 5,00 5,00 5,00 est. 204 10,00 5,00 15,00 5,00 + 5,00 207 5,00 + 10,00 5,00 5,00 10,00 5,00 + 5,00 15,00 5,00 est. 203 16,60 1,60 + 5,00 208 + 10,00 + 5,00 est. PC 202 + 2,80 m est. 202
est. PC 207 + 16,60 m
Observ. Fora da curva Fora da curva PC - 1°ponto 2° ponto 3° ponto 4° ponto 5° ponto 6° ponto 7° ponto 8° ponto 9° ponto 10° ponto 11° ponto 12° ponto 13° ponto 14° ponto 15° ponto 16° ponto 17° ponto 18° ponto 19° ponto 20° ponto 21° ponto 22° ponto 23° ponto 24° ponto PT - 25°ponto
Fora da curva
est. 201
Figura 8.21: Locação III. Arcos de 5,00 m. 231
Capítulo 8 - Locação
g) Afastamento
Para se determinar a distância que o eixo da curva passará do PI, calcula-se o afastamento “A” (Figura 8.22). Pode-se calcular o afastamento em função do raio e do ângulo central. Do triângulo retângulo O– PC-PI, tem-se:
cos
AC R R = ⇒ (R + A) = AC 2 (R + A) cos 2
⇒ A=
AC R − R ⇒ A = R.(sec − 1) AC 2 cos 2
Figura 8.22: Cálculo do afastamento.
Este parâmetro é importante quando se quer passar uma curva em local obrigatório, por exemplo, em estradas já abertas, e ainda, quando se quer determinar o raio para que a curva “fuja” de algum obstáculo ou construção (Figura 8.23).
232
Figura 8.23: Aplicação do cálculo de afastamento. h) Grau de curvatura
O grau de curvatura de uma curva é representado pelo ângulo central correspondente a um determinado arco (Figura 8.24). Para um ângulo central correspondente a um arco de 1 metro, tem-se o grau de curvatura G1. Para um ângulo central correspondente a um arco genérico ‘a’, temos o grau de curvatura Ga, que é a somatória de G1 para um arco ‘a’.
Ga = G1 × a
G1 =
onde:
Ga AC = a D
Figura 8.24: Grau da curva.
i) Deflexões
Deflexão é o ângulo formado entre a reta tangente à curva em um ponto “A” qualquer, até a direção de um ponto “B”, na mesma curva (Figura 8.25).
233
Capítulo 8 - Locação
Figura 8.25: Deflexão. A deflexão total da curva (Dt), é o ângulo formado entre a tangente no início da curva (PC), e o alinhamento PCÆPT,correspondente a um ângulo central (AC) (Figura 8.26).
Figura 8.26: Deflexão total I. Para cálculo de Dt, (Figura 8.27-a), toma-se o triângulo PCÆPTÆO, sabendo-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180° e que a curva circular possui eixo de simetria, tem-se:
AC + (90° − Dt ) + 90° − Dt = 180° ∴ AC = 180° − 180° + 2.Dt ⇒ 2.Dt = AC ⇒ Dt =
(a)
(b)
AC 2
(c)
Figura 8.27: Deflexão total II.
Analogamente tem-se para um arco “a” ângulo central igual à Ga, (Figura 27-b).
da =
Ga 2
onde: da = deflexão referente a um arco “a”; 234
Ga = grau de curvatura do arco “a”. Para um arco igual a um metro e ângulo central G1, (Figura 27-c), tem-se: dm =
G1 2
mas, G1 =
simplificando, tem-se: dm =
AC AC ∴ dm = D 2.D
mas, D =
Ac π.R.AC ∴ dm = ×180° 180° 2π.R.AC
90° π.R
i1) Cálculo da deflexão parcial para um arco “a”
da =
Ga 2
mas, Ga = G1× a ∴ da =
G1 × a 2
mas, G1 = 2.dm
da = dm × a
então:
i2) Cálculo da deflexão acumulada
A deflexão acumulada (dt), até um ponto qualquer da curva,será a soma de todas as deflexões parciais dos arcos anteriores ao ponto (Figura 8.28).
Figura 8.28: Deflexão acumulada I.
Para o ponto 1, a deflexão acumulada (dt) até este ponto, será igual à deflexão parcial do primeiro arco (da1), ou seja:
dt = da1 Para o ponto 2, a deflexão acumulada (dt) até este ponto, será igual às deflexões parciais do primeiro arco (da1) e do segundo arco (da2), ou seja:
dt = da1 + da 2 235
Capítulo 8 - Locação
Para o ponto 3, a deflexão acumulada (dt) até este ponto, será igual às deflexões parciais do primeiro arco (da1), do segundo arco (da2) e do terceiro arco (da3), ou seja:
dt = da1 + da 2 + da 3 Generalizando para um ponto ‘n’qualquer, pode-se escrever que:
n
dt = da1 + da 2 + da3 + K + dan ∴ dt = ∑ da 0
As deflexões parciais tomadas a partir do PC, referente a dois pontos quaisquer (Pc e 1), (1 e 2) e (2 e 3), são as mesmas que tomadas a partir das tangentes destes pontos, (Figura 8.29).
Figura 8.29: Deflexão acumulada II. A deflexão da2, tomada a partir do PC, é o ângulo formado entre os alinhamentos PCÆ1 e o alinhamento PCÆ2. Porém a deflexão tomada no ponto 1, é o ângulo formado entre a tangente do ponto 1 e o alinhamento 1Æ2, que também é a deflexão da2. Para comprovar esta afirmativa, e como estes conceitos são muito importantes no estudo das deflexões das curvas circulares, tem-se a seguir, a demonstração destes conceitos, com base na figura 8.30: ¾ Os triângulos (A B C), (A D E) e (D B F), são eqüiláteros, pois são formados com as tangentes
de uma circunferência. ¾ A soma dos Ângulos internos de um triângulo é 180°.
Considerando o triângulo (ABC), tem-se:
α+ γ =β+θ ⇒ γ =β+θ−α
(1) 236
Considerando o triângulo ADB, o ângulo interno no vértice D, será:
180º −α − β
A soma dos ângulos internos do triângulo ADB, será:
γ + (180 − α − β) + θ = 180° ∴ θ = α + β − γ
(2)
Substituindo (2) em (1), tem-se:
γ = β − α + α + β − γ ⇒ γ + γ = 2.β ∴ γ =β
(3)9 Ok!
Substituindo (3) em (2), tem-se:
θ = α +β−β
θ = α 9 Ok!
237
Capítulo 8 - Locação
Figura 8.30: Deflexão acumulada III. j) Cálculo das cordas
Para o cálculo da corda do PCÆPT, referente ao desenvolvimento (D) da curva, de ângulo central de AC, (Figura 8.31), tem-se:
c ⎛ AC ⎞ sen ⎜ ⎟= ⎝ 2 ⎠ 2.R
⎛ AC ⎞ ⇒ c = 2R × sen ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
Figura 8.31: Cálculo das cordas I.
Analogamente, tem-se: Para o cálculo de uma corda (c) qualquer, referente à um arco (a) da curva, de ângulo central Ga, (Figura 8.32), tem-se:
c ⎛ Ga ⎞ sen⎜ ⎟= ⎝ 2 ⎠ 2.R
Ga ⎛ Ga ⎞ ⇒ c = 2R × sen⎜ ∴ c = 2R × sen da ⎟ mas, da = 2 ⎝ 2 ⎠
238
Figura 8.32: Cálculo das cordas II. Exemplos de diferença entre a corda e o arco para alguns raios. c = 2R × sen da
onde, da = dm × a
e,
dm =
90 π.R
Raio = 600,00 m Arco (a) Corda (c) Diferença em mm
5,00 m 4,999986 m 0
10,00 m 9,999884 m 0
20,00 m 19,999074 m 1
Raio = 200,00 m Arco (a) Corda (c) Diferença em mm
5,00 m 4,99870 m 0
10,00 m 9,998958 m 1
20,00 m 19,991668 m 8
Raio = 50,00 m Arco (a) Corda (c) Diferença em mm
5,00 m 4,997917 m 2
10,00 m 9,983342 m 17
20,00 m 19,866933 m 133
Pode-se concluir que raios menores exigem cordas menores, pois têm um grau de curvatura maior. Na prática de locação de curvas em estradas, adota-se a corda igual ao arco, de acordo com a tabela:
R ≥ 100 m
⇒ a ≅ c = 5,00 m
100 m < R < 600 m ⇒ a ≅ c = 10,00 m R > 600 m ⇒ a ≅ c = 20,00 m
Para raios menores que 30,00 m, pode-se adotar cordas menores, para uma melhor representação da curva. Pode-se citar como exemplos de raios pequenos: praças, trevos, rotatórias, pista de corrida, etc. A locação nestes casos deve ser feita com cordas de 1 ou 2 metros, para que se tenha uma melhor visualização da curvatura da curva no terreno.
Exemplo 3: Calcule a planilha de locação, considerando os dados abaixo:
Raio = 450,00 m AC = 26° 38’ 12’’ Estaca do PI = 277 + 15,40 m 239
Capítulo 8 - Locação
Solução:
a) Definição do arco => a = 10,00 m , pois 10 m < R < 600 m
b) Desenvolvimento => D =
π.R.AC ⇒ D = 209,204 m 180°
⎛ AC ⎞ ⎟ ⇒ T = 106,528 m ⎝ 2 ⎠
c) Tangente externa => T = R.tg ⎜
d) Estaca do PC => est.PC = est.PI − T e) Estaca do PT=> est.PT = Est.PC + D
f) Cálculo de dm=> dm =
90° π.R
⇒ est.PC = 272 + 8,872 m ⇒ est.PT = 282 + 18,076 m
⇒ dm = 0,0636619772367...
# É importante que se coloque o valor de dm, na memória da calculadora, para os cálculos futuros
da deflexão ‘da’, assim trabalhando com todas as casas decimais.
g) Cálculo da deflexão para um arco
da = dm × a # Os valores da deflexão parcial ‘da’, são colocados na planilha e calculada para cada arco ‘a’. # Os valores da deflexão acumulada ‘dt’, são calculados na planilha, acumulando-se para cada de-
flexão parcial.
h) Cálculo da corda
c = 2.R.sen da # Os valores das cordas, serão colocados na planilha para o arco e a deflexão correspondentes. # Com a planilha calculada, só falta a locação em campo, onde serão implantados os pontos para a
definição da curva. 240
PLANILHA DE LOCAÇÃO DE CURVA CIRCULAR SIMPLES LOCAÇÃO POR DEFLEXÃO ENTRADA DE DADOS Estaca do PI Dados da Curva Inteira Intermediária RAIO A.C. 277 15,400 450,000 26°38'12''
Curva "D ou E" Direita
RESPOSTA PARA CURVA CIRCULAR À DIREITA Estaca do PC Estaca do PT Dados da Curva Inteira Intermediária Inteira Intermediária Tangente (T) Desenv. (D) 272 8,872 282 18,076 106,528 209,204
Inteira 272 272 273 273 274 274 275 275 276 276 277 277 278 278 279 279 280 280 281 281 282 282 282
ESTACAS Intermediária 8,872 10,000 0,000 10,000 0,000 10,000 0,000 10,000 0,000 10,000 0,000 10,000 0,000 10,000 0,000 10,000 0,000 10,000 0,000 10,000 0,000 10,000 18,076
CADERNETA DE LOCAÇÃO DISTÂNCIAS DEFLEXÕES Arco (a) Corda (c) Parcial (da) Acumulada (dt) 00° 00' 00,00'' 00° 00' 00,00'' 1,128 1,1275 00° 04' 18,41'' 00° 04' 18,41'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 00° 42' 30,24'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 01° 20' 42,07'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 01° 58' 53,90'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 02° 37' 05,73'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 03° 15' 17,56'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 03° 53' 29,40'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 04° 31' 41,23'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 05° 09' 53,06'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 05° 48' 04,89'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 06° 26' 16,72'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 07° 04' 28,55'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 07° 42' 40,38'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 08° 20' 52,21'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 08° 59' 04,04'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 09° 37' 15,88'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 10° 15' 27,71'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 10° 53' 39,54'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 11° 31' 51,37'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 12° 10' 03,20'' 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 12° 48' 15,03'' 8,076 8,0762 00° 30' 50,96'' 13° 19' 06,00''
241
Capítulo 8 - Locação
k) Cálculo das coordenadas
O cálculo de coordenadas para locação dos pontos do eixo de uma curva, segue o mesmo procedimento de cálculo de coordenadas visto no capítulo 2, e relembrando:
Coordenadas parciais: x A − B = d A − B . sen AZ A − B y A − B = d A − B . cos AZ A − B
Coordenadas Totais: X B = X A + x A−B YB = YA + y A − B Para o cálculo específico de curvas, o procedimento de cálculo das coordenadas parciais será portanto o mesmo, onde a distância dAB será a corda “c” e o azimuteAB será o azimute da direção da deflexão, referente ao ponto a ser determinado. O cálculo das coordenadas totais será a soma das coordenadas do último ponto com as coordenadas parciais do ponto considerado. Como mostra a figura 8.33, as coordenadas totais, X1 e Y1 do ponto 1, serão iguais à soma das coordenadas totais do último ponto, XPC e YPC, com as coordenadas parciais de PC ao ponto 1, x
PC-1
ey
PC-1
,
respectivamente.
Figura 8.33: Cálculo das coordenadas da curva.
242
O cálculo da coordenada parcial depende do azimute da direção de cada corda, e será calculado conforme a figura 8.34, como o azimute da direção da corda anterior, somado à deflexão parcial da corda anterior e a deflexão da corda em estudo, ou seja:
AZ B− C = AZ A − B + d A − B + d B− C
Figura 8.34: Cálculo dos azimutes dos alinhamentos.
Um modo prático para o cálculo de azimute na planilha poderá ser feito seguindo-se o esquema abaixo (Figura 8.35):
DEFLEXÕES Parciais (da)
AZIMUTES
A
45° 00' 00,00''
00° 00' 00,00''
B
00° 04' 18,41''
D
00° 38' 11,83''
F
00° 38' 11,83''
H
+
C
45° 04' 18,41'' +
E
45° 46' 48,66'' +
G
47° 03' 12,32''
Figura 8.35: Esquema de cálculo de azimutes. 243
Capítulo 8 - Locação
O primeiro azimute (A) é da direção PCÆPI. O segundo azimute (C) será da direção de PC Æ 1, e dado por (A) + (B) + (D). O terceiro azimute (E) será da direção 1 Æ 2 e dado por (C) + (D) + (F) e sendo o quarto azimute (G), da direção 2 Æ3, dado por (E) + (F) + (H). A planilha abaixo exemplifica o cálculo de uma curva circular com os dados da curva vista anteriormente (exemplo 3), porém com o cálculo de azimutes e coordenadas. O azimute inicial, ou seja, o azimute da direção PC Æ PI é de 45° 00’ 00’’ e as coordenadas de PC: (1.000,00; 5.000,00).
Estaca do PI Inteira 277
Interm. 15,400
Estaca do PC Inteira 272
Interm. 8,872
ESTACAS Inteira Interm. 272 8,872 272 10,000 273 273 10,000 274 274 10,000 275 275 10,000 276 276 10,000 277 277 10,000 278 278 10,000 279 279 10,000 280 280 10,000 281 281 10,000 282 282 10,000 282 18,076
Dados da Curva RAIO 450,000
A.C. 26°38'12''
ENTRADA DE DADOS Azimute Curva PC - PI "D ou E" 45°00'00'' D
Cordenadas "PC, PI ou PT" PC 1.000,000
RESPOSTAS PARA CURVA CIRCULAR À DIREITA Estaca do PT Dados da Curva Distância Inteira 282
Intermediária 18,076
DISTÂNCIAS Corda Arco 1,1275 1,128 9,9998 10,000 9,9998 10,000 9,9998 10,000 9,9998 10,000 9,9998 10,000 9,9998 10,000 9,9998 10,000 9,9998 10,000 9,9998 10,000 9,9998 10,000 9,9998 10,000 9,9998 10,000 9,9998 10,000 9,9998 10,000 9,9998 10,000 9,9998 10,000 9,9998 10,000 9,9998 10,000 9,9998 10,000 9,9998 10,000 8,076 8,076
Tangente (m) 106,528
Desenv.(m) 209,204
PC - PT (m) 207,325
CADERNETA DE LOCACAO DEFLEXÕES AZIMUTES Parciais Parcial (da) Acumulada (dt) 45° 00' 00,00'' 00° 00' 00,00'' 00° 00' 00,00'' 45° 04' 18,41'' 00° 04' 18,41'' 00° 04' 18,41'' 45° 46' 48,66'' 00° 38' 11,83'' 00° 42' 30,24'' 47° 03' 12,32'' 00° 38' 11,83'' 01° 20' 42,07'' 48° 19' 35,98'' 00° 38' 11,83'' 01° 58' 53,90'' 49° 35' 59,64'' 00° 38' 11,83'' 02° 37' 05,73'' 50° 52' 23,31'' 00° 38' 11,83'' 03° 15' 17,56'' 52° 08' 46,97'' 00° 38' 11,83'' 03° 53' 29,40'' 53° 25' 10,63'' 00° 38' 11,83'' 04° 31' 41,23'' 54° 41' 34,29'' 00° 38' 11,83'' 05° 09' 53,06'' 55° 57' 57,96'' 00° 38' 11,83'' 05° 48' 04,89'' 57° 14' 21,62'' 00° 38' 11,83'' 06° 26' 16,72'' 58° 30' 45,28'' 00° 38' 11,83'' 07° 04' 28,56'' 59° 47' 08,94'' 00° 38' 11,83'' 07° 42' 40,39'' 61° 03' 32,61'' 00° 38' 11,83'' 08° 20' 52,22'' 62° 19' 56,27'' 00° 38' 11,83'' 08° 59' 04,05'' 63° 36' 19,93'' 00° 38' 11,83'' 09° 37' 15,88'' 64° 52' 43,59'' 00° 38' 11,83'' 10° 15' 27,71'' 66° 09' 07,26'' 00° 38' 11,83'' 10° 53' 39,54'' 67° 25' 30,92'' 00° 38' 11,83'' 11° 31' 51,37'' 68° 41' 54,58'' 00° 38' 11,83'' 12° 10' 03,21'' 69° 58' 18,24'' 00° 38' 11,83'' 12° 48' 15,04'' 71° 07' 21,04'' 00° 30' 50,96'' 13° 19' 06,00''
5.000,000
Azimute PC - PT 58° 19' 06,00''
COORDENADAS X Y 1.000,000 5.000,000 1.000,798 5.000,796 1.007,965 5.007,770 1.015,285 5.014,583 1.022,754 5.021,232 1.030,369 5.027,713 1.038,126 5.034,023 1.046,022 5.040,160 1.054,052 5.046,119 1.062,213 5.051,899 1.070,500 5.057,495 1.078,909 5.062,906 1.087,436 5.068,129 1.096,077 5.073,162 1.104,828 5.078,001 1.113,685 5.082,644 1.122,642 5.087,089 1.131,696 5.091,335 1.140,842 5.095,378 1.150,076 5.099,216 1.159,392 5.102,849 1.168,787 5.106,274 1.176,429 5.108,887
Com os elementos da planilha calculada, falta apenas sair para campo e locar a curva, que poderá ser por deflexão ou por coordenada.
244
l) Locação em campo das curvas
l.1) Através do processo por deflexões
A locação de uma curva, normalmente é feita implantando-se piquetes no eixo da estrada, ponto a ponto, com o teodolito instalado no PC (Figura 8.36). O processo de locação segue as seguintes etapas: # Instala-se o teodolito no PC; # Visa-se a direção do PI e com ângulo “zero”; # Mede-se o ângulo da 1a deflexão acumulada, e com este alinhamento e a distância da corda PC Æ 1, marca-se o ponto 1; # Mede-se o ângulo da 2a deflexão acumulada, e com este alinhamento e a distância da corda 1 Æ
2, marca-se o ponto 2, a partir do ponto 1; # Repete-se este processo, até chegar ao PT, com a marcação das deflexões totais sempre a partir
do PC e a marcação das cordas a partir do último ponto locado.
Figura 8.36: Esquema para locação de curva através das deflexões.
PI
PC
PT
Figura 8.37: Ilustrativo da locação por deflexão. 245
Capítulo 8 - Locação
l.2) Através do processo por coordenadas
A locação de uma curva por coordenadas geralmente é executada por equipamento eletrônico. Este deve ter uma visão abrangente da curva a locar, podendo estar posicionado em qualquer local, de forma a obter necessariamente as coordenadas desta estação, através de visadas a três pontos coordenados no mínimo. Normalmente é feita implantando-se piquetes no eixo da estrada, ponto a ponto, com a tomada da distância e ângulo de forma eletrônica, onde o operador orienta o auxiliar na implantação dos pontos. O processo de locação segue as seguintes etapas: # Programar a estação total com as coordenadas dos pontos a locar (Planilha de coordenadas); # Instala-se a estação total em ponto de ampla visão para a locação; # Visa-se no mínimo, três pontos de coordenadas conhecidas (por exemplo, PC, PI, PT) e a esta-
ção reconhecerá as coordenadas do ponto instalado; # Com referência das coordenada da estação e do PC, o operador orienta o auxiliar a marcar ângu-
los e distâncias, a partir desta origem; # Segue este procedimento até o PT.
Y
PI
PT
PC
XP YP
X
Figura 8.38: Ilustrativo da locação por coordenadas.
246
Observações e anotações - Cap. 8 ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 247
Capítulo 8 - Locação
________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 248
1 - Introdução A equipe de topografia é a primeira a chegar em uma obra de implantação, portanto será a primeira a explorar a região e ter contato com o terreno virgem, das mais variadas características como: brejos, matas, rios, lagos, serrado, capinzal, bosque, etc. Uma equipe que trabalha no mato, normalmente em situações de vegetação densa, áreas alagadas e terrenos acidentados de difícil acesso, está sujeita à acidentes com animais peçonhentos. A dificuldade de acesso e comunicação, gera condições desfavoráveis ao atendimento, aumentando a responsabilidade de tomada de decisão do chefe desta equipe. Uma ação rápida na prestação de socorro e conhecimento do assunto pode ser a diferença para se salvar uma vida ou evitar perda de tempo no caso do acidente ser provocado por um animal não venenoso. Espera-se que estas decisões sejam tomadas pelo chefe da equipe, que provavelmente é um profissional da área da topografia. Porém sabemos que a sua formação técnica acadêmica ou prática é específica para sua área, não tendo estudado de maneira aprofundada ou até correta sobre animais peçonhentos, prevenção de acidentes e primeiros socorros. Não se pode negar que a situação descrita é possível de acontecer, portanto o chefe da equipe deve ter conhecimentos que possam ajudar na identificação de animais e de procedimentos ao atendimento à vítima. Portanto deve buscar conhecimentos extras para que possa apoiar, dar segurança e socorrer os membros de sua equipe quando necessário. É na pessoa do chefe que a equipe confia, e será ele que deverá tomar decisões corretas para assegurar a integridade de seu pessoal. Quando o acidente for provocado por animais não venenosos, a decisão de dispensa de socorro somente poderá ser tomada por uma pessoa que tenha absoluta certeza na identificação do animal, pois uma decisão errada poderá causar sérias conseqüências. Devemos aqui ressaltar a utilização dos termos: “Venenoso” e “Peçonhento”.
249
Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos
Biologicamente, existe diferença entre os termos, mas para nossos estudos mais práticos, usaremos os dois termos sem distinção. Porém para informação rápida, pode-se definir: Um animal que possui glândulas de veneno potencialmente perigoso, mas que não têm mecanismos de injeção deste veneno em uma vítima, é considerado venenoso, mas não é peçonhento. Outro animal que possui glândulas de veneno potencialmente perigoso, e ainda têm mecanismos de injeção (quelíceras, presas, ferrões ou cerdas), é um animal peçonhento. E ainda podemos considerar, o animal que não possui glândula de veneno, ou que possui glândulas de veneno e tem mecanismos de injeção, mas seu veneno é potencialmente inofensivo ao homem. Então podemos considera-lo não venenoso.
2 – Animais Perigosos O Brasil por estar situado em uma região tropical possui uma fauna numerosa e diversificada. Entre as várias espécies de animais alguns são venenosos e podem causar danos à saúde humana ou até mesmo levar à morte. Os animais venenosos do Brasil estão distribuídos em todas as regiões e em vários habitat. São cobras, aranhas, escorpiões, taturanas, lacraias e abelhas. Alguns, como as cobras, possuem venenos muito ativos e outros, como as lacraias e algumas vespas, possuem venenos mais fracos, ou toxicamente menos ativo. Portanto a gravidade dos acidentes depende do animal, mas também de outros fatores. Os acidentes podem ser leves, moderados ou graves. Vários fatores influenciam na gravidade do envenenamento. Pode-se citar como os principais: # A espécie do animal; # A toxidade do veneno; # A quantidade de veneno injetado; # A saúde da vítima; # O tempo de socorro ao acidentado.
Outros fatores ligados à biologia dos animais também influenciam, como: # Saúde do animal; # Idade do animal (adultos ou jovens); # Tamanho do animal; # Tipo de alimentação.
Além disso a época do ano também influencia na toxidade do veneno, pois nas épocas mais quentes do ano os animais estão mais ativos, caçando com mais freqüência, portanto seu veneno estará mais tóxico.
250
Os acidentes com cobras peçonhentas sempre são graves, devendo a pessoa acidentada ser medicada o mais rápido possível e apenas com aplicação do soro específico, porém nem todas as cobras são peçonhentas e estes não causarão danos graves às pessoas, às vezes os sintomas não passam de um leve ferimento com dor local, não devendo a pessoa tomar qualquer tipo de soro antiofídico. Mas na dúvida a pessoa deve ser encaminhada ao hospital. As cobras por provocarem os acidentes mais graves entre os animais peçonhentos, serão estudadas com mais detalhes durante este capítulo. O quadro a seguir mostra de forma resumida e esquemática os principais animais causadores de acidentes no Brasil (Figura 9.1).
"ANIMAIS D E IMPORT ÂNCIA MÉD ICA"
G ÊN ER O CROTALUS
P R ESA S
G ÊN ER O M ICRURUS
SER P EN TES
G ÊN ER O BOTHROP S
G ÊN ER O L A Q U ES IS
Q U ELÍ CER A S G ÊN ER O P H O N EU T R IA G ÊN ER O L O X O S C EL ES
ARA N H A S
G ÊN ER O L A T R O D EC T U S
G ÊN ER O L YC O S A
T ity u s s e r r u la tu s
ESCO R P I Õ ES
T ity u s b a h ie n s is
T ity u s s tig m u r u s
FER R Ã O
TA TU R A N A S
F A M ÍL IA S A T U R N IID A E
L A CR A I A S
F A M ÍL IA M EG A L O P YG ID A E
F A M ÍL IA A R C T IID A E
V ESP A S - A B EL H A S - M A R I M B O N D O S
Figura 9.1: Animais perigosos. 251
Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos
2.1 - Aranhas As aranhas também podem provocar acidentes com certa gravidade, principalmente em crianças e idosos. Inúmeras espécies de aranhas são conhecidas, porém poucas são perigosas ao homem (Figura 9.2). Existem aranhas que são consideradas inofensivas ao homem, até outras que podem provocar a morte. Aranhas do gênero Latrodectus, conhecidas como Viúvas Negras e do gênero Phoneutria, que são as armadeiras, provocam acidentes relativamente sérios. Existe soro específico para estas aranhas. O gênero Loxoceles, popularmente chamada de Aranha “Marrom” , muito comum no sul do Brasil, têm seu habitat principal, as residências humanas. Apesar de não serem agressivas provocam bastantes acidentes, devido à sua proximidade com o homem. As temidas aranhas caranguejeiras, grandes e peludas, não oferecem risco de vida à pessoa picada, sendo os sintomas apenas uma dor local, sem necessidade de maiores cuidados. O gênero Lycosa, aranhas conhecidas como tarântulas, são aranhas comuns em jardins, pastos e gramados, e não oferecem perigo às pessoas. Em caso de acidentes com esta aranha, os sintomas são caracterizados por rubor e dor local, sem maiores conseqüências.
Tarântula
Caranguejeira
Armadeira
Viúva negra
Figura 9.2: Espécies de aranhas. 252
2.2 - Escorpiões No Brasil existem várias espécies de escorpiões que podem causar danos à saúde humana, porém todos pertencem ao gênero Tityus (Figura 9.3). A espécie mais importante é o escorpião amarelo (Tityus serrulatus) pela toxidade de seu veneno, seguida do escorpião preto (Tityus bahiensis) que causam a maioria dos acidentes. Os escorpiões têm hábitos noturnos, escondendo-se durante o dia em tocas, entulhos, dentro de residências em roupas, sapatos ou qualquer lugar protegido da claridade. Este hábito provoca o encontro com as pessoas, principalmente quando vestem uma roupa ou calçam um sapato com escorpião dentro. A picada neste caso é inevitável. Apesar de não atacar sem motivos, o escorpião sempre pica quando tocado. Em caso de acidentes a dor é sempre um sintoma presente e sua intensidade dependerá da resistência de cada pessoa e quantidade de veneno injetado. O tratamento da maioria dos casos de picadas de escorpião não têm necessidade de se aplicar o soro específico. Os acidentes mais graves ocorrem com crianças e idosos. É importante o acompanhamento e encaminhamento da pessoa acidentada ao hospital.
Figura 9.3: Escorpião.
2.3 – Abelhas, Vespas e Marimbondos As abelhas, vespas e marimbondos provocam intoxicações sérias somente se houver grande número de picadas, porém há pessoas alérgicas ao veneno destes animais, neste caso, a reação do veneno no organismo pode ser muito ativa, devido ao fator alérgico, podendo ocorrer conseqüências mais graves. As pessoas alérgicas devem ser levadas ao hospital, mesmo que a quantidade de picadas forem poucas. 253
Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos
Os profissionais de topografia, trabalhando em campo, estão expostos a acidentes com estes animais, portanto toda medida de segurança deve ser adotado, para se evitar perdas de produção e danos às pessoas da equipe. Principalmente nos desmatamentos e roçadas manuais é que acontecem estes acidentes, pois são cortados galhos que podem ter a casa das abelhas ou marimbondos. As abelhas africanizadas (abelhas brasileiras com cruzamento com abelhas africanas), têm o veneno potente, são muito agressivas e atacam em enxame, podendo provocar graves acidentes.
2.4 – Taturanas e Lacraias Algumas taturana podem “sapecar” as pessoas, causando queimaduras sérias e muito dolorosas, um simples contato com a taturana (lagarta de algumas espécies de borboletas) é o suficiente para que ela injete seu veneno através de pequenas agulhas muito finas (cerdas), que ficam escondidas debaixo de seu pêlo. De um modo geral, os acidentes não são graves, aparecendo somente uma irritação local, mas sempre acompanhada de muita dor (dor de queimadura), sendo o tratamento sintomático, necessitando de cuidados mais específicos em caso de complicações do envenenamento. Porém deve-se ficar alerta com o estado físico do acidentado, pois já há registros de acidentes com morte em algumas regiões do Brasil (principalmente região sul). As lacraias causam geralmente acidentes leves, com sintomas locais de irritação e dor, não necessitando de cuidados específicos. São animais que vivem principalmente em paus podres, cascas de árvores e debaixo de folhas e que quando incomodados fogem (Figura 9.4).
Figura 9.4: Lacraia.
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2.5 - Cobras As cobras por serem o animais que mais causam acidentes graves, será aqui estudada mais detalhadamente. Além de quadros estatísticos, características e métodos de identificação destes animais, aborda-se também as medidas preventivas de acidentes em trabalhos de campo.
2.5.1 – Identificação de Cobras Para um leigo, ou mesmo uma pessoa com algum conhecimento no assunto é arriscado tentar descobrir se uma cobra é venenosa ou não. Os critérios ensinados na escola primária e secundária, geram dúvidas e erro, como por exemplo tentar identificar cobras venenosas pela cabeça triangular e rabo curto. Na figura 9.5 mostram-se quatro espécies de cobras onde as características usuais se confundem. Somente a primeira cobra é venenosa, apesar de não ter características acentuadas de venenosa. A segunda cobra (Tropidodryas), é uma espécie não venenosa mas possui cabeça triangular. A cobra coral da figura não é venenosa, mas confunde-se com uma coral verdadeira. Boipeva, talvez seja a cobra que mais assusta as pessoas no campo, pois achata-se no chão e dá botes quando incomodada, apesar de não oferecer nenhum risco às pessoas, pois não têm veneno.
Jararaca – VENENOSA
Falsa coral – NÃO venenosa Figura 9.5: Espécies de cobras.
Tropidodryas – NÃO venenosa
Boipeva – NÃO venenosa
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Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos
Alguns conceitos para identificação são válidos, como por exemplo, a cobra que tem um furo entre o olho e a narina chamado fosseta loreal (Figura 9.6) é venenosa. Esta informação está correta para todas as espécies de cobras peçonhentas do Brasil exceto as cobras corais verdadeiras, que apesar de terem veneno não possuem fosseta loreal.
Figura 9.6: Fosseta loreal.
Não se pode, então, confiar totalmente nas tabelas de identificação (Figura 9.7), pois podem induzir a erros e falhas. São vários os exemplos de cobras não venenosa que apresentam características de serpentes peçonhentas além de cobras peçonhentas que não apresentam características claras. Além disso cobras jovens são de difícil identificação, pois suas características e dimensões não são claramente visíveis. 256
As diferenças entre as cobras peçonhentas e não peçonhentas, nem sempre são claras e devem ser tratadas com cautela, pois envolve risco de vida das pessoas acidentadas. Na dúvida leve a pessoa ao hospital para que seja avaliada através dos sintomas.
Figura 9.7: Esquema não confiável de identificação de cobras.
São quatro os gêneros principais de cobras venenosas, sendo que para cada um existe um soro específico:
# Bothrops (jararacas, jararacuçus e urutus); # Crotalus (cascavéis); # Lachesis (surucucu); # Micrurus (corais verdadeiras).
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Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos
Os nomes populares devem ser usados com restrições pois podem variar com as regiões do Brasil. Pode-se, porém de uma maneira prática utilizar o questionário esquemático abaixo (Figura 9.8), para identificar o gênero das cobras venenosas, e o soro específico a ser utilizado.
TEM ANÉIS COLORIDOS COMPLETOS, PONTA DO RABO CURTA E OLHOS PRETOS POUCO VISÍVEIS ?
NÃO
SIM
"Corais verdadeiras" "Gênero MICRURUS" "Soro ANTIELAPÍDICO"
TEM FOSSETA LOREAL ? "Cobras NÃO peçonhentas" "Fam ília COLUBRIDAE" "Fam ília BOIDAE" "Fam ília ANILIIDAE"
NÃO
SIM
TEM CHOCALHO NA PONTA DO RABO ?
NÃO
SIM
"Cascavéis" "Gênero CROTALUS" "Soro ANTICROTÁLICO" "Soro ANTIBOTRÓPICO/ CROTÁLICO"
TEM RABO COM ESCAMAS ARREPIADAS E PONTA DE OSSO ?
"Jararacas, Urutus e Jararacuçus" "Gênero BOTHROPS" NÃO "Soro ANTIBOTRÓPICO" "Soro ANTIBOTRÓPICO / LAQUÉTICO"
SIM
"Surucucus" "Gênero LACHESIS" "Soro ANTILAQUÉTICO" "Soro ANTIBOTRÓPICO / LAQUÉTICO"
Figura 9.8: Identificando cobras. 258
3 – Prevenção de Acidentes Para se tomar medidas de prevenção de acidentes com animais peçonhentos é necessário conhecimentos sobre os hábitos destes animais e como acontecem os acidentes. Com relação às cobras, pode-se prevenir grande parte das picadas com algumas ações simples,considerando que a grande maioria das cobras venenosas do Brasil são de hábitos terrestres, portanto estatisticamente as pernas estão sujeitas a mais de 80% das picadas conforme o gráfico de percentuais de picadas nas diversas parte do corpo (Figura 9.9).
. Figura 9.9: Percentual de picadas de cobra nas partes do corpo.
O simples uso de calças compridas, botinas e perneiras pode-se evitar a maior parte dos acidentes. As mãos quando em tarefas de risco, como por exemplo, cortar bambus ou limpar uma vegetação rasteira para colocação de um piquete, devem estar protegidas com luvas de raspa de couro (Figura 9.10).
Figura 9.10: Equipamentos de segurança. 259
Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos
Os acidentes na cabeça são raros, muito difíceis de acontecer, pois a maioria das cobras venenosas do Brasil são de hábitos terrestres, somente em regiões de matas fechadas temos cobras venenosas arborícolas. As cobras não têm comportamento agressivo e somente picam alguém quando são pisadas ou incomodadas no seu habitat. Outro fator importante para prevenção de uma picada é ter conhecimento do alcance de um bote da cobra, ou seja, qual o comprimento que uma cobra consegue atingir de onde ela estiver. Experiências e estudos mostram que um bote atinge aproximadamente um terço do seu tamanho total. Uma cobra de 1,20 m atinge uma pessoa em um raio de aproximadamente 0,40 m. As crendices, diga-se, muito comuns no meio rural, que cobras dão botes de alguns metros, ou até mesmo voam, não têm fundamentação técnica e podem ser comprovados na prática (Figura 9.11).
Figura 9.11: Bote.
Uma das principais atividades do profissional de topografia e sua equipe ocorre em áreas que exigem determinados cuidados em relação aos animais peçonhentos. A consciência atual de preservação do meio ambiente, não admite que ocorra extermínio destas espécies. Portanto, cabe então a este profissional buscar o conhecimento claro dos perigos e formas de prevenção, para que não seja necessário o abate deste animais. Desta forma, o estigma do tratamento ao profissional de Topografia e demais profissionais de campo, de serem "tachados" de "Mata-cobras" cairá no vazio. Algumas medidas de prevenção em trabalhos de campo, para evitar-se acidentes com animais peçonhentos em geral: # Andar sempre calçado, de preferência com botas, perneiras e calças compridas; # Colocar luvas sempre que manusear entulhos, madeiras e ferramentas que estejam amontoadas; # Não colocar as mãos em buracos ou em vegetação rasteira sem proteção de luvas; # Sacudir as roupas antes de vestir, principalmente em alojamentos de obras em área rural; # Não deixar as caixas dos equipamentos abertas e no mato; # Manter as portas dos veículos da obra quando estacionados nas frentes de trabalho; # Usar blusas de manga comprida e ter muita atenção e cautela nas roçadas manuais; # Nunca manusear um animal peçonhento, mesmo que aparente morto.
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Em caso de acidente o melhor a fazer é levar a vítima ao hospital. Não faça nenhuma improvisação, não amarre, não corte, não dê nada a pessoa para beber, a não ser água. Mantenha a vítima calma e em repouso, mais nada.
Quadro 9.1: Acidentes x soro.
Fonte: Instituto BUTANTAN.
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Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos
Observações e anotações - Cap. 9 _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ 262
