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Função modular Função modular O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira:
x, se x 0 x x, se x 0 Então: Se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x. Exemplos: | 2 | = 2 ; | 1/2 | = | 1/2 | ; | 15 | = 15 Se x é negativo, | x | é igual a -x. Exemplos: | -2 | = -(-2) = 2 ; | -20 | = -(-20) = 20
Resolução: Temos que analisar dois casos: caso 1: x2-5x = 6 caso 2: x2-5x = -6 Resolvendo o caso 1: x2-5x-6 = 0 => x’=6 e x’’=-1. Resolvendo o caso 2: x2-5x+6 = 0 => x’=3 e x’’=2. Resposta: S={-1,2,3,6} 2) Resolver a equação | x-6 | = | 3-2x |. Resolução: Temos que analisar dois casos: caso 1: x-6 = 3-2x caso 2: x-6 = -(3-2x) Resolvendo o caso 1: x-6 = 3-2x => x+2x = 3+6 => 3x=9 => x=3 Resolvendo o caso 2: x-6 = -(3-2x) => x-2x = -3+6 => -x=3 => x=-3 Resposta: S={-3,3}
IPC: O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo. Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual à distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto Zero de origem. Assim: Se | x | < a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve Inequações modulares estar entre –a e a, ou seja, | x | < a -a < x < a.
Se | x | > a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou seja: | x | > a x > a ou x < -a.
Equações modulares Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular. Exemplos: a) | x2-5x | = 1 b) | x+8 | = | x2-3 | Algumas equações modulares resolvidas: 1) Resolver a equação | x2-5x | = 6.
Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita. Algumas inequações modulares resolvidas: 1) Resolver a inequação | -2x+6 | < 2. Resolução: 2 2 x 6 2 x 6 2 | - 2x 6 | 2 2 2 x 6 2 2 x 6 2 2 x 4 2 x 8 x 4 2 x 4 x 2
S = {x IR | 2
-4 x2-2x+3 4. Então temos duas inequações (que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo): Eq.1: -4 x2-2x+3 Eq.2: x2-2x+3 4 [email protected]; Só Jesus salva!
Resolvendo a Eq.1: -4 x2-2x+3 => -4-3 x2-2x => -7 x2-2x => x22x+7 0 => sem raízes reais Resolvendo a Eq.2: x2-2x+3 4 => x2-2x-1 0 x' 1 2 Aplicando Bhaskara encontramos as raízes x' ' 1 2 S {x IR | 1 2 x 1 2}
Módulo e raiz quadrada Usando a definição de módulo, podemos escrever: o que é verdadeiro para todo x real. x 2 | x |
Devemos proceder da mesma forma em relação a todas raízes de índice par: 4
x 4 | x |,
6
x 6 | x |,
2n
x 2n | x |, com x IR e n IN *
Com relação às raízes de índice ímpar, podemos escrever: 3
x 3 x,
5
x 5 x,
2 n 1
Exemplo 2: Determinar o domínio da função
f ( x) 2 | x 1 | Resolução: Sabemos que
2 | x 1 | só é possível em IR se 2 | x 1 | 0.
Então : 2 | x 1 | 0 | x 1 | 2 | x 1 | 2 2 x 1 2 2 x 1 2 2 1 x 2 1 1 x 3 Resposta : D {x IR | 1 x 3}
Gráfico Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x|: x
y=f(x)
-1 -2 0 1 2
1 2 0 1 2
Gráfico da função f(x)=|x|:
x 2n 1 x, com x IR e n IN
Função modular Chamamos de função modular a função f(x)=|x| definida por: x, se x 0 f ( x) x, se x 0
Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças. Determinação do domínio Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares: Exemplo 1: Determinar o domínio da função
f ( x)
1 | x | 3
Resolução: 1 só é possível em IR se | x | 3 0. | x | 3 Então : | x | 3 0 | x | 3 x 3 ou x 3
Sabemos que
"Porque aquele que pede recebe; e o que busca encontra; e, ao que bate se abre."
Resposta : D {x IR | x 3 ou x 3}
[email protected]; Só Jesus salva!
