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24/08/2009
Escoamentos Volume de Controle Vazão Balanço de Energia Perda de Carga Bombas e Turbinas
Pressão Definição: A pressão p num ponto é o limite do quociente entre a força normal e a área em que atua quando a área tende a zero no entorno do ponto
∆F⊥ ∆A → 0 ∆A
p = lim
A
F┴
1
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Princípio de Stevin fluido incompressível
∂p = − ρg ∂y
∂p = ρg ∂h
g
∆p = ρg ∆y ∆p = ρg∆h
patm
y x
z
p (h) = p0 + ρg (h − h0 )
h=0 h
h
p (h) = p0 + γ ( h − h0 )
h=h
ρ
p (h) = p0 + γh
CONVERSÃO DA UNIDADE DE PRESSÃO. Pressão
atm
dina/cm3
Polegada de água
Cm Hg
Pascal
psi
1 atm
1
1,013 106
406,8
76
1,013 105
14,70
1
dina/cm3
9,869
10-7
1 cm Hg
1,316 10-2
1 Pascal
9,869
10-6
1 psi
6,805 10-2
1
lb/pe2
4,725
10-4
1
4,015
1,333 104
5,353
10
4,015
6,895 104
27,68
478,8
10-4
7,501
10-3
1 10-3
0,1922
7,501
10-4
5,171 3,591
10-2
lb/pé2
2,116 10-3
0,1
1,405
1,333
0,1934
1
1,450
6,895 103
1
47,88
6,944
10-4
2,089 10-3 27,85 2,089 10-2 144
10-3
1
Onde a aceleração da gravidade g = 9,80665 m/s2 , 1 psi = 1 lb/in2 1bar = 106 dinas/cm2 = 0,1 Mpa 1 torr = 0,1cm Hg 1 atm = 10,33 mH2O 1 kg/cm2 = 98,0665 Pa
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Escoamentos permanente ou transitório compressível ou incompressível ideal ou viscoso laminar ou turbulento
NÚMERO DE REYNOLDS Osborne Reynolds
Re =
Numero de Reynolds Re Fluido com corante
Fluido com corante
Re < 2100 ρ µ
fluido
Registro
ρvD µ
ρ µ
Re > 4000 ABNT Registro
fluido
Figura 6
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N0 de Reynolds escoamento laminar ou turbulento
Re Re >< 4000 2100
EQUAÇÃO BÁSICA DA FORMULAÇÃO DO VOLUME DE CONTROLE Superfície de controle estacionária
Parede impermeável do duto
n n Vmed
Vmed
1
Contorno do sistema no instante t
2
Figura 7
3
Contorno do sistema no instante t + ∆t
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EQUAÇÃO BÁSICA DA FORMULAÇÃO DO VOLUME DE CONTROLE Taxa da variação da grandeza extensiva G = genérica do sistema
fluxo líquido da grandeza extensiva G genérica que + cruza a superfície de controle
taxa de variação da grandeza extensiva G genérica dentro do volume de controle
r r dG sist d = ∫∫ gρ ∇ • n dA + ∫∫∫ gρdV dt dt VC SC
(
)
onde o primeiro termo é a taxa de variação da grandeza genérica G do sistema em função do tempo, o segundo termo se refere ao fluxo líquido da grandeza genérica G que cruza a superfície de controle e o terceiro termo refere-se à taxa de variação da grandeza dentro do volume de controle.
PRINCIPIO DA CONSERVAÇÃO DE MASSA: EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE Caso de um regime permanente compressível No escoamento permanente, as propriedades do fluido não variam no tempo, assim o segundo termo da equação da continuidade é zero, pois a derivada temporal de uma grandeza que não varia com o tempo é nula. Então só sobra o primeiro termo, ou seja.
− ρ1 A1v1 + ρ 2 A2 v 2 = 0 Caso de um escoamento permanente e incompressível. Em um regime permanente incompressível continuidade é dada pela equação:
a equação da
− A1v1 + A2v2 = 0
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Equação de Bernoulli 1 1 p1 + ρgy1 + ρv12 = p2 + ρgy2 + ρv22 2 2
p v2 p v 2 y1 + 1 + 1 = y2 + 2 + 2 ρg 2 g ρg 2 g
÷ ρg
1 p + ρgy + ρv 2 = cte 2
H = y+
H: carga total y: carga de elevação p/ρg: carga de pressão v2/2g: carga de velocidade
p + ρgy: pressão estática ½ ρv2: pressão dinâmica
∆l2 ∆m
∆l2 p2A2
∆l1 p1A1
p v2 + = cte ρg 2 g
y1 v1
v2 y2
p2A2 ∆l1
p1A1
v2 y2
y1
Equação de Bernoulli com dissipação de energia A equação de Bernoulli, com dimensão de comprimento, no caso de dissipação de energia é escrita como:
v2 p v 2 p y1 + 1 + 1 = y 2 + 2 + 2 + h p 2 g ρg 2 g ρg
onde hP é a perda de carga e possui unidade de comprimento.
Há dois tipos distintos de perda de carga: O primeiro tipo é conseqüência do atrito viscoso, esta perda é denominada
perda de carga distribuída e é representada por hpd. O segundo tipo ocorre (localizadamente) sempre que há um dispositivo na tubulação, por exemplo uma válvula ou um cotovelo. Este tipo de dispositivo é denominado perda de carga localizada e é representada por hpl
h p = ∑ h pl + ∑ h pd
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CÁLCULO DA PERDA DE CARGA Linha de energia
As perdas são parametrizadas em perdas localizadas (hpl) e perdas distribuídas (hpd)
h p = ∑ h pl + ∑ h pd
Calculamos a perda de carga distribuída com a equação universal de perda de carga
2 L v med h pd = f D 2g
p/ρg v A
Linha de energia
Linha piezométrica
hp
v12/2g
O número Reynolds é um número adimensional:
ρvD µ
B y
f é o Fator de Atrito, que é função do número de Reynolds e da rugosidade relativa
Re =
v
Plano de referência
ε f = f Re, D
V2/2g
Linha piezométrica
v22/2g
P1/ρg v1
v2
A
y1
B
p2/ρg
y2
Plano de referência
Após calcular Re e ε/D determinamos f com o diagrama de Moody
ou com a equação de Swamee
8 ε 5,74 64 + f = + 9,5ln Re 3,7 D Re 0,9
2500 6 − Re
−16 0,125
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Perda localizada; hpl.
A perda localizada ocorre sempre que um acessório é inserido na
tubulação,
junção de dois tubos, mudar a direção do escoamento para controlar a vazão.
Nos acessórios, alterações na organização das linhas de corrente
provocam perdas adicionais na posição em que ele se encontra.
caráter localizado da ocorrência da perda de carga provoca uma queda acentuada da pressão em curto espaço O calculo da perda localizada depende de coeficientes experimentais,
estabelecidos com o auxilio da análise dimensional e medidos a partir de uma amostra estatística retirada de uma partida de fabricação dos acessórios.
O acessório tem sua perda de carga localizada calculada pelo produto de
um coeficiente característico e pela carga cinética que o atravessa.
Cada tipo de acessório tem um coeficiente de perda de carga característico,
normalmente indicado pela letra k. A perda causada pelo acessório é calculada pela expressão mostrada abaixo.
h pl = k
v2 2g
EQUAÇÃO DE BERNOULLI MODIFICADA PARA SITUAÇÕES COM BOMBAS onde hp é a perda de carga e hB é a carga correspondente à energia mecânica que é
transferida para a bomba
v12 p1 v2 2 p2 y1 + + + hB = y 2 + + + hp 2 g ρg 2 g ρg
A potencia é escrita como energia sobre o tempo
potencia =
trabalho δW = tempo dt
A relação entre a potencia da bomba e a carga mecânica transferida pela a bomba
hB é
dWB/dt é a potencia da bomba fornecida para o fluido ρ é a massa específica do fluido Q é a vazão do escoamento (velocidade vezes área) hB é a carga fornecida pela bomba para o escoamento.
δWB dt
= ρgQhb
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI MODIFICADA PARA SITUAÇÕES COM TURBINAS Considerando a existência de uma turbina entre as seções 1 e 2, a equação de
Bernoulli com perda de carga (atrito viscoso hp) pode ser escrita como
onde hT é a carga perdida correspondente à energia mecânica que é transferida
do escoamento para a turbina.
v2 p v 2 p y1 + 1 + 1 = y 2 + 2 + 2 + h p + hT 2 g ρg 2 g ρg A relação entre a carga transferida para a turbina e a potencia da turbina é
δWT dt
dW T/dt ρ Q hT
= ρgQhT
é a potência transferida pelo escoamento para a turbina é a massa específica do fluido é a vazão (Av) do escoamento é a carga fornecida pelo escoamento para a turbina
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