Frequências De Ressonância De Um Fio

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EXPERIMENTO IX: FREQUÊNCIAS DE RESSONÂNCIA DE UM FIO Relatório apresentado à Universidade Federal do ABC como parte dos requisitos para aprovação na disciplina de Laboratório de Física Básica do Curso de Bacharelado em Ciência e Tecnologia. Professor Doutora: Raquel Ribeiro Aluna: Marina Haddad Figueiredo SANTO ANDRÉ DEZ/2009 Sumário P 2 1. Resumo.............................................................................................. 3 2 2. Introdução.......................................................................................... 3 4 3. Objetivo ............................................................................................. 6 4 4. Descrição experimental .................................................................... 6 1 5. Resultados e discussões .................................................................. 8 2 6. Conclusão ......................................................................................... 18 7. Referências Bibliográficas ................................................................ 18 2 1. RESUMO Quando um fio tensionado é posto a vibrar, dependendo da freqüência de vibração utilizada, o fio pode entrar em um estado de ressonância, na qual a amplitude da vibração torna-se bastante elevada. As freqüências nas quais a ressonância é observada dependem de vários parâmetros do fio. Assim, para obter uma expressão que possibilite prever a freqüência de ressonância de uma corda deve-se estudar como a freqüência varia com cada um desses parâmetros Este experimento teve por objetivo estudar experimentalmente as freqüências de ressonância fn de um fio sob tensão em função de n e outros parâmetros bem como verificar a validade da Lei de Lagrange e determinar as constantes envolvidas na equação. Os resultados obtidos foram considerados satisfatórios já que se aproximaram dos resultados teóricos esperados com baixo nível de erro associado. 2. INTRODUÇÃO Partículas e ondas são dois grandes conceitos da física clássica no sentido de que podemos associar quase todos os ramos do assunto a um ou a outro. Os dois conceitos são bem diferentes. A palavra partícula sugere uma diminuta concentração de matéria capaz de transportar energia. A palavra onda sugere o contrário, ou seja, uma larga distribuição de energia, preenchendo o espaço pelo qual passa. [1] No geral, as ondas podem ser classificas como: ondas mecânicas, ondas eletromagnéticas e de matéria. No caso deste experimento, o tipo de onda relevante é a onda mecânica. As ondas mecânicas são caracterizadas por serem governadas pelas Leis de Newton e por necessitarem de um meio físico como água, ar, uma corda esticada ou uma haste de aço para se propagarem. [1] 3 De todas as possíveis ondas mecânicas, uma onda transmitida ao longo de uma corda esticada talvez seja a mais simples. Se na extremidade dessa corda aplicarmos um puxão de para cima e para baixo, um impulso é passado ao longo da corda, de partícula em partícula e assim uma onda, na forma de um único pulso se propaga ao longo da corda a uma velocidade escalar v . Se movermos a corda para cima e para baixo, num movimento harmônico simples contínuo uma onda senoidal extensa vai se propagar ao longo da corda a uma velocidade escalar v . [1] Suponhamos que um aparelho cause em uma das extremidades de uma corda com a outra extremidade fixa, uma sucessão de ondas harmônicas com amplitude a, essas ondas irão sofrer reflexão na extremidade fixa da corda, e quando voltarem vão se superpor às ondas incidentes, que continuam sendo geradas. Isso estabelecerá interferência entre as ondas refletidas e as ondas incidentes, resultando em ondas estacionárias. [2] É importante sabermos que as ondas estacionárias são o resultado da superposição de ondas idênticas que se propagam em sentidos contrários no mesmo meio. Por mais que essas ondas possuam energia, elas não a transmitem, por possuir uma velocidade de propagação nula. É por esse fato que ela recebe este nome. [2] Quando confinamos a onda em uma determinada região da corda (fixando as extremidades), ondas harmônicas que refletem nas bordas sofrem interferência construtiva com elas mesmas, levando ao fenômeno de ressonância. Isto somente acontece para ondas harmônicas com determinadas freqüências. Estas ondas especiais são chamadas modos naturais da corda. São ondas senoidais estacionárias com determinadas freqüências de ressonância. Teoricamente, as freqüências de ressonância da corda, f res , são dadas pela equação f res  n T 2L  , 4 onde n é o número do modo natural (n = 1, 2, 3...), L é o comprimento da corda [m], T é a tensão [N] (a tensão é uma força) e μ é a densidade linear (massa por unidade de comprimento) [kg/m]. Os modos normais de uma corda tensionada é mostrada na Figura 1, a seguir: Figura 1 – Representações de ondas estacionariam de um fio de comprimento L com extremidades fixas. Quando um fio tensionado é posto a vibrar, dependendo da freqüência de vibração utilizada, o fio pode entrar em um estado de ressonância, na qual a amplitude da vibração torna-se bastante elevada. As freqüências nas quais a ressonância é observada dependem de vários parâmetros do fio. Esse é o efeito que permite, por exemplo, que vários instrumentos musicais funcionem, como o violão, piano, etc. No caso do violão, em geral de seis cordas, cada corda vibra em uma freqüência de ressonância bem estabelecida (notas musicais). Para gerar as diferentes notas, cada corda possui características físicas diferentes, como o material que é construída, espessura, etc. Além disso, outros fatores, como o comprimento da corda e a tensão aplicada à mesma (afinação do instrumento) influencia a freqüência de ressonância. 5 Assim, para obter uma expressão que possibilite prever a freqüência de ressonância de uma corda deve-se estudar como a freqüência varia com cada um desses parâmetros. [3] 3. OBJETIVOS Este experimento teve por objetivo estudar experimentalmente as freqüências de ressonância f n de um fio sob tensão em função de n e outros parâmetros bem como verificar a validade da Lei de Lagrange e determinar as constantes envolvidas na equação. 4. DESCRIÇÃO EXPERIMENTAL 4.1. Materiais Utilizados  Osciloscópio  Roldana  Amplificador  Massas variadas  Fio de nylon  Cordas de violão  Barbante  Trena 4.2. Metodologia O experimento foi realizado conforme mostrado na Figura 2. Uma das extremidades do fio, de comprimento L, foi fixada enquanto a outra sustentava uma massa M passando por uma roldana. 6 Figura 2 – Aparato experimental. Um amplificador ligado ao osciloscópio foi posicionado próximo à extremidade fixa do fio. Para cada um dos parâmetros relevantes para o sistema, foram feitas medidas da freqüência de ressonância para os modos normais de onda. A freqüência de oscilação era variada no osciloscópio até que fosse possível verificar a ressonância do fio. 4.3. Procedimento de cálculos Para o cálculo da tensão que a massa exerce sobre o fio, utiliza-se a equação:  F  ma (1) Para o cálculo da densidade linear do fio, utiliza-se a equação:  M L (2) As freqüências naturais de vibração de um fio tensionado são dadas por: fn  n T , com n = 1,2,3,... 2L  (3) 7 4.4. Cuidados experimentais e detalhes experimentais relevantes Foi solicitado durante o experimento que não fosse ultrapassada uma tensão Vpp de 5V e uma freqüência f de 2kHz, já que isso poderia queimar o osciloscópio. 5. RESULTADOS E DISCUSSÕES A hipótese mais simples para uma fórmula empírica consiste em supor que a dependência de uma grandeza (y) com um determinado parâmetro (x) se dá através da expressão: y  Ax b (4) onde A e b são constantes. Outras formas (exponencial, logarítmica, trigonométrica, etc) podem ocorrer. Contudo, somente a observação e análise das medidas efetuadas nos permitem fazer uma escolha mais adequada. Para o nosso experimento, os parâmetros que podem influenciar a freqüência de vibração do fio são: o comprimento (L), a tensão aplicada (Τ) e as suas características de construção. No último caso, podemos representar essas características de construção através da densidade linear do fio (μ). Assim, uma primeira aproximação para uma expressão que correlacione a freqüência de ressonância com esses parâmetros pode ser escrita como: f n  AL T    (5) onde A, β, γ e δ, são constantes. Além disso, é de se esperar que a freqüência de vibração de um fio também dependa do modo de vibração observado. Assim, a fórmula empírica para as freqüências de ressonância pode ser escrita como: f n  Cn L T    (6) 8 onde C,α, β, γ e δ, são constantes que podem ser extraídas dos dados experimentais. Conforme dito anteriormente, devem-se tomar os dados necessários para avaliar a dependência das freqüências de ressonância com cada um dos parâmetros envolvidos no experimento (modo de vibração, densidade linear do fio, tensão aplicada ao fio e comprimento). Sendo assim, a tomada e análise de dados está dividida em 4 partes, cada uma delas relacionada a uma das grandezas que influenciam as freqüências de vibração do fio. 5.1. Estudo da dependência da freqüência (f) com o modo de vibração (n): Para este estudo, foi utilizado o fio de nylon com valores fixos de comprimento do fio L= 344cm e da massa m=200g. Os resultados encontrados para f n e n, são mostrados na Tabela 1, a seguir: Tabela 1 – Valores de f n e n para o fio de nylon. f n [Hz] 13 26 38 51 64 76 n 1 2 3 4 5 6 A partir desses valores, construiu-se um gráfico dilog, para verificar a dependência entre esses parâmetros: 9 Gráfico 1 – Gráfico dilog da dependência da freqüência com o modo de vibração. Temos que, variando apenas um dos parâmetros a dependência da freqüência de ressonância com esse parâmetro é uma expressão da forma: f n  K  x Como o gráfico di-log forneceu uma reta para esta dependência, é provável que haja uma relação do tipo:  log f n  log K  x  log f n  log K   log x y  B  x Comparando esta equação com a equação fornecida pelo gráfico temos que   0,9856 . 10 5.2. Estudo da dependência da freqüência (f) com o comprimento do fio (L): Para esta parte do experimento, a corda utilizada foi o barbante e a massa foi fixada em 353g. Os comprimentos do fio foram variados e, para cada comprimento foram anotados os valores de f n e n. A partir de verificação experimental, decidiu-se fixar n=4 para esta análise, já que foi o modo melhor observável em todos os comprimentos. Os valores encontrados são mostrados na Tabela 2, a seguir: Tabela 2 – Valores de comprimento e freqüência, para valores fixos de massa= 335g e n=4. L [cm] f n [Hz] 205 52 295 36 325 32 A partir desses valores, construiu-se um gráfico di-log, para verificar a dependência entre esses parâmetros: Gráfico 2 - Gráfico dilog da dependência da freqüência com o comprimento L do fio. 11 Novamente, variando apenas o parâmetro comprimento (L) a dependência da freqüência de ressonância com esse parâmetro é uma expressão da forma: fn  M  x Como o gráfico dilog forneceu uma reta para esta dependência, é provável que haja uma relação do tipo:  log f n  log M  x   log f n  log M   log x y  C  x Comparando esta equação com a equação fornecida pelo gráfico temos que   1,0417 . 5.3. Estudo da dependência da freqüência (f) com a tensão (T) aplicada ao fio: Para esta parte do experimento, a corda utilizada foi o barbante com comprimento L fixo em 325cm. As massas foram variadas a fim de variar a tensão aplicada ao fio e assim verificar a dependência da freqüência em relação a este parâmetro. A partir de verificação experimental, decidiu-se fixar n=8 para esta análise, já que foi o modo melhor observável em todos as variações de massa. Os valores de tensão aplicados ao fio foram calculados utilizando-se a equação (1). Os valores encontrados são mostrados na Tabela 3, a seguir: 12 Tabela 3 – Valores de tensão e freqüência, para valores fixos de comprimento= 325cm e n=8. f n [Hz] T [N] 50 1,96 66 3,46 72 3,92 A partir desses valores, construiu-se um gráfico di-log, para verificar a dependência entre esses parâmetros: Gráfico 3 - Gráfico dilog da dependência da freqüência com a tensão aplicada ao fio. Assim como nos casos anteriores, variando-se apenas o parâmetro Tensão (T), a dependência da freqüência de ressonância com esse parâmetro é uma expressão da forma: f n  N  x 13 Portanto, como o gráfico dilog forneceu uma reta para esta dependência, é provável que haja uma relação do tipo:  log f n  log N  x  log f n  log N   log x y  D  x Comparando esta equação com a equação fornecida pelo gráfico temos que   0,5146 . 5.4. Estudo da dependência da freqüência (f) com a densidade linear (μ) do fio: Para esta parte do experimento, foram utilizadas duas cordas de violão: a corda mi grave e a mi aguda. Os parâmetros fixos foram a massa (M = 353g) e o comprimento do fio (L=59cm). Neste caso foi fixado n = 2, pois para a corda mi aguda só foi possível observar os dois primeiros harmônicos já que a partir daí a amplitude de vibração dos ventres ficou muito pequena e não era mais possível distingui-los. A densidade linear de ambas as cordas foram calculadas utilizando-se a equação (2). Os valores encontrados são mostrados na Tabela 4, a seguir: Tabela 4 – Valores de freqüência e densidade linear do fio, para valores fixos de comprimento= 59cm, massa =353g e n=2. f n [Hz] μ [g/cm] 22 0,051 73 0,0046 A partir desses valores, construiu-se um gráfico dilog, para verificar a dependência entre esses parâmetros: 14 Gráfico 4 - Gráfico dilog da dependência da freqüência com a tensão aplicada ao fio. Variando-se apenas o parâmetro densidade linear (μ), a dependência da freqüência de ressonância com esse parâmetro é uma expressão da forma: f n  P  x Portanto, como o gráfico dilog forneceu uma reta para esta dependência, é provável que haja uma relação do tipo:  log f n  log P  x  log f n  log P   log x y  E  x Comparando esta equação com a equação fornecida pelo gráfico temos que   0,4986 . 15 5.5. Cálculo do valor da constante C: Para o cálculo do valor da constante C devemos utilizar a expressão encontrada para f n com os respectivos coeficientes. A partir dela basta substituirmos valores já conhecidos dos parâmetros que a compõem para encontrarmos um valor para C. A expressão encontrada para f n foi: f n  Cn 0,9856L1,0417T 0,5146 0, 4986 (7) Isolando a constante C, obtemos: f n L1,0417 0, 4986 C  0,9856 0,5146 n T (8) Para o cálculo da constante iremos utilizar valores de parâmetros verificados para a corda de violão MI grave. São eles: f n  43Hz T  3,46 N L  59cm n2   0,051g / cm Substituindo esses valores na equação (8), obtemos: C  0,481. 5.5. Comparação entre os valores esperados e os valores experimentais: A partir da equação (3), podemos chegar aos valores esperados para os coeficientes α,β,ɤ,  . 16 Em tempo, fn  n T 2L  T  1 f n  nL1   2  fn  0,5 1 1 0,5 0,5 nL T  2 Sendo assim, os valores teóricos esperados são: C  1 ,   1 ,   1 , 2   0,5 e   0,5 . A Tabela 5 compara os valores teóricos com os valores encontrados e apresenta o erro associado: Tabela 5 – Comparação dos valores teóricos e experimentais dos coeficientes da equação. Coeficiente Valor Teórico Valor Experimental Erro [%] C 0,5 0,481 3,8 α 1 0,9856 1,44 β -1 -1,0417 4,17 ɤ 0,5 0,5146 2,92 δ -0,5 -0,4986 0,28 A partir da Tabela 5 podemos verificar que os valores encontrados ficaram bem próximos dos valores reais para a expressão de Lagrange o que valida o experimento. Algumas prováveis fontes de erro neste experimento são: visualização perfeita do harmônico ideal, perdas de energia por atrito com o ar e principalmente o baixo número de dados verificados pelo grupo. Em alguns casos como o da densidade linear, foram verificadas apenas duas variações de parâmetros, o que é considerado uma amostra pequena. 17 6. CONCLUSÃO O experimento mostrou-se bastante preciso já que os valores encontrados bastante se assemelharam com os valores teóricos esperados. A construção de gráficos dilog facilitou a percepção da dependência entre os parâmetros. Foi possível verificar que freqüência de oscilação é inversamente proporcional ao tamanho e à densidade linear do fio e que é diretamente proporcional à tração aplicada ao fio. Algumas fontes de erros foram verificadas e podem ser minimizados a partir de cuidados relevantes. 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Halliday, Ed. 7º, cidade Rio de janeiro, editora LTC, Fundamentos de Física 2. [2] http://www.colegioweb.com.br/fisica/ondas-estacionarias-, acessado em 08/12/09 [3] Apostila de Laboratório de Física, Introdução as medidas da Física, Instituto de Física da USP, 2006 18