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Prof. Dr. Antonio Carlos Schneider Beck Filho (UFSM) Prof. Dr. Júlio Carlos Balzano de Mattos (UFPel)
NOTAS DE AULA Formas Canônicas As funções booleanas podem ser escritas de diversas formas. Todavia, algumas formas são mais convenientes para o propósito de simplificação e implementação de um circuito com portas lógicas. A utilização de formas canônicas é uma destas opções. A partir da tabela verdade é possível chegar à expressão que representa o comportamento do circuito lógico. Existem duas formas canônicas de nosso interesse: Soma de Produtos Produto das Somas Soma dos Produtos Consiste em regras para representar as condições de entrada que produzirão a saída 1 (e portanto as demais condições produzirão saída 0). Produto das Somas Consiste em Regras para representar as condições de entrada que produzirão a saída 0 (e portanto as demais condições produzirão saída 1).
Minitermos e Maxitermos Uma expressão algébrica que representa uma linha da tabela verdade pode ser posta na forma de minitermos ou maxitermos. Minitermos – É o produto lógico de todas as variáveis que aparecem na tabela verdade que resulta no valor lógico 1. (termos somente com AND)
Maxitermos – É a soma lógica das variáveis que representa aquela linha, resultando no valor 0. (termos somente com OR)
A tabela abaixo mostra os minitermos e maxitermos para uma tabela verdade com três variáveis de entrada: x
y
z
Minitermo
0
0
0
x . y. z
0
0
1
x . y.z
0 0
1 1
0 1
x. y.z x. y.z
1
0
0
x. y.z
m4
1
0
1
x. y.z
m5
1
1
0
x. y.z
m6
1
1
1
x. y.z
m7
Símbolo minitermo m0 m1 m2
m3
Maxitermo
x yz
Símbolo Maxitermo M0
x yz
M1
x yz x yz
M2 M3
x yz
M4
x yz xyz
M6
xyz
M7
Minitermo Quando a variável for 1, mantenha. Quando a variável for 0, complemente-a (negar) Maxitermo Quando a variável for 0, mantenha. Quando a variável for 1, complemente-a (negar)
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M5
Soma de Produtos A soma de produtos é obtida a partir da tabela verdade, fazendo uso dos minitermos (as linhas que têm valor de saída 1). Os minitermos devem ser combinados pela operação lógica OU. Exemplo:
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
S 1 0 0 1 1 0 1 0
Pode ser representada por soma de produtos como:
S A.B .C A.B.C A.B .C A.B.C Pode-se, também, representar uma função lógica de uma forma mais compacta. Usa-se uma notação específica. Por exemplo, para representar a tabela verdade anterior, usa-se: F m(0,3,4,6)
F ( A, B, C ) m(0,3,4,6)
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Produto de Somas A outra forma canônica de representar expressões booleanas é através de produto de somas. O produto de somas é obtido a partir da tabela verdade, usando os maxitermos (linhas que têm valor de saída igual a 0). Os maxitermos devem ser combinados pela operação lógica AND. Exemplo:
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
S 1 0 0 1 1 0 1 0
Pode ser representada por produto de somas:
S ( A B C ).( A B C ).( A B C ).( A B C ) Notação simplificada:
F M (1,2,5,7) F ( A, B, C ) M (1,2,5,7)
É importante ressaltar que o mesmo comportamento (a mesma tabela verdade) pode ser igualmente representada por qualquer uma das formas canônicas.
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Para a tabela verdade anterior, se obtem as seguintes expressões:
S A.B .C A.B.C A.B .C A.B.C S ( A B C ).( A B C ).( A B C ).( A B C ) Se ambas as formas canônicas produzem expressões equivalentes, como escolher qual a representação utilizar? Escolha a que resultar em menor número de termos, produzindo uma expressão mais simples. Por esse método, pode-se encontrar a expressão que represente qualquer tabela verdade.
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Exercícios: Escreva as expressões boolenas a partir da forma compacta: (a) F ( A, B, C ) m(0,1,2,7) (b) F ( A, B, C , D) m(2,4,8,15) (c) F ( A, B, C ) M (3,4,5,6) (d) F ( A, B, C , D ) M (1,2,5,7,14)
Dadas as funções lógicas:
F = XY + XZ + YZ (X + X) F = ABC + ABC + AC F = ABC + AB F = AB + BC + AC F = (A+B) . (A+B+C) . (B+C) F = (A+ B + C) . B . (A + C)
a) b) c) d) e)
Faça a tabela verdade Use Produto de Somas Desenhe o circuito utilizando as portas lógicas Use Soma de Produtos Desenhe o circuito utilizando as portas lógicas
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