Força, Materiais E Dispositivos Magneticos

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FORÇAS, MATERIAIS E DISPOSITIVOS MAGNÉTICOS - TÓPICOS DAS AULAS 1. Forças devido aos campos magnéticos. 2. Torque e momento magnéticos. 3. Dipolo magnético. 4. Magnetização em materiais. 5. Classificação dos materiais magnéticos. 6. Condições de fronteira magnéticas. 7. Indutores e indutâncias. 8. Energia magnética. 9. Circuitos magnéticos. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Forças devido aos campos magnéticos • Há pelo menos três maneiras da força provocada por campos magnéticos se manifestar: 1. Movimento de partículas carregadas submetidas a um campo magnético externo. 2. Presença de um elemento de corrente em um campo magnético externo. 3. Interação entre dois elementos de corrente. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira 1. Força sobre partícula carregada: – Um campo magnético pode exercer força somente sobre uma carga em movimento. – Desse modo, a força magnética experimentada por uma carga Q em movimento, com velocidade u em um campo magnético B, é dada por → Fm → → = Q  u× B    sendo perpendicular à direção da velocidade e à do campo magnético, portanto, não realiza trabalho. → → Fm ⋅ d l = 0 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira – Para uma carga Q em movimento, na presença de um campo elétrico e de um campo magnético simultaneamente, a força total sobre a carga é dada por → → F = Fe + Fm = Q E + Q  u × B    → → → → → → → F = Q  E + u× B    → Equação da força de Lorentz Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira 2. Força sobre um elemento de corrente: – Para determinarmos a força sobre um elemento de corrente Idl, devido a um campo magnético externo B, partimos das seguintes expressões → → → dQ → d l Id l = d l = dQ = dQ u dt dt → → → Fm = Q  u × B    – Uma carga elementar dQ, se movimentando com uma velocidade u, é equivalente a um elemento de corrente de condução Idl. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira – Portanto, temos que → d Fm → Fm = → → → → = dQ  u × B  = Id l × B   ∫ Id L → → l×B caso a corrente I percorra um caminho fechado L, ou um circuito. – Devemos ter em mente que o campo magnético produzido pelo elemento de corrente Idl não exerce força sobre ele mesmo. – O campo B, que exerce força sobre Idl, deve ser gerado por um outro elemento, ou seja, B é externo ao elemento de corrente Idl. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira – Se, ao invés do elemento de corrente em uma linha (Idl), tivermos elementos de corrente em uma superfície (KdS) ou em um volume (Jdv), temos que → → → d Fm = K dS × B → → → d Fm = J dv × B Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira 3. Força entre dois elementos de corrente: – De acordo com a lei de Biot-Savart, ambos os elementos de corrente geram campos magnéticos. – Dessa forma, podemos determinar a força d(dF1) sobre o elemento I1dl1 devido ao campo dB2, gerado pelo elemento de corrente I2dl2. Figura 1 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira – Dessa forma, as densidades de fluxo magnético geradas pelos elementos de correntes são dadas por → → → I 1 d l1 × R 21 µ0 d B1 = − 3 4 π R 21 → → I 2 d l 2 × R 21 µ0 d B2 = 3 4 π R 21 → e – Portanto, as forças exercidas pelos campos externos nos elementos de corrente são dadas por → → → d F 2→1 = I1d l1 × B2 → → → F 2→1 = ∫ I1d l1 × B2 L1 → → → e d F 1→2 = I 2 d l2 × B1 → → → e F 1→2 = ∫ I 2 d l2 × B1 L2 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira – Substituindo as expressões dos campos magnéticos externos obtemos   d l1 ×  d l 2 × R 21    3 R 21 → → F 2 →1 I1 I 2 = µ0 4π ∫ ∫ L1 L2 → →  → →  d l1 ×  d l 2 × R 21    3 R 21 → → F 1→ 2 → I1 I 2 = −µ0 4π ∫ ∫ L1 L2 → F 2 → 1 = − F 1→ 2 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Exercícios 1. Uma partícula carregada de massa 1 kg e carga 2 C, parte da origem, com velocidade inicial zero, em uma região onde E=3âz V/m. Determine: a) A força sobre a partícula. b) O tempo que a partícula leva para alcançar o ponto P (0, 0, 12). c) A velocidade e a aceleração da partícula em P. d) A energia cinética da partícula em P. 2. Uma partícula carregada se move com uma velocidade uniforme 4âx m/s em uma região onde E=20ây V/m e B=B0âz Wb/m². Determine B0 tal que a velocidade da partícula permaneça constante. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Exercício 3. Uma espira retangular, percorrida por uma corrente I2, é colocada paralelamente a um fio infinitamente longo, percorrido por uma corrente I1, como mostrado na figura 2. Determine: a) A expressão da força sobre a espira. b) A força sobre o fio infinitamente longo, se I1=10 A, I2=5 A, ρ0=20 cm, a=10 cm e b=30 cm. Figura 2 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Torque e momento magnéticos • Tendo considerado a força sobre uma espira de corrente em um campo magnético, podemos determinar o torque sobre ela. • Se a espira for colocada paralelamente a um campo magnético, ela sofre uma força que tende a girá-la. • O torque T, ou momento mecânico de força sobre a espira, é o produto vetorial entre a força F e o braço de alavanca r, ou seja, → → → T = r× F onde a unidade do torque é dada em Newton-metro. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Considerando uma espira retangular, de comprimento l e largura w, submetida a um campo magnético uniforme, temos Figura 3 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira → → → F = ∫ Id l × B = ( ) ( ) ( ) ( ) Idzâ × B â − Idzâ × B â z x x z x x ∫ ∫ 2 −3 4 −1 = IlBx ây − IlBx ây = Fo ây − Fo ây = 0 • Ou seja, nenhuma força é exercida na espira como um todo. • Entretanto, Fo e -Fo agem em diferentes pontos sobre a espira e, com isso, geram um conjugado. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Se a normal ao plano da espira faz um ângulo α com B, o torque sobre a espira é dado por S = l w => Representa a área da espira. Figura 4 → → T = Fo w sen α = BIlw sen α = BIS sen α Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Definimos → m = ISâ n como o momento dipolo magnético da espira em A m². • O momento dipolo magnético é o produto entre a corrente e a área da espira. Sua direção é perpendicular à espira. • Dessa forma, temos que → → → T = m× B Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Essa expressão é geralmente aplicável para determinar o torque sobre uma espira plana, em qualquer formato, embora tenha sido obtida para uma espira retangular. • A única limitação é que o campo deve ser uniforme. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Exercício 4. Uma bobina retangular, de área 10 cm², é percorrida por uma corrente de 50 A e está sobre o plano 2x + 6y - 3z = 7, tal que o momento magnético da bobina está orientado para fora da origem. Calcule seu momento magnético. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Dipolo magnético • Um ímã, ou uma espira filamentar de corrente, é usualmente referido como dipolo magnético. • Podemos determinar o campo magnético B em um ponto P (r, θ, φ) devido a uma espira circular, percorrida por uma corrente I, da seguinte forma: ― Determinando A. ― Simplificando a expressão encontrada para campos distantes (r >> a). ― Determinando B. Figura 5 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Dessa forma, encontramos µ0m (2 cosθâr + senθâθ ) B = ∇× A = 3 4πr → → → Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Podemos fazer um comparativo das expressões determinadas para os campos elétrico e magnético da seguinte forma Figura 6 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Figura 7 • Um ímã, ou uma espira filamentar de corrente, é usualmente referido como dipolo magnético. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Magnetização em materiais • Sabemos que um dado material é composto de átomos. • Cada átomo pode ser considerado como constituído de elétrons orbitando em torno de um núcleo central positivo. Figura 8 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Os elétrons também giram em torno de seus próprios eixos. Figura 9 • Portanto, um campo magnético interno é gerado pelos elétrons que orbitam em torno do núcleo ou pela rotação dos elétrons em torno de si mesmos. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Esses dois movimentos eletrônicos geram campos magnéticos internos Bi que são similares ao campo magnético produzido por uma espira de corrente. Figura 10 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Sem um campo externo B aplicado ao material, a soma dos momentos de dipolo magnético é igual a zero devido à orientação aleatória dos mesmos. Figura 11 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Quando um campo externo B é aplicado, os momentos magnéticos dos elétrons tendem a se alinhar com B, tal que o momento magnético líquido é diferente de zero. Figura 12 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Se há N átomos em um dado volume ∆v e o k-ésimo átomo tem um momento de dipolo magnético igual a mk, temos que N → ∑m k → M = lim ∆v→0 k =1 ∆v representando a densidade de polarização magnética do meio. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Um meio para o qual M não é zero em nenhum ponto é dito magnetizado. • Para um volume diferencial dv’, o momento magnético é dado por → → d m = M dv ' • Desse modo, → → → µ0 M × âR µ0 M × R d A= dv' = dv' 2 3 4πR 4πR → Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Integrando dA por todo o volume e considerando que → R 1 = ∇ '   3 R R  1 1 M M × ∇ '   = ∇ '× M − ∇ '×  R R R  → → → → → → → ∇ × F dv = − F × dS ' ' ' ∫ ∫ v S Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira     • Temos que µ0 A = 4π → → ∫ v' µ0 Jm dv ' + R 4π → ∫ S' Km dS ' R onde: → → → J m = ∇× M → → K m = M × ân Representa a densidade de corrente de magnetização ligada, em um volume, em A/m². Representa a densidade de corrente ligada em uma superfície, e ân é o vetor normal à superfície. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • No espaço livre, temos que M=0, logo   → B ou ∇×   = J f  µ0    → → → → ∇× H = J f → onde Jf representa a densidade de corrente livre em um volume. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Em um meio material M é diferente de zero, dessa forma   → → → B ∇×   = J f + J m = J  µ0    → → → → → → = ∇× H + ∇× M ou   B = µ0 H + M    → → → Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Para materiais lineares, temos que → → M = χm H Representa a susceptibilidade magnética do meio Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Dessa forma   B = µ0  H + χ m H    → → → → → = µ 0 (1 + χ m ) H = µ 0 µ r H Representa a permeabilidade relativa do meio Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Classificação dos materiais magnéticos • Em geral, podemos usar a susceptibilidade magnética (χm) ou a permeabilidade magnética relativa (µr), para classificar os materiais em termos de suas propriedades magnéticas, ou de seu comportamento magnético. • Um material é dito não magnético se χm=0 (ou µr=1). • Ele é magnético caso essa condição não se verifique. • Espaço livre, ar e materiais com χm=0 (ou µr≈1) são considerados não-magnéticos. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Em termos genéricos, os materiais magnéticos podem ser agrupados em três categorias principais, são elas: 1. Diamagnéticos 2. Paramagnéticos 3. Ferromagnéticos Figura 13 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • O diamagnetismo ocorre em materiais em que os campos magnéticos, devido aos movimentos de translação dos elétrons em torno do núcleo e de rotação dos elétrons em torno de seus próprios eixos, se cancelam mutuamente. • Desse modo, o momento magnético permanente (ou intrínseco) de cada átomo é zero, e os materiais são fracamente afetados pelo campo magnético. • Os materiais cujos átomos têm um momento magnético permanente diferente de zero podem ser ou paramagnéticos ou ferromagnéticos. • O paramagnetismo ocorre em materiais para os quais os campos magnéticos produzidos pelos movimentos de translação dos elétrons em torno do núcleo e de rotação dos elétrons em torno de seus próprios eixos não se cancelam completamente. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • O ferromagnetismo ocorre em materiais para os quais os átomos têm momento magnético permanente relativamente grande. • São denominados materiais ferromagnéticos porque o material mais conhecido dessa categoria é o ferro. • Outros materiais são o cobalto, o níquel e seus compostos. • De forma distinta dos materiais diamagnéticos e dos paramagnéticos, os materiais ferromagnéticos apresentam as seguintes propriedades: – São capazes de serem magnetizados fortemente por um campo magnético. – Retêm um grau considerável de magnetização quando retirados do campo. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira – Perdem suas propriedades ferromagnéticas e tornam-se materiais paramagnéticos lineares quando a temperatura fica acima de um certo valor (temperatura Curie). – São não-lineares, isto é, a relação constitutiva B=µ0µrH não se verifica para materiais ferromagnéticos porque µr depende de B e não pode ser representado por um único valor. • Embora B=µ0(H+M) seja válida para todos os materiais, inclusive os ferromagnéticos, a relação entre B e H depende da magnetização prévia do material ferromagnético, isto é, sua história magnética. • Ao invés de termos uma relação linear entre B e H, somente é possível representar essa relação pela curva de magnetização ou curva B-H. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Curva B-H Figura 14 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Material desmagnetizado Figura 14 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Curva inicial de magnetização Figura 14 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Ponto de saturação Figura 14 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Histerese Atraso de B em relação à diminuição de H Figura 14 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Densidade de fluxo remanente Causa de permanentes ímâs Figura 14 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Intensidade de campo coercitiva HC = 0 Figura 14 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Laço de histerese O formato varia de um material para outro Figura 14 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Laço de histerese Figura 14 A área representa a energia perdida por unidade de volume durante um ciclo de magnetização Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Exercício 5. Em uma certa região (µ=4,6µ0), → −y B = 10 e â z mWb/m² encontre: a) Χm. b) H. c) M. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Condições de fronteira magnéticas • São definidas como as condições que o campo H, ou B, deve satisfazer na fronteira entre dois meios diferentes. • Fazemos uso da lei de Gauss para campos magnéticos e da lei circuital de Ampère. → → ∫ B⋅ dS = 0 → → e ∫ H⋅ dl = I Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Considerando a fronteira entre dois meios magnéticos 1 e 2 caracterizada, respectivamente, por µ1 e µ2, temos Meio 1 (µ1) B1N θ1 B1 ∆S B1T B2N Meio 2 (µ2) → → ∫ B⋅ d S = B 1N θ2 B2 ∆h B2T Figura 15 ∆ S + B1T 2πρ ∆ h − B2 N ∆ S + B2 T 2πρ ∆ h = (B1 N − B2 N )∆ S = 0 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Ou seja, a componente normal de B é contínua na fronteira. B1 N = B 2 N ⇒ B1 cos θ 1 = B 2 cos θ 2 • Dessa forma, em relação a H, obtemos que B1N = B2 N µ1H1N = µ 2 H 2 N A componente normal de H é descontínua na fronteira. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Aplicando → → ∫ H ⋅d l = I Meio 1 (µ1) H1N θ1 H1 H1T H2N Meio 2 (µ2) θ2 H2 K ∆h X X a b X X d X c ∆w H2T Figura 16 Corrente na superfície da fronteira e normal ao caminho. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Temos que ∆h ∆h ∫ H ⋅ d l = H 1 N 2 + H 1T ∆ w − H 1 N 2 ∆h ∆h − H 2N − H 2 T ∆w + H 2 N 2 2 = K ∆w → → (H 1T − H 2 T )∆w = K ∆w H 1T − H 2 T = K Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Ou seja, a componente tangencial de H na superfície é descontínua. • Se a fronteira está livre de corrente, ou os meios não são condutores, então K=0 e H1T = H 2T • Dessa forma, temos que B1T µ1 = B2T µ2 A componente tangencial de B é descontínua na fronteira. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • No caso geral,   H1−H2 ×ân12 = K   → → → considerando que ân12 representa o vetor unitário normal à interface e orientado do meio 1 para o meio 2. • Se a fronteira está livre de corrente, ou os meios não são condutores, então K=0, logo temos que → → H 1T = H 2T → → B 1T B 2T µ1 = µ2 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Considerando uma fronteira onde não há qualquer fonte de corrente na superfície da interface de separação, temos que B1 N = B 2 N B1 cos θ 1 = B 2 cos θ 2 Meio 1 (µ1) θ1 B1 B1 T B2 ân12 H 1T = H 2 T θ2 Meio 2 (µ2) Figura 17 µ1 = B2T µ2 B1sen θ 1 µ1 = B 2 sen θ 2 µ2 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Dessa forma, tg θ 1 µ1 = tg θ 2 µ2 ou tg θ 1 µ r1 = tg θ 2 µ r 2 • Essa expressão representa a lei da refração para linhas de fluxo magnético. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Exercícios 6. A região 1, descrita por 3x + 4y ≥ 10, é um espaço livre, enquanto que a região 2, descrita por 3x + 4y ≤ 10, é um material magnético para o qual µ≈10µ0. Assumindo que a fronteira entre o material e o espaço livre seja livre de corrente, determine B2, se B1 = 0,1âx + 0,4ây + 0,2âz Wb/m². 7. Um vetor unitário normal apontando da região 2 (µ=2µ0) para a região 1 (µ=µ0) é ân21 = (6âx + 2ây - 3âz)/7. Se H1 = 10âx + ây + 12âz A/m e H2 = H2xâx - 5ây + 4âz A/m, determine: a) O vetor H2x. b) A densidade de corrente K na interface. c) Os ângulos que B1 e B2 fazem com a normal à interface. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Indutores e indutâncias • Um circuito, ou um caminho fechado condutor, que é percorrido por uma corrente I gera um campo magnético B. • Este campo B gera um fluxo → → ψ = ∫ B⋅ d S S que atravessa cada espira do circuito. Figura 18 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Se o circuito tiver N espiras idênticas, definimos o fluxo concatenado (λ) como λ = Nψ • Ainda, se o meio que circunda o circuito é linear, o fluxo concatenado é proporcional à corrente que o gerou, ou seja, λ ∝ I → λ = LI onde L é uma constante de proporcionalidade denominada indutância do circuito. • A indutância L é uma propriedade que é função da geometria do circuito. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Figura 19 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Um circuito, ou parte de um circuito, que tem uma indutância é denominado indutor. • Podemos definir a indutância L de um indutor como a razão entre o fluxo magnético concatenado e a corrente através do indutor, ou seja, λ Nψ L= = I I Comumente referida como autoindutância. • O fluxo concatenado é gerado pelo próprio indutor. • A unidade de indutância é o henry (H), que é equivalente à unidade de webers/ampère (Wb/A). Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Podemos considerar a indutância como uma medida da quantidade de energia magnética que pode ser armazenada dentro de um indutor. • A energia magnética (em joules) armazenada em um indutor é expressa como Wm 1 = LI 2 2 2W m → L= 2 I Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Se, ao invés de termos um circuito, tivermos dois circuitos percorridos por correntes I1 e I2, uma interação magnética existirá entre os circuitos. Figura 20 • Quatro componentes de fluxo (ψ11, ψ12, ψ21 e ψ22) são geradas. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • O fluxo ψ12 representa o fluxo que passa através do circuito 1 devido à corrente I2 no circuito 2. Figura 21 • Se B2 é o campo devido à I2 e S1 é a área do circuito 1, então → → ψ 12 = ∫ B2 ⋅ d S S1 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Definimos a indutância mútua M12 como a razão entre o fluxo concatenado λ12 = N1ψ12 sobre o circuito 1 devido à corrente I2 no circuito 2, ou seja, Figura 22 M 12 = λ12 I2 N 1ψ 12 = I2 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • De maneira similar, a indutância mútua M21 é definida como o fluxo concatenado do circuito 2 por unidade de corrente I1, ou seja, Figura 23 M 21 λ 21 N 2ψ 21 = = I1 I1 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Se o meio que circunda os circuitos é linear, ou seja, ausência de material ferromagnético, temos que M12=M21. • A indutância mútua é expressa em henrys (H). • Dessa forma, a auto-indutância dos circuitos respectivamente, podem ser definidas como λ11 N1ψ 1 L1 = = I1 I1 1 e λ22 N 2ψ 2 e L2 = = I2 I2 onde ψ1=ψ11 + ψ12 e ψ2= ψ21 + ψ22. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira 2, • A energia total no campo magnético é a soma das energias devido a L1, L2 e M12 (ou M21), ou seja, 1 1 2 Wm = W1 + W2 + W12 = L1 I1 + L2 I 22 ± M 12 I1 I 2 2 2 • O sinal positivo é considerado se as correntes I1 e I2 fluem tal que os campos magnéticos dos dois circuitos se reforçam. • Se as correntes fluem de tal modo que seus campos magnéticos se opõe, o sinal é considerado negativo. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Um indutor é um condutor montado com formato adequado para armazenar energia magnética. • Exemplos típicos de indutores são toróides, solenóides, linhas de transmissão coaxial e linhas de transmissão de fios paralelos. • A indutância de cada um desses indutores pode ser determinada pelo seguinte procedimento: – Escolhe-se um sistema de coordenadas apropriado. – Considera-se que o indutor é percorrido por uma corrente I. – Determina-se B a partir da lei de Biot-Savart, ou a partir da lei de Ampère, desde que se constate presença de simetria. – Calcula-se o fluxo magnético. Nψ – Determina-se o valor da indutância. L= I Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Em um indutor, tal como uma linha de transmissão coaxial ou uma linha de transmissão de fios paralelos, a indutância produzida pelo fluxo interno ao condutor é denominada indutância interna (Lin). • Enquanto que a produzida pelo fluxo externo é denominada indutância externa (Lext). • A indutância total L é dada por L = Lin + Lext de forma que LextC = µε Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Energia magnética • Considere um volume diferencial em um campo magnético. Figura 25 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Seja o volume coberto com lâminas metálicas condutoras nas superfícies do topo e da base percorridas por uma corrente ∆I. Figura 26 • Assumimos que toda a região está preenchida com tais volumes diferenciais. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Dessa forma, cada volume diferencial tem uma indutância de ∆ψ µH ∆ x∆ z ∆L = = ∆I ∆I onde ∆I=H ∆y. • Com isso, temos que ∆Wm ∆Wm 1 1 2 2 = ∆ L ∆ I = µH ∆ x∆ y∆ z 2 2 1 2 = µH ∆v 2 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • A densidade de energia magnetostática wm, em J/m³, é definida como 2 1 B ∆Wm 1 2 wm = lim = µH = µBH = 2 2 2µ ∆v →0 ∆v • Desse modo, a energia em um campo magnetostático em um meio linear é dada por 1 → → 1 2 W m = ∫ w m dv = ∫ B ⋅ H dv = ∫ µ H dv 2 2 que é similar elestrostático. à equação da energia para um campo Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Exercícios 8. Calcule a auto-indutância, por unidade de comprimento, de um solenóide infinitamente longo. 9. Um solenóide muito longo, com seção reta de 2 x 2 cm, tem um núcleo de ferro (µr=1000) e 4000 espiras/metro. Se o solenóide for percorrido por uma corrente de 500 mA, determine: a) Sua auto-indutância por metro. b) A energia armazenada, por metro, nesse campo. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Exercício 10.Dois anéis circulares coaxiais de raios a e b (b>a) estão separados por uma distância h (h >> a, b) como mostrado na figura 27. Determine a indutância mútua entre os anéis. Figura 27 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Exercício 11.Determine a indutância mútua de duas espiras circulares coplanares e concêntricas de raios 2 m e 3 m. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Circuitos magnéticos • O conceito de circuitos magnéticos está baseado na resolução de alguns problemas de campo magnético utilizando a abordagem de circuitos. • Dispositivos magnéticos como toróides, transformadores, motores, geradores e relés podem ser considerados circuitos magnéticos. • A análise desses circuitos é simplificada se uma analogia entre circuitos elétricos e magnéticos for explorada. • Uma vez feito isso, podemos diretamente aplicar conceitos de circuitos elétricos para resolver circuitos magnéticos análogos. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Resumo da analogia entre circuitos elétricos e magnéticos Figura 28 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Analogia entre um circuito elétrico e um circuito magnético Figura 29 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Definimos a força magnetomotriz (fmm), em ampères-espiras, como → ℑ = NI = ∫ H ⋅d → l • A fonte de fmm em circuitos magnéticos é usualmente uma bobina percorrida por uma corrente. • Definimos também relutância, em ampères-espiras/weber, como l ℜ = µS onde l e S são, respectivamente, o comprimento médio e a área da seção reta do núcleo magnético. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • O recíproco da relutância é a permeância. • A relação básica para elementos de circuitos é a lei de Ohm (V=RI), ou seja, ℑ =ψℜ • Baseado nisso, as leis de Kirchhoff de corrente e de tensão podem ser aplicadas aos nós e às malhas de um determinado circuito magnético da mesma forma como em um circuito elétrico. • As regras de soma de tensões e de combinação de resistências em série e em paralelo também são válidas para fmm’s e relutâncias. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Para n elementos de circuito magnético em série, temos ψ 1 = ψ 2 = ψ 3 = ... = ψ n ℑ = ℑ1 + ℑ2 + ℑ3 + ... + ℑn • Para n elementos de circuito magnético em paralelo, temos ψ = ψ 1 +ψ 2 +ψ 3 + ... +ψ n ℑ1 = ℑ2 = ℑ3 = ... = ℑn Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira • Algumas diferenças entre circuitos elétricos e magnéticos devem ser destacadas: – Diferentemente de um circuito elétrico onde flui corrente I, o fluxo magnético não flui. – A condutividade (σ) é independente da densidade de corrente (J) em um circuito elétrico, enquanto que a permeabilidade (µ) varia com a densidade de fluxo magnético (B) em um circuito magnético. Isso porque materiais ferromagnéticos, não lineares, são normalmente utilizados na maioria dos dispositivos magnéticos práticos. • Apesar dessas diferenças, o conceito de circuito magnético é útil como uma análise aproximada dos dispositivos magnéticos práticos. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Exercício 12.O núcleo toroidal da figura 30 tem ρ0=10 cm e uma seção reta circular com a=1 cm. Se o núcleo é feito de aço (µr=1000) e tem uma bobina com 200 espiras, calcule a intensidade de corrente que irá gerar um fluxo de 0,5 mWb no núcleo. Figura 30 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Exercício 13.O toróide da figura 31 tem uma bobina com 1000 espiras enroladas em torno de seu núcleo. Se ρ0=10 cm e a=1 cm, qual a corrente necessária para estabelecer um fluxo magnético de 0,5 mWb: a) Se o núcleo é não magnético ? b) Se o núcleo tem µr=500 ? Figura 31 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira Exercício 14.No circuito magnético da figura 32, calcule a corrente na bobina que irá gerar uma densidade de fluxo magnético de 1,5 Wb/m² no entreferro de ar, assumindo que µr=50, e que todos os trechos do núcleo tenham a mesma área de seção reta de 10 cm². Figura 32 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira