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Experiência: Funções de mais de uma variável – Flexão de uma barra
1. Objetivos:
Através do estudo da flexão de uma barra metálica de seção uniforme,
investigar a relação desta variável em função de outras duas: o peso
adicionado à sua extremidade e o comprimento da parte flexionada da mesma
(vão livre).
Construir gráficos em papel milimetrado e a partir de um destes,
linearizar a curva obtida, em um papel gráfico adequado para tal curva,
neste caso, o papel dilogarítmico, exercitando então o uso deste papel
gráfico na obtenção de funções matemáticas que regem determinado sistema
físico.
Encontrar uma relação entre as expressões obtidas pelos gráficos e
combiná-las de modo a obter uma função de mais de uma variável, que regerá
o fenômeno físico estudado neste trabalho, exercitando então o uso desta
técnica na obtenção de funções dessa natureza.
2. Introdução teórica.
1. Expressões com mais de uma variável.
Quando é necessário obter expressões matemáticas que regem
determinados fenômenos físicos, normalmente nos deparamos com situações
onde uma única medição de um parâmetro variável em função de outro fixo,
nos remete á um gráfico do comportamento geral do sistema onde se pode
imediatamente obter tal expressão. Porém, há situações onde existem vários
fatores que influenciam o comportamento do fenômeno estudado, ou seja,
mesmo fixando um parâmetro, temos outros dois ou mais. Temos então de fazer
as medições variando apenas um parâmetro, fixando todos os outros.
Posteriormente fixamos o mesmo parâmetro variável fixado anteriormente,
porém em um ponto de valor diferente ao anterior e trabalhamos novamente
com apenas um. Fazemos isso até se obter uma quantidade rica de resultados
e depois construímos gráficos diferentes para a variação de parâmetros
diferentes. Investigando o fenômeno e combinando as expressões obtidas
desses gráficos chegamos finalmente numa expressão que rege o sistema em
geral.
2. Flexão de uma barra.
A flexão é um esforço físico no qual se caracteriza pela deformação
ocorrer perpendicularmente à força atuante. A linha que une o centro de
gravidade de todas as seções transversais de uma barra é chamada eixo
longitudinal da barra, o mesmo, quando submetido á cargas perpendiculares
desenvolve em si o momento fletor. O Momento Fletor representa a soma
algébrica dos momentos relativos contidos no eixo longitudinal da barra,
gerados por cargas aplicadas perpendiculamente ao mesmo produzindo um
esforço que tende a curvar o eixo longitudinal [3].
Quando uma barra metálica engastada é submetida a uma força peso (P)
em sua extremidade, ocorre uma flexão (Y) na mesma, que varia
proporcionalmente ao produto do esforço P, pelo cubo do comprimento (L) da
barra, também chamado de "vão livre", obedecendo à expressão:
(2-2-1)
Onde K é uma constante que depende de fatores particulares do
experimento.
Para que se possa chegar à equação (2-2-1) através de dados
experimentais, é preciso fixar o comprimento L e medir as flexões Y em
função do peso P. Fazendo isto para uma série de valores de L fixos,
construímos os gráficos (Y x P) de cada comprimento fixado e depois
comparamos todas as curvas obtidas construindo outro gráfico em função de
L. Comparando as relações obtidas nos gráficos, chegaremos à expressão (2-2-
1) que possui mais de uma variável.
3. Gráficos em papel di-log.
A linearização de curvas é uma técnica que nos permite encontrar a
expressão de um gráfico qualquer com a mesma simplicidade de um
gráfico linear. No caso de uma parábola, devemos usar um papel gráfico
cujos dois eixos estejam em escala logarítmica, o que não é possível
com o papel monologarítmico, já estudado, pois apenas um dos seus
eixos possui a escala necessária. Tomamos então, o uso do papel
dilogarítmico ou di-log que é do tipo log(y) versus log(x) cuja
necessidade é satisfeita e assim, conseguimos linearizar a parábola
que será o caso do fenômeno estudado neste trabalho, facilitando
então, a obtenção dos resultados finais.
3. Procedimento Experimental.
a) Dividir a barra fornecida em intervalos de comprimento L de modo a
se poder medir o comprimento do vão livre, que será flexionado.
b) Montar o aparelho esquematizado na figura 3.1:
Figura 3.1. Esquema do aparelho usado no experimento.
c) Anotar o comprimento útil (vão livre) e ler a posição da
extremidade da barra com índice superior da escala, quando não há
nenhum peso aplicado.
d) Prender na extremidade livre da barra os vários pesos fornecidos,
um a um, anotando as posições da extremidade livre da barra como
índice inferior da escala, para cada peso adicionado.
e) Alterar o vão livre da barra e repetir para este novo comprimento L
os itens "c" e "d", fazendo isso para cinco comprimentos diferentes
e utilizando os mesmos pesos.
f) Sendo o valor da flexão Y igual á diferença entre a posição
superior e a posição inferior da escala, organizar os dados obtidos
em tabelas.
g) Construir em papel milimetrado os gráficos das flexões em função
dos pesos para os diferentes comprimentos L.
h) Obter e organizar em uma tabela, os valores dos coeficientes das
curvas obtidas no item "g".
i) Construir em papel milimetrado, o gráfico dos coeficientes
angulares das retas obtidas no item "g" em função dos comprimentos
L correspondentes. Identificar a curva obtida, linearizá-la em um
papel gráfico adequado e obter a equação geral do sistema.
4. Resultados.
a) A barra fornecida foi medida com uma régua e as divisões foram
marcadas igualmente espaçadas de acordo com o esquema abaixo:
Figura 4.1. Esquema das medições e marcações efetuadas na barra.
b) Com a barra fixa de acordo com o esquema da figura 4.1 o aparelho
foi montado.
c) Com o comprimento do vão livre anotado, ajustamos a escala graduada
de modo que a posição da barra na escala quando não estava sob a
ação de nenhum peso fosse zero, ou seja, o índice superior da
escala ficou definido como sendo zero. Fizemos esse mesmo ajuste
para todos os comprimentos L adotados.
d) Antes de prender os pesos á extremidade livre da barra, medimos
suas respectivas massas e organizamos os dados obtidos na tabela
abaixo:
Tabela 4.1. Massas medidas dos pesos
"Peso "1 "2 "3 "4 "5 "6 "
"Massa (m) "124,44 "123,00"133,28 "129,05 "135,25 "132,75 "
" " " " " " " "
Colocando os pesos um á um no suporte situado na extremidade da
barra, vamos aumentando a carga sucessivamente de acordo com as
massas. Para a organização das medições, construímos uma tabela que
relaciona a carga adicionada e a força peso aplicada na extremidade
da barra.
Sabendo que o módulo da força peso é dado pelo produto da massa
pelo módulo da aceleração da gravidade e tomando a aceleração
gravidade como sendo constante e de módulo temos:
Tabela 4.2. Força peso exercido pelo somatório das cargas.
"Somatório das"A=1 "B=1,2"C=1,2,"D=1,2,3"E=1,2,3,"F=1,2,3,4"
"Cargas " " "3 ",4 "4,5 ",5,6 "
"Massa (m) "124,44"247,4"380,72"509,77 "645,02 "777,77 "
" " "4 " " " " "
"Peso (P) "1219,5"2425,"3731,0"4995,7 "6321,2 "7622,1 "
" " "0 " " " " "
e) Os comprimentos adotados para as medições de flexão foram:
Tabela 4.3. Comprimentos adotados para as medições.
"Comprimentos (L) "
" "
"1 "2 "3 "4 "5 "
"360,0 "300,0 "240,0 "180,0 "120,0 "
f) Os resultados obtidos da medição da flexão da barra ocasionada em
função dos itens "d" e "e" foram organizados em tabelas individuais
para cada L:
Tabela 4.4. Flexões Y em função do peso P para L1.
"Peso (P) "1219,5 "2425,0 "3731,0"4995,7"6321,2 "7622,1 "
" " " " " " " "
"Flexão (Y) "13,0 "26,0 "41,0 "54,0 "69,0 "84,0 "
" " " " " " " "
Tabela 4.5. Flexões Y em função do peso P para L2.
"Peso (P) "1219,5 "2425,0"3731,0 "4995,7 "6321,2 "7622,1 "
" " " " " " " "
"Flexão (Y) "7,5 "16,0 "25,0 "33,5 "42,0 "50,5 "
" " " " " " " "
Tabela 4.6. Flexões Y em função do peso P para L3.
"Peso (P) "1219,5 "2425,0"3731,0 "4995,7 "6321,2 "7622,1 "
" " " " " " " "
"Flexão (Y) "4,5 "10,0 "15,0 "20,0 "25,5 "30,0 "
" " " " " " " "
Tabela 4.7. Flexões Y em função do peso P para L4.
"Peso (P) "1219,5 "2425,0"3731,0 "4995,7 "6321,2 "7622,1 "
" " " " " " " "
"Flexão (Y) "3,5 "6,0 "8,0 "10,0 "12,5 "14,5 "
" " " " " " " "
Tabela 4.8. Flexões Y em função do peso P para L5.
"Peso (P) "1219,5 "2425,0"3731,0 "4995,7 "6321,2 "7622,1 "
" " " " " " " "
"Flexão (Y) "1,5 "3,5 "4,0 "4,5 "5,5 "6,5 "
" " " " " " " "
g) Utilizando as tabelas 4.4, 4.5, 4.6, 4.7 e 4.8, construímos os
gráficos das flexões Y em função dos pesos P (Y x P) para cada
comprimento L em um mesmo papel milimetrado que segue em anexo.
h) Como as curvas obtidas foram retas, calculamos seus coeficientes a
partir da equação reduzida da reta:
(4-1)
Onde é o coeficiente angular da reta e indica a tangente do
ângulo de inclinação da mesma e C é o coeficiente linear que indica
o valor de Y quando P é nulo. Sabemos que:
(4-2)
Observando os gráficos, percebemos que todas as retas passas pela
origem do sistema (0,0) o que indica que o coeficiente linear de
todas as retas é zero.
Tomando pontos não experimentais dos gráficos, indicados nos mesmos
e dados na tabela abaixo, utilizamos a equação (4-2) para
calcularmos os coeficientes angulares de cada reta:
Tabela 4.9. Pontos adotados nas diferentes retas para os cálculos
dos coeficientes angulares.
"Reta de um "Pontos (x;y) "Coeficient"
"respectivo " "e Angular "
"comprimento L " "da reta "
" " "() "
"L1 = 360,0 "P1 = (5,8 ;"P2 = (7 ; "Tg α1= "
" "65) "77,5) "10,4 "
"L2 = 300,0 "P3 = (4,5 ;"P4 = (6 ; "Tg α2= 6,7"
" "30) "40) " "
"L3 = 240,0 "P5 = (5,75 "P6 = (7 ; "Tg α3= 4,0"
" "; 22,5) "27,5) " "
"L4 = 180,0 "P7 = (5,25 "P8 = (7,25 "Tg α4= 2,0"
" "; 10) "; 14) " "
"L5 = 120,0 "P9 = (3 ; "P10 = (5,75"Tg α5= 0,9"
" "2,5) "; 5) " "
i) A partir da tabela 4.9 construímos um gráfico em papel milimetrado
do coeficiente angular das retas que indicam valores para L em
função dos comprimentos L, que segue em anexo.
Observando o gráfico 4.2 notamos que se trata de uma parábola e
portanto para linearizá-la é necessário transpor esta curva em um
papel cujos dois eixos sejam logarítmicos. Utilizaremos então o
papel di-log para linearizar esta curva e obter sua expressão. O
gráfico 4.2 linearizado segue em anexo.
Tomando dois pontos não experimentais da reta obtida: P1 =
(log260;log5) e P2 = (log340;log10) mostrados no gráfico, podemos
partir da equação reduzida da reta para obtermos os coeficientes da
mesma. Sendo para este caso a equação reduzida da reta:
(4-3)
Onde k é o coeficiente angular da reta e log(K) é o coeficiente
linear que indica o valor de log() quando log(L) é nulo.
Partindo da equação (4-3) temos:
(4-4)
Tomando a equação (4-3) podemos obter os coeficientes da reta. O
coeficiente angular da reta (k) é obtido através da expressão:
(4-5)
Tomando os pontos P1 e P2 temos:
(4-6)
Substituindo (4-6) em (4-3) temos:
(4-
7)
Podemos obter o coeficiente linear da reta olhando diretamente no
gráfico. Sabendo que o coeficiente linear é o ponto em log (γ)
quando log (L) é nulo, obtemos o coeficiente linear do gráfico:
(4-8)
Agora, substituindo a equação (4-4) em (4-1) sabendo que em (4-1),
C é nulo temos:
(4-
9)
5. Conclusões:
Aplicadas as teorias e conceitos sobre obtenção de expressões com mais
de uma variável e utilização do papel di-log na linearização de curvas
parabólicas, chegamos a um resultado que comprovou a eficiência de tais
técnicas, pois note que a expressão geral do sistema obtida (4-9) tem um
valor que se aproxima da expressão dada na teoria sobre flexão (2-2-1).
Sobre o sistema físico estudado, o que se percebe é que não se pode
analisar a flexão variando ao mesmo tempo o comprimento do vão livre e a
massa. Para tal análise, fixamos um parâmetro por vez. Com qualquer
comprimento fixo, verificamos que quanto maior é a força peso aplicada na
extremidade da barra, maior sua flexão e fixando qualquer força peso,
verificamos que quanto menor o comprimento do vão livre, menor é a flexão.
Poderíamos ainda variar outros parâmetros da barra como sua espessura,
sua largura, seu formato, o material que a compõe, etc. Certamente a
variação desses parâmetros causaria variação na flexão, porém, a análise
desses fatores é muito particular de cada situação ficando então esses
valores, suprimidos dentro da constante K da expressão geral da flexão. No
caso do experimento que realizamos, os fatores que influenciaram K fizeram
com que essa constante tivesse valor igual à . A partir da análise da
situação de K, o que podemos observar é que na verdade a expressão geral da
flexão depende de muito mais parâmetros do que analisamos. Mas, conseguimos
obter um resultado satisfatório, pois todos os valores de K estavam fixos á
todo momento, o que é requisito quando se trata de obter uma expressão com
"n" variáveis.
