Transcript
Cap. VIII - Flambagem • 1. Introdução Sabemos que a seleção dos elementos estruturais se baseia em três características básicas: Resistência, Rigidez e Estabilidade.
1
Cap. VIII - Flambagem • 1.1 Instabilidade Flambagem
na
Compressão
Axial.
Considerando as barras retas, axialmente comprimidas, verifica-se experimentalmente que sob a ação de carregamentos crescentes pode ser atingido um estado limite, a partir do qual a forma reta de equilíbrio é instável. A carga correspondente a esse estado limite é dita carga crítica (Pcrit ), ou carga de Flambagem. 2
Cap. VIII - Flambagem
3
Cap. VIII - Flambagem • 1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem No regime elástico (define-se o regime elástico como sendo aquele em que existe o comportamento elástico linear dos materiais), para cargas P > Pcrit, a forma estável de equilíbrio passa a ser a configuração fletida. 4
1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem Neste caso, diz-se que a mudança da forma de equilíbrio corresponde a um comportamento simétrico e estável. O comportamento é simétrico porque não importa para que lados ocorrem os deslocamentos da barra, e é dito estável porque a configuração secundária de equilíbrio é estável. 5
1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem O fenômeno de instabilidade das barras retas axialmente comprimidas pode ser caracterizado pela presença do ponto de bifurcação do equilíbrio . No diagrama da figura, se relaciona a carga “P” aplicada com o máximo deslocamento transversal “a”. 6
1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem Mantendo-se o regime elástico, no entorno desse ponto de bifurcação, são possíveis duas diferentes configurações estáveis de equilíbrio. Somente a título de ilustração, para materiais como o concreto e o aço, o estado limite de flambagem é um estado limite último. Observa-se na figura anterior. que para cargas pouco superiores à carga crítica, a flecha máxima, já é uma fração apreciável do comprimento da barra, a qual se rompe por flexão composta.
7
1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem Materiais como celulóide e o acrílico (matérias plásticas), a barra pode resistir a cargas sensivelmente superiores à carga de flambagem, pois o estado limite de flambagem deixa de ser um estado limite último.
8
Fórmula de Euller para colunas com extremidades articuladas
9
1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem Em princípio, a determinação das flechas das barras para cargas superiores à carga crítica exige que se empregue a expressão exata da equação diferencial da linha elástica, ou seja:
10
1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem Se, em lugar da equação exata, nós empregarmos a equação aproximada, podemos, com a mesma precisão obtermos os valores da carga crítica, e baseado na figura, desenvolvemos o seguinte: M= P.y; 1/r = M/(E*I) adotando,
P/E.I = k2, podemos escrever:
d2y/dx2 = k2y ) d2y/dx2 - k2y = 0 11
1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem Esta equação d2y/dx2 - k2y = 0 é a mesma equação diferencial que descreve o movimento harmônico. Simples. y = C1 sen kx + C2 cos kx Pelas condições de contorno, temos: p/ x= 0; y = 0, logo C2 = 0, e, conseqüentemente, p/ x=l ; y = 0 ∴ C1senkl = 0 Resultando: C1 = 0 ou, para a configuração fletida, com C1 ≠ 0 , o valor senkl = 0, logo kl = nπ ∴ P/EI = (nπ/l)2
P≤ Pcrit = n2*π2EI/l2
12
1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem Carga crítica de Euller: Pcrit = n2*p2EI/l2 ; modo de flambagem: y(x) – C1sen(πx/l)
13
1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem Para diferentes condições de contorno, obtém-se a expressão geral da fórmula de Euller
14
1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem As expressões anteriormente consideradas admitem implicitamente a existência de um comportamento elástico linear do material da barra. Isso será verdade enquanto a tensão crítica de compressão σcrit for inferior ao limite de proporcionalidade do material, ou seja, enquanto for
15
1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem σ= P/A; logo σcrit. = Pcrit./A = π2EI/le2A i = raio de giração = √I/A; i2 = I/A
λ = le /i = índice de esbeltez, logo σcrit. = π2EI/λ2 Quando σcrit = σo, tem-se
16
1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem O raio de giração de uma área “A” em relação ao eixo “Z” é definido pela grandeza iz2 = Iz/A
17
1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem Conforme se mostra na figura, a fórmula de Euller é válida para λ>= λlim, pois nesse caso a flambagem se dá dentro do regime elástico. Quando λ < λlim, a barra é menos esbelta, e σcrit > σo (Tensão de escoamento do material - limite elástico). Estes caso não tem interesse para nós, uma vez que a tensão de escoamento foi atingida e o material deixa de ser elástico antes de iniciar a Flambagem. 18
19
1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem Exercício 1.- Uma barra de aço de seção transversal retangular, de 2,5 por 5,0 cm, bi-articulada, é comprimida axialmente. Determinar o comprimento mínimo em que a equação da carga crítica possa ser aplicada, sendo E=210 GPa e o limite de proporcionalidade σ0 = 210 MPa. Determinar a grandeza da tensão crítica sendo o comprimento igual a 1,50 m.
20
1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem Exercício 2 -
21
1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem Exercício 3 Determinar a dimensão “d” de modo que as longarinas de aço e de alumínio tenham o mesmo peso, e calcular a carga crítica para cada longarina.
22
1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem Exercício 4 Determinar; a) a carga crítica da longarina de aço; b) a dimensão “d” para a qual a longarina de alumínio apresente s mesma carga crítica; c) expressar o peso da longarina com porcentagem do peso da longarina de aço.
23
1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem Exercício 5 Uma coluna de madeira tem comprimento de flambagem de 3,5 m e é formada de quatro tábuas de 30 X 120 mm de seção transversal. Determinar, adotando E = 12,5 GPa, a carga crítica para cada uma das formas indicadas na figura.
24
1.1 Instabilidade na Compressão Axial. Flambagem Exercício 6 Determinar a máxima carga “P” que pode ser aplicada à estrutura indicada, para um coeficiente de segurança igual a 3,0. Adotar E = 200 GPa e considerar flambagem apenas no plano da estrutura. (Icirc. = πd4/64) a)
b)
25
