Física I - Dinâmica

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Unidade III Dinâmica 1. Situando a Temática Todas as coisas no universo estão interagindo, direta ou indiretamente, umas com as outras. Acreditamos que existam apenas quatro tipos de interações fundamentais na natureza: interação fraca, interação forte, interação eletromagnética e interação gravitacional. Chamamos de força o resultado de uma interação entre duas partículas; força fraca, força forte (força nuclear), força eletromagnética e força gravitacional. São estas forças da natureza que colocam o universo em movimento. A parte da mecânica que estuda o que acontece com uma partícula quando uma força atua sobre ela é chamada de DINÂMICA. Faremos isso nesta unidade. 2. Problematizando a Temática O que faz com que a velocidade de uma partícula mude, são as forças que atuam sobre ela. Na seção II.4, vimos que quando a velocidade de uma partícula está mudando, é porque ela está sendo acelerada. Ou seja, as partículas são aceleradas pelas forças. Nós queremos saber como as partículas são aceleradas. Nesta disciplina, nós estudaremos problemas do dia-a-dia; problemas envolvendo forças simples, na maioria das vezes constantes, sem nos preocuparmos com suas origens. Nem poderíamos fazer diferente. O estudo das interações que citamos na seção anterior é algo bastante complicado. Muito além, mesmo, dos nossos propósitos. 3. Força Dissemos acima que força é o resultado da interação entre dois corpos. De que maneira nós trataremos esta nova grandeza; como um escalar ou como um vetor? Se você pudesse jogar duas “bombas” de calor num corpo, uma pela direita e outra pela esquerda, o corpo ficaria duas vezes mais quente. Entretanto se você empurrar um corpo com uma força pela direita e outra, de mesma intensidade, pela esquerda, ele não se moverá duas vezes mais rápido. O corpo não sai do lugar. Isto nos diz que forças se somam como vetores. As forças se comportam como vetores. A força é um vetor. Para caracterizarmos uma força completamente, é preciso especificar sua intensidade (módulo), sua direção e o sentido da força. Em sua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Latim: “Princípios Matemáticos da Filosofia Natural”), publicada em 5 de julho de 1687, Sir Isaac Newton (Woolsthorpe, 4 de janeiro de 1643 — Londres, 31 de março de 1727) apresentou ao mundo a lei da gravitação e as três leis de Newton que fundamentaram a MECÂNICA CLÁSSICA. Newton foi considerado pela ‘Royal Society’ como o cientista que causou maior impacto na história da ciência. De fato se pensarmos que estudamos corpos que são grandes o bastante para dispensarmos a mecânica quântica, nem III.1 muito rápidos e nem muito imensos para não precisarmos da teoria da relatividade, então eles serão tratados de acordo com as leis da mecânica clássica. Com as leis de Newton. Dá para ir à Lua com basa nas leis publicadas em 1643! 4. Primeira Lei de Newton
LEI DA INÉRCIA Ainda é comum a ideia de que é necessário uma força para manter um corpo em movimento. De fato, se nos basearmos nas observações do diaa-dia, isto é bastante razoável. Basta olharmos para um objeto se deslocando sobre um piso e constatamos que ele termina parando. Assim, poderíamos concluir, como se pensava antes de Newton, que é preciso uma força para manter o corpo em movimento. Na verdade o que acontece é justamente o contrário. O corpo para porque existem forças atuando sobre ele que fazem com que ele pare. Se eliminarmos todas as forças atuando sobre o corpo, ele continuará deslizando indefinidamente.
Primeira Lei de Newton: Se a soma das forças que atuam sobre uma partícula é nula, então a velocidade (o vetor) da partícula não se altera; ou seja, a partícula não será acelerada. 5. Segunda Lei de Newton A segunda lei de Newton relaciona a força resultante sobre uma partícula com sua massa e sua aceleração, de uma forma simples e objetiva:
Segunda Lei de Newton: A força resultante sobre uma partícula é igual ao produto de sua massa por sua aceleração. Matematicamente, escrevemos (Fig. 3.1). r r
2ª Lei de Newton: Fres = m a (3.1) A segunda lei de Newton é usada para definir uma unidade de força. No SI (MKS) a unidade de força é o Newton (N). Definimos: Uma força de intensidade igual a 1 N é capaz de conferir uma aceleração de intensidade de 1 m/s2 a uma massa de 1 kg; 1N = (1 kg ).(1 m / s 2 ) É preciso ter cuidado com esta forma de enunciado para a segunda lei de Newton. Este resultado vale para partículas e corpos com massa constante. Na seção V veremos o enunciado original em termos do momento linear. Por enquanto lembramos apenas que a massa não pode variar; como acontece com as partículas. 6. Terceira Lei de Newton Talvez a mais contundente das três, a terceira lei diz: III.2
Terceira Lei de Newton: A toda ação (uma força) corresponde uma reação (outra força) de mesma intensidade (módulo), mesma direção e sentido contrário. A terceira lei nos diz que, no universo, as forças sempre aparecem aos pares. Isto faz sentido, já que estamos definindo força a partir das interações e nas interações sempre há uma “troca” de partículas. Nas interações eletromagnéticas as partículas “trocam” fótons (partículas de luz), nas interações fortes as partículas “trocam” gluons, nas interações fracas as partículas “trocam” bósons W e Z e nas interações gravitacionais talvez as massas “troquem” grávitons. Talvez, porque o gráviton ainda não foi detectado. Estas partículas trocadas são chamadas de mediadores ou paríiculas transportadoras de força. 7. Atração Gravitacional — Peso É de Newton a primeira teoria da gravitação. Esse Newton era bom mesmo, não?! Ele entendeu como os planetas giram em torno do Sol, postulou a existência de uma força de atração gravitacional — resultado da interação gravitacional entre as massas — e calculou que eles descrevem órbitas elípticas em torno do sol. De acordo com Newton, o módulo da força de atração gravitacional entre duas massas, M1 e M2, separadas por uma distância r, Fig. 3.2a, é dado por: F =G M1M 2 r2 (atração gravitacional) (3.2) onde G = 6,67 × 10 –11 m3/s2 ⋅ kg é a constante de gravitação universal. A Fig. 3.2b mostra um corpo em três posições diferentes. Observe que a força é radial e o seu módulo varia com a distância ao centro da Terra. Se MT é a massa da Terra e m a massa do corpo, então o módulo F da força será: F =G mMT r 2  M  = m  G 2T   r  (3.3) Comparando este resultado com a segunda lei, Eq. 3.1, encontramos: (3.4) F =mg onde g =G MT r2 (3.5) = aceleração da gravidade Esta é a força de atração que aparece numa interação gravitacional. A Eq. 3.4 dá a força de atração gravitacional que a Terra exerce sobre todos os corpos. Esta força é usualmente chamada de peso. Os detalhes destes cálculos e os limites da validade da teoria de Newton serão vistos disciplina Física Geral 2. Por enquanto abordaremos problemas envolvendo massas nas proximidades da Terra. III.3 O fato de estarmos próximos da Terra leva a duas simplificações: i) O módulo da aceleração da gravidade pode ser considerado constante. Ele varia pouco de um ponto para outro na superfície da Terra. ii) Próximos da Terra, nós não percebemos a sua curvatura e então po→ demos considerar o vetor g como um vetor “vertical”. É claro que um vetor “vertical” no equador é diferente de um vetor “vertical” no pólo. 8. Forças de Contato
FORÇA NORMAL Quando um corpo está apoiado sobre uma superfície, Fig.3.3, comprimindo-a, a superfície reage com uma força de mesmo módulo, mesma direção e sentido contrário; como prevê a terceira lei de Newton. As forças deste par ação e reação são perpendiculares à superfície de contato e, por isso, a força que a superfície exerce sobre o corpo é chamada de força perpendicular ou força normal.
Força Normal: Quando um corpo comprime uma superfície, ela empurra → o corpo com uma força N que é normal à superfície. As forças que atuam na caixa: → F gc = força de atração gravitacional da Terra sobre a caixa. → Nc = componente normal (sobre a caixa) da força de contato entre a caixa e a mesa. As forças que atuam na mesa: → → F cm = – Nc = componente normal (sobre a mesa) da força de contato entre a caixa e a mesa. → F gc = força de atração gravitacional da Terra sobre a mesa. → Nc = componente normal (sobre a mesa) da força de contato entre a mesa e o solo. Note que, Fig. 3.4a e 3.4b, uma das forças de um par ação–reação está num corpo e a outra está no outro corpo. Se não fosse assim, todas as coisas estariam em repouso. Na Fig. 3.4 temos um único par ação–reação: → → Nc e F cm. Problema Resolvido 3.1 Uma caixa de 10 kg é colocada sobre uma balança que está dentro de um elevador. O elevador parte do térreo acelera a uma taxa de 2 m/s2 e ao parar no 10º andar ele desacelera com mesma taxa de 2 m/s2. Determine o peso da caixa e a leitura da balança (a) quando o elevador está parado, (b) quando o elevador está partindo do térreo e (c) quando o elevador está parando no 10º andar. SOLUÇÃO: III.4 A primeira coisa a ser compreendida é que a balança “marca” a força que a caixa faz sobre ela; esta será a leitura da balança. Agora, a força que a caixa faz sobre a balança tem mesmo módulo, mesma direção e sentido contrário à força que a balança faz sobre a caixa. Ação e reação. A Fig, 3.7 mostra um diagrama das forças que atuam na caixa. A componente normal (só tem ela) da força de contato é, justamente, a força que a balança faz sobre a caixa. Desta forma, nós precisamos, apenas, determinar o valor da normal para cada caso. Da 2ª lei de Newton temos: r r r N + P = ma
Atenção: A soma é feita sempre com o sinal de “mais”. É na subtração que aparece o sinal de “menos”. Não importa para onde o vetor aponta. Assim, quando a lei de Newton diz que “a soma das forças é igual a massa vezes aceleração”, nós devemos que fazer a soma vetorial de todas as forças que atuam no corpo. Os vetores da relação (3.9) são escritos como: r r r N = N ˆj , P = − P ˆj e a = ± a ˆj → → Lembre que N = | N | e P = | P |. O sinal “ ± “ no vetor aceleração corresponde ao movimento acelerado na saída retardado na chegada, respectivamente. Assim, (a) O peso da caixa é a força que a Terra faz sobre a caixa e vale: P = mg = 98 N Quando o elevador está parado, a = 0. Então a Eq 3.9 fica: N − P = 0 ⇒ N = P = 98 N que é a leitura da balança. Portanto a balança marcará 98 N. (b) O peso da caixa continua sendo a força que a Terra faz sobre a caixa e vale: P = mg = 98 N Quando o elevador está partindo do térreo, a aceleração é para cima Fig. 3.5a. Assim, ( N − P ) ˆj = m a ˆj ⇒ N − P = m a É assim que o sinal de menos aparece. Usando os valores do problema, encontramos: N = mg + ma = m ( g + a ) = 10 × (9,8 + 2) N = 118 N Portanto a balança marcará 118 N . (c) O peso da caixa é sempre a força que a Terra faz sobre a caixa: P = mg = 98 N Quando o elevador está parando no 10o andar, a aceleração é para baixo Fig. 3.5b. Então, ( N − P ) ˆj = − m a ˆj ⇒ N − P = − m a III.5 Vetores que têm o mesmo sentido aparecem com o mesmo sinal na equação. É o que acontece, agora, com os vetores peso e aceleração. Usando os valores do problema, encontramos: N = mg − ma = m ( g − a ) = 10 × (9,8 − 2) N = 78 N Portanto a balança marcará 78 N .
FORÇA DE ATRITO Quando o corpo apoiado sobre uma superfície está deslizando sobre esta superfície ou “tentando” deslizar sobre ela, aparecerá uma força opondo-se ao movimento ou à tentativa de movimento. Esta força é chamada de força de atrito e é sempre paralela à superfície de contato. Na realidade, o que existe é uma única força de contato que aparece no contato entre duas superfícies. Esta força é, essencialmente, a soma vetorial de todas as interações elétricas entre os átomos das duas superfícies. Os átomos não conseguem separar força normal e força de atrito. Eles não são tão espertos assim. Os átomos interagem e a soma vetorial destas interações é que resulta numa força de contato e que nós separamos numa componente perpendicular à superfície (força normal) e numa componente paralela à superfície (força de atrito). Se não houver um movimento relativo, ou tendência de movimento relativo, entre as duas superfícies, então a componente paralela da força de contato (força de atrito) será nula. Lembre-se: é ela que se opõe ao movimento.
COMPONENTE PERPENDICULAR E COMPONENTE PARALELA Consideremos uma caixa sobre uma mesa como na Fig. 3.3a. Neste momento, duas forças atuam sobre a caixa: a força de atração gravitacional (peso) e a força que a mesa exerce sobre caixa perpendicularmente à superfície (normal).
Atenção: Estas forças não formam um par ação e reação. A reação ao peso está no centro da Terra; a Terra puxa a caixa e a caixa puxa a Terra. A reação à normal está na mesa; a caixa empurra a mesa e a mesa empurra a caixa. Tendo em mente a 3ª lei de Newton (Σ F = m.a) vemos que a caixa não se moverá. Observamos, experimentalmente, que ao empurrarmos a cai→ xa com uma força F crescente (Fig.3.6a), ela não se moverá no inicio. Então deve existir uma força de mesmo módulo, direção e sentido contrário à força → F aplicada para que a soma dê zero. A Fig. 3.6b mostra um diagrama para estas forças. A partir de um certo valor de F a caixa entrará em movimento. Vamos entender cada caso. III.6 i) Enquanto não há movimento, ou tendência ao movimento, a força de contato tem apenas a componente normal. A componente paralela (força de atrito) é nula. ii) Quando começamos empurrar a caixa, surge uma componente paralela de força que se opõe ao movimento. Esta é a força de atrito estática. Estática porque ainda não existe movimento relativo entre as superfícies. iii) À medida que a força aplicada aumenta, a força de atrito estática também aumenta, de forma que a caixa não se move. Entretanto, constatamos, empiricamente, que a força de atrito estática não cresce indefinidamente. Uma hora a caixa se desloca! Você certamente já viveu esta experiência. iv) A força aplicada superou o limite da força de atrito estática e a caixa entrou em movimento. Agora, a componente paralela da força de contato é chamada de força de atrito dinâmica (ou cinética). Porque existe movimento relativo entre as duas superfícies. Constatamos também, sempre experimentalmente, que a componente paralela da força de contato (atrito) é proporcional à componente perpendicular da força de contato (normal) Fig.3.7. (3.6) f atrito ∝ N = µ N A constante de proporcionalidade, µ, é chamada de coeficiente de atrito. Quando não existe movimento relativo entre as superfícies, chamaremos de coeficiente de atrito estático (µ e). Neste caso, fe ≤ µe N (força de atrito estática) (3.7) f emáx = µe N (força de atrito estática máxima) Quando existe movimento relativo entre as superfícies, chamaremos de coeficiente de atrito dinâmico (ou cinético, µ d); fd = µd N (força de atrito dinâmica) (3.8) Note que as Eqs. 3.7 explicitam o fato de haver um valor máximo para a força de atrito estática. Quando as superfícies estão suficientemente polidas, podemos considerar a força de atrito desprezível, ou µe = 0 e µd = 0. Nestes casos, a força de contato terá apenas a componente normal e o movimento não será retardado pelo atrito.
Atenção: Nem pense em colocar setas na relação (3.6). As componentes normal e de atrito, da força de contato (Fig. 3.7), são ortogonais entre si e, portanto, são linearmente independentes! Não dá para escrever uma relação de proporcionalidade na forma vetorial. Apenas os módulos são proporcionais. III.7 Problema Resolvido 3.2 Uma caixa de 10 kg é empurrada numa superfície plana por uma força que forma um ângulo de 37° com a horizontal como mostra a Fig. 3.8. Os coeficientes de atrito estático e cinético entre a caixa e a superfície são 0,5 e 0,2 respectivamente. (a) Faça um diagrama das forças que atuam na caixa. (b) Determine os valores da força de atrito e da aceleração para F = 40 N? (c) Determine os valores da força de atrito e da aceleração para F = 200 N? (use g = 10 m/s2 e sen 37° = 0,6) Solução: (a) Ao lado, o diagrama (esquema) das forças que atuam na caixa. Elas são: → F = força aplicada. → N = componente normal da força de contato. → P = força gravitacional (peso) fa = componente paralela da força de contato. (força de atrito) A 2ª lei de Newton para as componentes x e y ficam: direção x: Fcosθ – fa = ma (1) direção y: N – P – Fsenθ = 0 (2) (b) Primeiramente, precisamos saber se haverá movimento. Ou seja, precisamos saber se a caixa será arrastada ou não, para sabermos se a força de atrito será estática ou dinâmica. Para tanto, vamos comparar a componente x da força aplicada, Fx = Fcos(θ), com o máximo que o atrito consegue segurar, i.e., com a força de atrito de estática máxima. Então: Fx = Fcosθ = 40×0,8 = 32 N Da relação (2), temos N = P + Fsenθ = (10 kg × 10 m/s2) + (40 × 0,6 N) = 124 N e f emáx = µe N = 0,5 × 124 N = 62 N Portanto, como Fx (= 32 N) < f emáx (= 62 N), não haverá movimento. Assim, concluímos: a = 0 e de (1), fa = fe =Fx = 32 N. (c) Mudando a força aplicada, devemos determinar novamente se haverá movimento. O diagrama de forças é o mesmo e, consequentemente, as equações de movimento (1) e (2) continuam as mesmas. A componente Fx agora vale: Fx = Fcosθ = 200×0,8 N = 160 N Da relação (2), temos N = P + Fsenθ = (10 kg × 10 m/s2) + (200 × 0,6 N) = 220 N e f emáx = µe N = 0,5 × 220 N = 110 N Portanto, como Fx (= 160 N) > f emáx (= 110 N), haverá movimento. III.8 Assim concluímos: fa = fd = µe N = 0,2 × 220 N = 44 N e, da relação (1), Fcosθ – fd 0,8 × 200 N – 44 N a = = = 11,6 m/s2 10 kg m Problema Resolvido 3.3 Um aeromodelo de 1,6 kg, voando com velocidade constante de 10 m/s, descreve um círculo horizontal a uma altura de 15 m do solo preso por um cabo de 25 m. O aeromodelo voa com as asas na horizontal de forma que a força de sustentação (empuxo) atua verticalmente sobre o aeromodelo. (a) Faça um diagrama das forças que atuam sobre o avião quando ele passa por A. (b) Determine a tensão no cabo que prende o aeromodelo. (c) Determine a força de sustentação que atua sobre o aeromodelo. (use g = 10 m/s2) SOLUÇÃO: (a) O diagrama mostra as forças quando o aeromodelo passa por A. → E = Empuxo → P = Peso → T = Tensão (b) A única força que tem uma componente no plano x,y é a tensão. Esta componente da tensão tem a direção radial e assim, TRadial = T senθ = m a Radial = m v2 R com R = L2 − H 2 = 20 m . Portanto, T=m v2 10 2 = 1,6 × N = 10 N . R senθ 20 × 0,8 (c) A equação de movimento (2ª lei de Newton) na direção z fica: E – P – Ty = 0 ⇒ E = P + Tcos θ = 16 N + (10 × 0.6) N Portanto E = 22 N. Problema Resolvido 3.4 Um avião está voando em um círculo horizontal com uma velocidade de 720 km/h (Fig. 3.10). Se as asas estão inclinadas 37° sobre a horizontal e supondo que a força de “sustentação aerodinâmica” seja perpendicular à superfície das asas: (a) Faça um diagrama das forças que atuam sobre o avião. (b) Determine o raio do círculo descrito pelo avião. (use g = 10 m/s2 e sen 37º = 0,6) III.9 SOLUÇÃO: (a) A 2a Lei de Newton em termos das componentes dos vetores fica: No plano x,y E radial = m a radial ⇒ E sen θ = m v2 R (1) Na direção z Ez − P = 0 ⇒ E cos θ = mg (2) (b) Fazendo (1) ÷ (2) obtemos: tan θ = v2 Rg ⇒ R= ( 200 m / s ) 2 v2 = ≅ 5330 m g tan θ 10 m / s 2 × 3 4 3.9 Problemas Propostos Prob. 3.1 Três astronautas, impulsionados por mochilas a jato, empurram e guiam um asteróide de 120 kg em direção a uma plataforma de processamento, exercendo as forças mostradas na Fig. 3.11. Qual é a aceleração do asteróide (a) na notação de vetor unitário e como (b) um módulo e (c) uma direção? Prob. 3.2 Uma garota de 40 kg e um trenó de 8,4 kg estão sobre o gelo sem atrito de um lago congelado, a uma distância de 15 m um do outro mas unidos por uma corda de massa desprezível. A garota exerce uma força horizontal de 5,2 N sobre a corda. (a) Qual é a aceleração do trenó? (b) Qual é a aceleração da garota? (c) A que distância da posição inicial da garota eles se encontram? Prob. 3.3 Dois blocos estão em contato sobre uma mesa sem atrito. Uma força horizontal é aplicada ao bloco maior, como mostrado na Fig. 3.12. (a) Se mt = 2,3 kg, m2 = 1,2 kg e F = 3,2 N, ache o módulo da força entre os dois blocos, (b) Mostre que se uma força de mesmo módulo F for aplicada ao bloco menor mas no sentido contrário, o módulo da força entre os blocos será 2, l N, que não é o mesmo valor calculado em (a), (c) Explique a diferença. Prob. 3.4 Um trabalhador arrasta um caixote pelo piso de uma fábrica puxando uma corda presa ao caixote (Fig. 3.13). O trabalhador exerce uma força de 450 N sobre a corda, que está inclinada de 37° em relação à horizontal, e o piso exerce uma força horizontal de 125 N que se opõe ao movimento. Calcule o módulo da aceleração do caixote se (a) a sua massa for de 310 kg e (b) o seu peso for de 310 N (use sen 37º = 0,6). Prob. 3.5 Um piloto de 60 kg com sua motocicleta acelera a 3 m/s2 para subir uma ladeira inclinada 10° acima da horizontal, (a) Qual é o módulo da força resultante agindo sobre o motoqueiro? (b) Qual é o módulo da força que a motocicleta exerce sobre o motoqueiro? Prob. 3.6 Na Fig. 3.14, uma caixa de lápis de 1 kg sobre um plano inclinado de 30° sem atrito está ligada a uma caixa de canetas de 3 kg sobre uma superfície horizontal sem atrito. A roldana não possui atrito nem massa, (a) Se o módulo de F for 2,3 N, qual é a tração no fio de ligação? (b) Qual é o maior valor que o módulo de F pode ter sem que o fio de ligação fique frouxo? Prob. 3.7 Um balão de ar quente de massa M está descendo na direção vertical com aceleração para baixo de módulo a. Quanto de massa (lastro) deve ser jogada fora para dar ao balão uma aceleração para cima de módulo a (mesmo módulo, mas no III.10 sentido contrário)? Suponha que a força para cima do ar (a sustentação) não se altera por causa da redução na massa. Prob. 3.8 Uma força horizontal F de módulo igual a 12 N empurra um bloco que pesa 5 N contra uma parede vertical (Fig. 3.15). O coeficiente de atrito estático entre a parede e o bloco é de 0,60, e o coeficiente de atrito cinético é de 0,40. Suponha que o bloco não esteja se movendo inicialmente, (a) O bloco irá se mover? (b) Qual é a força da parede sobre o bloco, na notação de vetor unitário? Prob. 3.9 Os blocos A e B da Fig. 3.16 pesam 44 N e 22 N, respectivamente, (a) Determine o peso mínimo do bloco C para impedir que o bloco A deslize se µ e, entre o bloco A e a mesa for de 0,20. (b) O bloco C é removido subitamente de cima do bloco A. Qual será a aceleração do bloco A se µ d entre A e a mesa for de 0,15? Prob. 3.10 Um bloco de 3,5 kg é puxado sobre uma superfície horizontal por unia força F de intensidade igual a 15 N que faz um ângulo θ = 37º acima da horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o piso é de 0,2. Calcule a intensidade (a) da força de atrito que o piso exerce sobre o bloco e (b) a aceleração do bloco. (use sen 37º = 0,6) Prob. 3.11 O corpo A da Fig. 3.17 pesa 100 N e o corpo B, 30 N. Os coeficientes de atrito entre A e a rampa são µ e = 0,5 e µ d = 0,25. O ângulo θ é igual a 37°. Encontre a aceleração de A (a) se A estiver inicialmente em repouso, (b) se A estiver inicialmente se movendo para cima da rampa e (c) se A estiver inicialmente se movendo para baixo da rampa. (use sen 37º = 0,6) Prob. 3.12 Na Fig. 3.17, dois blocos estão ligados por um fio que passa por uma polia. A massa do bloco A é igual a 10 kg e o coeficiente de atrito cinético entre A e a rampa é de 0,20.0 ângulo B de inclinação da rampa é igual a 30°. O bloco A desliza para baixo da rampa com velocidade constante. Qual é a massa do bloco B? Prob. 3.13 Os dois blocos (com m = 2 kg e M = 10 kg) mostrados na Fig. 3.18 não estão presos um ao outro. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é µe = 0,4, mas a superfície embaixo do bloco maior é lisa. Qual é a menor intensidade da força horizontal F necessária para evitar que o bloco menor escorregue para baixo do bloco maior? Prob. 3.14 Na Fig. 3.19, uma caixa de formigas fêmeas (massa total m1 =1,5kg) e uma caixa de formigas machos (massa total m2 = 3 kg) descem um plano inclinado, ligadas por uma haste de massa desprezível paralela ao plano. O ângulo da rampa é θ = 30º. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa de formigas fêmeas e o plano é µ1 = 0,2; o coeficiente entre a caixa de formigas machos e o plano é µ2 = 0,1. Calcule (a) a tração na haste e (b) a aceleração comum às duas caixas, (c) Como as respostas para (a) e (b) mudariam se a caixa das formigas machos estivesse atrás da caixa de formigas fêmeas? Prob. 3.15 Como mostrado na Fig. 3.20, uma bola de 2kg está ligada, por dois fios de massa desprezível, a uma haste vertical que está girando. Os fios estão ligados à haste e estão esticados. A tração no fio de cima é de 50. (a) Desenhe o diagrama de corpo livre para a bola. (b) Qual é a tração no fio de baixo? (c) Qual é a força resultante sobre a bola e (d) qual a velocidade da bola? III.11