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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
30 de Junho de 2004, a` s 4:21 a.m.
Exerc´ıcios Resolvidos de Teoria Eletromagn´etica Jason Alfredo Carlson Gallas Professor Titular de F´ısica Te´orica Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a SEGUNDA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conte´udo 28 Corrente e Resistˆencia 28.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . .
2 2 2
28.2.1 28.2.2 28.2.3 28.2.4
Corrente el´etrica . . . . . . . . Densidade de corrente . . . . . Resistˆencia e resistividade . . . Energia e potˆencia em circuitos el´etricos . . . . . . . . . . . . .
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28 Corrente e Resistˆencia E 28-3.
28.1 Quest˜oes
Uma esfera condutora isolada tem um raio de cm. Um fio transporta para dentro dela uma corrente de Q 28-1. A. Um outro fio transporta uma corrente de No estado estacion´ario n˜ao pode existir nenhuma carA para fora da esfera. Quanto tempo levaria ga livre no interior da superf´ıcie fechada. Portanto, a para que o potencial da esfera sofresse um aumento de taxa de variac¸a˜ o da carga que entra (corrente que entra) V? deve ser exatamente igual a` corrente que sai. Ou seSuponha que a carga na esfera aumente de num ao longo da superf´ıcie externa ja, a integral de tempo . Ent˜ a o neste tempo seu potencial aumenta do corpo e´ igual a zero. Isto ser´a sempre verdade, in, onde e´ o raio da esfera. Isto dependentemente do n´umero de condutores que entram de significa que . ou que saem da superf´ıcie considerada. Como a Lei de Por´ e m . Portanto entra sai Gauss tamb´em pode ser aplicada no estado estacion´ario, conclu´ımos que o fluxo el´etrico tamb´em n˜ao pode variar atrav´es da superf´ıcie externa do corpo. entra entra sai sai m V Q 28-19. F/m A A Este aparente paradoxo possui soluc¸a˜ o trivial. Vocˆe
FGHH!H FGHHH -H
IE$ I +' I JIE$ 5KHL@MONP8 P IE$% QHL@MON@P)I IE$4 "5K R 8SIT' IT'U IER $ L@M N P#R I 5VZ[ \ A 5VW:X 8]59:8Y59HHH !H 8 R 8 W: ; \ =_^ s :
n˜ao pode comparar situac¸o˜ es diferentes, ou seja, vocˆe deve especificar a(s) grandeza(s) que permanece(m) constante(s) em cada situac¸a˜ o concreta. Mantendo-se fixo, a potˆencia varia de acordo com a relac¸a˜ o . Mantendo-se fixo, a potˆencia varia 28.2.2 Densidade de corrente de acordo com a relac¸a˜ o . Caso ocorra uma variac¸a˜ o simultˆanea de e de , a potˆencia s´o pode E 28-5. ser determinada mediante o c´alculo integral; neste caso, ´ıons positivos duplamente carvocˆe n˜ao poder´a usar nenhuma das duas relac¸o˜ es ante- Um feixe cont´em regados por cm , todos movendo-se para o norte com riores. velocidade de m/s. (a) Quais s˜ao o m´odulo, a direc¸a˜ o e o sentido da densidade de corrente ? (b) Podemos calcular a corrente total neste feixe de ´ıons? 28.2 Problemas e Exerc´ıcios Em caso negativo, que informac¸o˜ es adicionais s˜ao ne28.2.1 Corrente el´etrica cess´arias?
E 28-1.
!B T` ^ ab
Uma corrente de A percorre um resistor de durante minutos. (a) Quantos coulombs e (b) quantos el´etrons passam atrav´es da secc¸a˜ o transversal do resistor neste intervalo de tempo?
(a) A magnitude da densidade de corrente e´ dada por c & d@$eHf , onde d e´ o n´umero de part´ıculas por unidade de volume, $ e´ a carga de cada part´ıcula, e eHf e´ a velocidade de deriva das part´ıculas. A concentrac¸a˜ o das part´ıculas e´ d g!h i` cm =j^k g!h il?nm m =_^ a carga e´ $; ,!#0T ,!W59: ; oW=p?7A C 8q DrS: !H; o>=@?9A C, e a velocidade de deriva e´ % \ b m/s. Portanto c 5V!E \ ?9m m =j^8Y5srW:t!E \ =@?9A C8#uG% <- bSv wx W: A/m :
(a) A carga que passa atrav´es de qualquer secc¸a˜ o transversal e´ o produto da corrente e o tempo. Como minutos correspondem a segundos, teC. mos (b) O n´umero de el´etrons e´ dado por , onde e´ a magnitude da carga de um el´etron. Portanto Como as part´ıculas est˜ao carregadas positivamente, a C C densidade de corrente est´a na mesma direc¸a˜ o do moel´etrons. vimento: para o norte.
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(b) A corrente n˜ao pode ser calculada a menos que a a´ rea e, portanto, da secc¸a˜ o transversal seja conhecida. Se o for, podemos determinar a corrente total usando a equac¸a˜ o .
y c%z
. !Hn 0 e : Para determinar este valor de . falta-nos apenas determinar a velocidade e . Para tanto, note que a massa de uma part´ıcula e´ dada por Q v v , onde v e´ a mas-
E 28-7.
Um fus´ıvel num circuito el´etrico e´ um fio cujo objetivo e´ derreter-se e, desta forma, interromper o circuito, caso sa do pr´oton. Usando o fator de convers˜ao do apˆendice a corrente exceda um valor predeterminado. Suponha F para passar MeV para Joules, temos: que o material que comp˜oe o fus´ıvel se derreta sempre que a densidade de corrente atingir A/cm . Qual o diˆametro do condutor cil´ındrico que dever´a ser usado A? para restringir a corrente a Explicitando e substituindo os dados num´ericos, obtemos o seguinte resultado m/s. Note que A magnitude da densidade de corrente e´ nestes c´ a lculos usamos as f´ o rmulas cl´ a ssicas; se vocˆe , onde e´ o raio do fio. Portanto desejar aplicar as f´ormulas relativ´ısticas, dever´a consultar o Cap´ıtulo 42 do livro-texto. Substituindo este valor na express˜ao de acima, encontramos facilmente:
S:
5sLpP 8
P
P|
}
c 3 {z
,5V!#8]57H: H!+ \ =p?7^ 8 v e ! e e; arW: HZ) %
$2 !#0
. . aW: T \ ^ part´ıculas no feixe : , o potencial solicitado e´ dado por (c) Como a !H10 !#0 # ! ; \ H : H E !E \H: E < \-=@=p?9A ?7^ M Volts :
L c
~ [L 5KEW \:t Am A/m 8 H: Z+ \ =m m : O diˆametro e´ a!#P% arW: ; <->=m m. P 28-14.
Um feixe estacion´ario de part´ıculas alfa ( ), deslocando-se com energia cin´etica constante de MeV, transporta uma corrente de A. (a) Se o feixe for dirigido perpendicularmente contra uma superf´ıcie plana, quantas part´ıculas alfa atingir˜ao a su- 28.2.3 Resistˆencia e resistividade perf´ıcie em segundos? (b) Num instante qualquer, quantas part´ıculas existem em cm de comprimen- E 28-17. to do feixe? (c) Qual foi a diferenc¸a de potencial necess´aria para acelerar cada part´ıcula alfa, a partir do re- Um fio condutor tem diˆametro de mm, um comprimento de m e uma resistˆencia de . Qual e´ a pouso, levando-a a uma energia de MeV? resistividade do material? (a) A corrente transportada e´ dada por A a´ rea da secc¸a˜ o transversal e´ C/s. Uma vez que cada part´ıcula transporta uma carga igual a , o n´umero de part´ıculas que atingem a sum m perf´ıcie em trˆes segundos e´ dado por
S: !
r
!#
!#
!#0
!H
d
) a!>:t
E>=j
d !H '0 WE! :t!H \+H <: ;- \>=j4 =@ i?9rA *!>: r#; <- ? part´ıculas : (b) Seja . o n´umero de part´ıculas existentes no comprimento g!H cm do feixe. A corrente e´ dada por $' !H 0 . e #! 0- e. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
!
# v
z QL4P aL[5sW:tE \ =j^ 8 * C>: T \ =_ :
Portanto, a resistividade e´
\ z
5 # ; \ =j^ q8]! 5C>m: E <- =j m 8 !E \ =_` m :
E 28-18. P´agina 3 de 7
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N
Uma pessoa pode ser eletrocutada se uma corrente t˜ao onde e´ a resistˆencia original. Portanto pequena quanto mA passar perto do seu corac¸a˜ o. Um eletricista que trabalha com as m˜aos suadas faz um bom contato com os dois condutores que est´a segurando. Se a sua resistˆencia for igual a , de quanto ser´a a P 28-30. voltagem fatal?
#
!HHH
Como a diferenc¸a de potencial e a corrente est˜ao relacionadas por , onde e´ a resistˆencia do eletricista, a voltagem fatal e´ A V.
W=_^ 8]5V!HH4q8 , E 28-19.
5VH
aZ; i & a#Th: z
Dois condutores s˜ao feitos do mesmo material e tˆem o mesmo comprimento. O condutor e´ um fio s´olido e tem mm de diˆametro. O condutor e´ um tudo oco de diˆametro interno de mm e de diˆametro externo de mm. Quanto vale a raz˜ao entre as resistˆencias medidas entre as suas extremidades?
hh !
z
H! H H: r
A resistˆencia do condutor e´ dada por Uma bobina e´ formada por voltas de um fio de cobre n 16 (com diˆametro de mm) isolado numa u´ nica camada de forma cil´ındrica, cujo raio mede cm. Determine a resistˆencia da bobina. Despreze a espessura do material isolante. onde e´ o raio do condutor. Sendo e os raios interno e externo, respectivamente, do condutor , temos A resistˆencia da bobina e´ dada por , onde para sua resistˆ e ncia a equac¸a˜ o e´ o comprimento do fio, a resistividade do cobre, e e´ a a´ rea da secc¸a˜ o transversal do fio. Como cada volta do fio tem comprimento , onde e´ o raio da bobina,
-!
{z
z !LpP P ,5V!#8Y5V!#LpP8B D5V!#8]5V!#L8]5VW:X-! m8 DW:t m : Sendo P o raio do fio, a a´ rea da sua secc¸a˜ o transversal z
e´ ,LpP DL5VW: [ o->=j^ m 8 H: rHr o>=j m . Da Tabela 28-1 tiramos que a resistividade do cobre e´ m. Portanto, finalmente,
H: HZE \W=_` z 57H: HZE <- =j` m8Y59- HW:t m8 * !>: h: H: rHrE \ =_ m E 28-27.
¡ F pL P
P
P-¢ P-£
¡ : L5KP £ R P ¢ 8
A raz˜ao procurada e´ , portanto,
R P ¢ P £ P 59H: mm5VW8 :t R mmV5 W8 :t WW:¤:t!HC# arS:
\
mm
8
P 28-36. Um fio cuja resistˆencia e´ igual a e´ esticado de tal forma que seu novo comprimento e´ trˆes vezes seu com- Quando uma diferenc¸a de potencial de V e´ aplicada primento inicial. Supondo que n˜ao ocorra variac¸a˜ o na atrav´es de um fio cujo comprimento mede m e curesistividade nem na densidade do material durante o jo raio e´ de mm, a densidade de corrente e´ igual a processo de esticamento, calcule o valor da resistˆencia A/m . Determine a resistividade do condutor. do fio esticado. Use , onde e´ a magnitude do campo Como a massa e a densidade do material n˜ao mudam, el´etrico no fio, e´ a magnitude da densidade de correnseu volume tamb´em permanece o mesmo. Se repre- te, e e´ a resistividade do material. O campo el´etrico e´ sentar o comprimento original, o novo comprimento, dado por , onde e´ a diferenc¸a de potencial a a´ rea original da secc¸a˜ o transversal, e a a´ rea da ao longo do fio e e´ o comprimento do fio. Portanto nova secc¸a˜ o transversal, ent˜ao e e
W: r
zN
z N z N A nova resistˆencia e´ z z r N N r
N z z z N N4 a N z N z N : rN r aZ z N N aZ N F
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H
: % -#m c ¦ ¥c ¥ ¥§
c
5s 8 c 59- m8]57H: [ =_b
(b) A mudanc¸a percentual na resistividade e´ muito maior que a mudanc¸a percentual no comprimento e na a´ rea. Mudanc¸as no comprimento e na a´ rea afetam a resistˆencia muito menos do que mudanc¸as na resistividade. P 28-42.
Um resistor tem a forma de um tronco circular reto (Fig. 28-20). Os raios da base s˜ao e e a altura e´ . (a) Seja a variac¸a˜ o de temperatura e o coePara uma inclinac¸a˜ o suficientemente pequena, podemos ficiente de expans˜ao linear do cobre. Ent˜ao, supor que a densidade de corrente e´ uniforme atrav´es e de qualquer sec¸a˜ o transversal. (a) Calcular a resistˆencia deste objeto. (b) Mostre que sua resposta se reduz a para o caso especial .
I+¨
³ ´
©
I+ª ©
IT¨ IE «© I+¨ 59:tC+ \ =_b 8q I+¨a D: + \ =jb W: HSCh¬ : z
Agora, como sabemos que a a´ rea e´ proporcional a ,
qualquer que seja o valor da constante de proporcionalidade, temos sempre que
I z z H! IE *! I+ g!©«I+¨: z Como 5 FGF 8 , uma variac¸a˜o arbitr´aria de e´ dada por I ® I %¯ I+ ¯ zI z : {z obtemos Da relac¸a˜ o facilmente que z F z§ F z R z R z : Al´em disto, da Eq. 28-16, pg. 120, sabemos que I °I+¨ , onde e´ o coeficiente de temperatura da resistividade do cobre que, segundo a Tabela 28-1, pg. 119, e´ dado por &: r; \W=_^ por grau. Portanto I ¯ IE R I z z 5s ¯ © R !©y87I+¨ 5s R ©«87I+¨ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
]z ´± g³ (a) Em cada secc¸a˜o do cone circula uma mesma corc rente , por´em a densidade e´ diferente. Chamando de µ a distˆancia a partir da face superior do cone, podemos expressar o campo el´etrico ¥ 5 µ 8 em cada secc¸a˜ o em func¸a˜ o da corrente e us´a-lo para achar a diferenc¸a de potencial total atrav´es do cone. Ent˜ao, a resistˆencia B ser´a . c Assumindo que a densidade de cada secc¸a˜ o e´ uniforc z ¸LpP c , onde P me podemos escrever [ ·¶ c e´ o raio da secc¸a˜ o. Sabemos ainda que ¸¥ 5 µ 8 .
µ Portanto, aLpP ¥ 5 8 , de onde obtemos ¥ 5 µ 8
& 5KLpP 8{: O raio P cresce linearmente com a distˆancia µ , de P% a³ para µ ¹ , at´e P< ¹´ para µ º . Assim sendo, da equac¸a˜ o da reta que passa por estes pontos, encontramos
P>5 µ B8 g³ ¯ ´ R ³ µ que, realmente, para µ a fornece P g³ enquanto que para µ 1 fornece PE ,´ . Substituindo este valor de P na express˜ao acima para o campo temos
¥ 5 µ 8B L¹» ³ ¯ ´ R ³ µS¼ = : A diferenc¸a de potencial e´ ent˜ao dada por
¾R ½o¿ ¥ N R LÀ» ³
5 µ 8) µ ¯ ´ R ³ µ¼= µ P´agina 5 de 7
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L ´ R L ´ R L ´ R L@³> ´ :
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¯ ´ R ³ µW¼ =p?>ÁÁ ¿ ³ ÁN ³ » ¼ ³ »³ R ´ ´R ³ ³ ³>´
A taxa de dissipac¸a˜ o de energia t´ermica num resistor e´ igual a W quando a corrente e´ de A. Qual e´ o valor da resistˆencia envolvida?
º J
Da f´ormula volvida e´
r
obtemos que a resistˆencia en-
-H 1H:XHqh: r
Com isto tudo, segue facilmente que a resistˆencia e´
(b) Para
´q Q³
: @L ³>´
E 28-48.
temos
z ÂL@³
!#
Uma diferenc¸a de potencial de V e´ aplicada a um aquecedor cuja resistˆencia e´ de , quando quente. (a) A que taxa a energia el´etrica e´ transformada em calor? (b) A centavos por kW h, quanto custa para operar esse dispositivo durante horas?
z F @L ³
(a) A taxa de transformac¸a˜ o de energia el´etrica em onde e´ a a´ rea do cilindro ao qual o cone calor e´ se reduz, coincidindo neste caso com a Eq. 28-15 da pag. 119, como era de se esperar. W kW
1 -!HY D-!H
28.2.4 Energia e potˆencia em circuitos el´etricos
Z
centavos kW Ã horas kW hora !H centavos :
C
Um estudande deixou seu r´adio port´atil de V e W ligado das horas a` s horas. Que quantidade de carga passou atrav´es dele?
Z
Y
:
(b) o custo de operac¸a˜ o do dispositivo e´ Custo
E 28-44.
²
P 28-56.
A corrente que circulou no r´adio era de
-!HH
Um aquecedor de W e´ cosntruido para operar sob V. (a) Qual ser´a a corrente no aqueuma tens˜ao de cedor? (b) Qual e´ a resistˆencia da bobina de aquecimenAmp`eres to? (c) Que quantidade de energia t´ermica e´ gerada pelo Portanto, a quantidade de carga que passou atrav´es do aquecedor em hora? radio em horas e´ (a) A corrente no aquecedor e´
ZC aW:¤C
:
$% Q(') ZC V5 [ ir HH
H
segundos
8 DY
kCoulombs
:
y -H !# D-W: C A :
(b) A resistˆencia da bobina de aquecimento e´ E 28-45.
C
Um determinado tubo de raios-X opera na corrente de mA e na diferenc¸a de potencial de kV. Que potˆencia em Watts e´ dissipada?
A potˆencia dissipada pelo tubo de raios-X e´
D Q gC+ \ =j^ \5VH; \ ^ 8 gH H W :
- S: lC ,S: HhhÄ -!H H - 59!H# -H8 -!#
S: Hhh:
(c) A quantidade de energia t´ermica gerada e´
¥, a *') D-!#E ir H4 aS:t+ <- J :
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P 28-58.
# H-
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Um aquecedor de Nicromo dissipa W quando a diferenc¸a de potencial aplicada e´ de V e a tempeC. Qual ser´a o valor da potˆencia ratura do fio e´ dissipada se a temperatura do fio for mantida em C pela imers˜ao num banho de o´ leo? A diferenc¸a de potencial permanece a mesma e o valor de para o Nicromo a C e´ C.
H
HH
¡Å
[ <->=_m
!#H
H
Seja a resistˆencia na temperatura mais alta ( ) e seja a resistˆencia na temperatura mais baixa ( ). Como a ddp e´ a mesma para as duas temperaturas, a potˆencia dissipada na temperatura mais baixa e´ e, analogamente, . Mas , onde . Portanto
!#H ¿ T - ¡Å ¯ ¿ ¿
¿
(a) A carga $ acelerada em cada pulso e´ dada por $T g('B *W:tE o5sW:X W=_Y8
1E >=j` C. Portanto, o n´umero . de el´etrons acelerados e´ . $0 0 ' H:E E \ <-W =_=p` ?7A CC rW:X-! \ ?G? el´etrons : (b) A carga total que passa numa secc¸a˜ o qualquer do feixe durante um intervalo de tempo e´ , onde e´ o n´umero de pulsos por unidade de tempo e e´ a carga em cada pulso. Assim, a corrrente m´edia por pulso e´
Ç 1 ad@$Ç d $ nÈ
Å TÅ -#¡Å hÅ I+¨ I+¨a Q¨ R ¨ R H ¿ È Ç &d$4 "5VHH w =p? 8]5V[ <- =_` C8 g!q A : ¿ ¡Å Å ¡Å ¯ hÅ +I ¨ Å ¯ IT¨ i 0 , onde e´ a (c) A voltagem aceleradora e´ energia cin´etica final de um el´etron. Portanto # W Q H : ¯ 5s \ =_m 8]5 R H8 # MeV a# M Volts : 0 -0 Com isto, a potˆencia por pulso e´
1 Q aW:tE \5#; \ 8 g!
P 28-60.
MW
F
Um acelerador linear produz um feixe pulsado de el´etrons. A corrente do pulso e´ de A e a sua durac¸a˜ o que e´ a potˆencia de pico. A potˆencia m´edia por pulso e´ de s. (a) Quantos el´etrons s˜ao acelerados por (i.e. por segundo) e´ pulso? (b) Qual e´ a corrente m´edia de uma m´aquina operando a pulsos por segundo? (c) Se os el´etrons W kW forem acelerados at´e uma energia de MeV, quais ser˜ao as potˆencias m´edia e de pico desse acelerador?
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