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PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson
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Última atualização: 28/11/2006 15:00 H
23 - Campo Magnético
Fundamentos de Física 2 Halliday, Resnick, Walker 4ª Edição, LTC, 1996 Cap. 30 - O Campo Magnético
Física 2 Resnick, Halliday, Krane 4ª Edição, LTC, 1996 Cap. 34 - O Campo Magnético
Física 2 Resnick, Halliday, Krane 5ª Edição, LTC, 2003 Cap. 32 - O Campo Magnético
Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006)
Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FUNDAMENTOS DE FÍSICA 3
CAPÍTULO 30 - O CAMPO MAGNÉTICO
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS 01 11 21 31 41 51 61 71 81 91
02 12 22 32 42 52 62 72 82 92
03 13 23 33 43 53 63 73 83 93
04 14 24 34 44 54 64 74 84 94
05 15 25 35 45 55 65 75 85 95
06 16 26 36 46 56 66 76 86 96
07 17 27 37 47 57 67 77 87 97
08 18 28 38 48 58 68 78 88 98
09 19 29 39 49 59 69 79 89 99
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
[Início documento] [Início seção]
[Início documento]
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RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 3
CAPÍTULO 34 - O CAMPO MAGNÉTICO
PROBLEMAS 01 11 21 31 41 51 61
02 12 22 32 42 52 62
03 13 23 33 43 53 63
04 14 24 34 44 54 64
05 15 25 35 45 55
06 16 26 36 46 56
07 17 27 37 47 57
08 18 28 38 48 58
09 19 29 39 49 59
10 20 30 40 50 60
[Início documento]
07. Um elétron tem velocidade v = 40i + 35j km/s, num campo magnético uniforme. Sabendo-se que Bx = 0, calcule o campo magnético que exerce sobre o elétron uma força F = −4,2i + 4,8j fN. (Pág. 149) B
Solução. A força magnética é dada pela expressão: F = qv × B Podemos desenvolver a expressão acima, substituindo-se o valor dado de v e uma expressão genérica para B (lembre-se que Bx = 0): B
F = q ( vx i + v y j) × ( By j + Bz k )
Operando-se o produto vetorial, teremos: F = q ( v y Bz i − vx Bz j + vx By k )
Como a expressão da força dada no enunciado não possui componente k, temos: F = q ( v y Bz i − vx Bz j)
Substituindo-se por valores numéricos: F = ( −1, 60 ×10−19 C ) ⎡⎣( 35 ×103 m/s ) Bz i − ( 40 ×103 m/s ) Bz j⎤⎦ F = ( −5, 60 ×10−15 C.m/s ) Bz i + ( 6, 40 ×10 −15 C.m/s ) Bz j
Comparando-se com o valor dado de F:
F = ( −4, 2 ×10 −15 N ) i + ( 4,8 ×10 −15 N ) j
Conclui-se que:
( −4, 2 ×10
−15
N ) = ( −5, 60 ×10 −15 C.m/s ) Bz
Bz = 0, 75 T ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 34 – O Campo Magnético Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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Como B só possui componente em z, temos:
B = ( 0, 75 T ) k [Início seção]
[Início documento]
10. Um elétron tem uma velocidade inicial de 12,0j + 15,0k km/s e uma aceleração constante de (2,00 × 1012 m/s2)i no interior de uma região onde existem um campo elétrico e um campo magnético uniformes. Determine o campo elétrico E, sabendo-se que B = 400i μT. (Pág. 150) Solução. A força resultante F sobre o elétron é a soma da força elétrica FE com a força magnética FB. F = FE + FB = mea B
qE + qv × B = mea E=
me a − v×B q
Substituindo-se por valores numéricos:
( 9,11×10 kg ) 2, 00 ×10 m/s i − E= ( ) ( −1, 60 ×10 C ) − ⎡⎣(12, 0 ×10 m/s ) j + (15, 0 ×10 m/s ) k ⎤⎦ × ( 400 ×10 −31
12
2
−19
3
3
−6
T) i
E = − (11,3875" N/C ) i − ⎡⎣( 6, 00 N/C ) j − ( 4,80 N/C ) k ⎤⎦
E ≈ ( −11, 4i − 6, 00 j + 4,80k ) N/C [Início seção]
[Início documento]
12. Um elétron com 1,22 keV está circulando num plano ortogonal a um campo magnético uniforme. O raio da órbita é 24,7 cm. Calcule (a) a velocidade escalar do elétron, (b) o campo magnético, (c) a freqüência de revolução e (d) o período. (Pág. 150) Solução. [Início seção]
[Início documento]
15. Uma partícula alfa (q = +2e, m = 4,0 u) se move em uma trajetória circular com 4,5 cm de raio, num campo magnético com B = 1,2 T. Calcule (a) sua velocidade escalar, (b) seu período de revolução, (c) sua energia cinética em eV e (d) a diferença de potencial necessária para que a partícula alcance essa energia. (Pág. 150) Solução. (a) A força magnética FB que atua sobre a partícula assume a função da força centrípeta Fc do movimento circular. Logo: Fc = FB B
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mv 2 = 2evB r
−19 2erB 2 (1, 60 ×10 C ) ( 0, 045 m )(1, 20 T ) v= = = 2, 6024" ×106 m/s −27 m ( 6, 64 ×10 kg )
v ≈ 2, 6 ×106 m/s
(b) O período de revolução da partícula vale: T=
2π ( 0, 045 m ) 2π r = = 1, 0864" ×10−7 s 6 v " 2, 6024 m/s ×10 ( )
T ≈ 0,11 μ s
(c) A energia cinética da partícula vale: 2 1 1 K = mv 2 = ( 6, 64 ×10−27 kg )( 2, 6024" ×106 m/s ) = 2, 2484" ×10−14 J 2 2 eV K = 2, 2484" ×10−14 J × 6, 242 ×1018 = 1, 4034" ×105 eV J K ≈ 0,14 MeV (d) A diferença de potencial necessária para que a partícula alfa atinja a energia K é dada pela razão entre a energia da partícula, representada por K e a sua carga q: −14 K K ( 2, 2484" ×10 J ) ΔV = = = = 70262," V q 2e 2 (1, 60 ×10−19 C )
ΔV ≈ 70 kV [Início seção]
[Início documento]
16. Um feixe de elétrons, cuja energia cinética é K, emerge de uma lâmina fina na “janela” da extremidade do tubo de um acelerador. Existe uma placa de metal, perpendicular à direção do feixe emergente, a uma distância d desta janela. Veja Fig. 30. (a) Mostre que podemos evitar que o feixe colida com a placa aplicando um campo magnético B, tal que
B≥
2mK , e2 d 2
onde m e e são a massa e a carga do elétron. (b) Qual deve ser o sentido de B?
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y z
x
(Pág. 150)
Solução. (a) Para seguir a trajetória descrita no esquema acima, o feixe de elétrons deve interagir com um campo magnético B que tenha a direção +z. A trajetória será circular com raio d e força centrípeta Fc igual à força magnética FB sobre os elétrons. Fc = FB B
mv 2 = evB d mv B= ed m2v 2 e2 d 2 A velocidade v dos elétrons pode ser obtida a partir da energia cinética K: 1 K = mv 2 2 2K v2 = m Substituindo-se (2) em (1): B2 =
(1)
(2)
⎛ 2K ⎞ m2 ⎜ ⎟ ⎝ m ⎠ = 2mK B2 = e2 d 2 e2 d 2 2mK (3) ed Para este valor de campo magnético o feixe de elétrons irá tangenciar a placa metálica. Um valor maior de B aumentará a força centrípeta que, por sua vez, reduzirá o raio da trajetória circular. Isto fará com que o feixe se afaste da placa metálica. Portanto, valores maiores de B, dado por (3) também são soluções para este problema. Logo: B=
2mK ed (b) Vetor campo magnético: B≥
B=
2mK k ed
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[Início documento]
22. A Fig. 32 mostra um dispositivo usado para medir as massas dos íons. Um íon de massa m e carga +q é produzido basicamente em repouso pela fonte S, a partir de uma descarga através do gás no interior de uma câmara. O íon é acelerado por uma diferença de potencial V e penetra um campo magnético B. Ele se move no interior do campo em semicírculo, colidindo com uma chapa fotográfica a uma distância x da fenda de entrada. Mostre que a massa m do íon é dada por m=
B2q 2 x ., 8V
(Pág. 150) Solução. O movimento do íon no interior da câmara é circular, sendo que a força centrípeta Fc é a força magnética FB: Fc = FB B
mv 2 mv 2 2mv 2 = = = qvB x r x 2 qB m= x 2v q2 B2 2 x (1) 4v 2 Agora precisamos determinar a velocidade do íon na câmara. No início do experimento, o íon parte do repouso e é acelerado pela diferença de potencial V. O íon fica sujeito a um movimento com aceleração constante, que pode ser descrito por: m2 =
v 2 = v02 + 2ad
(2)
Na Eq. (2), a velocidade inicial v0 é zero, pois o íon parte do repouso. A aceleração a pode ser obtida por meio da seguinte operação, onde FE é a força elétrica que age no íon, E é o campo elétrico na região onde o íon é acelerado e d é a distância que o íon percorre durante o tempo de aceleração: ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 34 – O Campo Magnético Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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V q FE qE qV a= = = d = m m m md Substituindo-se (3) em (2): qV 2qV v2 = 2 d= md m Substituindo-se (4) em (1): m2 =
(3)
(4)
q2 B2 2 x 2qV 4 m
qB 2 2 m= x 8V [Início seção]
[Início documento]
25. Uma partícula neutra está em repouso num campo magnético uniforme de módulo B. No instante t = 0 ela decai em duas partículas carregadas de massa m cada uma. (a) Se a carga de uma das partículas é +q, qual a carga da outra? (b) As duas partículas saem em trajetórias distintas situadas num plano perpendicular a B. Momentos depois as partículas colidem. Expresse o tempo, desde o decaimento até a colisão, em função de m, B e q. (Pág. 151) Solução. [Início seção]
[Início documento]
26. Um dêuteron se desloca no campo magnético de um cíclotron percorrendo uma órbita de 50 cm de raio. Devido à leve colisão com um alvo, o dêuteron se divide em um próton e u nêutron, com uma perda de energia cinética desprezível. Discuta os movimentos subseqüentes de cada partícula. Suponha que, na quebra, a energia do dêuteron seja igualmente dividida pelo próton e pelo nêutron. (Pág. 151) Solução. [Início seção]
[Início documento]
27. (a) Qual a velocidade escalar que um próton necessitaria para circular a Terra na altura do equador, se o campo magnético da Terra é sempre horizontal e perpendicular ao equador naquela região? Devem ser considerados os efeitos relativísticos. Admita que o módulo do campo magnético da Terra, na altura do equador é 41 μT. (b) Represente os vetores velocidade e campo magnético que correspondem a essa situação. (Pág. 151) Solução. [Início seção]
[Início documento]
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33. Calcule a distância total percorrida por um dêuteron, num cíclotron, durante o processo de aceleração. Suponha que o potencial entre os dês é de 80 kV, o raio dos dês, 53 cm, e a freqüência do oscilador, 12 MHz. (Pág. 151) Solução. Nossa abordagem consiste em somar o comprimento de cada uma das trajetórias percorridas pelo dêuteron no ciclotron. Considere o seguinte esquema: v4 r3
v2 r4
s4
r2 s2
r1 s1 v0
s3
v1 v3
d A trajetória total (S) do dêuteron consiste na soma de N trajetórias parciais si (s1, s2, ..., sN), que correspondem cada uma delas a meias circunferências, cada qual com raio ri (r1, r2, ..., rN). Logo: N
N
N
i =1
i =1
i =1
S = ∑ si = ∑ π ri = π ∑ ri
(1)
O raio de cada trajetória pode ser obtido pela análise da freqüência natural f de rotação da carga no interior do cíclotron, em que T é o período (constante) de rotação: 1 v f = = T 2π r v r= 2π f O valor de cada raio ri (r1, r2, ..., rN) depende do valor correspondente de cada velocidade vi (v1, v2, ..., vN). Logo: v ri = i (2) 2π f Substituindo-se (2) em (1): N v 1 S =π∑ i = 2f i =1 2π f
N
∑v i =1
i
(3)
Agora só falta determinar vi e N para completar o cálculo. Supondo que o dêuteron parte do repouso (v0 = 0) a partir do centro do cíclotron, a velocidade v1 será dada por: v12 = v02 + 2ad
(4)
Nesta equação, a é a aceleração sofrida pelo dêuteron a cada passagem pela zona central do cíclotron, onde o campo elétrico atua sobre ele, e d é a distância de separação dos dês. A aceleração pode ser obtida a partir da força elétrica, por aplicação da segunda lei de Newton: ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 34 – O Campo Magnético Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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FE = ma qE = q
V = ma d
qV md Substituindo-se (5) em (4): a=
v1 = v02 +
(5)
2qV m
O valor de v1 é: v1 = 0 +
2qV = m
2 (1, 60 × 10−19 C )( 80 ×103 V )
( 3,34 ×10
−27
kg )
= 2, 76851" × 106 m/s
De forma geral, teremos:
2qV m Vamos analisar uma pequena série de valores de v: vi = vi2−1 +
v2 = v12 +
2qV 2qV 2qV 4qV 2qV = + = = 2 = v1 2 m m m m m
2qV 4qV 2qV 6qV 2qV = + = = 3 = v1 3 m m m m m E assim por diante. Logo: v3 = v22 +
vi = v1 i
(5)
A maior velocidade que o dêuteron poderá atingir será vN, o que corresponderá a um raio rN, que é conhecido, pois é o próprio raio do cíclotron. Podemos aplicar este raciocínio combinando as Eqs. (2) e (5): rN =
vN v N = 1 2π f 2π f
2 6 4π 2 f 2 rN2 4π (12 ×10 Hz ) ( 0,53 m ) N= = = 208,34" meias-voltas 2 v12 ( 2, 76851"×106 m/s ) 2
2
N ≈ 208 meias-voltas Finalmente podemos calcular a trajetória total substituindo (5) em (3): 1 S= 2f
N
v v1 i = 1 ∑ 2f i =1
( 2, 76851"×10 m/s ) ∑ i = 2 (12 ×10 Hz ) ( 2006,89") = 231,504" m 6
208
6
i =1
S ≈ 230 m [Início seção]
[Início documento]
38. Mostre que a razão entre o campo elétrico Hall E e o campo elétrico Ec, responsável pela corrente, é ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 34 – O Campo Magnético Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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E B , = Ec neρ onde ρ é a resistividade do material. (b) Calcule numericamente a razão, no Exemplo 3. Veja Tabela 1, no Cap. 32. (Pág. 152)
+ + +
+ +
+
+ +
E
+ +
+ +
+ +
+
FB +
−
FE +
Ec vd
+
+ + + +
+ + + +
+ +
+
+
Solução. Considere o seguinte esquema: i
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
B
Quando uma corrente elétrica i trafega por uma chapa metálica sujeita a um campo magnético B ortogonal à chapa, uma força magnética FB atua sobre os elétrons, forçando-os para uma das laterais da chapa (direita, no esquema acima), sendo que o lado oposto fica carregado positivamente. A separação das cargas gera um campo elétrico (campo elétrico Hall, E) que também age sobre os elétrons, por meio de uma força elétrica FE, forçando-os no sentido oposto ao da força magnética. No equilíbrio eletromagnético, teremos: FE = FB B
eE = evd B E = vd B
(1)
Na expressão acima, e é carga dos elétrons e vd é a velocidade de deriva dos elétrons na chapa metálica, que está relacionada com a densidade de corrente J por meio da seguinte expressão: E J = nevd = c
ρ Na expressão acima, Ec é o campo elétrico que age na direção da corrente elétrica, sendo este campo o responsável pela corrente, n é o número de portadores de carga por unidade de volume e ρ é a densidade de corrente. Resolvendo-se para Ec: Ec = neρ vd (2) Dividindo-se (1) por (2): E B = Ec neρ [Início seção]
[Início documento]
39. Uma tira de metal de 6,5 cm de comprimento por 0,88 cm de largura e 0,76 mm de espessura se desloca, com velocidade constante v, por um campo magnético B = 1,2 mT perpendicular à tira, conforme ilustra a Fig. 34. Uma diferença de potencial de 3,9 μV é medida entre os pontos x e ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 34 – O Campo Magnético Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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y. Calcule a velocidade escalar v.
(Pág. 152)
+ + +
+ +
+ +
+
+ +
+
+
+ +
+
Solução. Considere o seguinte esquema: v
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
E
+
+
FB +
−
FE
+
+
+
+
v
V d A ação do campo magnético (B) sobre os elétrons de condução da tira de metal resulta numa força magnética (FB) sobre os mesmos, dada por: FB = qv × B B
Pela regra da mão direita, FB tem sentido apontando de x para y, ao longo da largura da fita (lembrese que elétrons têm carga negativa, que deve ser levado em conta na equação acima). O acúmulo de elétrons do lado direito da tira de metal gera um campo elétrico (E) cuja força (FE) sobre os elétrons, no equilíbrio, deve ser igual à força magnética. FE +FB = 0 B
qE + qv × B = 0
E = −v × B O módulo do campo elétrico, que é a razão entre a diferença de potencial V entre as laterais da tira de largura d, é dado por: V E = = vB d Logo: V v= Bd ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 34 – O Campo Magnético Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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v=
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3,9×10-6 V = 0,3693" m / s (1,2×10-3T).(8,8×10-3m)
v ≈ 37 cm/s [Início seção]
[Início documento]
41. Um fio rígido de 62,0 cm de comprimento e 13,0 g de massa está suspenso por um par de fios flexíveis, num campo magnético de 440 mT. Determine a intensidade e o sentido da corrente no fio rígido, necessários para anular a tensão nos fios flexíveis de suporte. Veja Fig. 35.
(Pág. 152) Solução. [Início seção]
[Início documento]
42. Um fio de metal de massa m desliza, sem atrito, sobre dois trilhos horizontais separados por uma distância d, conforme vemos na Fig. 36. Os trilhos estão num campo magnético uniforme vertical B. Uma corrente constante i, fornecida por um gerador G, passa de um trilho para o outro através do fio de metal, retornando ao gerador. Determine a velocidade (módulo e sentido) do fio em função do tempo, supondo que em t = 0 ele está em repouso.
z y
x
(Pág. 152)
Solução. Considere o esquema abaixo: B
z F
d
y x A velocidade do fio em função do tempo é dada por: v = v 0 + at i
(1)
Para o cálculo da aceleração a, primeiro precisamos da força magnética F que age sobre o fio: ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 34 – O Campo Magnético Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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F = il × B F = i ( di ) × ( Bk ) F = −idBj
Agora a aceleração pode ser obtida por meio da segunda lei de Newton: F −idB a= = j m m Lembrando que o fio parte do repouso, v0 = 0, e substituindo-se (2) em (1): ⎛ −idB ⎞ v = 0+⎜ j⎟ t ⎝ m ⎠
(2)
idBt j m Obs.: Neste cálculo foi desprezada a fem induzida devido à variação do fluxo do campo magnético através do circuito, que é provocada pelo movimento do fio. A fem induzida tem sinal contrário à fem do gerador, o que provoca a atenuação da corrente no circuito. O resultado disso é a diminuição da intensidade da força sobre o fio, com as conseqüentes alterações na aceleração e na velocidade do fio. v=−
[Início seção]
[Início documento]
43. Considere o projeto de um novo trem elétrico. A máquina seria impulsionada pela força da componente vertical do campo magnético da Terra sobre um eixo do condutor. a corrente passaria de um trilho para o outro através das rodas e do eixo condutor, retornando à fonte. (a) Qual a corrente necessária para fornecer a modesta força de 10 kN? Considere que a componente vertical do campo magnético da Terra é 10 μT e o comprimento do eixo é de 3,0 m. (b) Qual a potência dissipada em cada ohm de resistência dos trilhos? (c) Esse projeto é totalmente absurdo ou está nos limites de realização? (Pág. 152) Solução. [Início seção]
[Início documento]
44. A Fig. 37 mostra um fio de uma forma qualquer, que conduz uma corrente i entre os pontos a e b. O plano do fio é ortogonal a um campo magnético uniforme B. Prove que a força sobre o fio é a mesma, caso a corrente i fluísse entre a e b por um fio reto. (Sugestão: Substitua o fio por uma série de “degraus” paralelos e perpendiculares, à linha reta que une a e b.)
(Pág. 152) ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 34 – O Campo Magnético Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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Solução. [Início seção]
[Início documento]
46. Um bastão de cobre de 1,15 kg repousa sobre dois trilhos horizontais, separados de 95,0 cm, e conduz uma corrente de 53,2 A de um trilho para o outro. O coeficiente de atrito estático é 0,58. Determine o menor campo magnético (não necessariamente vertical) que seria capaz de fazer o bastão deslizar. (Pág. 152) Solução. Considere o esquema abaixo: z i
N
Fa
i
Fm
P
y x
i
l Para que a barra horizontal deslize, a força magnética deve ser maior do que a força de atrito estático máxima. No limiar do movimento, teremos: Fa + Fm = 0
A força de atrito estático sobre o bastão é descrita pela seguinte equação, onde μe é o coeficiente de atrito estático, m é a massa do bastão de cobre e g a aceleração da gravidade: Fa = − μe mgj Logo: Fm = −Fa = μe mgj A força magnética sobre a barra é dada por: F = il × B , onde l = li . Na equação acima, l é o comprimento da barra de cobre. Extraindo-se B de (2): il × Fm B=− 2 il
(1) (2) (3)
(4)
Substituindo-se (1) e (3) em (4) B=−
( ili ) × ( μe mgj) 2 ( il )
B=−
il μ e mg
B=−
μ e mg
( il )
2
k
k il B = 0,12946" T B ≈ 0,13 T
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47. Um condutor rígido, comprido, está na direção do eixo x e transporta uma corrente de 5,0 A, no sentido negativo de x. Um campo magnético B = 3i + 8x2j, com x em metros e B em mT, é estabelecido. Calcule a força num segmento de 2,0 m do condutor, entre os pontos x = 1,2 m e x = 3,2 m. (Pág. 153) Solução. [Início seção]
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49. Uma bobina de uma única espira forma um triângulo retângulo de lados iguais a 50 cm, 120 cm e 130 cm e conduz uma corrente de 4,00 A. A espira está num campo magnético uniforme de 75,0 mT que tem sentido idêntico ao da corrente na hipotenusa da espira. (a) Determine a força magnética em cada um dos três lados da espira. (b) Mostre que a força magnética total sobre a espira é nula. (Pág. 153) Solução. [Início seção]
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50. O raio da face de um relógio de parede circular tem 15 cm. Em volta dessa face são enroladas seis voltas de fio, que conduz uma corrente de 2,0 A no sentido horário. O relógio está dentro de um campo magnético uniforme, constante, de 70 mT (mas continua funcionando perfeitamente). Exatamente às 13:00 h, o ponteiro das horas aponta no sentido do campo magnético externo. (a) Depois de quantos minutos o ponteiro dos minutos apontará no sentido do torque provocado pelo campo magnético sobre o enrolamento? (b) Qual o módulo desse torque? (Pág. 153) Solução. (a) Considere o esquema abaixo: 12 1 B
y x
μ
R
3
+
z
θ 2
i O torque do campo magnético sobre o enrolamento é dado por: τ = μ×B
(1)
O enunciado do problema nos revela que o vetor campo magnético B aponta para o marcador “1” do relógio e, portanto, faz um ângulo de θ = 60o com a horizontal. Vetor campo magnético: B = B cos θ i + B sen θ j O momento magnético das espiras μ (direção e sentido segundo a regra da mão direita) é função no número de espiras N, da corrente i e da área do enrolamento A: μ = − NiAk Substituindo-se as expressões de μ e B em (1): ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 34 – O Campo Magnético Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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τ = ( − NiAk ) × ( B cosθ i + B sen θ j) τ = NiAB ( sen θ i − cosθ j) Considerando-se que θ = 60o, percebe-se que τ aponta para a marca “4” do relógio (veja esquema abaixo). Logo, serão necessários 20 min para que o ponteiro dos minutos atinja esta direção. 12 1 2 3
τ 4
(b) O módulo do torque vale:
τ=
( NiAB sen θ ) + ( NiAB cosθ ) 2
2
= NiAB
( sen θ ) + ( cosθ ) 2
2
= Ni (π r 2 ) B 1
τ = Nπ ir 2 B = 6π ( 2, 0 A )( 0,15 m ) ( 70 ×10−3 T ) = 0, 05937" N.m 2
τ ≈ 0, 059 N.m [Início seção]
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51. Um fio de comprimento L conduz uma corrente i. Mostre que se o fio forma uma bobina circular, o torque máximo desenvolvido por um determinado campo magnético acontece quando a bobina tem apenas uma espira e seu módulo é dado por
τ=
1 2 L iB . 4π
(Pág. 153) Solução. Como o comprimento do fio é fixo, quanto maior o número de espiras menor será a área de cada uma. O comprimento do fio (L) deve ser igual ao número de voltas (N) vezes o comprimento de cada volta (2πr). L = 2π rN L (1) r= 2π N O torque da força magnética sobre a espira vale: τ = μ×B
τ = NiABsenθ τ = Ni (π r 2 ) Bsenθ Naturalmente o ângulo θ deverá ser igual a π/2 para maximizar o torque:
τ = π Nir 2 B Substituindo-se (1) em (2):
(2)
2
⎛ L ⎞ ⎟ B ⎝ 2π N ⎠
τ = π Ni ⎜
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iL2 B 4π N Como τ ∝ 1/N, conclui-se que para maximizar o torque o número de espiras deverá ser o menor possível, ou seja, igual a 1 (N = 1).
τ=
τ=
iL2 B 4π [Início seção]
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53. A Fig. 40 mostra um fio em anel de raio a, perpendicular à direção de um campo magnético divergente, radialmente simétrico. O campo magnético tem a mesma intensidade B em todos os pontos do anel, e seu sentido faz um ângulo θ com a normal ao plano do anel em todos os pontos. A ponta torcida do fio não têm nenhum efeito sobre o problema. Se o anel conduz uma corrente i, determine o módulo e o sentido da força que o campo exerce sobre ele, conforme mostrado na figura.
(Pág. 153) Solução. Considere o seguinte esquema, que mostra a vista lateral do sistema: z dF θ B x y dl O elemento de força magnética dF que age no anel pode ser decomposta em três componentes, dFx, dFy e dFz: dF = dFx i + dFy j + dFz k A força total F é obtida por integração ao longo da circunferência do anel: F = ∫ dFx i + ∫ dFy j + ∫ dFz k
As duas primeiras integrais são nulas devido à simetria envolvida no problema. Logo: F = ∫ dFsenθ k
(1)
O elemento de força dF sobre um elemento de fio dl vale: dF = idl × B dF = idlB Substituindo-se (2) em (1): F = ∫ idlBsenθ k = iBsenθ
(2)
( ∫ dl ) k 2π a
0
F = 2π aiBsenθ k ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 34 – O Campo Magnético Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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55. A Fig. 41 mostra um cilindro de madeira com massa m = 262 g e comprimento L = 12,7 cm, com um fio enrolado longitudinalmente em volta dele, de maneira que o plano do enrolamento, com N = 13 voltas, contém o eixo do cilindro e é paralelo a um plano que tem uma inclinação θ com a horizontal. O cilindro está sobre esse plano inclinado, e o conjunto está sendo submetido a um campo magnético uniforme, vertical, de 477 mT. Qual a menor corrente que deve circular no enrolamento, de forma a evitar que o cilindro role para baixo?
(Pág. 153) Solução. Considere o seguinte esquema, que mostra as forças externas que agem sobre o cilindro: −Fm
y z
Fa
P
x
Fm
N No esquema, foram omitidas as duas forças magnéticas em z, que agem sobre os lados das espiras paralelos à pagina. Para que o cilindro não role rampa abaixo ou acima, o torque resultante em relação ao centro de massa, ou em relação ao ponto de contato do cilindro com a rampa, deve ser zero. Em relação ao centro de massa do cilindro agem apenas os torques devido à força magnética τm e à força de atrito estático τa. Logo: τm + τa = 0 (1)
Note que nem a força peso nem a normal exercem torques em relação ao centro de massa. O torque da força magnética em relação ao eixo do cilindro em z vale: τ m = μ × B = NiABsenθ k (2) O torque da força de atrito em relação ao mesmo eixo é dado por: τ a = ra × Fa
(3)
O cálculo da força de atrito pode ser feito pelas componentes das forças em x e y. Forças em x: N x − Fax = 0 ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 34 – O Campo Magnético Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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Nsenθ − Fa cosθ = 0 N=
Fa cos θ senθ
(4)
Forças em y: N y + Fay − P = 0 Ncosθ + Fa senθ = mg
(5)
Substituindo-se (4) em (5): Fa cos θ cosθ + Fa senθ = mg senθ
⎛ cos 2 θ + sen 2θ ⎞ Fa ⎜ ⎟ = mg senθ ⎝ ⎠ Fa = mgsenθ
(6)
Pode-se agora resolver (3): τ a = −rmgsenθ k
(7)
Substituindo-se (2) e (7) em (1): NiAB sen θ k − rmg sen θ k = 0 Ni (2rL ) B = rmg 2NiLB = mg
( 0, 262 kg ) ( 9,81 m/s 2 ) mg i= = = 1, 6318" A 2 NLB 2 (13)( 0,127 m )( 0, 477 T ) i ≈ 1, 63 A [Início seção]
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RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003.
FÍSICA 3
CAPÍTULO 32 - O CAMPO MAGNÉTICO
EXERCÍCIOS 01 11 21 31 41
02 12 22 32 42
03 13 23 33 43
04 14 24 34 44
05 15 25 35 45
06 16 26 36 46
07 17 27 37 47
08 18 28 38 48
09 19 29 39 49
10 20 30 40 50
07 17 27 37 47
08 18 28 38 48
09 19 29 39 49
10 20 30 40 50
PROBLEMAS 01 11 21 31 41
02 12 22 32 42
03 13 23 33 43
04 14 24 34 44
05 15 25 35 45
06 16 26 36 46
[Início documento] [Início seção]
[Início documento]
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