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Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia de Computação e Automação
FILTRO BUTTERWORTH DE 4O ORDEM TOPOLOGIA SALLEN-KEY
Discentes: Jaime Dantas e Ramon Fava Professor: Dr. Sebastian Yuri Calvancanti Catunda Disciplina: Istrumentação
Natal, 5 de novembro de 2015
Filtro Butterworth 4° Ordem – DCA/UFRN
Sumário Calculo da função transferência e dimensionamento do circuito ................................................................. 3 Simulação LTSpace ................................................................................................................................... 11 Testes em laboratório ................................................................................................................................. 12 Conclusão ................................................................................................................................................... 15 Referencias ................................................................................................................................................. 16
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Filtro Butterworth 4° Ordem – DCA/UFRN
Cálculo da função transferência e dimensionamento do circuito O nosso problema consiste na a criação de um filtro passa-baixa de quarta ordem do tipo Butterworth usando a topologia Sallen-Key. O nosso filtro tem uma frequência de corte de 5 kHz. Segundo a tabela de coeficientes de Butterworth para filtros de ordem n, para um filtro de ordem 4 os coeficientes serão: Tabela 1 –Coeficientes para Butterworth 4° order
𝒂𝒊
𝒃𝒊
Filtro 1
1,8478
1
Filtro 2
0,7654
1
𝑎! + 0,7654𝑎 + 1 ×(𝑎! + 1,8478𝑎 + 1) Portanto, nos devemos dimensionar dois filtros, pois o nosso Butterworth de quarta ordem será implementado usando dois amplificadores operacionais (dois stages) em modo cascata. FILTRO 1:
Figura 1 -‐ Filtro Butterworth de 2ª ordem
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Filtro Butterworth 4° Ordem – DCA/UFRN A função transferência para o Filtro 1 é dada por: 𝐻 𝑠 =
1 + 𝜔! 𝐶! 𝑅! + 𝑅!
𝐴! + 1 − 𝐴! 𝑅! 𝐶! 𝑠 + 𝜔!! 𝑅! 𝑅! 𝐶! 𝐶! 𝑠 !
Onde 𝐴! é o ganho do amplificador, e para esse caso será de 1. Logo, a equação acima resultara em: 𝐻 𝑠 =
1 1 + 𝜔! 𝐶! 𝑅! + 𝑅! 𝑠 + 𝜔!! 𝑅! 𝑅! 𝐶! 𝐶! 𝑠 !
A função transferência de um filtro de segunda ordem tem um formato representado pela equação abaixo 𝐻 𝑠 =
𝐴! 1 + 𝑎! 𝑠 + 𝑏! 𝑠 !
Fazendo a comparação de polinômios entre as equações acima, teremos: 𝐴! = 1; 𝑎! = 𝜔! 𝐶! 𝑅! + 𝑅! 𝑏! = 𝜔!! 𝑅! 𝑅! 𝐶! 𝐶!
Temos que chutar um valor de 𝐶! e 𝐶! para só então obtermos 𝑅! e 𝑅! usando a seguinte relação obtida manuseando as equações acima: 𝑅!,! =
𝑎! 𝐶! ± 𝑎!! 𝐶!! − 4𝑏! 𝐶! 𝐶! 4 𝜋𝑓! 𝐶! 𝐶!
Devido à necessidade de se obter valores reais para a raiz acima, 𝐶! deve obedecer à relação seguinte: 𝐶! ≥ 𝐶!
4
4𝑏! 𝑎!!
Filtro Butterworth 4° Ordem – DCA/UFRN
Determinação dos valores do Filtro 1 Para nosso projeto, escolheremos 𝐶! = 10𝑛𝐹. Logo, podemos obter 𝐶! por: 4𝑏! 10 ∗ 10!! ∗ 4 ∗ 1 𝐶! ≥ 𝐶! ! → 𝐶! = → 𝑪𝟐 = 𝟏𝟏. 𝟕 𝒏𝑭 1,8478! 𝑎! Para nosso circuito, utilizaremos a combinação de três capacitores em paralelo de 1 nF, 1 nF e 10 nF, o que resultara em 12 nF como mostra a equação abaixo. 𝐶!!" = 𝐶! + 𝐶! + 𝐶! → 𝐶!!" = 1 ∗ 10!! + 1 ∗ 10!! + 10 ∗ 10!! → 𝑪𝟐𝒆𝒒 = 𝟏𝟐 𝒏𝑭 Agora, nos temos que calcular o valor de 𝑅! e 𝑅! 𝑎! 𝐶! + 𝑎!! 𝐶!! − 4𝑏! 𝐶! 𝐶! 𝑅! = 4 𝜋𝑓! 𝐶! 𝐶! 𝑅! =
1,8478 ∗ 12 ∗ 10!! + 1,8478! ∗ 12 ∗ 10!! ! − 4 ∗ 1 ∗ 10 ∗ 10!! ∗ 12 ∗ 10!! 4 𝜋 ∗ 5000 ∗ 10 ∗ 10!! ∗ 12 ∗ 10!! 𝑅! = 3393,91 𝛺 → 𝑹𝟐 = 𝟑, 𝟑 𝒌𝜴 𝑅! =
𝑎! 𝐶! − 𝑎!! 𝐶!! − 4𝑏! 𝐶! 𝐶! 4 𝜋𝑓! 𝐶! 𝐶!
1,8478 ∗ 12 ∗ 10!! − 1,8478! ∗ 12 ∗ 10!! ! − 4 ∗ 1 ∗ 10 ∗ 10!! ∗ 12 ∗ 10!! 𝑅! = 4 𝜋 ∗ 5000 ∗ 10 ∗ 10!! ∗ 12 ∗ 10!! 𝑅! = 2487,81𝛺 → 𝑹𝟏 = 𝟐, 𝟒 𝒌𝜴 Portanto, utilizaremos dois resistores em serie para 𝑅! . FILTRO 2: Para calcularmos o Filtro 2, usaremos o mesmo raciocínio para o calculo do Filtro 1 do primeiro “stage” acima mudando apenas os valores dos coeficientes 𝑎! 𝑒 𝑏! . Para nosso projeto, escolheremos 𝐶! = 150𝑝𝐹. Logo, podemos obter 𝐶! por: 5
Filtro Butterworth 4° Ordem – DCA/UFRN 4𝑏! 150 ∗ 10!!" ∗ 4 ∗ 1 𝐶! ≥ 𝐶! ! → 𝐶! = → 𝑪𝟐 = 𝟏, 𝟎𝟐𝟒 𝒏𝑭 0,7654! 𝑎! Para nosso circuito, utilizaremos a combinação de dois capacitores em paralelo de 1 nF, 15pF e 18pF, o que resultara em 2 nF como mostra a equação abaixo. 𝐶!!" = 𝐶! + 𝐶! → 𝐶!!" = 1 ∗ 10!! + 18 ∗ 10!!" + 15 ∗ 10!!" → 𝑪𝟐𝒆𝒒 = 𝟏, 𝟎𝟑𝟑 𝒏𝑭 Agora, nos temos que calcular o valor de 𝑅! e 𝑅! 𝑅! =
𝑎! 𝐶! + 𝑎!! 𝐶!! − 4𝑏! 𝐶! 𝐶! 4 𝜋𝑓! 𝐶! 𝐶!
𝑅! =
0,7654 ∗ 1,033 ∗ 10!! + 0,7654! ∗ 1,033 ∗ 10!! ! − 4 ∗ 1 ∗ 1,033 ∗ 10!! ∗ 150 ∗ 10!!" 4 𝜋 ∗ 5000 ∗ 1,033 ∗ 10!! ∗ 150 ∗ 10!!" 𝑅! = 88717.57 𝛺 → 𝑹𝟐 = 𝟏𝟓𝟎 𝒌𝜴 ∥ 𝟐𝟐𝟎 𝒌𝜴 𝑎! 𝐶! − 𝑎!! 𝐶!! − 4𝑏! 𝐶! 𝐶! 𝑅! = 4 𝜋𝑓! 𝐶! 𝐶!
𝑅! 0,7654 ∗ 1,033 ∗ 10!! − 0,7654! ∗ 1,033 ∗ 10!! ! − 4 ∗ 1 ∗ 1,033 ∗ 10!! ∗ 150 ∗ 10!!" = 4 𝜋 ∗ 5000 ∗ 1,033 ∗ 10!! ∗ 150 ∗ 10!!" 𝑅! = 73705,35 𝛺 → 𝑹𝟏 = 𝟏𝟎𝟎𝒌𝜴 ∥ 𝟐𝟕𝟎 𝒌𝜴
Foi escolhido colocar uma combinação linear de resistores em paralelo para o “stage” 2 para que o circuito implementado na pratica fosse o mais coerente possível com o calculado. A figura abaixo representa o projeto feito no ISSIS.
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Figura 2 - Projeto implementado no ISSIS
Foram utilizado dois amplificadores operacionais tipo UA741C no projeto. Não foi utilizado o controle de saída ajustando o offset para esse projeto. A saída de resposta em frequência para o nosso projeto de filtro Butterworth de quarta ordem foi simulada usando o ISSIS e esta apresentada na figura abaixo
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Figura 3 - Resposta em frequência no ISSIS
O gráfico acima mostra que a frequência de corte do filtro (em -3dB) foi de 5,07 kHz, o que mostra que o nosso filtro esta muito bem dimensionado e planejado. O erro associado com a simulação foi de apenas 1% como mostra o calculo abaixo. %𝑒 =
5 070 𝐻𝑧 ∗ 100% = 1,01% 5000 𝐻𝑧
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Filtro Butterworth 4° Ordem – DCA/UFRN A função transferência desse filtro foi calculada em dois passos. Primeiramente calculamos a função transferência do primeiro filtro (stage 1 do filtro) que foi uma função do segundo grau. Depois nos calculamos a função transferência do segundo filtro (stage 2) que também foi uma função do segundo grau. Esses cálculos foram baseados no nosso circuito e foram feitos usando ferramentas computacionais. A função transferência que representa o nosso filtro Butterworth de quarta ordem é obtida pela multiplicação destas duas funções como apresentado abaixo. 𝑠𝑡𝑎𝑔𝑒! 𝑆 = 𝑠𝑡𝑎𝑔𝑒! 𝑆 =
𝑠!
1052188552.19 + 59974.7474747𝑠 + 1052188552.19
𝑠 !
993334575.995 + 24138.0301967𝑠 + 993334575.995
𝐻 𝑆 = 𝑠𝑡𝑎𝑔𝑒1 𝑆 × 𝑠𝑡𝑎𝑔𝑒2 𝑆 𝐻 𝑆 =
𝐻 𝑆 =
𝑠 !
993334575.995 993334575.995 × ! + 24138.0301967𝑠 + 993334575.995 𝑠 + 24138.0301967𝑠 + 993334575.995
1.04517526935644657867905 × 10!" 2
2
𝑠( + 59974.7474747𝑠 + 1052188552.19) ∗ (𝑠 + 24138.0301967𝑠 + 993334575.995)
Usando o MatLab, encontramos:
Ainda usando o MatLab, traçamos o diagrama de Bode para a resposta em frequência e em fase da função Transferência encontrada. A figura abaixo representa a gráfico feito em MatLab.
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Figura 4 – Gráfico da função transferência em MatLab
É possível notar que o gráfico de resposta em frequência e fase da nossa função transferência caracterizam bem o filtro Butterworth de quarta ordem. Para encontrar a frequência de corte, encontramos o ponto de -3dB da resposta em frequência e calculamos a frequência em Hz como mostrado abaixo:
Figura 5 - Frequência de Corte
𝒇𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆 =
𝒇𝒓𝒂𝒅 𝒔
𝟐 𝝅
→ 𝒇𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆 =
𝟑,𝟏𝟗∗𝟏𝟎𝟒 𝟐 𝝅
10
→ 𝒇𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆 = 𝟓𝟎𝟕𝟕 𝑯𝒛
Filtro Butterworth 4° Ordem – DCA/UFRN
O resultado de 𝑓!"#$% = 5077 𝐻𝑧 condiz com a realidade, já que projetamos o circuito com uma frequência de corte de 5 kHz. Além disso, a frequência simulada do circuito no ISIS ficou em 𝑓!"#$% = 5060 𝐻𝑧, ou seja, todas as frequências saíram como o esperado.
Simulação LTSpace O circuito foi simulado no programa LTSpace e os resultados estão apresentados a seguir.
Figura 6 -‐ Circuito no LTSpace
Figura 7 - Diagrama de Bode LTSpace com frequência de corte de 5077 Hz
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Testes em laboratório O circuito implementado em laboratório esta expresso na figura abaixo
Figura 8 - Projeto implementado
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Filtro Butterworth 4° Ordem – DCA/UFRN A resposta em frequencia de nosso projeto para frequências baixas está representada na figura abaixo. O gráfico verde é a saída do filtro e o amarelo é a entrada do filtro. Nela é possível notar que o nosso filtro tem ganho unitário e que nossa saída apresenta pouco ruído.
Figura 9 - Osciloscópio com f = 100 Hz
O gráfico abaixo representa a frequencia de corte do circuito. Na frequencia de corte, o sinal de saída de ser 𝑣!"# = 0,707𝑣!" . Logo, uma aproximação foi feita devida a dificuldade de setar valores teóricos esperados no sistema. Portado, a frequencia de corte para o projeto pratico foi de aproximadamente 5 kHz.
Figura 10 -‐ Frequência de corte do filtro
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Filtro Butterworth 4° Ordem – DCA/UFRN 𝑣!"# = 0,707𝑣!" → 𝑣!"# = 0,707 ∗ 2 → 𝑣!"# = 1,42 𝑉
𝒗𝒐𝒖𝒕𝑹𝒆𝒂𝒍 = 𝟏, 𝟓𝟐𝑽 𝒆𝒎 𝟓 𝒌𝑯𝒛
O ultimo teste que foi realizado foi o de corte de frequências altas. Foi colocado no gerador de sinais uma onda senoidal de 15 kHz de frequência e observado o comportamento do filtro.
Figura 11 - Resposta em Frequencia de 15kHz
Podemos observar que a saída é de apenas 800mV enquanto a entrada é de 1,88V (Para 15,2kHz). Isso demonstra a eficiência de nosso filtro, já que ele esta cortando boa parte do sinal como apresentado no diagrama de resposta em frequência da figura 3.
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Conclusão
Neste trabalho foi possível ver com mais detalhes as características de um filtro passabaixa Butterworth com topologia Sallen-Key, o qual apresenta queda acentuada a partir da frequência de corte, caindo à zero na frequência infinita. Fizemos tanto na prática como em simulações computacionais um filtro de 4ª ordem com frequência de corte de 5 kHz. A frequência de corte achada tanto nas diversas simulações, pela função transferência e experimentalmente foram próximas da que havia sido calculada. O filtro criado além de eficiente foi projetado de forma a ser o mais fiel possível a frequência de corte projetada. Entretanto, devido às imperfeições de componentes eletrônicos, houve uma pequena diferença que pode ser desconsiderada por ser próxima de 1%.
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Referencias •
INSTRUMENTS, Texas. µA741x General-Purpose Operational Amplifiers datasheet. Novembro 1970 – Revisado em Janeiro 2015.
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INSTRUMENTS, Texas. Chapter 16 Active Filter Design Techniques. PDF document from Texas Instruments. http://focus.ti.com/general/docs/lit/getliterature.tsp?literatureNumber=sloa088&fil eType=pdf
•
Okawa. Sallen-Key Low-pass Filter Design Tool - http://sim.okawa-denshi.jp/en/OPseikiLowkeisan.htm
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