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ANÁLISE MATEMÁTICA C Universidade do Minho - Azurém Departamento de Matemática para a Ciência e Tecnologia Ficha de trabalho no 2
Março/2007
Curso Mestrado Integrado em Engenharia Materiais
Funções Reais de Várias Variáveis Definição: Uma função f de n variáveis reais é uma aplicação que faz corresponder, a cada ponto (x1 , ......, xn ) de um subconjunto Df ⊂ Rn , um único número real y. f:
Rn → R (x1, ...., xn ) 7→ y = f (x1, ...., xn )
Df denomina-se domínio de f. 1. Indique o domínio de cada uma das funções: p a) f (x, y) = x2 + y 2 − 4
b) f (x, y) = ln (y − 2x − 6)
p c) f (x, y) = ln (16 − x2 − y 2 ) + x2 + y 2 − 4
d) f (x, y) =
r
e) f (x, y, z) =
f) f (x, y) =
1 sen(xy)
h) f (x, y) =
p (x2 + y 2 − 16).senx
p 1 − x2 − y 2 − z 2
g) f (x, y) = ln [(x2 − y) (x2 + y 2 − 4)] 2
1−
x2 y 2 − 4 9
p 4 − x2 − y 2 i) f (x, y) = ln (y − x2 )
2
i) f (x, y) = ln(5x − x − 6) + ln(1 − y ) Considere uma função f:
R2 → R (x, y) 7→ z = f (x, y)
O gráfico de uma função de 2 variáveis é uma superfície em R3 ,de equação z = f (x, y). Tem-se ainda: © ª Graf (f ) = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ Df e z = f (x, y) ou ª © Graf (f ) = (x, y, f (x, y)) ∈ R3 : (x, y) ∈ Df .
Nota: Compare o domínio de f com a projecção da superfície z = f (x, y) sobre o plano XOY. i
2. Represente geometricamente cada puma das seguintes funções:2 2 2 a) f (x, y) = x + y b) f (x, y) = x2 + y 2 c) f (x, y) = 4 − x − y 2
d) f (x, y) = x + y
3. Considere o gráfico da função f (x, y) = x2 +y 2 . Represente geometricamente a intersecção do gráfico de f com a) o plano Z = 4
b) o plano Z = 9.
4. Qual a projecção do gráfico da função f referida na alínea 1-a) sobre o plano XOY ?
A intersecção do gráfico de uma função de duas variáveis, z = f (x, y),com planos horizontais, z = c (c constante real) forma curvas, denominadas curvas de nível da função f . Consegue identificar as curvas de nível na planta topográfica de uma região?
5. Averigue a forma das curvas de nível das funções: a) f (x, y) = x2 + y 2 − 1 b) f (x, y) = x + y 2 c) f (x, y) =
x2 y 2 + 4 9
d) f (x, y) = x + y
A noção de limite de uma função de várias variáveis é semelhante à noção de limite para funções de uma só variável. Diz-se que f (x, y)se aproxima do limite L, à medida que (x, y) se aproxima do ponto (a, b), e escreve-se: lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) = L
se todos os pontos de uma vizinhança de (a, b), excepto possivelmente o próprio (a, b), pertencem ao domínio de f e se f (x, y) se aproxima de L quando (x, y) se aproxima de (a, b), por qualquer caminho: lim f (x, y) = L⇔ (x,y)→(a,b) ´ ³ p 2 2 ∀ε > 0∃δ > 0 : 0 < (x − a) + (y − b) < δ ∧ (x, y) ∈ Df =⇒ |f (x, y) − L| < ε Exemplo: Investigar
lim
(x,y)→(0,0) 2
f (x, y), onde f (x, y) =
2xy . x2 + y 2
-f (x, y)está definida em R \ {(0, 0)} . -Se (x, y) → (0, 0) ao longo do eixo dos XX (a recta y = 0), tem-se f (x, y) = f (x, 0) = 0. -Se (x, y) → (0, 0) ao longo do eixo dos Y Y (a recta x = 0), tem-se f (x, y) = f (0, y) = 0 2x2 -Se (x, y) → (0, 0) ao longo da recta x = y, tem-se f (x, y) = f (x, x) = 2 = 1. 2x Então, quando (x, y) → (0, 0), f (x, y) não tende para um valor único. f (x, y) aproxima-se de diferentes valores reais, conforme o caminho percorrido, logo, não existe lim f (x, y). (x,y)→(0,0)
ii
6. Estuda a existência de limite das seguintes funções, nos pontos indicados: 2 2 2x2 y 2x − y e(3x +3y ) − 1 a) lim c) lim b) lim (x,y)→(0,0) x4 + y 2 (x,y)→(0,0) x + 3y (x,y)→(0,0) 8x2 + 8y 2 ´ ³p ¶ µ 2 2 sen 9x + 9y x2 − y 2 1 2 2 p f) lim d) lim e) lim (x + y ).sen (x,y)→(0,0) x2 + y 2 (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) xy x2 + y 2 Usando a definição de limite, prova-se que, se lim
(x,y)→(a,b)
lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) = L e
g(x, y) = M, então:
a)
lim
K=K
b)
lim
(f (x, y) ± g(x, y)) = L ± M
c)
lim
f (x, y)g(x, y) = LM
d)
lim
L f (x, y) = se M 6= 0 g(x, y) M
(x,y)→(a,b)
(x,y)→(a,b)
(x,y)→(a,b)
(x,y)→(a,b)
7. Mostre que: a)
lim
(x,y)→(0,0)
3x2 y =0 x2 + y 2
b)
lim
(x,y)→(0,0)
4x3 p =0 x2 + y 2
c)
lim
(x,y)→(0,0)
Uma função diz-se contínua num ponto (a, b) do seu domínio, se lim f (x, y) = f (a, b). (x,y)→(a,b)
8. Estude a continuidade das seguintes funções: ⎧ 2xy ⎨ se (x, y) 6= (0, 0) a) f (x, y) = 5x2 − y 2 ⎩ 1 se (x, y) = (0, 0) ⎧ ⎨ x + y se (x, y) 6= (0, 0) b) f (x, y) = 5x − y ⎩ 0 se (x, y) = (0, 0) ⎧ ⎨
7x2 y se (x, y) 6= (0, 0) c) f (x, y) = x2 + y 2 ⎩ 0 se (x, y) = (0, 0)
d)f (x, y) =
½
x2 + y 2 se x2 + y 2 ≤ 1 0 se x2 + y 2 > 1
⎧ ⎨ sen(7x2 + 7y 2 ) se x2 + y 2 = 6 0 e) f (x, y) = x2 + y 2 ⎩ 7 se x2 + y 2 = 0 iii
2x2 − 3y 2 p =0 x2 + y 2
