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FEP2196 - F´ısica para Engenharia II Prova P1 - 24/09/2009
No USP: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Turma/Professor: . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assinatura: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observa¸ c˜ oes: • A prova tem dura¸c˜ao de 2 horas. • N˜ao ´e permitido o uso de calculadora. • Preencha todas as folhas, inclusive esta, com seu nome, n´ umero USP e turma, de forma leg´ıvel. • Resolva cada exerc´ıcio come¸cando na frente da folha com o mesmo n´ umero. Se necess´ario utilize o verso da folha. • Justifique todas as suas respostas com coment´arios, f´ormulas e c´alculos intermedi´arios. N˜ao esque¸ca das unidades das grandezas f´ısicas pedidas. • Apresente sua identidade ao assinar a lista de presen¸ca. • Quando nos resultados aparecerem
√
2,
√
3,
√
5, ou qualquer outra raiz que n˜ao seja de um
quadrado perfeito, deixe indicado, sem substituir por uma aproxima¸c˜ao. O mesmo aplica-se para ln 2, ln 3, ln 5 ou qualquer outro ln.
x = r cos(θ) "
d2 r ~a = −r dt2
y = r sen(θ)
dθ dt
2 #
~v =
dθ dr rˆ + r θˆ dt dt
dr dθ d2 θ ˆ rˆ + 2 +r 2 θ dt dt dt
ma~0 = F~ + F~in
F~cent = −m~ω × (~ω × r~0 )
d2 x + ω2x = 0 2 dt
x(t) = a cos(ωt) + b sen(ωt)
A=
√
a2 + b 2
arctan(ϕ) =
d2 x dx + γ + ω02 x = 0 dt2 dt
−b a
ρ γ= m
ou
ou
~v = r˙ eˆr + rθ˙ eˆθ
¨ eˆθ ~a = (¨ r − rθ˙2 ) eˆr + (2r˙ θ˙ + rθ)
F~Cor = −2m~ω × v~0 x(t) = A cos(ωt + ϕ)
− γ2 t
x(t) = A e
r cos(ωt + ϕ)
ω=
ω02 −
γ2 4
1. Um ponto move-se sobre a circunferˆencia do
2. Uma plataforma gira com velocidade constante
raio R desacelerando, de modo que no cada
ω em torno do eixo perpendicular ao seu cen-
instante os m´odulos das acelera¸c˜oes radial e
tro. O referencial girante S 0 tem origem no
transversal s˜ao iguais. Sabendo que no in-
centro da plataforma e gira com a mesma ve-
stante t = 0 a velocidade angular do ponto ´e
locidade ω. Uma mola ideal de constante k
igual ω0 encontrar, usando sistema de coor-
est´a presa na origem do referencial S 0 com
denadas polares:
uma massa M presa `a outra extremidade. A
(a) (1,0) A velocidade angular ω do ponto.
massa pode deslocar-se sem atrito apenas radialmente no interior de duas guias laterais.
(b) (0,5) A velocidade v do ponto.
Inicialmente a massa est´a presa por um pino
(c) (1,0) A acelera¸c˜ao a do ponto.
de seguran¸ca `a uma distˆancia R da origem e a mola encontra-se relaxada.
Solu¸c˜ ao: (a) (1,0) Do formul´ario: ar = r¨ − rθ˙2 rθ¨ + 2r˙ θ˙
S’
aθ =
ω
Dados: Quando t=0 ⇒ θ˙ = ω0 Da condi¸c˜ao que o m´odulo da acelera¸c˜ao radial ´e igual o modulo da acelera¸c˜ao
guia A guia B
M
K
R
O’
transversal, incontra-se que ¨ −Rθ˙2 = Rθ, ou seja ˙ −ω 2 = ω, ˙ ω = θ.
(a) (1,0) Determine a posi¸c˜ao de equil´ıbrio
Desta equa¸c˜ao encontramos que
da massa a partir da posi¸c˜ao inicial quando
1 = t + C, ω onde C ´e a constante de integra¸c˜ao, que
o pino de seguran¸ca for removido.
pode ser encontrada da conde¸c˜ao inicial: 1 ω|t=0 = = ω0 . 0+C Assim, temos para a velocidade angular θ˙ = ω =
ω0 . ω0 t + 1
(b) (0,5) Agora usando a defini¸c˜ao da velocidade em coordenadas polares encontramos que
erencial S 0 que a massa aplicar´a nas guias radiais quando passar pelo ponto de equil´ıbrio pela 1a vez. (c) (0,5) Qual ser´a a for¸ca aplicada nas guias quando a massa atingir o seu deslocamento m´aximo? Solu¸c˜ ao: (a) (1,0) No equil´ıbrio, ΣFi = 0:
˙ θ = R ω0 eθ . v = re ˙ r + rθe ω0 t + 1 (c) (1,0) A acelera¸c˜ao angular ´e igual ω02 θ¨ = ω˙ = −ω = − . (ω0 t + 1)2 2
Usando isso obtemos para a acelera¸c˜ao total: a=−
(b) (1,0) Determine o vetor da for¸ca no ref-
Rω02 (er + eθ ) . (ω0 t + 1)2
Fcf g = Fmola M ω 2 (R + x) = Kx Em rela¸c˜ao `a posi¸c˜ao inicial: x=
M ω2 R K−ω 2
Em rela¸c˜ao a` origem do sistema O0 : h i M ω2 (x + R) = R 1 + K−ω 2 (b) (1,0) For¸ca sobre as guias com a massa em movimento:
F~cor = 2M~v × ω ~
(c) (1,0) Demostre que, de maneira geral,
No equil´ıbrio a velocidade ser´a m´axima:
a taxa `a qual a amplitude diminui em
1 1 2 2 2 Kx = 2 M v K 2 x v2 = M
um oscilador harmˆonico amortecido ´e
v=
q
K M
metade da taxa `a qual a energia mecˆ anica diminui.
M ω2 R K−ω 2
Na primeira vez que passar pelo ponto de equil´ıbrio a for¸ca ser´a sobre a guia A, pois a velocidade v ´e para fora da plataforma, portanto sentido −ˆ eθ : q K M ω2 R F~cor = 2M ω(−ˆ eθ ) M (K−ω 2 ) (c) (0,5) Quando atingir o deslocamento m´aximo, momentaneamente v = 0. Assim, F~cor = 2M~v × ω ~ =0N 3. Um oscilador harmˆonico possui frequˆencia ω e amplitude A. (a) (1,0) Quais s˜ao os valores dos m´odulos da posi¸c˜ao e da velocidade quando a energia potencial el´astica for igual `a energia cin´etica? (suponha que U = 0 no momoento do equil´ıbrio) (b) (1,0) Quantas vezes isso ocorre em cada ciclo? Qual ´e o intervalo de tempo entre duas ocorrˆencias? (c) (0,5) No momento em que o deslocamento ´e igual a
A 2
qual ´e a fra¸c˜ao da en-
ergia total do sistema referente `a energia cin´etica e a qual fra¸c˜ao corresponde `a energia potencial? 4. Um corpo ´e pendurado de uma mola, colocado em vibra¸c˜ao vertical e imerso em um b´equer de ´oleo. Seu movimento est´a apresentado na figura. Suponha que o corpo tenha massa m = 375 g, que a mola tenha constante de for¸ca k = 100 N/m e b = 0, 100N · s/m. (a) (1,0) Quanto tempo leva para a amplitude cair para a metade de seu valor inicial? (b) (0,5) Quanto tempo leva para a energia mecˆanica cair para a metade de seu valor inicial?
