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FEP2195 - F´ısica Geral e Experimental para Engenharia I Prova P2 - Gabarito
1. Dois blocos est˜ao conectados por um fio sem massa que passa por duas polias sem atrito, como mostrado na figura. Uma extremidade do fio est´a
R
θ
ligada a um corpo de massa m1 que est´a a uma distˆancia R da polia da esquerda. A outra extre-
m1
midade do fio est´a ligada a um bloco de massa m2
m2
que est´a em repouso sobre uma mesa. A massa m1 ´e solta a partir de um ˆangulo θ (medido a partir da vertical). Em termos dos parˆametros dados determine: (a) (1,0) A velocidade do bloco de massa m1 quando ele passa pelo ponto mais baixo da sua trajet´oria. (b) (0,5) A tens˜ao m´axima no fio, assumindo que a massa m2 n˜ao se move. (c) (1,0) Sendo m1 = 3, 00 kg, m2 = 6, 00 kg e R = 1, 20 m, qual deve ser o menor valor de θ do qual m1 deve ser solto para que ele consiga levantar o bloco de m2 da mesa?
˜ SOLUC ¸ AO: (a) Usando conserva¸c˜ao da energia mecˆanica e tomando como zero da energia potencial o ponto mais baixo da trajet´oria temos como energia mecˆanica inicial Ei = m1 gR[1 − cos(θ)] Energia mecˆanica final 1 Ef = m1 v 2 2 Conserva¸c˜ao da energia mecˆanica Ef = Ei 1 m1 v 2 = m1 gR[1 − cos(θ)] 2 1
Velocidade no ponto mais baixo da trajet´oria v=
p
2gR[1 − cos(θ)]
(b) A tra¸c˜ao no fio ser´a m´axima no ponto mais baixo da trajet´oria. Nesse ponto a for¸ca resultante ´e FR = T − m1 g = m1
v2 R
Usando o valor da velocidade obtida no item (a) T = m1 g + 2m1 g[1 − cos(θ)] Tra¸ca˜o m´axima no fio T = m1 g[3 − 2 cos(θ)]
(c) No limite para levantar o bloco de massa m2 , a for¸ca normal sobre o bloco deve se anular, assim T = m2 g m1 g[3 − 2 cos(θ)] = m2 g cos(θ) =
3 m2 − 2 2m1
Usando os valores fornecidos cos(θ) =
1 2 θ = 60◦
2. Um jogador de bilhar d´a uma tacada na bola branca, que ent˜ao se choca contra duas outras bolas – veja a figura. Devido `a tacada, a bola branca adquire uma velocidade na dire¸c˜ao horizontal de m´odulo 10 m/s, mas logo ap´os o choque ela se encontra em repouso, enquanto as duas outras bolas 2
No painel esquerdo, as trˆes bolas de bilhar antes da colis˜ao; no painel direito, depois da colis˜ao.
saem com ˆangulos θ2 e θ3 com respeito `a horizontal e velocidades v2 e v3 . Sabendo que esses ˆangulos s˜ao tais que sen θ2 = 3/5 e sen θ3 = 4/5, e que m1 = m2 = m3 = 0, 1 kg, responda: (a) (1,5) Quais os m´odulos das velocidades v2 e v3 ? (b) (1,0) Qual a energia cin´etica do sistema depois da colis˜ao? A energia cin´etica ´e conservada nessa colis˜ao?
˜ SOLUC ¸ AO: (a) Por conserva¸c˜ao de momento (e lembrando que as massas s˜ao idˆenticas) temos, na dire¸c˜ao vertical: v2 sen(θ2 ) = v3 sen(θ3 ) , e na dire¸c˜ao horizontal: v1 = v2 cos(θ2 ) + v3 cos(θ3 ) . Resolvendo para v2 e v3 , obtemos: v2 = 8 m/s e v3 = 6 m/s
(b) A energia cin´etica inicial ´e: 1 Ki = m1 v12 = 5 J , 2 enquanto a final ´e: 1 1 Kf = m2 v22 + m3 v32 = 5J . 2 2 Portanto, a energia cin´etica ´e conservada.
3
1
3. Uma part´ıcula de massa m = 1 kg est´a sujeita a um potencial U (x) = −x3 + 6x2 − 9x + 1, onde x ´e dado figura.
U (J)
em metros e U em Joules, representado graficamente na
0
-1
-2
(a) (0,5) Determine a for¸ca F (x) atuando na part´ıcula e represente-a graficamente.
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x (m)
(b) (0,5) Identifique os pontos de equil´ıbrio e classifiqueos (est´avel ou inst´avel). (c) (0,5) Em x = 2, a part´ıcula ´e abandonada a partir do repouso. Em que dire¸c˜ao e sentido a part´ıcula passar´a a se mover? Qual ´e o m´odulo da for¸ca que atua nela neste ponto? (d) (0,5) Para a condi¸c˜ao inicial do item (c), em que ponto a velocidade da part´ıcula ser´a m´axima e qual ser´a o seu valor? (e) (0,5) Para a condi¸c˜ao inicial do item (c), quais ser˜ao, aproximadamente, os valores m´aximo e m´ınimo de x para essa part´ıcula?
˜ SOLUC ¸ AO: (a) For¸ca que atua sobre a part´ıcula F (x) = −
-3
dU dx
F (x) = 3x2 − 12x + 9 N
4
2,5
3,0
3,5
4,0
9 8 7 6
F (N)
5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
x (m)
(b) Pontos de equil´ıbrio ocorrem onde F (x) = 0, ou seja x = 1 m sendo um ponto de equil´ıbrio est´avel e x = 3 m sendo um ponto de equil´ıbrio inst´avel.
(c) Quando abandonada a partir do repouso em x = 2 m, a part´ıcula se deslocar´a no sentido de x negativo e o m´odulo da for¸ca que age sobre ela em x = 2 m ser´a F (2) = 3 N
(d) A energia total ´e dada por E = U + K. Para E dada, K ´e m´axima quando U ´e m´ınima, ou seja em x = 1 m. E(2) = U (2) = −1 J E(2) = E(1) = U (1) + K(1) = −3 + K(1) Velocidade da part´ıcula em x = 1 m r r 2K(1) 2·2 v(1) = = m 1
v(1) = 2 m/s
5
⇒
K(1) = 2 J
(e) O movimento s´o pode ocorrer no intervalo em que E ≤ U (x), ou seja o movimento esta restrito ao intervalo (0.25 . x . 2) m
4. Um cachorro de 4, 0 kg est´a parado no ponto central de um barco, que est´a em repouso sobre a ´agua. Nesta posi¸c˜ao o cachorro se encontra a 6, 0 m da praia. O cachorro anda 2, 4 m em dire¸c˜ao `a praia e para. A massa do barco ´e de 20 kg e sup˜oe-se que n˜ao haja atrito entre ele e a ´agua. (a) (1,0) Quando o cachorro se movimenta, a posi¸c˜ao do centro de massa do conjunto cachorro-barco ´e deslocado? Justifique. (b) (1,0) Qual a distˆancia final do cachorro em rela¸c˜ao `a praia? (c) (0,5) Qual a distˆancia final do cachorro em rela¸c˜ao `a posi¸c˜ao final do centro de massa do barco?
˜ SOLUC ¸ AO: (a) O Centro de Massa do conjunto n˜ao ´e deslocado j´a que: P~ F = 0 ⇒ P~CM ´e conservado ⇒ VCM ´e conservado. Inicialmente Barco + Cachorro est˜ao em repouso: VCM0 = 0 = VCM dxCM =0 dt
⇒
xCM = constante
(b) Tomando o centro do barco como a origem do sistema de coordenadas: xCM0 = 0 = xCM xCM =
mc xc + mb xb =0 mc + mb
xc = ∆xc + ∆xb = ∆xc + (xb − xb0 ) = ∆xc + xb 6
mc (∆xc + xb ) + mb xb = 0 xb =
−mc ∆xc −4 × 2, 4 = = −0, 4 m mc + mb 20 + 4
xc = 2, 4 − 0, 4 = 2, 0 m Distˆancia do cachorro `a praia 6−2=4 m
(c) Distˆancia final do cachorro em rela¸c˜ao `a posi¸c˜ao final do centro de massa do barco xc − xb = 2, 0 − (−0, 4) = 2, 4 m
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