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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO – USP ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA – EEL
FENÔMENOS DE TRANSPORTE EXPERIMENTAL
RELATÓRIO - EXPERIMENTO 1
Estudo do tempo de escoamento de líquidos em função da altura, para recipientes cilíndricos.
Profa. Dra. Daniela Helena Pelegrine Guimarães
Grupo 6 Arthur Painhas de Almeida Mariana Lima Rodrigues Vivian Maria Mayumi Takasaki
Lorena, 25 de outubro de 2013.
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Índice OBJETIVO E CONSIDERAÇÕES ........................................................................................ 1 1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 1 1.1. Tipos de escoamento ................................................................................................... 1 1.2. Equação de Bernoulli .................................................................................................. 2 1.3. Perdas de carga............................................................................................................ 2 2. MATERIAIS E MÉTODOS ............................................................................................... 3 2.1. Materiais ..................................................................................................................... 3 2.2. Métodos ...................................................................................................................... 3 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO ........................................................................................ 4 3.1. Cálculo de v1, v2, Re, f, hl, hd, tteor e Desvio ................................................................. 4 3.2. Gráficos....................................................................................................................... 6 4. CONCLUSÕES ................................................................................................................. 9 5. BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................. 10
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OBJETIVO E CONSIDERAÇÕES Este relatório refere-se ao experimento realizado no dia quatro de outubro de 2013, o qual mediu o tempo de escoamento de água em tubos de diâmetros e comprimentos variados, a fim de se determinar, através do modelo matemático proposto pelo professor René Khattar (equação ❽), o tempo teórico de escoamento (t teor) da água em cada um destes tubos. Para isso, utilizou-se a equação de Bernoulli e as equações de conservação de massa e energia para se calcular as velocidades de vazão de saída do reservatório (v1) e de saída dos tubos (v2); o fator de atrito (f) e o número de Reynolds (Re) e a perda de carga localizada (hl) e distribuída (hd), todas a partir dos tempos experimentais medidos (t exp). Com todos os dados determinados, todos os gráficos de tempo versus altura foram plotados, permitindo a formulação das conclusões deste experimento. Todas as unidades foram escritas conforme o Sistema Internacional e representadas entre parênteses.
1. INTRODUÇÃO 1.1. Tipos de escoamento Os escoamentos ou fluxos dos fluidos estão sujeitos a determinadas condições gerais, princípios e leis da dinâmica, além da teoria da turbulência. O escoamento envolvido em tubos são, basicamente, o escoamento laminar e o escoamento turbulento. O escoamento laminar, ou lamelar, ocorre quando as partículas de um fluido movemse ao longo de trajetórias bem definidas, apresentando lâminas ou camadas, cada uma delas preservando sua característica no meio. No escoamento laminar a viscosidade age no fluido no sentido de amortecer a tendência de surgimento da turbulência. Este escoamento ocorre geralmente a baixas velocidades e em fluídos que apresentem grande viscosidade. O escoamento turbulento ocorre quando as partículas de um fluido não se movem ao longo de trajetórias bem definidas, ou seja, as partículas descrevem trajetórias irregulares, com movimento aleatório, produzindo uma transferência de quantidade de movimento entre regiões de massa líquida. Este escoamento é comum na água, cuja viscosidade é relativamente baixa. O regime de escoamento, se lamelar ou turbulento, é determinado pela seguinte quantidade adimensional, chamada de número de Reynolds:
Onde em que d2 é o diâmetro do tubo, ρ é a densidade,
é o coeficiente de viscosidade e v2 é
o módulo da velocidade de escoamento do fluido, definida como sendo a velocidade constante, igual para todos os elementos de volume do fluido, que produz a mesma vazão. 1
Para a água a temperatura ambiente, temos que ρ = 1000 kg/m3 e
= 1,003x10-3 Pa.s Para um
duto circular, esse regime ocorre para um valor de Re entre 2300 a 4000. Para valores de Re entre 4000 e 100000, têm-se regime turbulento. Nesta fase, percebe-se uma mistura entre as camadas de fluxo. 1.2. Equação de Bernoulli Para fluidos incompressíveis, que se movem ao longo de um tubo, utiliza-se a equação proposta por Daniel Bernoulli, obtida pela primeira vez em 1738. Esta equação, assim como a equação da continuidade, não está baseada em novos princípios físicos. Ou seja, assim como a equação da continuidade expressa a conservação de massa do fluido, a equação de Bernoulli expressa a conservação da energia do fluido, respeitando o modelo de fluido utilizado. Essa equação é bastante importante na descrição de fluidos em movimento. Sua obtenção pode ser realizada a partir da 2ª Lei de Newton ou através do teorema do trabalho e energia.
Onde v é velocidade do fluido ao longo do conduto (m/s), g a aceleração da gravidade (m/s2), h = z2 – z1 é altura com relação a um referencial (m), P é pressão ao longo do recipiente (Pa) e é massa específica do fluido (kg/m3). 1.3. Perdas de carga O líquido, ao escoar em um tubo, é submetido a forças resistentes exercidas pelas paredes da tubulação e por uma região do próprio líquido. Nesta região há um elevado gradiente de velocidade e o efeito da velocidade é significante. A consequência disso é o surgimento de forças cisalhantes que reduzem a capacidade de fluidez do líquido. A perda de carga pode ser subdivida em duas parcelas, de acordo com sua origem: a perda de carga localizada (hl) (m), que é causada por elementos físicos presentes na tubulação como válvulas, tês e curvas, onde são determinadas experimentalmente, e a perda de carga distribuída (hd) (m), a qual deve-se ao atrito presente no escoamento em um trecho reto da tubulação. Já que, em escoamentos reais, os efeitos de atritos estão presentes, provocando a queda da pressão, causando a perda, quando comparado com o caso ideal, sem atrito, devemos adicionar, à equação de Bernoulli, as perdas ocorridas:
Tem-se:
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Onde f é o fator de atrito (adm), parâmetro calculado em função do número de Reynolds e da rugosidade relativa sendo, para regime turbulento, f = 0,316.Re-0,25 ❺, e k é o coeficiente de perda localizada para entrada de tubos sendo, neste experimento, k = 0,5 (adm).
2. MATERIAIS E MÉTODOS 2.1. Materiais Foi utilizado um reservatório de diâmetro (d1) de 0,141m, juntamente acoplado com um medidor de nível de 0,23m; seis tubos de diâmetros (d 2) e comprimentos (L) diferentes, conforme a tabela abaixo: Tubo L (m) d2 (m)
A 0,075 0,0048
B 0,150 0,0048
C 0,3 0,0048
D 0,6 0,0031
E 0,6 0,0048
F 0,6 0,0078
Tabela 1. Valores dos diâmetros e dos comprimentos dos tubos testados
2.2. Métodos 2.2.1. Procedimento experimental Água foi colocada no reservatório até completa-lo. Estando um dos tubos conectados a ele, assegurou-se que a água não começasse a vazar antes de terminar o enchimento do reservatório. Após isto, estabeleceu-se uma altura h0 de referência no medidor de nível, sendo ela de 0,22m. Disparou-se o cronômetro a fim de se avaliar o tempo de escoamento, medindose o tempo em que a água atingia determinadas alturas do reservatório. O experimento foi realizado em triplicata para cada um dos tubos. 2.2.2. Tratamento matemático P1 v1
Fazendo o balanço de massa, sabendo que água é o fluído tanto do reservatório quanto do tubo, temos: A1 v1 = A2v2 Colocando em função dos diâmetros, temos que: d d
P2
v2
Figura 1. Representação esquemática do experimento
Onde
❼, ou seja, a taxa de variação
da altura com o tempo.
Para o cálculo de t teor utilizaremos a equação de Bernoulli para escoamentos reais: 3
z1
2 v1 P1 z
2g
g
2
2 v2 P2 h
2g
g
d
hl
Substituindo ❸, ❹ e ❼ na equação acima, sendo z2 = 0 e P1 = P2 = Patm:
z1
d 2 dh 1 2 g d 2 dt
v 2 1
2
f L 1 1 K d 2 2 g
Mas z1 L h , pelo referencial estabelecido. Portanto, substituindo esta relação e a relação ❼ na equação acima: 2
dh 4 f L d1 dt Lh 1 K 1 2g d 2 d 2 Resolvendo a equação diferencial acima teremos, por fim: t teor
4 fL d1 1 2 1 K 1 2g d2 d2
1
2
L h0
1
2
L h
1
2
❽
A partir desta equação e dos tempos experimentais medidos, pode-se compara-los através do cálculo do desvio: es io
|tteor te p | tteor
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO 3.1. Cálculo de v1, v2, Re, f, hl, hd, tteor e Desvio A partir dos três valores de tempo experimental medidos em cada tubo e das alturas do medidor de nível, obteve-se a média destes tempos (texp) que foram comparados com o tempo teórico calculado pela equação ❽. Sendo assim, calcula-se os parâmetros do escoamento através das relações explicitadas acima e preenche-se as tabelas referentes a cada tubo. h 0,20 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02
texp 13,1967 26,2667 40,16 54,7767 70,0433 85,96 102,59 120,2667 140,8667 160,6067
v1 0,00152 0,00153 0,00144 0,00137 0,00131 0,00126 0,0012 0,00113 0,00097 0,00101
v2 1,3077 1,3204 1,2422 1,1807 1,1304 1,0843 1,0378 0,9763 0,8378 0,8743
TUBO A Re f 6258,3782 0,0355 6319,0307 0,0354 5944,5584 0,0360 5650,3807 0,0364 5409,8077 0,0368 5188,8836 0,0372 4966,3097 0,0376 4672,2458 0,0382 4009,2102 0,0397 4183,8769 0,0393
hl 0,0436 0,0444 0,0393 0,0355 0,0326 0,0300 0,0274 0,0243 0,0179 0,0195
hd tteor 0,0484 10,4640 0,0492 21,3090 0,0442 32,6594 0,0405 44,5352 0,0375 57,0036 0,0349 70,1607 0,0323 84,1354 0,0290 99,1436 0,0222 115,7526 0,0239 133,0745
Desvio 26,1151 23,2657 22,9662 22,9963 22,8753 22,5187 21,9344 21,3056 21,6963 20,6893
Tabela 2. Parâmetros calculados para o tubo A
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h 0,20 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02
texp 12,4067 25,06 38,1033 51,71 65,6533 80,1167 95,2967 111,23 128,3733 144,9867
v1 0,00161 0,00158 0,00153 0,00147 0,00143 0,00138 0,00132 0,00126 0,00117 0,00120
TUBO B Re f 6656,8832 0,0350 6527,1126 0,0352 6331,9497 0,0354 6069,7989 0,0358 5923,2415 0,0360 5710,2833 0,0364 5440,6937 0,0368 5183,4559 0,0372 4817,6005 0,0379 4971,2920 0,0376
v2 1,3910 1,3639 1,3231 1,2683 1,2377 1,1932 1,1369 1,0831 1,0067 1,0388
hl 0,0493 0,0474 0,0446 0,0410 0,0390 0,0363 0,0329 0,0299 0,0258 0,0275
hd tteor 0,1078 10,4580 0,1042 21,2413 0,0988 32,3975 0,0917 43,9834 0,0879 55,9737 0,0824 68,4918 0,0757 81,6199 0,0696 95,3962 0,0612 110,0611 0,0647 124,8993
Desvio 18,6337 17,9778 17,6120 17,5672 17,2932 16,9726 16,7566 16,5979 16,6383 16,0829
Tabela 3. Parâmetros calculados para o tubo B
h 0,20 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02
texp 12,0367 25,5133 35,4233 47,4933 60,4467 73,5100 85,9733 100,02 113,5433 130,2567
v1 0,00166 0,00174 0,00168 0,00166 0,00154 0,00153 0,00160 0,00142 0,00148 0,00120
v2 1,4338 1,5037 1,4490 1,4298 1,3323 1,3211 1,3847 1,2286 1,2762 1,0326
TUBO C Re f 6861,5118 0,0347 7196,3169 0,0343 6934,4862 0,0346 6842,5626 0,0347 6375,9442 0,0354 6322,2555 0,0354 6626,6165 0,0350 5879,6676 0,0361 6107,2022 0,0357 4941,5475 0,0377
hl 0,0524 0,0576 0,0535 0,0521 0,0452 0,0445 0,0489 0,0385 0,0415 0,0272
hd 0,2274 0,2471 0,2316 0,2263 0,2000 0,1970 0,2139 0,1735 0,1854 0,1280
tteor 10,4521 21,0414 31,9783 43,1394 54,8114 66,5746 78,3260 91,4419 103,9095 118,9053
Desvio 15,1601 11,7479 10,7729 10,0926 10,2811 10,4175 9,7635 9,3809 9,2713 9,5466
Tabela 4. Parâmetros calculados para o tubo C
h 0,20 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02
texp 30,0133 59,1567 89,1867 120,1567 151,73 183,7933 215,38 247,7433 281,6033 316,6233
v1 0,00067 0,00069 0,00067 0,00065 0,00063 0,00062 0,00063 0,00062 0,00059 0,00057
v2 1,3786 1,4197 1,3778 1,3360 1,3105 1,2904 1,3099 1,2785 1,2220 1,1815
TUBO D Re f 4260,8021 0,0391 4387,9975 0,0388 4258,4373 0,0391 4129,1855 0,0394 4050,2810 0,0396 3988,3836 0,0398 4048,5713 0,0396 3951,4123 0,0399 3776,7535 0,0403 3651,6526 0,0407
hl 0,0484 0,0514 0,0484 0,0455 0,0438 0,0424 0,0437 0,0417 0,0381 0,0356
hd 0,7333 0,7720 0,7326 0,6941 0,6711 0,6532 0,6706 0,6426 0,5938 0,5598
tteor 31,2585 62,7176 94,9759 127,8734 161,2331 195,1118 228,8556 264,0794 300,6704 337,7560
Desvio 3,9834 5,6777 6,0955 6,0347 5,8940 5,8010 5,8882 6,1860 6,3415 6,2568
Tabela 5. Parâmetros calculados para o tubo D
h 0,20 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02
texp 10,2333 21,8233 33,59 44,9867 56,51 68,3667 80,8467 94,04 104,8733 117,43
v1 0,00195 0,00173 0,00170 0,00175 0,00174 0,00169 0,00160 0,00164 0,00169 0,00159
v2 1,6864 1,4890 1,4667 1,5143 1,4976 1,4555 1,3828 1,4153 1,4584 1,3744
TUBO E Re f 8070,6577 0,0333 7125,9474 0,0344 7018,9573 0,0345 7246,8322 0,0342 7167,1736 0,0343 6965,6787 0,0346 6617,7669 0,0350 6773,3514 0,0348 6979,4139 0,0346 6577,3611 0,0351
hl 0,0725 0,0565 0,0548 0,0584 0,0572 0,0540 0,0487 0,0511 0,0542 0,0481
hd tteor 0,6041 10,3061 0,4858 20,9816 0,4731 31,7186 0,5004 42,4422 0,4908 53,4614 0,4669 64,7618 0,4268 76,4443 0,4446 87,7962 0,4685 99,2125 0,4223 111,6708
Desvio 0,7061 4,0120 5,9000 5,9951 5,7024 5,5664 5,7589 5,9726 5,7057 5,1573
Tabela 6. Parâmetros calculados para o tubo E
5
h 0,20 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02
texp 2,9967 6,1467 9,1467 12,3267 15,4133 18,78 23,2167 26,2867 29,5067 35,5533
v1 0,00667 0,00635 0,00667 0,00629 0,00648 0,00594 0,00451 0,00651 0,00621 0,00331
v2 2,1809 2,0748 2,1785 2,0552 2,1173 1,9412 1,4731 2,1288 2,0297 1,0808
TUBO F Re f 16960,3281 0,0277 16134,7459 0,0280 16941,4832 0,0277 15982,5314 0,0281 16465,8044 0,0279 15096,3712 0,0285 11455,5484 0,0305 16555,1954 0,0279 15783,9906 0,0282 8405,3665 0,0330
hl 0,1212 0,1097 0,1209 0,1076 0,1142 0,0960 0,0553 0,1155 0,1050 0,0298
hd 0,5164 0,4732 0,5154 0,4654 0,4903 0,4212 0,2599 0,4950 0,4553 0,1512
tteor 3,1235 6,3094 9,4906 12,7916 16,0610 19,5294 23,4243 26,2274 29,8252 35,0289
Desvio 4,0601 2,5788 3,6242 3,6350 4,0323 3,8371 0,8866 0,2258 1,0679 1,4971
Tabela 7. Parâmetros calculados para o tubo F
3.2. Gráficos 3.2.1. texp versus altura e tteor versus altura
Gráfico 1. Tempo experimental e tempo teórico em função da altura no tubo A.
Gráfico 2. Tempo experimental e tempo teórico em função da altura no tubo B.
6
Gráfico 3. Tempo experimental e tempo teórico em função da altura no tubo C.
Gráfico 4. Tempo experimental e tempo teórico em função da altura no tubo D.
7
Gráfico 5. Tempo experimental e tempo teórico em função da altura no tubo E.
Gráfico 6. Tempo experimental e tempo teórico em função da altura no tubo F.
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3.2.2. Tempos experimentais de cada tubo
Gráfico 7. Comparação dos tempos experimentais em função da altura para cada um dos tubos.
4. CONCLUSÕES A partir dos gráficos e dos dados calculados, percebe-se que a variação do diâmetro, mantendo-se o comprimento do tubo constante, provoca uma alteração mais significativa no tempo de escoamento de água quando comparado aos casos em que mantem-se o diâmetro constante, variando-se o comprimento. Além disso, constatou-se que o modelo matemático proposto fornece uma boa aproximação entre os tempos experimentais medidos e os tempos teóricos calculados, sendo que o maior erro calculado foi de aproximadamente 26% para o tubo A. Mesmo assim, este erro pode ser considerado pequeno para este experimento. Verificou-se também que, para todos os casos, o regime de escoamento foi turbulento, com exceção nos três últimos valores experimentais do tubo D. Isto pode ter ocorrido devido ao escoamento neste tubo, o qual, dentre todos, foi o mais lento, induzindo a um erro na medição do tempo experimental. Contudo, os valores de Re para estes ensaios mostraram-se próximos de 4000, configurando desvios pouco relevantes.
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5. BIBLIOGRAFIA - FOX, R. W.; McDONALD, A. T. Introdução a mecânica dos fluidos, Rio de Janeiro: Guanabara - Koogan, 1995. - STREETER, V. L. Mecânica dos fluidos, São Paulo: McGraw-Hill, 1977.
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