Exercícios Resolvidos: Regra Da Cadeia

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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exercícios Resolvidos: Regra da Cadeia Contato: [email protected] Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 14/12/2014 - Atualizado em 17/08/2017 O que preciso saber? Seja ƒ () = h(g()) (outra notação seria ƒ () = (h ◦ g)()), então: D f(x)= [D h(x) ◦ g(x) ] · D g() A fórmula acima é conhecida como Regra da Cadeia. Exemplo 1: Encontre a derivada de ƒ () = sen(3). Solução Seja h() = sen() e g() = 3 então ƒ () = h(g()). Como: D h() = cos() e D g() = 3 e pela regra da cadeia D ƒ () = (D h() ◦ g()) · D g() Então: D ƒ () = (cos() ◦ 3) · 3 D ƒ () = 3cos(3) ‚ Exemplo 2: Encontre a derivada de f(x) = Solução f(x) = h(g(x)) onde: ‚ h(x) = x2 e g(x) = 3 − sen() Œ 22 a derivada de h e g são: 1 3 − sen() 22 Œ2 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA D (h(x)) = 2 D (g(x)) = 3 + 2sen() − cos() 23 Usando então a regra da cadeia ‚ ‚ D f(x) = 2 ◦ = 3 − sen() 22 ŒŒ ‚ · 3 + 2sen() −  · cos() Œ 23 (3 − sen())(3 + 2sen() −  · cos()) 25 Exemplo 3: Encontre a derivada de ƒ () = sen(sen() − 1) Solução ƒ () = h(g()), onde h() = sen() e g() = sen() − 1. A derivada de h e g são: D h() = cos() D g() = cos() Usando então a regra da cadeia D ƒ () = (cos() ◦ (sen() − 1)) · cos() D ƒ () = cos(sen() − 1) · cos() Exemplo 4: Encontre a derivada de ƒ () = (4 − 32 + 5)2 Solução Seja ƒ () = h(g()), onde h() = 2 e g() = 4 − 32 + 5 então pela regra da cadeia. D ƒ () = (D h() ◦ g()) · D g() = (2 ◦ (4 − 32 + 5)) · D (4 − 32 + 5) = (2 ◦ (4 − 32 + 5)) · (43 − 6) 2 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA = 2(4 − 32 + 5)(43 − 6) Exemplo 5: Encontre a derivada de ƒ () = esen 2θ Solução Fazendo h() = e e g() = sen(2θ) então pela regra da cadeia: Dθ ƒ () = (Dθ (eθ ) ◦ sen(2θ)) · Dθ (sen(2θ)) = esen(2θ) · Dθ (sen(2θ)) = esen(2θ) · (Dθ (sen(θ)) ◦ 2θ) · Dθ (2θ) = esen(2θ) · ((cos(θ)) ◦ 2θ) · 2) = 2esen(2θ) (cos(2θ)) Exemplo 6: Se ƒ (3) = 2, g(3) = −4, ƒ 0 (3) = 3 e g0 (3) = −2, encontre a derivada de h() = ƒ ().g2 () para  = 3. Solução Para resolver esse problema temos de recordar a propriedade do produto para derivada. Se h() = ƒ () · g() então h0 () = ƒ 0 ()g() + ƒ ()g0 () (Regra do produto) O que desejamos é determinar a derivada de h() = ƒ () · g2 () quando  = 3. Usando a regra do produto então: h0 () = ƒ 0 ()g2 () + (g2 ())0 ƒ () (Equação 1) Note que g2 () = 2 ◦ g() (composição de função). Assim usando a regra da cadeia:
0 (g2 ()) = (2 )0 ◦ g() · g0 () = (2 ◦ g())g0 () = 2g()g0 () (Equação 2) Usando a equação 2 na equação 1. h0 () = ƒ 0 ()g2 () + 2g()g0 ()ƒ () 3 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA ⇒ h0 (3) = ƒ 0 (3)g2 (3) + 2g(3)g0 (3)ƒ (3) ⇒ h0 (3) = ƒ 0 (3)(g(3))2 + 2g(3)g0 (3)ƒ (3) Substituindo os valores cedidos no enunciado. h0 (3) = 3(−4)2 + 2(−4)(−2)(2) ⇒ h0 (3) = 48 + 32 ⇒ h0 (3) = 80 Ou seja, a resposta é 80. 4