Exercícios Resolvidos-halliday 2

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LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003, a` s 10:14 a.m. Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte´udo 14 ˜ Cap´ıtulo 14 - OSCILAC ¸ OES 2 ´ 14.1 QUESTIONARIO . . . . . . . . . . . . 14.2 EXERC´ICIOS E PROBLEMAS . . . . 14.3 PROBLEMAS ADICIONAIS . . . . . Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 2 2 8 jgallas @ if.ufrgs.br (listam3.tex) P´agina 1 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003, a` s 10:14 a.m. ˜ 14 Cap´ıtulo 14 - OSCILAC¸OES  Para pequenas amplitudes, o pˆendulo e´ is´ocrono, isto e´ , o per´ıodo n˜ao depende da amplitude. Contudo, quando as oscilac¸o˜ es se d˜ao a aˆ ngulos maiores, para ´ 14.1 QUESTIONARIO os quais a aproximac¸a˜ o j´a n˜ao e´ v´alida, o per´ıodo torna-se uma func¸a˜ o crescente de , o aˆ ngulo 2. Quando a massa e´ suspensa de uma determina- de m´aximo afastamento da posic¸a˜ o de equil´ıbrio. Uma da mola A e a massa menor e´ suspensa da mola discuss˜ao interessante a esse respeito est´a feita no voluB, as molas s˜ao distendidas da mesma distˆancia. Se me , cap´ıtulo do Moys´es Nussenzveig. os sistemas forem colocados em movimento harmˆonico simples vertical com a mesma amplitude, qual deles ter´a 11. Um pˆendulo suspenso do teto de uma cabine de mais energia? elevador tem um per´ıodo T quando o elevador est´a 45768,9:8
 
  8"; < parado. Como o per´ıodo e´ afetado quando o elevaDa equac¸a˜ o de equil´ıbrio para um corpo suspenso de dor move-se (a) para cima com velocidade constante, uma mola, , concluimos que . A (b) para baixo com velocidade constante, (c) para baienergia do oscilador e´ , portanto . xo com acelerac¸a˜ o constante para cima, (d) para cima com acelerac¸a˜ o constante para cima, (e) para cima com acelerac¸a˜ o constante para baixo , e (f) para bai4. Suponhamos que um sistema consiste em um bloco xo com acelerac¸a˜ o constante para baixo ? (g) de massa desconhecida e uma mola de constante tamEm qual caso, se ocorre em algum, o pˆendulo oscila de bem desconhecida. Mostre como podemos prever o cabec¸a para baixo? per´ıodo de oscilac¸a˜ o deste sistema bloco-mola simplesmente medindo a extens˜ao da mola produzida, quando penduramos o bloco nela. 16. Um cantor, sustentando uma nota de freq¨ueˆ ncia No equil´ıbrio temos . O per´ıodo do apropriada, pode quebrar uma tac¸a de cristal, se este for oscilador e´ , onde a raz˜ao desconhecida de boa qualidade. Isto n˜ao pode ser feito, se o cristal for de baixa qualidade. Explique por quˆe, em termos da pode ser substitu´ıda pela raz˜ao . constante de amortecimento do vidro.         
       =   =      "!$# % 
   % &() '  5. Qualquer mola real tem massa. Se esta massa for O cristal da tac¸a e´ um sistema oscilante fortemente levada em conta, explique qualitativamente como isto amortecido. Quando uma forc¸a externa oscilante e´ reafetar´a o per´ıodo de oscilac¸a˜ o do sistema mola-massa. movida, as oscilac¸o˜ es de pequena amplitude no sistema diminuem rapidamente. Para uma forc¸a externa oscilante cuja freq¨ueˆ ncia coincida com uma das freq¨ueˆ ncias de ressonˆancia da tac¸a, a amplitude das oscilac¸o˜ es e´ 7. Que alterac¸o˜ es vocˆe pode fazer num oscilador limitada pelo amortecimento. Mas, quando a amplitude harmˆonico para dobrar a velocidade m´axima da masm´axima e´ atingida, o trabalho efetuado pela forc¸a exsa oscilante? terna supera o amortecimento e a tac¸a pode ent˜ao vir a romper-se. A velocidade m´axima do oscilador e´ . As possibilidades de duplicar essa velocidade seriam (i) duplicando a amplitude , (ii) trocar a mola de constante por outra de constante , (iii) trocar a massa ´ por outra massa . Claro, h´a in´umeras possibilidades 14.2 EXERCICIOS E PROBLEMAS de alterar e tal que . Sec¸a˜ o 14-3 Movimento Harmˆonico Simples: A Lei de Forc¸a 10. Tente prever com argumentos qualitativos se o per´ıodo de um pˆendulo ir´a aumentar ou diminuir, quan- 3E. Um bloco de kg est´a suspenso de uma certa do sua amplitude for aumentada. mola, estendendo-se a cm al´em de sua posic¸a˜ o de repouso. (a) Qual e´ a constante da mola? (b) O bloco    

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/?>A@B@ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas C7DE>A@ P´agina 2 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003, a` s 10:14 a.m. @E>GFH@B@ e´ removido e um corpo com kg e´ suspenso da mesma mola. Se esta for ent˜ao puxada e solta, qual o per´ıodo de oscilac¸a˜ o?  (a) No equil´ıbrio, a forc¸a exercida pela mola e´ igual ao peso da massa. Ent˜ao 
 JI /?>A@K@ML ION >APQC7L T $   M/ F  @QRSC7D N/m (b) O per´ıodo ser´a
"! U @ERWFH@K@   TH!$U  V  X/ F @E> P s FH@Q>A@ (c) !   = I g  A> @ML pn I < ! L I DQ>A@MLqbdH4 I D ! i < L nr DKDE>GF m/s (d) ! CN! fase D ! i < < (e) ^ + GF Hz ^  (f)  _ @Q>ADXY s R 20P. Um bloco de  >A@B@ kg est´a suspenso de uma certa mola. Se suspendermos um corpo de A@K@ cm. (a) Qual a constante da mola? (b) Se removermos o corpo de A@ @E>GFH@B@   (b) (c)
1 s Tc- 1 I @Q>AaPEC]L V I @Q>A@  $ C7FH@ N/m + H! "! C  >GFBY rad/s  E@ >GFH@K@  $ Z+
[ I C  >GFBYKL  I @E>A@MFH@ML YX> N @ N/m  % * + % @E >\C]F @Q>A@EC  m C >GFBY ^   `_ >A@ Hz (b) Calculada a constante da mola, vamos ao per´ıodo:
 T"!$U    V"! U C]>AFH@B@ @ E@ >uY"< s 16E. Um corpo oscila com movimento harmˆonico sim26P. Um bloco est´a numa superf´ıcie horizontal (uma ples de acordo com a equac¸a˜ o mesa oscilante), que se agita horizontalmente num mom rad/s rad vimento harmˆonico simples com a freq¨ueˆ ncia de Hz. O coeficiente de atrito est´atico entre o bloco e a Em s, quais s˜ao (a) o deslocamento, (b) a ve- superf´ıcie e´ . Qual pode ser a maior amplitude do locidade, (c) a acelera c¸a˜ o e (d) a fase do movimento? MHS, para que o bloco n˜ao deslize sobre a superf´ıcie? Tamb´em, quais s˜ao (e) a freq¨ueˆ ncia e (f) o per´ıodo do movimento? A forc¸a respons´avel pela oscilac¸a˜ o n˜ao deve exceder - I DE>a@ LcbdH4fe I < ! g  >A@ Lhg(i j! 0 <  >a@ klR @E>aF   (a) a forc¸a m´axima do atrito est´atico: - I g  A> @ML I DE>A@MLmbdH4 I D ! i ! L Q< >A@ m < (b)  a> @BL n I < ! L I DE>a@BL347576 I D ! i ! on / N * Ig T < http://www.if.ufrgs.br/ jgallas m/s c- % Tvxwa
y +  - % zvxwa ^  / ! - % vx ZwG vxwa -% ! ^  / P´agina 3 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS - % Q< >\C7@ 3 de Agosto de 2003, a` s 10:14 a.m. O sinal negativo indica que a massa est´a abaixo da posic¸a˜ o de equil´ıbrio, dirigindo-se para a posic¸a˜ o de 30P. Certa mola sem massa est´a suspensa do teto com m´aximo afastamento, do ”lado negativo”. um pequeno objeto preso a` sua extremidade inferior. (c) Para determinar a massa do primeiro objeto ligado a` , tomando : O objeto e´ mantido inicialmente em repouso, numa mola, usamos a relac¸a˜ o posic¸a˜ o tal que a mola n˜ao fique esticada. O objeto e´ ent˜ao liberado e oscila para cima e para baixo, sendo sua posic¸a˜ o mais baixa cm de . (a) Qual a freq¨ueˆ ncia da oscilac¸a˜ o? (b) Qual a velocidade do objeto quando est´a cm abaixo da posic¸a˜ o inicial? (c) Um objeto de kg massa de g e´ ligado ao primeiro objeto; logo ap´os, (d) Quando as oscilac¸o˜ es acontecem com ambos os obo sistema oscila com metade da freq’¨ueˆ ncia original. jetos presos a` mola, a posic¸a˜ o de equil´ıbrio do sistema Qual a massa do primeiro objeto? (d) Com relac¸a˜ o a , passa a ser onde e´ o novo ponto de equil´ıbrio (repouso) com ambos os objetos presos a` mola? cm $ T
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@E>C@ / K{ C7@ PE>a@ K{  @ m  (a) Os dados do problema sugerem o uso do princ´ıpio da conservac¸a˜ o da energia. Colocamos o referencial para a energia potencial gravitacional na posic¸a˜ o mais bai33P. Duas molas idˆenticas est˜ao ligadas a um bloco de xa: massa e aos dois suportes mostrados na Fig. . Mostre que a freq¨ueˆ ncia da oscilac¸a˜ o na superf´ıcie sem atrito e´ 
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R  ƒ- Qualquer deslocamento da massa produz um igual de distenc¸a˜ o e compress˜ao das molas, tal que a forc¸a (b) Ainda trabalhando com a conservac¸a˜ o da energia, resultante atuando na massa e´ cm mudamos o referencial agora para a posic¸a˜ o a abaixo de : B{ PE>a@  
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 * i Xc 1 ]X 1 n}+   1  *  * @E>GFHD m/s Tamb´em podemos chegar a este resultado pela equac¸a˜ o de movimento. A amplitude do MHS subseq¨uente e´ m e tomando quando a massa est´a em , temos a constante de fase :  % E@ >A@MF { g @ ~ @  I gL Z % bdH4 + g n @Q>A@B< @E>A@MF€bdH4 + g bdH4 + g T >  C/B< rad
n P C\/ 35P. Duas molas s˜ao ligadas e conectadas a determinada massa , como mostrado na Fig. . A superf´ıcie e´ sem atrito. Se ambas as molas tiverem uma constante de forc¸a , mostre que a freq’¨ueˆ ncia da socilac¸a˜ o de e´     ^ C U  H ! "
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Suponhamos que as molas tem constantes diferentes, e . Qualquer deslocamento da massa produz a deformac¸a˜ o , que tamb´em podemos escrever como Para a velocidade da massa, * I gL n+s % 47576 + g * I C\/XL I @Q>A@MFKL47576 I  >  C/BaFHD KE ƒ- Z
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m/s http://www.if.ufrgs.br/ jgallas -Q„… z-  i -  -Q„… z† I  C  i  C  L Bwq‡ˆ]{S†‰ŠG‹Œwh"„tw P´agina 4 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003, a` s 10:14 a.m.  i  C  wq‡qˆ]{Œ‰ŠG‹Swh"„tw X K - (a) Em qual valor de a energia potencial da part´ıcula e´ igual a` metade da energia total? (b) Quanto tempo leva para que a part´ıcula mova-se para esta posic¸a˜ o , a partir do ponto de equil´ıbrio? - Para a freq¨ueˆ ncia teremos ent˜ao ^ C MB  H !TŽ I   i   L
50P*. Um cilindro s´olido est´a ligado a uma mola hoConsiderando as molas iguais, com     T , vem rizontal sem massa de forma que ele possa rolar, sem deslizamento, sobre uma superf´ıcie horizontal (Fig. 14^ C U  32). A constante da mola  e´ a@ N/m. Se o sistema "! H
for liberado de uma posic¸a˜ o de repouso em que a mola . esteja estendida de @Q>  F m, ache (a) a energia cin´etica translacional e (b) a energia cin´etica rotacional do ciSimples: lindro quando ele passa pela posic¸a˜ o de equil´ıbrio. (c) Mostre que nessas condic¸o˜ es o centro de massa do cilindro executa um movimento harmˆonico simples com kg numa superf´icie horizon- per´ıodo 42E. Um objeto de tal sem atrito e´ ligado a uma mola com constante N/m. O objeto e´ deslocado cm horizontalmente e empurrado a uma velocidade inicial de m/s, na onde e´ a massa do cilindro. (Sugest˜ao: Ache a deridirec¸a˜ o do ponto de equil´ıbrio. (a) Qual a freq¨ueˆ ncia do vada da energia mecˆanica total em relac¸a˜ o ao tempo.) movimento? Quais s˜ao (b) a energia potencial inicial do sistema bloco-mola, (c) a energia cin´etica inicial e (d) a A energia mecˆanica total do oscilador e´ m. amplitude da oscilac¸a˜ o? Com os dados fornecidos, obtemos J. Na posic¸a˜ o de equil´ıbrio, a energia total e´ s´o cin´etica (a) A freq¨ueˆ ncia do movimento e´ Sec¸a˜ o 14-4 Movimento Harmˆonico Considerac¸o˜ es Sobre Energia FE>A@K@ C@K@B@ FH@Q>A@ C7@E>a@  J"! U –  X-    @E>\7C @   ^ + T " !  >  F    C –—* i sC ˜ + R Como o cilindro rola sem escorregar, * +2™ e a energia cin´etica rotacional pode ser expressa em termos da velocidade linear * :     C –—* i ‚C I C – ™ L I ™ * L    C –—* i C I C –—* L Hz (b) A energia potencial inicial e´  € Q ‘   @E>GFH@ML C7@K@B@BL @E>GFKL  C  F J I I I (c) A energia cin´etica inicial e´  ’$
*   ’$ @E>GFKL Fc>a@BL C@Q>A@ML  T FH@ J I I I (d) Com a conservac¸a˜ o da energia temos c- %  “  ’ $   i  - @E>aPMY m 46P. Uma part´ıcula de A@ kg est´a em movimento m harmˆonico simples em uma dimens˜ao e move-se de acordo com a equac¸a˜ o -V I Fc>a@ mcL bdH4fe I !j0 < rad/s Lqg n”!j0 / k•R rad http://www.if.ufrgs.br/ jgallas A energia cin´etica de rotac¸a˜ o vale a metade da energia cin´etica de translac¸a˜ o. Portanto, (a) ’ (b) ’ translac¸a˜ o rotac¸a˜ o @E>a@KDMY J @E>A@B B P K F F kg.m ˜ F Como a energia mecˆanica total e´ constante, šG› „ @ . š Usando nas duas parcelas do lado direito da equac¸a˜ o aci- A constante de torc¸a˜ o do fio e´ ma as relac¸o˜ es para a posic¸a˜ o, velocidade e acelerac¸a˜ o do MHS, obtemos N.m/rad £y ¤ cF >a@K< 8 @ < –—*œ * g i X - œ g O per´ıodo das oscilac¸o˜ es ent˜ao e´ œ œ  V"! U £˜ V >GF N s  @ < – I nž+…- m 47576 + gL I nž+ - m bdH4 + gLAi X - m b dH4 + g I nž+…- m 47576 + gL 54P. A roda de balanc¸o de um rel´ogio oscila com uma Ap´os as devidas simplificac¸o˜ es, resulta amplitude angular de ! rad e um per´ıodo de @Q>aFH@ s. Ache (a) a velocidade angular m´axima da roda, (b) a +  B velocidade angular da roda quando seu deslocamento e´ aF pn A/MF !  rad/s I –¢i  –LHœ g  i X- @  - Bœ  (c) Na equac¸a˜ o para a acelerac¸a˜ o angular, quando œ g  i  @ @E>aPBF NF http://www.if.ufrgs.br/ jgallas C7F – ™ œ P´agina 6 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003, a` s 10:14 a.m. per´ıodo do movimento harmˆonico simples resultante.  Usamos aqui diretamente a equac¸a˜ o para o per´ıodo do pˆendulo f´ısico, mas antes precisamos aplicar o teorema dos eixos paralelos para ter o momento de in´ercia do eixo de rotac¸a˜ o passando pelo ponto se suspens˜ao do disco:    ˜ ˜ i
œ C – ™ i
œ ¬   G‰ ­ i ® . A forc¸a restauradora do MHS e´ † n
=  74 56¯8 . Para pequenas oscilac¸o˜ es, 475689°8 ³ ± , podemos escrever a equac¸a˜o do MHS e fazendo 8 ² para a varia´avel 4  #   § 0"™  i* œ g 4 i 4 @Q> ª œ efetiva onde cm +  I# ^ A expres˜ao para o per´ıodo ent˜ao e´ ™ i    H !  Ž ] œ œ 69P. Uma haste com comprimento ª oscila como um pˆendulo f´ısico, com eixo no ponto « na Fig. 14-37. (a) Deduza uma express˜ao para o per´ıodo do pˆendulo em termos de ª e - , a distˆancia do ponto de suspens˜ao ao centro de massa do pˆendulo. (b) Para qual valor de -m0 ª o per´ıodo e´ m´ ınimo? (c) Mostre que, se ª CK>a@K@ m e s N >aPK@ m/s , este m´ınimo e´ CB>aFH< s.  (a) Repetimos aqui o problema anterior; com a aplicac¸a˜ o do teorema dos eixos paralelos para obter o momento de in´ercia, temos para o per´ıodo:  H-   H ! Ž ª C iT" MC - nos leva a` freq¨ueˆ ncia §  i * 0"™  L ª ¦ ´ . ª
75P. Uma haste longa e uniforme de comprimento e massa gira livremente no plano horizontal em torno de um eixo vertical, atrav´es do seu centro. Uma determinada mola com constante de forc¸a e´ ligada horizontalmente entre uma extremidade da haste e uma parede fixa, como mostra a Fig. 14-38. Quando a haste est´a em equil´ıbrio, fica paralela a` parede. Qual o per´ıodo das pequenas oscilac¸a˜ oes que resultam, quando a haste e´ ligeiramente girada e liberada?   A mola exerce um torque restaurador sobre a barra dado por nµ I ª  8BL ª  ¤ n X- ª  o ³ Da segunda lei angular, ¤ ˜r  , com ˜ %   , escre- - (b) Precisamos agora derivar a express˜ao do per´ıodo em relac¸a˜ o a` vari´avel e fazendo a derivada igual a zero, vemos a equac¸a˜ o para o MHS da barra obtemos   / -  ª  izC "-  - U C  ª C  @E> P N (c) Aplicando este valor obtido, - @E>  P N ª , e os demais dados na express˜ao do per´ıodo encontramos o va CB>aFK< s. lor  72P. Um pˆendulo simples de comprimento ª e massa
est´a suspenso em um carro que est´a viajando a uma velocidade constante * , em um c´ırculo de raio ™ . Se ª 8 ˜ œ g  i / 8 @Q> œ  na qual identificamos + © %  , do que resulta o per´ıodo
 "!U <  R m´ın. Sec¸a˜ o 14-8 Movimento Harmˆonico Simples Amortecido
, o >A@B@ y †, ¶n· * C7@E>a@  Fc>a@ o pˆendulo executa pequenas oscilac¸o˜ es numa direc¸a˜ o 83P. Um oscilador harmˆonico amortecido consiste em radial em torno da sua posic¸a˜ o de equil´ıbrio, qual ser´a a um bloco ( kg), uma mola ( N/m) e . Inicialmente, sua freq¨ueˆ ncia de oscilac¸a˜ o? uma forc¸a de amortecimento ele oscila com uma amplitude de cm; devido ao Al´em da forc¸a gravitacional, o pˆendulo est´a sob amortecimento, a amplitude e´ reduzida para trˆes quara ac¸a˜ o da forc¸a centr´ıpeta do movimento circular uni- tos do seu valor inicial, quando s˜ao completadas quatro forme. Sua acelerac¸a˜ o efetiva vale ent˜ao efetiva oscilac¸o˜ es. (a) Qual o valor de ? (b) Quanta energia foi  = http://www.if.ufrgs.br/ jgallas · P´agina 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003, a` s 10:14 a.m. carro ent˜ao p´ara e os quatro passageiros desembarcam. ”perdida” durante essas oscilac¸o˜ es? sobe a carroceria do carro em sua suspens˜ao  Considerando ·¹¸`¸ ¬ %  , da equac¸a˜ o para a posic¸a˜o Quanto devido ao decr´escimo de peso? obtemos  Vamos resolver o problema em unidades SI. A massa < - T- 5 _ ­• º¼ » total e´ / · H  s ! # % V  Como e´ suposto pequeno, 
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 >aPEC s que, levado a` equac¸a˜ o anterior, fornece o valor de · @Q>\C@  kg/s.
NBN PÀi I /ML I PECB>ADMFKL C7<  /Q>aFK@ kg  X-  (b) A energia inicial do oscilador e´  @E>aA/XY m/s. Para ­h º¼» a distˆancia entre as costelas temos -Á N D m. Agora  I /K¹L  5 _ @E>\C"Y"D J podemos calcular o per´ıodo Descontando esse valor da energia inicial, teremos a energia perdida pelo amortecimento, que e´ @E>C>/cN DY @E>aPKPKD s  85P. Considere que vocˆe est´a examinando as caracA freq¨ueˆ ncia angular e´ +  ¦ YX>a@ N rsd/s e a cons ter´ısticas do sistema de suspens˜ao de um autom´ovel de  @B@K@ kg. A suspens˜ao ”cede” C7@ cm, quando o peso tante el´astica do sistema de suspens˜ao e´ $ z
+ DBDBFKPK@ N/m. Com os passageiros a bordo, a deformac¸a˜ o do autom´ovel inteiro e´ colocado sobre ela. Al´em disda suspens˜ao e´ so, a amplitude da oscilac¸a˜ o diminui FH@½ durante uma
 C<  /Q>GF(¾ N >aPEC oscilac¸a˜ o completa. Estime os valores de  e · para o X    @Q>\C N F m  sistema de mola e amortecedor em uma roda, consideDKDMFHPK@ rando que cada uma suporta FH@K@ kg. Sem os passageiros, a deformac¸a˜ o e´  Escrevendo a condic¸a˜ o de equil´ıbrio para cada uma
 NBN P.¾ N >APQC K  r  @E>C\/cY m  das rodas, temos DBDBFKPK@ O quanto a carroceria sobe ap´os o desembarque dos pasI FH@K@ML ION >APQC7L T I @E>C@BL sageiros, calculamos pela diferenc¸a § $ /Q> N @BFT¾C@ N/m   n}  @Q>A@H/MP m Convertendo as unidades para confirmar o resultado, Pressupondo um pequeno valor para · , tomamos +¿ ¬  ¦ @Q>A@K/BP m correspondem a` s CB> N @ polegadas nas respos% N > N @BF rad/s e o per´ıodo  ´ @Q>ADB< s e tas do livro. m m total o m carro passageiros total o m´ax. total total carro levamos estes resultados para a equac¸a˜ o da posic¸a˜ o do movimento amortecido: º¼» @E>aFK@ - z- 5 _   m 14.3 PROBLEMAS ADICIONAIS m Tomando o logaritmo natural dos dois lados da equac¸a˜ o chegamos ao valor da constante de amortecimento · CKC7@K@ kg/s Sec¸a˜ o 14-9 Oscilac¸o˜ es Forc¸adas e Ressonˆancia B @B@ libras, transportando quatro 87P. Um carro de pessoas de libras, viaja em uma estrada de terra coberta de pequenas ondulac¸o˜ es (costelas), com saliˆencias separadas de p´es. O carro balanc¸a com amplitude m´axima quando sua velocidade e´ de milhas/h. O CPB@ C< C@ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas T à @K@ 88. Um oscilador harmˆonico simples consiste em um bloco ligado a uma mola de constante N/m. O bloco desliza para frente e para tr´as ao longo de uma linha reta, numa superf´ıcie sem atrito, com ponto de equil´ıbrio em e amplitude m. Um gr´afico da velocidade do bloco como uma func¸a˜ o do tempo e´ mostrado na Fig. 14-42. Quais s˜ao (a) o per´ıodo do movimento harmˆonico simples, (b) a massa do bloco, , (d) a acelerac¸a˜ o (c) o deslocamento do bloco em do bloco em s e (e) a energia cin´etica m´axima alcanc¸ada pelo bloco. -Z @ * g @E>C@ @Q>  @ g g @ P´agina 8 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS  (a) Basta observar o gr´afico para obter o per´ıodo:  @Q>  @ s.  (b) A massa do bloco calculamos pela relac¸a˜ o $ T
y+ ,
[ H!j 0  @K! @  @Q>  @ kg  C@ (c) O deslocamento do bloco em g @ e´ - I @BL z- @Q>  @ m (d) Para a acelerac¸a˜ o em g @Q>\C@ s,   = I g @E>C@ML on I C@B@ ! L I @Q>  @MLmbdH4 !¨ C N Yc>/M@ m/s m (e) A energia cin´etica m´axima alcanc¸ada pelo bloco e´ ’ C
*  E< > F  N m m J 91. Um pˆendulo f´ısico consiste em duas hastes com um metro de comprimento que s˜ao ligadas como mostra a Fig. 14-44. Qual o per´ıodo de oscilac¸a˜ o com um eixo inserido no ponto ? Ä http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 3 de Agosto de 2003, a` s 10:14 a.m.  Precisamos primeiro determinar a posic¸a˜ o do centro de massa das duas hastes. Do cap´ıtulo sabemos que N

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onde ª e s˜ao, respectivamente, o comprimento e a massa de cada uma das hastes. A origem do sistema de referˆencia est´a colocado no ponto Ä . Ent˜ao, o centro de massa do sistema formado pelas duas hastes est´a a` distˆancia ª 0 / abaixo do ponto Ä . Portanto, a´ı temos a cm distˆancia ”d” do centro de massa do pˆendulo ao ponto de suspens˜ao. O momento de in´ercia do sistema e´ ˜ ˜ i ˜  C  F  ˜ F N s R P´agina 9 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003, a` s 12:32 p.m. Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte´udo 15 Gravitac¸a˜ o 15.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . 15.2.1 A Lei da Gravitac¸a˜ o de Newton 15.2.2 Gravitac¸a˜ o e o Princ´ıpio de Superposic¸a˜ o . . . . . . . . . . 2 2 2 2 2 15.2.3 Gravitac¸a˜ o Pr´oximo a` Superf´ıcie da Terra . . . . . . . . 15.2.4 Gravitac¸a˜ o no Interior da Terra . 15.2.5 Energia Potencial Gravitacional 15.2.6 Planetas e Sat´elites: Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . ´ 15.2.7 Orbitas de Sat´elites e Energia . 15.2.8 Problemas Adicionais . . . . . Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 3 4 4 7 8 10 jgallas @ if.ufrgs.br (listam3.tex) P´agina 1 de 10 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003, a` s 12:32 p.m. 15 Gravitac¸a˜ o 15.2.2 Gravitac¸a˜ o e o Princ´ıpio de Superposic¸a˜ o E 15-6 (14-7/6  ) A que distˆancia da Terra, medida ao longo da linha que une os centros da Terra e do Sol, deve estar uma sonda espacial para que a atrac¸a˜ o gravitacional anule a da Terra? 15.1 Quest˜oes Q 15-11 A forc¸a gravitacional exercida pelo Sol sobre a Lua e´ quase duas vezes maior que aquela exercida pela Terra. Por que a Lua n˜ao escapa da Terra?
No ponto onde as forc¸as se equilibram temos DCFEG   
onde CFE e CJH s˜a o as massas da Terra e do Sol,  e´ a massa da  sonda, a distˆancia do centro da Terra at´e  a sonda, e  a distˆancia do centro do Sol at´e a sonda. Chamando de : a distˆa ncia do centro da Terra at´e o cen tro do Sol, temos que K:ML e, portanto, que 15.2 Problemas e Exerc´ıcios  C E     15.2.1 A Lei da Gravitac¸a˜ o de Newton E 15-1 (14-1/6  edic¸a˜ o)
O m´odulo da forc¸a gravitacional e´     donde tiramos que            C H  : L  ' = I donde, extraindo a raiz quadrada e re-arranjando, segue Qual deve ser a separac¸a˜ o entre uma part´ıcula de  kg e outra de   kg, para que sua forc¸a de atrac¸a˜ o gravitacional seja    N?  DC;H)    I      C E :ON F N C E 8PN C H :  Q8KR J C H F C E  / .S ,  "! $! #   %&(' )    ' )  '  *  %+  -, m   Q8KT \4U SASWVX+YAZB[ U SA]WVX+YA^"_ /,`= @ - ] m  Perceba qu˜ao u´ til foi realizar a simplificac¸a˜ o algebricamente antes de substituir os valores num´ericos. E 15-4 (14-3/6  ) P 15-15 (14-13/6  ) Um dos sat´elites Echo consistia em um bal˜ao esf´erico de alum´ınio inflado, com . m de diˆametro e massa igual a # / kg. Suponha que um meteoro de kg passe a m da superf´ıcie do sat´elite. Qual a forc¸a gravitacional sobre o meteoro, devida ao sat´elite, nesse instante? O problema que segue foi retirado do exame “Ol´ımpico” de 1946, da Universidade Estatal de Moscou (veja Fig. 15-31). Fazemos uma cavidade esf´erica numa bola de chumbo de raio 7 , de tal modo que sua superf´ıcie toca o exterior da esfera de chumbo, passando tamb´em
Use 0132435   , onde 62 e 35 s˜ao as massas pelo seu centro. A massa da esfera, antes de ser feita do sat´elite e do meteoro, respectivamente. A distˆancia a cavidade, era C . Qual a intensidade da forc¸a gravi tacional com que a esfera cˆoncava atrair´a uma pequena entre os centros e´ 1798;: <8; => -? m, onde 7 e´ o raio do sat´elite e : a distˆancia entre sua superf´ıcie e esfera de massa  , que est´a a uma distˆancia : do seu centro, medida ao longo da linha que passa pelos ceno centro do meteoro. Portanto tros das esferas e da cavidade? "! !$# B# 0  @ -)A ' / ' -?  ' 1) , @ - %& N 
Se a esfera de chumbo n˜ao fosse oca, a magnitude  da forc¸a que ela exerceria em  seria  DCa :` .  Parte desta forc¸a e´ devida ao material que e´ removido. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 2 de 10 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003, a` s 12:32 p.m. Calcule a forc¸a exercida sobre  por uma esfera que encha a cavidade, na posic¸a˜ o da cavidade, e subtraia-a da forc¸a feita pela esfera s´olida.  A cavidade tem raio b7  . O material que preenchea tem a mesma densidade (= massa/volume) que a esfera  s´olida. Ou seja,Wj´e a cancelando-se o fator comum .c ,  e fC 7 , onde  CJd e´  a massa que temos que C;d preenche a cavidade. Portanto, com b7  , temos We C d  7 egCh 7 e 7 ? eiCj C  ?  O centro   da cavidade est´a a uma distˆancia : L :kL97  da massa  , de modo que a forc¸a que a cavidade exerce sobre  e´      E 15-18 (14-15/6  ) A que altura, medida a partir da superf´ıcie da Terra, a acelerac¸a˜ o da gravidade ser´a X , m/s ? 
Para comec¸ar, perceba que X ,M1,) ?  . {  A acelerac¸a˜ o devida gravidade  e´ dada por bDC , onde C e´ a massa da Terra e e´ a distˆancia do centro da Terra  at´e o ponto onde se mede a acelerac¸a˜ o. Substituindo 7m81{ € , onde 7  e´ o raio da Terra e € e´ a 7a81€ '  . Resolvendo-se altitude, obtemos DC esta equac¸a˜ o para € e usando os valores num´ericos fornecidos no Apˆendice C, temos  €  C ? '   :DLl7  '     DCamn L :  ? :MLl7  'Oo   DCa :   n pL ?rqs tLl7 DC { }  A magnitude da forc¸a exercida pela esfera furada e´ mK  LF  L@7  .: 'vuw)o  Ll7 ‚! $! # ! #  @ - A '  ,.? @ - &ƒ ' L  @ -`„ X , !  @ - „ m  P 15-29 (14-??/6  ) 15.2.3 Gravitac¸a˜ o Pr´oximo a` Superf´ıcie da Terra Um corpo est´a suspenso numa balanc¸a de mola num navio que viaja ao longo do equador com velocidade … . (a) Mostre que aleitura da balanc¸a ser´a muito pr´oxima de { E 15-16 (14-??/6  ) † , onde ˆ ‰ ‡   y Š … Š e´ a velocidade angular da Ter' Y † Se o per´ıodo de um pˆendulo e´ exatamente s no equador, ra e e´ a leitura da balanc¸a quando o navio est´a em Y qual ser´a seu per´ıodo no p´olo sul? Utilize a Fig. 15-7. repouso. (b) explique o sinal de mais ou menos.

(a) As forc¸as que atuam num objeto sendo pesado s˜ao O per´ { ıodo de um pˆendulo simples e´ dado por xf , onde z e´ o comprimento do pˆendulo. Co- a forc¸a da gravidade, para baixo, e a forc¸a da mola, para mo e´ diferente em lugares diferentes da superf´ıcie da cima, cujas magnitudes chamaremos de Œ‹ e † , resTerra, o per´ıodo de um pˆendulo varia quando ele e´ car- pectivamente. A leitura da balanc¸a fornece o valor de regado de um lugar para outro. Portanto, os per´ıodos no † . Como o objeto est´a viajando num c´ırculo de raio p´olo sul e no equador s˜ao, respectivamente, 7 , possui uma acelerac¸a˜ o centr´ıpeta. A segunda lei de Newton fornece-nos WcyR { z xr|M1Wcy} {  z | e I cuja raz˜ao e´ x | x ~  obtemos x |   { ~ { x ~  | x%~t1Wc } { z ~  ‹ L I {  { ~ | . Desta u´ ltima express˜ao onde R  # ,X ?. ,  ?` ` X s ' 1) ,., # s I onde os valores num´ericos foram tirados da Fig. 15-7. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas † K9 7  I e´ a velocidade do objeto medida num referencial  inercial e  e´ a massa do objeto. A relac¸a˜ o entre as velocidades e´ fŠŽ70‡… , onde Š e´ a velocidade angular da Terra  quando gira, e … e´ a velocidade do navio em relac¸a˜ o a` Terra. O sinal 8 e´ usado se o navio estiver navegando no mesmo sentido que a porc¸a˜ o de a´ gua sob ele (de oeste para leste) e negativa se P´agina 3 de 10 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003, a` s 12:32 p.m. navegar no sentido contr´ario (de leste para oeste). Com onde C e´ a massa total da Terra e 7 isto tudo, a segunda lei de Newton fica A acelerac¸a˜ o devida a` gravidade e´ † Œ‹L 9 { ŠŽ79‡F… '   7     ‹ L † ŠŽ7Ž‡;WŠŽ7…   K 7   01G‹‘L kŠ  79’;/“Šy…” † Com o navio parado,† …b•†  , a leitura e´ Y fŒ‹*L kŠŽ7 e, portanto,  Y ’mWkŠy… . Substituindo † { agora  por obtemos, finalmente, que † Y—– Q’  (b) Agora šDC 7 , onde C e´ a massa conjunta do n´ u cleo mais o manto e 7 e´ o raio externo do manto, !  .$< › - „ m, de acordo com a Fig. 15-35. A massa em quest˜ao e´ Cjm ` ,` Ž = - &ƒ 8*X ) œ D - ƒ 1) ,.Q = - &ƒ kg, onde a primeira parcela e´ a massa do n´ucleo e a segunda a do manto. Portanto ‚! O! #  "! A '  ,/› @ -`ƒ ' b,X ?. m/s/  /$ @ - „ '+ {  Y  ,X ?` m/s/ { I de modo que † DC "!7  !$#  l ‚! -%# & ' ) ,`? .&ƒ '  @ - „ '   Ao expandir o parentesis podemos desprezar o termo …$ pois a magnitude de … e´ muito menor que ŠŽ7 . Portanto e´ o raio da Terra. Šy… {•˜  (c) Um ponto a . km abaixo da superf´ıcie est´a na interface manto-n´ ucleo, na superf´ıcie de uma esfera de raio ! (b) O sinal L e´ usado se o navio navegar em direc¸a˜ o ao 7a  .$ 3 - „ m. Como a massa e´ suposta uniformeleste, enquanto que o sinal 8 e´ usado quando navegar mente distribuida, pode ser encontrada multiplicando-se em direc¸a˜ o ao oeste. a massa por de volume pelo volume da esfera: e unidade e C  7 7 ž ' CJE , onde CFE e´ a massa total da Terra e 7 E e´ o raio da Terra. Portanto, simplificando de 15.2.4 Gravitac¸a˜ o no Interior da Terra antem˜ao um fator  „ comum a ambos os raio, temos P 15-34 (14-25/6  ) A Fig. 15-35 mostra, em corte, o interior da Terra (a figura n˜ao est´a em escala). Longe de ser uniforme, a Terra est´a dividida em trˆes regi˜oes: uma crosta exterior, o manto e um n´ucleo interior. A figura mostra as dimens˜oes radiais destas regi˜oes, bem como as massas contidas em cada uma. A massa total da Terra e´  ,.?™ 9 - ƒ kg e seu raio e´ 6370 km. Supondo que { a Terra e´ esf´erica e ignorando sua rotac¸a˜ o, (a) calcule na superf´ıcie. (b) Suponha que um poc¸o (o Moho) e´ escavado desde a superf´ıcie at´e a regi˜ao que separa a crosta { do manto, a . km de profundidade; qual o valor de no fundo deste poc¸o? (c) Considerando que a Terra e´ uma esfera uniforme com massa e raios iguais aos da { verdadeira Terra, qual seria o valor de a uma profundidade de .{  km? (Veja o Exerc´ıcio 15-33.)(Medidas precisas de funcionam como sondas bastantes sens´ıveis para estudar a estrutura do interior da Terra, embora os resultados possam ser mascarados por variac¸o˜ es de densidade locais.) C   7 e e CFE 7! ž o  /$  ,.?  &ƒ '  ,)  @ - &ƒ kg  n ! #  o n A acelerac¸a˜ o da gravidade e´ {  ‚! O! # #  "! A '  ,) M @ -`ƒ ' b,X , m/s/  /$ @ - „ '+ 15.2.5 Energia Potencial Gravitacional P 15-46 (14-31/6  ) As trˆes esferas da Fig. 15-38, com massas   ?.. g,    -` g e  e Ÿ/` g, est˜ao com seus centros alinhados, sendo zJ0  cm e :b cm. Vocˆe movimenta a esfera do meio at´e que a sua distˆancia centro a centro de  e seja : ¡ cm. Qual o trabalho realizado sobre
(a) A magnitude da forc¸a numa part´ıcula com massa  (a) por vocˆe e (b) pela forc¸a gravitacional resultante    na superf´ıcie da Terra e´ dada por fšDCa 7 , sobre   , devido a` s outras esferas? http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 4 de 10 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003, a` s 12:32 p.m.
(a) O trabalho feito por vocˆe ao mover a esfera de Considere a energia potencial final como sendo zero e ¥ massa   e´ igual a` variac¸a˜ o da energia potencial do sis- seja ¬ a energia cin´etica final. Ent˜ao tema das trˆes esferas. A energia potencial inicial e´ ¢¤£        e    e  0L L L : z z L@: l ¬ ¥ K¬ ¥ ± ¢ ²(³¥ ´ Y 8‰®¯° ¢¤£  I     e    e     mL L L  zlL@: z :  O trabalho e´ , portanto, †  ¢y¥ L ¢ £  ˜  r¦   L@ e § – L : z Ll: l  ‚! O! #  @ - A ' )¨ - ' § ˜ ¦ ) ?.L@X . – X . L X `? { Lp enquanto que a energia potencial final e´ ¢Ž¥ 8;¬  { £ 7 E 8;/ { 7 E 7 E  Como o resultado e´ positivo, o foguete tem energia cin´etica suficiente para escapar do campo gravitacional terrestre. ¥  (b) Chamemos de ™…$  a energia cin´etica final. Ent˜ao { ¥  ™…O Mb 7 E e, portanto, … ¥  { R  7 E  P 15-48 (14-35/6  ) (a) Qual e´ a velocidade de escape num aster´oide cujo raio tem .. km e cuja acelerac¸a˜ o gravitacional na su 8   A J  perf´ıcie e´ de m/s ? (b) A que distˆancia da superf´ıcie ir´a uma part´ıcula que deixe o aster´oide com uma veloPerceba qu˜ao u´ til foi realizar a simplificac¸a˜ o algebrica- cidade radial de .. m/s? (c) Com que velocidade um mente antes de substituir os valores num´ericos. Em par- objeto atingir´a o aster´oide, se cair de uma distˆancia de ¢ £ ticular, existe um termo em ambas express˜oes de e .` km sobre a superf´ıcie? ¢ ¥ que se cancelam ao considerarmos o trabalho.
(a) Usamos aqui o princ´ıpio da conservac¸a˜ o da ener(b) O trabalho feito pela forc¸a gravitacional e´ gia. Inicialmente a part´ıcula est´a na¢ superf´ ıcie do  as£ † ¢y¥ ¢ £ ter´ o ide e tem uma energia potencial Ÿ  < L DCa 7 , L L L ' L©  @ - A J  onde C e´ a massa do aster´oide, 7 e´ o seu raio, e  e´ a massa da part´ıcula ejetada. Considere a energia cin´etica  £ inicial como sendo ¬ i™…$  . A part´ıcula conP 15-47 (14-33/6  ) segue apenas escapar se sua energia cin´etica for zero quando ela estiver infinitamente afastada do aster´oide. Um{ foguete e´ acelerado at´e uma velocidade …ª As energias cin´etica e potencial s˜ao nulas. Portanto, a  N 7 E pr´oximo a` superf´ıcie da Terra (aqui 7 E e´ o conservac¸a˜ o da energia nos diz que raio da Terra) e, ent˜ao, orientado para cima. (a) Mos¢y£ £ DCa tre que ele escapar´a da Terra. (b) Mostre que a sua ve8J¬ mL 8 ™…  b) locidade,{ quando estiver muito distante da Terra, ser´a 7   { { …* N  7 E . Substituindo DC 7 por 7 , onde e´ a acelerac¸a˜ o da
(a) Basta usar-se o princ´ıpio da conservac¸a˜ o da ener- gravidade na superf´ıcie, e resolvendo para … encontra- gia. Inicialmente o foguete ıcie da { Terra  ¢¤£ est´a na superf´ «L<DCa 7‘E «Lp 7‘E , e a energia potencial e´ onde C e´ a massa da Terra,  a massa{ do foguete, e  7E e´ o raio da Terra. Usamos o£ fato que  KDC { 7 E . f™…$ ;­/ 7‘E A energia cin´etica inicial e´ ¬ onde, de{ acordo com os dados do problema, usamos …*1 N 7 E . Para o foguete conseguir escapar, a conservac¸a˜ o da energia deve fornecer uma energia cin´etica final positiva, n˜ao importando qu˜ao longe da Terra o foguete ande. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas mos que …› { R  7   e R  ' ..  ' # e . @-  m/s  (b) Inicialmente a part´ıcula est´  a na superf´ıcie. A ener¢ £ gia£ potencial e´  DCa 7 e a energia cin´etica e´ • ¬ µ™…$  . Suponha a part´ıcula a uma distˆancia € acima da superf´ıcie quando ela atinge momentanea¢Ž¥ mente o repouso. A energia potencial final e´  P´agina 5 de 10 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS L<DCa  8 de Dezembro de 2003, a` s 12:32 p.m. ¥ 7K8b€ ' e a energia cin´etica final e´ ¬ « . Duas estrelas de nˆeutrons est˜ao separadas por e uma distˆancia de \ $+Y m. Ambas possuem massa de - Y kg e raio de  m. Se estiverem inicialmente em repouso Com isto, a conservac¸a˜ o da energia nos fornece que DCa 7 L Substituindo-se DC  DCa  7P8P€ ™…  mL { por 7 e cancelando  { L 8 7‰8 7  798;€ …  0L obtemos { uma em relac¸a˜ o a` outra: (a) com que rapidez estar˜ao se movendo, quando sua separac¸a˜ o tiver diminu´ıdo para a metade do valor inicial? (b) Qual a velocidade das duas estrelas, imediatamente antes de colidirem?
(a) O momento das duas estrelas e´ conservado, e como elas tem a mesma massa, suas velocidades e energias cin´eticas s˜ao iguais. Usamos o princ´ıpio da conservac¸a˜ o donde tiramos que da energia. { W £ ¢ £  7 A energia potencial inicial e´ , onde C ¡L<DCm  { €  L@7  £  7bL@…  e ´ massa de qualquer uma das estrelas e sua separac ¸ a˜ o e e  ' .. @ - '  inicial centro a centro. A energia cin´etica inicial e´ ze¢ £  LF/`  e ro, est˜ao emW repouso. A ener¹ , pois as estrelas  ' ..  ' L -.` ' ¢ ¥ £ \   © L /  D  m C  gia potencial final e´ , uma vez que a £  )  @ - m  separac¸a˜ o final e´   . A energia cin´etica final do siste ¥   m  a C … ©  ‰ 8 a C …   a  Ca…  . Com isto tudo, ma e´ ¬ (c) Inicialmente a part´ıcula est´a a uma distˆancia € acia conservac¸a˜ o da energia nos diz que ma  em repouso. Sua energia potencial e´ ¢ £ da superf´ıcie, ¶ < L D  a C  7m8a€ ' e sua energia cin´etica inicial £ .DCm DCm e´ ¬ o aster´oide · . Imediatamente  £ L  £ L 8;Ca…    ¢y¥ antes de atingir a energia potencial e´ ¸L<DCa 7 . Escrevendo  ™…$  para energia cin´etica, a conservac¸a˜ o da energia Portanto nos diz que DCa L 7P8‰€ Cancelando-se  mos L  DCa  L m 7 8  I ™…   e substitutindo-se DC { { 7   L 7‰8 798;€   … { por 7 obte- …   … {  7   b 7 L 7P8‰€ {  e  ' /`  '  e . .<8b .` '  e }  ' /` @ - ' L  R   `..LP -`. ' @ - e ` r   m/s  e  N    (b) Imediatamente antes de colidirem a separac¸a˜ o dos \  ¥ ·/7š·™ ‰  m, onde 7 e´ o raio de centros e´ qualquer uma das estrelas.  ¥ A energia potencial final e´ ¢y¥ dada por ¡L<DCm e a equac¸a˜ o da conservac¸a˜ o da energia fica agora sendo Resolvendo ent˜ao para … encontramos  DC  £  ‚! !O# e     A(' - Y' K?X  @ - ƒ m/s   + Y  DC   £   L L I de onde obtemos que e Observe que se pode simplificar “de cabec¸a” o que esta dentro do radical. Esta pr´atica e´ salutar!!! :-)) .DC   ¥ 8;Ca…  …  } DC     ¥ L  £ ˜ –   ! $! # e \ L  @ - A+º Y –  @ -  +Y ˜ ` ? @ -`» m/s  P 15-51 (14-37/6  ) http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 6 de 10 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003, a` s 12:32 p.m. 15.2.6 Planetas e Sat´elites: Leis de Kepler o que e´ um n´umero e tanto de estrelas, n˜ao?... P 15-56 (14-41/6  ) E 15-60 (14-45/6  ) Um dos sat´elites de Marte, Fobos, est´a numa o´ rbita circular de raio ,X k J - „ m com um per´ıodo de 7 h e 39 (a) Qual a velocidade linear que um sat´elite da Terra de! ve ter para ficar em o´ rbita circular a uma altitude de  m. A partir destes dados, calcule a massa de Marte. 
km? (b) Qual o per´ıodo de revoluc¸a˜ o desse sat´elite? O per´ıodo x e o raio da o´ rbita est˜ao relacionados pe We la lei dos per´ıodos (de Kepler): x©MŸq .c% DC '¼u ,
(a) Chamando de  o raio da o´ rbita, ent˜ao a magnionde C B# e´ a ! massa de Marte. O# per´ıodo e´ 7h 39m, que tude da forc¸a gravitacional que atua no sat´elite e´ dada !  perfaz <8J `, ' D /` s. Portanto por DCa  , onde C e´ a massa da Terra e  e´ a mas- We `c% x  e ‚! O! .# c% ,) *  „ # '  @ - A('  W ` '+ sa do sat´elite.  A magnitude da acelerac¸a˜ o do sat´elite e´ dada por …O . onde … e´ a sua velocidade. A segunda   lei de Newton fornece-nos D  a C  Á    k  …O . Co! # ! mo e # da Terra ! e´  e P - ! „ m, o raio da o´ rbita e´  o! raio     kg    3 - „ 8J  3 -   .  ™  „ m. Portanto, O Apˆendice# C informa que a massa CJ½ de Marte e´ a velocidade e´ dada por igual a )¨ - vezes a massa da Terra. Portanto  Cj  # ! ! e CJ½¾K)¨ - C E   `,.? @ -  kg …  I uma boa concordˆancia. N˜ao seria de se esperar que o autor do livro deixasse de verificar isto ao escolher os dados do problema, claro... ;-) E 15-58 (14-43/6  )   DC   "! $! #  @ -!  %  &Ã' ) ,`?  &ƒ' /  @ - „ # e  ?`  m/s  (b) Como a circunferˆencia da o´ rbita e´ /c  , o per´ıodo e´ O Sol, cuja massa vale * F - Y kg, orbita em torno da ‚!  e /c # /  @ - „ ' Wc Via L´actea, que est´a a uma distˆancia de g ‰ - Y m, xK  .  s e com per´ıodo de › J .] anos. Supondo que todas as …  ?` @ - I estrelas da Gal´axia tˆem massa igual a` do Sol e que est˜ao # distribu´ıdas de maneira uniforme num volume esf´erico ou, equivalentemente, ?   minutos. em torno do centro da Gal´axia e, al´em disto, que o Sol est´a praticamente na superf´ıcie desta esfera, fac¸a uma estimativa grosseira do n´umero de estrelas na Gal´axia. E 15-62 (14-47/6  )
Chamemos de ¿ o n´umero de estrelas na Gal´axia, de ! da Terra est´a numa o´ rbita el´ıptica com apoC a massa do Sol, e 7 o raio de Gal´axia. A massa total Um sat´elite geu de  km e perigeu de -?` km. Calcule (a) o semida Gal´axia e´ ¿ C e a magnitude  da forc¸a gravitacional eixo maior e (b) a excentricidade da o´ rbita. (Sugest˜ao: atuante no Sol e´ KM¿ Cm 7 . A forc¸a aponta para Veja o exemplo 15-10.) o centro da  Gal´axia. A magnitude da acelerac¸a˜ o do Sol e´ À >…$ 7 , onde … e´ a sua velocidade. Chamando de
(a) A maior distˆancia entre o !sat´e# lite e o centro ! da x o per´ıodo do movimento  do Sol em torno  do centro da Terra (i.e., 7   a   8  o apogeu), e ´ „ ! # e  Gal´axia, ent˜ao …*1/c%7 x e À*b` c  7 x  . A segunda      k ‰  m. A menore distˆa! ncia (o perigeu) e´ „ ! # lei de Newton fornece-nos M¿ÁCm 7<b`c%-Cm7 x‘ . 7<|@  9 - „ 8> .k 9 - „ m. Em ! # ?.™ ‰   O n´umero ¿ desejado e´ , portanto,  ;   ambas express˜ o es, m e ´ o raio da Terra. Da „ e `c%7 Fig. 15-16 vemos que o semi-eixo maior e´ e ¿·  x  C # Como  .] anos s˜ao  ?`? $ e .c% )  @ -.&Y ' ¿š "! !$# B# e  '  ?`? '+  ' @ - A+º Y4º \ e segundos, temos Y K¨ M @ - +Y http://www.if.ufrgs.br/ jgallas I À   7  J 8 7 | "! #  ! ! !  ©8  . ' @ - „    @ - „ m   P´agina 7 de 10 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003, a` s 12:32 p.m. (b) As distˆancias do perigeu e apogeu est˜ao relaciona- portanto, as  estrela est˜  ao localizadas nos pontos   ' , das com o semi-eixo maior e a excentricidade atrav´es z  ' e z  z N  ' . A coordenada Ê d  do centro I  das f´ormulas de  I massa e´  Ê d I  $ CÌ8¡zQC k8>zˆC ' `C '  z ™8¹ z ' šª  z  enquanto que  Ë d   $CÍ8 7  bÀ Q8;Ä ' e 7 | KÀ 16.2 Problemas e Exerc´ıcios 16.2.1 Densidade e Press˜ao onde 10 e´ a press˜ao fora, 1E e´ a press˜ao interna, e  e´ a a´ rea da tampa. Isto fornece-nos  E I 0 3   %C 3 9!B J- lb/pol   % Observe que como /0 foi dada em lb/pol  e  e´ dada em pol  , n˜ao foi necess´ario converter-se unidades. A Encontre o aumento de press˜ao de um fluido em uma resposta final, e´ o´ bvio, n˜ao est´a no SI. seringa quando uma enfermeira aplica uma forc¸a de  N ao eˆ mbolo da seringa, de raio   cm. P 16-8 (15-7/6  edic¸a˜ o)
O aumento de press˜ao e´ a forc¸a aplicada dividida pela Em 1654, Otto von Guericke, burgomestre (prefeito) a´ rea, isto e´ ,    , onde  e´ o raio do de Magdeburg e inventor da bomba de v´acuo, deu uma pist˜ao da seringa. Portanto demonstrac¸a˜ o p´ublica para provar sua tese de que dois E 16-3 (15-1/6  edic¸a˜ o)    '&(%!) Pa   "!# !#$%  E 16-5 (15-3/6  edic¸a˜ o) A janela de um escrit´orio tem dimens˜oes de *+  m por   m. Como resultado de uma tempestade, a press˜ao do ar do lado de fora cai para !+ ,$- atm, mas a press˜ao de dentro permanece de  atm. Qual o valor da forc¸a que puxa a janela para fora?
grupos de oito cavalos n˜ao seriam capazes de separar dois hemisf´erios de lat˜ao unidos, dentro dos quais se fez v´acuo. Realmente, os cavalos n˜ao conseguiram separar os hemisf´erios. (a) Pressupondo que os hemisf´erios tenham paredes finas, de forma que K na Fig. 16-34 possa ser considerado o raio interno e externo, mostre que a forc¸a necess´aria para separar os hemisf´erios e´ ? LMK'9  , onde  e´ a diferenc¸a entre as press˜oes interna e externa na esfera. (b) Fazendo K igual a *$! cm e a press˜ao interna como !+N%! atm, encontre a forc¸a que os cavalos teriam de exercer para separar os hemisf´erios. (c) Por que foram usados dois grupos de cavalos? Apenas um grupo n˜ao provaria a tese da mesma forma? O ar de dentro empurra a janela para fora com uma forc¸a dada por /.% , onde /. e´ a press˜ao dentro do es-
Em cada ponto sobre a superf´ıcie dos hemisf´erios crit´orio e  e´ a a´ rea da janela. Analogamente, o ar do existe uma forc¸a l´ıquida para dentro, normal a` sulado de fora empurra para dentro com uma forc¸a dada perf´ ı cie, devida a` diferenc¸a de press˜ao entre o ar dentro por 10 , onde /0 e´ a press˜ao fora. A magnitude da e fora da esfera. Para poder separar os dois hemisf´erios forc¸a l´ıquida e´ , portanto, cada conjunto de cavalos precisa exercer uma forc¸a que tenha uma componente horizontal pelo menos igual a`  2 .3 /04 soma das componentes horizontais de todas as forc¸as que atuam sobre o hemisf´erio que puxam. 5 3 !+ ,$-$64 !#%*7&89! ) :*# ;6: % Considere uma forc¸a que atua no hemisf´erio puxado para a direita e que fac¸a um aˆ ngulo O com a horizontal. # ,<&89!= N > Sua componente horizontal e´ P6Q$ROS; , onde S; e´ onde usamos o fato que  atm ?$ !+9*@&89! ) Pa. um elemento infinitesimal de a´ rea no ponto onde a forc¸a http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 2 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 2 de Janeiro de 2004, a` s 10:50 a.m. est´a aplicada. Tomamos tal a´ rea como sendo a a´ rea do e  ser´a m´ınima quando ela anular-se. Portanto, ve-se anel com O constante na superf´ıcie. O raio do anel e´ que a diferenc¸a de press˜ao que deve ser mantida pela K sen O , onde K e´ o raio da esfera. Se a largura angular bomba e´ do anel e´ S$O , em radianos, ent˜ao sua largura e´ K'S$O e sua  3  ^ Ji$j$kp D",$!!;",+ B;:-# %q JC# r&89!= Pa  a´ rea e´ S;T UVMK' sen OWSO . Com isto, a componente horizontal l´ıquida a forc¸a do ar e´ dada por YX MK   Z\[] ^  E 16-16 (15-13/6  ) senO P6Q$RO_S$O Membros da tripulac¸a˜ o tentam escapar de um submarino danificado, %!! m abaixo da superf´ıcie. Que forc¸a MK   sen  OM` ^ LMK  a eles tˆem de aplicar no alc¸ap˜ao, de $  m por !+ -$! m, pa` ` ra empurr´a-lo para fora? Considere a densidade da a´ gua Esta e´ a forc¸a m´ınima que deve ser exercida por ca- do oceano %!$C kg/m h . da conjunto de cavalos para conseguir separar os he-
A press˜ao  na profundidade S do alc¸ap˜ao e´  ^1s i$jS , misf´erios. onde i e´ a densidade da a´ gua do oceano e  ^ e´ a press˜ao (b) Lembrando que  atm  !#%*H&b%! ) Pa, temos atmosf´erica. A forc¸a para baixo da a´ gua no alc¸ap˜ao e´ 2 ^ s ijS4 , onde  e´ a a´ rea do alc¸ap˜ao. Se o ar no YXc d :!# *$  :!# ,!$64$ !+9*c&(%!)6 eC#gf$f7&89!$h N  submarino estiver na press˜ao atmosf´erica, ent˜ao exercer´a uma forc¸a  ^  para cima. A forc¸a m´ınima que de(c) Um conjunto de cavalos teria sido suficiente se um ve ser aplicada pela tripulac¸a˜ o para abrir o alc¸ap˜ao tem dos hemisf´erios tivesse sido amarrado a uma a´ rvore magnitude dada por grande ou a um pr´edio. Dois conjuntos de cavalos foram provavelmente usados para aumentar o efeito dram´atico  2 ^ s ijS4 3  ^  da demonstrac¸a˜ o. []  16.2.2 Fluidos em Repouso
Considere o bombeamento no cano num instante qualquer. A forc¸a m´ınima da bomba e´ aquela que serve para equilibrar a forc¸a da gravidade no esgoto com a forc¸a da bomba no cano. Sob tal forc¸a m´ınima o esgoto ser´a empurrado sem mudar sua energia cin´etica. A forc¸a da gravidade no esgoto e´ i$j;k6 , onde i e´ a sua densidade, k ( lB#g 3  m n-#  m) e´ o comprimento do cano, e  e´ a a´ rea da secc¸a˜ o reta do cano. Se  ^ for a press˜ao no cano, ent˜ao  ^  e´ a forc¸a que empurra o esgoto para baixo no cano. Se  for a press˜ao exercida pela bomba, ent˜ao a forc¸a da bomba no esgoto e´ 1 . A forc¸a l´ıquida no esgoto e´ dada por o 3  ^ 4 3 ij;k6 http://www.if.ufrgs.br/ jgallas i$jS; 59!$$C6",# B$64%!!$64$ $"!+ -$!$t fgc&(%! ) N  P 16-18 (15-15/6  ) E 16-11 (15-9/6  ) As saidas dos canos de esgotos de uma casa constru´ıda em uma ladeira est˜ao B#g m abaixo do n´ıvel da rua. Se o cano de esgoto se encontra a   m abaixo do n´ıvel da rua, encontre a diferenc¸a de press˜ao m´ınima que deve ser criada pela bomba de recalque para puxar esgoto de densidade m´edia ,$!! kg/m h . Dois vasos cil´ındricos idˆenticos, com suas bases ao mesmo n´ıvel, contˆem um l´ıquido de densidade i . A a´ rea da base e´  para ambos, mas em um dos vasos a altura do l´ıquido e´ u/v e no outro e´ u . Encontre o trabalho realiza do pela forc¸a gravitacional ao igualar os n´ıveis, quando os dois vasos s˜ao conectados.
Quando os n´ıveis s˜ao os mesmos a altura do l´ıquido e´ u wu v s u  x  , onde u v e u  s˜ao as alturas originais. Suponha que u v e´ maior do que u . A situac¸a˜ o final po de ser atingida tomando-se um porc¸a˜ o de l´ıquido com volume Hwu1v 3 uF e massa iHwu1v 3 uF , no primeiro vaso, e baixando-a por uma distˆancia u 3 u . O trabalho  feito pela forc¸a da gravidade e´ y LiHwu vz3 u1Gj:u 3 u  { Substituindo-se u| wu v s u  }V nesta express˜ao acha- mos o resultado pedido: y   i$jc:u/v 3 u     P´agina 3 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS P 16-22 (15-17/6  ) 2 de Janeiro de 2004, a` s 10:50 a.m. 16.2.3 O Princ´ıpio de Arquimedes Na Fig. 16-38, o oceano est´a a ponto de invadir o continente. Encontre a profundidade u do oceano, usando o E 16-31 (15-??/6  ) m´etodo do n´ıvel de compensac¸a˜ o mostrado no Problema 21. Uma lata tem volume de %V!$! cm h e massa de 9*$! g.
Quantas gramas de balas de chumbo ela poderia carreSuponha que a press˜ao e´ a mesma em todos pontos gar, sem que afundasse na a´ gua? A densidade do chuma uma distˆancia S~ V! km abaixo da superf´ıcie. Para       g/cm bo e ´ h. pontos no lado esquerdo da figura tal pres˜ao e´ dada por
Seja ‡ˆ a massa da lata e ‡‰€ a massa do chumbo. A forc¸a da gravidade sobre o sistema ‘lata + chumbo’ e´ "‡ ˆ s ‡ € Gj e a forc¸a de empuxo da a´ gua e´ i$j#Š , onde onde  ^ e´ a press˜ao atmosf´erica, i ^ e´ a densidade da irG J,$,B kg/m h ) e´ a densidade da a´ gua e Š e´ o volume a´ gua do oceano e u e´ a profundidade do oceano,  i € e´ de a´ gua deslocada. a densidade da crosta e S€ a espessura da crosta, e i; No equil´ıbrio, estas forc¸as balanceiam-se de modo que e´ a densidade do manto e S; e´ a espessura do manto (at´e uma profundidade de V! km). Para pontos no lado ‡ ˆ s ‡ € Gjr di$jŠ‹ direito da figura,  e´ dada por A lata ir´a conter a maior massa de chumbo quando es ‚ ^ s i€5jS+ tiver quase por afundar de modo que o volume da a´ gua deslocada coincide ent˜ao como o volume da lata. PorIgualando estas duas express˜oes para  e cancelando j tanto obtemos que  b ^ s i ^ j#u s i€}S;S;€ s ijS;H> ‡ € LiŠ i€}Sc Ji ^ u s i€}S€ s iS;c Substituindo S;e ƒS 3 u 3 S€ , tem-se que i€}Sc di ^ u s i€}S;€ s i S 3 i'u 3 i„S;€9> :,,B;5%V!$!H&89!#Œ16 3 !+N%*! $ !f kg  E 16-34 (15-25/6  ) i€xS€ 3 i€}S s i S 3 i S€ i 3 i ^ i  3 i € :S 3 S €  i 3 i ^ "*+ * 3  B$wV! 3 %$ *+ * 3  ! Perceba que AV!! cm h DAV!$!H&89! Œ1 mh . de onde tiramos u 3 ‡ ˆ of km  Observe que na equac¸a˜ o acima substituimos km, n˜ao m. P 16-23 (15-19/6  ) Uma aˆ ncora de ferro, quando totalmente imersa na a´ gua, parece !! N mais leve que no ar. (a) Qual e´ o volume da aˆ ncora? (b) Qual e´ o peso no ar? A densidade do ferro e´ fVB;f! kg/m h .
(a) O problema diz que a aˆ ncora est´a totalmente debaixo da a´ gua. Ela aparenta ser mais leve porque a a´ gua empurra-a para cima com um empuxo de i j#Š , onde  i  e´ a densidade da a´ gua e Š e´ o volume da aˆ ncora. Seu peso efetivo dentro da a´ gua e´ …YŽ J… 3 i  j#Š > onde … e´ o seu peso verdadeiro (forc¸a da gravidade fora da a´ gua). Portanto A a´ gua se encontra a uma profundidade … abaixo da face … 3 …Ž !! y vertical de um dique, como ilustra a Fig. 16-39. Seja Š ƒ !V;Cc&89! Œ  mh  a largura do dique. (a) Encontre a forc¸a horizontal i  j ",,$B$6",# B$ resultante exercida no dique pela press˜ao manom´etrica da a´ gua e (b) o torque resultante devido a esta press˜ao (b) A massa da aˆ ncora e´ ‡‘ JiŠ , onde i e´ a densidade em relac¸a˜ o ao ponto † . (c) Encontre o brac¸o de alavan- do ferro. Seu peso no ar e´ ca, em relac¸a˜ o ao ponto † , da forc¸a horizontal resultante …? J‡@ j Li$jŠ wfVB;f!;:,# B$w !VC_&89! Œ   sobre o dique. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 4 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS gCVB@&(%! h N  2 de Janeiro de 2004, a` s 10:50 a.m. a a´ gua na mangueira tiver velocidade de * p´es, com que velocidade ela sair´a dos buracos do esguicho?
Use a equac¸a˜ o da continuidade. Seja • v a velocidade da a´ gua na mangueira e • sua velocidade quando ela  Uma matriz fundidora de ferro, contendo um certo deixa um dos furos. Seja 'v a a´ rea da secc¸a˜ o reta da n´umero de cavidades, pesa -!$!! N no ar e $!$!! N na mangueira. Como existem – furos, podemos imaginar a´ gua. Qual e´ o volume das cavidades da fundidora? A a a´ gua na mangueira como formando – tubos de fluxo, cada um indo sair atrav´es de um dos furos. A a´ rea de densidade do ferro e´ f Bf g/cm h . cada tubo de fluxo e´  v – . Se   for a a´ rea de um furo,
O volume ŠF€ das cavidades e´ a diferenc¸a entre o vo- a equac¸a˜ o da continuidade fica sendo dada por lume ŠF da matriz fundidora como um todo e o volume „v ŠF’ do ferro contido na matriz fundidora: • v J•   P 16-43 (15-33/6  ) Š € ƒŠ  3 Š ’   –  Desta express˜ao tiramos que O volume do ferro e´ dado por Š+’‚ ƒ…“ji’Y , onde … e´ o peso da matriz fundidora e i;’ e´ a densidade do Ferro.  v • v –   M •  K  „ • v > –  O peso efetivo …YŽ na a´ gua pode ser usado para encontrar onde K e´ o raio da mangueira e  e´ o raio de um furo. o volume da matriz fundidora. Ele e´ menor do que … Portanto pois a a´ gua empurra a matriz fundidora com uma forc¸a K' "!+ *fVC$4 ji  Š  , onde i  representa a densidade da a´ gua. Assim •  $• vp "*+ !; ƒB p´es/s  temos o peso efetivo dado por –W  F:!# !$$C  … Ž J… 3 ji  + Š @ P 16-56 (15-42/6  ) Portanto Š  … A a´ gua e´ bombeada continuamente para fora de um por˜ao inundado, a uma velocidade de C m/s, atrav´es de uma mangueira uniforme de raio  cm. A mangueira passa por uma janela * m acima do n´ıvel da a´ gua. Qual e´ a potˆencia da bomba? 3  … Ž > j i   de onde tiramos que Š1€” … 3 … Ž … 3 ji  ji ’ -$!!! 3 $!$!! 3 ",+ B;:!# ,,Bc&89! h  !# %;f m h
-$!!$! :,# B$6wf B;fH&89! h  E´ imprescind´ıvel saber fazer corretamente as convers˜oes de unidades: f B;f g/cm h f B;fH&(%! Œ h kg ef B;fH&(%! h kg/m h  9! Œ/ mh Suponha que uma massa c‡ de a´ gua e´ bombeada num tempo c— . A bomba aumenta a energia potencial da a´ gua por H‡j#u , onde u e´ a distˆancia vertical que a a´ gua e´ elevada, e aumenta sua energia cin´etica de c‡W•;AV , onde • e´ sua velocidade final. O trabalho que a bomba faz e´ y J c‡mj#u s   c‡W•  > e sua potˆencia e´ , consequentemente, …? y c— c‡ j#u s c—W˜   • %™  16.2.4 Linhas de Corrente e a Equac¸a˜ o da Conti- A taxa de fluxo de massa e´ c‡ H—‹ eip• , onde i e´ a nuidade densidade da a´ gua e  e´ a a´ rea da secc¸a˜ o transversal da mangueira, isto e´ , E 16-55 (15-39/6  ) ƒ J  L :!# !#%!$  ƒ*# 6<&89! Œ = m Uma mangueira de jardim, de diˆametro interno !+gfC pol, Com isto, temos e´ conectada a um esguicho que consiste em um cano com  furos, cada um com !+ !;CV! pol de diˆametro. Se i p•< š",$,B;"*+N9c&89! Œ =96:C$‹ ?$ C;f kg/s   http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 5 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 2 de Janeiro de 2004, a` s 10:50 a.m.
Portanto … H‡ j#u s c— ˜   Use a equac¸a˜ o de Bernoulli desprezando os termos de energia potencial, pois os dois tubos de fluxo est˜ao essencialmente na mesma altitude: •  ™ C  J-$- W  cœ 4gC$f#›G",+ B;:*# !$ s 16.2.5 Aplicac¸o˜ es da Equac¸a˜ o de Bernoulli E 16-58 (15-43/6  ) +ˆ s   i$• ˆ  b1¢ s   i;• ¢ > onde  ˆ e´ a press˜ao na superf´ıcie de baixo,  ¢ a press˜ao em superf´ıcie de cima, •Aˆ a velocidade do ar na superf´ıcie de baixo, •V¢ a velocidade do ar na superf´ıcie de cima, e i a densidade do ar. Desejamos encontrar •V¢ de modo que #ˆ 3 F¢\ ‘,!$! Pa, ou seja, A a´ gua se move com uma velocidade de C m/s atrav´es de #2#ˆ 3 F¢ s • ¢ £ • ˆ um cano com uma a´ rea de sec¸a˜ o transversal de  cm  . i A a´ gua desce 9! m gradualmente, enquanto a a´ rea do cano aumenta para B cm  . (a) Qual e´ a velocidade do #:,!!; s escoamento no n´ıvel mais baixo? (b) Se a press˜ao no ¤ 59!;  ?$9- m/s  $ * n´ıvel mais alto for gC<&b9! ) Pa, qual ser´a a press˜ao no n´ıvel mais baixo? Observe que e´ imprescind´ıvel usar as unidades corretas
de i : (a) Use a equac¸a˜ o da continuidade:  v • v  • ,   onde  v e´ a a´ rea do cano no topo e • v a velocidade da g 9! Œ h kg i@ ?$ *<&89! Œ h  *@&(%! Œ h a´ gua no local,  cmh 59! Œ   h mh  e´ a a´ rea do cano no fundo e •  e´ a velocidade da a´ gua no fundo. Portanto, kg  * >  v  mh •  •$v wC egC m/s    B que foi o n´umero usado para obter • ¢ . (b) Use a equac¸a˜ o de Bernoulli: P 16-73 (15-??/6  )  v s  i;• v s i$j#u v I  s    i;•  s i$ju  >  onde i e´ a densidade da a´ gua, u1v sua altura inicial e u  sua altura final. Portanto,   v s i1"• v 3 •   s i$j/wu vž3 u     gCH&89!$) s "!# ,,$B@&(%!h6ŸNC  3 :# C$ ¡   s "!+ ,$,B@&89! h ",+ B;59!$  -c&89! ) Pa     E 16-67 (15-49/6  ) As janelas de um pr´edio de escrit´orios tˆem dimens˜oes de  m por C m. Em um dia tempestuoso, o ar passa pela janela do 53 ¥ andar, paralelo a` janela, com uma velocidade de *! m/s. Calcule a forc¸a resultante aplicada na janela. A densidade do ar e´ $ * kg/m h .
Chamando-se de  E a press˜ao interna da sala e de  ¥ a press˜ao de fora da janela, temos que a forc¸a l´ıquida na janela e´ o1E 3  ¥ 4 , onde  e´ a a´ rea da janela. A diferenc¸a de press˜ao pode ser encontrada usando-se a equac¸a˜ o de Bernoulli:  ^ s i;•;AV_ ‚FE , onde • e´ a velocidade do ar fora e i e´ a densidade do ar. Supomos que o ar dentro da sala est´a parado. Portanto, FE 3  Li$•A ¥ sendo a forc¸a e´ dada por D   i$•     5gV*;"*$!$  "*; D$N$'&(%!V= N  Se a velocidade de escoamento, passando por debaixo de uma asa, e´ $9! m/s, que velocidade de escoamento na parte de cima criar´a uma diferenc¸a de press˜ao de ,!$! P 16-76 (15-??/6  ) Pa entre as superf´ıcies de cima e de baixo? Considere a densidade do ar iW  *r&I%! Œ h g/cm h . (Ver exerc´ıcio Uma placa de B! cm  e CV!! g de massa e´ presa por 15-66.) dobradic¸as em um de seus lados. Se houver ar soprando http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 6 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 2 de Janeiro de 2004, a` s 10:50 a.m. apenas sobre a sua superf´ıcie superior, que velocidade P 16-81 (15-25/6  ) dever´a ter o ar para sustentar a placa na posic¸a˜ o horiAplicando a equac¸a˜ o de Bernoulli e a equac¸a˜ o da conzontal? tinuidade aos pontos  e  da Fig. 16-22, mostre que a
Este exerc´ıcio considera uma situac¸a˜ o an´aloga aquela velocidade do escoamento na entrada (ponto  ) e´ mostrada na Fig. 16-26, da moc¸a soprando sobre uma folha de papel. ¨   •@ £  Como a press˜ao e´ uniforme sobre superf´ıcie o torque i1:  3 ¨   que ela exerce pode ser calculado como se o ar atuasse no centro de massa, o mesmo valendo para a forc¸a da
Ambos pontos est˜ao na mesma altitude, de modo que gravidade. O torque l´ıquido anula-se quando a forc¸a do ar iguala a a equac¸a˜ o de Bernoulli e´ forc¸a da gravidade. Seja +ˆ a press˜ao na superf´ıcie de   baixo, F¢ a press˜ao na superf´ıcie de cima, • a velocida v s i;• v ‚  s i;•      de do ar sobre a superf´ıcie superior, e i a densidade do ar. De acordo com a equac¸a˜ o de Bernoulli, A euqac¸a˜ o da continuidade e´ • v D¨;• , de modo que  •  ƒp• v ¨1 Substituindo esta express˜ao na equac¸a˜ o de   #ˆ¦ ‚F¢ s i;•  > ou seja +ˆ 3 1¢c i$•   Bernoulli obtemos    A magnitude da forc¸a do ar e´ š §o ˆ 3  ¢ 5 , onde   v s i;• v ‚  s  e´ a a´ rea da placa. No equil´ıbrio, l §‡j , onde ‡ e´ a massa da placa. Portanto Resolvendo-a, temos que   i$•  ƒ L‡j1> de onde obtemos • v ¤ V‡mj i £  "!+ C$",+ B; + J*; m/s  5gV*;"B$!H&89! Œ =  •$v £   #2 vž3   4¨  i1:  3 ¨     ™ • v  ˜ ¨ i £ V¨   > i/"  3 ¨   onde usamos ©b/v 3  .  16.2.6 Problemas Adicionais http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 7 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, a` s 10:21 a.m. Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte´udo 17 ´ MOVIMENTO ONDULATORIO 2 17.1 Question´ario . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Exerc´ıcios e Problemas . . . . . . . . . 17.3 Problemas Adicionais . . . . . . . . . . Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 2 3 9 jgallas @ if.ufrgs.br (listam3.tex) P´agina 1 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS ´ 17 MOVIMENTO ONDULATORIO 19 de Setembro de 2003, a` s 10:21 a.m. redistribuic¸a˜ o apropriada da sua energia, ou formando uma onda estacion´aria, com outra redistribuic¸a˜ o de energia. 17.1 Question´ario 17-9. Quando duas ondas interferem, existe perda de 17-2. Energia pode ser transferida por part´ıculas bem energia? Justifique sua resposta. como por ondas. Como podemos distinguir experimen
talmente esses m´etodos de transferˆencia de energia? N˜ao. Existe uma redistribuic¸a˜ o da energia. Nos pontos de inter ferˆencia destrutiva, a energia e´ nula,
A energia e´ transferida entre part´ıculas nos eventos mas, conseq¨uentemente ser´a maior nos pontos de interde colis˜ao, como acontece, por exemplo, num jogo com ferˆencia construtiva. bolas de bilhar. Quando a energia e´ tranferida por onda, tamb´em se d´a pelas colis˜oes das part´ıculas do meio, no caso das ondas mecˆanicas, mas as part´ıculas movem-se 17-11. Se duas ondas diferem somente em amplitude e localizadamente, enquanto a onda se propaga por uma se propagam em sentidos opostos atrav´es de um meio, extens˜ao muito maior. Um exemplo not´orio e´ o das on- produzir˜ao elas ondas estacion´arias? Existir´a energia transportada? Existir˜ao n´os? das sonoras.
N˜ao. 17-6. Compare o comportamento de (a) um sistema massa-mola oscilando num movimento harmˆonico simples e (b) um elemento de uma corda esticada onde uma 17-13. Uma onda transmite energia. Ela tamb´em transonda senoidal se propaga. Discuta do ponto de vista do fere momento linear. Ser´a poss´ıvel transferir momento deslocamento, velocidade vetorial, acelerac¸a˜ o e trans- angular? ferˆencias de energia.

(a) No sistema massa-mola, a energia e´ localizada, isto e´ , a massa det´em a energia cin´etica e a mola, suposta sem massa, det´em a energia potencial. Se a energia total e´ constante, em algum instante ela e´ toda da massa, quando esta passa pela posic¸a˜ o de equil´ıbrio e em outro instante ser´a toda potencial, quando a mola estiver na sua m´axima deformac¸a˜ o. Sendo o deslocamento medido em relac¸a˜ o a` posic¸a˜ o de equil´ıbrio, a velocidade nessa posic¸a˜ o e´ m´axima, enquanto a acelerac¸a˜ o e´ nula. Nos pontos de m´aximo deslocamento, a velocidade e´ nula e a acelerac¸a˜ o e´ m´axima. (b) Para o elemento da corda esticada, a energia est´a distribu´ida em vez de localizada, porque todas as part´ıculas do elemento se movem e sofrem a ac¸a˜ o da tens˜ao de deformac¸a˜ o. O elemento est´a sob a m´axima deformac¸a˜ o quando est´a na posic¸a˜ o de equil´ıbrio do MHS executado pelas part´ıculas e e´ tamb´em nessa posic¸a˜ o que a velocidade transversal atinge o seu m´aximo. Nos pontos de maior deslocamento das part´ıculas em relac¸a˜ a` posic¸a˜ o de equil´ıbrio, elas tem velocidade e acelerac¸a˜ o nulas. 17-15. Uma corda e´ esticada entre dois suportes fixos separados de uma distˆancia  . (a) Para quais harmˆonicos existir´a um n´o no ponto que dista  de um dos suportes? Existir´a um n´o, um antin´o ou uma condic¸a˜ o intermedi´aria num ponto que dista  de um dos suportes, se (b) o quinto harmˆonico foi gerado? (c) o d´ecimo harmˆonico foi gerado?
(a) Se o n´o dista   de um dos suportes, a corda est´a vibrando na forma de  meios comprimentos de onda. Ent˜ao trata-se do terceiro harmˆonico. (b) No ponto que dista  de um dos suportes, existir´a um n´o tanto para o quinto quanto para o d´ecimo harmˆonicos. 17-17. Violonistas sabem que, antes de um concerto, deve-se tocar um pouco o viol˜ao e ajustar suas cordas porque, ap´os alguns minutos de execuc¸a˜ o, as cordas se aquecem e cedem ligeiramente. Como esse pequeno afrouxamento afeta as freq¨ueˆ ncias de ressonˆancia das 17-8. Quando duas ondas interferem, uma atrapalha a cordas? propagac¸a˜ o da outra? Explique.
O afrouxamento das cordas tem como conseq¨ueˆ ncia
N˜ao. As ondas se combinam pelo prin´ıpio de a diminuic¸a˜ o da velocidade de propagac¸a˜ o das onsuperposic¸a˜ o formando uma onda progressiva com uma das na corda (   ), alterando o conjunto das http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 2 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, a` s 10:21 a.m. freq¨ueˆ ncias de ressonˆancia, isto e´ , o viol˜ao fica “desafinado”. < ? 6 D 7 6 4C(' 7  3CE  rad/s Ent˜ao, a onda em quest˜ao e´ 2F6  * 17.2 Exerc´ıcios e Problemas +87 14 6 94:5; 4C(' C(  *G= +87 17-14P. (a) Escreva uma express˜ao que descreva uma Sec¸a˜ o 17-5 A Velocidade Escalar de Propagac¸a˜ o de onda transversal se propagando numa corda, no sentiuma Onda do com um comprimento de onda de 5 cm, uma =H* 17-3E. Balanc¸ando um barco, um menino produz ondas freq¨ueˆ ncia de CE Hz e uma amplitude de  cm. (b) na superf´ıcie de um lago at´e ent˜ao quieto. Ele obser- Qual e´ a velocidade escalar m´axima de um ponto da va que o barco realiza  oscilac¸o˜ es em  s, cada corda? (c) Qual e´ a velocidade escalar da onda? oscilac¸a˜ o produzindo uma crista de onda  cm acima
(a) Comec¸amos calculando as quantidades < e para da superf´icie do lago. Observa ainda que uma deter? minada crista de onda chega a` terra, a doze metros de montar a equac¸a˜ o da onda: distˆancia, em  s. Quais s˜ao (a) o per´ıodo, (b) a velocidade escalar, (c) o comprimento de onda e (d) a  A A < amplitude desta onda? 0 1 A rad/cm  4
Inicialmente, calculamos a freq¨ueˆ ncia, que e´ Hz. As grandezas pedidas s˜ao aplicac¸o˜ es diretas de “f´ormulas”:     (a) 2%6 ! #"%$ * s &(' L ) * +, m/s / -.    +87 6 2 m´ax.   .  1    6 95:5; JA *>K IA +87 / 6 ? 7 6 .  7 IA 1  cm/s 6 7 6 5 7 C cm/s / MCE 17-16P. Uma onda de freq¨ueˆ ncia  Hz tem uma velocidade de   m/s. (a) Qu˜ao afastados est˜ao dois pontos que tem uma diferenc¸a de fase de A#  rad? (b) Qual e´ a diferenc¸a de fase entre dois deslocamentos, num determinado ponto, em tempos separados de  ms? m/ m 345 7 rad/s e 3IA m/ (d) 2 m 0  ) cm  7 C (c) (c) 0 6 3A (b) (b)   - A ? 17-6E. Escreva a equac¸a˜ o para uma onda se propagando no sentido negativo do eixo e que tenha uma ampli-
(a) Consideremos a func¸a˜ o 2%6   7 da Fig. 17-4a. As * tude de  4 m, uma freq¨ueˆ ncia de   Hz e uma fases da onda nesses dois pontos* defasados devem ser velocidade de  m/s. iguais:
< A forma da onda progressiva e´ 2%6 +87  * 2 +87 6< m 94:5; *>=@? <  A  ? 6  A 7 6    < *ONP=RQ / Precisamos calcular o n´umero de onda angular freq¨ueˆ ncia angular :  A 0 $ * < <%6 e a * 0 7 B48C(' rad/m http://www.if.ufrgs.br/ jgallas * $ KT* N  A Q   A $ 7 6 Q  KS*N 6    A Q 7 6 7 6 A#   7 7 34 ' m/ P´agina 3 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS (b) Agora consideramos a func¸a˜ o 2F6 +87  19 de Setembro de 2003, a` s 10:21 a.m. da Fig. 17-4b: 17-31P. O tipo de el´astico usado no interior de algumas bolas de beisebol e de golfe obedece a` lei de HooKU? KU? N =VQ ke para uma larga faixa de alongamento do el´astico. + 7 6 + Um segmento deste material tem um comprimento (n˜ao $ ? Q N K esticado)  e uma massa Z . Quando uma forc¸a e e´ aplicada, o el´astico estica de um comprimento adicional >W + 7 6 7 6 7 W 6 - A  A    MA rad /  . (a) Qual e ´ a velocidade escalar (em termos de Z , W Q  e a constante el´ astica < ) das ondas transversais neste el´astico? (b) Usando sua resposta em (a), mostre que Sec¸a˜ o 17-6 Velocidade Escalar da Onda numa Corda o tempo necess´ario para um pulso transversal percorrer W Esticada  se oW comprimento do el´asticoW e´ proporcional a  f hgigR e e ´ constante se kjijR . 17-18E. As cordas de um violino, respectivamente mais W leve e mais pesada, tem densidades lineares de  g/m
(a) Com a forc¸a aplicada el < W 7  e a densidade e . X g/m. Qual e´ a relac¸a˜ o dos diˆametros dessas cordo el´astico dada por a mZn 6   , calculamos a das, da mais pesada para a mais leve, supondo que s˜ao = velocidade escalar: feitas do mesmo material? + $ + e
< W ` 6  W  7  = D Bo A densidade volum´etrica das cordas e´ Y> 1Z[A%\ N^] .  Z Em termos da densidade linear dada, escrevemos YR #A%\ N . Como as cordas s˜ ao feitas do mesmo material, (b) O tempo necess´ario para o pulso transversal percorrer o comprimento do el´astico e´  $  \ $N \ N N N / + Substituindo os dados fornecidos, chegamos a` relac¸a˜ o entre os diˆametros _ $ e _ : N _ $ B' _ N / W Se igig , reduz-se a  6 W   7 N <   f W   Z <%6 W  = 7 N e´ desprez´ıvel e a express˜ao para +qp rZ < W ` +   17-25P. Uma corda esticada tem uma massa por uniW dade de comprimento de . g/cm e uma tens˜ao de 5 ou seja, o tempo e´ proporcional a  f  . W W + N. Uma onda senoidal nessa corda tem uma amplitude Se Pjij1 , ent˜ao ao  , caso em que a express˜ + de 45 mm e uma freq¨ueˆ ncia de 4 Hz e se propaga para reduz-se a no sentido de decrescente. Escreva uma equac¸a˜ o para * essa onda. +qp Z ` <
Com os dados fornecidos, calculamos inicialmente as grandezas  , e < necess´arias para explicitar a onda: ?  > `  ? - A < a?  6 `  5  A 7 6 7 4 IE m/s 1CC('  3IE B^C  CC(' m rad/s "%$ *  +87 6 JcbS4 "d 7 94:5; 6 ^C  6 *>= EI http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 17-32P*. Uma corda uniforme de massa Z e comprimento  est´a pendurada no teto. (a) Mostre que a velocidade de uma onda transversal na corda e´ func¸a˜ o de 2 , a distˆancia at´e a extremidade mais baixa, e e´ dada por @ f s 2 . (b) Mostre que o tempo que uma onda transversal leva para percorrer o comprimento da corda + e´ dado por 3t u s .
Como a onda se propaga no sentido negativo do eixo , * temos 2%6 / +87 / (a) Consideremos o eixo 2 ao longo da corda, com origem na extremidade inferior da mesma. Para um elemento infinitesimal _Z da massa da corda localizado em 2 a partir da origem, temos _v 6 _Z 7 s 1 s _ 2 P´agina 4 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, a` s 10:21 a.m. sob uma tens˜ao de X N. Ache (a) o valor m´aximo da velocidade transversal L e (b) o valor m´aximo da com7 6r2 2.z 2 ponente transversal da tens˜ao. (c) Mostre que os dois  -wVx  s _ H s / y valores m´aximos, calculados acima, ocorrem para os Levando este resultado para a relac¸a˜ o da velocidade, ob- mesmos valores de2 fase da onda. Qual e´ o deslocamento transversal da corda nessas fases? (d) Qual e´ temos a m´axima potˆencia transferida ao longo da corda? (e) 6r2 7 Qual e´ o deslocamento transversal 2 quando esta trans 6{2 7 2 o  / ferˆencia m´axima de potˆencia acontece? (f) Qual e´ a f s  transferˆencia m´ınima de potˆencia ao longo da corda? (g) Qual e´ o deslocamento transversal 2 quando esta (b) Usando o resultado de (a), transferˆencia m´ınima de potˆencia ocorre? que, integrando ao longo da corda, fornece 2 _ + _ w}| y + z _ + f 6 w}~ y  f + s  2 s
Comecemos por construir a equac¸a˜ o da propagac¸a˜ o da onda na corda: 2 7 "i$ 2 $ 2 D N‚ y  o 2%6 / * s  +87  ` 0 ~ sS€ 3 N _ 6  X `   '.X 3J 5 "F… 7 . DbT5 m/s 3E'(X ^ 6 A 95:5; m CI + *)K sendo em metros e em segundos. * (a) A velocidade transversal escalar m´axima Sec¸a˜ o 17-8 Energia e Potˆencia numa Onda Progres- mos de siva 2 17-33E. A potˆ encia ƒ $ e´ transmitida por uma onda  de freq¨ueˆ ncia $ numa corda sob tens˜ao  $ . Qual e´ a potˆencia transmitida ƒ em termos de ƒ $ (a) se a tens˜ao N na corda for aumentada para  1 es, C $ e (b) se, ao inv´  N  $  ? a freq¨ueˆ ncia for diminu´ıda para L 64† m´ax. + † 6  A 7 m´ax. 7 6 J'' +87 L  obte- m´ax. 2 5  ? 7 6 m . ‡bS4 "O… 7 m/s N (b) A componente transversal da tens˜ao e´ (a) Se a ten˜ao na corda for quadruplicada, a 2 velocidade de porpagac¸a˜ o fica duplicada. Sendo a 7 6 †  transv. H  potˆencia m´ e dia transmitida por uma onda dada por $ † 2 * ƒ„ % ¸a˜ o da velocidade implica N m N , a duplicac ? N e o valor m´aximo da componente transversal e´ na duplicac ¸ a˜ o da potˆencia transmitida. (b) Como a freq¨ueˆ ncia aparece ao quadrado na ex7 6 <.2  transv. m´ax.  m press˜ao da potˆencia, sua diminuic¸a˜ o pela metade, implicar´a na reduc¸a˜ o da potˆencia a um quarto do seu valor "O… 7 6 7 6 7 6 6 X CI  A . >bT5 inicial.
17-35P. Uma onda senoidal transversal e´ gerada numa extremidade de uma longa corda horizontal, por uma barra que se move para cima e para baixo entre extremos que distam  cm. O movimento e´ cont´ınuo e repetido regularmente 5 vezes por segundo. A corda tem uma densidade linear de 5 g/m e e´ mantida http://www.if.ufrgs.br/ jgallas . I 7 N/ (c) Tanto a velocidade transversal L como a tens˜ao transversal  transv. tem as suas fases sob a func¸a˜ o cosseno. +87 maximiza ambas as granEnt˜ao, o mesmo par 6  * dezas, mas se esse par maximiza a func¸a˜ o cosseno, + ele anula a func¸a˜ o seno, ou seja, se < ˆ , *RK&? P´agina 5 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 2%6 19 de Setembro de 2003, a` s 10:21 a.m. 2 7 encia transmitida ao longo da ‰ . (d) A potˆ * corda e´ dada por  6 ƒ& †  K 2 † 2 7 64† + 7 < H 2 † * N m ? +87 6< ŠŒ‹ 9 N *KT? Para a potˆencia m´axima transmitida temos ent˜ao, ƒ <  m´ax. 7 6 X
N m ? 6 2 17-41P*. Determine a amplitude da onda resultante da combinac¸a˜ o de duas ondas senoidais que se propagam no mesmo sentido, possuem mesma freq¨ueˆ ncia, tem amplitudes de  cm e C  cm e diferenc¸a de fase de A# rad. A 7 6 7 6 CI 7 6  CEA . cbS4 "O… 7 * N Consideremos as duas ondas senoidais na posic¸a˜ o : 3 2 $ W/ C.' 1 + 95:5; ? e 7 (e) O deslocamento 2 correspondente a` m´axima 2 6 + +87 HC  94:5; A# / potˆencia transmitida e´ 2 Ž , j´a que o par 6  que N ? = * 7 maximiza a func¸a˜ o cosseno e´ o que anula a func¸a˜ o se Agora, usando a relac¸a˜ o trigonom´etrica 95:5; 6r• no. =R– • • 2 na onda onda , efetuamos sua 95:5; 95:4; ŠŒ‹ 9 ŠŒ‹ 9 (f) A potˆencia m´ınima transmitida e´ nula. –—= – N soma com 2 $ : (g) A m´ınima potˆencia transmitida acontece para +87 2 2 a que o par 6  que anula o cosseno e´ aquele m , j´ 2 2 $ 2 * que maximiza o seno. = N 2 3  Secc¸a˜ o 17-11 Interferˆencia de Ondas 17-38P. Uma fonte  e um detector de ondas de r´adio  est˜ao localizados ao n´ıvel do solo a uma distˆ ancia _ 0 (Fig. 17-26). Ondas de r´adio de comprimento chegam  a , pelo caminho direto ou por reflex˜ao, numa certa camada da atmosfera. Quando a camada est´a numa altu ra ‘ , as duas ondas chegam em exatamente em fase. ` medida que a camada sobe, a diferenc¸a de fase entre A as duas ondas muda, gradualmente, at´e estarem exata. mente fora0 de fase para uma altura da camada ‘ =1’ Expresse em termos de _ , e ‘ . 2 1  Ap´os a reflex˜ao na altura ‘ , as ondas chegam em em fase: \ $ _‡ 3 K 7 6 _. N . sendo \ $  ‘ N = Ap´os a reflex˜ao na altura ‘  em oposic¸a˜ o de fase: \  € =1’ 2 2 N“K = ŠŒ‹ 9  Š^‹ 9 + 6 95:5; m ? + ?  / ? 7  =VQ e, usando a mesma identidade trigonom´etrica, obtemos 2 2 6 m + 95:5; ŠŒ‹ 9 ? Q>= + ŠŒ‹ 9 ? 95:5; Q 7  onde e´ a diferenc¸a de fase de 2 em relac¸a˜ o a 2 $ . ComQ parando as duas formas que temos para 2 , escrevemos 94:5; • 0 _‡ + ? + C  = A superpsic¸a˜ o dessas ondas produz uma onda da mesma forma de cada uma delas, que escrevemos genericamente como • , as ondas chegam em ? 95:5; ’
+ 94:5; Q ŠŒ‹ 9 .   Q : & 7 7 onde • e´ um fator de proporcionalidade entre as duas 6 sendo \ ” ‘ _. N . Combinando as N formas da func¸a˜ o 2 . Dividindo as duas relac¸o˜ es acima N =R’ = duas equac¸o˜ es para as interferˆencias construtiva e desobtemos a constante de fase : trutiva, vem Q 6  \ 0  MC € 6 ‘ N“K 7 =R’ N  \ $ 6 = _( + 0 7 N s . K  ‘ N 6 = _. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 7 N  / Q Q B H X rad / P´agina 6 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, a` s 10:21 a.m. Elevando as relac¸o˜ es acima ao quadrado e somando, ob- onda estacion´aria. temos o fator • :
A onda estacion´aria indicada est´a vibrando no tercei7 • 6 -.‚' IX N 94:5; N ro harmˆonico, ou seja, ; 3 . Š^‹ 9 N QD= Q (a) Para a velocidade temos •  C/ > Agora podemos explicitar a func¸a˜ o 2 2%6 +87 3E + 6 94:5; ? X = 2 $ 7 2 = N : `  5  `  0 2 n onde m ˜ Cnb}R Ž  m. Este problema tamb´em pode ser facilmente resolvido pelo m´etodo dos 6 7 6 fasores. Com a escolha de uma escala adequada, a am0  … plitude e a constante de fase s˜ao diretamente medidas com r´egua e transferidor. Refac¸a o problema usando os fasores para confirmar o resultado obtido pelo m´etodo (c) E para a freq¨ueˆ ncia, anal´ıtico.   0 17-42E. Uma corda sob tens˜ao  i oscila no terceiro harmˆonico com uma freq¨ueˆ0 ncia … , e as ondas na corda tem comprimento de onda … . Se a tens˜ao for aumentada para  f ™Ct i e a corda novamente levada a oscilar no terceiro harmˆonico,  qual ser´a (a) a freq¨ueˆ ncia de oscilac¸a˜ o em termos de … e (b) o comprimento de onda 0 … em termos de ?
3f   6 7   - i  0 i 0 ^CC   7 H  - CE m/ Hz / 0 O comprimento de onda e´ dado por n &u ; , com a fixa nas duas extremidaš J.^/›/œ/ se a corda est´ ; des. Os trˆes maiores comprimentos de onda ser˜ao ent˜ao, 0 $ - 3.8CE 0 1ž &J N 0     ;
3i / (b) Para o comprimento de onda, teremos X  17-48E. Uma corda de 5 cm de comprimento e´ esticada entre suportes fixos. Quais s˜ao os trˆes comprimentos de onda mais longos poss´ıveis para ondas estacion´arias nessa corda? Esboce as ondas estacion´arias correspondentes. (a) Da relac¸a˜ o  i   i   , obtemos com a tens˜ao final  f -C i que  f &  i . Ent˜ao, para o “novo” terceiro harmˆonico teremos  m/s / (b) Para o comprimento de onda,  Sec¸a˜ o 17 -13 Ondas Estacion´arias e Ressonˆancia ^CC "O… '(J‡bT5 …   ž 3I m me m/ 3i  17-52E. Uma ponta de uma corda de 5 cm e´ mantida fixa. A outra ponta e´ presa a um anel sem peso que ou seja, a variac¸a˜ o na tens˜ao da corda duplica a veloci- pode deslizar ao longo de uma haste sem atrito, condade e a freq¨ueˆ ncia, mantendo inalterado o comprimen- forme mostrado na Fig. 17-28. Quais s˜ao os trˆes mais longos comprimentos de onda poss´ıveis para ondas esto de onda. tacion´arias nessa corda? Esboce as ondas estacion´arias correspondentes. 17-46E. Uma corda de viol˜ao, de n´ailon, tem uma densidade linear de '(J g/m e est´a sob uma tens˜ao igual
Quando a corda est´a presa em s´o em uma extremidaa 5  N. Os suportes fixos est˜ao distanciados X cm. de, os comprimentos de onda poss´ıveis s˜ao fornecidos A corda est´a oscilando de acordo com o padr˜ao de on- pela relac¸a˜ o 0 n ŸCE ; , com ;   J'(4/œ/›/ . Os trˆes da estacion´aria mostrado na Fig. 17-27. Calcule (a) maiores comprimentos de onda ser˜ao a velocidade escalar, (b) o comprimento de onda e (c) 0 $ 1C HCI m  a freq¨ueˆ ncia das ondas cuja superposic¸a˜ o origina esta 3f  3i http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 0 … C 0¡
C baixa dessa corda? (b) Qual e´ a velocidade de onda para essa corda? me     19 de Setembro de 2003, a` s 10:21 a.m. Para uma corda fixa nas duas extremidades, temos ueˆ ncias ;  , com ; ŸJ. ^/›/›/ Para as duas freq¨ dadas, escrevemos m/ ž HX  17-54P. Duas ondas est˜ao se propagando na mesma corda, muito comprida. Um vibrador no extremo esquerdo da corda gera uma onda dada por 2 6  cm 7 A ŠŒ‹ 9 6  m  "%$ 7 6 *>= € I  s "$ ) +   enquanto um outro no extremo direito gera a onda 2 6   cm 7 A ŠŒ‹ 9 6  m  "$ 7 6 *vK € I s "$ 7F+  n CE ;  ; a  b onde ; a e ; b s˜ao valores consecutivos dos harmˆonicos  . Substituindo essa condic ¸ a˜ o na ; , tal que ; a ; b = igualdade acima, encontramos os harmˆonicos que correspondem a` s freq¨ueˆ ncias dadas, ; a 1C e ; b 3 . (a) Para a freq¨ueˆ ncia fundamental temos  /  $ CE Hz / 4E C (a) Calcule a freq¨ueˆ ncia, o comprimento de onda e a velocidade escalar de cada onda. (b) Determine os pon- (b) A velocidade da onda e´  tos onde n˜ao existe movimento (os n´os). (c) Em quais > - $ 5 E'(/¤ m/s / pontos o movimento da corda e´ m´aximo?
(a) Para obter as grandezas pedidas s´o precisamos 17-60P. Uma corda de  m de comprimento est´a osciobservar as quantidades fornecidas nas duas ondas da- lando na forma de uma onda estacion´aria de trˆes meios comprimentos de onda, cuja amplitude e´   cm. A das: velocidade escalar da onda e´ de 5 m/s. (a) Qual e´ a  CA freq¨ueˆ ncia? (b) Escreva equac¸o˜ es para duas ondas que, 3 Hz  „? A  A combinadas, resultem nessa onda estacion´aria. 0  0 )  A < 6 . 
 A -.  A 7 6 .  A corda est´a vibrando no terceiro harmˆonico, com 0 comprimento de onda 3/  m. Ent˜ao, (a) me  7 m/s / 1C 0  Hz -  (b) A superposic¸a˜ o das ondas dadas produz a onda esta- (b) Se a amplitude da onda estacion´aria e´ /  cm, a amplitude de cada uma das ondas combinadas e´ /¤ cm. O cion´aria ¢ 0 n´umero de onda angular e´ <  Ž A# ¦A rad/m e a +87 + 6 2 freq¨ueˆ ncia angular e´ 1 A 4A rad/s. Portanto,  3 m ŠŒ‹ 9 A Š^‹ 9 CA  * ? * cujos n´os obtemos fazendo feita para ŠŒ‹ 9 A * Ÿ 2 $ , condic¸a˜ o satis- 2 * 1/  m £^/ m £J./¤ m £^/›/›/ (c) Os antin´os devem satisfazer a condic¸a˜ o ¥ ¸ o˜ es s˜ao  , cujas posic * B/  m£ ./  m£ /  N ŠŒ‹ 9 A * m £^/›/œ/ 17-56P. Uma corda est´a esticada entre suportes fixos separados por ' cm. Observou-se que tem freq¨ueˆ ncias ressonantes em C( e  Hz e nenhuma outra neste intervalo. (a) Qual e´ a freq¨ueˆ ncia de ressonˆancia mais http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 6 / 6 /¤ 7 7 6 A 95:5; *K A 95:5; 4 6 4 *D= +87 e +87 / 17-63P. Considere uma onda estacion´aria que e´ a soma de duas ondas idˆenticas se propagando em sentidos opostos. Mostre que a energia cin´etica m´axima em cada meio comprimento de onda dessa onda estacion´aria e´  2 . A N   N m
A velocidade transversal de um elemento do meio e´ L 2 † † +§ K  2 m 95:4; < * 94:5; ? +  P´agina 8 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, a` s 10:21 a.m. tal que sua energia cin´etica e´ dada por  _¨ L _Z   _ 2 0 < N 95:5; N ? 94:5; N + * ? - _ m Lembrando que 0 ? G HA# at´e < 2  1 A N m * < N 95:5; N ? / * N , integramos _¨ desde m * 1 ¨  ª  m 2 N m w}© y N ? 95:5; N _ *  ª 2  %A N N m w N ? 2 ®N  y * 94:5;  * © «  K C Jª < <  $ 0 : * $ *  ¬ y­ O/ 17-64P. Um fio de alum´ınio de comprimento P ™  " cm com a´ rea de sec¸a˜ o transversal igual a b}5 N … cmN e densidade  g/cm e´ conectado a um fio de … ac¸o, de densidade '.I g/cm e mesma a´ rea de sec¸a˜ o transversal. O fio composto e´ conectado a um bloco de massa Z¯ 4 kg, conforme a Fig. 17-30, de forma que a distˆancia  entre a junc¸a˜ o e a roldana de N suporte seja I  cm. Ondas transversais s˜ao estabelecidas no fio usando-se uma fonte externa de freq¨ueˆ ncia vari´avel. (a) Ache a mais baixa freq¨ueˆ ncia de vibrac¸a˜ o que dar´a origem a uma onda estacion´aria com n´o no ponto de junc¸a˜ o. (b) Quantos n´os s˜ao observados nessa freq¨ueˆ ncia? !  ; me 1/  ; $ / A energia cin´etica m´axima do elemento e´ _E¨ $ N N N m * Os valores de ; que satisfazem a raz˜ao acima s˜ao ;  e; 3 , do que obtemos N N m/ 3/  ! 0  Voltando a` relac¸a˜ o da tens˜ao, ² $ N$ N , obtemos a mais baixa freq¨ueˆ ncia de vibrac¸a˜ o do sistema, (a) 3C Hz / (b) As extremidades fixas s˜ao n´os, evidentemente. O 0 comprimento  $ acomoda um comprimento $ , com  n´os, inclusive o do ponto de junc¸a˜ o dos0 fios. O comprimento  acomoda ./¤ comprimentos , com  n´os, N N incluindo o do ponto de junc¸a˜ o. Ent˜ao, o fio composto tem um total de I n´os nesse modo vibrante. 17.3 Problemas Adicionais 17-65. Uma corda, submetida a uma tens˜ao de  N e presa em ambas as extremidades, oscila no segundo harmˆonico de uma onda estacion´aria. O deslocamento da corda e´ dado por 2 6 44 m 7 6 94:5; A *  7 95:5;  A +   numa das pontas da corda, onde ‰ e´ dado em + * * metros e em segundos. Quais s˜ao (a) o comprimento
da corda, (b) a velocidade escalar das ondas na corda e O fio composto est´a submetido a` tens˜ao °Z s (c) a massa da corda? (d) Se a corda oscilar num padr˜ao XI N e, lembrando que Y}  ZnŒ±— , a densidade linear de onda estacion´aria referente ao terceiro harmˆonico, de cada parte, de alum´ınio e ac¸o, e´ , respectivamente, qual ser´a o per´ıodo de oscilac¸a˜ o? "F… kg/m e  $ 1Y $ ±3 3/ >bS4
(a) Da forma da onda dada, temos < °A# rad/m e 0 < "O… š A# ³C/  m. Como a corda vibra no segundo  1Y! ±3 °'(/ I‡bS4 kg/m / harmˆonico, ; - , resulta que N N  0 A tens˜ao no fio e´ Ÿ% N Ÿ N N e lembrando que 0 0  1C/ ZS/ ž ;  , temos  $ 0  N$ C $N  $  ; N$   0 N N N N CE N N  N ; $ N  N  $ f f  N  $ ?< D 3 C m/s N ; N que nos fornece ; (b) A velocidade das ondas na corda obtemos de -./¤ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas (c) Com a tens˜ao aplicada e a velocidade do ´ıtem (b), temos [   N H/ C(' kg/m P´agina 9 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, a` s 10:21 a.m. ¢ A massa da corda ent˜ao e´ A cada n´o, devemos ter 3 . Portanto, kg / Z´ Mž / X ŠŒ‹ 9 A (d) Se a corda vibra no terceiro harmˆonico, a freq¨ueˆ ncia !  .[ „X/  Hz e o per´ıodo de oscilac ¸ a˜ o e´ e´  "$ ; 1/œ s.  * A A *  * m / 17-67. Uma onda estacion´aria resulta da soma de duas ondas transversais progressivas dadas por (b) A velocidade para qualquer part´ıcula da corda osci+87 2 $ 6 lante e´ ¢ H  CA  9 A ŠŒ‹ 2 N 2 $ H  *K ŠŒ‹ 9 6 A CA *>= 2 +87 Lk6  * + onde , e est˜ao em metros e em segundos. * N (a) Qual e´ o menor valor positivo de que corres- Em * * ponde a um n´o? (b) Em quais instantes no intervalo + @µ µ™  s a part´ıcula em ¶ ter´ a velocidade * zero?
• = ŠŒ‹ 9 1 ŠŒ‹ 9 –   7 6·• =}– ŠŒ‹ 9  7 6r• KT–  ¢ chegamos a` forma da onda estacion´aria resultante: 6 *  +87 3/›4 Š ‹ 9 A Œ * Š ‹ 9 CA Œ + 1 +87 † † + 6 K CA + 95:5; CA / http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 7 /œ5  ; A + +  7 6 ŠŒ‹ 9 A * 95:5; CA + / , a part´ıcula tem velocidade nula quando CA (a) Usando a identidade trigonom´etrica, ŠŒ‹ 9  ; C  onde ; B^J.4/œ/›/ . Dentro do+ intervalo em+ quest˜ao, a + velocidade e´ nula para H s, 1/¤ s e 3/¤ s. P´agina 10 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Novembro de 2003, a` s 10:57 a.m. Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte´udo 18 ONDAS - II 2 18.1 Question´ario . . . . . . . . . . . . . . . 2 18.2 Exerc´ıcios e Problemas . . . . . . . . . 3 Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para http://www.if.ufrgs.br/ jgallas jgallas @ if.ufrgs.br (listam3.tex) P´agina 1 de 12 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 18 ONDAS - II 18.1 Question´ario 30 de Novembro de 2003, a` s 10:57 a.m.
O interior do c´alice e´ como uma coluna de ar e uma ressoˆancia acontece para uma dada freq¨ueˆ ncia do movimento do dedo. Mudando o n´ıvel do vinho no c´alice, muda a altura da coluna de ar e a ressonˆancia vai acontecendo para outras freq¨ueˆ ncias. 18-3. Que evidˆencia experimental existe para afirmarmos que a velocidade do som, no ar, e´ a mesma para qualquer comprimento de onda? 18-15. Um relˆampago dissipa uma quantidade enorme de energia e e´ essencilamente instantˆaneo pelos padr˜oes
O fenˆomeno do eco evidencia bem este fato. Se o de nossa vida di´aria. Como essa energia se transforma ar fosse um meio dispersivo, o som refletido no eco n˜ao no som do trov˜ao? reproduziria o som emitido.
A corrente el´etrica no relˆampago produz um aquecimento do ar, que sofre uma brusca expans˜ao, pro18-6. Qual e´ a func¸a˜ o comum das v´alvulas de um pisduzindo a propagac¸a˜ o de uma onda sonora de grande tom e da vara do trombone? amplitude.
As v´alvulas do pistom e a vara do trombone tem a func¸a˜ o de alterar o comprimento da coluna de ar no interior destes instrumentos, para produzir as freq¨ueˆ ncias 18-16. Ondas sonoras podem ser usadas para medir correspondentes a` s notas musicais. a velocidade com que o sangue passa pelas veias e art´erias. Explique como. 18-9. Quando vocˆe bate em um dos dentes de um dia-
Ondas ultra-sˆonicas atingem e s˜ao refletidas pelas pas˜ao, o outro dente tamb´em oscila, mesmo que a exestruturas de diferentes densidades presentes no sangue tremidade inferior do diapas˜ao esteja fixa. Como isto e movendo-se com ele ao longo das veias e art´erias. A acontece? E como pode o segundo dente oscilar, do freq¨ueˆ ncia refletida ser´a maior ou menor que a emitida, mesmo modo que o primeiro (`a mesma freq¨ueˆ ncia)? em func¸a˜ o do movimento.
O segundo dente do diapas˜ao oscila - e com a mesma freq¨ueˆ ncia - porque uma onda se propaga tamb´em no interior da estrutura cristalina do metal de que e´ feito o 18-18. Suponhamos que, no efeito Doppler para o som, a fonte e o receptor est˜ao em repouso em relac¸a˜ o a diapas˜ao. algum ponto de referˆencia, mas o ar est´a se movendo levando em conta esse ponto. Haver´a mudanc¸as no 18-11. Como podemos localizar, numa experiˆencia, as comprimento de onda (ou freq¨ueˆ ncia) recebido? posic¸o˜ es dos n´os e ventres em uma corda, em uma co
luna de ar e em uma superf´ıcie vibrante? N˜ao. Deve haver um movimento relativo entre fonte
As posic¸o˜ es dos n´os e ventres em uma corda s˜ao facilmente visualizados, se a freq¨ueˆ ncia n˜ao for muito grande. Na coluna de ar, os n´os e ventres podem ser determinados pelo dispositivo ilustrado na Fig. 18-29 e descrito no exerc´ıcio 18-49E. Numa superf´ıcie vibrante, podemos espalhar algum p´o bem vis´ıvel e observar onde ele se acumula para diferentes freq¨ueˆ ncias de oscilac¸a˜ o. A Fig. 17-19 mostra alguns modos de vibrac¸a˜ o da membrana de um tambor. 18-14. Explique o som aud´ıvel produzido ao passar o dedo u´ mido pela boca de um c´alice de vinho. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas e receptor para observarmos mudanc¸as no comprimento de onda. 18-20. De que modo o efeito Doppler pode ser usado em um instrumento para detectar a batida do corac¸a˜ o de um feto? (Este procedimento e´ rotineiro em medicina.)
O movimento do m´usculo card´ıaco altera a freq¨ueˆ ncia das ondas ultra-sˆonicas na reflex˜ao, permitindo assim a detecc¸a˜ o das suas batidas. P´agina 2 de 12 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 18.2 Exerc´ıcios e Problemas Sec¸a˜ o 18-2 A Velocidade do Som 30 de Novembro de 2003, a` s 10:57 a.m.
(a) O tempo que a onda que se propaga pelo ar leva ,  para percorrer + e´ +.- e o tempo para a que se ,   propaga no metal e´ +.-* . Portanto, $ ,  , 1  , %2 * / 18-2E. Uma coluna de soldados, marchando a  pas0/ $ * sos por minuto, segue a m´usica da banda a` frente do  * 34 m/s, aproximadamente, obtepelot˜ao. Observa-se que os soldados atr´as da coluna (b) Tomando 65 mos +    m. avanc¸am com o p´e esquerdo, enquanto os m´usicos da banda avanc¸am com o direito. Qual o tamanho da coluna, aproximadamente? 18-11P. Uma pedra e´ jogada num poc ¸ o. O som da pedra 5 se chocando com a a´ gua e´ ouvido   s depois. Qual a
A freq¨ueˆ ncia da marcha e´ de  passos por segundo e profundidade do poc¸o? as passadas dos m´usicos e dos soldados atr´as da coluna 98 , ,
est˜ao defasadas de meio comprimento de onda: A profundidade do poc¸o e´ 7 $: - , onde : e´ o tempo que a pedra leva para atingir a a´ gua. Mas tamb´em  ,<; ,<;    , sendo o tempo que o som leva para alcanc¸ar 7   m  a borda do poc¸o. A soma desses tempos e´ o intervalo medido: Portanto, o tamanho da coluna e´ , aproximadamente, , , ; 5 :>=  4 s      m  Igualando as equac¸o˜ es para a profundidade 7 , +  15 18-5E. A densidade m´edia da crosta terrestre,  km abaixo da superf´ıcie, e´ de  g/cm  . A velocidade das ondas longitudinais s´ısmicas a essa profundidade, encontrada a partir da medida do tempo em que chegam, vindas de terremotos distantes, e´ de   km/s. Use esta informac¸a˜ o para achar o m´odulo de elasticidade volum´etrica da crosta terrestre a essa profundidade. Para comparac¸a˜ o, o m´odulo de elasticidade volum´etrica do ac¸o e´ , aproximadamente,   Pa.   / , : 2  8 ,   $:@? , teremos uma equac ¸ a˜ o do segundo grau para : , cuja raiz  ,  : v´alida, s, fornece a profundidade do poc¸o   7 A  m. Sec¸a˜ o 18-3 Propagac¸a˜ o de Ondas Sonoras 18-14E. Ultra-som a` freq¨ueˆ ncia de A  MHz e´ usado para examinar tumores nos tecidos internos. (a) Qual o comprimento de onda no ar dessas ondas sonoras? (b) Se a velocidade do som no tecido e´ de  m/s, qual o
Aplicamos diretamente a relac¸a˜ o entre a velocidacomprimento de onda das ondas no tecido? de de propagac¸a˜ o, a densidade do meio e o m´odulo de elasticidade:
(a) O comprimento de onda e´ dado por ! #" %$    & '( ) Pa  BC ED O m´odulo de elasticidade da crosta a` profundidade dada (b) Se @H  e´ a metade do do ac¸o. tecido e´ 4 m/s, ent˜ao o comprimento de onda no  18-8P. A velocidade do som em um certo metal e´ * . Em uma extremidade de um longo tubo deste metal, de comprimento + , se produz um som. Um ouvinte do outro lado do tubo ouve dois sons, um da onda que se propaga pelo tubo e outro da que se propaga pelo ar. (a) tempo Se e´ a velocidade do som no ar, que intervalo de , ,  ocorre entre os dois sons? (b) Supondo que   s e que o metal e´ o ferro, encontre o comprimento + . http://www.if.ufrgs.br/ jgallas GF m  H I H  J 55 mm  18-18P. A press˜ao em uma onda sonora progressiva e´ dada pela equac¸a˜ o KML  1 1 4  Pa 2ONPQSRIT 4   4 m U  2)V 1 545 /  sU  2 ,XW  Encontre (a) a amplitude de press˜ao, (b) a freq¨ueˆ ncia, (c) o comprimento de onda e (d) a velocidade da onda. P´agina 3 de 12 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Novembro de 2003, a` s 10:57 a.m.
    (a) Da equac¸a˜ o da onda temos diretamente que a aml- que fornece   Hz e 3 3 Hz para a  $`b pitude e´ de  Pa. menor e a maior freq¨ueˆ ncias no intervalo aud´ıvel. Z545 (b) A freq¨ueˆ ncia angular e´ Y  R rad/s. Ent˜ao a freq¨ueˆ ncia das oscilac¸o˜ es e´ 18-24P. Uma onda sonora de comprimento de onda de  Y  J  cm entra no tubo mostrado na Fig. 18-26. Qual (4 Hz  deve ser o menor raio c , de modo que um m´ınimo seja  R registrado pelo detector?  R rad/m. Ent˜ao o (c) O n´umero de onda angular e´ [
comprimento de onda e´ Para um m´ınimo, a diferenc¸a de percurso ser´a  R [      m  R c (d) A velocidade de propagac¸a˜ o da onda e´ dada por   55 Y ?  de modo que obtemos para o raio  m/s  [ /   @c 18-21P. Na Fig. 18-25, dois alto-falantes, separados por uma distˆancia de J 4 m, est˜ao em fase. Supondo que a amplitude dos sons dos dois seja, de modo aproxima5 do, a mesma na posic¸a˜ o do ouvinte, que est´a a   m diretamente a` frente de um dos alto-falantes. (a) Para quais freq¨ueˆ ncias aud´ıveis (  - 4 Hz) existe um sinal m´ınimo? (b) Para quais freq¨ueˆ ncias o som fica ao m´aximo?
  c  1  R   4 cm   2 / 18-25P. Na Fig. 18-27, uma fonte pontual d de ondas ! sonoras est´a pr´oxima a um muro refletor e . Um detector f intercepta o raio sonoro g , vindo diretamente  de d . Tamb´em intercepta o raio sonoro g , que foi re$ fletido pelo muro com um aˆ ngulo de incidˆencia h@i igual ao aˆ ngulo de reflex˜ao h@j . Encontre as duas freq¨ueˆ ncias para as quais existe interferˆencia construtiva entre g e  em f . (A reflex˜ao do som no muro n˜ao altera a fase g $ da onda sonora.) (a) A condic¸a˜ o para a ocorrˆencia dos m´ınimos e´ que a diferenc¸a de percurso entre as fontes e o ouvinte seja
Observando a geometria da Fig. 18-27, temos para o um n´umero \ inteiro de meios comprimentos de onda: raio g : K ^]  N N N ./ 1  $ 15  = \  1 2      N   2 $ =   2 $ A 4 m e N onde 5  $   m. Reescrevemos a equac¸a˜ o dos m´ınimos para as freq¨ueˆ ncias: 1  = \  2 K  N ]  g    $ =   $ 5 3k  ft  ! O raio g e´ refletido pelo muro e num ponto que est´a $ a` distˆancia l verticalmente abaixo de d . Da semelhanc¸a dos triˆangulos estabelecemos l     ?  l / 3    ? que nos fornece o valor l  ft. Agora podemos deter ,  Hz, a menor minar g : da qual obtemos, para \  $ freq¨ueˆ ncia no intervalo aud´ ıvel. A maior freq¨ueˆ ncia no    ]  intervalo ocorre para \  , sendo (3J Hz. g  $ = 34 $ (k  ft. $`_ $ (b) A condic¸a˜ o para a ocorrˆencia dos m´aximos e´ que a diferenc¸a de percurso seja um n´umero inteiro de com- A distˆancia m , de d at´e o ponto do muro de onde g e´ $ primentos de onda refletido, e´  K N  I5 5 aC  \ \ K N  ]  $ =   $ n  ft  Agora podemos calcular a diferenc¸a de percurso caminhos de g e g at´e f : Explicitando a freq¨ueˆ ncia, temos  m ? http://www.if.ufrgs.br/ jgallas  Kpo  $ m = g $ / g   KSo nos @ % 4 ft. P´agina 4 de 12 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS Para os m´aximos de interferˆencia devemos ter Kpo   \  ? com \  ?  ?  ? qn 30 de Novembro de 2003, a` s 10:57 a.m. (b) O n´ıvel sonoro para a distˆancia pedida, com v   U  $ W/m$ , ser´a 1 ‚  r  KSo   44  @ % 4   KSo $ v v     U b  dB 2 4 '( U  $ 15 1 65 3k  dB  dB 2  3 2 1  A  Hz e  4  @ % 4 o{y 8  dB 2 Explicitando essa relac¸a˜ o para a freq¨ueˆ ncia, temos  o{y 8 3 Hz. 18.36P (a) Mostre que a intensidade v de uma onda e´ o produto da energia da onda por unidade de volume ƒ e . (b) Ondas de r´adio viajam a` velocisua velocidade Sec¸a˜ o 18-4 Intensidade e N´ıvel do Som 5 dade de  a„( _ m/s. Encontre ƒ para uma onda de 5 18-29E. Uma nota de freq¨ueˆ ncia 4 Hz tem uma inten- r´adio distando   km de uma fonte de potˆencia 4 sidade de  .F W/m$ . Qual a amplitude das oscilac¸o˜ es W, considerando as ondas esf´ericas. do ar, causadas por este som?

Tirando Ns da relac¸a˜ o da intensidade, vem ut Ns `x $ 65  v k nm  Y $kw " (a) Podemos recorrer a` an´alise dimensional. Na  " Y $ N $s - , o fator relac¸a˜ o da intensidade, v " Y $ N $s - tem dimens˜ao de energia por unidade de volume (verifique!), portanto, podemos expressar a inten sidade em termos de ƒ como v ƒ . (b) Com os dados fornecidos, calculamos a intensidade: 18-30E. Dois sons diferem em n´ıvel por 4 4 dB. Por que n´umero ficam multiplicadas (a) sua intensidade e (b) sua amplitude?  v     R c $ 5 U _ W/m$  E com a relac¸a˜ o do ´ıtem (a), obtemos
Se a diferenc¸a em n´ıvel e´ de 4 4 dB, ent˜ao 1 ozy 8 v ( dB 2 v $ o{y 8 v v  v kq4 $ 0v  v    …'(U  † J/m 18-39P. Encontre as raz˜oes das (a) intensidades, (b) amplitudes de press˜ao e (c) amplitudes de deslocamentos 5 de part´ıculas para dois sons cujos n´ıveis diferem por dB. (a) Ent˜ao o fator entre as intensidades e´     dB ?   $  ƒ 
(a) Para a raz˜ao entre as intensidades, temos ozy 8 v N(s}|   ~  $ 4  N(s}|  4q v v   $  65 $ v (b) E o fator entre as amplitudes e´  J 18-34E. Uma fonte de ondas sonoras tem uma potˆencia (b) Explicitando a raz˜ao entre as intensidades, temos de  €F W. Se for uma fonte pontual (a) qual a intensi5 v  Y $ N $s}| dade a   m de distˆancia e (b) qual o n´ıvel do som em $ $ ? v Y $ N $s}| decib´eis a essa distˆancia?  
(a) Dada a potˆencia, calculamos a intensidade por v    R c $     U b W/m$  http://www.if.ufrgs.br/ jgallas que fornece para a raz˜ao entre as amplitudes de press˜ao K}L  K L $ }   ‡ Y N s}| ˆ $ Y N(s}|  v v  $  @k  P´agina 5 de 12 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Novembro de 2003, a` s 10:57 a.m. (c) A raz˜ao entre as amplitudes de deslocamento e´ a (c) Como podem essas ondas terem diferentes amplitudes, se foram originadas pela mesma fonte d ? mesma raz˜ao entre as amplitudes de press˜ao.
(a) Do m´ınimo para o m´aximo, o deslocamento de 18-40P. A uma distˆancia de ( km, um berrante de dŠf ! e´ tal que faz crescer a diferenc¸a de percurso de (4 Hz, considerado como uma fonte pontual, e´ ouvido meio comprimento de onda para um comprimento de muito baixo. A que distˆancia comec¸ar´a a causar dor nos onda inteiro, isto e´ , ouvidos?   S' 4 cm   O limiar da audic¸a˜ o dolorosa e´ de  dB, de acordo com a Tabela 18-3. Esse n´ıvel sonoro corresponde a` Portanto, ‹ k  cm e a freq¨ueˆ ncia do som emitido intensidade pela fonte e´ ent˜ao
o{y 8 v v   v     $ v    W/m$  Para as distˆancias em quest˜ao, com c que fornece c  v c $       ?   ‰ m, temos 5 5   k 4  J(3% Hz  (b) Chamemos de e a amplitude da onda que chega em ! a amplitude da onda que vem f vindo por dŠe}f e ! pelo caminho d f . A intensidade e´ proporcional a` amplitude ao quadrado. Ent˜ao,  v vc $ ?  U $ m. v  m´ın. 1 [ m´ax. [ 1 ! = e e ! /  2 $ 2 $  3 ? (4J Tomando a raz˜ao das intensidades, temos 18-41P. Vocˆe est´a parado a uma distˆancia D de uma fon1 ! te que emite ondas sonoras, de forma igual, em todas as 2 $  e = 1 ! 3 ? direc¸o˜ es. Caminha J  m em direc¸a˜ o a` fonte e obser2 $ e / va que a intensidade das ondas foi dobrada. Calcule a que nos leva ao resultado distˆancia f . 
1 Com a equac¸a˜ o  v  R c$ 2 , relacionamos as intensidades nas duas distˆancias, ! e  J (c) O atrito entre o ar e as paredes do tubo reduz a energia das ondas no percurso. Como o percurso e´ diferente / para as duas ondas que se encontram em f , suas ampliobtendo uma equac¸a˜ o do segundo grau para a vari´ a vel tudes s˜ao diferentes.  f , cuja raiz v´alida fornece f @ % m. vf $  1 v f  2 $ ? 18-45P. A Fig. 18-28 mostra um interferˆometro ac´ustico, cheio de ar, usado para demonstrar a interferˆencia de ondas sonoras. d e´ um diafragma; f e´ um detector de som, como o nosso ouvido ou um microfo! f pode ser variado, enquanto o ne. O comprimento d comprimento dŠeMf e´ fixo. Em f , a onda sonora vinda ! de d f interfere com a vinda de dŠe}f . A intensidade do som em f tem um valor m´ınimo de  unidades em ! uma certa posic¸a˜ o de e cresce, de maneira cont´ınua, ! at´e um valor m´aximo de 34 unidades quando e´ deslocado de 4  cm. Encontre (a) a freq¨ueˆ ncia do som emitido pela fonte e (b) a raz˜ao que a amplitude da onda ! de dŠeMf tem com a amplitude da onda de d f em f . http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 18-46P*. Dois alto-falantes, d e d , est˜ao a %  m um  $ do outro e oscilam em fase, cada um emitindo som na freq¨ueˆ ncia de  Hz, de modo uniforme, em todas as d emite a uma potˆencia de Œ( U  W e direc¸o˜ es.   d a  5 #( U  W. Seja um ponto P, que est´a A  m $ de d e   m de d . (a) Como as fases das duas ondas  $ passando por  se realcionam? (b) Qual a intensidade do som em P com d  e d ligadas? (c) Qual a intensida$ de do som em P, se d  est´a desligado ( d ligado)? (d) $ Qual a intensidade do som em P, se d est´a desligado $ ( d ligado)?  
(a) A distˆancia de d a  e´ c k  m e a distˆancia 5   de d a  e´ c   m, tal que a diferenc¸a de percurso $ $ P´agina 6 de 12 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS K 30 de Novembro de 2003, a` s 10:57 a.m.  e´ m   m. Ent˜ao a diferenc¸a de fase entre as ondas distˆancia m´edia entre os pontos de acumulac¸a˜ o, a velocidade do som no g´as, dentro do tubo, e´ dada por em  e´ Ž  K  R  m  n R rad   4  mA Este e´ o m´etodo de Kundt para determinar a velocidade Lembrando que as ondas que se combinam em  viajam do som nos gases. Ž em sentidos opostos, a diferenc¸a de fase e´ de fato    ‘5
Se m e´ a separac¸a˜ o entre os n´os da onda estacion´ aria, B  ent˜ao , nos m e a velocidade da onda sendo (b) A intensidade do som com ambas as fontes li- leva diretamente ao resultado pedido, gadas depende da amplitude da onda que resulta da  m  superposic¸a˜ o das ondas no ponto  . Como essas ondas fazem percursos diferentes, as amplitudes em  tamb´ em   . As 18-54E. Um tubo de um o´ rg˜ao e , com as duas extres˜ao diferentes. Suponhamos que em  temos V ondas que vamos somar s˜ao ent˜ao midades abertas, tem uma freq¨ueˆ ncia fundamental de  /  7  7 ! ! 1 NPQ $ , Y  5 , NP(Q Y e    =  Hz. O terceiro harmˆonico de um o´ rg˜ao ! , com uma extremidade aberta, tem a mesma freq¨ueˆ ncia que o segundo harmˆonico do e ! . Qual o comprimento (a) do tubo do o´ rg˜ao e e (b) do ? e 2 ? onde e e s˜ao as amplitudes das ondas. Usando a
Para um tubo com as duas extremidades abertas, teidentidade trigonom´etrica mos as freq¨ueˆ ncias de ressonˆancia dadas por NPQ 1 , Y 5 =  4 2 , ’ y NPQ Y 5 N ’ y  = , N Y 5 NPQ 4 ˜  ˜ Q chegamos a` express˜ao  , e NPQ Y 7 1  1  ! 1 =  , J NPQ Y = e =  ! , J 2`N(PQ Y = e =  ! , J 2”“•NP(Q Y = J ! ’ y J e = ’ y N Y ! , N Y 2 J ’ y ,X– N Y  ! k A onda 7 tem a forma geral da onda progressiva  — 7  m NPQ 1 — m 1 NP(Q Y Y , ‚ = , ’ y N ‚ 2 = ’ y N Y , NPQ ‚ 2 Sec¸a˜ o 18-5 Fontes Sonoras Musicais 18-49E. Na Fig. 18-29, um bast˜ao g est´a fixado pelo seu centro; um disco f , preso a um extremo do bast˜ao, est´a dentro de um tubo de vidro que tem pedac¸os de cortic¸a enfileirados no seu interior. Um eˆ mbolo  e´ colocado no outro extremo. Fazemos ent˜ ao o bast˜ao osci lar, longitudinalmente, a` freq¨ueˆ ncia para produzir ondas sonoras dentro do tubo, e o eˆ mbolo  e´ ajustado at´e que uma onda estacion´aria seja conseguida no interior do tubo. Quando isto acontece, os pedac¸os de cortic¸a se acumulam nas regi˜oes correspondentes aos n´os das ondas produzidas naquele interior. Mostre que, se m e´ a http://www.if.ufrgs.br/ jgallas  5  ?  ? ? nq Para um tubo com uma extremidade aberta, as freq¨ueˆ ncias s˜ao @™ , ˜ ˜ ? com Q +  Q ™ ™ ™ ? com Q 4+   ? 5 ?  ? nn (a) A freq¨ueˆ ncia fundamental fornecida leva diretamen˜ te ao comprimento + : + ˜  (b) Sabemos que  @˜ @™    5  5 + ˜ $ ™ 5     4 k  m  , ou seja,  + ˜ ? que nos fornece o comprimento + ™  J  5 m. 5 18-56P. Uma certa corda de violino tem  cm de comprimento, est´a fixa nas suas duas extremidades e tem massa de J  g. A corda emite uma nota e ( hz), quando tocada sem se colocar o dedo. (a) Onde se deve colocar o dedo para que a corda passe a emitir uma nota š 5 (  Hz)? (b) Qual a raz˜ao entre os comprimentos de onda da onda da corda necess´ario para uma nota e š e para uma ? (c) Qual a raz˜ao entre o comprimento de onda da onda sonora, quando e´ tocada uma nota e e P´agina 7 de 12 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS uma š ? 30 de Novembro de 2003, a` s 10:57 a.m. (b) Com os dados fornecidos e o resultado do ´ıtem (a), vem
(a) Quando tocada sem colocar o ˜ dedo, a corda vio   1 45   J  k 2  q( m  k bra na sua freq¨ u e ˆ ncia fundamental, 44 Hz, com /  ˜   › ˜ ˜  ˆ + J  m e a velocidade e´  (c) Para a freq¨ueˆ ncia ,  + e para a freq¨ueˆ ncia  o     m/s. Com o dedo posicionado, o comprimento de onda AœE œ# c ,  +G . Mas, +ž + c -+ . Ent˜ao, para   / na corda passa a ser J m. Sendo +ž c % -  , o novo comprimento da corda, temos  Aœ„ e, se Q   , vamos ter   c    E 18-60 (   na 6 ¡ edic¸a˜ o)  œ     +G ? Q  Uma palma no palco de um anfiteatro (Fig. 18-31) produz ondas sonoras que se dispersam em uma arquiban cada com degraus de largura + k  m. O som rePortanto, o dedo deve ser posicionado a torna ao palco como uma s´erie de pulsos peri´odicos, um K   de cada degrau; os pulsos soam juntos como uma nota. + + +    cm / (a) A que freq¨ueˆ ncia os pulsos retornar˜ao (isto e´ , qual a freq¨ueˆ ncia da nota percebida)? (b) Se a largura + dos da extremidade da corda. degraus fosse menor, a freq¨ueˆ ncia percebida seria maior (b) A raz˜ao entre os comprimentos de onda na corda e´ ou menor?  ˜
   (a) Para interferir construtivamente, as ondas refle œ 4q3J J tidas pelos degraus devem conter um n´umero inteiro de comprimentos de onda na diferenc¸a de percurso, ou se(c) A raz˜ao entre os comprimentos de onda das ondas ja, sonoras e´ a mesma do ´ıtem (b). K    m \  ?  ?  ? qn ? com \ +  J m   18-57P. Uma corda de um violoncelo tem comprimento + , para o qual a freq¨ueˆ ncia fundamental e´ . (a) De o qual comprimento precisa a corda ser diminu´ıda com o dedo, para mudar o a freq¨ueˆ ncia fundamental para c ?    (b) Qual o valor de para + J  m e c - ? (c)  Para c - , qual a raz˜ao entre o comprimento de onda da nova onda sonora emitida pela corda e a emitida antes da colocac¸a˜ o do dedo?
K  Para dois#degraus consecutivos, m + e, para   \  , + . Ent˜ao, a menor freq¨ueˆ ncia (Q  ) dos pulsos refletidos ser´a  5  + 1 1  5  43 Hz   2 k  2 ¢ (b) Como -+ , a freq¨ueˆ ncia percebida seria maior se + fosse menor. 5 As freq¨ueˆ ncias de ressoˆancia da corda fixa nas duas 18-63P. Uma corda de violino de J  cm de compriextremidades s˜ao mento com densidade linear de k  g/m e´ colocada Ÿ  5 pr´ oxima de um alto-falante, que est´a conectado a um Q ? com Q  ?  ? ? nn + oscilador de a´ udio de freq¨ueˆ ncia vari´avel. Descobre-se   a corda oscila somente nas freq¨ueˆ ncias  Hz e -+ . A nova que 5 Se e´ a freq¨ueˆ ncia fundamental, 1 o    Hz, quando a freq¨ueˆ ncia do oscilador varia entre - + 2. freq¨ueˆ ncia fundamental e´ c /  e  Hz. Qual a tens˜ao na corda? (a) Tomando a raz˜ao entre as freq¨ueˆ ncias c e , temos c 
+ + As freq¨ueˆ ncias dadas correspondem a dois harmˆonicos da corda, com n´umeros Q e Q , respecti   $ Q£ -+ , tomamos a raz˜ao entre os vamente. Com harmˆonicos: / o ? que nos fornece o  + 1  / c  2  http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Q Q  $   5      P´agina 8 de 12 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Novembro de 2003, a` s 10:57 a.m. Os 6 valores que satisfazem esta raz˜ao s˜ao Q 5  Q . A velocidade da onda na corda, para Q $  + 1  Q 1  5  k  2  2     m/s   e  , e´
$ $ ¤ E, finalmente, ¤  1  F $ 1  J 4p¥( U  2    2 $ J 5   = A corda mais tensionada vibrar´a a¤ ¤   § bat. $ + . ¤4 Hz. Para a freq¨ueˆ ncia fundamental,   Com F $ , as tens˜oes ser˜ao O F + $ $ e    a o entre as tens˜ o es e ´ 4FO+ $ $ . A raz˜ ¤ t $ N   Sec¸a˜ o 18-6 Batimentos $  $ w t 4 $ 4 w   4  18-65E. A corda e de um violino est´a frouxa. Quatro batimentos por segundo s˜ao ouvidos, quando a corda e´ Portanto, para produzir os batimentos, a tens˜ao de uma tocada junto a um diapas˜ao, cuja freq¨ueˆ ncia correspon- das cordas deve ser incrementada em ¨ . de a` nota e (44 hz). Qual o per´ıodo da oscilac¸a˜ o da corda do violino? Sec¸a˜ o 18-7 O Efeito Doppler
  Com bat. ,e 44 Hz, a freq¨ueˆ ncia 18-71E. Um apito usado para chamar c˜aes tem uma }/ $  $ de vibrac¸a˜ o da corda e´ 4   Hz. Potanto, o per´ıodo freq¨ueˆ ncia de 5  kHz. O c˜ao, entretanto, o ignora. O  das vibrac¸o˜ es da corda e´ dono do c˜ao, que n˜ao pode escutar freq¨ueˆ ncias acima  ¦  de  kHz, decide usar o efeito Doppler para descobrir U   ms  se o apito funciona de maneira adequada. Pede a um amigo que sopre o apito no interior de um carro em movimento, enquanto ele permanece parado ouvindo. (a) E 18-66 (   na 6 ¡ edic¸a˜ o) Qual precisa ser a velocidade do carro e qual a direc¸a˜ o S˜ao-lhe dados quatro diapas˜oes. O diapas˜ao com a para que o dono escute o apito a  kHz (se ele estiver freq¨ueˆ ncia mais baixa oscila a  Hz. Fazendo-se osci- funcionando)? O experimento em quest˜ao e´ pr´atico? (b) lar dois diapa˜oes simultaneamente ouvem-se as seguinte Refac¸a para uma freq¨ueˆ ncia do apito igual a  kHz, em 5  5 freq¨ueˆ ncias de batimento:  ?  ? ?  ? e Hz. Quais as vez de  kHz. poss´ıveis freq¨ueˆ ncias dos outros dois diapas˜oes? 
Chamemos  Hz e as demais freq¨ueˆ ncias
(a) Para termos essa redc¸a˜ o na freq¨ueˆ ncia, o carro  procuradas de , e . Com as freq¨ueˆ ncias de bati- deve afastar-se do dono:  ‰ $ mentos ouvidas, chegamos a` s procuradas: 6 ‰ /   0/    Hz ? ‰ Hz ?  Hz ?      Hz  Hz  Hz   [ 5 [    = 5 5  5 © 5  / © ? que fornece © J@ %  km/h! Essa velocidade corres5 ponde a` s  mi/h apresentada na resposta do livro. O As combinac¸o˜ es poss´ıveis dessas freq¨ueˆ ncias produzem experimento n˜ao e´ realiz´avel, porque carros n˜ao s˜ao t˜ao os demais batimentos (em Hz): velozes.    65 (b) Refazendo os c´alculos para a freq¨ueˆ ncia 4  ?  ?   5 ‰€/  €/ ‰€/ $ $   km/h, que corresponkHz, vamos encontrar © de a` s  mi/h. Com essa velocidade o experimento pode 18-67P. Duas cordas de piano idˆenticas tem uma ser realizado. freq¨ueˆ ncia fundamental de  Hz, quando colocadas sob a mesma tens˜ao. Que aumento fracion´ario na tens˜ao de uma corda ir´a levar a` ocorrˆencia de  batimentos, 18-73E. Uma ambulˆancia tocando sua sirene a  Hz  quando as cordas oscilarem juntas? ultrapassa um ciclista, que estava pedalando a   ft/s. Depois da ambulˆancia ultrapass´a- lo, o ciclista escuta a $ /  $ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 9 de 12 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Novembro de 2003, a` s 10:57 a.m.
  Trabalhando com Assim, ª  «  ft/s, obtemos  34   =  4 ? = « 4   que fornece « = =  n ft/s.   / aprox. 5  5 /5  J4  Hz. bat. 5  44  Fonte e detetor est˜ao em movimento e, ap´os a ultrapassagem, o detetor move-se em direc¸a˜ o a` fonte: 5  sirene a 34 Hz. Qual a velocidade da ambulˆancia? 4 Hz. afast. P 18-80 (18-60/6 ¡ edic¸a˜ o)   da velocidade do som. A Um avi˜ao voa a 4- explos˜ao sˆonica alcanc¸a um homem no solo exatamente l min depois do avi˜ao ter passado sobre sua cabec¸a. Qual a altitude do avi˜ao? Considere a velocidade do 545 som como  m/s. 18-79P. Dois diapas˜oes idˆenticos podem oscilar a  Hz. Uma pessoa est´a localizada em algum lugar na li-
A velocidade do avi˜ao e´ ˜  1 4 4 2 1 55  2  A nha entre os dois diapas˜oes. Calcule a freq¨ueˆ ncia de m/s. Ap´os 1 minuto, o avi˜ao percorreu a distˆancia batimentos captada por esse indiv´ıduo se (a) permanece 5 1 ˜ ,  1   parado e os diapas˜oes se movem para a direita a  m/s, V AJ  2 4 2 %  m. e (b) os diapas˜oes estiverem parados e o indiv´ ı duo se 5 movendo para a direita a  m/s. O aˆ ngulo do cone de Mach e´ dado por 55
     (a) Um diapas˜ao aproxima-se do detetor e o outro ˜ NP(Q h    ? k A    J    afasta-se. Os batimentos resultam da diferenc¸a entre as freq¨ueˆ ncias ouvidas devido ao movimentos dos dia 5 donde obtemos h   . A altitude ­ do avi˜ao e´ tal que pas˜oes:     « 5 5  5  5 5  =     Portanto, bat.    Hz. aprox. afast. / (b) Agora e´ o detetor que se aproxima de uma fonte e se afasta da outra: =  ª aprox. 5   afast.    Q h ? fornecendo ­  V tan h  1 5 @  2 tan   65   Š¯ 545 km  P 18-82 (   na 6 ¡ edic¸a˜ o) 4k  Hz.  , ® V = afast.  ­ « / 5 5  5  5 5   /    Hz. aprox. % ¬  5 5 =  5 5   Hz. / A Fig. 18-33 mostra um transmissor e um receptor de ondas contidos em um u´ nico instrumento. Ele e´ usado para medir a velocidade ƒ de um objeto (idealizado por uma lˆamina lisa) que se move diretamente na direc¸a˜ o do instrumento, analisando as ondas refletidas no alvo. (a) Mostre que a freq¨ueˆ ncia j , das ondas refletidas ao ; receptor, se relaciona com a freq¨ueˆ ncia emitida por ª http://www.if.ufrgs.br/ jgallas t° = ;  j / ƒ ƒ w ? onde e´ a velocidade das ondas. (b) Em muitas situac¸o˜ es pr´aticas, ƒ±Š± . Neste caso, mostre que a equac¸a˜ o acima se torna j / ; ; D @ƒ  P´agina 10 de 12 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Novembro de 2003, a` s 10:57 a.m.
(a) A alterac¸a˜ o na freq¨ueˆ ncia devida a` aproximac¸a˜ o do objeto e´  ; =  ƒ  das ondas ultra-sˆonicas incidentes sofre uma variac¸a˜ o 5 de, aproximadamente, 4  Hz/MHz.” Que velocidade de ondas ultra-sˆonicas em tecidos vocˆe deduz, a partir dessa afirmativa?
A variac¸a˜ o fracional da freq¨ueˆ ncia das ondas e´ Na reflex˜ao, o objeto passa a ser uma fonte m´ovel, enquanto o detetor, estacion´ario, recebe a freq¨ueˆ ncia  j   ƒ / K No problema 18.82P obtivemos Combinando estas equac¸o˜ es, obtemos ; =  j ; =  K ƒ ƒ / 5    (4»  / ƒ @ƒ  D  ( U  m/s, chegamos a` velocidade das ondas Com ƒ  @ m/s. ultra-sˆonicas nos tecidos, ƒ (b) Se ƒ²±Š± , usamos a expans˜ao binomial para obter j ³ ;  = ³ ƒ >´  / ƒ ž´ U  D ³  = ³ ƒ ž´  = P 18-92 (18-56/6 ¡ edic¸a˜ o) ƒ >´ ? e chegar ao resultado pedido, j / ; ; D ƒ  Uma sirene de 4 Hz e um oficial da defesa civil est˜ao em repouso em relac¸a˜ o a` Terra. Que freq¨ueˆ ncia o oficial ir´a ouvir, se o vento estiver soprando a  m/s (a) da fonte para o oficial e (b) do oficial para a fonte?
Veremos mais a` frente que os problemas 18.84P, 18.89P e 18.101P s˜ao aplicac¸o˜ es deste resultado. P 18-84 (18-53/6 ¡ edic¸a˜ o) Um alarme ac´ustico contra roubos consiste em uma fon te que emite ondas a` freq¨ueˆ ncia de  kHz. Qual ser´a a freq¨ueˆ ncia dos batimentos refletidos por um intruso andando a uma velocidade m´edia de J 34 m/s, na direc¸a˜ o oposta ao alarme? (a) A f´ormula do deslocamento Doppler e´ v´alida ape; nas quando as velocidades da sirene e do oficial, ƒ e ƒ ,  forem medidas em relac¸a˜ o a um meio estacion´ario (i.e., sem vento). Para modificar a f´ormula de modo a levar o vento em considerac¸a˜ o basta mudar para um novo referencial no qual n˜ao exista vento. Quando o vento sopra da fonte para o observador com ; ƒ½ ¼ no novo reuma velocidade ¼ , temos ƒ½  ferencial que se move junto com o vento. Como neste referencial o observador aproxima-se da fonte enquanto que a fonte dele se afasta, temos, no novo sistema de referˆencia  =  ¿
= ƒ½  ƒ½  ;  ¬ ¼   ¼   Aqui o intruso afasta-se da fonte com uma velocida 4 Hz. ;  65 5 =  = ¼ de ƒ k 3 m/s que satisfaz µ ƒ¶µ4·¸µ µ , onde  / m/s e´ a velocidade do som no ar a   (veja Tabela 18.1). (b) Neste caso, basta trocar o sinal de ƒ½ e ƒ¾; . O resul Portanto, usando o resultado no item (b) do problema tado e´ que, novamente, n˜ao ha deslocamento Doppler: 18-82 acima, encontramos que  bat µ j / ; µº¹ ¹ kµ ƒ¶µ ; 1   J 34 2 1  5 5  '(  2   Hz   / / / / ¼ 4 Hz. Em geral, nunca existir´a deslocamento Doppler quando n˜ao houver movimento relativo entre observador e fonte, independentemente de existir ou n˜ao vento presente. 18-89P. Em uma discuss˜ao sobre deslocamentos Dop- P 18-94 (18-55/6 ¡ edic¸a˜ o) pler de ondas ultra-sˆonicas, usados em diagn´osticos m´edicos, o autor comenta: “Para cada mil´ımetro por se- Uma menina est´a sentada pr´oxima a uma janela aberta gundo que uma estrutura do corpo se move, a freq¨ueˆ ncia de um trem, que est´a se movendo a uma velocidade de http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 11 de 12 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Novembro de 2003, a` s 10:57 a.m. (k 4 m/s para o leste. A tia da menina est´a pr´oxima aos trilhos, observando o trem partir. O apito da locomotiva emite um som a` freq¨ueˆ ncia de 4J  Hz. N˜ao h´a ventos. (a) Que freq¨ueˆ ncia a tia da menina ir´a ouvir? (b) Que freq¨ueˆ ncia a menina ir´a ouvir? (c) Com um vento soprando para oeste a (J  m/s, que freq¨ueˆ ncia a tia da menina ir´a ouvir? (d) E a menina?
(a) Como o trem est´a se afastando da observadora, temos   = 5   5 « 5  5  =       18-99P. O per´ıodo de rotac¸a˜ o do Sol no seu equador e´ de @ ? d e o seu raio e´ de % Œ„À km. Que deslocamento Doppler no comprimento de onda e´ esperado para a luz de  nm, emitida da superf´ıcie do Sol? 5
O per´ıodo dado corresponde a Jq  » s . A velocidade de qualquer ponto equatorial da superf´ıcie do Sol e´ Hz.   R c  ¦  4…'(  m/s, (b) Como n˜ao h´a movimento relativo entre a fonte e o que vem a ser a velocidade da fonte. Com a equac¸a˜ o  observador, a menina ouve a freq¨ueˆ ncia emitida, (18-55) vem 4 Hz. K     (c) Com o vento soprando para oeste, teremos as velo J … '(JU »  ’ cidades relativas ª€| ar « | ar  ( m/s e O deslocamento Doppler e´ ent˜ao K BÁ5   m/s.   pm  Como a fonte se afasta da observadora, temos 18-101P. Microondas, que viajam a` velocidade da luz, s˜ao refletidas por um avi˜ao distante, que est´a se aproxi 4 5 5  k  Hz. mando da fonte. Sabe-se que, quando as ondas refletidas  = se cruzam com as emitidas, a freq¨ueˆ ncia dos batimentos (d) Pela mesma raz˜ao do ´ıtem (b), a freq¨ueˆ ncia ouvida e´ de 33 Hz. Se as microondas tem Jn( m de compri  pela menina e´  Hz. mento de onda, qual a velocidade aproximada do avi˜ao?  5 =  ª0| ar  =  « | ar  5 = (    
Este problema e´ uma aplicac¸a˜ o do resultado do ’ problema 18.82P, onde substituimos por , a velo18-96E. Certos comprimentos de onda, caracter´ısticos cidade de propagac¸a˜ o das ondas eletromagn´eticas no 5 na luz vinda de uma gal´axia na constelac¸a˜ o de Virgem, v´acuo,    _ m/s. A freq¨ueˆ ncia das microondas e´  ’ a5 s˜ao J %¨ maiores do que a luz correspondente de fontes   b Hz. Escrevemos terrestres. Qual a velocidade radial dessa gal´axia com ƒ respeito a` Terra? Ela est´a se aproximando ou se afastan=  D ’ ? do? Sec¸a˜ o 18-8 O Efeito Doppler para a Luz
Aplicando a equac¸a˜ o (18-55), temos K   Portanto, ƒ  k 4 ’   ƒ ’  J  4 S'( » m/s, afastando-se. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas sendo   /  334 Hz. Portanto, ’ 334 D ƒ  D 43k  m/s. P´agina 12 de 12 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:48 a.m. Exerc´ıcios Resolvidos de Termodinˆamica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte´udo 19 Temperatura 2 19.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 19.2 Exerc´ıcios e Problemas . . . . . . . . . 19.2.1 Medindo temperatura . . . . . . 19.2.2 As escalas Celsius e Fahrenheit 19.2.3 Expans˜ao t´ermica . . . . . . . . Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 2 2 3 3 jgallas @ if.ufrgs.br (lista4.tex) P´agina 1 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 Temperatura 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:48 a.m. no interior da curva?
19.1 Quest˜oes Porque o zinco tem coeficiente linear de expans˜ao t´ermica maior que o ferro. Procure tais valores em alguma Tabela. Q 19-3. Um pedac¸o de gelo e um termˆometro mais quente s˜ao Q 19-22. colocados num recipiente hermeticamente fechado, no v´acuo. O gelo e o termˆometro est˜ao suspensos de tal Explique por que a dilatac¸a˜ o aparente de um l´ıquido maneira, que n˜ao ficam em contato. Por que a leitura do num tubo de vidro, quando aquecido, n˜ao corresponde a` verdadeira expans˜ao do l´ıquido. termˆometro diminui, ap´os algum tempo?
O termˆometro transfere calor por irradiac¸a˜ o. As for-
Porque o vidro que cont´em o l´ıquido tamb´em se exmas de tranferˆencia de calor ser˜ao estudadas no cap´ıtulo pande. 20. Q 19-7. 19.2 Exerc´ıcios e Problemas Embora parec¸a imposs´ıvel atingir o zero absoluto de temperatura, temperaturas t˜ao baixas quanto 19.2.1 Medindo temperatura   K foram alcanc¸adas em laborat´orios. Isto n˜ao seria suficiente para todos os fins pr´aticos? Por que P 19-6. os f´ısicos deveriam (como realmente fazem) tentar obter Dois termˆometros de g´as a volume constante s˜ao usatemperaturas ainda mais baixas? dos em conjunto. Um deles usa nitrogˆenio e o outro,
Porque a muito baixas temperaturas os materiais exi- hidrogˆenio. A press˜ao do g´as em ambos os bulbos e´   bem propriedades n˜ao observadas a temperaturas usuais. =  mm de Hg. Qual e´ a diferenc¸a de press˜ao nos dois A supercondutividade e´ um exemplo dessas proprieda- termˆometros, se colocarmos ambos em a´ gua fervendo? des. A motivac¸a˜ o para esse tipo de pesquisa est´a na pos- Em qual dos termˆometros a press˜ao ser´a mais alta? sibilidade de encontrar novos fenˆomenos e propriedades
 Tomamos  como sendo  mm de merc´urio paf´ısicas dos materiais. A tentativa de reduzir os limites f´ısicos induz o desenvolvimento de instrumentos de me- ra ambos termˆometros. De acordo  com a Fig. 19-6, o termˆ o metro de N fornece       K para o ponto de dida mais e mais sofisticados, que s˜ao posteriormente ebulic ¸ a ˜ o da a ´ gua. Usamos a Eq. 19-5 para determinar a usados em outros campos. press˜ao: Q 19-14. Explique por que, quando colocamos um termˆometro de merc´urio numa chama, a coluna de merc´urio desce um pouco, antes de comec¸ar a subir.
Porque o vidro que cont´em o merc´urio inicia seu processo de dilatac¸a˜ o primeiro. Depois, a dilatac¸a˜ o do merc´urio e´ mais not´avel, porque este tem um coeficiente de dilatac¸a˜ o maior do que o do vidro. Q 19-18.               %   "!$#   &'  ( mm de merc´urio Analogamente, o termˆometro de hidrogˆenio fornece   para o ponto de ebulic¸a˜ o da a´ gua e   )       %   *! #    &+   mm de merc´urio A press˜ao no termˆometro de nitrogˆenio e´ maior que a '   Duas lˆaminas, uma de ferro e outra de zinco, s˜ao rebita mm de press˜ao no termˆometro de hidrogˆenio por das uma na outra, formando uma barra que se encurva merc´urio. quando e´ aquecida. Por que a parte de ferro fica sempre http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 2 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:48 a.m. 19.2.2 As escalas Celsius e Fahrenheit
(a) Mudanc¸as na temperaturam ocorrem atrav´es de radiac¸a˜ o, conduc¸a˜ o e convecc¸a˜ o. O valor de D pode ser E 19-14. A que temperatura os seguintes pares de escalas d˜ao a mesma leitura: (a) Fahrenheit e Celsius (veja Tabela 19-2), (b) Fahrenheit e Kelvin e (c) Celsius e Kelvin?
(a) As temperaturas Fahrenheit e Celsius est˜ao rela*, & "-/.  cionadas pela f´ormula  102 . Dizer que a leitura de ambas escalas e´ a mesma significa dizer que  ,   .  Substituindo &  - . esta condic¸a˜ o na express˜ao aci 304 de onde tiramos ma temos   5 (  # % 653( 7 C  (b) Analogamente, a condic¸a˜ o para as escalas Fahre",  nheit e Kelvin e´ , fornecendo    &  #  5   % 98    4 0  ou seja,   &%    %  # #    >=  5< ? K (;:  reduzido isolando os objetos atrav´es de uma camada de v´acuo, por exemplo. Isto reduz conduc¸a˜ o e convecc¸a˜ o. Absorc¸a˜ o de radiac¸a˜ o pode ser reduzida polindo-se a superf´ıcie at´e ter a aparˆencia de um espelho. Claramente D depende da condic¸a˜ o da superf´ıcie do objeto e da capacidade do ambiente de conduzir ou convectar energia do e para o objeto. Como podemos reconhecer da equac¸a˜ o J"O diferencial acima, D tem dimens˜ao de (tempo) . A ¸ a˜ o diferencial dada obtemos (b) Rearranjando a equac  @ @  AB  B  P5ND A ¸ a˜ o a e observando que Integrando-a em relac A AB Q  @ temos @  QTSVU AB   A   SVU W @ XY @ #@ Q  @ #@  Q M 5 G D B  5ND  5ND  % [Z SVU Z Z SVU>W  XY @  G @  B  %R8 AB 8 (c) Como as e Kelvin est˜ao relacionadas   escala  Celsius   5   , vemos que n˜ao existe nenhuma que reescrita de modo equivalente fornece o resultado por temperatura para a qual essas duas escalas possam for- desejado: necer a mesma leitura.   GNH J3K3\M  @ @ P 19-17. 19.2.3 Expans˜ao t´ermica Observamos, no dia-a-dia, que objetos, quentes ou frios, esfriam ou aquecem at´e adquirir a temperatura ambien- E 19-24.  te. Se a diferenc¸a de temperatura @ entre o objeto e  o ambiente n˜ao for muito grande, a taxa de esfriamento Uma  7 barra feita   com uma liga de alum´ınio mede cm Ce  cm no ponto de ebulic¸a˜ o da a´ gua. (a) ou aquecimento ser´a proporcional a` diferenc¸a de tempe- a Qual o seu comprimento no ponto de congelamento da A ratura, isto e´ , a´ gua? (b) Qual a sua temperatura, se o seu comprimento ' & AB  e´ cm?  %F8 @ C5ED # @
(a) A relac¸a˜ o para a variac¸a˜ o do comprimento, @^]4  ]`_$@ , permite calcular o coeficiente de expans˜ao lionde A e ´ uma constante. O sinal menos aparece porque    J c37dbJ"O  _     b  a near da barra: = @ diminui com o tempo, se for positivo, e aumenta, se    7 . Portanto, partindo-se dos cm a C, vemos que ao negativo. Esta B e´ a lei de Newton do resfriamento. (a) De baixarmos a temperatura at´e o ponto de congelamento que fatores depende A? Qual a sua dimens˜ao? (b) Se *G  no instante  a diferenc¸a de temperatura for @ , da a´ gua a barra sofre uma variac¸a˜ o de comprimento daBgf Bih da por mostre que % @^]  ]e_ # 5   GIHJLKNM @ ?@ %    J*c %  %  # # ba # 5 '   num instante posterior t.  5  cm http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 3 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:48 a.m.   ]kj l]m0n@^]4 '  5 o &' &&   cm  @  7  5<]Tl]<_s@ l]e_ # 5 %  9 &&  5 €  &       J*v % % J v %  &&% a 5 # a # # # 7   C  Portanto a temperatura procurada e´  obtemos facilmente a temperatura procurada: f Bgf Bih  ] 0 5 ] < ]e_ ' &   5  %     J c% # # ta   7  04(t  C    0 G : G y z  5 y } G G _ } y } 5<_ z y z  (b) Partindo-se novamente dos C, perce  cm & a bemos logo que para chegar a cm a temperatura hqp ter´a que aumentar. A matem´atica nos fornece sempre o sinal correto. Como ] ] , daB relac¸a˜ o Bgf f Bih @^]Tr]  de onde obtemos @ Portanto o comprimento procurado e´    7 L0Tl C  P 19-39. Densidade e´ massa dividida por volume. Como o volume depende da temperatura, a densidade tamb´em de pende. Mostre que, se a temperatura variar de @ ,a variac¸a˜ o da densidade ser´a  8 @b‚ƒP5u„‚L@ E 19-30.  Um cubo de lat˜ao tem aresta de  cm. Qual o aumento onde „ e´ o coeficiente de dilatac¸a˜ o volum´etrica. Expli 7 de sua a´ rea, se a temperatura subir de para  C? que o sinal negativo.
Aqui consideramos a equac¸a˜ o da expans˜ao superfi-
Sabemos que @^…6…„$@  , ou seja, que @ƒ…  @ cial, com coeficiente de dilatac¸a˜ o  au_ lat˜ao rna  J vw7 d J"O 8 onde tiramos o _ lat˜ao da Tabela 19-3, pag. 176. Portanto, @^D     D # _ &% #     8 @  9J*v% % #  ba #   cm  ?…„ . Da definic¸a˜ o de densidade ‚^l† @ @b‚  65 % † @^…  … @ … obtemos 5  5 †  …„ … † … „mP53‚„  Comparando as duas extremidades obtemos que  @b‚ƒP5u„‚L@   Quando @ e´ positivo, o volume aumenta e a densidade  diminui, ou seja, e´ negativo, o @4‚ e´ negativo. Se @  7Fd Uma barra de ac¸o a  tem  cm de diˆametro. Um volume diminui e a densidade aumenta, isto e´ , @T‚ e´  &&  7xd anel de lat˜ao tem diˆametro interior de cm a  . positivo. A que temperatura comum o anel se ajustar´a exatamente a` barra?
Ap´os a mudanc¸a de temperatura o diˆametro da barra P 19-42. G G  A temperatura de uma moeda de cobre aumenta de ' de ac¸o e´ y{z|?y{z 0;_$z y{z @ do anel de   7Rd G G  a o diˆametro G G k‡ . Dˆe o aumento e seu diˆametro cresce lat˜ao e´ yb}Lyb} 04_q}~yb} @ , onde y{z a yb} s˜ao os percentual, com dois algarismos significativos, (a) na diˆametros originais, _ z a _ } s˜ao os coeficientes lineares  a´ rea, (b) na espessura, (c) no volume e (d) na massa de expans˜ao, e @ e´ a mudanc¸a da temperatura. da moeda. (e) Qual o coeficiente de dilatac¸a˜ o linear da A barra se ajustar´a exatamente a` barra quando tivermos moeda? y z ?y } , os seja quando
(a) Como sabemos que o coeficiente de expans˜ao suG G  G G  8 perficial e´ o dobro do coeficiente de expans˜ao linear, y z 0T_ z y z @ ?y } 0T_ } y } @ P 19-36. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 4 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:48 a.m. podemos afirmar imediatamente que o aumento percen- A diferenc¸a entre os comprimentos iniciais das barras e´ : tual na a´ rea ser´a o dobro do aumento percentual linear,   8 ou seja  ‡ . @^] 7 r] Og7 5<] 7  Œ 5Œ  Mais formalmente, podemos ver isto comparando as _ O _ f´ormulas _ O 5<_  @^] ]  @^D D   _m@   '   _m@   %   ' %      # #    ‡ A diferenc¸a entre os comprimentos das barras quando a  temperatura variou de @ e´ : (b) A espessura ˆ da moeda varia linearmente e, portanto, sua variac¸a˜ o percentual coincide com a do item anterior: @^] @^]     A  r_ #  %  _  ' 8  _Š ^a '8    J*v`7 d JwO  Perceba que para responder aos itens (a)-(d) n˜ao e´ necess´ario conhecer-se _ . Esta e´ a raz˜ao do livro pedir para determinar _ apenas ao final do exerc´ıcio. (a) Mostre que, se os comprimentos de duas barras de materiais diferentes s˜ao inversamente proporcionais aos seus respectivos coeficientes de dilatac¸a˜ o linear, a` mesma temperatura inicial, a diferenc¸a em comprimento entre elas ser´a a mesma, a todas as temperaturas. (b) Quais devem ser os comprimentos de uma barra de ac¸o e ou 7 tra de lat˜ao a C, tais que, a qualquer temperatura, a '  diferenc¸a de comprimento seja  m?
(a) A` temperatura inicial, considere-se os comprimentos das duas barras dados por: e 8 ]/ 7 Œ _ ] O ŽŒ 0 @ Œ _ O e  5‘Œ 5 @ Œ _$  ]/ 1Œ 0 @ Œ _ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas  &  ] Og7  ] 7  @^] 7    J vw7 d J"O a a  J vw7 d J"O 8 & >% 5 a 8‹&  Œ a 8   J v  (ƒa 8   J v  (ƒa &   J*v  a 8   J v  (ƒa    J*v  a 8    m   J*v G J"O 8   (  m 8     m P 19-50. Uma barra composta, de comprimento ]•] O 0?]/ ,  e´ feita de uma barra de material e comprimento ] O ,  ligada a` outra de material e comprimento ]k (Fig. 1918). (a) Mostre que o coeficiente de dilatac¸a˜ o efetivo para esta barra e´ _< onde e´ a constante de proporcionalidade.  Œ Quando a temperatura varia de um @ , tem-se:    #  Œ P-46. ] O‹7 Œ _ O ac¸o _’ z ”M z“ 7  donde tiramos que  Œ @  m e os valores dos coeficientes (b) Sendo @^]P de expans˜ao do ac¸o e do lat˜ao dados por %  ' %     # #    (‰‡ ?_$@ 0 _ O _ O < 5 _ Œ _ O $ _ @b] 7 (d) N˜ao h´a variac¸a˜ o na massa da moeda. (e) Qualquer das relac¸o˜ es acima pode ser usada para dee A exemplo, usando a do item (a) temos: terminar _ . Por @ Œ 8  (c) A variac¸a˜ o no volume e´ : ?_s@  ] O 5<]  @^]  @ƒˆ  ' '  r_^@   k‡ ˆ @ƒ… … _ O _ Œ % # _ O ] O 04_ ]  ] (b) Usando ac¸o e lat˜ao, dimensione uma barra compos9 ta de  ( cm e o coeficiente de dilatac¸a˜ o linear efetivo    J vw7dbJ"O . ^a P´agina 5 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:48 a.m.
(a) A variac¸a˜ o no comprimento da barra composta e´ faces do cubo, e › e´ a profundidade de submers˜ao, de dada por modo que D1› fornece o volume do merc´urio deslocado. @^] O cubo est´a em equil´ıbrio, de modo que a magnitude das duas forc¸as e´ o mesmo: ‚ K™ …œ‚š ™ DN› . Substituindo-se …žC] e D6C] nesta express˜ao obtemos @^] O 0n@^]/   ] O _ O @ 0T]/ w_$ q@ %  # ] O _ O 0T]/ "_$ @    ›ƒ Por outro lado, tamb´em temos que  ‚ K ‚š ]    %  # ] O 0T] _b@ Quando a temperatura muda, todas as trˆes quantidades que aparecem em › tamb´em mudam, sendo tal mudanc¸a Igualando-se as duas express˜oes para @b] obtemos que dada por % ] O _ O 0T] _  # ] O 04] _ , ou seja, que › › › @^]T?][_;@ @b› _< ] O _ O 04]k "_  ]  Ÿ  Ÿ ] ‚ K @;‚ K 0 Ÿ @b‚š 0¡Ÿ @^] ] Ÿ Ÿ ‚ K ] ‚ K  @ ‚ K 5 b @;‚9šž0 @ ] ^ ‚ ‚ š š ‚ š ‚ š (b) Reescrevendo a express˜ao acima e usando o fato que ]/ 1?]<5<] O , obtemos Primeiro, consideremos a mudanc¸a da densidade do alum´ınio. Suponhamos que uma massa ¢ de alum´ınio % 8 ]k_Šr] O _ O 0 # ]<5<] O _ … K . A densidade sera, portanto, ocupe um . volume A        &   J v * J v K K ‚ ?¢ … , sendo a variac¸a˜ o da densidade dada por a a que nos da, com _ O  e_  , A ] O  _m5_$ ] _ O 5_    & €5   & 5 %   # #  (  ( % l & ‚ K ‚ K  @ … K 6 ƒ  5 @^… K … K … K … K  Como sabemos que @^… K ?_s… K @ , encontramos  8 @b‚ K P5N_q‚ K @ @b‚ K    % #  (  cm 8 @ƒ… K 65 ¢ onde _ representa o coeficiente de expans˜ao linear do   J v onde j´a simplificamos o fator comum que aparece alum´ınio. no numerador e denominador da frac¸a˜ o. Finalmente, Segundo, de modo an´alogo, para o merc´urio temos 9  &      ] r]<5<] O  € ( 5 t    cm @b‚š¡P5 ‚9š  @ƒ… š … š E´ claro que este valor tamb´em poderia ter sido obtido Agora por´em, como tratamos com um l´ıquido e n˜ao independentemente, subsituindo-se ] O ?]u5–] na ex- de um s´olido como acima, @ƒ… š£¤„… šE@  , onde press˜ao acima para _ : „ representa o coeficiente de expans˜ao volum´etrica do     merc´ urio. Portanto 5    % _ O 5e_ ]/ 1 P 19-54 — _ O 5_ ]    '   (       cm ( 5  & #  (  @b‚9š¥653„w‚9š–@  Terceiro, temos que @b]T?_$]k@ . Substituindo estes trˆes resultados na express˜ao para @b› acima obtemos:  ] ‚ š @b› Um cubo de alum´ınio de aresta cm flutua em merc´urio. Quanto afundar´a o cubo, se a temperatura    subir de  para  . 7 d O coeficiente de dilatac¸a˜ o do    J ˜ K? merc´urio e´ ƒa .
A forc¸a da gravidade no cubo e´ ‚ K™ … , onde … e´ o volume do cubo e ‚ K e´ a densidade de massa do alum´ınio. O empuxo do merc´urio no cubo e´ ‚9š ™ D1› , onde ‚š e´ a densidade de massa do merc´urio, D e´ a a´ rea de uma das http://www.if.ufrgs.br/ jgallas       % ‚ K ] 5 # 5N_q‚ K @ ‚ š  % ‚ K 0 # _$]k@ ‚š # 53„w‚9š¦@  %  ‚ K  ];§¨„E5 _$© @ ‚ š  J ˜  %     %   J*v % = % ƒa 5 # # ^a   /# #  : 9   J  + 8 cm  mm a P´agina 6 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS onde usamos o fato que @  l  5 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:48 a.m.     l K. Substituindo a Eq. (3) na Eq. (2) temos:
Soluc¸a˜ o alternativa: Para o bloco flutuando no   merc´urio a  K, pelo Princ´ıpio de Arquimedes, temse: † K ’ ™ ‚ K ’] ™ ª«¬‚)/­V] › ™ 8 ‚)k­s] › ™   @b‚ )/­ ›€0n@b›k‚ )/­ @ ‚)/­$›€0n@b›k‚)/­ b @b‚)/­  5u„‚)k­s@ ›€0n@b›k‚)/­ 5E/@^]{‚ K  5 @^]{‚ K 5¦„‚)/­V@  5 @^]{‚ K     ’ 0n@^]{‚ K ’ ’  ’ ou seja, Trazendo o resultado da Eq. (1) para y: ‚ K ’  ] (1) ‚)/­    ‚ K ’ .>²            ˜ °  ¯ ± Š 5 w „  ‚ k )  ­ @ ] ! 0n@;›k‚)k­  ! Para ‚ K ’– e ‚)k­? ®a ma ‚ )/­ ¯± .² , a equac¸a˜ o (1) fornece ›4    ( m, ou seja, o  ›{ cubo est´a com % da sua aresta submersa. Mas todas as quantidades envolvidas na equac¸a˜ o (1) variam com a temperatura:  @ ‚ K ’]m0T@^]{‚ K ’ (2) b @b› E´ claro que a massa do cubo n˜ao varia com a temperatura: @b› @b‚)/­s›€0n@b›/‚)/­ † K ³ ’  @b† K ’³  ] @^]{‚ K ’´ I ]`@b‚ K ’´  8 ‚ K ’ ] @b‚ K ’] 4 0 I] @^]I‚ K ’u 5®@;‚ K ’] 5Eo‚ K ’w@^] http://www.if.ufrgs.br/ jgallas  „]I‚ K ’ @   5  ]k_ K ’ @ ‚)k­    ‚ K ’ ] „E5 _ K ’ ! @ ‚)k­    5 @^]{‚ K ’ ‚ K ’ Introduzindo os valores das quantidades na equac¸a˜ o acima, obt´em-se, finalmente, (3) @b›ƒ   a   J ˜ m  + mm  P´agina 7 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:43 a.m. Exerc´ıcios Resolvidos de Termodinˆamica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte´udo
20 Calor e a Lei da Termodinˆamica 2 20.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 20.2 Exerc´ıcios e Problemas . . . . . . . . . 2 20.2.1 A absorc¸a˜ o de calor por s´olidos e l´ıquidos . . . . . . . . . . . . 20.2.2 Alguns casos especiais da primeira lei da termodinˆamica . . . 20.2.3 A transferˆencia de calor . . . . 20.2.4 Problemas Adicionais . . . . . Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 2 4 5 6 jgallas @ if.ufrgs.br (lista4.tex) P´agina 1 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 20 Calor e
a Lei da Termodinˆamica 20.1 Quest˜oes Q-4. O calor pode ser absorvido por uma substˆancia sem que esta mude sua temperatura. Esta afirmac¸a˜ o contradiz o conceito do calor como uma energia no processo de transferˆencia, devido a uma diferenc¸a de temperatura?  25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:43 a.m. Discuta o processo pelo o qual a a´ gua congela, do ponto de vista da primeira lei da termodinˆamica. Lembre-se que o gelo ocupa um volume maior do que a mesma massa de a´ gua.  Pela primeira lei, tem-se para o processo    . O calor Q e´ removido da a´ gua, e, portanto,   , o calor de fus˜ao do gelo. O trabalho e´ daigual a    , sendo p a press˜ao atmosf´erica. do por  e´ maior que  , sendo o trabalho positivo. ao, a   Ent˜ variac¸a˜ o da energia interna e´  , sendo, N˜ao. Um sistema pode absorver calor e utilizar es- portanto, negativa. sa energia na realizac¸a˜ o de um trabalho; a temperatura do sistema n˜ao muda e n˜ao e´ violado o princ´ıpio da Q-31. conservac¸a˜ o da energia. Por que as panelas de ac¸o freq¨uentemente possuem uma placa de cobre ou alum´ınio no fundo? Q-7. Porque o cobre e o alum´ınio conduzem mais eficienUm ventilador n˜ao esfria o ar que circula, mas o esquentemente o calor do que o ac¸o. ta levemente. Como pode, ent˜ao, lhe refrescar?   O movimento do ar estabelece uma corrente de convecc¸a˜ o, com o ar mais quente subindo, e o ar mais frio ocupando-lhe o lugar, refrescando o ambiente. Q-14. 20.2 Exerc´ıcios e Problemas 20.2.1 A absorc¸a˜ o de calor por s´olidos e l´ıquidos Vocˆe p˜oe a m˜ao dentro de um forno quente para tirar E-6. uma forma e queima seus dedos nela. Entretanto, o ar kJ de calor em torno dela est´a a` mesma temperatura, mas n˜ao quie- Quanta a´ gua permanece l´ıquida ap´os serem extra´ ı dos de g de a ´ gua, inicialmente no ponto ma seus dedos. Por quˆe? de congelamento? !#"$&% %('("  Porque a forma, feita de metal como o alum´ınio, por exemplo, conduz muito melhor o calor do que o ar. Q-20.  E´ necess´ario extrair  *)  +  ,"$&%#'-"-.,/(/-/-012*3$4'-'65879"(: J para solidificar toda a massa de a´ gua. Com os !1$4";%<5=7>" : Os mecanismos fisiol´ogicos, que mant´em a temperatura J extra´ıdos, s´o e´ poss´ıvel solidificar parte da a´ gua: interna de um ser humano, operam dentro de uma faixa limitada de temperatura externa. Explique como essa kg faixa pode ser aumentada, para os dois extremos, com o uso de roupas. Portanto,  )@?  ?  1/!A$&$&"-/(/B%655 >7>7 ""(:C  "1$.7D!#"  6)EF) )@?*%('(" 7>!#"GH7(7>" No ver˜ao, usam-se roupas claras, que refletem a radiac¸a˜ o, e soltas, que favorecem a convecc¸a˜ o do ar, ventilando o corpo. Com as roupas mais grossas de permanecem no estado l´ıquido. inverno, a camada de ar junto da pele, aquecida por irradiac¸a˜ o do corpo, funciona como isolante t´ermico. E-13. Q-27. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas g '$4"-" Um objeto de massa de kg cai de uma altura de m e, por meio de uma engrenagem mecˆanica, gira !("1$&" P´agina 2 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:43 a.m. "$4'-"(" uma roda que desloca kg de a´ gua. A a´ gua est´a inicialmente a . Qual o aumento m´aximo da temperatura da a´ gua? 7D!JI2K P-24.  Um bloco de gelo, em seu ponto de fus˜ao e com massa A energia potencial gravitacional perdida pelo objeto inicial de kg, desliza sobre uma superf´ıcie horizonna queda e´ : tal, comec¸ando a` velocidade de m/s e finalmente parando, depois de percorrer m. Calcule a massa de gelo derretido como resultado do atrito entre o bloco que correspondem a cal. O aumento de e a superf´ıcie. (Suponha que todo o calor produzido pelo atrito seja absorvido pelo bloco de gelo.) temperatura produzido na a´ gua ser´a de: !("1$4" !A$4/-3 %#31$&/  F)JLAMN+,'$4"-"-OQP1$&3("-.Q!("-R%#P(S-"1T1$  VUW";%A$&/#S    )@?9X<6Y Q'("("]LA. 7(La$&"^`! ` 7>'1$.7WU ` bgf U#"-%A$&/#SX.Z;[\ 7($97DUe Y<  A desacelerac¸a˜ o do bloco e´ dada por: ;| }  |_} ^% Z~ ` }   A ! 4 $ / 3  ZB %(O%#3$4/("; F1" $v!A7-7){#€ } f O calor produzido pelo atrito e´ dado por:    P-18.  )Z~ !#"$4"0;L1OQ"1$v!A7(7‚){(€ } O%#3$4/("^)ƒ U(%#/$4'17hT   Calcule o calor espec´ıfico de um metal a partir dos seguintes dados. Um recipiente feito do metal tem massa de kg e cont´em kg de a´ gua. Uma pec¸a de A massa de gelo derretido e´ : kg deste metal, inicialmente a , e´ colocada dentro da a´ gua. O recipiente e a a´ gua tinham inicialmente a temperatura de e a final do sistema foi de . /$4'  79S 7($&3 7>3("hIiK 7>'IiK  7>3IWK )   ) a´ gua  X 6Y j7.S;"("("]LA.k7($&" LlOX <` Z_b [ O%A$4" ` bm %(3("-"("^XOZ_[ a´ gua  ) A a´ gua absorve parte do calor cedido pela pec¸a: )  U(%#/1$&'17]T /1$&/(/B5 7>" C T{#0_L "1$&"("-%0;Lf   a´ gua P-30. !#" (a) Dois cubos de gelo de g s˜ao colocados num vidro contendo g de a´ gua. Se a a´ gua estava inicialmente a` temperatura de e se o gelo veio diretamente O recipiente feito do metal absorve outra parte do calor do freezer a , qual ser´a a temperatura final do cedido pela pec¸a: sistema quando a a´ gua e o gelo atingirem a mesma temperatura? (b) Supondo que somente um cubo de gelo foi usado em (a), qual a temperatura final do sistema? Ignore a capacidade t´ermica do vidro.  mnporq,sut  %#"-" ) pn orq,sut X nporq,svt 6Y nporq,svt ,/-'("("]LAnp.orQq,%Asu$&t " ` bmkX U#%("("^X    (a)Se a a´ gua resfriar at´e ela ser´a de O calor cedido pela pec¸a e´ igual a:  pec¸a w) pec¸a X metal xY   k 793-"("iL1Oj79';% ` bm1X %#P17>'("-"^X   y %(3("("-" y U#%("("^X  %#np3-"(orq,"-sv"z  t X  a´ gua metal metal metal  a´ gua F) a´ gua X 6Y a´ gua metal Reunindo as quantidades calculadas, vem:  7>!m%(Ii!„K I2K  pec¸a %#P17>'("-"^X %#3#S-S-"-"^X "1$4"-P(3^X.Z;[r{>L ` bgf metal metal http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Para o gelo chegar a m…uot `      "]I>K , o calor fornecido por Q %("("iL1Oj7($&" LOX .` Z_b [ .Q%(! ` bm !#"-"("gXOZ_[ " ` b , necessita-se: ) …Oort ` X …Oort ` 6Y j79"-"iLA.,"$&!#/ LlXO`9Z_b [ Oj7>! ` bm U#P-!gXOZ_[ P´agina 3 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:43 a.m. quatro vezes maior do que o segundo bloco. Este est´a a` temperatura C e seu coeficiente de dilatac¸a˜ o linear e´ . Quando os dois blocos s˜ao colocados juntos e alcanc¸am seu equil´ıbrio t´ermico, a Ent˜ao o calor fornecido derreter´a s´o parte do gelo. O a´ rea de uma face do segundo bloco diminui em calor dispon´ıvel ser´a: %. Encontre a massa deste bloco. Para fundir o gelo seriam necess´arias: Y } RS_U ` 7D!A$&"J5˜79"1™š9{ ` b  ?F) O… ort   + `  k7>"("iL1OrUWP$&!]XOZ_[r{>L1‚ U#P-!#"gXOZ_[ "1$&"(/-"(" !#"-"(" UWP-!mFS;%#";!†X.Z;[  O calor absorvido pelo primeiro bloco e´ : Gˆc‰2Š;‹‚Œ‚‚Žv^‹ w)•›X9•]dY  Y  F/$.79'X9•2dY  D7 U `  Com essa quantidade de calor, pode-se fundir  ) O… ort `    S_WU %#P";$&!! R!#/hL O calor cedido pelo segundo bloco e´ :  ‚‘ ^Žv^‹ *) } X9• ,Y  Y  w) } 9X • , Y  AS U `  Portanto, ter-se-´ a uma mistura de a´ gua e gelo a " ` b , S S restando 79"-" !#/ ‡SAU g de gelo. (b) Se apenas um cubo de gelo for adicionado a´ a´ gua:  …Oort F O… ort …uot `  ) ` X ` 6Y  Fus˜ao   Q!("-.,"1$v!#/;O,"  D7 !(j /(P_U_$v!hX.Z;[ A variac¸a˜ o na a´ rea de uma das faces do segundo bloco e´ expressa por: Bœ }  œ } %^„dY  _S U `  B œ } R%]N,Y  SAU `  1" $4"-"("-/ œ } Q%-Oj7>!A$&"B5 7>" ™š OdY  SAU ` ž "1$4"-"("-/ /("B5879" ™š Y  7($jS7Ÿ5 7>" ™   "1$4"-"("-/ Y<x 7(/($9"B7(7Ÿ585 79"7>"A™›™›š   F/;U ` b F) O… ort `  !#"iL1OrUWP1$v!]XOZ_[{DLA  /-P;U#!hXOZ_[  …Oort  FS;/;U#%1$&!("†XOZ_[kf ` y Fus˜ao Agora o calor fornecido pela a´ gua ser´a suficiente para derreter todo o gelo. A temperatura final do sistema estar´a algo acima da temperatura de fus˜ao:  ? u… ot  ` ) O… ort ` X 6Y !#"iL1Oj7($&" L XO` Z_b [ .dY  " `  !(m"]…uYot    …uot y ? ` ` y S;/;U(%A$&!(" y !#"^Y ) X 6Y %#"-"iLA.k7-$4" L XO` Z_b [ .dY  %(! `    Gˆc‰2Š;‹‚Œ‚‚Žv^‹  m‘ ) Fus˜ao  m‘ ^Žv^‹   f a´ gua " " " " Dois blocos de metal s˜ao isolados de seu ambiente. O primeiro bloco, que tem massa kg e temperatura inicial C, tem um calor espec´ıfico )•ƒ–/1$979' http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 20.2.2 Alguns casos especiais da primeira lei da termodinˆamica P-42. /#Sf”“ Y  —7DUA$4" ` ^Žv^‹ y  ˆc‰iŠ-‹Œ‚<Žv^‹  } X S • k7>"- y /1$979'^X9•%#"-ž %A$&!]) } F'-/1$v% ) } *%-!A$v%#3Ÿ0;Lf a´ gua  ˆc‰2Š;‹Œ‚<Žv^‹ m‚‘ ^Žv^‹  y S;/;U#%1$&!(" y !#"]Y< y %#"("^Yc !#"-"("’ %(!("#Y  *'_U#%A$v!#" Y  R%A$&!17 ` bgf P- Equacionando os calores, cedido e absorvido, vem: a´ gua %#" %#/  R  !#"    /('   >7 / ¢¡£”¤D¥¦ £†‡7>" B§ ©¨ q ¦  B § ª¨ q ¦ « R%(% Quando um sistema passa de um estado i para f pelo caminho iaf na Fig. , cal. Pelo caminho ibf, cal. (a) Qual o trabalho W para o caminho ibf? (b) Se cal para o caminho curvo de retorno fi, qual e´ Q para esse caminho? (c) Seja cal. Qual e´ ? (d) Se cal, quais os valores de Q para os processos ib e bf?  B§ ª¨ q  R  6 § ©¨ q R  !#" %("xF/-"gX.Z;[ (a) Da primeira lei tem-se : P´agina 4 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:43 a.m. (b) O calor deixa a cˆamara a` raz˜ao de: /- "G*/-' ¬ ª« ­  ®«  '1$4"ŸXOZ_[ >  79/ŸXOZ_[ e sabendo-se do ´ıtem (a) que ·  ‚ˆc´<‹Œ (b) Dado · ) ˆc´<‹‚Œ a ‚  c ˆ < ´ ‚ ‹ Œ B§ ª¨ q ¦ >  /-"gX.Z;[ , vem ·¸ ·¸  /("m  >  79/; · x‚ˆc´<‹Œ ·¸  Q%-%#'("Ÿ0T{#0_LA.,/1$&'B5 7>" ™¹ 0;L{#€D  >  S-/gXOZ_[ q  "1$&317hT{(€ (c) Dado o valor B§ ª¨ ¦   79"—XOZ_[ , com o valor q B§ ª¨ F/("ŸXOZ_[ do ´ıtem (a), vem (c) A taxa de realizac¸a˜ o de trabalho e´ : B§=ª¨ q ¦  B§=ª¨ q ¦ 2 /("ŸXOZ_[ ·  ·¶  q s ¼ B§=ª¨q q ¦ x*S-"ŸXOZ_[ ^· ¸  )„º ®» ` L ·¸ ·  (d) Dado o valor B§ ª¨ ¦ « +%(%BXOZ_[ , para o processo ib tem-se: ·^¸  Q%1$4"m0;L1OQP1$43g){#€ } .,/$4"¢5879" ™›  ){(€> q  · ª  ¨ ¦ ®  « B§ R%(% 7>"G¯7D%hX.Z;[ ·^¸  "1$&"('6T{#€  ª« B§ ª¨ q   ª«  7 >%’ ª« '$4" No ´ıtem (b), a taxa calculada e´ a do calor que dei®«° 7>3ŸXOZ_[ E para o processo bf tem-se: B§ ª¨ q ¦ «r R  B§ ©¨ 2q B § ª¨ q ¦ ª« *  /-" D7 %m793ŸXOZ_[  « *" $ ­  r«  *B§ ª¨ q ¦ «r H97 3ŸXOZ_[kf P- xa a cˆamara, sendo ent˜ao negativa, de acordo com a convenc¸a˜ o de sinais adotada. Tamb´em no ´item (c), o trabalho por unidade de tempo e´ realizado sobre o sistema, sendo, portanto, negativo. Reunindo esses resultados na primeira lei, chega-se a` taxa de variac¸a˜ o da energia interna na cˆamara: · § ª¨ q · ¸  · § ª¨ q ·¸  S-/1f”“ %A$&"±O² } ·  ·  ·^¸ · ¸ "$4317  "$4"-'-] "1$uU#!GT{#€-f Um cilindro possui um pist˜ao de metal bem ajustado de kg, cuja a´ rea da sec¸a˜ o reta e´ de (Fig. 20-24). O cilindro cont´em a´ gua e vapor a` temperatura constante. Observa-se que o pist˜ao desce lentamente, a` taxa de cm/s, pois o calor escapa do cilindro pelas 20.2.3 A transferˆencia de calor suas paredes. Enquanto o processo ocorre, algum vapor se condensa na cˆamara. A densidade do vapor dentro dela e´ de e a press˜ao atmosf´erica, de atm. (a) Calcule a taxa de condensac¸a˜ o do vapor. E-48. (b) A que raz˜ao o calor deixa a cˆamara? (c) Qual a taxa m de variac¸a˜ o da energia interna do vapor e da a´ gua dentro Um bast˜ao cil´ındrico de cobre, de comprimento e a´ rea de sec¸a˜ o reta de e´ isolado, para evitar da cˆamara? perda de calor pela sua superf´ıcie. Os extremos s˜ao , um (a) Expressando a massa de vapor em termos da den- mantidos a` diferenc¸a de temperatura de colocado em uma mistura a´ gua-gelo e o outro em a´ gua sidade e do volume ocupado, fervendo e vapor. (a) Ache a taxa em que o calor e´ conduzido atrav´es do bast˜ao. (b) Ache a taxa em que o gelo derrete no extremo frio. a taxa de condensac¸a˜ o de vapor ser´a: %1$4" "1$&/(" 7($&" '$4"Ÿ5@79"1™ :]³ {W±O²  7($v% S$&3±O² }  79"-" I K ) ˆc´<‹Œ Fµ ˆc´<‹Œ BHFµ ˆc´<‹Œ œ x¶›$ · ) < ˆc´<‹Œ ·^¸ · ) <ˆc´<‹Œ ·^¸ · ) < ˆc´<‹Œ ·^¸    · µ < ˆc´<‹Œ œ ·¶ ¸ ,"$4'm0;L{D)   OA% $&"¢5 7>" ™ :c) } p5 Q/1$&"¢5 7>" ™  ){#€D /1$&'B5 7>" ™¹ 0;L{#€h*"$4/('h)JL1{(€ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas  (a) Com os dados fornecidos, mais o valor da condutividade t´ermica do cobre, , tem-se: 0*S-"7^½{D²ƒf ¾ ¿   dS;"17  {W)RÀ .dS$4365 7>" ™ : ) } . k7>"("^À8 7-$&%i) 79'$4" J/s P´agina 5 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:43 a.m. (b) Da equac¸a˜ o para a conduc¸a˜ o do calor vem: · ·(¸  · ) …Oort ·-¸ `  ¿   · ) ·-O… ¸ ort ` ¿   /(7>/('1/$&0"lTT{#{#0;€ L Á  "1$4"(S-3†L1{(€-f P-55 20.2.4 Problemas Adicionais P-62. %#"$4" 7>" ` Quantos cubos de gelo de g, cuja temperatura inicial e´ C, precisam ser colocados em L de ch´a quente, com temperatura inicial de C, para que a mistura final tenha a temperatura de C? Suponha que todo o gelo estar´a derretido na mistura final e que o calor espec´ifico do ch´a seja o mesmo da a´ gua. P(" ` 79" ` 7($uU  7($&" Um grande tanque cil´ındrico de a´ gua com fundo de m de diˆametro e´ feito de ferro galvanizado de mm Considerando os valores para os calores espec´ıficos de espessura. Quando a a´ gua esquenta, o aquecedor a da a´ gua e do gelo, a´ gua e g´as embaixo mant´em a diferenc¸a de temperatura entre , o calor extra´ıdo do gelo para trazˆe-lo a´ as superf´ıcies superior e inferior, da chapa do fundo, em temperatura de fus˜ao e´ : C. Quanto calor e´ conduzido atrav´es dessa placa em minutos? O ferro tem condutividade t´ermica igual a . Para fundir o gelo: A a´ rea da chapa e´ m . A taxa de conduc¸a˜ o do calor e´ !A$v% X %-%(%("8T{(0;LÀ %A$&/ ` !A$&"  ÉS7>P("T{#0_LÀ X …uot `  ';Up½{D²w¾  • F) … X … 6YÁÁ) … Q%(%-%#";Ok7>"-8\%(%(%("("]) … T‚ œRF · } {DS6R%A$&%;U } ¿  l0 œÃ 6Y  Q';U#.Q%1$&%-U(O%A$4/;  ';U(%-UA7  "1$4"-"-!-% !1$4" minutos ser´a:  Q';U#%;U_7 .,/-"("€D %1$4"-%65879" ¹ J \%("1$&% MJ O calor conduzido no intervalo de   ¿  ¸    } F) …  \/(/-/("-"("]) … kT‚uÊ Para aquecer o gelo derretido de " ` C a 79" ` C:   ) … X 6Y    ) … dS7>P("x…uoTt {#0;LÀ8Oj79"^À8  S79P("-"]) ` T‚uf a´ gua O calor removido do ch´a e´ :  :  )  P-58. !1$4" `  X xY  j7($&"Ÿ0_LA.dS7>P("xT{#0;LÀ8O 3("^À8 /-/-!-%#"(" J f a´ gua a´ gua Formou-se gelo em um chafariz e foi alcanc¸ado o estado estacion´ario, com ar acima do gelo a C e o fundo Reunindo todos os valores calculados acima, vem: do chafariz a C. Se a profundidade total do gelo + a´ gua for m, qual a espessura do gelo? Suponha que as condutividades t´ermicas do gelo e da a´ gua sejam e , respectivamente. S$4" ` -7 $jS "1$4S-" "1$97>%p±9Ä#Åd{D²˜IDKJÆ  No regime estacion´ario, as taxas de conduc¸a˜ o do ca- lor atrav´es do gelo e da a´ gua igualam-se:  0 œ d YcÇ YcÈ- R0 …Oort ` œ d YcÈ ^ …Oort Y  ` Mas YcÈ , a temperatura na interface, e´ " ` C: ,"$.7>  %-O ,S…O$4or";t   ,"$jS; "-…OOort !A$&"- 7($jS …Oort `  7($979/h) f ` ` a´ gua a´ gua http://www.if.ufrgs.br/ jgallas  •  }  ¬ *" y y   : Q%-%(%#"-" y /-/(/("-"(" y S79P("-"-_) … Ë/(/-!-%#"-" /-P;UW"-"("]) … \/-/-!-%#"(" ) … \"$43#S-SŸ0_Lf … Ì"1$&"-%#" kg, deve-se acresComo cada cubo tem ) ¦ Ï centar ao ch´a ÍEÌÎ ¦ :4} : Î Î ÎÑÐ S_% cubos de gelo. P-63. Uma amostra de g´as se expande a partir de uma press˜ao e um volume iniciais de Pa e para um volume final de . Durante a expans˜ao, a press˜ao e o volume s˜ao obtidos pela equac¸a˜ o , onde . Determine o trabalho realizado pelo g´as durante Ò {D² Ï %A$&"g²¢  79" (7 $&"a²¢  ÃHZl } ZJ 7>" P´agina 6 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS a expans˜ao.  25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:43 a.m.   at´e o volume final   :  D Ö Õ Z 9×  } ·  >Ö G    ZlØ /ÚÙ  × \Z@Ø x/    m/Ú   Ù j79"^ÛN{D) Ï Ø 3/ /7 Ù ,)@Ü> %(/1$4/-/GT1f Integrando do volume inicial    O trabalho realizado pela g´as na expans˜ao e´ dado por  ·  Ó · ÔËZa } ·  http://www.if.ufrgs.br/ jgallas     P´agina 7 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:48 a.m. Exerc´ıcios Resolvidos de Termodinˆamica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte´udo 21 A Teoria Cin´etica dos Gases 2 21.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Exerc´ıcios e Problemas . . . . . . . . . 21.3 Problemas Adicionais . . . . . . . . . . Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 2 3 9 jgallas @ if.ufrgs.br (lista4.tex) P´agina 1 de 10 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 21 A Teoria Cin´etica dos Gases 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:48 a.m. um vidro e´ aberto do outro lado de uma sala.
O tempo t´ıpico para se sentir o cheiro e´ de cerca de um minuto. As mol´eculas de amˆonia difundem-se no ar, tendo um livre caminho m´edio da ordem de   m, sofrendo da ordem de ! colis˜oes por segundo. Como Q-5. as mol´eculas movem-se em todas as direc¸o˜ es devido a` s Duas salas de mesmo tamanho se comunicam por uma colis˜oes, precisam deste tempo para atravessar uma saporta aberta. Entretanto, a m´edia de temperatura nas la. O movimento das mol´eculas tamb´em e´ afetado pelas duas salas e´ mantida a valores diferentes. Em qual sala correntes de convec¸a˜ o do ar, em geral presentes numa h´a mais ar? sala. 21.1 Quest˜oes 
 Pela equac¸a˜ o do g´as ideal  constante, se a press˜ao e´ a mesma nas duas salas. Ent˜ao        . Q-28. Se    , tem-se    , ou seja, h´a mais ar na As duas paredes opostas de um recipiente de g´as s˜ao sala cuja temperatura e´ mais baixa. mantidas a diferentes temperaturas. O ar entre os vidros de uma janela contra tempestade e´ um bom exemplo. Descreva, em termos de teoria cin´etica, o mecanismo de Q-12. conduc¸a˜ o do calor atrav´es do g´as. Por que a temperatura de ebulic¸a˜ o de um l´ıquido au-
O calor e´ transferido no g´as por um mecanismo commenta com a press˜ao? binado de conduc¸a˜ o e convecc¸a˜ o. As mol´eculas de ar
Com a press˜ao externa maior aplicada sobre o l´ıquido, pr´o ximas da parede mais quente tem energia maior que as mol´eculas precisam ter uma energia cin´etica maior a energia m´edia e perdem energia nas colis˜oes com as para vencer as forc¸as (fracas) que as unem e ”escapar” mol´eculas que tem energia mais baixa, que est˜ao mais ou evaporar. Uma energia cin´etica maior das mol´eculas pr´oximas da parede mais fria. Mas h´a tamb´em um transsignifica uma temperatura maior. A grandes altitudes porte de massa no processo, porque o ar junto da parede acima do n´ıvel do mar, no topo das montanhas, on- quente expande-se, tendo sua densidade diminu´ıda. O de a press˜ao atmosf´erica e´ menor, a a´ gua, por exemplo, ar mais frio vai ocupando o lugar deixado pelo ar mais pode ferver a uns  C; ao n´ıvel do mar, ferve a  C. quente, estabelecendo-se uma corrente de convec¸a˜ o entre as paredes. Q-19. Q-32. Que evidˆencia direta temos para a existˆencia dos Que tipo de observac¸a˜ o forneceria boa evidˆencia de que a´ tomos? E indireta? nem todas as mol´eculas de um corpo est˜ao se movendo com a mesma velocidade a uma dada temperatura?
N˜ao percebemos diretamente a existˆencia dos a´ tomos, mas indiretamente sim, e de muitas formas. Quando
Um fenˆomeno que fornece boa evidˆencia de que as sentimos o vento no rosto ou o interceptamos com a mol´eculas n˜ao se movem a` mesma velocidade a uma palma da m˜ao, sabemos que se trata de um g´as, cu- dada temperatura, e´ o processo de evaporac¸a˜ o de um jas part´ıculas em movimento, exercem forc¸a sobre a l´ıquido, em que as mol´eculas mais r´apidas s˜ao as que superf´ıcie em que incidem. Fenˆomenos observados co- mais facilmente escapam da sua superf´ıcie. mo o movimento Browniano ou o efeito fotoel´etrico tamb´em indicam claramente que todas as substˆancias s˜ao formadas por estas min´usculas part´ıculas. Q-37. Q-25. Explique como podemos manter um g´as a uma temperatura constante, durante um processo termodinˆamico.
Dˆe uma explicac¸a˜ o qualitativa da conex˜ao entre o livre O processo no qual a temperatura mant´em-se conscaminho m´edio das mol´eculas de amˆonia no ar e o tem- tante, chama-se isot´ermico. Para que a temperatura se po que se leva para sentir o cheiro da amˆonia, quando mantenha constante durante o processo, as variac¸o˜ es nas http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 2 de 10 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:48 a.m. - 1 N - 1S4 ): ()+G79K*2 ()687>* 2 A outras grandezas (press˜ao, volume) devem ser efetuadas  1 1 O  B T( ; I2 6U ; 2 muito lentamente e deve haver transferˆencia de calor. : De um modo geral, as grandezas Q, W e "$# int n˜ao s˜ao  6T( C 7>* K mol´eculas/m nulas nos processos termodinˆamicos. Para o g´as ideal a energia interna s´o depende da temperatura; se esta e´ (b) As massas molares s˜ao 0WVX   4 () g/mol e 0FYZX  constante, "$# int e´ nula e % '& .  < (, g/mol. O n´umero total de moles na amostra de g´as e´ : NPO  Q-40.  T [< ( <  moles B VX L  + Explique por que a temperatura de um g´as diminui em Para os percentuais indicados,   ( C 7 < ( <   YZX L ; (* moles e   +(,6 C 7 < ( <   * T( ; moles. As uma expans˜ao adiab´atica. massas dos gases ser˜ao:
N˜ao havendo qualquer troca de calor, pela primeira 1 44 V X V X 0FV X L 1 4    g *T( ; 2  (,2   lei da termodinˆamica, a variac¸a˜ o da energia interna e´ . igual ao trabalho realizado na expans˜ao, que e´ positivo. 1 1 4 YZX YZXE0FYZX    ; (E2  < ()2 \<3; g Portanto, a energia interna do g´as diminui, o que corres. 4 ponde a uma diminuic¸a˜ o da temperatura do g´as. 6 g. A massa total de g´as e´ T  . P-15. 21.2 Exerc´ıcios e Problemas : Uma amostra de ar, que ocupa T(* < m a` press˜ao maP-3. nom´etrica de (, ; 7]K Pa, se expande isotermicamente Se as mol´eculas de a´ gua em () g de a´ gua fossem at´e atingir a press˜ao atmosf´erica e e´ ent˜ao resfriada, a` distribu´ıdas uniformemente pela superf´ıcie da Terra, press˜ao constante, at´e que retorne ao seu volume inicial. quantas mol´eculas haveria em () cm da superf´ıcie? Calcule o trabalho realizado pelo ar.
A massa molar M da a´ gua e´ de *+() g/mol. O n´umero N de mol´eculas na massa de (, g e´ dado por: - /0 . 1  A  ()32 154
Comec¸ando pelo expans˜ao isot´ermica: N_^5O_^  ,: ()36879 2  ; ( ;=<< 7>* ) mol´eculas O `  N ^ NP`  ?  ; (  ; << 7>* ,  C *( G79   4 CC  mol´eculas/cm IH & 1 (,Tba[() ; 2c79K  (,TG7>* K NP^5O_^   B  6T() C 4 7>*d J O ` & isot´ermico   B feg O ^ O ^ A a´ rea A da Terra e´ ? @<AB DC (E87F*   cm . O n´umero de mol´eculas por unidade de a´ rea e´ ent˜ao: - NP`3O_` ( isot´ermico  1 1 T(E < 2 6T() C 4 79 d 2eSih T(,6  T(E <j T(,6 m (,U$79 d J H Para o processo isob´arico, P-13. N 1 O `lk O ^ & isob´arico  2 (a) Qual o n´umero de mol´eculas por metro c´ubico no ar a 6 C e a` press˜ao de () atm (= ()+$7J*K Pa)? 1 1 H : (,T 7m K 2 T(* < k +(,6=32  k ( < P7i*d J (b) Qual a massa de (, m desse ar? Suponha que & isob´arico  L C % das mol´eculas sejam de nitrogˆenio ( ) e 6 C % de O trabalho total realizado pelo ar e´ ent˜ao: oxigˆenio ( M ).
& (a) Da equac¸a˜ o do g´as ideal: NPO T  1 ()U k ( < I27>*d nC ( L 79 : J H   B Q(R  - A http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P-20. P´agina 3 de 10 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:48 a.m. Um tubo de comprimento o  6 C () m, aberto em uma das extremidades cont´em ar a` press˜ao atmosf´erica. Ele e´ colocado verticalmente em um lago de a´ gua doce, at´e que a a´ gua 4 preencha metade do tubo, como mostrado na Fig. 6T k  . Qual a profundidade h da parte submersa do tubo? Considere a temperatura como sendo a mesma em todo o lugar e constante. ser´a indicada por p. Com os dados fornecidos, calculase o n´umero de moles  A e  B de g´as em cada recipiente antes da abertura da v´alvula. Depois, esses n´umeros s˜ao x A e x B e o n´umero total de moles nos dois recipientes e´ n: O
 A B N A  A Se a temperatura e´ constante, ent˜ao NPO   B  Para um volume unit´ario: constante. A press˜ao do ar, ocupando agora a metade do N A volume do tubo, e´ dada por  1  A  N ^O ^  N A press˜ao N  fundo N o ? 6  oc? B N ` O ` N  N fundo  N aFqr o fundo  6 N A mesma press˜ao N do lago e´ dada por fundo N 6 N asqr  N   N  6T( C a o  B 6  6  o 1 o 6 A fundo o t k 6 a N qr N A  A A B 2 x B 4 66(  m A x A N A x B <
As temperaturas nos dois recipientes n˜ao se alteram com a abertura da v´alvula. A press˜ao final de equil´ıbrio http://www.if.ufrgs.br/ jgallas   B < N B  x B < N  B x B < N  B  B B T( ;;; x B A ; ;; x B aFx B   +(  ; = 4 6 +()U   6 < +(  moles ( ;;; x A  T(66 moles E, finalmente, obtem-se a press˜ao: x A H N  A N x  A L O recipiente A, na Fig. 6 k  , cont´em um g´as ideal a` press˜ao de C (,u7v*K Pa e a` temperatura de ;  K. Ele est´a conectado por um fino tubo ao recipiente B, que tem quatro vezes o volume de A. O B cont´em o mesmo g´as ideal, a` press˜ao de ()w7v*K Pa e a` temperatura de <  K. A v´alvula de conex˜ao e´ aberta e o equil´ıbrio e´ atingido a uma press˜ao comum, enquanto a temperatura de cada recipiente e´ mantida constante, em seu valor inicial. Qual a press˜ao final do sistema? 2 ; 6=+()U moles x A N , vem:  ()+G79K  1 1 *2 U+()2 aF x A asx B  6 aFqrt  1 B x A  N 1 < 2 (,w79Kylz2 H€ 1 < € +( ; |{_} e 2  .~ 6T( ;=< moles  B B  2 1 < N  aFqrt  qr t  P-23.  , calculada a partir da superf´ıcie fundo A  asqr  Igualando as duas equac¸o˜ es para N t  6 N do lago e´ dada por: N C ,( w79Kylz H€ 1 ; € T( ; |{_} e 2     . ~ 4 6+( C moles  p x A N  A A  h 1 T(66 C ()‚7i* K 2  4 6+( C j (,UU‚7m K Pa E-28. (a) Encontre a velocidade quadr´atica m´edia de uma mol´ecula de nitrogˆenio a 6 C. (b) A que temperaturas a velocidade quadr´atica m´edia ser´a a metade e o dobro desse valor? -
(a) A massa molar da mol´ecula de g/mol: ƒ 1 rms …„ 1 H€ 1 ; € ; 2 +  ( ; |  {_} e 2 + .~ +()36=†r+} e .~ 2 e´ C  0 L  6=T(, 4 (  m/s P´agina 4 de 10 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:48 a.m.
(b) A metade da ƒ rms do ´ıtem (a) e´ igual a 6 C T(, < m/s. A (a) Na equac¸a˜ o do g´as ideal, o n´umero n de moles temperatura correspondente ser´a: pode ser expresso por  ’ ‘ , onde m e´ a massa da amostra de g´as e M, a sua massa molar: 0 ƒ Qx  ;B rms L  C (,6 C K 1ˆ‡ k *U  C 2 O dobro da ƒ ıtem (a) e´ igual a  ;C ( ; rms do ´ nova temperatura ser´a: 0 Qx‰x  ƒ rms ;B  I6= < K 1ˆ‡ 4 N “. 0 B ( O m/s. A H U ;   C2 onde . O  q_( q B H 0 N  (b) O n´umero de moles da amostra de g´as tamb´em pode ser expressa em termos de N, o n´umero total de ” . Lempart´ıculas e o n´umero de Avogadro:    ” A , vem brando que $ A ” P-30. N O L A densidade de um g´as a 6 ; K e ()G7* atm e´ de : (6 < 7Š K g/cm . (a) Encontre a velocidade ƒ rms para as mol´eculas do g´as. (b) Ache a massa molar do g´as e identifique-o.  -  H P-43. Em um certo acelerador de part´ıculas, os pr´otons percorrem um caminho circular de diˆametro de 6 ; () m em uma cˆamara onde a press˜ao e´ ()b7l*TP• mm de Hg e a temperatura e´ 6=U C K. (a) Calcule o n´umero de mol´eculas N  0 . O ( onde . O  q H de g´as por cent´ımetro c´ubico, a esta press˜ao. (b) Qual B o livre caminho m´edio das mol´eculas de g´as sob estas  0 Œ  ‹ A massa molar e´ e a velocidade quadr´atica condic¸o˜ es, se o diˆametro molecular for de 6(,w7>*   cm? : m´edia pode ent˜ao ser expressa por ƒ rms DŽ e obtida ‹
com os dados fornecidos acima: (a) Em unidades do Sistema Internacional, a press˜ao dada e´ igual a N  ( ;; 7 d Pa. Expressando o 1 1 ; 2 (,TG79 : ylz2 n´umero de moles em termos do n´umero de part´ıculas, ƒ < U < ( ; 6 m/s H  „ rms T(,TI6 7 *T d ylz2 ()36879 2  1 1 H € € B T( ; |{_} e 2 6=U C 2 .~ 4 —– mol´eculas/cm:IH O n; (6 79 N - A (b) Com o diˆametro molecular dado, o livre caminho m´edio e´ obtido diretamente por: ˜ Na tabela de Propriedades dos Elementos, Apˆendice D, encontramos a massa molar do nitrogˆenio, que, na for0  6T(, g/mol. ma molecular, tem massa  ™ L 4    6  cm H 1- O 6 Aš } 2 ˜ ‡ L H  ; m ou P-54. P-36. Mostre que a equac¸a˜ o do g´as ideal (Eq. 21-4)  pode ser escrita nas formas alternativas: (a) N  ‹  , onde q e´ a densidade de massa do g´as e M, a massa molar; (b) NPO  -  , onde N e´ o n´umero de part´ıculas do g´as (´atomos ou mol´eculas). http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Certa mol´ecula de hidrogˆenio (diˆametro de (,w7v*  cm) escapa de um forno ( ›<  K) com velocidade quadr´atica m´edia e entra em uma cˆamara contendo a´ tomos de argˆonio frio (diˆametro de ; ()F7…*  cm), sendo a densidade deste u´ ltimo de < (,F7œ  ! a´ tomos/cm : . (a) Qual a velocidade da mol´ecula de hidrogˆenio? (b) Se a mol´ecula de hidrogˆenio e um a´ tomo P´agina 5 de 10 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:48 a.m. de argˆonio colidirem, qual a menor distˆancia entre seus (c) A velocidade quadr´atica m´edia calcula-se por: centros, considerando ambos como esferas r´ıgidas? (c) ¦ 1 ƒ©  - Qual o n´umero inicial de colis˜oes por segundo sofridas y ƒ 2ƒ š ƒ pela mol´ecula de hidrogˆenio? 0
(a) A massa molar da mol´ecula de  e´ g/mol e sua a velocidade quadr´atica m´edia e´ : ƒ rms 1 @ž ;B 0   6 ¦ §¨ ;  ƒ š ƒ h ƒ : d j –  ƒ ƒ©  ;  C © ƒ  6T()36 1 H€ 1 < € ; 2 T  ( ; |{_} e 2    .~ T(,66  T r } e .Ÿ~ 4 H „ L  2 ª ƒ©  ƒ rms m/s (b) A distˆancias entre os centros da mol´ecula de w e o a´ tomo de Ar e´ igual a soma dos seus raios, isto e´ ,  ž ; ƒ  C  LL +( C ƒ  H P-61. 6T(,U J de calor s˜ao adicionados a um certo g´as ideal. Como resultado, seu volume aumenta de C +() para :  cm , enquanto a press˜ao permanece constante ( (, (c) O livre caminho m´edio dos a´ tomos de Ar nas atm). (a) Qual a variac¸a˜ o na energia interna do g´as? (b) condic¸o˜ es dadas e´ Se a quantidade de g´as presente for de 6(,«7¬ : mol, calcule o calor espec´ıfico molar a` press˜ao constante. (c) 4 ˜   ™  C 79 P m H ( , 6 1 Calcule o calor espec´ıfico molar a volume constante. 6 Aš Ar } O 2 š8  Ar X   a H 6T()$7>*   cm  H
O n´umero de colis˜oes por segundo, f, e´ dado por ¡  ˜ ƒ  L 4 36 4 }=¢ . ( 6 C 7>*    (EI6879 , colis˜oes/s H (a) O trabalho realizado na expans˜ao do g´as e´ 1 N " O &­  . 1 (,TG7>* K ylz2 C w7>* P• : . 2 C () C J H  E a variac¸a˜ o da energia interna e´ P-56. 4 H "8# int  6T( k C (, Cl  C (, C J Para a distribuic¸a˜ o hipot´etica de velocidades das 1ƒ N 2  part´ ıculas de um g´as, mostrada na Fig. 21-19 [y 1 £ ƒ para $ ƒ¥¤Jƒ ; y ƒ 2   para ƒ  ƒ ], encontre (b) A variac¸a˜ o da temperatura no processo pode ser cal  (a) uma express˜ao para C em termos de N e ƒ  , (b) a culada a partir do trabalho: velocidade m´edia das part´ıculas e (c) a velocidade rms &® N " O   B "8 Q( das part´ıculas.
(a) Para o c´alculo de C, tem-se: ¦W§,¨ £ ƒ ƒ š  – £ ;  - - ƒ©  ƒ©  ; -  £ - h ƒ : j  ƒ ƒ©  ;   <  ‡ P %  "8  ¦ §¨ – ƒ : š ƒ L T( C ƒ 6=+()U¯{ 1 € 6T()$7>*  : eˆ2 ;  < Ÿ . ~ 4 ;=< ( ; J/mol.K H  1  1ƒ 2 š ƒ y C () C { 1 H€ 6(,w79  : e52 +( ; b{+} e .~ .Ÿ~ ;  < KH 1 2 E para o calor espec´ıfico molar a` press˜ao constante vem: (b) A velocidade m´edia e´ obtida por: ¦  ( H ƒ :  &  B  "¬  H http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 2 (c) O calor espec´ıfico molar a volume constante e´ obtido diretamente do resultado do ´ıtem anterior: £ V  £ P k B°n;=< ( ; 4 k T( ;   6 4 () L J/mol.K H P´agina 6 de 10 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:48 a.m. ˜ ¡   ;3C ( < m/s. O m´odulo de de propagac¸a˜ o e´ ƒ  elasticidade volum´etrica pode ser expresso em termos Suponha que < () moles de um g´as ideal diatˆomico, da constante adiab´atica ± e da press˜ao: cujas mol´eculas estejam em rotac¸a˜ o 4 sem oscilar, soš N frem um aumento de temperatura de T(, K a` press˜ao ²  k O  ± N H constante. (a) Quanto calor foi transferido para o g´as? š O (b) Em quanto aumentou a energia interna do g´as? (c)  Quanto trabalho foi realizado pelo g´as? (d) Qual foi o A velocidade de propagac¸a˜ o e´ ent˜ao ƒ  Ž ³ e, como ‹ aumento na energia interna translacional das mol´eculas foi mostrado no P-; 4 ,     . Assim, a velocidade ‹  do g´as?  e´ , finalmente, ƒ  Ž ³  . Com os dados dispon´ıveis,
(a) O calor transferido para o g´as a` press˜ao constante pode-se agora obter ± : foi: 1 L 1 ƒ 0 P-68.  % £  P 1  4  ±  "8 < (, .~ H e52 L 1 6 1 2 T  ( ; |{_} .~ H€ e 1S4 2 +() € B  ;C ( < }=¢I2 $ 6 79I6 r+} e52 . . ~  1 H€ 1 < €  T( ; |{_} e 2  2 .~  H ( < Dobrou-se a massa molar no c´alculo para obter ±  ( < , o valor da constante adiab´atica de um g´as diatˆomico. 2 U J E-71. (b) A variac¸a˜ o da energia£ interna, para qualquer procesL (a) Um litro de g´as com ±  ( ; est´a a 6 ; K e () so, e´ dada por "$# int   V "8 : atm. O g´as e´ subitamente (adiabaticamente) compri1 1 C 1 H € 1S4 € mido at´e a metade do seu volume inicial. Calcule suas  < ; "$# int () e52 2 T( |{_} e 2 T(, 2 .~ .Ÿ~ 6 temperatura e press˜ao finais. (b) O g´as e´ ent˜ao resfriado L 4 at´e 6 ; K, a` press˜ao constante. Qual o seu volume final?  < U  JH
(a) Para o processo adiab´atico, s˜ao v´alidas as relac¸o˜ es: (c) O trabalho realizado pelo g´as e´ N  " O  N ^ O ^³   B "8 1  < () .~ H *UU < J  1 e52 +  ( ; b{+} .Ÿ~ e H€ 2 154 T(, € N ` O `³ O+^ 4 ³  H N_^ h 6 ( < atm T O ` j   ^ O ^³   ` O `³  O ^  4 ³   ; ; KH `  ^ h O ` j NP`  2 (d) Levando em conta s´o os graus de liberdade translacionais das mol´eculas, a energia interna correspondente ser´a: (b) O n´umero de moles de g´as na amostra e´ "$# 1  int  < () .~ H e52 1 ; 6 1 2 T  ( ; |{_} .Ÿ~ e H€ 2 1S4 T(, € 2 6=UU6 J 1 : (,TG7>*Kylz2 T  (,+ 2 1 1 L €. H € +( ; b{+} e 2 6 ; 2 .Ÿ~ H T() <*Kylz2 *  2 1 1 L .€ H € ; ; T( |{_} e 2 6 2 4 .Ÿ~ <<3C 6=+(,6 moles H  "8 No processo adiab´atico, % (c) O n´umero de moles presentes e´ calculado da equac¸a˜ o de estado do g´as ideal: NP^ˆO_^ B ^ V 1  C ±  p £   1 : O ^  K NP^ *   _ 2 ³ NP^ˆO ^ ³  C k  %¬)¸l k   B "¬ 1 1 ()32 T  ( ; 2 ;  k <3CC 2 6U J ( k ; 666 k 1 k 6U2  k H U ; 6 J P´agina 8 de 10 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:48 a.m. 21.3 Problemas Adicionais O calor efetivo transferido no ciclo e´ : %  Total  ;  %8»¸l «aW%l ¸l:a¼%l:¸¬ L < ]aW k ; 666 C * J H P-85. Uma amostra de g´as ideal passa pelo processo c´ıclico ilustrado no gr´afico p - V da Fig. 6 k 66 . A temperatura do g´as no ponto a e´ 6 K. (a) Quantos moles do g´as existem na amostra? Quais s˜ao (b) a temperatura do g´as no ponto b, (c) a temperatura do g´as no ponto c e (d) o calor total adicionado ao g´as durante o ciclo? O trabalho total realizado no ciclo e´ : &  Total & )¸l ¯a & , ¸½:ca ma[ k  6U C  J H   & :¸¬
(a) O n´umero de moles na amostra e´ : E para o ciclo, "$# int  % Total k & Total   . (b) Dada N   (, atm e  ';  K, obt´em-se a press˜ao N : N    N  1 NPO   1 : : 6 ( C 79 l T y z2   (, 2  1 1 . € H € ; < T(  + { } e 2 = 6  2 .Ÿ~  B a (b) Para a temperatura no ponto b tem-se: N O donde tiramos facilemente 1 N     N  a 4 (,bz3¾ 2 h .   ;  j 6T() atm H Para obter N : , usa-se a relac¸a˜ o entre a press˜ao e o volume v´alida para os processos adiab´aticos: N O ³  N : O ³ ( :  B N   1 O ³    : O *– ¿ )• À  : O ³    : (,6 L N :  N :  1 e c a 6= 1L € 2  K H b ( b 1 : : ( C > 7 * l y z2 ; () 2 . 1 1 : : C 6( 9 7  2 () 2 . N O b c c b b N O 1  4 * €  K 1 : 6T( C 9 7  l y z2 2 1L ( C 9 7  : l y z2 H 1 1 : ; )(  2 . : ; () 2 . (d) O trabalho realizado pelo g´as no ciclo e´ igual a` a´ rea do triˆangulo abc e vale C  J. Como e´ nula a variac¸a˜ o da energia interna no ciclo, o calor total adicionado ao g´as e´ igual ao trabalho, ou seja, C  J. P-88. 4 *– ¿ 6 < ( 2 •)À 4 Uma amostra de g´as ideal se expande de press˜ao e volume iniciais correspondentes a ; 6 atm e () litro, respectivamente, para um volume final de < () litros. A temperatura inicial do g´as era de ;  K. Quais ser˜ao a press˜ao e temperatura finais desse g´as e quanto trabalho ele realizar´a durante a expans˜ao, se esta for (a) isot´ermica, (b) adiab´atica e o g´as monoatˆomico, e (c) adiab´atica e o g´as diatˆomico?    ( <3CC O : [; L ( ;< litros H O N h ³ O : j 4 6 < ( 6 Á ¿ )• À  6T()bz3¾ 2h L . ; ( ;=<j  b a   : O :³  ( 1  1 O volume O : obt´em-se da relac¸a˜ o:  O ³   a N O  a (c) E para a temperatura no ponto c tem-se: (,2 T( ; I2 ; 32 (,T ; 7>* K 4 : T()346 < 6 m H < 6 ( 6 litros  1 b  g´as ideal: O   b N O b N O a O volume O e´ calculado com a equac¸a˜ o de estado do 1 ( C mol (, atm H
(a) Se a expans˜ao e´ isot´ermica, "$# A press˜ao no estado final ser´a: N ^O ^  http://www.if.ufrgs.br/ jgallas int   e% °& . N ` O ` ( P´agina 9 de 10 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS O ^ N ^ h OP` j  N `  1 ; 6bz¾ 2 . ()be  < )( be +() atm 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:48 a.m. H E o trabalho no processo isot´ermico e´ dado por: I ¦ &­ *à &® 1 ; 6|z3¾ I ¦ N š O  H .  B š O O *à 1 eˆ2 ge  < 2 \<< ( ; 4  OP`  B eg O ^ atm.l ›<< U < J H (b) Para a expans˜ ao adiab´a£ tica de um g´as monoatˆo4 mico £ L : tem-se %   , V  B , P  K B e ±  K:  ( . A press˜ao final e´ : N ^ O ^³  N `  O ^ ³  N ^ h OP` j 1 ; 6|z3¾ . `  O ^  ³  ^ h O ` j   "$# int  £  V "8 ;  6 . A variac¸a˜ o da energia  B 1 k T( C ; 32Á( Para o estado inicial, obt´em-se: 1 NP^5O_^ ^  B°   ; 6|z3¾ . 1 1 : : 2   ()+i7>* K ylz2   2 . € ;  H T(, J/K N ` O `³ ( 4 ()be Á ¿ ,• À [; (* atm H < ()be j 2 h E a temperatura final e´ obtida por:  ^ O ^³   k & Da primeira lei, "$# int  interna e´ calculada por:  ` O `³  ( 1 ;  € 2h H T( C K ()e E– ¿ ,• À < ()e j http://www.if.ufrgs.br/ jgallas "$# int ; 1   6 T(,¯{_} € 1 € 2   *T( C k ;  € 2 k 6=U < T( ;  J H E, portanto, &® 6=U < T( ;  J. (c) Se a expans˜ ao e´ adiab´a£ tica e o g´as e´ diatˆomico, tem£ se %   , V  K B , P  À B e ±  À  ( < . K Repetindo os c´alculos do ´ıtem anterior, obt´em4 mesmos 4 L ` ` se y < ( atm,   6 K e &®;<3C J. P´agina 10 de 10 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:49 a.m. Exerc´ıcios Resolvidos de Termodinˆamica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte´udo 22 ENTROPIA E A II LEI DA TERMOˆ DINAMICA 2 22.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 22.2 Exerc´ıcios e Problemas . . . . . . . . . 4 22.3 Problemas Adicionais . . . . . . . . . . 12 Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para http://www.if.ufrgs.br/ jgallas jgallas @ if.ufrgs.br (lista4.tex) P´agina 1 de 14 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:49 a.m. ˆ 22 ENTROPIA E A II LEI DA TERMODINAMICA 22.1 Quest˜oes Q-6. Explique qualitativamente como as forc¸as de atrito entre duas superf´ıcies aumentam a temperatura destas superf´ıcies. Por que o processo inverso n˜ao ocorre?
Quando duas superf´ıcies est˜ao em contato, ocorrem interac¸o˜ es de natureza el´etrica entre as suas mol´eculas. Com o movimento relativo, essas interac¸o˜ es s˜ao rompidas, a energia cin´etica das mol´eculas aumenta, acarretando um aumento da temperatura das superf´ıcies. No processo inverso, a energia t´ermica dificultaria a interac¸a˜ o entre as mol´eculas e as for´cas envolvidas seriam localizadas e insuficientes para produzir movimento relativo das superf´ıcies. Q-7. Um bloco volta a` sua posic¸a˜ o inicial, depois de se mover dissipando energia por atrito. Por que este processo n˜ao e´ termicamente revers´ivel?
Porque a energia t´ermica produzida no atrito, n˜ao pode ser reconvertida em energia mecˆanica, conforme a segunda lei da termodinˆamica. Q-10. Podemos calcular o trabalho realizado durante um processo irrevers´ı vel em termos de uma a´ rea num diagrama p V? Algum trabalho e´ realizado?
Nos processos irrevers´ıveis h´a realizac¸a˜ o de trabalho - sobre o sistema ou pelo sistema sobre o seu ambiente mas este trabalho n˜ao pode ser obtido pelo c´alculo de uma a´ rea no diagrama p - V, porque a press˜ao do sistema n˜ao e´ definida num processo irrevers´ıvel. Q-14. Sob que condic¸o˜ es uma m´aquina t´ermica ideal seria 
eficiente? A eficiˆencia de uma m´aquina t´ermica pode ser expressa por   H   H C    Para o rendimento ser de  ,  C  , o calor liberado, teria que ser nulo, mas essa seria ent˜ao uma m´aquina perfeita que, de acordo com a segunda lei, n˜ao existe. Considerando a eficiˆencia expressa em termos das temperaturas extremas,      C H    para um rendimento de  , a temperatura da fonte fria teria de ser K, o que estaria em desacordo com a  terceira lei da termodinˆamica (ver discuss˜ao sobre o zero absoluto, por exemplo, na sec˜ao  do segundo volume  do Curso de F´ısica B´asica, do autor H. Moyses Nussenzveig). http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 2 de 14 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:49 a.m. Q-18. Por que um carro faz menos quilˆometros por litro de gasolina no inverno do que no ver˜ao?
As m´aquinas t´ermicas reais n˜ao operam ciclos exatamente revers´ıveis e quanto maior for a difernc¸a de temperatura entre a fonte quente e a fonte fria, maior e´ a quantidade de energia que n˜ao se aproveita. Assim, nos dias mais frios, um motor de autom´ovel tem a sua eficiˆencia diminu´ıda. Q-21. Dˆe exemplos de processos em que a entropia de um sistema diminui, e explique por que a segunda lei da termodinˆamica n˜ao e´ violada.
No processo de congelamento de uma amostra de a´ gua, a entropia deste sistema diminui, porque a a´ gua precisa perder calor para congelar. A segunda lei da termodinˆamica n˜ao e´ violada porque a entropia do meio, que recebe o calor cedido pela a´ gua, aumenta. Este aumento e´ maior do que a diminuic¸a˜ o, tal que a entropia do sistema + ambiente aumenta. Q-23. Duas amostras de um g´as, inicialmente a` mesma temperatura e press˜ao, s˜ao comprimidas de volume V para o volume  , uma isotermicamente e a outra adiabaticamente. Em qual dos casos a press˜ao final e´ maior? A entropia do g´as varia durante qualquer um dos processos?
 No processo isot´ermico a press˜ao final e´ :   No processo adiab´atico, a press˜ao final e´ :    $# " ! &! A press˜ao final e´ maior no processo adiab´atico. A variac¸a˜ o da entropia no processo isot´ermico e´ dada por:      !   %   ')( *,+ .- *    ')( *,+ /- *    ' No processo adiab´atico, a entropia n˜ao varia, uma vez que e´ nulo neste caso. Q-25. Ocorre variac¸a˜ o da entropia em movimentos puramente mecˆanicos?
Sim, por causa da energia t´ermica produzida pelo atrito. Q-28. Calor e´ transferido do Sol para a Terra. Mostre que a entropia do sistema Terra-Sol aumenta durante o processo. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 3 de 14 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:49 a.m.
O Sol libera calor a` alta temperatura e tem a sua entropia diminu´ıda. J´a a Terra absorve o calor a` temperatura bem mais baixa. A entropia da Terra aumenta no processo e este aumento e´ maior do que a diminuic¸a˜ o da do Sol, tal que a variac¸a˜ o da entropia do sistema Terra-Sol e´ positiva. 22.2 Exerc´ıcios e Problemas P-4. 0 0 0 Um mol de1um g´a ideal monoatˆ omico passa pelo ciclo mostrado na Fig. 22-18. O processo bc e´ uma expans˜ao : 9 adiab´atica; 2  atm,   )3426517 m 7 , e 18  . Calcule: (a) o calor adicionado ao g´as, (b) o calor cedido pelo g´a s; (c) o trabalho realizado pelo g´as e (d) a eficiˆencia do ciclo.
Para chegar aos resultados pedidos, antes e´ necess´ario obter o valor da temperatura e da press˜ao no final de cada um dos processos do ciclo. Comec¸ando com o processo adiab´atico que liga os estados b e c, tem-se: 10   ! 0 <0 # 8   8=  0 ! ?> 2A@BDC.E #  As temperaturas nos estados b   )3R26517   E >U9 POWVX&C/Y E    ;N Z > \ > 9  8;18 O[3G Q T"@6E )3GF517  * + , \ > 9  E O]V^C.Y E N   ;N Z Na compress˜ao isob´arica, tem-se  ,_ 8 _ ^8   0 # _ 0  _    `>  9 E 9 K 8 18 a = N Z NX    *,+  > 2E >  As transferˆencias de calor e o trabalho realizado em cada processo s˜ao calculados com a primeira lei: b ab c*ed]f '    \> 9 9 E O]V^C.Y E > 2  E > N E   ; N NF Z Z 'ih b *ed]f '  ?>  E > E >U9 POWVX&C/Y E > 2  bc N    int   ;N N Z b _ > _ `> PO)3G Q T"@E >   9 E3R2 5<7 C 7   E 8 ca   NX    '  j*edk l>  E > E >\9 > 9 O]V^C.Y E E ca    ;N NF N Z Z ab Ent˜ao, finalmente, (a) absorvido ab Og&O   (b) cedido ca  O b b b (c) efetivo bc m ca o  p . q p t M s u (d) p r absorvido p Q LQ H L `>  Og&O J E Og J Z  J     O  J    J. J. PO6g   jn g J. .  ;vN http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 4 de 14 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:49 a.m. E.7 Para fazer gelo, um freezer extrai O kcal de calor de um reserva´orio a   C em cada ciclo. O coeficiente de  performance do freezer e´ g . A temperatura do ambiente e´  C. (a) Quanto calor, por ciclo, e´ rejeitado para o  v para manter o freezer em funcionamento? ambiente? (b) Qual a quantidade de trabalho por ciclo necess´aria
(a) A performance do freezer e´ dada por: E o trabalho externo necess´ario e´ : (b) b g  `> g  H g kcal MN b N   Z C b Oaw6xy@  g Z b   H   m C  kJ.  g  - OEMw6xy@ g m ;N    g kcal ;N C    O n MN g kcal  E-10. Num ciclo de Carnot, a expans˜ao isot´ermica de um g´as ideal acontece a O K e a compress˜ao isot´ermica a  K.  N Durante a expans˜ao,  cal de calor s˜ao transferidas pelo g´as. Calcule (a) o trabalho realizado pelo g´as durante a expans˜ao t´ermica; (b) o calor rejeitado pelo g´as durante a compress˜ao isot´ermica e (c) o trabalho realizado pelo g´as durante a compress˜ao isot´ermica. '[h b b    (a) Na expans˜ao isot´ermica, e cal int . Portanto, b (b) Na compress˜ao isot´ermica tamb´em , mas o calor e´ liberado:
 (c)  b  N g  cal   C    C H  H     N O   N  g cal    n g J J. N  g& J. E-15. Para o ciclo de Carnot ilustrado na Fig. 22-9, mostre que o trabalho realizado pelo g´as durante o processo bc (passo  ) tem o mesmo valor absoluto que o realizado durante o processo da (passo O ).
O'[processo bc e´ a expans˜ao adiab´atica, a temperatura inicial e´ h b lei, . int  '[h '   int *ed b j*ed m V *ed V > H  V >  e a final e´ H  C  C E   H E  e C  . Ent˜ao, pela primeira  O processo da e´ a compress˜ao adiab´atica, a temperatura inicial e´ C e a final e´  b  b *ed >  *ed >  b ´ V H  C E . O trabalho e V H  C E . Portanto,  bc    da  .  H . '[h int  b e '[h int P-20. A Uma bomba t´ermica e´ usada para aquecer um edif´ıcio. Do lado de fora a temperatura e´  C e dentro do edif´ıcio deve ser mantida a  C. O coeficiente de performance e´ 9 e a bomba injeta  9 Mcal de calor no edif´ıcio por NF  hora. A que taxa devemos realizar trabalho para manter a bomba operando? http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 5 de 14 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:49 a.m. O calor injetado, expresso em J/s, e´ : >  H  9 3G E >O K |{ Nv  9  VzE v  n J/s N  O coeficiente de performance da bomba e´ dada por:  b  Z   C b b    H   } b   H     A taxa de realizac¸a˜ o de trabalho necess´aria para operar a bomba vai ser ent˜ao  b   B Z  B m  H NX  n 9 N  m O Nv W  P-24. (a) Mostre que, quando um ciclo de Carnot e´ trac¸ado num diagrama temperatura (Kelvin) versus entropia (T - S), o resultado e´ um retˆangulo. Para o ciclo de Carnot mostrado na Fig. 22-19, calcule (b) o calor ganho e (c) o trabalho realizado pelo sistema.
(a) Os dois processos isot´ermicos do ciclo de Carnot v˜ao produzir dois segmentos de reta, perpendiculares ao eixo T no diagrama (T - S), e os dois processos adiab´aticos ocorrem sem trocas de calor, produzindo dois segmentos perpendiculares ao eixo S. (b) No diagrama T - S, a a´ rea sob o segmento de reta ab fornece H e sob o segmento cd, fornece C : (c) Calculando H l> O C l>    C: E > Z Z ;v E >  E, finalmente, o trabalho realizado pelo sistema e´ :  b   H &      C   E~V^  EJVX ;v 2   2  Z    J Z g  J J    P-25.  Numa m´aquina de Carnot de dois est´agios, uma quantidade de calor e´ absorvida a` temperatura , o trabalho b  e´ feito e uma quantidade u e´ rejeitada a` temperatura u pelo primeiro est´agio. O segundo est´agio absorve b  H H o calor rejeitado pelo primeiro, realiza um trabalho u , e rejeita uma quantidade de calor a` temperatura . 7 7 H Prove que a eficiˆencia desta combinac¸a˜ o e´ €‚ 5 €ƒ…„ .
€ ‚ Para o primeiro est´agio da m´aquina pode-se escrever, de acordo com a equac¸a˜ o (22-11),   u   uH   Para o segundo est´agio, igualmente,  7  u  Essas relac¸o˜ es permitem vincular   H   7 u   e  7  atrav´es de  u  :   H  7  u  7   u H http://www.if.ufrgs.br/ jgallas H   P´agina 6 de 14 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:49 a.m.   7   7  O rendimento da m´aquina e´ ent˜ao expresso por  H H   7       que e´ equivalente a H  o   7    ou seja, o rendimento da m´aquina e´ func¸a˜ o das temperaturas extremas entre as quais opera o ciclo. H P-30.   Um mol de um g´as ideal monoatˆomico e´ usado para realizar trabalho em uma m´aquina que opera seguindo o ciclo  X3G2S Pa, e     m 7 . Calcule (a) o mostrado na Fig. 22-21. Suponha que ,  ,   o trecho de expans˜ao  abc, e (c) a eficiˆencia da trabalho realizado por ciclo; (b) o calor adicionado por ciclo durante m´aquina. (d) Qual a eficiˆencia de Carnot de uma m´aquina operando entre as temperaturas mais alta e mais baixa que ocorrem neste ciclo? Compare esta eficiˆencia com aquela calculada em (c).
(a) O trabalho l´ıquido produzido por ciclo e´ igual a` a´ rea do diagrama p - V da fig. 22-21. Calculando os trabalhos correspondentes a` expans˜ao e a` compress˜ao, vem  b bc da b  e  >    >   b ab c bc `>   *,+  *,+    †C.Y E > H     E >U9  ab  b PO]V^&C/Y MN m   O bc N b O  O J P vFMv   c   n 2 Z O 9 bE g E NXMNN Z N O 9  g J    K      O gE   J N MN F v Mv X Nv ;N Z     PO6gg6 J Nv ; N  g& m g  Ogg6  H  g  NXMN E > 2 n   g K vF;v b (c) A eficiˆencia da m´aquina pode ser calculada por  ‡   > K NXMNN  E > O c  g †C.Y E > N E \> 9 O]V^C.Y   ; N Z j*"d bc `>      a E    E    g J   b   O  O  g J ciclo  g    ' h [ ?*ed '  . As temperaturas nos estados inicial e final deste processo int V b (b) No processo ab, s˜ao:      O  (d) A eficiˆencia da m´aquina ideal de Carnot operando entre as mesmas temperaturas extremas seria:  Carnot    http://www.if.ufrgs.br/ jgallas  H C   g NXMNN 2 n  NFMN   g   P´agina 7 de 14 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:49 a.m. Comparado o rendimento da m´aquina com o da m´aquina ideal, tem-se   O rendimento da m´aquina e´ de       Carnot     O  g      do da m´aquina ideal. P-36. Um inventor afirma ter criado quatro m´aquinas, todas operando entre O K e  K. As caracter´ısticas de cada b    m´aquina, por ciclo,b s˜ao as seguintes: m´aquina (a), H  J, C  g b J, N O J; m´aquina (b), H O O  J, C  J, J, C J; m´aquina (c), H J; m´aquina (d), H   b J,   J, 2 n  v J, J. Usando a primeira e a segunda leis da termodinˆamica, verifique para cada m´aquina se C  alguma destas leis est´a violada.
(a) Primeira lei da termodinˆamica: '[h int  'ih b ˆ  C  'ih   int     g  J     J    O H  , est´a violada a primeira lei. Para verificar a segunda lei, calcula-se o rendimento da m´aquina para Como int ‰ ser comparado ao rendimento da m´aquina ideal de Carnot operando entre as mesmas temperaturas:  Como  (b) m´aq. Carnot Como m´aq. ‹     H &  N O   N C      J  2 J  , esta m´aquina tamb´em viola a primeira lei. ‰  Sendo  int int  O   N O C , a segunda lei n˜ao est´a violada. '[h '[h O   H H  Š Carnot ‡ m´aq.    H   b  Carnot ‡ m´aq. b O      H  9   , tamb´em est´a violada a segunda lei. (c)    & 'ih H C m´aq. v O  int   b Œ   H  O    O  v  O J   g Mv Esta m´aquina est´a de acordo com a primeira lei, mas viola a segunda, uma vez que  (d)  n   J  H c C   '[h int  m´aq. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Œ  b    H      m´aq. ‹  Carnot .    2 P´agina 8 de 14 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:49 a.m. Esta m´aquina est´a de acordo com a primeira e a segunda leis. E-41. Suponha que a mesma quantidade de calor, por exemplo,   J, e´ transferida por conduc¸a˜ o de um reservat´orio a O K para outro a (a) 2 K, (b)  K, (c)  K e (d)  v K. Calcule a variac¸a˜ o de entropia em cada caso.
(a) Se  C N  K, ')( Nv   H Ž   v O H H ')( C ')(  (b) '[(  K C   C (c)  C N  K   ')( ')( (d)  C Nv  K   ')( ')(   Mv N m c C  Mv             n  J/K   J/K 9 g J/K  J/K     J/K   Nv g  m      Mv  9 g  v MN  J/K ;v   v J/K ;v Mv m MN  C   c  m   Mv v   v 2  c    Mv   C C C  c ')( '[( C ')( m H  C     g J/K g J/K  P-44.  A Um cubo de gelo de 2 g a   C e´ colocado num lago que est´a a  C. Calcule a variac¸a˜ o de entropia do  sistema quando o cubo de gelo atingir o equil´ıbrio t´ermico com o lago. O calor espec´ıfico do gelo e´   cal/g. C.  ( Sugest˜ao: O cubo de gelo afetar´a a temperatura do lago?)
E´ claro que o cubo de gelo n˜ao afeta a temperatura do lago. O gelo vai absorver calor para derreter e ter sua A C. Nessa transferˆencia de calor, a variac¸a˜ o de entropia do lago ser´a negativa e a temperatura final elevada at´e  do gelo, positiva. Comec¸ando a calcular as variac¸o˜ es de entropia do gelo, tem-se: ')( gelo  €‘ Cxe `> †•6E >   €’”“ ' ( ) C— – gelo ')( a´ gua Cˆx a´ gua  € ‘  €’ F  “   AxP@ 2  • - Z - g E * N  vN > ˜•FE U> 9 A  xy@ 2•FE g N Z `> 2˜•6E >  Axy@ - 2• E  Z  n   cal/K N 9 9 -*   g N  n cal/K      O cal/K   O calor cedido pelo lago para levar o gelo ao seu estado final de equil´ıbrio e´ : lago l> 2˜•6EP™ >    Axy@ 2  • Z E > 2 Z E m 9 axy@ - 2• m >   Axy@ 2  • Z  E >  Z EDš  cal  A variac¸a˜ o de entropia do lago vai ser: ')( lago Ž 2Axy@  99 Z http://www.if.ufrgs.br/ jgallas  NF O6g cal/K  P´agina 9 de 14 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:49 a.m. A variac¸a˜ o de entropia do sistema e´ , ent˜ao, '[( sistema  n m  n     * B  e´ : @Cž~› 2 J´a a variac¸a˜ o de entropia do {P›œ{B  C/@ m ')(  N O  Og m NF   m  NXMvv cal/K NF;vv  n cal/K    P-48.  Um mol de um g´as ideal monoatˆomico evolui de um estado inicial a` press˜ao p e volume V at´e um estado final a` press˜ao  e volume  , atrav´es de dois diferentes processos. (I) Ele expande isotermicamente at´e dobrar o volume e, ent˜ao, sua press˜ao aumenta a volume constante at´e o estado final. (II) Ele e´ comprimido isotermicamente at´e duplicar a press˜ao e, ent˜ao, seu volume aumenta isobaricamente at´e o estado final. Mostre a trajet´oria de cada processo num diagrama p-V. Para cada processo calcule, em func¸a˜ o de p e de V: (a) o calor absorvido pelo g´as em cada parte do processo; (b) o trabalho realizado pelo g´as em cada parte do processo; (c) a variac¸a˜ o da energia h h ( ( interna do g´as, int,f  ¸ a˜ o de entropia do g´as, f  int,i e (d) a variac i.
(I) Expans˜ao isot´ermica: (a) e (b) '[h int Processo isoc´orico: b  e '[h int b  e ; b ia ia V af '[h  ')(   ia ')( af (II) Compress˜ao isot´ermica: (a) e (b) (I) int ˆd ')( ib ib ib  >  l>  m b jd bf f E  u b http://www.if.ufrgs.br/ jgallas n a      n   -*  -* O + N -*  + N -*  E +  O +  -*   ¡+ /- *  ib Expans˜ao isob´arica:  N , b  O -*  ¡+   af b  e  f €')a ( “ m ia €  V  ia  E a af   f O   + 2E + int,iaf +)>    f +)> O N   (c) (d) N   +Ž¢ a '  ¡d  af  '[h -*   ; ')(  j+ ž- * 1Ÿ X  '    P  b  b     -*       +)>  f  bE      f  f O  b  P´agina 10 de 14 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:49 a.m.     +)> O   bf   E +    '    >     E £   N    #  n b    bf  v bf   z=   b bf (c) '[h int,bf   (d) ')( ib '[( jd bf '[( (II) P “ ?> bf   '€ ( ) m ib  f b '[( €  -*  +   -* O +  -*   +  + -* E  ')(   m ')( Sendo a entropia uma vari´avel de estado, confirma-se que (I)  O + -*   . (II) P-53. Um mol de um g´as monoatˆomico passa pelo ciclo mostrado na Fig. 22-24. (a) Quanto trabalho e´ realizado quando o g´as se expande de a at´e c pelo caminho abc? (b) Quais as variac¸o˜ es de energia interna e entropia de b at´e c? (c)  Quais as variac¸o˜ es de energia interna e entropia num ciclo completo? Expresse todas as respostas em termos de  , ,Re . b
(a) No caminho abc s´o h´a realizac¸a˜ o de trabalho no processo isob´arico ab.   segmento de reta ab: ' b ab   N  (b) No processo isoc´orico bc, as temperaturas, inicial e final, s˜ao:   a  b  c  +  O    > O  E >  a a e´ igual a` a´ rea do gr´afico sob o ab O  a  E j9  a  Para a variac¸a˜ o da energia interna vem, 'ih int,bc '  *ed `>  V E > N + E >U9     OE +  a a v  E para a variac¸a˜ o de entropia, tem-se ')( bc j*"d V €  € ')( bc  c  -*  V N   c b “ b j*"d + -*    (c) A variac¸a˜ o da energia interna no ciclo deve ser nula. Pode-se confirmar isso calculando-se as variac¸o˜ es associadas aos processos ab e ca e somando-as ao j´a conhecido valor da variac ¸ a˜ o no processo bc:  '[h int,ab '[h int,ca '  *ed *ed `>  V '  V `>  http://www.if.ufrgs.br/ jgallas  E > N + E > O    E > N + E >    E  9 E + +    n    6      P´agina 11 de 14 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS '[h '[h int,ciclo 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:49 a.m. '[h m int,ab '[h m int,bc n l> int,ca m  v 6 E…T      Para calcular a variac¸a˜ o de entropia no ciclo, tamb´em se precisa calcular a variac¸a˜ o correspondente aos processos ab e ca e somar os resultados ao valor j´a obtido para o processo bc. Comec¸ando pelo processo isob´arico ab: ')( j*"d ab €  P €  b `>    “ a  E > + E -* O  -*   +   Como o processo ca n˜ao e´ nem a press˜ao, nem a volume constante, usam-se dois outros processos que levem o sistema do estado c ao estado a. Considere-se primeiro um processo a` press˜ao constante,  , no qual o volume seja reduzido de O a  :   c   ')( cd *ed €  P € 9 d    d   O   +   >  E > + - *  ? E  O   “ c d   + d c  + -*    Agora, considere-se um processo a volume constante, que leve o sistema do estado intermedi´ario d ao estado a: ')( da *ed V €  €  a ?>   “ d + E -* E > N      N  + -*   E, finalmente, a variac¸a˜ o de entropia no ciclo e´ : ')( ciclo ')( ab m ')( m bc ')( cd ')( m da l>  m N     + N E  -*    22.3 Problemas Adicionais P-56. Um mol de um g´as ideal e´ usado em uma m´aquina que opera seguindo o ciclo da Fig. 22-26. BC e DA s˜ao processos adiab´aticos revers´ıveis. (a) O g´as e´ monoatˆomico, diatˆomico ou poliatˆomico? (b) Qual a eficiˆencia da m´aquina?
(a) Considerando o processo adiab´atico BC e tomando os valores inicial e final para a press˜ao e o volume do  gr´afico, vem >  N  E ! >   N £3ž&!¤3.e!    SM¥ ! „ m§¦ O ¦  v  ¦ e  !e! v &Q;! E !   N  O g´as e´ , portanto, monoatˆomico. (b) Para obter a eficiˆencia do ciclo, e´ preciso calcular o calor absorvido e o calor liberado. No processo AB tem-se: AB '  *ed P Para obter a variac¸a˜ o da temperatura neste processo, faz-se   A http://www.if.ufrgs.br/ jgallas +   P´agina 12 de 14 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:49 a.m.   B AB `>   >  +  †C.Y E > No processo CD tem-se: E  + E >  A   B + P  +  >  No processo isob´arico CD, vem  CD  D  C  C   c  C  C    >  Eœ! 5  v H   D  9    v  D   +  H   +  D  H C  ED! 5   C! 5 C H      B! 5   E Calculando as variac¸o˜ es de temperatura necess´arias,   '  c*ed CD   ?>  A  C/Y E > + E >     +   O + E     O  A eficiˆencia do ciclo e´ dada por:  o &    AB    AB  &O  CD        P-57.  Um mol de um g´as ideal monoatˆomico, inicialmente a` press˜ao de  kN/m u e temperatura de  K expande a  partir de um volume inicial      m7 at´e  Ÿ   m7 . Durante a expans˜ao, a press˜ao p e v o volume do g´as   est˜ao relacionados por  _ f f [3R2 7 E   ’ 5 „\¨ ?>    onde p est´a em kN/m u ,    e  Ÿ est˜ao em m 7 e @   m 7 . Quais s˜ao: (a) a press˜ao final e (b) a temperatura final  a expans˜ao? (d) Qual a variac¸a˜ o de entropia do g´as durante do g´as? (c) Qual o trabalho realizado pelo g´as durante a expans˜ao? (Sugest˜ao: use dois processos revers´ıveis simples para achar a variac¸a˜ o de entropia.)
(a) Simplesmente substituindo os dados fornecidos na relac¸a˜ o dada para a press˜ao em termos do volume, vem  >    AC 7 E `> (b) Para a temperatura final tem-se:  )3G 7 E    5 u HJI ©M©        >  9 O)3R27T"@6E >  >   [3R2 T"@6E >  7    Ÿ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas    „ 6   I ;© ©   9 O[3R2 7 N/m u  Ÿ  Ÿ Ÿ  †C.7PE   †C 7 E v  Z OO K  P´agina 13 de 14 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a` s 4:49 a.m. Para calcular o trabalho realizado pelo g´as, vem:  b b     f f    @ ’\¨ _ ª ’\¨ ¨  5 f ’ _ « ’U¨  5 u m  « «  5 H  m H f  5 ª H  ¨ m  E    “ _2« f f _ f  5  i3G 7 E   „\¨ @  5   ª ?>  _ f  ’5 ’ _˜ª [3R2 7 E >   “ f   a f  ?>  b f b    b b  NF kJ v  (d) Para calcular a variac¸a˜ o de entropia, consideram-se dois processos sucessivos pelos quais o sistema passa do '[h   e b , tem-se estado inicial ao final. Comec¸ando por um processo isot´ermico a  K, no qual int v *,+ .- * ^Ÿ `>  †C.Y - E \> 9 O]V^C.Y     M N Z ')(¬    -     E *     E >    v Z N O  9 J  g J/K  v  Considere-se agora um processo isoc´orico, no qual a press˜ao e a temperatura chegam aos valores finais: b ')(¬~¬   €‘ '  c*zd e  j*zd V V   €‘    € ’­“ 2 € ’”“  ')(¬~¬ *zd - * Ÿ ?> - > + -*  O O   †C/Y E N E V        v   NF 9  J/K  A variac¸a˜ o de entropia e´ ent˜ao ')( '[( ¬ m ')( ¬~¬ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas   g v  NF 9    n  J/K  P´agina 14 de 14