Exercícios Resolvidos: Função Homogênea

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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exercícios Resolvidos: Grau de uma função homogênea Contato: [email protected] Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 09/12/2016 - Atualizado em 31/03/2017 Como saber se uma função ƒ (, y) é homogênea? E como determinar seu grau? Grosseiramente falando basta seguir dois passos: Passo 1: Substituímos  e y por λ e λy respectivamente; Passo 2: após a substituição no passo 1 manipulamos a função algebricamente de forma a obtermos: ƒ (λ, λy) = λn ƒ (, y). Se obtivermos sucesso nos passos 1 e 2 então a função será homogênea de grau n. Exemplo 1: Verifique se as funções são homogêneas e em caso afirmativo determine o grau. ‚ 2  c) ƒ (, y) =  · n(y) + ye Œ a) ƒ (, y) =  · sen + y y    + 4y b) ƒ (, y) = cos  d) ƒ (, y) = 2 + 2y 2 Æ 3 e) ƒ (, y) = 2 + y 2 Solução de A: Passo 1: Substituindo  por λ e y por λy. Sendo assim: ‚ ƒ (, y) =  · sen  y + 2 ⇒ ƒ (λ, λy) = λ · sen Œ y  λ λy  + (λ)2 λy Passo 2: Feita a substituição tentamos manipular a função a fim de obtermos uma igualdade na forma ƒ (λ, λy) = λn ƒ (, y). 1 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA ƒ (λ, λy) = λ · sen  λ  + λy    ⇒ ƒ (λ, λy) = λ · sen y    ⇒ ƒ (λ, λy) = λ · sen y ‚ (λ)2 λy λy λ2 +    ⇒ ƒ (λ, λy) = λ  · sen λ2 2 + y y + 2 Œ y ⇒ ƒ (λ, λy) = λ1 · ƒ (, y). Conclusão: A equação é homogênea e seu grau é igual a 1. Solução de B: Passo 1: ƒ (, y) = cos   + 4y   ⇒ ƒ (λ, λy) = cos  λ + 4(λy)  λ Passo 2: ƒ (λ, λy) = cos  λ + 4(λy) λ ⇒ ƒ (λ, λy) = cos ⇒ ƒ (λ, λy) = cos ⇒ ƒ (λ, λy) = λ0   λ( + 4y)  λ   + 4y   · cos   + 4y   ⇒ ƒ (λ, λy) = λ0 · ƒ (, y) Conclusão: A equação é homogênea de grau zero. 2 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Solução de C: Impossível chegar a forma apresentada no passo 2. Logo não é uma função homogênea. Solução de D: Passo 1: ƒ (, y) = 2 + 2y 2 ⇒ ƒ (λ, λy) = (λ)2 + 2(λy)2 Passo 2: ƒ (λ, λy) = (λ)2 + 2(λy)2 ⇒ ƒ (λ, λy) = λ2 2 + 2(λ2 · y 2 ) ⇒ ƒ (λ, λy) = λ2 (2 + 2y 2 ) ⇒ ƒ (λ, λy) = λ2 ƒ (, y). Conclusão: A equação é homogênea de grau 2. Solução de E: Passo 1: Æ 3 ƒ (, y) = 2 +Æy 2 3 ⇒ ƒ (λ, λy) = (λ)2 + (λy)2 Passo 2: ⇒ ƒ (λ, λy) = Æ 3 (λ)2 + (λy)2 ⇒ ƒ (λ, λy) = Æ 3 λ2 · 2 + λ2 · y 2 ⇒ ƒ (λ, λy) = p 3 λ2 Æ 3 2 + y 2 2 ⇒ ƒ (λ, λy) = λ 3 ƒ (, y). Conclusão: A equação é homogênea de grau igual 2/ 3. 3 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercialCompartilhaIgual 4.0 Internacional. Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos de matemática, acesse: www.number.890m.com E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor entre em contato para que possa ser feito a devida correção. .ƒ cebook.com/ degogntz nbbedego@gm.com .nmber.890m.com 4