Exercícios Resolvidos: Forma Polar De Um Número Complexo

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N´ umeros Complexos Diego Oliveira / Vit´oria da Conquista - BA Exerc´ıcios Resolvidos: Forma Trigonom´ etrica ou Polar Contato: [email protected] Atualizado em: 20/08/2016 O Que ´ e a Forma Polar? Dado o complexo z = a + bi ent˜ ao sua forma polar (ou trigonom´etrica) ser´a: |z|(cosθ + isenθ) Essa ultima forma ´e chamada de trigonom´ etrica ou forma polar. Observa¸ c˜ oes importantes: • O oposto de z ´e −z = |z|[-cos(-θ) + i·sen(-θ)]. • O conjugado de z ´e z = |z|[cos(-θ) + i·sen(-θ)]. EXERC´ ICIOS: √ 1. Escreva na forma polar o complexo z = −2 + 2i 3. Solu¸ c˜ ao: Note que a representa¸c˜ ao geom´etrica de z forma um triˆangulo retˆangulo com a parte negativa do eixo OX. 2 θ -2 Representa¸ c~ ao geom´ etrica. √ Cuja norma ´e igual a 2 2: |z| = p √ (−2)2 + (2)2 = 2 2 Pelo triˆ angulo formado sabe-se que: √ 2 2 cos(θ) = − √ = − (1) 2 2 2 1 N´ umeros Complexos Diego Oliveira / Vit´oria da Conquista - BA e tamb´em √ 2 2 sen(θ) = √ = (2) 2 2 2 o que de (1) e (2) implica em θ = 135◦ ou 3 π. 4 Logo a forma polar ser´ a: z = |z|(cosθ + i · senθ)      √ 3 3 z = 2 2 cos π + i · sen π 4 4 √ 2. Escreva na forma polar o conjugado do complexo z = 1 − i 3. Solu¸ c˜ ao: Note que a representa¸c˜ ao geom´etrica de z forma um triˆangulo retˆangulo com a parte positiva do eixo OX 1 θ √ - 3 Representa¸ c~ ao geom´ etrica. cuja hipotenusa ´e igual a 2. |z| = q √ 12 + ( 3)2 = 2 Com base no triˆ angulo formado sabe-se que: 1 (1) 2 √ 3 sen(θ) = − (2) 2 sen(θ) = Onde de (1) e (2) deduz-se que θ = 300◦ ou 5 π rad. 3      5π 5π Logo, z = 2 cos + isen e seu conjugado ser´a: 3 3 2 N´ umeros Complexos Diego Oliveira / Vit´oria da Conquista - BA      5π 5π z = 2 cos − + isen − 3 3 3. Escreva na forma alg´ebrica o complexo z = √  π π 2 cos + isen . 4 4 Solu¸ c˜ ao: Nesse caso ´e dado um z na forma polar e nos ´e solicitado a sua forma z = a + bi.  π  √2  π  √2 = = Como cos e sen , ent˜ao: 4 2 4 2 z= √ √ 2 √ ! 2 2 =1+i +i 2 2 Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para [email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao. Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos acesse: www.number.890m.com 3