Exercicios Resolvidos De Resmat 12-49

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12.49 A haste compõe-se de dois eixos para os quais o momento de inércia de AB é I e de BC é 2I. Determinar a inclinação e a deflexão máximas da haste devido ao carregamento. O módulo de elasticidade é E. Solução: Vamos encontrar as equações de momento fletor: L M 1 = − Px ⇒ 0 ≤ x ≤ 2 L M 2 = − Px ⇒ ≤x≤L 2 Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho): L EI y1 ' ' ( x ) = Px ⇒ 0 ≤ x ≤ 2 L 2EI y 2 ' ' ( x ) = Px ⇒ ≤x≤L 2 E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração: x2 L EI y1 ' ( x ) = P + C1 ⇒ 0 ≤ x ≤ 2 2 2 x L 2EI y 2 ' ( x ) = P + C2 ⇒ ≤x≤L 2 2 Segunda integração: x3 L EI y1 ( x ) = P + C1 x + C 3 ⇒ 0 ≤ x ≤ 6 2 3 x L 2EI y 2 ( x ) = P + C2 x + C4 ⇒ ≤x≤L 6 2 As condições de contorno para a viga são: PL2 y ' 2 ( L) = 0 ⇒ C 2 = − 2 3 PL y 2 ( L) = 0 ⇒ C 4 = 3 5PL2 L L y'1   = y' 2   ⇒ C1 = − 16 2 2 3PL3 L L y1   = y 2   ⇒ C 3 = 16 2 2 A inclinação máxima (extremidade livre, x=0) é: x 2 5PL2 0 2 5PL2 5PL2 EI y1 ' ( x ) = P − ⇒ EI y1 ' (0) = P − =− 2 16 2 16 16 2 5PL ∴ y1 ' (0) = θ max = − 16EI O deslocamento máximo (extremidade livre, x=0) é: x 3 5PL2 3PL3 0 3 5PL2 3PL3 3PL3 EI y1 ( x ) = P x+ 0+ = − ⇒ EI y1 (0) = P − 6 16 16 6 16 16 16 3 3PL ∴ y1 (0) = y max = 16EI Obs.: o eixo y positivo foi adotado para baixo.